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Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemticas

NN MM EE RR OO SS Revista de Didctica de las Matemticas

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http://www.sinewton.org/numeros ISSN: 1887-1984 Volumen 84, noviembre de 2013, pgina 2

NNmmeerrooss, Revista de Didctica de las Matemticas, se ocupa de la enseanza y el aprendizaje desde infantil hasta la universidad, aunque atiende preferentemente la educacin primaria y secundaria. Publica trabajos de inters para el profesorado de esos niveles, tales como experiencias de aula, reflexiones sobre la enseanza, aplicaciones de la investigacin

NNmmeerrooss, Revista de Didctica de las Matemticas aparece en las bases de datos bibliogrficas Latindex, Dialnet y DICE, y es recensionada en Mathematics Education Database.

Directora

Alicia Bruno (Universidad de La Laguna)

Comit editorial

Hugo Afonso, Dolores de la Coba, Miguel Domnguez, Ftima Garca, Israel Garca, M Aurelia Noda, Josefa Perdomo e Ins Plasencia.

Consejo asesor

Jos Luis Aguiar, Luis Balbuena, Carmen Batanero, Teresa Braicovich, Juan Contreras, Norma Cotic, Juan Daz Godino, Salvador Llinares, Antonio Martinn, Jacinto Quevedo, Victoria Snchez y Arnulfo Santos.

Portada. Autora: Sofa Almeida Bruno. Ttulo: Flor estrellada.

Edita


Apartado 329.

38200 La Laguna (Tenerife) Espaa

Email: [email protected]

Web: http://www.sinewton.org

Junta Directiva de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemticas

Juan Agustn Noda Gmez (Presidente), M Nila Prez Francisco (Vicepresidente), Jos Manuel Vidal Gonzlez (Secretario General), Sergio Alexander Hernndez Hernndez (Tesorero), Carmen Dolores Ros Gonzlez (Vicesecretaria), Carmen Sonia Fernndez Valdivia (Secretaria de actas), Luis Balbuena Castellano (Bibliotecario). Coordinadores insulares: Ramn Galn Gonzlez (Gran Canaria), Roberto Rodrguez Cruz (La Palma), Dolores de la Coba Garca (Tenerife).

NNmmeerrooss, Revista de Didctica de las Matemticas, es una publicacin de la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemticas. Se editan tres nmeros ordinarios al ao, los meses de marzo, julio y noviembre.


http://www.sinewton.org/numeros ISSN: 1887-1984 Volumen 84, noviembre de 2013, pginas 3-4

ndice

Artculos

Desarrollo del clculo mental a partir de entrenamiento en combinaciones numricas y estrategias de clculo 5

E. Valencia Cifuentes La resolucin de problemas formales y prcticos: un estudio con nios Tee Savi

25 J. Garca Garca La integracin del alumnado inmigrante. Estudio comparativo segn su procedencia

47 N. Rosich Sala y P. Lpez Serentill Permetro y rea. Un problema en futuros maestros

65 R. Nortes Martnez-Artero y A. Nortes Checa

La estadstica descriptiva como herramienta de anlisis en la investigacin social. Ejemplo de actividad prctica adaptada a la enseanza del Espacio Europeo de Educacin Superior

85

E. Ballesteros Doncel

Anlisis exploratorio de las dificultades de alumnado de Ingeniera en la resolucin de problemas de optimizacin 99

S. Baccelli, S. Anchorena, E. Moler, M. Aznar Secciones

Astronoma

De Orchilla a Finisterre: Medida de la circunferencia de la Tierra segn el experimento de Eratstenes (siglo III a. C.) 115

O. Gonzlez Snchez, R. Naveros Naveiras

En la red

CeDeC, materiales educativos al alcance de todos 127

A. Gonzlez

Juegos

Otros puzles planos y El Ladrillo del Torneo 135

J. A. Ruprez Padrn, M. Garca Dniz (Club Matemtico)

ndice (continuacin)

4 NNMMEERROOSS Vol. 84 noviembre de 2013

Problemas

Torneos 2013 147

J. A. Ruprez Padrn, M. Garca Dniz (Club Matemtico)

Experiencias de aula

La lotera, ese impuesto a la ignorancia 159

A. R. Gil Armas

Leer Matemticas

Actividades Prcticas de Matemticas y su Didctica 1. Andrs Nortes Checa (Coord.) 167

Resea: A. Estepa Castro

Puzle algebraico: secuencia didctica. M. Socas (Coord.), R. Ruano, M. Palarea, M. Muoz, J. Hernndez, E. Domnguez 171

Resea: R. Nortes Martnez-Artero

Informaciones 173

Normas para los autores 175



Desarrollo del clculo mental a partir de entrenamiento en combinaciones numricas y estrategias de clculo

Emilio Valencia Cifuentes (Departamento de Educacin Municipal de Laja. Chile)

Fecha de recepcin: 20 de febrero de 2013 Fecha de aceptacin: 2 de junio de 2013

Resumen El propsito de este estudio es poder determinar si un programa para el desarrollo del clculo mental, basada en el entrenamiento en combinaciones numricas y la enseanza de estrategias de clculo, influye en las habilidades de clculo mental de los estudiantes de primer a cuarto ao de enseanza bsica. La investigacin fue realizada mediante un diseo pre-experimental, con evaluacin pre-test y post-test, con un solo grupo de cada nivel educativo. Los participantes fueron evaluados con el subtest de clculo mental de la prueba EVAMAT, versin chilena, de Garca et al. (2009). Los principales resultados observados fueron mejoras significativas en el clculo mental de los estudiantes de primero a cuarto ao de enseanza bsica, independiente del sexo y el curso.

Palabras clave Clculo mental, combinaciones numricas, estrategias de clculo

Abstract The purpose of this study is to determinate if a program to develop mental computation, based in number combination training and the teaching of computation strategies, do influence on the mental computing skills of the children from first to fourth grade of primary education. The investigation was made through a pre-experimental design, with pre-test and post-test evaluation, in one group of every one of the educational level. Participants were evaluated with the subtest of mental computing from the EVAMAT test, Chilean version, of Garca et al. (2009). The results of the study were significant improves on mental computing, in first to fourth grade childrens, in both sex and in every educational level.

Keywords Mental computing, number combinations, computing strategies

1. Introduccin

Las polticas actuales existentes de educacin en Chile han direccionado los esfuerzos ministeriales hacia la aplicacin de leyes que aseguren resultados cuantitativos adecuados en las habilidades acadmicas de los estudiantes del pas. Esto ltimo a propsito de los bajos rendimientos evidenciados por los estudiantes chilenos en evaluaciones nacionales e internacionales. Es por ello que una de estas leyes, la ley de Subvencin Escolar Preferencial (SEP) del Ministerio de Educacin (MINEDUC, 2008) se ha instaurado en el sistema educativo pblico y particular subvencionado, entregando recursos para mejorar los aprendizajes claves de los nios, pero adems exigiendo resultados cuantitativos ao a ao.

Desarrollo del clculo mental a partir de entrenamiento en combinaciones numricas y estrategias de clculo E. Valencia Cifuentes

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En lo que a resultados se refiere, desde el ao 2000 hasta la fecha, y cada 3 aos, se realiza a nivel internacional una evaluacin de competencias de los estudiantes de 15 aos en 3 reas: Lectura, Matemticas y Ciencias Naturales. Esta evaluacin, conocida como prueba PISA (de su sigla en ingls Programme for International Student Assessment), es realizada por la Organizacin para la Cooperacin y el Desarrollo Econmico (OECD, 2010) y Chile ha participado voluntariamente de cada una de las aplicaciones, excepto la realizada el ao 2003.

En estas evaluaciones, Chile no ha tenido grandes variaciones en cuanto al desempeo general de los estudiantes. En relacin a lo anterior cabe destacar, para efectos de este estudio, los resultados en el rea de las Matemticas, dado que el ao 2009 el promedio internacional fue de 496 puntos y Chile obtuvo un promedio de 421 puntos (cualitativamente en el nivel 3 de los 6 conceptualizados por la OECD), situando al pas en el lugar 49 de 65 pases participantes (OECD, 2010).

Bravo (2011) acepta e incluso recalca que los resultados en matemticas se han mantenido en el mismo rango desde el ao 1999 en Chile, siendo en ese ao el promedio nacional de 250 puntos, y actualmente de 256 puntos en 4 ao de enseanza bsica, diferencia que l no considera significativa.

La tendencia mencionada muestra que, en el rea de las matemticas, hay algo que hacer por la educacin de los nios chilenos. Afortunadamente las polticas ministeriales han direccionado recursos que, en alguna medida, pretenden fortalecer la educacin del pas.

Dentro de las leyes que buscan una mejora en la educacin chilena est la ley SEP, que pretende mejorar exponencialmente la calidad de la educacin del pas, poniendo metas cuantitativas que los establecimientos deben cumplir. La ley SEP, dentro de sus normativas, exige la evaluacin de los aprendizajes claves del lenguaje y las matemticas, todos los aos, con el fin de monitorear que los establecimientos educacionales alcancen las metas propuestas cada 4 aos de trabajo (MINEDUC, 2008).

Uno de los aprendizajes claves evaluados es el clculo mental, habilidad matemtica que para Deao (2000) es fundamental en la ejecucin de ejercicios aritmticos. Pese a ello, Espinoza, Barb y Glvez (2009) indican que, aunque el clculo mental actualmente est incluido en los planes y programas propuestos por el MINEDUC, aparentemente no est siendo aplicado de manera adecuada en el aula. Ellos realizaron una serie de entrevistas y encuestas tanto a estudiantes como profesores, as como la observacin de experiencias en aula. En sus trabajos concluyeron que la enseanza habitual de las clases de matemticas no inclua al clculo mental como una prctica generalizada en Chile, sino que tiende a bloquear en los nios y nias la bsqueda de estrategias alternativas para abordar problemas, incluyendo las ms elementales.

