Musica Computacional

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RODRIGO F. C ´ ADIZ INTRODUCCI ´ ON A LA M ´ USICA COMPUTACIONAL

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RODRIGO F. CADIZ

A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

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CADIZ, R.

A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

Cap tulo 0

Pr ologo

La era computacional y la m usica estuvieron por mucho tiempo distanciadas debido a la gran cantidad de espacio de memoria que la m usica requiere para ser almacenada y procesada. Con el aumento de las capacidades de memoria de los computadores, la m usica comenz o r apidamente un desarrollo vertiginoso transform andose, hoy en d a, junto al mundo audiovisual en las actividades predilectas en el uso del computador. En efecto, en las u ltimas d ecadas son m ultiples los softwares, las herramientas y las investigaciones que giran en torno a la actividad musical tanto en los terrenos del registro sonoro, como en el ambito creativo y en el area de la reproducci on. Tanto profesionales como acionados recurren al computador para manipular informaci on musical pero siempre con la sensaci on de que aprovechan s olo un m nimo porcentaje de las capacidades de los softwares o herramientas disponibles. El libro que tiene en sus manos constituye el m as importante aporte en lengua espa nola para acercar a los interesados a la tecnolog a digital disponible. Desde la terminolog a b asica, pasando por los principios ac usticos del sonido hasta la psicoac ustica, desde la noci on de audio digital, su procesamiento hasta su aplicaci on en la m usica electroac ustica constituyen el contenido de esta publicaci on dirigida a m usicos, ingenieros, f sicos y amantes de la tecnolog a aplicada a la m usica. El sonido es la materia prima, dispuesta en el tiempo, de la m usica. Por lo tanto, su estudio y conocimiento por parte todo aquel que se interesa en ella, es fundamental. La dicultad de conseguir literatura en torno al sonido y sobre todo en el ambito digital hac a dif cil el acceso a la informaci on necesaria, general y preferentemente en ingl es, para todos los usuarios de tecnolog a aplicada al mundo musical. i

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CAP ITULO 0. PROLOGO

Con este libro, el mundo t ecnico y conceptual del sonido digital queda al alcance de todos de una manera ordenada y sistem atica cubriendo en detalle cada uno de los diversos aspectos tratados sin perder de vista, en ning un momento, las nociones b asicas que permiten la comprensi on profunda de los fen omenos y posibilidades de la era digital. Su autor, Rodrigo C adiz, en su doble condici on de ingeniero y compositor ha puesto a nuestra disposici on una informaci on amplia, de enfoques m ultiples que recorren lo t ecnico esencial hasta lo art stico creativo. De este modo, esta publicaci on se transforma en lectura obligada para m usicos profesionales o no, interesados en la vinculaci on de la tecnolog a actual y la m as antigua y misteriosa de las artes: la m usica. Inefable, inescrutable, inenarrable, m agica y misteriosa arte que, nalmente ha sido atrapada, registrada y reproducida con la mayor de las delidades por las ciencias y tecnolog as del sonido digital. Aceptemos esta invitaci on a conocer este nuevo mundo de la mano de un autor atento y multidisciplinario que nos permite, en nuestra propia lengua, acercarnos y resolver nuestras inquietudes en torno a la m usica y la computaci on. Alejandro Guarello Santiago de Chile, Junio de 2008

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Cap tulo 0

Prefacio

Los computadores sin duda han cambiado nuestra forma de relacionarnos con el mundo externo. Espec camente en el ambito de la m usica, los computadores permiten explorar nuevas posibilidades sonoras, crear nuevas formas de composici on y nuevas aproximaciones a la interpretaci on musical. Las posibilidades musicales que nos ofrece la tecnolog a computacional son pr acticamente innitas. El prop osito de este libro es introducir a estudiantes de m usica, f sica o ingenier a, artistas, int erpretes y compositores al extenso mundo de la m usica computacional y electroac ustica. Originalmente, este libro est a pensado como un texto de apoyo para un curso b asico de m usica computacional de uno o dos semestres de duraci on, pero perfectamente puede utilizarse fuera de un curso formal. El libro est a divido en siete cap tulos, cada uno de los cuales se enfoca a un tema espec co. El primer cap tulo expone los conceptos b asicos de la teor a de se nales y sistemas, incluyendo conceptos claves como la representaci on en frecuencia y la transformada de Fourier, adem as de introducir algunos conceptos matem aticos imposibles de evitar al adentrarse en este intenso mundo. Dado que un computador permite dise nar sonidos con un m aximo nivel de detalle y precisi on, es muy relevante para esta disciplina el conocer en profundidad el fen omeno sonoro. No s olo es importante estudiar como se comporta el sonido en el mundo f sico, sino tambi en como es percibido en la cabeza de cada auditor. Esto se divide en dos cap tulos: el segundo cap tulo estudia el fen omeno del sonido en su aspecto f sico y el tercero desde el punto de vista perceptual. El computador es por naturaleza digital, lo que hace necesario conocer las propiedades de las se nales de audio digitales que el computador es capaz de iii

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CAP ITULO 0. PREFACIO

generar y manipular. Esto se aborda en el cap tulo cuarto, en conjunto con el estudio del computador y su uso en sistemas de audio. El quinto cap tulo se enfoca en la s ntesis digital de sonidos, exponiendo sus fundamentos, formas de clasicaci on y los principales m etodos de s ntesis utilizados. En el sexto cap tulo se estudia el procesamiento digital de audio, con un especial enfasis en la teor a e implementaci on de los ltros digitales. Para nalizar, se incluye un cap tulo, el s eptimo y u ltimo, en el cual se presentan las principales bases perceptuales, composicionales y anal ticas de la llamada m usica electroac ustica, la cual en la actualidad se realiza en su gran mayor a gracias a la tecnolog a computacional. Se incluyen tambi en varios anexos con ejemplos de c odigo realizados en SuperCollider, una de las aplicaciones para s ntesis y procesamiento digital de sonidos m as utilizadas, poderosas y vers atiles disponibles en la actualidad. Estos ejemplos complementan las materias presentadas en los distintos cap tulos y permiten llevar a la pr actica de forma inmediata mucho de los conceptos presentados en el libro. Este libro tuvo sus or genes en una serie de apuntes parcialmente nanciados por la Fundaci on Andes, a trav es de su Beca de Creaci on e Investigaci on Art stica, en el a no 2000. La actual versi on ha sido posible gracias al apoyo del Fondo de Desarrollo de la Docencia (FONDEDOC), de la Vicerrector a Acad emica de la Ponticia Universidad Cat olica de Chile. Quisiera agraceder el aporte de mi ayudante Jorge Forero, qui en realiz o muchas de las tablas y guras presentes en el libro y del Dr. Gary Kendall, quien fuera mi profesor gu a y mentor en muchas de las materias tratadas en este libro, y en cuyos apuntes se basan muchos de las guras y ejemplos de c odigo SuperCollider que se pueden encontrar en el libro. Tambi en quisiera agradecer a Alejandro Guarello, por su apoyo constante en este proyecto. Rodrigo F. C adiz, Ph.D. Santiago de Chile, Abril de 2008

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Indice general

Pr ologo Prefacio 1. Se nales y sistemas 1.1. Se nales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Naturaleza de las se nales . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Sinusoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4. Relaci on entre sinusoides y exponenciales . . . 1.2. Series y transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. DFT y FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Diagramas en la frecuencia . . . . . . . . . . . 1.3. Otras se nales importantes . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Clasicaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Respuesta al impulso y respuesta de frecuencia 2. El sonido 2.1. Ondas de sonido . . . 2.2. Fuentes sonoras . . . . 2.3. Medici on del sonido . 2.4. Amplitud e intensidad

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vi 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. Frecuencia . . . . . . . Fase . . . . . . . . . . Forma de onda . . . . Representaci on gr aca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INDICE GENERAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 27 27 28 31 31 31 32 32 32 33 36 39 39 40 41 41 43 45 46 48 53 54 57 59 63 63 66 68 72 73 75 76 78 81 82

3. Psicoac ustica 3.1. Conceptos b asicos . . . . . . . . . . . . 3.1.1. M nima diferencia notoria . . . . 3.1.2. Ley de Weber . . . . . . . . . . . 3.1.3. Modos de percepci on . . . . . . . 3.2. El sistema auditivo humano . . . . . . . 3.2.1. El o do . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Membrana basilar . . . . . . . . 3.2.3. C elulas auditivas . . . . . . . . . 3.2.4. El cerebro auditivo . . . . . . . . 3.3. Bandas cr ticas y enmascaramiento . . . 3.3.1. Escala de Barks y ERB . . . . . 3.3.2. Enmascaramiento . . . . . . . . . 3.3.3. Midiendo la banda cr tica . . . . 3.4. Intensidad perceptual (loudness) . . . . 3.4.1. Escala de fonos y escala de sonos 3.5. Altura (pitch) . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Escala de mels . . . . . . . . . . 3.6. Timbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Consonancia y disonancia . . . . . . . . 3.8. Codicaci on perceptual de audio . . . .

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4. Audio digital 4.1. An alogo versus digital . . . . . . . . . . . 4.1.1. Muestreo . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Cuantizaci on . . . . . . . . . . . . 4.2. Sistema binario . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. El computador . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Programaci on de computadores . . . . . . 4.5. Sistema operativo y sistema de archivos . 4.6. Uso del computador en sistemas de audio 4.7. Software para m usica computacional . . . 4.8. MIDI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CADIZ, R.

