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N O S I N T E R E S A S A B E R E L N Ú M E R O D E É X I T O S Q U E S U C E D E N E N N I N T E N T O S

J U A N J O S É H E R N Á N D E Z O C A Ñ A

J U A N J O S É H E R N Á N D E Z O C A Ñ A J U J O 3 8 6 @ H O T M A I L . C O M

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

Consiste en todos los valores de una variable aleatoria, junto con sus probabilidades correspondientes

∑ P(x) = 1

para cada valor 0≤ P(x) ≤ 1


DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA BINOMIAL

Variable discreta.- Es aquella que casi siempre asume solamente un conjunto finito de valores y que también toma por lo general sólo valores enteros no negativos.

Tales valores difieren unos de otros en cantidades finitas no infinitesimales.

De manera general podemos decir que pueden asociarse al proceso de conteo

La distribución probabilística discreta más común es la binomial


ENSAYOS DE BERNOULLI

Este modelo probabilístico se basa en que solo cuenta con dos eventos simples en el espacio muestral, por ejemplo:

-Respuestas a Preguntas cerradas en una encuesta como: si o no

-En los procesos de inspección que den como resultado solo dos posibilidades: como defectuoso o no defectuoso ( rayado, roto, etc.)

-Aquellos experimentos que llegan sólo a uno de dos posibles resultados se denominan ensayos de Bernoulli


De manera general podemos denominar a uno de los dos posibles resultados de un solo ensayo de Bernoulli como éxito y al otro fracaso

Para su calculo se requiere convertir estos eventos cualitativos a valores numéricos

El valor de 1 (p) se le asigna al evento éxito

El valor de 0 ( q) se le asigna al evento fracaso

Si una variable w

P (w)

q (0) “ fracaso” 1- p = q

p ( 1) “ éxito” p

TOTAL 1 = p +q J U A N J O S É H E R N Á N D E Z O C A Ñ A J U J O 3 8 6 @ H O T M A I L . C O M

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL

Esta distribución debe cumplir con los siguientes requisitos

1.-Los ensayos deben de ser independientes

2.-En cada intento o ensayo son posibles solo dos resultados. Uno se llamará éxito (p) y otro se llamara fracaso (q)

3.- Las probabilidades deben de mantenerse constantes para cada ensayo, esto es, la probabilidad de éxito (p) no cambia de un intento o ensayo a otro, así también la probabilidad de fracaso no cambia


DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL

Esta distribución debe cumplir con los siguientes requisitos

4.- El experimento consiste en una sucesión de n intentos o ensayos idénticos (tiene un número fijo de ensayos ),

La variable aleatoria es el resultado de conteos, esto es, se cuenta el número de éxitos en el número total de pruebas

Si está presente las condiciones 1-3 tenemos un ensayo de Barnoulli

Si además está presente la condición (4) tenemos un experimento binomial



EXPERIMENTO BINOMIAL

Lo que interesa es el número de éxitos que ocurren en n ensayos


Es un requisito que se considere un muestro con reemplazo

Sí se realiza un muestreo sin reemplazo de una población pequeña no podemos emplear la distribución binomial, porque los eventos no serían independientes

Solo si el tamaño de la muestra no es mayor que 5% del tamaño de la población se pueden considerar como independiente



Reglas de la distribución binomial

Los valores de una distribución deben ser números del intervalo 0 a 1

La suma de todos los valores de una distribución de la probabilidad debe equivaler a 1

Éxito y fracaso denotan las dos categorías posibles de todos los resultados

p es la notación para éxito en cualquier intento

q es la notación para fracaso en cualquier intento

n es el número fijo de ensayos

X es el número específico de éxitos en n ensayos

P(x) es la probabilidad de lograr x éxitos en los n ensayos


Por ejemplo, en las respuestas de una encuesta o en la determinación de defectuoso o no defectuoso en un producto:

La respuesta Si es éxito entonces se denominará como p

La respuesta No se considera fracaso y se denominará como q

La suma de p + q = 1

por ejemplo si la probabilidad de encontrar un defecto ( p) es de 0.04, entonces la probabilidad de encontrar un producto sin defectos es 0.96 ( 1- p)


FUNCIÓN PROBABILÍSTICA BINOMIAL

P(x) = Coeficiente(p éxito)

b( x,n,p) = Cxn ( p)x ( 1 –p) n-x

Donde Cxn es el número de resultados con exactamente x éxitos en

n ensayos

( p)x es la probabilidad de x éxitos en n ensayos

(para la distribución binomial es en cualquier intento)