Es as como se logra vislumbrar la problemtica a estudiar, la cual guarda relacin con analizar estrategias o mtodos efectivos en cuanto a la mejora de aprendizajes claves, ms especficamente en este caso, el clculo mental.

1.1. Objetivos del estudio

El objetivo general de este estudio es determinar si el programa REOPERA (de su sigla Reeducacin de las Operaciones Aritmticas), basado en el entrenamiento en combinaciones numricas y estrategias de clculo, influye en el desarrollo del clculo mental de estudiantes de primer a cuarto ao de enseanza bsica.


E. Valencia Cifuentes

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Vol. 84 noviembre de 2013

Como objetivos especficos se han planteado los siguientes:

1- Verificar si el programa de entrenamiento en combinaciones numricas y estrategias de clculo influye en el desarrollo del clculo mental, en funcin de los distintos niveles escolares.

2- Verificar si el programa de entrenamiento en combinaciones numricas y estrategias de clculo influye en el desarrollo del clculo mental, en funcin del sexo de los sujetos en estudio.

2. Marco Terico

2.1. Un acercamiento al concepto de clculo mental y su adquisicin en los nios

Para Gmez (2005), el clculo mental no debe confundirse con el clculo estimado y ste no debe confundirse con el clculo aproximado, ya que slo en el clculo mental se trabaja con datos exactos para generar respuestas mentales a un ejercicio aritmtico. As el clculo mental sera entonces la forma de calcular sin utilizar una ayuda externa, siendo solo la mente la que trabaja y teniendo como base el clculo reflexivo o pensado. Todo esto implica una reflexin que tolera toma de decisiones y eleccin de la estrategia ms adecuada. Para este tipo de clculo se requieren manipulaciones y habilidades, como: conteos, recolocaciones, dominio de tablas (o combinaciones numricas), compensaciones, descomposiciones, etctera., que sirven para poder alterar los datos inciales y de esta forma trabajar ms cmodamente con otros ms fciles de calcular.

Sumado a lo anteriormente mencionado, la mayora de los investigadores (Baroody, 1985, 1994; Campbell y Graham, 1985; Crowley Shrager y Siegler, 1997; Deao, 2000; Kilpatrick et al., 2001; Fuchs et al., 2006; Fuchs, Powell, Seethaler, Fuchs y Hamlet, 2010; National Mathematics Advisory Panel, 2008) coinciden en que existen 3 fases en las que un nio normal desarrolla el clculo mental con nmeros del 0 al 9; en la primera fase contar todo los nios cuentan todos los elementos, en la segunda fase contar desde el primero los nios parten contando desde el primero nmero, y agregan la cantidad correspondiente al segundo nmero, y en la tercera fase contar desde el mayor los nios eligen el nmero con mayor cantidad de elementos y luego suman desde ese nmero.

Adems, para Deao (2000) existen 2 grandes consideraciones con respecto a estas 3 fases. La primera es que estas 3 fases predicen una duracin diferente en la realizacin de la tarea y los nios progresivamente descubren que la ltima fase es la ms ptima y por lo tanto la mejor estrategia. La segunda consideracin es que para poder acceder a estas fases, el primer requisito fundamental es que el alumno posea un conocimiento y manejo de los nmeros bien consolidado.

Finalmente, se cree que el clculo mental es fundamental en la ejecucin de ejercicios aritmticos, y esta idea es respaldada por la mayora de los investigadores expertos en el tema (Baroody, 1985, 1994; Campbell y Graham, 1985; Crowley et al., 1997; Deao, 2000; Kilpatrick et al., 2001; Fuchs et al., 2006; Fuchs et al., 2010; National Mathematics Advisory Panel, 2008; Glvez et al., 2010)

2.2. Beneficios del desarrollo del clculo mental en los nios

Si bien es cierto, y tras leer lo revisado previamente, se pudiera entender que la gran ventaja de desarrollar el clculo mental en los nios es que mejoren en la ejecucin de ejercicios aritmticos, aparentemente no es el nico beneficio de generar dicha capacidad en los nios.



En sus estudios de tesis doctoral, Gomez (1994) defiende la idea de que el desarrollo de clculo mental en el aula es una prctica con beneficios ms all de esta capacidad en s, dado que l destaca posibles influencias positivas en otras reas tales como: contribuir a la comprensin y sentido del nmero, conocer las concepciones que tienen los estudiantes sobre los procedimientos de clculo y proporcionar la base para el clculo aproximado. Sumado a lo anterior Gmez afirma que se desarrollan capacidades intelectuales ya que proporcionan versatilidad e independencia de procedimientos; ayudan en la reflexin para decidir y elegir; favorecen la concentracin; proporcionan confianza en el clculo aritmtico y despiertan el inters y la capacidad de concentracin.

As mismo Lethielleux (2005) afirma la idea de que el entrenamiento en clculo mental es un muy buen medio para desarrollar la atencin, concentracin y memoria; familiarizar a los nios con los nmeros de tal forma que puedan jugar con ellos, expresndolos de muchas formas diferentes; y favorecer la expresin, puesta en comn, discusin y comparacin (en dinmicas colectivas) de variados procedimientos y estrategias para calcular.

2.3. Las estrategias de clculo mental

Para Gmez (1995) las estrategias de clculo mental se entienden como principios directores generales de la resolucin de un ejercicio aritmtico, y que por ello, debiera funcionar con cualquier operacin, pues de la estrategia en s depende la forma en que se manejen los datos, mientras que los mtodos son las formas en que se concretan las estrategias al tomar en cuenta las operaciones, los hechos y las relaciones numricas involucradas en los datos, y los procedimientos son las secuencias ordenadas y explcitas de clculos que desarrollan los mtodos hasta llegar al resultado.

Por lo tanto, para Leger et al. (2011) las estrategias de clculo mental son ms que simples procedimientos y se puede decir que se encuentran ms all del papel, pues estn en el plano de lo cognitivo y por lo tanto son ms adaptativas; dependen de cmo vea el sujeto la situacin especfica involucrada en el ejercicio de clculo mental. De esta manera se contraponen a los algoritmos convencionales, o universales, que son ms burocrticos al intentar tratar a todos los nmeros por igual y aplicarse sin considerar la situacin problemtica especfica.

As por ejemplo, para restar 27 14, en vez de recurrir al algoritmo vertical convencional se podra utilizar una estrategia de clculo mental elemental, en la que se avanzara sobre una recta numrica mental desde el 14 hasta el 27, y nos daramos cuenta que hemos avanzado 13 espacios en la recta. Vemos as como en reemplazo del algoritmo convencional, se recurre a una estrategia mental o visualizacin numrica, ligada a la idea de que restar es retroceder o recorrer lo que falta (Lakoff y Nuez, 2000; Soto-Andrade, 2006).

Esta representacin mental de la recta numrica aparentemente posee un sustrato neurocognitivo a la base, tal como lo indican los trabajos de Knops, Thirion, Hubbar, Michel y Deaene (2009). Ellos enfatizan el rol de las metforas sensoriomotrices en el aprendizaje de las matemticas y la prctica del clculo mental, en especial ante el uso de una recta numrica (los nmeros son ubicaciones en la recta), indicando que los circuitos corticales para la atencin espacial contribuyen a la aritmtica mental cuando se utiliza la recta numrica en ejercicios aritmticos concretos. Esto lo descubrieron comparando las Imgenes por Resonancia Magntica (IRM) que resultaban en el ejercicio mental de una resta y luego en el ejercicio concreto de la misma, con una recta numrica, notando que en ambos ejercicios se activaba el mismo circuito cerebral.



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2.4. El concepto de combinacin numrica

Las combinaciones numricas son consideradas un elemento esencial en la facilitacin del clculo mental, e incluso la resolucin de problemas, por varios autores (Golman, Pellegrino y Mertz, 1988; Deao, 2000; Kilpatric, Swafford y Findell, 2001; Fuchs et al., 2006, 2010).

Al hablar de combinaciones numricas nos referimos a los ejercicios que pueden realizarse generando adiciones o sustracciones y mltiplicaciones de un solo dgito con los nmeros del 0 al 9. Tambin pueden ser conceptualizados como hechos numricos (Deao, 2000).

stas combinaciones numricas, y su subsecuente resolucin, son componentes muy importantes en toda matemtica elemental. Es normal encontrar las combinaciones numricas incorporadas dentro del curriculum desde knder a segundo grado de primaria en las escuelas de Estados Unidos y, tpicamente, los estudiantes desarrollan las habilidades para resolver automticamente las combinaciones numricas a inicios del tercer grado de primaria (Fuchs, et al., 2010).

Coincidentemente con lo anterior, la memorizacin de combinaciones numricas, que incluyan adiciones de un solo nmero (e.g., 9 + 3 = 12) y sus respectivas sustracciones (e.g., 12 9 = 3), han sido un objetivo central en la enseanza elemental de las matemticas desde tiempos Babilnicos (Baroody, Bajwa y Eiland, 2009), sin embargo, en la actualidad existe un acuerdo generalizado entre los investigadores al decir que todos los nios deben lograr este objetivo en orden de poder facilitar el clculo mental y escrito con nmeros racionales, e incluso la resolucin de problemas (Golman et al., 1988; Deao, 2000; Kilpatric, Swafford y Findell, 2001; Fuchs et al., 2006).