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INDICE GENERAL 5. S ntesis digital de sonidos 5.1. Clasicaci on . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Evaluaci on . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Osciladores . . . . . . . . . . . 5.3.2. Tabla de ondas . . . . . . . . . 5.3.3. Envolventes . . . . . . . . . . . 5.4. S ntesis aditiva . . . . . . . . . . . . . 5.5. S ntesis substractiva . . . . . . . . . . 5.6. Modulaci on . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1. Modulaci on Ring . . . . . . . . 5.6.2. S ntesis AM . . . . . . . . . . . 5.6.3. S ntesis FM . . . . . . . . . . . 5.7. S ntesis granular . . . . . . . . . . . . 5.8. Modelos f sicos . . . . . . . . . . . . . 5.9. Modelos espectrales . . . . . . . . . . 5.9.1. Phase vocoder . . . . . . . . . 5.9.2. S ntesis de formantes . . . . . . 5.10. Modelos basados en part culas . . . . . 5.11. Modelos basados en din amica no lineal 5.12. S ntesis basada en complejidad . . . . 6. Procesamiento digital de audio 6.1. Filtros digitales . . . . . . . . . . . 6.1.1. Ecuaci on de diferencias . . 6.1.2. Funci on de transferencia . . 6.1.3. Respuesta de frecuencia . . 6.1.4. Respuesta de fase . . . . . . 6.1.5. Diagramas de polos y ceros 6.1.6. Filtros de primer orden . . 6.1.7. Filtros de segundo orden . . 6.2. Filtros FIR . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. Dise no de ltros FIR . . . . 6.3. Filtros IIR . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1. Dise no de ltros IIR . . . . 6.3.2. Transformada Z bilinear . . 6.4. Filtros bi-cuadr aticos . . . . . . . . 6.5. Filtros comb . . . . . . . . . . . . . 6.5.1. Phasing y anging . . . . . 6.6. Ecualizador . . . . . . . . . . . . . CADIZ, R.

vii 85 85 89 91 91 92 93 95 96 98 99 99 101 102 103 104 104 105 106 106 107 109 109 110 111 112 113 116 118 118 120 121 121 122 123 124 124 126 126

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viii 6.7. Compresi on . . . . . . . . . . . 6.8. Reverberaci on . . . . . . . . . . 6.8.1. Reverberaci on articial 6.9. Otros efectos . . . . . . . . . . 6.9.1. Chorus . . . . . . . . . 6.9.2. Wah wah . . . . . . . . 6.9.3. Delay . . . . . . . . . . 6.10. Procesador de efectos gen erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7. La m usica electroac ustica 7.1. Caracter sticas de la m usica electroac ustica . . . . . . . 7.1.1. Material sonoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2. Ausencia de notaci on y representaci on abstracta 7.1.3. Composici on y an alisis . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.4. Composici on e improvisaci on . . . . . . . . . . . 7.1.5. M usica electroac ustica y su signicado . . . . . . 7.2. Estrategias auditivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1. Audici on musical . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2. Modos Schaeerianos de audici on . . . . . . . . . 7.2.3. Audici on de fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.4. Audici on reducida . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.5. Modos auditivos de Smalley . . . . . . . . . . . . 7.2.6. Conductas auditivas de Delalande . . . . . . . . 7.3. Percepci on de la m usica electroac ustica . . . . . . . . . 7.3.1. Enfoque ecol ogico . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2. Paisajes sonoros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3. Autocentricidad y alocentricidad . . . . . . . . . 7.3.4. Sustituci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Estrategias anal ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1. Objetos sonoros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2. Espectromorfolog a . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.3. Arquetipos morfol ogicos, modelos y cadenas . . . 7.4.4. An alisis basado en conductas auditivas . . . . . . 7.4.5. El sonograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.6. An alisis narrativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CADIZ, R.

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A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

INDICE GENERAL A. Ejemplos en SuperCollider A.1. SuperCollider: introducci on . . . . . . . . . . A.2. SuperCollider: el lenguaje . . . . . . . . . . . A.3. SuperCollider: Unidades generadoras . . . . . A.4. SuperCollider: Envolventes . . . . . . . . . . A.5. SuperCollider: SynthDefs . . . . . . . . . . . A.6. SuperCollider: Modulaci on . . . . . . . . . . . A.7. SuperCollider: S ntesis granular . . . . . . . . A.8. SuperCollider: Patrones . . . . . . . . . . . . A.9. SuperCollider: Filtros bi-cuadr aticos . . . . . A.10.SuperCollider: Compresi on . . . . . . . . . . A.11.SuperCollider: Reverberaci on . . . . . . . . . A.12.SuperCollider: Procesador de efectos gen erico

ix 157 157 160 167 175 180 185 200 201 207 216 225 238

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INDICE GENERAL

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A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

Indice de guras

1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9.

Ejemplo gr aco de una se nal . . . . . . . . . . Ejemplos de se nales continuas y discretas . . . Ejemplos de ondas peri odica y aperi odica . . . Funciones seno y coseno . . . . . . . . . . . . . Funci on exponencial . . . . . . . . . . . . . . . El plano complejo . . . . . . . . . . . . . . . . Suma de se nales arm onicas . . . . . . . . . . . La serie arm onica . . . . . . . . . . . . . . . . . Representaci on en el tiempo y en la frecuencia se nales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10. Otras se nales importantes . . . . . . . . . . . . 1.11. Diagrama de un sistema . . . . . . . . . . . . . 1.12. Respuesta al impulso . . . . . . . . . . . . . . .

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2.1. Rarefacci on y compresi on en una onda sonora . . . . . . . . . 2.2. Intensidad vs distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. El o do humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respuesta de frecuencia del canal auditivo . . . . . . Secci on del o do interno . . . . . . . . . . . . . . . . Secci on perpendicular de la c oclea . . . . . . . . . . La membrana basilar desenrrollada . . . . . . . . . . Patrones de vibraci on en la membrana basilar . . . . Esquema del organo de corti, que contiene las c elulas vas o ciliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . auditi. . . . .

xii

INDICE DE FIGURAS 3.8. Esquema de las bandas cr ticas del sistema auditivo humano . 3.9. Banco de ltros auditivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10. Enmascaramiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11. Medici on de la banda cr tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12. Enmascaramiento simult aneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13. Enmascaramiento hacia atr as . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14. Enmascaramiento hacia adelante . . . . . . . . . . . . . . . . 3.15. Umbrales de audibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.16. Contornos de intensidad perceptual, norma ISO 226 . . . . . 3.17. Pitch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.18. Espectro de un tono de Shepard . . . . . . . . . . . . . . . . 3.19. Demostraci on de la existencia del tono virtual . . . . . . . . . 3.20. Altura e intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.21. Altura y duraci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.22. Altura y duraci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.23. Trayectoria de arm onicos en la trompeta . . . . . . . . . . . . 3.24. Esquema de un codicador perceptual de audio . . . . . . . . 4.1. Se nal an aloga versus digital . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Digitalizaci on de una se nal an aloga . . . . . . . . . . . . 4.3. Algunas funciones de ventanas . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Muestreo de una se nal digital . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Aliasi on en el dominio de la frecuencia . . . . . . . . . . 4.6. Aliasi on en el dominio del tiempo . . . . . . . . . . . . . 4.7. Proceso de cuantizaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Cuantizaci on de una se nal anal ogica . . . . . . . . . . . 4.9. Error de cuantizaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10. Dithering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11. Estructura b asica de un computador . . . . . . . . . . . 4.12. Sistemas Operativos m as utilizados . . . . . . . . . . . . 4.13. Sistemas computacionales de audio . . . . . . . . . . . . 4.14. Uso del computador por parte de los compositores . . . 4.15. Familia de los programas de s ntesis de sonidos . . . . . 4.16. Softwares de m usica m as utilizados en los a nos noventa 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. Oscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Se nales b asicas com unmente utilizadas en osciladores Tabla de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algoritmo de un oscilador digital de sonidos . . . . . Envolvente de amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 43 43 44 44 45 45 46 47 50 51 52 53 53 54 57 60 64 65 66 67 69 69 70 70 71 71 73 77 79 80 81 82 91 92 92 93 94

CADIZ, R.

A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

INDICE DE FIGURAS 5.6. Envolventes para distintas din amicas . . . . . . . . . 5.7. Envolvente ADSR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. Proceso de generaci on de envolventes . . . . . . . . . 5.9. Suma de se nales simples para generar una compleja . 5.10. S ntesis aditiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11. S ntesis substractiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12. Conguraci on de ltros en la s ntesis substractiva . . 5.13. Modulaci on ring o anillo . . . . . . . . . . . . . . . . 5.14. Espectro de la modulaci on ring . . . . . . . . . . . . 5.15. S ntesis AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.16. Espectro de la modulaci on AM . . . . . . . . . . . . 5.17. S ntesis FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.18. Espectro de la modulaci on FM . . . . . . . . . . . . 5.19. Grano sonoro sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . 5.20. Grano sonoro de ruido blanco . . . . . . . . . . . . . 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. 6.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xiii 94 94 95 96 97 97 98 99 99 100 101 101 102 103 103 109 110 112 113 114 114 115 117 117 118 119 119 119 120 122 124 125 125 127 128 129

Un ltro como una caja negra . . . . . . . . . . . . . . . . . . Filtrado versus no ltrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respuestas de frecuencia t picas . . . . . . . . . . . . . . . . . Respuesta de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respuestas de fase lineales versus no lineales . . . . . . . . . Retraso de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fase desenrrollada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El plano z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estimaci on de la respuesta de amplitud mediante un diagrama de polo y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10. Estimaci on de la respuesta de fase mediante un diagrama de polo y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11. Filtro de primer orden de un cero . . . . . . . . . . . . . . . . 6.12. Filtro de primer orden de un polo . . . . . . . . . . . . . . . . 6.13. Filtro de segundo orden de dos polos y dos ceros . . . . . . . 6.14. Esquema de implementaci on de un ltro FIR . . . . . . . . . 6.15. Esquema de implementaci on de un ltro IIR . . . . . . . . . . 6.16. Filtro comb no recursivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.17. Filtro comb recursivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.18. Respuesta de amplitud de un ltro comb . . . . . . . . . . . . 6.19. Dos curvas de ecualizaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.20. Funciones de compresi on a distintas tasas . . . . . . . . . . . 6.21. Correcci on autom atica de ganancia . . . . . . . . . . . . . . .

CADIZ, R.

A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

xiv

INDICE DE FIGURAS

CADIZ, R.

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Indice de cuadros

2.1. Tabla de intensidades sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Escala de Barks, para estimaci on de las bandas cr ticas del sistema auditivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Razones entre intervalos musicales . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Representaci on num erica en distintos sistemas . . . . . . . . . 5.1. Taxonom a de las t ecnicas de s ntesis digital de sonidos . . . .

26

42 58 72 88

xv

xvi

INDICE DE CUADROS

CADIZ, R.