( 1 –p) n-x es la probabilidad de x fracaso J U A N J O S É H E R N Á N D E Z O C A Ñ A J U J O 3 8 6 @ H O T M A I L . C O M

P(x) = Coeficiente(p éxito) P(X=x/n,p) = Cx

n ( p)x ( 1 –p) n-x

Es la probabilidad de que ocurra x dado una cantidad determinada de n y sus probabilidades asociadas

b(x,n,p) = Cx

n ( p)x ( 1 –p) n-x

x (k en algunos textos) es el número de éxitos

n numero de intentos realizados (“ total de muestra) P probabilidad de éxito


Se considera que la probabilidad de que un cliente compre es de 0.03. Si entran tres clientes, ¿ cuál es la probabilidad de que dos de los tres clientes hagan una compra

1.- espacio muestral ….. Se calcula con una combinación

2.- son eventos independientes, ya que la decisión de compra es independiente, por lo que se calcula la probabilidad asociada a cada uno de ellos

p (p) (q)

p q p

q p p

3.- la formula es una secuencia matemática

Calculamos la probabilidad de un evento y después sumamos , como son eventos independiente no hay intersección.


FUNCIÓN PROBABILÍSTICA BINOMIAL P(x) = Coeficiente(p éxito)

b(x,n,p) = Cxn ( p)x ( 1 –p) n-x

Ejemplo : Si un experimento implica cinco ensayos ( n= 5) y si se considera que la probabilidad de éxito es de 0.3 y la de fracaso es de 0.7. ? Cuál es la probabilidad de tener tres éxitos

X= 3 n = 5 p = 0.3

P(x=3) 5C3 (.3) (.3)(.3) (.7)

P (x=3) = C35 ( 0.3)3 ( 0.7)2 = 0.1323


El cinco por ciento de los engranajes de tornillos producidos por una fresadora se encuentran defectuosos. ¿ Cuál es la probabilidad de que en un muestra de 6 engranajes se encuentren defectuoso?

1.- En exactamente uno

2.- En exactamente tres

Se cumplen las condiciones de la distribución binomial - hay dos posibles resultados; -existe una cantidad fija de pruebas (6) -hay una probabilidad constante de éxito ( 0.05) -las pruebas son independientes


Si se sabe que el 30% de las lámparas incandescentes fabricadas por una compañía LIGHT AB se funde en el primer mes de uso si éstas se dejan encendidas todo el tiempo.

Si se instala en cada uno de los 10 salones una lámpara, ¿ cuál es la probabilidad de que

1.-Se funda 10 lámparas 2.-No se funda ninguna lámpara 3 Se fundan 3 lámparas o menos


Se ha observado que el 30% de la mujeres compran un producto cuando este se encuentra en promoción. Si hoy inicia la barata mensual de la tienda departamental y entran 3 mujeres , ¿cuál es la probabilidad d

Ninguna mujer compre

una compre

dos compren

tres compren


MEDIA Y VARIANZA

media

µ = n p

Varianza

σ2 = npq


Una escuela afirma que el procedimiento para promocionar la inscripción de alumnos es exitosos el 80% de la veces. Si el procedimiento se lleva a cabo 5 veces a la semana, ¿ cuál es la probabilidad de que

1.-Las cinco veces que se lleve el experimento sea exitoso

2.-A lo más dos veces sea exitoso ( a lo más significa que puede ser 0, 1 o 2)

3.- Calcule la media

4.- Calcule la varianza


Un profesor de Estadística quiere aplicar un examen que consta de 5 preguntas de opción múltiple, cada una con cinco respuestas posibles, pero solo una de ellas es correcta. Supongamos que un estudiante quiere adivinar las respuestas y que queremos calcular la probabilidad de que tenga exactamente tres respuestas correctas en las cinco preguntas ?