As, los nios que no logran dominar las combinaciones numricas aditivas, y particularmente aquellos que no logran dominar incluso las ms simples combinaciones aditivas, al final del primer ao de estudios primarios, en Estados Unidos (el equivalente a primer ao bsico en Chile), se encuentran significativamente en desventaja con respecto a sus pares en cuanto al aprendizaje y dominio de la sustraccin, multiplicacin y divisin, resolver operaciones a nivel mental y escrito eficientemente, y operar con nmeros racionales en general, dentro de los aos posteriores de enseanza (National Mathematics Advisory Panel, 2008).

2.5. Algunos estudios sobre entrenamiento en clculo mental

Jordan, Kaplan, Ramineni y Locuniak (2008) han estudiado un aspecto que no deja de ser importante en el desarrollo de la habilidad para resolver combinaciones numricas. Ellos realizaron un estudio sobre la frecuencia en que los nios utilizan los dedos para resolver combinaciones numricas y su relacin con el cambio en la precisin de sus ejecuciones, las que fueron seguidas longitudinalmente a lo largo de 11 puntos temporales. El inicio del seguimiento fue en knder y termin al final de segundo grado. La precisin en las combinaciones numricas aument de forma constante a lo largo del seguimiento, mientras que el uso de los dedos tendi a bajar. Los resultados indicaron que el uso de los dedos es slo adaptativo al momento de iniciar el proceso de aprendizaje y eventualmente se pierde.

En otro estudio Beveridge, Weber, Derby y McLaughlin (2005) verificaron los efectos de una estrategia competitiva de intervencin en estudiantes con dificultades matemticas. Su intervencin en el aula utiliz pistas de carrera matemticas para ensear las combinaciones numricas, adems de un momento previo de prctica de combinaciones numricas. sta metodologa de pistas de carrera matemticas es un procedimiento de prctica y ejercicio, donde combinaciones numricas conocidas y



no conocidas son ubicadas en una hoja de papel con forma de circuito ovalado, en el que aparecan 28 problemas con combinaciones numricas a resolver (7 no conocidas y 21 conocidas, trabajadas previamente en el momento de prctica) y que deban completar lo ms rpido que pudieran. Los resultados mostraron que este tipo de intervencin aumentaba no slo el inters por las matemticas en los nios, sino tambin sus habilidades para resolver ejercicios matemticos.

Un estudio de Poncy, Skinner y Jaspers (2006) evalu y compar 2 tipos de intervencin para mejorar la fluidez y precisin de la habilidad para resolver combinaciones numricas, en nios con un funcionamiento cognitivo descendido. El primer procedimiento evaluado fue el Cover, copy and compare, (CCC) cuya traduccin sera Tapar, copiar y comparar. En s la intervencin consista en 3 pasos; 1) el alumno observa la combinacin numrica y su respuesta en una hoja de papel (e.g. 3 + 7 = 10), la analiza y luego la tapa, 2) copia el ejercicio y su respuesta en otra hoja y 3) compara lo tapado con lo que ha copiado, repitiendo el resultado correcto 3 veces en voz alta. El segundo procedimiento evaluado fue el Taped Problems (TP) cuya traduccin sera Problemas grabados en audio, en el que el alumno escucha una grabacin de una persona leyendo combinaciones numricas en voz alta, dejando 4 segundos de silencio antes de leer la respuesta para que el alumno escriba la respuesta que cree correcta, antes que la grabacin la diga. Si se equivoca, el nio marca una cruz sobre su respuesta y escribe la respuesta correcta y, si no alcanza a escribir una respuesta, simplemente escribe la que la grabacin indica. Los resultados de la comparacin de ambas estrategias mostraron que ambas son eficaces para mejorar la fluidez y precisin de la habilidad para resolver combinaciones numricas, sin embargo la estrategia TP fue ms eficiente, dado que tomaba menos tiempo implementarla.

Fasko y Leach (2006) realizaron una intervencin individualizada en un nio con indicadores de un Trastorno por Dficit Atencional con Hiperactividad, que presentaba dificultades con las combinaciones numricas elementales. Fasko y Leach (2006) implementaron un entrenamiento con Flash Cards que inclua un andamiaje de apoyo. El procedimiento consista en presentar las Flash Cards de las combinaciones numricas que el nio no conoca (despus de haber evaluado las que conoca y las que no conoca con una prueba de 100 combinaciones numricas con dgitos del 0 al 9), pero sin el resultado (e.g. 3 + 4), de tal manera que el nio diera la respuesta en 5 segundos. Si el alumno responda bien se le otorgaba un signo + a la Flash Card y si no un signo -. Luego el nio deba traspasar el ejercicio completo a una hoja en blanco, incorporndose aqu el andamiaje, que consista en que el alumno deba decir en voz baja el ejercicio verbalmente, para optimizar el proceso atencional y evitar equivocaciones al traspasar al papel. Los resultados de la intervencin indicaron un aumento significativo en la precisin y fluidez de las adiciones que el nio realizaba.

Otra estrategia didctica que ha sido estudiada, es la Instruccin Computarizada Asistida en Habilidades de Combinacin Numrica (Computer-Assited Instruccion on Number Combination Skill) implementada por Fuchs et al. (2006), cuyo fundamento terico principal es la del entrenamiento y prctica a partir de la simple memorizacin de las combinaciones numricas y sus resultados, sin que sea necesario revisar las estrategias de conteo para resolverlas. sta estrategia consiste en la presentacin de hechos matemticos resueltos (e.g., 2 + 3 = 5) en la pantalla de un computador por 1,7 segundos, seguidos de una pantalla en vaco en la que el alumno debe digitar el hecho matemtico previamente presentado. Finalmente el software presentaba los resultados correctos e incorrectos del da. Los resultados demostraron que ste mtodo era efectivo para fortalecer el clculo mental relacionado con las combinaciones numricas aditivas, pero no las de sustraccin. Adems present dificultades en su aplicacin con aquellos nios que no manejaban bien el software, probablemente por no estar familiarizados con los equipos computacionales (mouse, teclado, etctera.).

En otros estudios relacionados, se explor la instruccin conceptual, sumada a las estrategias de entrenamiento y prctica computarizada, adems de la prctica en papel y uso de flash cards, en las



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que se les presentaba a los estudiantes cerca de 200 combinaciones numricas de adiciones y sustracciones entre el 0 y el 18, al que denominaron Math Flash (Fuchs et al. 2007, citado en Fuchs et al., 2008) denominado tambin como tutora en recuperacin de combinaciones numricas (por su nombre en ingls). En sta estrategia, las combinaciones numricas son introducidas en las sesiones a partir de un orden previamente establecido y de dificultad progresiva, siendo ejercitadas en un mdulo de trabajo que dura aproximadamente 20 minutos, se implementa 3 veces a la semana y contempla 48 sesiones, en las que se atenda a aproximadamente 10 estudiantes por grupo.

Este procedimiento implementado por Fuchs et al. (2007, citado en Fuchs et al., 2008) demostr resultados significativos en cuanto al desarrollo del clculo mental y la habilidad para resolver combinaciones numricas aditivas y sustractivas en nios con y sin dificultades de aprendizaje.

En cuanto a estudios relacionados eminentemente con estrategias de clculo mental en Chile, Glvez el al. (2010) realizaron un estudio de la variedad de estrategias cognitivas, idiosincrsicas o aprendidas, empleadas por estudiantes del primer ciclo de enseanza bsica al practicar actividades de clculo mental. Su estudio lo realizaron con una muestra de estudiantes de escuelas subvencionadas por el Estado, en estratos socio-econmicos medios y medio-bajos en las ciudades de Santiago y Valparaso, junto con un catastro de las estrategias observadas as como una primera versin de un programa desarrollado ellos, que permite evaluar el desempeo de los estudiantes, incluyendo sus tiempos de respuesta. El estudio en s permiti, entre otras cosas, verificar que efectivamente los nios utilizan una variedad amplia de estrategias para resolver clculos mentales, presentando algunas de ellas ms familiaridad con los nmeros y sus propiedades; por ejemplo conmutar en sumas o descomponer en forma aditiva y oportuna para calcular sumas y restas. Un hallazgo sorpresivo de dicho estudio fue la facilidad con la que los nios calculaban con dobles y mitades. Pese a lo anterior, el espectro de estrategias observadas revel una ausencia casi total de representaciones mentales para calcular mentalmente, por lo que concluyeron que es urgente promover este tipo de representaciones para facilitar el clculo mental.

3. Marco metodolgico

El trabajo realizado, dadas las caractersticas del mismo, corresponde a una investigacin bajo el paradigma cuantitativo de tipo experimental, segn lo expuesto por Hernndez, Fernndez y Baptista (2003).

La investigacin presenta un diseo pre-experimental, con evaluacin antes de la intervencin y despus de la intervencin. Segn sus caractersticas se le considera un diseo pre-experimental dado que, a partir de lo expuesto por Hernndez et al., (2003), se ha llegado al acuerdo de que este tipo de experimentos se consideren pre-experimentales y no cuasi-experimentales.

El diseo de la investigacin se grafica de la siguiente manera:

O1 X O2

De esta manera, O1 corresponde la evaluacin inicial del grupo intervenido, antes de iniciar la intervencin, X corresponde a la intervencin realizada en el grupo y O2 corresponde a la evaluacin del grupo despus de la intervencin.

