MULTIPLOS Y DIVISORES - IES Miguel de Cervantes · 2020. 9. 24. · DIVISIBILIDAD. NÚMEROS...

DIVISIBILIDAD.

NÚMEROS ENTEROS.NÚMEROS ENTEROS.

2º E.S.O.

MULTIPLOS Y DIVISORES

Un número es múltiplo de otro si se puede obtener multiplicando el

segundo por otro número entero.

Ejemplos:

18 es múltiplo de 2 porque 18 = 2 • 9





Un número es divisor o factor de otro si este se puede dividir entre

el primero de forma exacta.

Ejemplos:

2 es divisor de 18 porque 18 : 2 = 9




Indica si son verdaderas o falsas las afirmaciones:

a) 8 es un múltiplo de 16

b) 8 es un múltiplo de 4

c) 16 es un múltiplo de 8

NO

SI

SI


d) 16 es un divisor de 8

e) 8 es un divisor de 16

f ) 16 es un múltiplo de 4

g) 8 es un múltiplo de 16

NO

SI

SI

NO

Indica si son verdaderas o falsas las afirmaciones:

a) 3 es un múltiplo de 12

b) 8 es un múltiplo de 24

c) 16 es un múltiplo de 32

NO

NO

NO


d) 12 es un divisor de 24

e) 8 es un divisor de 32

f ) 16 es un múltiplo de 64

g) 8 es un múltiplo de 24

SI

SI

NO

NO

1) Hallar cinco múltiplos del número 9:

9 18 27 36 45

2) Hallar todos los divisores del número 18

1 2 3 6 9 18


3) Hallar todos los divisores del número 36

1 2 3 4 6 9 12 18 36

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Un número es divisible por 2 si termina en 0 o en cifra par.

Ejemplos:

12 es divisible por 2 porque acaba en cifra par.

1564 es divisible por 2 porque acaba en cifra par.

Un número es divisible por 3 si la suma de todas sus cifras es

divisible por 3.

Ejemplos:

12 es divisible por 3 porque la suma de sus cifras es 3.



Un número es divisible por 4 si termina en 00 o lo es el número

formado por sus dos últimas cifras.

Ejemplos:

1500 es divisible por 4 porque acaba en 00.

1524 es divisible por 4 porque 24 es divisible por 4.

Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5.

Ejemplos:




Un número es divisible por 9 si la suma de todas sus cifras es

divisible por 9.

Ejemplos:



Un número es divisible por 10 si termina en 0.

Ejemplos:




Un número es divisible por 11 si la suma de todas las cifras que

ocupan los lugares impares menos la suma de todas las cifras que

ocupan los lugares pares es 0 o múltiplo de 11.

Ejemplo:

El número 80729 es divisible por 11:El número 80729 es divisible por 11:

Suma de cifras impares de 80729: 8 + 7 + 9 = 24

Suma de cifras pares de 80729: 0 + 2 = 2

Diferencia: 24 − 2 = 22

22 es múltiplo de 11

NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

Un número es primo si solo tiene dos divisores: él mismo y la

unidad.

Un número es compuesto si tiene más de dos divisores.

Ejemplos:

El número 19 es primo porque sólo se puede dividir entre 1 y 19.El número 19 es primo porque sólo se puede dividir entre 1 y 19.

El número 45 es compuesto porque se puede dividir entre 1 y 45,

y aparte se puede dividir entre 3, 5, 9 y 15.

DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

Factorizar el número 64 en factores primos:

64 23216

22

Factores primos.


168

2224

2 21

64 = 26


56 2

28 2

Factores primos.


56 = 23 · 728

14

7

2

2

7

1


792 2

396198

22

Factores primos.


19899

23

333

11 11

1

792 = 23 · 32 · 11

91131

713

432216108

222

52517535

355

a) 91 b) 432 c) 525

Ejercicio: Descompón en factores primos:


1 1085427931

22333

3571

57

a) 91 = 7 · 13

b) 432 = 24 · 33

c) 525 = 3 · 52 · 7

Ejemplo: Hallar el m.c.d.(4 , 6)

421

22 4 = 22

6 231

3 6 = 2 · 3

Paso 1: Descomponer en factores primos los dos números.

Paso 2: Elegir los factores comunes. Comunes: 2

MÁXIMO COMÚN DIVISOR M.C.D.

