Dibujo Técnico II María Amián

Tema 7: Curvas Cónicas

7.1 Elipse

Es una curva cerrada y plana, lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a otros dos llamados focos (puntos fijos) es constante e igual a la medida del eje mayor.

Parámetros de la elipse: 2a= V1-V2 (eje mayor) b= distancia desde un extremo del eje

menor hasta el centro 2b= AB (eje menor) c= distancia de un foco al centro 2c= F1-F2 (distancia focal)

Construcción elipse por puntos1) Dados los vértices y el eje menor AB, hallamos los focos F1 y F2, mediante

un arco de centro A y radio a.2) Tomamos varios puntos desde el centro hasta uno de los focos y los

numeramos. (4 puntos son suficientes, pero si los necesitas para un mejor trazado a mano alzada, puedes añadir más)

3) Con centro en los focos F1 y F2, y radio 1V1 y 1V2 respectivamente, trazamos arcos que se corten en los puntos P,Q,R,S…

4) Repetimos el proceso con los puntos 2,3,…5) Unimos los puntos obtenidos a mano alzada o con plantillas.

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Bloque I: Geometría Plana

¿Para qué sirve?

Conocer los parámetros de la elipse es muy importante, en muchos problemas aparecen como datos para resolver los ejercicios.

¿Recuerdas?

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Circunferencias en una elipse. Una circunferencia focal tiene por centro un

foco y el radio 2a. Es el lugar geométrico de todos los puntos simétricos del otro foco respecto de las tangentes a la cónica”Para trazarla, hacemos centro en uno de los focos y tomamos como radio 2a (V1-V2)

Una circunferencia principal tiene como centro el de la elipse y radio la distancia a.

Circunferencia de centro un punto de la elipse y radio PF2. Esta circunferencia será tangente a la circunferencia focal de centro el foco opuesto, F1.

Rectas tangente y normal a una elipse Tangente:

1) Dado un punto cualquiera de la elipse, P, lo unimos con los focos.2) Trazamos una circunferencia de centro P y radio, el foco más cercano, en este caso F2.3) Prolongamos el vector PF1 hasta que corte a la circunferencia en un punto que llamaremos F’2.4) Unimos F2 con F’2 y hallamos la mediatriz que será la Tangente t a la elipse.

Normal:1) Por el punto P, trazamos una perpendicular a la tangente, será la

Normal n.

Intersección de una recta S y una elipse.

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¿Para qué sirve?

En la mayoría de los ejercicios de las pruebas de acceso a la universidad, debes hallar la elipse y trazar la tangente y normal.

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1) Trazamos la circunferencia focal de centro F1

2) Hallamos el simétrico de F2, F2*, tomando como eje de simetría la recta s.3) Con centro en un punto cualquiera de la recta s, trazamos una

circunferencia auxiliar que sea secante a la focal y pase por el otro foco F2 y su simétrico F’2.

4) Trazamos la recta secante que es común a las dos circunferencia y otra que una F2 y F2* hasta que se corten en un punto que será el Centro Radical.

5) Desde el centro radical, trazamos una tangente a la circunferencia auxiliar y hallamos el punto T, de tangencia.

6) Trasladamos el punto T (haciendo centro en C) hasta la circunferencia focal, obtendremos dos puntos F’2 y F’’2.

7) Unimos F’2 y F’’2 con F1 (centro de la circunferencia focal), hasta que obtengamos dos puntos en s, S1y S2, que serán los puntos de intersección de la elipse con la rectas.

7.2 Hipérbola Una hipérbola es una curva plana abierta, formada por dos ramas. Tiene dos ejes, uno real, dónde se ubican los vértices y los focos, y uno virtual, perpendicular a éste por el centro.

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Las asíntotas son dos rectas que pasan por el centro de la hipérbola y que nunca llegan a tocar la curva.Cuando las asíntotas son perpendiculares, se trata de una hipérbola equilátera, y estas rectas forman 45º con el eje virtual.

Parámetros de la Hipérbola a= distancia del centro a uno de los

vértices. 2a= V1-V2, (eje real) b= Distancia del centro a uno de los

extremos del eje virtual (A o B). También es la distancia que hay desde uno de los vértices hasta la asíntota, levantando una perpendicular al eje real.

2b= AB (eje virtual) c= Distancia de un foco al centro. 2c= F1-F2 (distancia focal)

Construcción de la hipérbola por puntos.1) Dada la distancia focal y la distancia 2ª, ubicamos varios puntos en el eje

real (desde el foco hacia fuera). Y los numeramos (1 más cerca del foco)2) Tomamos el primer punto y con centro en los focos y radios 1V1, 1V2,

trazamos arcos que se cortan en cuatro puntos: P, Q, R…3) Repetimos el proceso con los puntos 2,3…4) Unimos a mano alzada o con plantilla los puntos hallados.

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¿Recuerdas?

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5) Si se requiere hallar las asíntotas: a. Trazar una circunferencia de centro O y radio OF1 o también OF2.b. Levantar una perpendicular desde uno de los vértices hasta que

corte a la circunferencia y unir ese punto con el centro mediante una recta.

c. Prolongar la recta por encima y por debajo del eje real y trazar la otra asíntota.

