MÚLTIPLOS Y DIVISORES

Las siguientes situaciones apuntan a realizar descomposiciones multiplicativas,

encontrar resultados de multiplicaciones, cocientes y restos, y decidir la validez de

ciertas afirmaciones. Se favorece así el uso de propiedades de la multiplicación y

división, y el estudio de la relación entre la multiplicación y la división como

operaciones inversas.

En un grupo de ranas, una de ellas está cantando, y la cantidad de ranas que no está cantando es múltiplo de 4. Hay más de 3 ranas y menos de 13. El número total de ranas es múltiplo de 3. ¿Cuántas ranas son?

El lado del cuadrado más grande de la figura es 4 cm. y el del más pequeño 2 cm. ¿Cuál es, en cm2 , el área del cuadrado intermedio?

1. Si están en el número 857 y dan saltos de 5 en 5 hacia atrás, ¿cuál es el último número

mayor que 0 al que llegan?

2. Para diseñar un juego, se deben colocar 240 fichas cuadradas de modo que cubran un

rectángulo. Una posibilidad es armar un rectángulo que tenga 120 cuadraditos de largo y 2 de

ancho. ¿Cuáles son todos los otros rectángulos que se pueden armar con las 240 fichas sin

partir ninguna?

3. Jueguen con un compañero. Elijan un número entre 60 y 100. Resten 8 todas las veces que

puedan. Ganan si llegan justo al 0.

4. Para encontrar un número de manera tal que al dividirlo por 7 el resto sea 0, Martina hizo lo

siguiente:

7 x 12 = 84 Y dijo que es 84.

¿Será cierto entonces que si se hace 84 : 7, el resto es 0?

Intenten responder antes de hacer la cuenta.

5. Sabiendoque 12 x 5 = 60, determinen los resultados de los siguientes cálculos sin hacer la

cuenta y usando el resultado que se da como información.

24 x 5 = ________ 12 x 15 = ________    12 x 50 =________

60 : 5 = ________  60 : 12 = ________    600 : 12 =________

6. a) Intentá escribir el número 48 como resultado de multiplicar 3 números, pero que ninguno

de ellos sea el 1.

b) Ahora intentá escribirlo como el resultado de multiplicar 5 números, pero que ninguno de

ellos sea el 1.

7. El número 18 se puede escribir como multiplicación entre dos números, por ejemplo: 18 = 9

x 2. Pero también se puede escribir como una multiplicación entre varios números: 18 = 3 x 3

x 2.

a) Escriban cada uno de los siguientes números como multiplicaciones en las cuales se use la

mayor cantidad de números posibles.

36 = __________________________________________________ 

48 = __________________________________________________ 

120 =_________________________________________________   

37 =__________________________________________________

b) ¿Hubo algún número que solo pudo ser escrito como producto entre dos? ¿Por qué creen

qué ocurrió esto?

8. a) Si escribís la escala ascendente de 5 en 5 partiendo del 0, ¿llegarás justo alnúmero 115?

¿Y al 486? ¿Cómo te diste cuenta?

b) ¿Y si escribieras la escala de 3, también empezando de 0, ¿llegarías a esos números?

9. Un juego consiste en escribir un número de tres cifras en la calculadora y restarle 4 todas

las veces que se pueda. Se gana si en algún momento se obtiene el 0.

a)   Buscá dos números con los que estés seguro de ganar.

b) Comparalos con los de tuscompañeros. ¿Todos pensaron los mismos?

c) ¿Cuántos números ganadores habrá?

d) ¿Se gana con los números 500, 123, 560? ¿Por qué?

10. a) Escribí tres múltiplos de 12.

b) Escribí tres múltiplos de 12 mayores a 1.000. ¿Cuántos creés que habrá?

11. a) Escribí divisores de 24.

b) Escribí divisores de 150.