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Cap tulo 1

Se nales y sistemas

El sonido es fundamentalmente una se nal, que conlleva informaci on de tipo ac ustica. Todos los tipos de se nales, sean estas naturales o articiales, tienen caracter sticas comunes que hacen posible su estudio en forma independiente de su naturaleza. Por lo general, las se nales son procesadas o modicadas por sistemas. En el caso de la m usica computacional, el computador genera o modica una se nal ac ustica digitalizada, por lo tanto se comporta como un sistema. En este cap tulo se presentan los conceptos b asicos de la teor a de se nales y sistemas, los cuales resultan fundamentales para entender y estudiar como una se nal de audio puede ser modicada o creada en el computador de las m as diversas maneras, con el objetivo nal de generar m usica.

1.1.

Se nales

Una se nal, en forma simplicada, se puede entender como cualquier mecanismo que es empleado para transmitir informaci on [15]. Algunos ejemplos de se nales son: un faro, ondas electromagn eticas enviadas por un radar, se nales de humo, una onda de sonido viajando por el aire o las ondas de la actividad del cerebro captadas por un electrocardiograma. Desde un punto de vista matem atico, una se nal es una variable de una o m as dimensiones que toma valores de acuerdo a otra variable, como por ejemplo el tiempo en el caso del sonido o el espacio en el caso de im agenes. Matem aticamente, da exactamente lo mismo si la dependencia es temporal o espacial, ya que en ambos casos las se nales de tratan de igual manera y s olo importa la funci on que modela su comportamiento. 1

2

CAP ITULO 1. SENALES Y SISTEMASy=f(x) 3 2 1 Seal (y) 0 1 2 3 1

0.5 0 0.5 Variable independiente(x)

1

Figura 1.1: Ejemplo gr aco de una se nal En el caso de las se nales ac usticas, es com un utilizar la letra t para designar a la variable independiente, que corresponde al tiempo, y la letra y para designar a la se nal, o variable dependiente. La relaci on que dene el comportamiento de la se nal con respecto a la variable independiente corresponde a una funci on que usualmente se denomina por la letra f. Por lo tanto la ecuaci on: y = f (t) (1.1)

simplemente signica que y depende del tiempo de acuerdo a la funci on f. La gura 1.1 muestra una representaci on gr aca de una se nal en funci on de dos variables, y y t. La forma o morfolog a de la funci on f es lo que determina la informaci on contenida en la se nal.

1.1.1.

Naturaleza de las se nales

Las se nales son de distinta naturaleza. Una se nal puede ser, por ejemplo, una onda de presi on viajando por el aire producida por la voz de un cantante en alg un escenario cercano. En este caso claramente la se nal es de tipo f sico, es decir involucra atomos, mol eculas y otras part culas f sicas. Sin embargo, CADIZ, R. A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

1.1. SENALES

3

una se nal puede no tener relaci on con alg un fen omeno f sico. Un ejemplo de esto es el valor del ndice de acciones de la bolsa de comercio, que cambia todos los d as, pero s olo corresponde a un valor num erico, sin relaci on con el mundo f sico. Si una se nal toma valores en forma continua, es decir, si para todos los valores de la variable independiente existe un valor para la variable independiente, se habla de que la se nal es continua. Un ejemplo de esto es la se nal de temperatura que entrega un term ometro en el tiempo. El term ometro siempre est a marcando alguna temperatura y cualquier persona puede leer la posici on de la barra de mercurio ahora, o en una mil esima de segundo despu es o en un a no m as y el term ometro siempre entregar a un valor a menos que est e roto. Por el contrario, si una se nal toma valores s olo para algunos valores de la variable independiente, se habla de una se nal discreta. Por ejemplo, la luz roja de un sem aforo s olo se enciende durante algunos instantes de tiempo en forma c clica.Seal Continua 4 3 2 Seal (y)Seal (y) 4 3 2 1 0 1 2 3 Seal Discreta

1 0 1 2 3 4 1 0.5 0 0.5 Variable independiente(x) 1

4 1

0.5 0 0.5 Variable independiente(x)

1

(a) Se nal continua

(b) Se nal discreta

Figura 1.2: Ejemplos de se nales continuas y discretas Un computador no funciona en forma continua sino en intervalos regulares de tiempo y por ende, s olo maneja en forma interna se nales digitales. Para digitalizar una se nal es necesario discretizarla. Es decir, tomar muestras a intervalos regulares de la se nal anal ogica original y guardar estas muestras. Este proceso se conoce como, digitalizaci on, muestreo o sampleo y ser a abordado en profundidad en el cap tulo 4. Se puede adelantar aqu que CADIZ, R. A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

4

CAP ITULO 1. SENALES Y SISTEMAS

la calidad de la se nal discreta depende de la frecuencia a la cual se muestrea la se nal original. La gura 1.2 muestra dos se nales: una continua y otra discreta. Se puede observar all que ambas tienen la misma forma, en el sentido que tienen la misma envolvente. En efecto, la se nal de la derecha corresponde a la se nal de la izquierda discretizada. La u nica informaci on que esta se nal contiene es el valor de la amplitud para cada una de las muestrasen esos instantes de tiempo. En una primera observaci on da la impresi on que la se nal muestreada pierde informaci on respecto de la se nal original ya que no almacena ning un tipo de informaci on entre las muestras. Sin embargo, esto no ocurre si es que la frecuencia de muestreo es lo sucientemente alta para asegurar la calidad del proceso de digitalizaci on. Esto se explica en detalle en la secci on 4.1.1. Tambi en las se nales pueden variar de acuerdo a su periodicidad. En la gura 1.3 se aprecian dos formas de onda distintas. En la primera de ellas, se aprecia que la onda est a compuesta de patrones repetitivos, mientras que la segunda posee una forma que parece ser aleatoria, sin un comportamiento denido. En el caso de la primera forma de onda, se dice que corresponde a una onda peri odica, es decir, que se repite cada cierto tiempo. En el caso de la segunda, se habla de una forma de onda aperi odica , pues no sigue un patr on determinado de repetici on. Una se nal peri odica f (x) es una que cumple la siguiente relaci on: f (x) = f (x + T ) (1.2)

donde T se conoce como el per odo de la se nal. En cambio, para una se nal aperi odica, no existe ninguna variable T que cumpla la relaci on anterior. En el caso de un onda peri odica, el patr on que se repite corresponde a un ciclo . La duraci on de cada uno de los ciclos de una onda se conoce como per odo y corresponde a la variable T de la ecuaci on 1.2. La tasa a la cual los ciclos de una onda peri odica se repiten se conoce como frecuencia y por lo general se mide en ciclos por segundo o Hertz (Hz) si la variable independiente corresponde al tiempo. Matem aticamente, la frecuencia es el inverso del per odo, por lo tanto un per odo de 1 ms (milisegundos) tiene una frecuencia de 1000 Hz. En las se nales aperi odicas no se presentan patrones de repetici on, dado que nada se repite en forma peri odica. La ausencia de una o m as frecuencias predominantes hace que este tipo de ondas sean muy complejas y dif ciles de modelar. Generalmente, este tipo de se nales corresponden a patrones CADIZ, R. A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

1.1. SENALES

5

Onda perodica 3 2 1 Seal (y) 0 1 2 3 1 0.2 Seal (y) 0.6 1

Onda aperodica

0.8

0.4

0.5 0 0.5 Variable independiente(x)

1

0 1

0.5 0 0.5 Variable independiente(x)

1

(a) Onda peri odica

(b) Onda aperi odica

Figura 1.3: Ejemplos de ondas peri odica y aperi odica aleatorios o simplemente a ruido.

1.1.2.

Sinusoides

La sinusoide es una de las se nales m as simples e importantes que existen. Las dos funciones matem aticas sinusoidales b asicas son las funciones seno y coseno, las cuales est an derivadas de las funciones trigonom etricas del mismo nombre. Matem aticamente una funci on de este tipo se puede escribir como: f (x) = A sin(wx + ) o como f (x) = A cos(wx + ) (1.4) (1.3)

La amplitud A corresponde a la desviaci on m axima de la se nal respecto del origen (posici on de equilibrio). La frecuencia w corresponde a la cantidad de ciclos que existen en un determinado rango de la variable x. La fase, denotada por la letra , corresponde a la desviaci on o corrimiento de la se nal respecto del eje Y. Una se nal simple, de tipo sinusoidal, est a completamente determinada por estos tres par ametros: amplitud, frecuencia y fase. CADIZ, R. A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

6

CAP ITULO 1. SENALES Y SISTEMAS

Ambas funciones, seno y coseno, son c clicas o peri odicas, es decir, vuelven a tomar los mismos valores despu es de un cierto rango de valores de la variable independiente. Por ejemplo, la funci on seno es una funci on que vale 0 cuando la variable independiente vale 0, 1 cuando esta vale /2, 0 cuando pasa por , -1 cuando cruza en 3/2 y nuevamente cero cuando la variable independiente vale 2 .Funcin seno 1 0.8 Variable dependiente y Variable dependiente y 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 6 4 2 0 2 4 Variable independiente x 6 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 6 4 2 0 2 4 Variable independiente x 6 Funcin coseno

(a) Funci on seno

(b) Funci on coseno

Figura 1.4: Funciones seno y coseno La funci on coseno es muy similar a la funci on seno, s olo que est a desfasada.en relaci on al eje Y. En relaci on al desfase, Las siguientes relaciones matem aticas se cumplen entre estas funciones: cos(x) = sin( sin(x) = cos( x) 2 x) 2 (1.5) (1.6)

La funci on seno es un funci on impar, es decir, no es sim etrica respecto al eje Y. Matem aticamente esto es: sin(x) = sin(x) (1.7)

En cambio el coseno es una funci on par, porque es sim etrica respecto al eje Y. Matem aticamente, esto equivale a: cos(x) = cos(x) CADIZ, R. (1.8)

A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

1.1. SENALES

7

Las sinusoides son fundamentales para la f sica en general y la ac ustica en particular. Cualquier cosa que resuene u oscile produce un movimiento de tipo sinusoidal. Un ejemplo de esto es la oscilaci on de un p endulo, conocida como movimiento arm onico simple. Otra raz on de la importancia de las sinusoides es que constituyen funciones b asicas de los sistemas lineales. Esto signica que cualquier sistema lineal puede ser estudiado a trav es de su respuesta a funciones sinusoidales. En el campo del audio, las sinusoides son importantes para el an alisis de ltros tales como reverberadores, equalizadores y otros tipos de efectos. Desde un punto de vista matem atico, las sinusoides constituyen bloques fundamentales que al ser combinados de cierta forma permiten la creaci on o s ntesis de cualquier tipo de se nal, por muy compleja que sea. Pero quiz as la raz on m as importante es que el sistema auditivo humano funciona como un analizador de espectro, tal como se detalla en el cap tulo 3. Esto es, el o do humano f sicamente separa un sonido en sus componentes de frecuencia sinusoidales. Por lo tanto, el o do humano funciona en forma muy similar a un analizador de Fourier (ver secci on 1.2) y la representaci on de un sonido en el dominio de la frecuencia (ver secci on 1.2.4) es mucho m as cercana a lo que nuestro cerebro recibe que la representaci on temporal.