2.- Calcule la media

3.- Calcule la varianza


EJERCICIO A

Se tienen 5 estudiantes de Psicología, si la probabilidad ( en términos de historial) de que aprueben un examen de confusión múltiple de Estadística, es de 0.5 . Cuál es la probabilidad de que a) 3 de 5 pasen; b) 4 de cinco o c) cinco de cinco aprueben el curso d) calcule la media y la varianza

P ( x = 3) = C53 ( 0.5) 3 (0.5)2 =10/32 = 0.3125

P ( x= 4) = C 54 (0.5)4 (0.5)1 = 5/32 = 0.15625

P ( x= 5) = C55 (0.5) 5 (0.5) 0 = 1/32 = 0.0312


DISTRIBUCIÓN ACUMULADA

∑ Cxn ( p)x ( 1 –p) n-x


DISTRIBUCIÓN ACUMULADA

Función probabilística acumulada

En muchos casos nos interesa conocer la probabilidad de que la variable X sea igual o menor que cierto valor.

Considerando el ejercicio A, donde n= 5 y p = 0.5

Si P ( x= 0) = 0.03125

P ( x= 1) = 0.15625

P ( x= 2) = 0.3125

Si quiero saber cual es la probabilidad de que 2 o menos aprueben , debo considerar que si aprueban 2 es válido, pero si aprueba uno es también valido y si no aprueba ninguno es también válido , ya que me interesa saber : 2 o menos


Y si nos apoyamos en la regla de la adición de la probabilidad. Cuál sería la probabilidad de dos o menos aprueben el curso

Recuerde que teníamos 5 estudiantes ( n)

P ( x≤ 2) = P( X=0) + P (X =1) + P (X= 2)

= 0.03125 + 0.1562 + 0.3125

= 0.50

Y SI MEJOR USAMOS una TABLA

Función probabilística acumulada

Y sí quiero saber si tres o menos aprueban?...0.81

Y sí quiero saber si 4 o menos aprueban?.......0.96


Si es un número específico, usamos tabla no acumulada

Cxn ( p)x ( 1 –p) n-x

Si es más o menos usamos tabla de probabilidades acumuladas

∑ Cxn ( p)x ( 1 –p) n-x

También consideremos la regla de la adición en probabilidad

1 = p + q

p = 1- q

q = 1 - p


Una empresa farmacéutica informa que 30% de sus cuentas por cobrar a otras empresas está vencido. Si un contador toma una muestra aleatoria de 10 de esas cuentas para saber qué cantidad es la que está vencida, determina la probabilidad de que :

Ninguna cuenta esté vencida

dos de las cuentas esté vencida

cuando menos 3 cuentas estén vencidas

a los mas dos cuentas estén vencidas


Una encuesta realizada por TDAmerican encontró que uno de cada cuatro inversionistas dispone de fondos cotizados en bolsa en sus portafolios. Considere una muestra de 20 inversionistas

a) Calcule la probabilidad de que exactamente cuatro inversionistas disponen de los fondos

b) calcule la probabilidad de que por lo menos dos fondos tienen fondos cotizados en la bolsa

c) Si usted encuentra que exactamente 12 inversionistas disponen de fondos cotizados en bolsa¿ dudaría de la exactitud de los resultados de la encuesta?

d) calcule el número esperado de inversionistas que tienen fondos cotizados en bolsa

e) 0.1897; 0.9757; 0.0008 si; 5


En 2001 la mitad de los estadounidenses consideraba que el país atravesaba por una recesión . Si tiene una muestra de 20 estadounidenses

a) Estime la probabilidad de que exactamente 12 personas creían que el país pasaba por una recesión

b) calcule la probabilidad de que no mas de cinco personas creían que el país pasaba por una recesión

c) ¿ cuántas personas esperaría que dijeran que el país pasaba por una recesión?

d) calcule la varianza y la desviación estándar del número de personas que creía que le país pasaba por una recesión

e) calcule la posibilidad de que 5 personas exactamente no creía que le país pasaba por una recesión económica


Un jefe de área de producción sabe que el 5% de las piezas producidas en ciertos proceso de fabricación tiene algún defecto. SI Se examinan 6 de estas piezas, ¿Cuál es la probabilidad de que

Ninguna de las piezas esté defectuosa

Dos de las piezas estén defectuosas

tres o mas de las piezas estén defectuosas


EJERCICIO

Supóngase que el 70% de todos los pacientes que han tomado terapia con alumnas de psicología han mostrado resultados satisfactorios . ? Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 25 pacientes que han tomado terapia con alumnas de psicología en este año

a.-20 muestren resultados satisfactorios?

b.-.-15 muestren resultados satisfactorios

c.- 25 muestren resultados satisfactorios

P = 0.7 de éxito y n = 25

a.- X= 20 = p(x)= 0.10302

b.-.-X= 15 , p(x)= 0.0916

C.- X= 25 , = 0.00013


De los empleados de una empresa, el 40% está a favor de la representación sindical y resto en contra. Si se toma una muestra aleatoria de 10 empleados, ¿cuál es la probabilidad de que:

Cinco de los empleados estén a favor de la representación sindical

Los diez empleados estén a favor de la representación sindical

Cuando menos OCHO estén a favor de la representación sindical

Dos o menos estén en contra de la representación sindical.