Claramente al tratarse de un diseo que no incluye un grupo de control o cuasi-control, la limitacin de este tipo de estudio es que no puede ser generalizable a otra poblacin, por lo que los resultados obtenidos slo son vlidos para la poblacin a la que es aplicado el estudio.



En el caso de la presente investigacin, est constituida por estudiantes de la generacin 2011 de la Escuela Francisco Zattera F-984 del sector rural de la Comuna de Laja, en la 8 regin de Chile. La escuela es municipal y est considerada, segn los datos de la prueba que mide el SIMCE, aportados por el MINEDUC (2011), como una escuela de sector rural, con una poblacin eminentemente de condicin socioeconmica baja, dado que entre el 80,1 y el 100% de sus estudiantes se encuentran en condicin de vulnerabilidad social, y la mayora de los apoderados ha declarado tener hasta 8 aos de escolaridad, adems de un ingreso del hogar no superior a los $160 mil pesos. Adems el ndice de Vulnerabilidad Escolar (IVE) de la escuela es de un 95,6% y su matrcula total es de 135 estudiantes.

El universo de la muestra est conformado por 135 estudiantes de la Escuela Francisco Zattera F-984, siendo la muestra 69 estudiantes, divididos en 4 cursos desde primer a cuarto ao de enseanza bsica. Las edades de las unidades de anlisis que conforman la muestra fluctan entre los 6 y 11 aos de edad, siendo 29 de ellos mujeres y 40 de ellos hombres. Dicha muestra fue seleccionada de forma no probabilstica y corresponde a una muestra intencionada.

En el trabajo se han distinguido dos grandes variables a ser analizadas y estudiadas, la primera corresponde al clculo mental y la segunda al programa de estimulacin para el desarrollo del clculo mental, basado en el entrenamiento en combinaciones numricas y estrategias de clculo. Para la recopilacin de datos referidos a la primera variable se utilizar el subtest de clculo mental de la prueba de Evaluacin de la Competencia Matemtica (EVAMAT), versin chilena, de Garca et al., (2009), de la que se muestra un ejemplo en la figura 1. Se utilizar la misma prueba al principio y al final de la intervencin, lo que permitir verificar los efectos de la segunda variable sobre la poblacin estudiada. sta ltima variable, por ser un programa de intervencin, ser descrita en cuanto a la dinmica de funcionamiento, tiempos, frecuencia y materiales necesarios para su implementacin.

Figura 1. Ejemplo de tems subprueba de clculo mental para 3 ao bsico, de la prueba EVAMAT

Una vez recopilados los datos, se analizarn los principales resultados obtenidos en cuanto a habilidades de clculo en los estudiantes, con el apoyo de la herramienta estadstica computacional Statistical Product and Service Solutions (SPSS). En dicho anlisis se realizarn pruebas estadsticas como la prueba T de Student, anlisis de frecuencias y desviacin estndar.



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3.1. Programa de entrenamiento en combinaciones numricas y estrategias de clculo

El programa de entrenamiento en combinaciones numricas y estrategias de clculo fue dado a conocer a los estudiantes y docentes como REOPERA, y es un programa generado a la base de los principios de la intervencin intensiva en combinaciones numricas y estrategias de clculo de Fuchs et al. (2007, citado en Fuchs et al., 2008), que pretende entrenar dichas habilidades con el fin de estimular el clculo mental en estudiantes de primer a cuarto ao de enseanza bsica.

El programa en s consta de las siguientes etapas para su implementacin:

Etapa de Apropiacin Profesional: periodo del programa en el que se capacita a los docentes encargados de aplicar REOPERA, entregndoles la estructura del programa, materiales virtuales y concretos, tcnicas y procedimientos de intervencin, lineamientos del programa y modelaje de las sesiones. Dicha capacitacin es realizada en 8 horas, divididas en 2 das.

Etapa de Evaluacin Inicial: periodo del programa destinado a la evaluacin inicial de las capacidades de clculo mental que poseen los alumnos y alumnas participantes del programa. Dicha evaluacin incluye la aplicacin de la prueba de Evaluacin de la Competencia Matemtica EVAMAT, versin chilena.

Etapa de Intervencin Psicopedaggica: periodo del programa destinado a la intervencin propiamente tal, con las tcnicas y metodologa del programa REOPERA. El programa en s es aplicado a partir de sesiones de entrenamiento en clculo mental, cuya duracin es de 10 a 15 minutos, 3 veces a la semana, y que son aplicadas en las horas de Educacin Matemtica.

As mismo el programa REOPERA se encuentra construido a la base de que existen 2 requisitos fundamentales para el desarrollo del clculo mental. Dichos requisitos son que los estudiantes manejen una gran cantidad de combinaciones numricas (como 2+2=4, 10+10=20, 5x5=25, etc.) y adems que manejen un amplio espectro de estrategias de clculo mental. Es por ello que la intervencin psicopedaggica se divide en 2 grande etapas, incluyndose adems 1 mes de ejercicios de nivelacin y evaluacin, que se describen a continuacin:

Mes 1; Ejercicios de Nivelacin: durante este periodo se implementa una serie de ejercicios relacionados con conteo, numeracin, equivalencia, cuantificacin, decodificacin de nmeros, comparacin y ordenacin; con el fin de nivelar habilidades esenciales relacionadas con las matemticas, adems de verificar el estado de las capacidades matemticas de los alumnos.

Meses 2, 3 y 4; Enseanza explcita de Estrategias de Clculo: durante este periodo se implementa una serie de ejercicios de enseanza explcita de las estrategias de clculo en pantalla gigante, las que se ensean siempre despus de presentar un ejercicio algortmico escrito, con el fin de ensear el abordaje del mismo. En la tabla 1 se presentan algunas de las estrategias emblemticas abordadas en la intervencin:



Operacin Nombre de la

estrategia Descripcin de la didctica Ejemplo grfico de presentacin

en el aula en pantalla gigante

Ad

ici

n

Contar todo

Se presenta a los nios una suma algortmica (por ejemplo 2 + 4), cuyos nmeros se transforman en patrones de puntos. Luego se realiza el conteo en voz alta de todos los puntos.

Contar desde el primero

Se presenta a los nios una suma algortmica (por ejemplo 7 + 3), cuyo segundo nmero se transforma en patrn de puntos. Luego se cuenta en voz alta desde el primer nmero.

Saltos de 10

Se presenta a los nios una suma algortmica en la que uno de sus sumandos slo tiene decenas (por ejemplo 5 + 20), ubicando el primer nmero con un punto rojo en la recta numrica y luego representando el segundo nmero con regletas cuisenarie de 10, tantas veces como decenas contenga, sobre la recta numrica.

Descomposicin de 2 datos

Se presenta a los nios una suma algortmica (por ejemplo 13 + 20), representando ambos nmeros con regletas de 10 para la decena y una regleta que represente su unidad. Luego se ubican en la recta numrica las regletas de 10 y finalmente las regletas de las unidades, mostrando al mismo tiempo la operacin numrica que se representa.

Su

stra

cci

n

Contar hacia atrs desde el mayor

Se presenta a los nios una resta algortmica, representando el nmero mayor en recta numrica y luego tarjando desde el ltimo nmero de la recta, la cantidad de elementos del segundo nmero.

Saltos de 10 hacia atrs

Se presenta a los nios una resta algortmica en la que el sustraendo slo se conforma por decenas (por ejemplo 28 - 10), ubicando el nmero mayor en recta numrica con un punto rojo. Luego se representa el segundo nmero con regletas cuisenarie de 10 desde el punto rojo hacia atrs y tapando los nmeros de la recta, tantas veces como decenas contenga.

Mu

ltip

licac

in

Descomposicin aditiva

Se presenta a los nios una multiplicacin algortmica, descomponindola en una suma de tantos sumandos como indique el segundo factor. Luego se representa cada sumando sobre la recta numrica con regletas de 10 y regletas de la unidad correspondiente. Finalmente, en otra recta, se reubican primero todas las decenas de los sumandos y luego todas las unidades, con el fin de mostrar que de ambas formas se llega al mismo resultado, pero la segunda es ms sencilla y rpida.

Compensacin de factores

Se presenta a los nios una multiplicacin algortmica, representando el primer factor con regletas, dividido en decenas y unidades, tantas veces como indique el segundo factor, sobre la recta numrica. Luego se transforma el primer factor a la mitad y el segundo factor al doble (por ejemplo, 12x4 = 6x8), de tal forma de dejar una multiplicacin con nmeros ms pequeos. Finalmente se representa la nueva multiplicacin tal como con la primera para mostrar que de ambas formas se llega al mismo resultado, pero la segunda es ms sencilla y rpida.



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Div

isi

n

Simplificar a la mitad

Se presenta a los nios una divisin algortmica (16:4), representando el dividendo con recta numrica (16), y el divisor con regleta cuisenaire (4), tantas veces como indique el divisor, sobre la recta numrica, de tal forma de mostrar cuntos divisores caben en el dividendo. Luego se simplifica a la mitad el dividendo y divisor (16:4=8:2), realizando el mismo ejercicio de representacin en recta y con regletas, mostrando a los alumnos que la cantidad de divisores sigue siendo la misma. Se repite el procedimiento hasta no poder simplificar ms a la mitad (8:2=4:1).