1.1.3.

Exponenciales

Existe otra funci on matem atica muy importante, conocida como exponencial. La forma can onica de una funci on exponencial es la siguiente: f (t) = Aet/ , t 0 (1.9)

A corresponde a la amplitud m axima de la exponencial y se conoce como la constante de tiempo de la exponencial. La constante de tiempo es el tiempo que demora la exponencial en decaer 1/e, es decir: f ( ) 1 = f (0) e (1.10)

La gura 1.5 muestra el gr aco de una funci on exponencial para A = 1 y = 1. En la ecuaci on 1.9 e es el n umero de Euler, el cual tiene el valor irracional 2.718... y constituye la base de los logaritmos naturales. Este n umero es uno de los m as importantes y fascinantes de la matem atica y puede calcularse como:

e=k=0

1 1 = l m (1 + )n 2,718... n 0 k! n

(1.11)

CADIZ, R.

A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

8

CAP ITULO 1. SENALES Y SISTEMASFuncin exponencial, para A=1 y =1 1 0.9 0.8 0.7 Amplitud 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 2 4 6 Tiempo t t=t60 8 t=

10

Figura 1.5: Funci on exponencial El decaimiento exponencial ocurre naturalmente cuando una cantidad est a decayendo a una tasa proporcional a lo que a un queda por caer. En la naturaleza, todos los resonadores lineales, tales como las cuerdas de los instrumentos musicales y los instrumentos de vientos exhiben un decaimiento exponencial en su respuesta a una excitaci on moment anea. La energ a reverberante en una sala de conciertos decae exponencialmente una vez nalizada la emisi on de sonido. Esencialmente todas las oscilaciones libres (sin una fuente mantenida en el tiempo) caen exponencialmente siempre que sean lineales e invariantes en el tiempo. Ejemplos de este tipo de oscilaciones incluyen la vibraci on de un diapas on, cuerdas pulsadas o pellizcadas y barras de marimba o xil ofonos. El crecimiento exponencial ocurre cuando una cantidad crece a una tasa proporcional al incremento actual. El crecimiento exponencial es inestable dado que nada puede crecer para siempre sin llegar a un cierto nivel l mite. Es necesario notar que en la ecuaci on 1.9, una constante de tiempo positiva implica a un decaimiento exponencial mientras que una constante de tiempo negativa corresponde a un crecimiento exponencial. En sistemas de audio, una decaimiento de 1/e se considera muy peque no para aplicaciones pr acticas, como por ejemplo, para el dise no ac ustico de salas de concierto. Por lo general, se utiliza una cantidad tal que asegure que la se nal ha ca do 60 decibelios (dB). Esta cantidad, denotada por t60 , se CADIZ, R. A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

1.1. SENALES encuentra resolviendo la ecuaci on: f (t60 ) = 1060/20 = 0,001 f (0)

9

(1.12)

Usando la denici on de exponencial de la ecuaci on 1.9, se tiene entonces que: t60 = ln(1000) 6,91 (1.13)

Esta ecuaci on nos dice que la constante t60 es aproximadamente 7 veces la constante de tiempo . Esto puede vericarse en la gura 1.5, donde se aprecia la ubicaci on de dicha cantidad en el eje del tiempo.

1.1.4.

Relaci on entre sinusoides y exponenciales

Existen dos relaciones muy importantes para el an alisis de se nales y para el Teorema de Fourier, llamadas ecuaciones de Euler . Estas son: eix = cos(x) + i sin(x) eix = cos(x) i sin(x) (1.14)

(1.15)

Esta ecuaci on nos dice que las exponenciales y las sinusoides est an ntimamente relacionadas. En la ecuaci on 1.14, el n umero i representa al n umero imaginario y que est a denido por la relaci on: i= 1 (1.16)

El n umero imaginario i tiene una importancia fundamental en el an alisis de frecuencia de una se nal, fundamentalmente porque, tal como se ver a en forma siguiente, las sinusoides pueden representarse y manejarse en forma m as compacta si se utilizan n umeros complejos. Los n umeros complejos est an constituidos por un par ordenado de n umeros, uno real y otro imaginario, y usualmente se gracan en lo que se denomina el plano complejo, mostrado en la gura 1.6, donde el eje de ordenadas representa los n umeros reales y el eje de absisas los imaginarios. En este plano un n umero complejo es un vector que se puede representar de dos formas: cartesiana y polar. En la forma cartesiana, un n umero complejo Z se representa como la suma de su parte real con su parte imaginaria o bien Z = x + iy . Pero el mismo n umero se puede representar mediante el largo del vector y su angulo, lo que se denomina forma polar. En este caso se tiene Z = r , donde r es el CADIZ, R. A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

10

CAP ITULO 1. SENALES Y SISTEMAS

imaginario x+iy y r x real

Figura 1.6: El plano complejo m odulo o magnitud del n umero complejo y que tambi en suele representarse como |Z |. Ambas representaciones est an relacionadas por las siguientes ecuaciones: r= y y (1.18) x La ecuaciones 1.14 y 1.15 pueden utilizarse para demostrar que: = arctan cos(x) = y eix eix (1.20) 2i Multiplicando la ecuaci on 1.14 por una amplitud A 0 y utilizando x = wt + se tiene: sin(x) = Aei(wt+) = A cos(wt + ) + iB sin(wt + ) (1.21) eix + eix 2 (1.19) x2 + y 2 (1.17)

Esta ecuaci on describe una sinusoide compleja. Por lo tanto, una sinusoide compleja contiene una parte real coseno y una parte imaginaria seno. CADIZ, R. A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

1.2. SERIES Y TRANSFORMADA DE FOURIER

11

De acuerdo a las ecuaciones 1.19 y 1.20 y dado que eiwt corresponde a una sinusoide compleja (ecuaci on 1.21), se tiene entonces que toda sinusoide real est a compuesta por una contribuci on equitativa de frecuencias positivas y negativas. Dicho de otra forma, una sinusoide real consiste de una suma de dos sinusoides complejas, una de frecuencia positiva y la otra de frecuencia negativa. Esto signica que el espectro de frecuencias de una sinusoide o de una funci on peri odica compuesta por sinusoides es sim etrico respecto del origen y contiene tanto frecuencias negativas como positivas. Este hecho es de suma importancia para el an alisis de se nales y para lo que posteriormente se ver a como teorema del muestreo, detallado en la secci on 4.1.1.

1.2.1.2.1.

Series y transformada de FourierSeries de Fourier

En 1811, el matem atico Jean Baptiste Fourier demostr o que cualquier se nal peri odica razonable puede expresarse como la suma de una o m as sinusoides de distinta frecuencia, fase y amplitud. Se entiende por una se nal razonable, una que posee valores m aximos menores que innito y un n umero nito de saltos en un per odo. Estas sinusoides est an arm onicamente relacionadas entre s , es decir, sus frecuencias son m ultiplos enteros de una frecuencia fundamental. Esta suma ponderada de se nales sinusoidales se conoce como Serie de Fourier. La serie de Fourier de una se nal peri odica f (x) de per odo T0 puede escribirse como:

f (x) = a0 +k=1

(ak cos(kw0 x) + bk sin(kw0 x))

(1.22)

donde w0 es la frecuencia fundamental (w0 = 2/T0 ) y los coecientes a0 ,ak y bk constituyen un conjunto de n umeros asociados un vocamente con la funci on f(x). Esta forma de escribir la serie de Fourier se conoce como forma trigonom etrica. Utilizando las ecuaciones de Euler 1.14 y 1.15, se puede escribir la serie de Fourier en forma m as compacta como:

f (x) =k=

Ck eikw0 x

(1.23)

CADIZ, R.

A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

12

CAP ITULO 1. SENALES Y SISTEMAS

Esta forma de escribir la ecuaci on se conoce como forma compleja. La ecuaci on 1.22 nos dice que para cualquier se nal peri odica f (x) pueden encontrarse coecientes a0 , a1 , b1 , a2 , b2 , ... tales que multiplicados por sinusoides de frecuencias w0 , 2w0 , 3w0 , ... den como resultado la funci on f (x) cuando estas sinusoides se suman. En palabras m as simples, toda funci on peri odica de frecuencia w, cualquiera sea su naturaleza, est a compuesta por la suma de varias sinusoides de frecuencias mayores o iguales a w, cada una de las cuales tiene distinta amplitud, frecuencia y fase. Las frecuencias involucradas est an arm onicamente relacionadas entre s . Lo anterior implica dos cosas: 1. Si se toman varias sinusoides de distintas frecuencias, fases y amplitudes y se suman, se obtendr a una se nal peri odica. 2. Dada una se nal peri odica f (x) cualquiera, esta siempre podr a descomponerse en sus componentes de frecuencia, mediante la determinaci on de las sinusoides que la conforman. Si se gracan las frecuencias de estas sinusoides versus la amplitud de cada una de ellas, dicho gr aco se conoce como espectro de frecuencias (ver secci on 1.2.4). La gura 1.7 muestra a varias sinusoides de frecuencias relacionadas y su suma. All puede observarse que al sumar estas sinusoides se obtiene una nueva forma de onda de frecuencia igual a la frecuencia de la onda fundamental. Esto nos permite comprobar de manera emp rica el descubrimiento de Fourier.