Circunferencias en una hipérbola Circunferencia focal: Podemos

hallar 2 circunferencias focales, haciendo centro en los focos con radio 2a.

Circunferencia principal: Centro O y radio OV1-OV2. Es tangente a la hipérbola en los vértices.

Circunferencia de centro un punto P de la curva y radio PF2 (o el foco más cercano). Esta circunferencia será tangente a la circunferencia focal de centro el foco opuesto, F1.

Rectas tangente y normal a la hipérbola.

Tangente por un punto de la curva:

1) Unimos el punto P con los dos focos, de modo que obtendremos dos segmentos o radios vectores.

2) Hallamos la bisectriz del ángulo formado por los segmentos y la prolongamos, será t, la tangente a la hipérbola.

Normal:1) Por el punto P trazamos una recta

perpendicular, n, que será la normal.

Intersección de una recta S con una hipérbola.1) Seguimos los mismos pasos que en el caso de la elipse.

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7.3 ParábolaUna parábola es una curva plana y abierta. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F, llamado foco y de una recta fija d, llamada directriz.

Parámetros de la parábola. P= distancia desde el foco hasta la directriz. P/2= distancia desde el vértice al foco y desde el vértice a la directriz.

Construcción de la parábola por puntos.1) Dada la distancia P, dibujamos la recta directriz y el eje, perpendicular.2) Conociendo la distancia P, ubicamos el foco F y el vértice V. 3) Sobre el eje, y desde V, tomamos puntos que numeraremos como 1,2,3,

…4) Por los puntos trazamos perpendiculares al eje.5) Con centro en el foco F y radio 1D, 2D, 3D… trazamos arcos que corten a

las perpendiculares, a ambos lados del eje, de manera que obtendremos los puntos que definirán la parábola al unirlos a mano alzada o con plantilla.

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¿Recuerdas?

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Circunferencias en una parábola Circunferencia de centro P, un punto de la curva y radio PF. Será

tangente a la directriz, y la perpendicular a esta de desde P, nos dará en simétrico de F, F’.

Por tanto, observamos que la recta directriz cumple las propiedades de la circunferencia focal, al ser tangente a la circunferencia anterior y contener el simétrico de F.

Rectas tangente y normal en la parábola. Tangente por un punto en la parábola:

1) Dado un punto P, de la parábola, hallamos el simétrico del foco F, F’.

2) Unimos P con ambos focos, y hallamos la bisectriz del ángulo que forman los segmentos resultantes.

3) La bisectriz será la tangente t, a la parábola

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Normal1) Por el punto P, trazamos una perpendicular a la tangente t, que

será la recta normal n.

Intersección entre una recta s y una parábola.1) Con centro en la recta s (donde queramos) , trazamos una circunferencia

auxiliar de radio AF.2) Por F trazamos una perpendicular a la recta s hasta que corte a la

circunferencia auxiliar en F*, simétrico de F.3) Prolongamos la perpendicular hasta que corte a la directriz en el punto C

(centro radical)4) Desde C, trazamos una tangente a la circunferencia y hallamos el punto

T.5) Con centro en C, y radio CT, nos llevamos el punto T hasta la directriz de

modo que la corte en dos puntos que llamaremos M1 y M2.6) Por M1 y M2 trazamos perpendiculares que corten a la recta s en S1 y S2,

puntos de intersección de la parábola con la recta s.

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1) Conocido el centro de una hipérbola y las distancias a=20mm y c=35mm, halla la cónica, la tangente a la curva por un punto de la rama derecha (ubicado en la vertical por el foco) y la normal.

2) El punto V es el vértice de una parábola, halla el foco y traza la curva, así como la tangente por un punto (a elegir por el alumno)

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Ejercicios: Para poner en práctica lo que hemos aprendido y así reforzar nuestros conocimientos

O

V

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3) Se desea construir un puente cuya estructura está definida por una parábola; los datos se muestran en la figura dada. Construye la parábola dadas la recta directriz, y el foco F, ya halla los valores de las distancias 1 y 2, intersección de la parábola con el puente.

10

+F

15

40

10

puente

suelo

directriz

Distancia 1

Distancia2

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4) De una hipérbola equilátera se conoce el eje real y los vértices A1 y A2. Se pide:

a) Determinar las asíntotasb) Hallar gráficamente los focos F1 y F2c) Dibujar por puntos las dos ramas de la cónicad) Dibujar la tangente y la normal en uno de los puntos

obtenidos.

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5) Dados, la recta D y el punto F, se pide:

a) Dibujar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de la recta D y del punto F.

b) Trazar el eje de la cónica

c) Hallar la tangente y la normal a la curva en el punto A de la misma, que equidiste 40mm del punto F y de la recta D.

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5) De una elipse se conoce su centro O, un foco F y un punto P de la curva. Se pide:

a) Determinar los ejes de la cónica.

b) Dibujar la elipse.

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6) Determina los puntos comunes de la recta r (intersección) con la elipse de eje mayor V1V2.

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