Tabla 1. Estrategias de clculo enseadas explcitamente en el programa REOPERA

Las sesiones de trabajo durante este periodo, consideran 3 momentos de intervencin descritos en la figura 2:

Figura 2. Esquema con los 3 momentos de intervencin de la sesin REOPERA durante los meses 2, 3 y 4

La lgica general es que el primer momento genere necesidad en los alumnos, presentando ejercicios algortmicos desafiantes, relacionados con la estrategia a revisar en el da, de tal forma que en el tercer momento puedan aplicar la estrategia enseada.

Meses 5, 6 y 7; Entrenamiento en Combinaciones Numricas y repaso de Estrategias de Clculo Mental: durante este periodo se realiza un entrenamiento en combinaciones numricas relacionadas con adicin y sustraccin en 1 y 2 ao bsico, y multiplicacin en 3 y 4 ao bsico. Adems se deja un espacio de la sesin para el repaso de aquellas estrategias de clculo mental que no hayan sido convenientemente aprendidas durante los meses 2, 3 y 4.

Las sesiones de trabajo durante este periodo, consideran 3 momentos de intervencin descritos en la figura 3:



Figura 3. Esquema con los 3 momentos de intervencin de la sesin REOPERA durante los meses 5, 6 y 7

Etapa de Evaluacin Final: periodo del programa destinado a la evaluacin final de las capacidades de clculo mental que poseen los alumnos y alumnas participantes del programa, emplendose para ello la misma prueba utilizada en la evaluacin inicial.

Adems de las 4 etapas de ejecucin, el programa posee acompaamiento al docente durante todo el ao, mediante visitas al aula para verificar la intervencin docente, retroalimentando sus ejecuciones y adems entregando asesora y modelaje de las tcnicas de intervencin. El acompaamiento es permanente e incluye visitas mes a mes, adems de la capacitacin inicial del programa.

4. Resultados

La muestra total del presente estudio corresponde a 69 casos, pertenecientes a la Escuela Francisco Zattera F-984, de la Comuna de Laja en la 8 Regin, caracterizados a travs de la tabla 2:

Variables Primero Bsico Segundo Bsico

Tercero Bsico

Cuarto Bsico

Edad 6,88 7,73 8,95 10,06

Condicin socio-

econmica

Alta 0% 0% 0% 0%

Media 0% 0% 4,76% 0%

Media Baja 12,5% 13,4% 19,04% 17,65%

Baja 87,5% 86,6% 76,2% 82,35%

Sexo Femenino 8 5 10 6

Masculino 8 10 11 11

Cantidad de estudiantes 16 15 21 17

Tabla 2. Variables demogrficas de la poblacin intervenida



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Como puede apreciarse respecto de la edad, se observa que es coherente con la condicin curricular, es decir, nios que fluctan entre 6 y 10 aos de edad.

En cuanto a la condicin socio-econmica, hay una tendencia marcada en situar a las familias de los estudiantes que participaron del trabajo investigativo como condicin baja, de manera casi homloga en los porcentajes.

Si se observa la variable sexo, en primero y tercero bsico la distribucin fue relativamente similar en cuanto a hombres y mujeres, mientras que en segundo y cuarto bsico hubo una tendencia a mayor cantidad de hombres dentro de los cursos.

Finalmente en cuanto a la cantidad de estudiantes, se observa que todos los cursos tenan una cantidad similar, fluctuando entre los 15 y 21 estudiantes por curso.

A continuacin se presentan los resultados de las pruebas realizadas a travs de la plataforma de anlisis estadstico SPSS versin 15.0.1, en los que se comparan los resultados de la evaluacin realizada con el Subtest de Clculo de la prueba EVAMAT, a los cursos de primer a cuarto ao de enseanza bsica, antes del inicio de la intervencin con el programa REOPERA y despus de finalizada la intervencin. Para los anlisis a continuacin se realizaron pruebas estadsticas descriptivas para la obtencin de medias y desviaciones estndar, adems de la comparacin de medias mediante la prueba t de Student para muestras relacionadas.

En la tabla 3 se presentan los resultados para la comparacin de medias entre grupos antes y despus de la intervencin, de primero a cuarto ao bsico, a travs de la prueba t de Student:

Curso Pre-test Post-test Delta % Prueba t student Sig. (bilateral) M DE M DE

Primero Bsico 6,5 1,862 9,31 2,213 69,82% 0,000

Segundo Bsico 5,4 1,844 9,87 2,031 54,71% 0,000

Tercero Bsico 3,48 1,632 6,14 1,459 56,67% 0,000

Cuarto Bsico 4,88 1,764 8,82 1,334 55,32% 0,000

Tabla 3. Comparacin de medias de primer a cuarto ao bsico, antes y despus de la intervencin

Como se puede observar en la tabla 3, al comparar las medias de puntajes obtenidos en el subtest de clculo mental de primero bsico, antes de la intervencin con el programa REOPERA y despus de la intervencin con dicho programa, se puede observar un aumento en las medias de 6,5 puntos a 9,31 puntos, con un delta de aumento de 69,82%. Dicho aumento en las medias, al ser analizado con la prueba t de student, nos muestra una significacin bilateral de 0.000, asumindose entonces que, tal como lo indican Hernndez et al. (2003), al ser la significacin menor a 0.05, los grupos son significativamente diferentes y por lo tanto el aumento en un 69,82% es significativo.

Ahora bien, al comparar las medias de puntajes obtenidos en el subtest de clculo mental de segundo bsico, antes de la intervencin con el programa REOPERA y despus de la intervencin con dicho programa, se puede observar un aumento en las medias de 5,4 puntos a 9,87 puntos, con un delta de aumento de 54,71%. Dicho aumento en las medias, al ser analizado con la prueba t de student, nos muestra una significacin bilateral de 0.000, asumindose entonces que, tal como lo indican



Hernndez et al. (2003), al ser la significacin menor a 0.05, los grupos son significativamente diferentes y por lo tanto el aumento en un 51,66% es significativo.

Si luego se observan las medias de puntajes obtenidos en el subtest de clculo mental de tercero bsico, antes de la intervencin con el programa REOPERA y despus de la intervencin con dicho programa, se puede observar un aumento en las medias de 3,48 puntos a 6,14 puntos, con un delta de aumento de 56,67%. Dicho aumento en las medias, al ser analizado con la prueba t de student, nos muestra una significacin bilateral de 0.000, asumindose entonces que, tal como lo indican Hernndez et al. (2003), al ser la significacin menor a 0.05, los grupos son significativamente diferentes y por lo tanto el aumento en un 51,66% es significativo.

Por ltimo si observamos las medias de puntajes obtenidos en el subtest de clculo mental de cuarto bsico, antes de la intervencin con el programa REOPERA y despus de la intervencin con dicho programa, se puede observar un aumento en las medias de 4,88 puntos a 8,82 puntos, con un delta de aumento de 55,32%. Dicho aumento en las medias, al ser analizado con la prueba t de student, nos muestra una significacin bilateral de 0.000, asumindose entonces que, tal como lo indican Hernndez et al. (2003), al ser la significacin menor a 0.05, los grupos son significativamente diferentes y por lo tanto el aumento en un 55,32% es significativo.

En la tabla 4 se presentan los resultados para la comparacin de medias entre grupos femeninos antes y despus de la intervencin, de primero a cuarto ao bsico, a travs de la prueba t de Student:


Primero Bsico 6,63 1,847 9,25 2,493 71,67% 0,005

Segundo Bsico 6,4 2,074 10,4 1,342 61,53% 0,005

Tercero Bsico 3,4 1,834 6,2 1,317 54,83% 0,001

Cuarto Bsico 4,5 1,049 8,67 1,211 51.9% 0,004

Tabla 4. Comparacin de medias de grupos femeninos de primer a cuarto ao bsico, antes y despus de la intervencin

Como se puede observar en la tabla 4, al comparar las medias de puntajes obtenidos en el subtest de clculo mental del grupo femenino de primero bsico, antes de la intervencin con el programa REOPERA y despus de la intervencin con dicho programa, se puede observar un aumento en las medias de 6,63 puntos a 9,25 puntos, con un delta de aumento de 71,67%. Dicho aumento en las medias, al ser analizado con la prueba t de student, nos muestra una significacin bilateral de 0.005, asumindose entonces que, tal como lo indican Hernndez et al. (2003), al ser la significacin menor a 0.05, los grupos son significativamente diferentes y por lo tanto el aumento en un 71,67% es significativo.

Ahora bien, al comparar las medias de puntajes obtenidos en el subtest de clculo mental del grupo femenino de segundo bsico, antes de la intervencin con el programa REOPERA y despus de la intervencin con dicho programa, se puede observar un aumento en las medias de 6,4 puntos a 10,4 puntos, con un delta de aumento de 61,53%. Dicho aumento en las medias, al ser analizado con la prueba t de student, nos muestra una significacin bilateral de 0.005, asumindose entonces que, tal



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como lo indican Hernndez et al. (2003), al ser la significacin menor a 0.05, los grupos son significativamente diferentes y por lo tanto el aumento en un 61,53% es significativo.

Si luego se observan las medias de puntajes obtenidos en el subtest de clculo mental del grupo femenino de tercero bsico, antes de la intervencin con el programa REOPERA y despus de la intervencin con dicho programa, se puede observar un aumento en las medias de 3,4 puntos a 6,2 puntos, con un delta de aumento de 54,83%. Dicho aumento en las medias, al ser analizado con la prueba t de student, nos muestra una significacin bilateral de 0.001, asumindose entonces que, tal como lo indican Hernndez et al. (2003), al ser la significacin menor a 0.05, los grupos son significativamente diferentes y por lo tanto el aumento en un 54,83% es significativo.