Figura 1.7: Suma de se nales arm onicas CADIZ, R. A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

1.2. SERIES Y TRANSFORMADA DE FOURIER

13

La serie de Fourier se presenta en forma natural en la mayor a de los instrumentos musicales. Esto se conoce como la serie arm onica y constituye el principio b asico de ejecuci on de algunos instrumentos como la trompeta o tuba. En la gura 1.8 se muestra la serie arm onica en notaci on musical. Cuando uno toca, por ejemplo, la nota Do en el piano& ?(cent)

1200

w1

w2

701.96

w3

w498.04

w386.31

w315.74

bw266.87 231.17

w

w203.91 182.40

w

#165.00

w b

bw

nw

w

150.64 138.57 128.30 119.44 111.73

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Figura 1.8: La serie arm onica

1.2.2.

Transformada de Fourier

Ahora cabe preguntarse qu e pasa con las funciones que no son peri odicas? Una forma de extender las series de Fourier a funciones no peri odicas, es truncar las se nales en un cierto punto y suponer que la zona truncada se repite hasta el innito desde ah hacia adelante. Otra forma es suponer que estas poseen un per odo innito y expandir un tanto las ecuaciones para poder trabajar con este tipo de se nales. Esto da pie a la transformada de Fourier. La Transformada de Fourier es una generalizaci on de las Series de Fourier. En rigor, esta transformada se aplica a funciones continuas y aperi odicas, pero tambi en es posible aplicarla a funciones discretas mediante la utilizaci on de funciones impulso (ver secci on 1.2.3). Adem as, la transformada de Fourier es un subconjunto de la transformada de Laplace, de la cual provee una interpretaci on m as simple. Estas relaciones hacen de la transformada de Fourier una herramienta clave para traducir se nales desde los dominios del tiempo a la frecuencia y viceversa. Matem aticamente, la transformada de Fourier se escribe:

F (w) =

f (x)eiwx dx

(1.24)

donde w denota la frecuencia y F a la transformada. Esta ecuaci on corresponde a integrar la funci on f (x) multiplicada por una sinusoide compleja en todo el intervalo de la variable x (desde hasta +). CADIZ, R. A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

14

CAP ITULO 1. SENALES Y SISTEMAS

La transformada inversa, la que permite encontrar f (x) cuando se conoce F (w) est a dada por la ecuaci on:

f (x) =

F (w)eiwx dw

(1.25)

Utilizando estas relaciones, siempre es posible encontrar una correspondencia entre una funci on y su espectro o viceversa. Es decir: f (x) F (w) (1.26)

La transformada de Fourier nos permite conocer el espectro de frecuencias de cualquier se nal f (x), sea esta peri odica o aperi odica y cualquiera sea su naturaleza. Es decir, dada una funci on f (x) cualquiera, mediante esta transformada podemos saber que frecuencias est an presentes en ella.

1.2.3.

DFT y FFT

La transformada de Fourier, tal como se present o en las ecuaciones 1.24 y 1.25 permite encontrar transformadas para se nales continuas. Sin embargo, esto no es aplicable directamente a se nales discretas o digitales, que son las que nos interesan en este libro. La Transformada de Fourier Discreta, o bien DFT (Discrete Fourier Transform), se emplea para encontrar el contenido de frecuencia de se nales que son discretas. Esto implica que en el dominio de la frecuencia estas se nales tambi en ser an peri odicas y discretas. El desarrollo de la DFT hist oricamente se dio en forma paralela al de la transformada de Fourier continua. A pesar de su existencia, la DFT pr acticamente no se utiliza dado que el c alculo de la transformada discreta es un proceso complejo y lento computacionalmente. Lo que se utiliza en la mayor a de los casos para calcular espectros de se nales discretas se llama Transformada R apida de Fourier, o bien FFT (en ingl es Fast Fourier Transform), la cual es un algoritmo desarrollado para obtener la DFT de una forma m as r apida y eciente computacionalmente. El tiempo de procesamiento de la FFT es considerablemente m as r apido que calcular la DFT directamente.

1.2.4.

Diagramas en la frecuencia

Dado que una se nal com unmente posee varias frecuencias aparte de la fundamental, tambi en esta puede representarse completamente mediante un diagrama de frecuencias, com unmente llamado espectro de frecuencias. En CADIZ, R. A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

1.3. OTRAS SENALES IMPORTANTES

15

la gura 1.9 puede apreciarse tanto la representaci on temporal como el espectro de las se nales. Todos estos espectros fueron calculados utilizando la transformada r apida de Fourier o FFT. Como es de esperarse, el espectro de la sinusoide simple, posee un s olo componente de 50 Hz. Es necesario notar que el espectro es sim etrico respecto al origen y que contiene frecuencias negativas y positivas. El espectro de la suma de tres sinusoides, est a caracterizado solamente por tres frecuencias distintas, que corresponden a las frecuencias de las tres sinusoides constituyentes de la se nal. En cambio, el espectro de la se nal aleatoria es m as bien plano y tiene componentes en pr acticamente todas las frecuencias. Esto nos indica que mientras m as componentes de frecuencia est an presentes en una se nal, su representaci on en el tiempo es m as compleja, no en el sentido de los n umeros complejos sino en su contenido de informaci on. Dicho de otro modo, para reproducir una se nal de este tipo, de necesita sumar un n umero muy elevado de sinusoides.

1.3.

Otras se nales importantes

Existen otras se nales de importancia en la teor a de sistemas, aparte de las sinusoides y exponenciales. Una funci on muy importante es el impulso, denotado por (x), la cual es una funci on que se dene de la siguiente forma: (x) = x=0 0 x=0 (1.27)

Es decir el impulso es una funci on que s olo adquiere un valor para x = 0 y vale para todos los otros valores de x. La importancia de esta funci on radica en que su transformada de Fourier es una funci on constante, es decir esta se nal posee todas las frecuencias posibles. De manera intuitiva, esto puede entenderse si se piensa que el impulso representa el cambio m as abrupto posible, y para generar una se nal as se requieren de innitas sinusoides de todas las frecuencias posibles. Otra funci on importante es la funci on rectangular o simplemente rect. Su importancia radica en que consituye un ltro pasa bajo ideal. Su transformada de Fourier es otra funci on importante y se denomina sinc. La funci on rect se dene como: rect(x) = CADIZ, R. 1 0 x 1 2 para todo otro x1 2

(1.28)

A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

16

CAP ITULO 1. SENALES Y SISTEMAS

y=sin(50t) 1.5 1

Espectro de frecuencias para y=sin(50t) 100 90 80 Frecuencia (en Hertz) 70 60 50 40 30 20 10

0.5 Amplitud 0 0.5 1 1.5 0.04

00.02 0 0.02 Tiempo (en segundos) 0.04

200

100 0 100 Magnitud del espectro

200

(a) Sinusoide simple en el (b) Espectro de una sinusoitiempo de simpley=sin(50t)+0.5*sin(100t)+0.3*sin(150t) 1.5 1

Espectro de y=sin(50t)+0.5*sin(100t)+0.3*sin(150t) 100 90 80 Frecuencia (en Hertz) 70 60 50 40 30 20 10

0.5 Amplitud 0 0.5 1 1.5 0.04

0.02 0 0.02 Tiempo (en segundos)

0.04

0

200

100 0 100 Magnitud del espectro

200

(c) Suma de tres sinusoides (d) Espectro de una suma de en el tiempo tres sinusoidesSeal aleatoria 3 2

Espectro de una seal aleatoria 7 6 Frecuencia (en Hertz) 5 4 3 2 1 0 500

1 Amplitud 0 1 2 3 0.1

0.05 0 0.05 Tiempo (en segundos)

0.1

0 Magnitud del espectro

500

(e) Se nal aleatoria en el tiem- (f) Espectro de una se nal po aleatoria

Figura 1.9: Representaci on en el tiempo y en la frecuencia de distintas se nales

y la funci on sinc como: CADIZ, R. A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

1.4. SISTEMAS

17

sin(x) x Todas estas funciones se muestran en la gura 1.10. sinc(x) =Rect Sinc

(1.29)

Impulso

Constante

Figura 1.10: Otras se nales importantes La funci on Gaussiana tambi en es de importancia, y es muy utilizada para construir ventanas. Su importancia radica en que es la funci on de distribuci on de probabilidades normal. Se dene de la siguiente manera: f (x) = Aex2 /(2 2 )

(1.30)

donde se conoce como la desviaci on est andar de la distribuci on.

1.4.

Sistemas

Un sistema puede ser denido en forma general como una colecci on de objetos u operaciones para los cuales existen relaciones denidas de causaefecto. Las causas o datos de entrada tambi en son llamados excitaciones o simplemente, entradas. Los efectos o salidas del sistema tambi en se conocen como respuestas o simplemente salidas. Si se conocen los datos de entrada y de salida, es posible desarrollar un modelo que describa a cabalidad el sistema. Este modelo consiste en un conjunto de reglas tales que si son conocidas las entradas, permitan encontrar CADIZ, R. A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

18

CAP ITULO 1. SENALES Y SISTEMAS

las salidas. Para efectos de un computador, un sistema es un algoritmo que transforma una secuencia de n umeros (entrada) en otra secuencia de n umeros con propiedades distintas (salida).

Figura 1.11: Diagrama de un sistema Tal como lo muestra la gura 1.11, un sistema puede representarse por una caja negra a la cual ingresan datos y de la cual salen datos. En audio, los sistemas son muy importantes. Un ltro, como por ejemplo los que posee un equalizador de audio, es un sistema. Un efecto digital, como por ejemplo un chorus, anger o reverb tambi en son sistemas y se modelan como tales. La teor a e implementaci on de estos y otros tipos de efectos, se aborda en el cap tulo 6.

1.4.1.

Clasicaci on

Existen sistemas din amicos y est aticos. Un sistema est atico es uno en el cual los valores de las salidas dependen solamente de los valores actuales de las entradas. En cambio, en un sistema din amico los valores de las salidas dependen de los valores presentes y pasados de las entradas. Un sistema de este tipo posee memoria. Un sistema est atico, por ende, no posee memoria. Tambi en los sistemas pueden clasicarse en lineales y no lineales. Cuando un sistema es lineal, se puede utilizar el principio de superposici on , es decir, si un sistema posee varias entradas, pueden analizarse por separado las respuestas del sistema a cada una de las entradas y luego calcular la salida como la suma de las respuestas individuales. En cambio en un sistema no lineal, esto no ocurre y su an alisis es bastante m as complejo. Los sistemas tambi en pueden ser variantes o invariantes en el tiempo. Un sistema variante en el tiempo es uno en el cual las reglas del sistema dependen del tiempo. Es decir, estas van cambiando a medida que el tiempo cambia. En cambio, los sistemas invariantes en el tiempo mantienen sus reglas indenidamente. Tambi en los sistemas pueden ser continuos o discretos, dependiendo si las variables de entrada y salida son continuas o discretas. CADIZ, R. A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

1.4. SISTEMAS

19

1.4.2.