12. Decidí, en cada caso, si es correcta o no la frase que se propone, sin hacer cuentas.

a) Como 96 = 12 x 8, entonces 96 es múltiplo de 12.

b) Como 96 =12 × 8, entonces 96 es múltiplo de 8.

c) El resto de hacer 96 : 12 es 0.

d) El resto de hacer 96 : 8 es 12.

e) Como 96 = 12 × 8, y 8 = 2 × 4, entonces, 96 es múltiplo de 4.

f) Todos los múltiplos de 8 son múltiplos a la vez de 2 y de 4.

g) Todos los múltiplos de 12 son múltiplos a la vez de 2 y de 10.

MÚLTIPLOS Y DIVISORESCOMUNES

Problemas que apuntan a utilizar estrategias variadas para encontrar múltiplos y

divisores comunes. Los números son pequeños para propiciar el control sobre los

procedimientos que se ponen en juego.

 

1. Juan y Ernesto están en una pista de números que empieza en el 0. Los dos empiezan a

dar saltos hacia adelante. Juan los realiza de 5 en 5, en cambio, Ernesto los realiza de 7 en 7.

¿En qué números menores al 100 se van a encontrar?

2. Martina da saltos de 5 en 5 hacia adelante, comenzando en el 0. Lisandro da saltos de12

en 12 hacia adelante, comenzando también en el 0. En el número 60, se encuentran.

a) ¿En qué otros números se volverán a encontrar?

b) ¿Se habrán encontrado en algún número anterior al 60?

3. Tres personas corren alrededor de un lago. Una tarda 4 minutos en dar la vuelta; otra tarda

6 minutos; y la tercera, 3 minutos. Si comienzan las tres a la misma hora, ¿cuántos minutos

pasan hasta que se vuelven a encontrar las tres por primera vez? Si corren durante una hora,

¿cuántas veces coinciden?

4. En la clase de música, acompañan una canción con instrumentos musicales. La profesora

organiza a los grupos: el de las cajas chinas toca cada 2 tiempos; el de los panderos, cada 4

tiempos; y el de los cascabeles, cada 3 tiempos. ¿Cuándo es la primera vez que los tres

grupos tocan juntos?

5. Se han comprado 40 chupetines y 24 caramelos. Se quieren repartir en bolsitas de tal

manera que en cada una haya la misma cantidad de cada tipo de golosina y que esa cantidad

sea la mayor posible. ¿Cuántas bolsitas se van a armar?

6. Para un cumpleaños, se van a armar bolsitas con golosinas. Si ponen 5 golosinas en cada

bolsita, no sobra ninguna. Si ponen 4 golosinas en cada bolsita, tampoco sobra ninguna.

¿Cuántas golosinas se han comprado en total, si se sabe que fueron más de 50 pero menos

de 100? ¿Hay una sola posibilidad?

7. ¿Cuál es la menor cantidad de caramelos que se necesitan de manera tal que al repartirlos

entre 8, en partes iguales, no sobre ninguno y al repartirlos entre 6, en partes iguales,

tampoco sobre ninguno?

8. En una bolsa, hay cierta cantidad de caramelos. Si se los cuenta de a 2, sobra 1. Si se los

cuenta de a 3, sobran 2 y si se los cuenta de a 5, no sobra ninguno. ¿Cuántos caramelos hay

en la bolsa, si son menos de 120?

9. Se quieren armar bolsas que contengan la mayor cantidad posible de caramelos y

chupetines. Hay 60 caramelos y 48 chupetines. ¿Cuántos caramelos y cuántos chupetines se

podrán poner en cada bolsa si en cada una debe haber la misma cantidad de cada producto y

no debe quedar nada sin colocar en las bolsas?

10. Para el día del niño, la maestra compró golosinas para darles a sus alumnos: 48

chupetines, 24 turrones y 60 caramelos. Si quiere darle la misma cantidad de cada golosina a

cada chico, y que sean la mayor cantidad de golosinas posibles, ¿qué cantidad de cada

golosina debe darle a cada alumno? ¿Para cuántos alumnos le alcanzará?

11. a) ¿16 es múltiplo de 2, de 4 y de 8?

b) ¿Es el menor?

c) ¿Será cierto que 2 x 4 x 8 da un múltiplo común entre 2, 4 y 8?

d) ¿Será el menor?

e) ¿Se puede encontrar el múltiplo común mayor entre 2, 4 y 8?