Paso 2: Elegir los factores comunes. Comunes: 2

Paso 3: Elevarlos al menor exponente que aparezca.

Comunes: 2

Paso 4: Multiplicar los factores:

m.c.d.(4 , 6) = 2


40 = 23 · 5 60 = 22 · 3 · 560 23015

1

23

5 5

40 22010

1

22

5 5


Paso 2: Elegir los factores comunes.


Comunes: 2 y 5

Comunes: 22 y 5

m.c.d.(40 , 60) = 22 · 5 = 20







150 = 2 · 3 · 52 225 = 32 · 52225 3

7525

1

35

5 5

150 27525

1

35

5 5



Comunes: 3 y 5


Comunes: 3 y 52


m.c.d.(150 , 225) = 3 · 52 = 75

Ejemplo: Hallar el m.c.m.(4 , 6)

421

22 4 = 22

6 231

3 6 = 2 · 3


Paso 2: Elegir los factores comunes y no comunes.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO M.C.M.


Comunes: 2 No comunes: 3

Paso 3: Elevarlos al mayor exponente que aparezca.

Comunes: 22 No comunes: 3


m.c.m.(4 , 6) = 22 · 3 = 12




20 = 22 · 520 210

51

25

30 = 2 · 3 · 530 215

51

35



Comunes: 2 y 5 No comunes: 3




m.c.m.(20 , 30) = 22 · 3 · 5 = 60




75 = 3 · 5275 325

51

55

90 = 2 · 32 · 590 24515

1

33

5 5







m.c.m.(75 , 90) = 2 · 32 · 52 = 450

El producto del máximo común divisor por el mínimo común

múltiplo de dos números coincide con el producto de los dos

números.

M.C.D. Y M.C.M.

m.c.d. (A , B) · m.c.m. (A , B) = A · B

m.c.m.(4 , 6) = 22 · 3 = 12

m.c.d.(4 , 6) = 2

m.c.d. (4 , 6) · m.c.m. (4 , 6) = 2 · 12 = 24 = 4 · 6

a)


b)

a)


b)


c)

SUMAS Y RESTAS CON PARÉNTESIS

a) a) a) a) 7 7 7 7 − − − − ﴾ −−−−5 5 5 5 ﴿ ==== f ) f ) f ) f ) 7 7 7 7 · · · · ﴾ −−−−5 5 5 5 ﴿ ====

b) b) b) b) 3 3 3 3 + + + + ﴾ −−−−5 5 5 5 ﴿ ====

c) c) c) c) − − − − 7 7 7 7 − − − − ﴾ −−−−5 5 5 5 ﴿ ====

g) g) g) g) − − − − 3 3 3 3 · · · · ﴾ −−−−5 5 5 5 ﴿ ====

h) h) h) h) − − − − 15 15 15 15 : : : : ﴾ −−−−5 5 5 5 ﴿ ====

7 + 5 = 12

3 − 5 = − 2

− 7 + 5 = − 2

− 35

15

3

e) e) e) e) − − − − 7 7 7 7 − − − − 5 5 5 5 ====

d) d) d) d) −−−−3 3 3 3 + + + + ﴾ −−−−5 5 5 5 ﴿ ====

j) j) j) j) − 7 · 5 =− 7 · 5 =− 7 · 5 =− 7 · 5 =

i) i) i) i) −−−−25 25 25 25 : : : : 5 5 5 5 ====− 3 − 5 = − 8

− 12

− 5

− 35

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

( )a a ab c b c⋅ + = ⋅ + ⋅

Ejemplos:

) ( )a 3 2 5 3 2 3 5 6 15 21⋅ + = ⋅ + ⋅ = + =

) ( )b 5 7 3 5 7 5 3 35 15 20⋅ − = ⋅ − ⋅ = − =

SACAR FACTOR COMÚN

( )b c ba a ca ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Ejemplos:

) ( )a 3 2 3 5 3 2 5 3 7 21⋅ + ⋅ = ⋅ + = ⋅ =

) ( )b 5 7 5 3 5 7 3 5 4 20⋅ − ⋅ = ⋅ − = ⋅ =

OPERACIONES COMBINADAS

) ( )a 52 25 13 52 12 40− − = − =

) ( )b 40 32 16 40 16 24− − = − =

) ( )c 28 11 6 28 5 33+ − = + =

) ( )d 37 15 12 37 3 40+ − = + =


) ( ) ( )a 11 3 2 4 6 11 1 11 1 12− − + − = − − = + =

) ( ) ( ) ( )b 6 5 7 3 2 8 8 7 8 7 15− + − − − = − − = + =

) ( ) ( ) ( )c 5 3 10 4 8 2 7 5 1− − + − + − − + =) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

c 5 3 10 4 8 2 7 5 1

5 7 2 3 5 7 2 3 7

− − + − + − − + =

= − − + − − = + − − =

) ( ) ( ) ( ) ( )d 6 10 5 3 4 6 4 2 2 4 4 8− − − − − = − − − − = − − = −


) ( ) ( )a 30 : 2 5 15 5 75− − ⋅ = ⋅ =

) ( ) ( )b 75 : 25 : 3 3 : 3 1− = − = −

) ( ) ( )c 60 :10 : 2 6 : 2 3− = − = −

) ( ) ( ) ( ) ( )d 8 9 : 6 12 72 : 72 1⋅ − ⋅ − = − − =


) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

a 5 3 7 4 8 : 2 5 2 10

5 4 4 4 5 8 20 16 40 36

⋅ − + ⋅ − ⋅ − =

= ⋅ − + ⋅ − ⋅ − = − + + =

) ( ) ( )

[ ] [ ]

b 3 2 5 4 7 3 2 3 2 5 4 7 6

3 2 5 4 1 3 2 5 4 3 2 1 3 2 1

− ⋅ − ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅ − =

= − ⋅ − ⋅ = − ⋅ − = − ⋅ = − =

Nuria lleva los papeles al contenedor de reciclaje cada 5 días, y Pedro lo hacecada 3. El día 20 de mayo se encontraron allí. ¿Cuándo volverán a coincidir?

Tenemos que calcular el m.c.m.(3, 5) = 3 · 5 = 15. Tienen que pasar 15 días.

SOLUCIÓN: Vuelven a coincidir el 4 de junio.

En un terreno rectangular de 240 por 360 metros, se proyecta colocar placas

PROBLEMAS

En un terreno rectangular de 240 por 360 metros, se proyecta colocar placascuadradas del mayor tamaño posible, para recoger energía solar. ¿Quélongitud tienen que tener los lados de las placas?

240 = 24 · 3 · 5 360 = 23 · 32 · 5

Se calcula el m.c.d.(240, 360) = 23 · 3 · 5 = 120

SOLUCIÓN: 120 m de lado deben tener las placas.

Tres autobuses de tres líneas distintas salen de una estación: el primero cada10 minutos, el segundo cada 12 minutos y el tercero cada 15 minutos. Si a las8 de la mañana salió un autobús de cada línea, ¿a qué hora volverán a salir lostres a la vez?

Se calcula el m.c.m.(10, 12, 15) = 22 · 3 · 5 = 60.

SOLUCIÓN: Los tres vuelven a coincidir a las nueve.

PROBLEMAS

Deseamos partir dos cuerdas de 20 m y 30 m en trozos iguales lo más grandes que sea posible y sin desperdiciar ningún cabo. ¿Cuánto medirá cada trozo?

20 = 22 · 530 = 2 · 3 · 5

M.C.D. (20, 30) = 2 · 5 = 10

SOLUCIÓN: Han de partirse en trozos de 10 metros cada una.

En la biblioteca de mi centro hay entre 150 y 200 libros. Averigua cuántosson exactamente si pueden agruparse en cajas de 5, de 9, de 15 y de 18unidades.

5 = 59 = 32

15 = 3 · 518 = 2 · 32

m.c.m. (5, 9, 15, 18) = 2 · 32 · 5 = 90

PROBLEMAS

18 = 2 · 32

El número de libros ha de ser múltiplo de 5, de 9, de 15 y de 18, y el menor de ellos es 90. Los siguientes múltiplos de 90 son 180, 270…

SOLUCIÓN: Por tanto hay 180 libros.

- Reconocer la divisibilidad entre números usando varios criterios de

divisibilidad.

- Obtener el MCD y MCM de varios números por factorización.

- Resolver problemas usando el MCD o MCM.

MÍNIMOS EXIGIBLES

-Realizar operaciones combinadas con números enteros en casos muy

simples.

- Aplicar la propiedad distributiva y sacar factor común en las

operaciones con números naturales.

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