Respuesta al impulso y respuesta de frecuencia

Para estudiar el comportamiento de un sistema sistema lineal e invariante se utilizan normalmente dos tipos de entradas, dado que cualquier tipo de entrada puede ser descompuesta en se nales m as elementales y por lo tanto la respuesta total del sistema puede calcularse mediante el principio de superposici on, si es que se conoce su respuesta a cada una de estas se nales elementales.Entrada1., 0., 0., 0.,

ltro

Salida.1, .6, .7, .4, -.3, -.1,

a) Entrada: Impulso Dominio del tiempo c) Entrada: constante Dominio de la frecuencia

b) Salida: respuesta al impulso

t

td) Salida: respuesta de frecuencia

f

f

Figura 1.12: Respuesta al impulso La respuesta al impulso corresponde a la respuesta de un sistema a un impulso cuando el sistema se encuentra en estado de reposo. Un impulso, denido en la ecuaci on 1.27 es una funci on matem atica abstracta que tiene una amplitud innita y una duraci on casi cero. Por una propiedad matem atica llamada propiedad del cedazo, se puede demostrar que cualquier funci on puede descomponerse en una suma de impulsos. Dado que la transformada de Fourier de un impulso de una funci on constante en la frecuencia, esta se nal es ideal para estudiar sistemas, ya que permite estimar la respuesta de un sistema cualquiera a se nales con un contenido de frecuencias previamente determinado. Otra respuesta muy utilizada para dise nar sistemas es la respuesta de frecuencia, que se dene como la respuesta del sistema en el dominio de la frecuencia. Esta respuesta puede calcularse como la transformada de Fourier de la respuesta al impulso, o bien puede medirse o estimarse directamente, si se utilizan como entrada se nales de tipo sinusoidal. Dado que cualquier se nal puede descomponerse, de acuerdo a la serie o transformada de Fourier, en muchas sinusoides individuales, la respuesta total del sistema puede CADIZ, R. A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

20

CAP ITULO 1. SENALES Y SISTEMAS

calcularse mediante el principio de superposici on. En el ambito de los sistemas digitales, dado que un impulso es una abstracci on matem atica no posible de representar en un computador, un impulso se implementa como una secuencia de n umeros con valor cero salvo una sola muestra que toma el valor uno. Un tren de impulsos, en cambio, es una secuencia de muestras todas con valor unitario. La gura 1.12 muestra en forma gr aca la relaci on entre la respuesta al impulso y la respuesta de frecuencia de un sistema digital o ltro. El estudio de la respuesta de frecuencia de un sistema, es clave en la teor a y dise no de los ltros digitales, la cual se detalla en el cap tulo 6. Si se conoce la respuesta al impulso, basta realizar una operaci on matem atica denominada convoluci on (ver ecuaci on 6.5) entre una se nal de entrada cualquiera y la respuesta al impulso para obtener la respuesta del sistema a esa entrada.

CADIZ, R.

A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

Cap tulo 2

El sonido

Si una piedra cae en la supercie de un desierto, donde no hay ser humano alguno ... suena?. Si uno hace esta pregunta las respuestas generalmente son divididas. Hay gente que dice que s suena y otra dice que no. Esto se debe mayormente a que el sonido existe en dos dimensiones paralelas: una f sica y otra perceptual. Por lo tanto existen dos deniciones posibles de sonido: una f sica, donde se considera al sonido como una perturbaci on en alg un medio y otra psicoac ustica, que se reere al sonido como la sensaci on que produce una onda sonora en nuestro sistema auditivo. El sonido en su dimensi on perceptual se abordar a en el cap tulo 3. A continuaci on se describe el sonido en su dimensi on f sica.

2.1.

Ondas de sonido

El sonido es una se nal producida por una fuente en vibraci on. Esta vibraci on perturba las mol eculas de aire adyacentes a la fuente en sincronismo con la vibraci on, creando zonas donde la presi on del aire es menor a la presi on atmosf erica (rarefacci on o enrarecimiento) y zonas donde la presi on del aire es mayor a la presi on atmosf erica (compresi on). Estas zonas de rarefacci on y compresi on, representadas en la gura 2.1 generan una onda de sonido la cual viaja a trav es del aire. Las ondas en general poseen ciertas propiedades comunes. Las ondas transportan informaci on de un lugar a otro y tambi en transportan energ a. Las ondas son parametrizables, lo que quiere decir que pueden describirse de acuerdo a algunos pocos par ametros. Los cuatro par ametros m as comunes son: amplitud, per odo, fase y forma de onda. Existen algunos otros par ametros tales como frecuencia, espectro o intensidad que pueden derivarse de los par ame21

22

CAP ITULO 2. EL SONIDO

tros mencionados anteriormente. En la gura 2.1 se muestran algunos de ellos.

Figura 2.1: Rarefacci on y compresi on en una onda sonora

Existen distintos tipos de ondas que dieren en su naturaleza, por ejemplo ondas de radio, ondas de luz, ondas de agua, ondas electromagn eticas ondas de sonido o rayos X. Tambi en dieren en su forma de propagaci on, la que puede ser longitudinal o transversal. En una onda longitudinal, el desplazamiento de las part culas es paralelo a la direcci on de propagaci on de la onda. En una onda transversal, el desplazamiento de las part culas es perpendicular a la direcci on de propagaci on de la onda. Las ondas de sonido son longitudinales. Cuando esta onda alcanza alguna supercie (como el t mpano del o do humano o la membrana de un micr ofono), produce una vibraci on en dicha supercie por simpat a o resonancia. De esta forma, la energ a ac ustica es transferida desde la fuente al receptor manteniendo las caracter sticas de la vibraci on original. El sonido necesita de un medio para propagarse. El sonido puede viajar a trav es de objetos s olidos, l quidos o gases. Su velocidad es proporcional a la densidad del medio por el cual viaja. A temperatura ambiente, la velocidad el sonido en el aire es de 343 [m/s] y en agua, es de 1500 [m/s]. La velocidad del sonido es independiente de su intensidad y su intensidad decae con la distancia en forma inversamente proporcional. CADIZ, R. A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

2.2. FUENTES SONORAS

23

2.2.

Fuentes sonoras

El sonido puede ser producido por distintos tipos de fuentes y procesos. Estos son: 1. Cuerpos en vibraci on. Un ejemplo de este tipo de fuentes es un diapas on, el cual al ponerse en vibraci on genera un cierto tipo de onda sonora. Al estar la fuente vibrando, causa un desplazamiento en el aire cercano, lo que produce cambios locales en la presi on de aire. Estas uctuaciones de presi on viajan en forma de una onda. Los cuerpos en vibraci on son las fuentes sonoras m as comunes. 2. Cambios en ujos de aire. Un ejemplo de este tipo de fuentes es lo que sucede cuando hablamos. Las cuerdas vocales se abren y cierran en forma alternada, produciendo cambios en la tasa del ujo de aire, lo que a su vez se traduce en una onda sonora. Este mismo principio se aplica a los instrumentos de viento como el clarinete u oboe. Otro ejemplo de este tipo de fuentes es una sirena, la cual produce sonido a trav es de una placa rotatoria bloquea en forma alternada el ujo proveniente de un compresor de aire. 3. Fuentes de calor. Una chispa el ectrica produce un sonido, tal como lo produce un trueno. En estos casos, el sonido se produce por un brusco cambio en la temperatura, el cual produce una veloz expansi on del aire circundante. 4. Flujo supers onico. En el caso de un avi on supers onico se producen ondas de choque que fuerzan al aire a viajar m as r apido que la velocidad del sonido.

2.3.

Medici on del sonido

El sonido en su dimensi on f sica es medible o cuanticable. Existen par ametros que pueden ser medidos en forma precisa como su intensidad y otros pueden ser estimados con mayor o menor precisi on como la frecuencia o su forma de onda. El sonido fundamentalmente es una onda de presi on, y la presi on P puede medirse de la siguiente forma: P = F/a CADIZ, R. (2.1)

A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

24

CAP ITULO 2. EL SONIDO

lo que equivale a una fuerza F ejercida en una unidad de area a determinada. La presi on corresponde a la fuerza ejercida en forma perpendicular a una supercie dividida por el area de esta supercie. Las ondas de sonido transportan energ a. La energ a es una medida abstracta de mucha utilidad en la f sica, dado que se dene de tal forma que en un sistema cerrado la energ a siempre es constante, principio que se conoce como la conservaci on de la energ a. La energ a se mide en unidades de masa por velocidad al cuadrado y usualmente se mide en [Joules]. Otras unidades de medida de la energ a son [Btu], [Calor a] y el [kW/h]. Una importante medida del sonido es su potencia , la cual corresponde a la energ a total por unidad de tiempo y se mide en [Joules/sec]. A continuaci on se describen en detalle los par ametros f sicos del sonido.

2.4.