Por ltimo si observamos las medias de puntajes obtenidos en el subtest de clculo mental del grupo femenino de cuarto bsico, antes de la intervencin con el programa REOPERA y despus de la intervencin con dicho programa, se puede observar un aumento en las medias de 4,5 puntos a 8,67 puntos, con un delta de aumento de 51,9%. Dicho aumento en las medias, al ser analizado con la prueba t de student, nos muestra una significacin bilateral de 0.001, asumindose entonces que, tal como lo indican Hernndez et al. (2003), al ser la significacin menor a 0.05, los grupos son significativamente diferentes y por lo tanto el aumento en un 51,9% es significativo.

En la tabla 5 se presentan los resultados para la comparacin de medias entre grupos masculinos antes y despus de la intervencin, de primero a cuarto ao bsico, a travs de la prueba t de Student:


Primero Bsico 6,42 1,881 9,42 2,065 68,15% 0,000

Segundo Bsico 4,9 1,595 9,6 2,319 51,04% 0,000

Tercero Bsico 3,55 1,508 6,09 1,640 58,29% 0,002

Cuarto Bsico 5,09 2,071 8,91 1,446 57,12% 0,000

Tabla 5. Comparacin de medias de grupos masculinos de primer a cuarto ao bsico, antes y despus de la intervencin

Como se puede observar en la tabla 5, al comparar las medias de puntajes obtenidos en el subtest de clculo mental del grupo masculino de primero bsico, antes de la intervencin con el programa REOPERA y despus de la intervencin con dicho programa, se puede observar un aumento en las medias de 6,38 puntos a 9,38 puntos, con un delta de aumento de 68,15%. Dicho aumento en las medias, al ser analizado con la prueba t de student, nos muestra una significacin bilateral de 0.000, asumindose entonces que, tal como lo indican Hernndez et al. (2003), al ser la significacin menor a 0.05, los grupos son significativamente diferentes y por lo tanto el aumento en un 68,15% es significativo.

Ahora bien, al comparar las medias de puntajes obtenidos en el subtest de clculo mental del grupo masculino de segundo bsico, antes de la intervencin con el programa REOPERA y despus de la intervencin con dicho programa, se puede observar un aumento en las medias de 4,9 puntos a 9,6 puntos, con un delta de aumento de 51,04%. Dicho aumento en las medias, al ser analizado con la prueba t de student, nos muestra una significacin bilateral de 0.000, asumindose entonces que, tal



como lo indican Hernndez et al. (2003), al ser la significacin menor a 0.05, los grupos son significativamente diferentes y por lo tanto el aumento en un 51,04% es significativo.

Si luego se observan las medias de puntajes obtenidos en el subtest de clculo mental del grupo masculino de tercero bsico, antes de la intervencin con el programa REOPERA y despus de la intervencin con dicho programa, se puede observar un aumento en las medias de 3,55 puntos a 6,09 puntos, con un delta de aumento de 58,29%. Dicho aumento en las medias, al ser analizado con la prueba t de student, nos muestra una significacin bilateral de 0.002, asumindose entonces que, tal como lo indican Hernndez et al. (2003), al ser la significacin menor a 0.05, los grupos son significativamente diferentes y por lo tanto el aumento en un 58,29% es significativo.

Por ltimo si observamos las medias de puntajes obtenidos en el subtest de clculo mental del grupo masculino de cuarto bsico, antes de la intervencin con el programa REOPERA y despus de la intervencin con dicho programa, se puede observar un aumento en las medias de 5,09 puntos a 8,91 puntos, con un delta de aumento de 57,12%. Dicho aumento en las medias, al ser analizado con la prueba t de student, nos muestra una significacin bilateral de 0.000, asumindose entonces que, tal como lo indican Hernndez et al. (2003), al ser la significacin menor a 0.05, los grupos son significativamente diferentes y por lo tanto el aumento en un 57,12% es significativo.

5. Discusin y conclusiones

Respecto del objetivo especfico verificar si el programa de entrenamiento en combinaciones numricas y estrategias de clculo influye en el desarrollo del clculo mental, en funcin de los distintos niveles escolares, se ha visto que desde primer a cuarto ao de enseanza bsica, los grupos mejoraron significativamente sus habilidades de clculo mental, con fluctuaciones delta de entre un 54,71% hasta un 69,82% de mejora. Con ello se verifica que el programa de entrenamiento en combinaciones numricas y estrategias de clculo efectivamente mejora el clculo mental de estudiantes de primer a cuarto ao de enseanza bsica, independiente del curso en s.

Respecto del objetivo especfico verificar si el programa de entrenamiento en combinaciones numricas y estrategias de clculo influye en el desarrollo del clculo mental, en funcin del sexo de los sujetos en estudio, se ha visto que desde primer a cuarto ao de enseanza bsica, tanto los grupos femeninos como los masculinos mejoraron significativamente sus habilidades de clculo mental, con fluctuaciones delta de entre un 51,9% hasta un 71,67% de mejora en las mujeres, y fluctuaciones delta entre un 51,04% hasta un 68,15% de mejora en los hombres. Con ello se verifica que el programa de entrenamiento en combinaciones numricas y estrategias de clculo efectivamente mejora el clculo mental de estudiantes de primer a cuarto ao de enseanza bsica, independiente de la variable sexo.

Es as que, con respecto al objetivo general determinar si un programa de entrenamiento en combinaciones numricas y estrategias de clculo, influye en el desarrollo del clculo mental de estudiantes de primer a cuarto ao de enseanza bsica, se puede verificar que el programa de entrenamiento en combinaciones numricas y estrategias de clculo efectivamente mejora el clculo mental de estudiantes de primer a cuarto ao de enseanza bsica, y que dicha influencia se traduce en mejoras significativas en los resultados obtenidos ante la evaluacin de sus habilidades de clculo mental.

Lo anterior nos lleva a concluir que, ante la pregunta de investigacin es posible mejorar el desarrollo del clculo mental en estudiantes de primer a cuarto ao de enseanza bsica, a partir de un programa de entrenamiento en combinaciones numricas y estrategias de clculo?, se puede responder que efectivamente el programa de intervencin en combinaciones numricas y estrategias de



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clculo REOPERA, es una herramienta de gran utilidad para la mejora del desarrollo del clculo mental en estudiantes de primer a cuarto ao de enseanza bsica, en la Escuela Francisco Zattera F-984 de la Comuna de Laja, confirmando con ello la hiptesis de trabajo planteada en la investigacin.

Ahora bien, quedan pendientes algunas interrogantes. Por ejemplo si se piensa en la variable sexo, es interesante observar cmo los porcentajes de mejora despus de la intervencin, aparentemente son mayores en mujeres que en hombres, pero dado que el objetivo del estudio no era verificar en qu sexo haba mayor influencia, sino simplemente verificar si influa en ambos sexos, sera interesante que dicha variable fuera incluida en estudios posteriores.

Si se piensa ahora en la variable condicin socio-econmica, podremos notar que la mayora de los estudiantes fueron clasificados en condicin socio-econmica baja y, pese a que se suele pensar que los estudiantes de dicha condicin estn ms desaventajados que aquellos de condicin socio-econmica media o alta, sus resultados y mejoras fueron significativos, lo que nos deja la interrogante de si el programa REOPERA influye en la mejora del clculo mental independiente del nivel socio-econmico, o si slo es aplicable a poblacin socio-econmica baja.

Otra interrogante, relacionada con la aplicacin del programa, es la relacionada con el comportamiento de los estudiantes durante las sesiones, el nivel de motivacin que tenan con respecto a actividades matemticas y las posibles necesidades educativas especiales que algunos de los nios pudieran haber presentado. Dado que no se recabaron datos respecto del comportamiento de los nios durante las sesiones, se desconoce si el programa en s es aplicable a grupos de estudiantes en los que haya o no nios con necesidades educativas especiales, alta o baja motivacin por las matemticas o dificultades de comportamiento al interior del aula.

Por ultimo una interrogante que surge del estudio, es si los resultados obtenidos pudieran ser generalizables a otras escuelas con similares caractersticas o, eventualmente, a cualquier escuela del pas. Lo anterior dado que el estudio se realiz slo con estudiantes de la escuela antes mencionada, y no se incorporaron grupos control en el estudio como para poder generalizar un poco ms los resultados.

Sera interesante que estudios futuros incluyeran las variables previamente mencionadas, y es absolutamente sugerible que lo hagan, de tal forma que el programa REOPERA pueda ser validado para otros tipos de poblacin y distintos tipos de nios, as como tambin pensar en el desafo de realizar un estudio ms elaborado y validar el programa, de tal forma de que sea aplicable a cualquier curso de primero a cuarto ao bsico en el pas.

Finalmente, en virtud de los resultados de la investigacin y las conclusiones expuestas, se hace importante y necesario poder reflexionar con respecto a las capacidades matemticas de los nios de escuelas vulnerables, dado que pese a haber sido estudiantes de condicin socio-econmica baja, y con un ndice de Vulnerabilidad Escolar de un 95,6%, se pudo observar resultados y avances significativos en ellos. La magnitud de encontrarse con este tipo de resultados, rompe todos los esquemas y prejuicios que pudieran existir sobre la capacidad de las escuelas con poblaciones de estudiantes ms desfavorecidos, mostrando mediante esta investigacin que, al aplicar las estrategias y metodologas adecuadas de forma sistemtica, se puede generar mejoras en las capacidades de los estudiantes, aunque provengan de sectores vulnerables.