EJERCICIO

Supóngase que el 20 % de todos los pacientes que han tomado terapia con alumnas de psicología han mostrado resultados satisfactorios . ? Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 25 pacientes que han tomado terapia con alumnas de psicología en este año

a.-7 muestren resultados satisfactorios?

b.-.-10 muestren resultados satisfactorios

c.- 15 muestren resultados satisfactorios

P = 0.2 de éxito y n = 25

a.- X= 7 = p(x)= 0.11084

b.-.-X= 10 , p(x)= 0.01178

C.- X= 15 , = 0.00001


Un estudiante presenta un examen de verdadero o falso con 15 preguntas. Si trata de adivinar todas las preguntas , ¿cuál es la probabilidad de que obtenga

13 respuestas correctas ?

p(x) =0.0032

8 respuestas correctas

P(x)= 0.196

15 respuestas correctas

P(x) = 0.00003


EJERCICIO

En un distrito electoral , el 20% de los votantes está con contra de la ley de permitir la eutanasia y el resto está a favor. Si usted realiza una encuesta y elige al azar cinco votantes de ese distrito. ¿ Cuál es la probabilidad de que:

Ninguno de ellos esté a favor de la ley

Todos estén a favor de la ley… ninguno está en contra.

Uno esté en contra de la ley


Se ha determinado que un suero tienen una efectividad del 50% para curar ciertas enfermedades. Cuál es la probabilidad de que en un muestra aleatoria de 15 pacientes que tienen la enfermedad, se curen:

a) 4 b) 5 c) 6 d) de 4 a 6 pacientes P ( x= 4) = 0.04166

P( x= 5) = 0.09164

P (x = 6) = 0.15274

P( 4≤X≤6) = 0.041+ 0.09+ 0.15= 0.28604


EJERCICIO D1

Una prueba contiene 15 preguntas falso o verdadero. Si un estudiante contesta adivinando, entonces cual sería la probabilidad de: Que conteste correctamente 13

5 o menos

A.- sin n = 15 x= 13 p= 0.5 ver tabla B = 0.0032

B.- P (X ≤5) y n = 15 p= 0.5 Tabla C= 0.15088

y si quiero saber si son 13 o más ( cuando menos 13)

No tengo tabla pero puedo calcularla mediante sus datos individuales

p = 0.00370


Cierta medicina tiene una efectividad del 50%. Sea x el número de pacientes curados en una muestra de 20 pacientes

Cuál es la probabilidad de que 15 se curen

Cuál es la probabilidad de que 15 o menos se curen

15 o más pacientes se curen

A.-p (x =15) se busca en tabla B y el resultado es 0.01479

B.- P( X≤15) X= 15 P= 0.5 N= 20

Se busca en tabla C = 0.9940

C.- P ( X≥ 15) Se busca en tabla C , pero como x≤ 14 y se resta a 1

1- 0.97930 = 0.0207


Una empresa farmacéutica informa que 30% de sus cuentas por cobrar a otras empresas está vencido. Si un contador toma una muestra aleatoria de 5 de esas cuentas para saber qué cantidad es la que está vencida, determina la probabilidad de que :

Ninguna cuenta esté vencida

dos de las cuentas esté vencida

cuando menos 3 cuentas estén vencidas

a lo mas dos cuentas estén vencidas


La probabilidad de que un paciente se recupere de una enfermedad cardiaca es del 0.4. S i se sabe que 15 empleados tienen problemas cardíacos, ¿cuál es la probabilidad de que

1.- sobrevivan al menos 10?

2.- sobreviva de 3 a 8

3.- sobrevivan exactamente 5


De acuerdo con reportes del sistema de agua del estado, se sabe que hay impurezas en un 30% de los pozos de agua potable. Se toma una muestra aleatoria de 10 pozos para verificar dicha aseveración , ¿cuál es la probabilidad de que

1.- tres pozos tengan impurezas

2.- más de tres pozos tengan impurezas

3.- cuál es el promedio de pozos con impurezas?


Para potencia recíproca


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