Amplitud e intensidad

La amplitud de un sonido corresponde a la magnitud del cambio, sea este positivo o negativo, de la presi on atmosf erica causado por la compresi on y rarefacci on de las ondas ac usticas. Esta cantidad es un indicador de la magnitud de energ a ac ustica de un sonido y es el factor que determina que tan fuerte se percibe un sonido. Por lo general, la amplitud se mide en [N/m2 ]. El rango de amplitudes perceptible por el ser humano va desde los 0.00002 [N/m2 ] hasta los 200 [N/m2 ], donde el cuerpo entero siente las vibraciones. La intensidad del sonido caracteriza la raz on a la cual la energ a es entregada en la sensaci on audible asociada con la amplitud. Suponiendo una fuente puntual que irradia energ a uniforme en todas las direcciones, entonces la presi on sonora var a en forma inversamente proporcional a la distancia medida desde la fuente y la intensidad cambia en forma inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Si esta distancia es r, entonces se tiene que: I = /4r2 (2.2) donde es la potencia sonora. La intensidad se mide en [W/m2 ]. Esto se observa claramente en la gura 2.2. La p erdida de intensidad al incrementarse la distancia es de dB = 20log10 (r1 /r2 ). Al doblarse la distancia, se experimenta una p erdida en intensidad de 6 dB. La presi on e intensidad se relacionan a trav es de la siguiente ecuaci on: P = CADIZ, R. Ic (2.3)

A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

2.4. AMPLITUD E INTENSIDAD

25

F

r

2r

3r

Figura 2.2: Intensidad vs distancia donde equivale a densidad del medio y c es la velocidad del sonido en el aire. El sistema auditivo humano puede detectar un inmenso rango de intensidades desde 1012 [W/m2 ] a 1 [W/m2 ]. En t erminos de presi on, el rango detectable va desde 2 105 [Pa] a 2 [Pa], lo que equivale a una raz on de 10.000.000:1. En t erminos pr acticos, medir la intensidad de sonido en [W/m2 ] resulta inmanejable debido a su enorme rango, por lo que una escala logar tmica de medici on de intensidad resulta mucho m as apropiada. La intensidad (sound level) del sonido se mide en decibeles. Un bel indica una raz on de 10:1, por lo tanto 1bel = log10 (I1 /I0 ) (2.4)

Pero los beles resultan muy grandes para efectos pr acticos y por eso se utiliza el decibel (dB), denido por: 1dB = 10log10 (I1 /I0 ) (2.5)

I0 se escoge t picamente como 1012 W/m2 . Un incremento de 10 dB equivale a un incremento de la intensidad del sonido de un orden de magnitud. Un incremento de 3dB equivale a doblar la intensidad y un incremento de 1dB representa un 25 % de incremento en la intensidad. La intensidad es proporcional al cuadrado de la presi on 1dB = 20log10 (P1 /P0 ) CADIZ, R. (2.6)

A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

26 0 10 20 50 70 90 110 120 140 160 dB dB dB dB dB dB dB dB dB dB

CAP ITULO 2. EL SONIDO Umbral de audici on Respiraci on normal Susurro Conversaci on suave Tr aco Disparo Exposici on prolongada (causa p erdida auditiva) Avi on a propulsi on despegando Jet despegando Perforaci on instant anea del t mpano (1016 veces 0 dB) Cuadro 2.1: Tabla de intensidades sonoras

donde P0 = 2x105 [P a]. Esta medida se conoce como dBSP L (sound pressure level). 0 dB se escoge para el umbral de audici on, el sonido m as tenue que puede ser detectado. En los equipos de audio suele usarse el dBV U (volume unit), donde 0 dB corresponde al m aximo nivel de audio posible sin tener distorsi on (clipping). El area sobre los 0 dB en este caso se conoce como headroom.

2.5.

Frecuencia

En el caso de un onda peri odica, el patr on que se repite corresponde a un ciclo. La duraci on de cada uno de los ciclos de una onda se conoce como perodo. La tasa a la cual los ciclos de una onda peri odica se repiten se conoce como frecuencia y por lo general se mide en ciclos por segundo o Hertz (Hz). Matem aticamente, la frecuencia es el inverso del per odo, por lo tanto un per odo de 1 ms (milisegundos) tiene una frecuencia de 1000 Hz. El o do humano percibe frecuencias que van entre los 20 y los 20.000 Hz, aunque esto puede variar para distintas personas. En t erminos de su contenido de frecuencia, un sonido puede poseer lo que se denomina una frecuencia fundamental, com unmente denotada por f 0, que usualmente corresponde a la frecuencia m as baja y de mayor amplitud presente en el espectro. Es la frecuencia fundamental de una onda la que determina en gran medida su altura musical, la cual es una medida perceptual, explicada en detalle en la secci on 3.5. Las se nales aperi odicas no poseen una frecuencia fundamental f acilmente determinable, dado que nada se repite en forma peri odica. La estimaci on de f 0 para se nales complejas es CADIZ, R. A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

2.6. FASE

27

en s un problema bastante complicado, que escapa a este texto. La ausencia de una fundamental hace que este tipo de ondas se perciba musicalmente como ruido.

2.6.

Fase

La fase es simplemente el desfase o corrimiento de una se nal respecto a un punto de referencia, el que se determina en forma arbitraria. La fase se mide en radianes, en el rango [0, 2 ] o en grados, en el rango [0, 360]. Una fase mayor a 2 o 360 carece de sentido f sico, pues no es posible de distinguir de una que ocurre dentro del rango normal. La fase de un sonido aislado no altera en nada su percepci on. La fase adquiere importancia cuando dos o m as sonidos se mezclan entre s . Dos sonidos pueden ser id enticos, pero estar desfasados entre s , lo que implica que un sonido comenz o antes que el otro. Al interactuar, el resultado percibido puede cambiar radicalmente dependiente del grado de desfase entre ellos. Si el desfase es 0, o bien 2 , los sonidos al mezclarse se suman, y como las zonas de rarefacci on y compresi on de ambos sonidos coinciden, como resultado se obtiene el mismo sonido pero amplicado. Si el desfase es de o 180 grados, signica que las zonas de rarefacci on de un sonido coinciden con las zonas de compresi on del otro, y al mezclarse, los sonidos se anulan completamente. El resultado es que no se percibe nada. Esto no es un problema perceptual, es un fen omeno puramente f sico. La fase es una variable com unmente ignorada y poco tomada en cuenta, pero es sumamente importante en el an alisis de Fourier, abordado en el cap tulo 4 y algunas t ecnicas de s ntesis, como las descritas en el cap tulo 5, entre otras cosas.

2.7.

Forma de onda

El patr on de variaciones de presi on producido por una fuente de acuerdo al tiempo se conoce como la forma de onda. La forma de onda determina en gran medida la cualidad del sonido. Un factor importante de considerar en un sonido es su periodicidad. En el cap tulo 1 se estudiaron distintos tipos de ondas, entre ellas las ondas peri odicas y aperi odicas. Ellas se muestran en la gura 1.3. En la primera de ellas, se aprecia que est a compuesta de patrones repetitivos, mientras que la segunda posee una forma aleatoria, sin un comportamiento denido. CADIZ, R. A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

28

CAP ITULO 2. EL SONIDO

La forma de onda de un sonido determina y est a determinada por su contenido de frecuencias o espectro. La forma de onda se asocia com unmene con lo que se denomina timbre, detallado en la secci on 3.6, cualidad perceptual que le otorga identidad al sonido. Es la forma de onda la que permite diferenciar, por ejemplo, el sonido de una trompeta del de un viol n. El espectro contiene en el eje de las ordenadas el rango de frecuencias presente en el sonido y en las abscisas, la amplitud de cada componente. Tal como se detalla en el cap tulo 4, el espectro de una se nal real, como el sonido, no es real, si no complejo o imaginario. Esto signica que las amplitudes no son n umeros reales, sino n umeros complejos y en realidad consisten en un par de n umeros y no en uno s olo. En la secci on 1.1.4 se describen las dos formas b asicas de representar n umeros complejos: como un par ordenado, lo que se denomina forma cartesiana, o bien mediante una magnitud y un angulo o fase, lo que se llama forma polar. Usualmente, en el mundo del audio profesional se utiliza el espectro como sin onimo de la magnitud solamente. Si bien la informaci on que entrega la magnitud de un espectro es u til, no lo es todo. Por lo tanto, una representaci on que s olo contenga la magnitud es en realidad incompleta, ya que no muestra otro componente igual de importante que es la fase. El espectro puede estimarse en base a la transformada de Fourier, la cual se explica en mayor detalle en la secci on 1.2. Sin embargo, existen limitaciones en cuanto a la resoluci on de esta estimaci on tanto de tipo te oricas como pr acticas.

2.8.

Representaci on gr aca

Existen diversas formas de representar el sonido en forma gr aca. La forma de representaci on m as utilizada se basa en un diagrama de amplitud versus tiempo, tal como se observa en la gura 2.1, donde se pueden apreciar las zonas de compresi on y rarefacci on, adem as de indicaciones algunos par ametros como amplitud y per odo, que tienen que ver con la forma de onda. Un sonido tambi en puede ser representado por su espectro, mediante un gr aco amplitud versus frecuencia. Este gr aco muestra las amplitudes de cada componente de frecuencia contenido en el sonido. Por lo general, siempre es posible pasar de una representaci on en el tiempo a una representaci on en la frecuencia y viceversa, mediante la transformada de Fourier. No obstante, es importante destacar que el diagrama de tiempo no contiene informaci on alguna sobre el contenido de frecuencias del CADIZ, R. A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

GRAFICA 2.8. REPRESENTACION

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sonido y el espectro no contiene informaci on de tipo temporal. Por lo tanto, si bien cada una de estas representaciones basta por s sola para determinar un vocamente un sonido, son en cierto sentido complementarias. Una representaci on intermedia es lo que se llama el sonograma. Un sonograma consiste b asicamente en un eje tridimensional donde se graca la magnitud del espectro de un sonido versus el tiempo. Esto se logra mediante la subdivisi on de la se nal de audio en varias peque nas ventanas de tiempo, usualmente traslapadas entre s . En cada una de estas ventanas temporales, se estima el espectro mediante lo que se denomina la transformada de Fourier de tiempo corto (o short time Fourier transform en ingl es). De esta forma es posible determinar como va cambiando el contenido de frecuencia del sonido en el tiempo. Si bien el sonograma es muy u til, la informaci on que entrega es altamente dependiente de los par ametros que se utilicen para su c alculo, como el tipo de ventana, el tama no de cada ventana y el porcentaje de traslape, entre otros.

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CAP ITULO 2. EL SONIDO

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Cap tulo 3

Psicoac ustica

La psicoac ustica es la ciencia que estudia la percepci on de los sonidos. Tal como veremos en este cap tulo, la percepci on sonora est a basada en fen omenos bastante complejos. Una vez que una onda sonora proveniente del mundo f sico ingresa al sistema auditivo humano, se suceden una serie de reacciones en forma casi instant anea que producen como resultado una representaci on mental de lo escuchado, que no corresponde exactamente a lo que sucede en el mundo f sico. Las variables f sicas del sonido estudiadas en el cap tulo anterior no constituyen una representaci on dedigna de lo que ocurre en el mundo perceptual. Por ejemplo, en ciertas situaciones hay sonidos que bloquean a otros sonidos, incluso si estos ocurren en forma asincr onica. Este fen omeno se conoce como enmascaramiento. En estos casos, si bien todas las ondas sonoras en juego existen en el mundo f sico, al presentarse todas juntas algunas de ellas simplemente no se perciben, a pesar de que si cada uno de estos sonidos se presentaran por separado, si se percibir an.