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Emilio Valencia Cifuentes. Departamento de Educacin de la comuna de Laja, Chile, 8 Regin. Nacido en la ciudad de Laja (Chile) el 30 de noviembre de 1985, Psiclogo de la Universidad Santo Toms, con Diplomado en Evaluacin de Aprendizajes del Instituto Iplacex, Posttulo en Reeducacin Psicopedaggica para la Matemtica del Instituto Iplacex, candidato a Magister en Educacin Especial y Psicopedagoga de la Universidad Catlica del Maule. Actualmente psiclogo en el Departamento de Educacin de la Comuna de Laja y adems Docente Universitario en la Universidad Santo Toms, sede Los ngeles, Instituto Los Lagos, sede Los ngeles y el Instituto AIEP, sede Los ngeles. [email protected]



La resolucin de problemas formales y prcticos: un estudio con nios Tee Savi1

Javier Garca Garca (Universidad Intercultural del Estado de Guerrero. Mxico)

Fecha de recepcin: 13 de diciembre de 2012 Fecha de aceptacin: 30 de julio de 2013

Resumen El artculo muestra las estrategias utilizadas por alumnos de sexto grado de primaria al resolver problemas aritmticos, clasificados por el autor en formales y prcticos. El escrito invita a reflexionar a los profesores que atienden a nios de diversas culturas (como los alumnos inmigrantes) y a investigadores que se interesan por estudiar la influencia de la cultura y el contexto del nio en su rendimiento escolar. La investigacin es un estudio de casos; utiliza como instrumentos de recoleccin de datos a los cuestionarios (escritos en castellano) y entrevistas grupales video grabadas (en la lengua materna del estudiante). Los resultados muestran una diferencia en cuanto a las estrategias usadas por los nios en los dos tipos de problemas (formales y prcticos).

Palabras clave Resolucin, estrategias, problemas aritmticos, nios Tee Savi.

Abstract The article show the strategies used by students in sixth grade to solve arithmetic problems, classified by the author in formal and practical. This paper invites to reflection the teachers serving children from diverse cultures (as immigrant students) and researchers interested in studying the influence of culture and context in the child's school achievement. The research is a case study, which uses data collection instruments to questionnaires (written in Spanish) and filmed group interviews (in the student's native language). The results show a difference in the strategies used by children in the two types of problems (formal and practical).

Keywords Solving, strategies, arithmetic problems, children Tee Savi.

1. Introduccin

El presente escrito da cuenta de los resultados obtenidos en una investigacin que responde la pregunta: cules son las estrategias que utilizan los nios Tee Savi de primaria en la resolucin de problemas aritmticos? (Garca, 2012), realizada por el autor. Sin embargo, en este escrito slo se

1 Hace referencia a los nios que pertenecen a la cultura mixteca. Este grupo tnico se distribuye mayormente en los estados de Guerrero, Puebla y Oaxaca (Mxico). Tienen como lengua materna al Tuun Savi (mixteco) y autodenominan a su comunidad como uu Savi (comunidad o pueblo de la lluvia).

La resolucin de problemas formales y prcticos: un estudio con nios Tee Savi J. Garca Garca


reproducen las acciones desarrolladas por nios de sexto grado de primaria (nivel bsico) de una escuela multigrado2.

La investigacin general (Garca, 2012) nace por mltiples motivos. Entre estos que tanto evaluaciones nacionales, como ENLACE3 (2010), y la prctica evaluativa del profesor, se centran mayormente en qu responde el estudiante, informacin sin duda valiosa pero no suficiente, ya que se deja de lado el cmo procede y por qu lo hace as, en la resolucin de problemas. Es posible que esta prctica justifique en parte el bajo rendimiento en Matemticas a nivel primaria, el cual es mayor en poblaciones con diversidad cultural. Esta situacin es preocupante si se considera que Mxico alberga, segn Lpez y Tinajero (2011), cerca de 10 millones de personas hablantes de alguna lengua tnica.

Esta diversidad de culturas y lenguas que cohabitan en Mxico, ha permitido que las autoridades reconozcan al pas como pluricultural, al menos en el discurso oficial (SEP4, 2011a, 2011b); es decir, se acepta la diversidad como un derecho y un recurso que enriquece a toda sociedad y posibilita una educacin para la interculturalidad5. No obstante, en los hechos sigue prevaleciendo el enfoque multicultural en algunas escuelas; es decir, se reconoce dicha riqueza, pero se le considera un obstculo para la integracin de la nacin. Ello trae consigo que en las aulas donde asisten nios que hablan una lengua distinta a la oficial (castellano), la prctica del docente sirva como medio para castellanizarlos. Esto es, que en ciertos salones de clases donde asisten slo nios que hablan una lengua tnica (por ejemplo, los nios Tee Savi), se imparten las clases totalmente en castellano, bajo el argumento de que es la lengua oficial y que los libros de texto6 se presentan en este idioma.

Sin embargo, cabe sealar que otras causas que originan esa prctica castellanizadora es que algunos docentes no dominan la lengua materna del nio (o hablan una variante distinta de la lengua) y por ello, se ven imposibilitados en impartir clases en castellano y en Tuun Savi. Resta reconocer que la prctica castellanizadora es asumida slo por algunos docentes; sin embargo, aquellos que hablan la lengua materna (as como la variante) del nio, buscan implementar en el aula el uso de la lengua materna, pero priorizan la castellana.

Es pertinente sealar que en estas escuelas, los procesos educativos giran en torno al currculo de las primarias hispanas monolinges del pas, donde el libro de texto oficial manejado por la SEP es el principal recurso didctico (Hamel, 2008a: citado en Lpez y Tinajero, 2011). Estos materiales plantean problemas poco familiares para los nios Tee Savi (problemas aritmticos formales). De esta manera, es importante observar las acciones que realiza el estudiante para resolver estos problemas (los formales), pero tambin aquellos que evocan situaciones que le son familiares (problemas aritmticos prcticos), sobre todo, cuando existen estudios que sealan que el contexto juega un papel importante en el desempeo de los alumnos (Carraher, Carraher y Schliemann, 2007; Blanco y Blanco, 2009).

2 En este tipo de escuelas, un solo docente atiende a los seis grados (de primero a sexto grado) que componen el nivel primaria en Mxico.

3 Evaluacin Nacional de Logro Acadmico en Centros Escolares. Es una prueba del Sistema Educativo Nacional aplicada a planteles pblicos y privados de Mxico. Evala el rendimiento de alumnos de primaria y secundaria en distintas disciplinas, entre ellas Matemticas y Espaol.

4 Secretara de Educacin Pblica. 5 Esto significa no slo reconocer la diversidad cultural, sino incorporar plenamente a las poblaciones autctonas

en las decisiones nacionales (Lpez y Tinajero, 2011). 6 Desde hace algunos aos, la Secretara de Educacin Pblica (SEP) ha editado algunos libros en distintas

lenguas tnicas que existen en Mxico; sin embargo, la gran variedad de ellas (lenguas), imposibilita que se utilicen estos materiales en todos los centros escolares por la variante en que se presentan estos materiales.


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Otro motivo que llev a plantear la investigacin general (Garca, 2012), es que no se han ubicado estudios (al menos nacionales) que identifiquen estrategias utilizadas por nios que pertenecen a algn grupo tnico cuando estos resuelven problemas matemticos, esto se observa al revisar trabajos como: Cervera (1998), Carpenter, Fennema, Franke, Levi y Empson (1999), Rizo y Campistrous (1999), Fonte (2003), Massone y Gonzlez (2003), Dorantes (2005), Arteaga y Guzmn (2005), Silva, Rodrguez y Santilln (2009) y Morales (2010.

Finalmente, el escrito invita al profesor a reflexionar sobre su prctica docente, sobre todo cuando en su saln de clases concurren estudiantes de diversas culturas (como los inmigrantes) o al menos de dos culturas: una dominante y una minoritaria, como es el caso de aulas ubicadas en las periferias de las grandes ciudades. En ese sentido, se busca que tomen en cuenta los resultados que presenta este escrito como punto de partida para incorporar al aula de clases las estrategias personales construidas por los alumnos por las actividades extraescolares en las que participan. Asimismo, el escrito aporta algunos elementos de inters para los investigadores que se interesan por el papel que juega el contexto y la cultura del nio en relacin con su rendimiento escolar en la clase de Matemticas, ampliamente estudiado por la etnomatemtica en Brasil y Espaa.

2. La definicin de estrategia y problema

El origen del trmino estrategia est ligado al contexto militar, entendido como el arte de concebir y dirigir operaciones militares a gran escala (Cabaas, 2000). Sin embargo, este concepto fue evolucionando y adquiriendo fuerza en distintas actividades, tanto que fue retomado en el campo educativo por los aos setenta (Barriga y Hernndez, 2010). Desde entonces, juega un rol importante en la prctica docente, tanto en la enseanza-aprendizaje como en la evaluacin. Al respecto, la literatura revisada (Cervera, 1998; Rizo y Campistrous, 1999; Cabaas, 2000; Fonte, 2003; Monereo, Castell, Clariana, Palma y Prez, 2009; Barriga y Hernndez, 2010) que define estrategia, le atribuye distintas caractersticas. Sin embargo, para el propsito que se persigue en este escrito, se tomaron en cuenta algunas precisiones dadas por la literatura revisada, pero al mismo tiempo se incorporan ideas relacionadas con el contexto escolar a donde se dirigi la investigacin, los casos de estudio y la actividad de la resolucin de problemas.

As, estrategia es un conjunto de acciones intencionales, desarrolladas por una persona para resolver cierto problema, permeadas por los conocimientos de que dispone, de su experiencia, de lo afectivo y del contexto social en el que se desenvuelve. La persona podr llegar o no a la solucin del problema, dependiendo o no del anlisis que realice para ello. Por tanto, la estrategia podr ser reflexiva o irreflexiva (Rizo y Campistrous, 1999). Ser irreflexiva, si la persona responde a un proceder prcticamente automatizado, sin que pase por un proceso previo de anlisis u orientacin en el problema, es decir, la va de solucin se asocia a factores puramente externos. En caso contrario, ser una estrategia reflexiva.

De manera similar, la literatura (Rizo y Campistrous, 1999; Cabaas, 2000; Echenique, 2006 y Santos, 2010) que define problema ofrece distintas precisiones acerca del mismo; pero es inexistente una definicin aceptada por toda la comunidad de matemticos educativos. Bajo este estado, en el estudio se plantea una caracterizacin de problema que cumple con ciertos rasgos. Entre estos: es flexible y realista respecto de las condiciones predominantes en el aula y considera de alguna manera las particularidades del contexto uu Savi. As, problema es aquella tarea o situacin que tiene los siguientes componentes:



Existe una demanda o accin a realizar; para la cual existe una persona o un grupo de personas que quieren o necesitan cumplimentarla. La demanda ser adecuada al nivel de formacin de la(s) persona(s).

Hay un proceso por poner en juego para cumplir la demanda, pero que en primera instancia parece desconocido; es decir, re requiere realizar cierto proceso de anlisis para comprender lo que se pregunta y la situacin en general.

La situacin puede tener varios, uno o ningn resultado final, lo cual deber determinar la persona haciendo uso de alguna estrategia.

En el escrito se habla de resolucin de problemas en detrimento de solucin de problemas, dado que el primer trmino alude a todo el procedimiento que lleva a cabo el estudiante para encontrar la respuesta a la situacin que se le plantea, mientras que el segundo se refiere slo al resultado final. En otras palabras, en la resolucin de problemas importa adems de qu responde el alumno, cmo lo hace y por qu procede as, mientras que en la solucin de problemas slo interesa qu responde.

Por otra parte, por problemas aritmticos (PA) se entiende como aquellas situaciones que en su enunciado presenta datos en forma de cantidades y establecen entre ellos relaciones de tipo cuantitativo, cuyas preguntas hacen referencia a la determinacin de una o varias cantidades o a sus relaciones, y que necesitan la realizacin de operaciones bsicas (suma, resta, multiplicacin o divisin) para su resolucin (Echenique, 2006). Segn Echenique, los PA pueden ser: de primer nivel (PN) o de un solo paso (requieren de la aplicacin de una sola operacin bsica para su resolucin e involucran slo nmeros naturales, tanto en su enunciado como en su resolucin), de segundo nivel (SN) o combinados (plantean una situacin cuya resolucin requiere del uso de dos o ms operaciones bsicas e involucran slo nmeros naturales) y de tercer nivel (TN) (estos pueden requerir de una o ms operacin bsica para su resolucin, pero involucran nmeros fraccionarios o decimales).

Asimismo, Echenique ofrece una subclasificacin de los PA (Tabla 1)segn los niveles anteriores. Al respecto, se sealan aquellos problemas que fueron planteados en los instrumentos utilizados para la recoleccin de datos que se reportan en este escrito:

Nivel Subclasificacin Caracterizacin

Primer nivel

Problemas de cambio

En su enunciado incluyen una secuencia temporal, muchas veces manifestada a travs de los tiempos verbales utilizados. Parten de una cantidad inicial (Ci), que se ve modificada en el tiempo, para dar lugar a otra cantidad final (Cf). De las tres cantidades que deben aparecer en el problema (Ci y Cf), dos sern datos y la otra incgnita.

P. de combinacin Describen una relacin entre conjuntos (P1) y (P2) que unidos forman el todo (T). La pregunta del problema hace referencia a la determinacin de una de las partes (P1) o (P2) o del todo (T).

P. de reparto equitativo o de grupos iguales

En su enunciado, una cantidad debe repartirse entre un cierto nmero de grupos, de modo que cada uno reciba la misma cantidad de elementos. Se aporta como informacin: la cantidad a repartir, el nmero de grupos a formar o los elementos por cada grupo. Dos de ellas sern datos y la tercera la incgnita.

P. de producto cartesiano

Se trata de combinar de todas las formas posibles (T), los objetos de un tipo (C1) con los objetos de otro tipo (C2).

Segundo nivel

P. combinados puros

En estos, todos los clculos a realizar para resolver el problema pertenecen al mismo campo operativo-conceptual; es decir, slo sumas y/o restas, o bien multiplicaciones y/o divisiones.

P. combinados mixtos

En su resolucin intervienen distintas operaciones pertenecientes a campos operativo-conceptuales diferentes.

Tabla 1. Subclasificacin de los problemas aritmticos.


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En el estudio tambin se ofrece una distincin entre los problemas aritmticos considerados; a saber, formales y prcticos. Al respecto, se asume que un problema aritmtico es:

Formal: si plantea una situacin cuyo contexto no es familiar para el alumno; es decir, en su enunciado evoca conceptos (por ejemplo, un barco) que resultan ajenos a lo conocido por el nio dado que no es parte de su cotidianidad.

Prctico: si es una situacin cuyo contexto es familiar para el alumno; es decir, evoca slo conceptos conocidos por l. De esta manera, la cuestin planteada en el problema es comprensible en su cultura.

3. Mtodo de investigacin

La investigacin desarrollada es cualitativa (Vasilachis de Gialdino, 2006) y adopta como mtodo de investigacin al estudio de casos (Castillo, 2007). Segn Castillo, este mtodo es empleado para estudiar un individuo o una institucin en un entorno o situacin nica y de una forma lo ms intensa y detallada posible. Asimismo, la investigacin se concibe como descriptiva e interpretativa. Descriptiva porque busc desarrollar una fiel representacin (descripcin) del fenmeno estudiado a partir de sus caractersticas, lo cual pudiera servir para predecir o inferir ciertas hiptesis de lo que sucede con la poblacin de estudio (Grajales, 2000). Interpretativa, porque busc establecer las posibles causas o razones de que afloren ciertas estrategias; es decir, determinar las relaciones de causa y efecto entre los fenmenos estudiados. Finalmente, cabe sealar que el esquema metodolgico que se sigui fue:

Seleccin de los casos de estudio. Diseo de cuestionarios escritos. Validacin de los cuestionarios y anlisis de las observaciones. Rediseo de los cuestionarios (para obtener una versin final) y diseo de la entrevista. Aplicacin de los cuestionarios finales y realizacin de entrevistas. Anlisis de evidencias escritas y orales.

Los casos de estudio fueron 5 nios Tee Savi de 6 grado de la primaria 10 de Octubre del 83, ubicada en una comunidad uu Savi del municipio de Ayutla de los Libres, Guerrero, Mxico. Para la recoleccin de datos, se usaron cuestionarios de respuestas abiertas (escrito en castellano) y de entrevistas grupales video-grabadas (en Tuun Savi).

Para el diseo de cuestionarios escritos, que permitieron recoger las evidencias escritas de las estrategias utilizadas por los nios, se realiz: (a) una revisin de los libros de textos manejados por la SEP (Castillo et al, 2011; Hernndez et al, 2011a y Hernndez et al, 2011b), como apoyo para plantear los problemas aritmticos formales y (b) el diseo y aplicacin de un cuestionario (anexo 1) a los profesores que laboran en dos comunidades uu Savi, para conocer mejor las actividades a las que se dedican los escolares en ellas, como apoyo para plantear los problemas aritmticos prcticos.

La revisin de los libros de texto, se hizo porque es el principal material didctico utilizado por los profesores en el aula de clases y, se crey que las situaciones que plantean, son poco familiares para los alumnos Tee Savi, lo cual se pudo verificar. Para la revisin, se consideraron las siguientes unidades de anlisis (Tabla 2):



Campo de anlisis Unidades de anlisis Propsito

Revisin conceptual

Aprendizaje esperado. Identificar el tratamiento que se da en los libros de texto de los problemas aritmticos y de las operaciones bsicas; as como los significados y estrategias que se ven favorecidas en la presentacin de stos. Asimismo, indagar acerca de las palabras claves asociadas a las operaciones en los distintos problemas que se proponen.

Conocimientos previos demandados. Presentacin del algoritmo de las operaciones bsicas (numrica o pictricamente) Palabras claves asociadas a las operaciones bsicas en los problemas. Ejemplos y problemas (Nivel y tipo de problemas: formales o prcticos). Estrategia que se sugiere implcita o explcitamente en la resolucin de los PA.

Tabla 2. Categoras consideradas en la revisin de libros de texto.

De la revisin de libros de texto, se obtuvo entre otros resultados los siguientes:

En las lecciones donde se plantean problemas aritmticos, siempre se espera que el nio pueda efectuar las operaciones bsicas como conocimiento previo, y en algunos casos, que sea capaz de usar alguna estrategia en la resolucin de problemas.

Se prioriza el trabajo de la resolucin de problemas, en detrimento del trabajo algortmico de las operaciones bsicas.

Las palabras claves asociadas a las operaciones bsicas son: suma (ganar, juntar), resta (descuento, diferencia, sobra, quedar, quitar), multiplicacin (suma de productos, conteo, combinacin, rea, producto, porcentaje) y divisin (reparto, cociente, promedio, razn).

Las estrategias que se ven favorecidas implcita y explcitamente son: clculo mental, apoyo en el dis

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