3.1.3.1.1.

Conceptos b asicosM nima diferencia notoria

La psicoac ustica intenta medir o cuanticar la percepci on de los sonidos. Una forma de estudiar la percepci on es medir el m nimo cambio de alguna variable que produzca efectivamente un cambio notorio en la percepci on de alg un est mulo. Esto se conoce como la m nima diferencia notoria y usualmente se abrevia como JND (del ingl es just noticeable dierence). Tambi en se conoce como umbral diferencial o limen diferencial. 31

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CAP ITULO 3. PSICOACUSTICA

Usualmente, la m nima diferencia notoria var a de persona a persona y de acuerdo al m etodo de medici on. Incluso, puede cambiar para la misma persona, si las condiciones externas son modicadas.

3.1.2.

Ley de Weber

La Ley de Weber es una ley obtenida experimentalmente a trav es de experimentos perceptuales. Cuando se est a midiendo la percepci on de alg un est mulo, esta ley arma que la m nima diferencia notoria es proporcional a la magnitud del est mulo original. Matem aticamente, si tenemos un est mulo I y nos interesa entonces medir la m nima diferencia I que producir a un cambio efectivo en la percepci on de I , entonces se cumple que: I =k I (3.1)

donde k es una constante. Esto signica que a mayor intensidad de est mulo, mayor es la diferencia que se necesita para producir un cambio en la percepci on de ese est mulo.

3.1.3.

Modos de percepci on

Existen dos modos principales de percepci on: lineal y logar tmico. En el primer caso, el cambio entre dos valores de una variable se percibe sobre la base de la diferencia entre ambos valores. En el segundo, el cambio entre dos valores de una variable se percibe de acuerdo a la raz on entre ellos. Tal como se ver a a continuaci on, la percepci on de sonidos por parte del sistema auditivo humano es altamente logar tmica.

3.2.

El sistema auditivo humano

En su famoso libro Auditory Scene Analysis, Albert Bregman [5], describe la siguiente analog a: supongamos que estamos frente a un lago, del cual salen dos surcos largos y angostos hacia la orilla. En cada surco se coloca una hoja de arbol, la cual se mover a a medida que el agua del lago uya hacia los surcos. S olo analizando el movimiento de ambas hojas, sin mirar nada m as que las hojas, la idea es poder responder preguntas como: 1. Cu antos barcos hay en el lago y donde est an? 2. Qu e barco esta m as cerca? CADIZ, R. A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

3.2. EL SISTEMA AUDITIVO HUMANO 3. Cual es m as potente? 4. Hay viento? 5. Ha caido alg un objeto grande sobre el lago? 6. Hay alg un nadador y qu e tan rapido nada?

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Esto puede parecer una misi on imposible. Pero la verdad es que el sistema auditivo humano hace este tipo de an alisis todo el tiempo y a una velocidad extremadamente alta. Nuestros t mpanos equivalen a las hojas depositadas en los surcos. Nuestro sistema auditivo, bas andose u nicamente en el an alisis del patr on de variaciones en ambos t mpanos, es capaz de generar una idea muy precisa de nuestro entorno auditivo. Suponiendo que nos encontremos en una esta muy ruidosa, lo que t picamente de conoce en ingl es como el cocktail party problem, donde hay muchas fuentes sonoras de todo tipo interactuando al mismo tiempo, no necesitamos realizar ning un esfuerzo para responder acertadamente preguntas c omo Cu anta gente est a hablando? o Qui en suena m as fuerte o est a m as cerca? o Hay alg un m aquina haciendo ruido de fondo?. El sistema auditivo humano se extiende desde el o do externo hasta la corteza cerebral y es capaz de realizar una cantidad impresionante de operaciones complejas en muy poco tiempo. A continuaci on, se detallan los principales componentes de nuestro sistema auditivo.

3.2.1.

El o do

Sin duda el uno de los componentes m as importantes del sistema auditivo humano es el o do. El o do se encarga de convertir las ondas de presi on ac ustica en impulsos nerviosos que le permiten al cerebro crear una representaci on mental de la sensaci on auditiva. La gura 3.1 muestra las partes y componentes m as importantes del o do humano. Tal como se puede observar en la gura, el o do humano est a dividido en tres partes principales: o do externo, o do medio e o do interno. Cada una de estas partes cumplen roles espec cos en el proceso general de la audici on. El funcionamiento general del o do es el siguiente: cuando una onda sonora llega al o do viaja desde el pabell on auricular o pinna hasta el t mpano, a trav es del canal auditivo. El sonido es modicado en t erminos de su contenido de frecuencias por el o do externo. El t mpano se encarga de traspasar el patr on de vibraciones de presi on hacia el o do medio al hacer contacto con tres diminutos huesecillos, que a su vez traspasan la vibraci on hacia la ventana oval, lo que causa una onda de propagaci on del l quido contenido CADIZ, R. A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

34Oido medio

CAP ITULO 3. PSICOACUSTICA

Oido Externo Pabellon auricular

Oido interno

Conductos semicirculares Nervio auditivo

Timpano Canal auditivo

(Martillo, yunque, estribo)

Huesecillos

Coclea o caracol

Trompa de Ventana Oval Eustaquio

Figura 3.1: El o do humano al interior de la c oclea, estimulando las c elulas ciliares de la membrana basilar, la que est a conectada a un gran n umero de terminales nerviosos que env an a su vez se nales el ectricas al cerebro. De esta manera, el cerebro puede recibir la informaci on proveniente de la onda sonora para su posterior procesamiento. A continuaci on se detalla el funcionamiento de cada una de las partes del o do. O do externo El o do externo est a constituido por el pabell on auricular o pinna , el canal auditivo y el t mpano. El efecto de la pinna es atenuar y enfatizar cierto contenido de frecuencias y juega un rol fundamental en la localizaci on de sonidos. El canal auditivo mide alrededor de 2,5 cm y act ua como CADIZ, R. A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

3.2. EL SISTEMA AUDITIVO HUMANO

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un resonador para el rango de frecuencias entre 1000 y 4000 Hz, siendo el m aximo alrededor de 3000 Hz. El t mpano vibra en respuesta al sonido y transmite esta vibraci on de presi on en forma de vibraci on mec anica hacia el o do medio.

Figura 3.2: Respuesta de frecuencia del canal auditivo La gura 3.2 detalla la respuesta de frecuencia del canal auditivo. Claramente se puede observar que el canal auditivo enfatiza el rango desde 1 a 4 kHz. Esto corresponde al rango de la voz humana hablada. El rol que cumple el canal auditivo, por lo tanto, es el de optimizar la se nal ac ustica del tal forma de resaltar la voz humana. O do medio El o do medio act ua como un transductor de vibraci on. Su rol es amplicar la vibraci on de presi on mediante un sistema mec anico. Esto se hace mediante tres huesitos llamados martillo, yunque y estribo. La vibraci on de estos huesitos puede ser amortiguada por un m usculo anexado a ellos llamado stapedius, lo cual otorga protecci on contra sonidos muy intensos, los cuales hacen contraer este m usculo, pero no protege contra sonidos muy intensos y s ubitos, como un disparo. O do interno El o do interno consiste b asicamente de la c oclea, ya que los canales semicirculares, si bien se encuentran all , no tienen rol alguno en la audici on. Pero CADIZ, R. A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

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CAP ITULO 3. PSICOACUSTICA

si tienen un rol fundamental en el equilibrio, es por esto que una infecci on en el o do interno usualmente afecta la capacidad de mantener el equilibrio. La gura 3.3 muestra un esquema que representa un corte del o do interno, con sus componentes principales. La c oclea se muestra desenrollada en este corte.

Figura 3.3: Secci on del o do interno La c oclea es un pasaje angosto, con forma de caracol, lleno de l quido incompresible, largo y enrollado 3,5 veces sobre s mismo. El di ametro de este pasaje es de 2 mm y su largo es 35 mm. La gura 3.4 muestra un corte perpendicular de la c oclea, la cual est a dividida en tres secciones: scala tympani, scala vestibula y scala media. Estas zonas est an unidas por el helicotrema y contienen u dos de distintas densidades que vibran de acuerdo a la onda transmitida por el sistema mec anico del o do medio. Estos u dos transmiten una onda de propagaci on que estimula la membrana basilar, lugar donde se codica la informaci on sonora.

3.2.2.

Membrana basilar

El organo de corti es el lugar donde ocurre la producci on de impulsos nerviosos. En su fondo se encuentra la membrana basilar. La membrana basilar separa la scala media de la scala tympani. La membrana basilar responde a est mulos sonoros y causa vibraci on en algunas de las 3500 c elulas ciliares, conectadas a la membrana tectorial encima de ellas. Esta vibraci on es transmitida por el nervio auditivo al cerebro para su procesamiento. La membrana basilar comienza en la base, conectada a la ventana oval y termina en el apex, en el helicotrema. Al presionarse lentamente la ventana CADIZ, R. A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

3.2. EL SISTEMA AUDITIVO HUMANO

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Figura 3.4: Secci on perpendicular de la c oclea

Figura 3.5: La membrana basilar desenrrollada

oval, la ventana redonda tambi en se ve presionada porque el volumen de l quido al interior de la c oclea es constante. Si la ventana oval se presiona en forma r apida, se produce una onda en la membrana basilar que viaja desde la ventana oval hacia el helicotrema. Esta onda no puede pasar m as all a de un punto determinado, dependiendo de la frecuencia a la cual vibra la membrana basilar. La membrana basilar entonces responde en forma diferente CADIZ, R. A LA MUSICA INTRODUCCION COMPUTACIONAL

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CAP ITULO 3. PSICOACUSTICA

dependiendo de la frecuencia presente en su base, que est a conectada a la ventana oval. Esto signica que sonidos graves pueden enmascarar a sonidos agudos, pero no al rev es.25 Hz

50 Hz

100 Hz

200 Hz

400 Hz

800 Hz

1600 Hz

0

10