11) a) ¿Cuáles son los divisores comunes entre 24, 48 y 60?

b) ¿Cuál es el divisor común mayor?

c) ¿Se puede hacer la lista de todos los divisores de cada uno y buscar entre los queserepiten

cuál es el mayor?

d) ¿Cuál es el divisor común mayor entre 13 y 7? ¿Y el menor?

12. Encontrá el menor múltiplo común entre 24 y 36.

13. Encontrá el mayor divisor común entre 24 y 36.

14. Encontrá un número mayor que 50 de manera tal que al dividirlo por 5 el resto sea 0; al

dividirlo por 3, el resto sea 0; y al dividirlo por 15, el resto también sea 0.

CON MÚLTIPLOS Y DIVISORES... 

 

1)      Hay 3 líneas de teléfono la A, la B y la C. La A tiene un poste cada 4 metros, la B cada 3 metros y la C cada 6 metros. a) ¿Cada cuántos metros se juntan las líneas B y C? b) ¿Cada cuántos metros se juntan las líneas B y A? c) ¿Cada cuántos metros se juntan las líneas A y C? d) ¿Cada cuántos metros se juntan las 3 líneas?  2)      Sabiendo que 18 x 15 = 270, buscá 5 números que sean divisores de 270.  3)      Sabiendo que 24 x 22 = 528, resolvé estos cálculos:a) 48 x 22  =b) 48 x 11   =c) 48 x 44   =d) 24 x 11   =e) 24 x 44   =f) 24 x 22  = 4) Escribí la letra de la operación que tiene el mismo resultado: 

1) 4 x 2 x 8 x 4 (     ) a) 60 x 10

2) 9 x 12   (     ) b) 50 x 2 x 25 x 4

3) 8 x 8   (     ) c) 2 x 2 x 4 x 2

4) 4 x 8   (     ) d) 4 x 4 x 4 x 4 

5) 100 x 100   (     ) e) 3 x 3 x 3 x 4

6) 150 x 4   (     ) f) 2 x 2 x 2 x 8

 

5) Indicá con una V si es Verdadero y una F si es falso.a. 124 es múltiplo de 2 ___b. 345 es múltiplo de 6 ___c. 50.000 es múltiplo de 4 ___d. 999.009 es múltiplo de 3 ___e. 39 es múltiplo de 5 ___  6) Hay postes de luz cada 7 kilómetros y postes de teléfono cada 8 kilómetros. ¿Cuándo coinciden los dos?    

7) Clari, Juli, Luli, Mili y Vali salen a entrenar. Clari da 1 vuelta cada 4 minutos, Luli cada 5 minutos, Juli cada 10 minutos Mili cada 20 minutos y Vali cada 40 minutos.a) ¿Cada cuánto tiempo se van a cruzar Clari y Luli?b) ¿Cada cuánto tiempo se van a cruzar Mili y Juli?c) ¿Cada cuánto tiempo se van a cruzar Vali y Clari?d) ¿Cada cuánto tiempo se van a juntar todas juntas?   8) En un colegio, las evaluaciones son así: 

las de matemática cada 15 días las de ciencias sociales cada 6 días las de lengua es cada 5 días las de ciencias naturales cada 10 días

 Sabiendo que tuvieron prueba de las cuatro materias el mismo día: a) ¿Cada cuanto se juntarán las de ciencias naturales y la de ciencias sociales?b) ¿Cada cuanto se juntarán las de matemática y la de lengua?c) ¿Cada cuanto se juntarán las de matemática y la de ciencias sociales?d) ¿Cada cuando se juntarán todas las pruebas?  9) Encontrá todos los divisores de:a) 36:b) 48:c) 60:  10) En una avenida hay paradas de autobuses, taxis y camionetas en la misma cuadra. Las paradas de autobuses están cada 3 cuadras, las de taxis cada 6 cuadras y las de camionetas cada 5 cuadras. ¿Después de cuántas cuadras se van a volver a juntar los tres? 11) Rigoberto está enfermo. El doctor le indicó que debía tomar un jarabe cada 4 hs. y dos remedios en pastillas: una pastilla (A) cada 3 hs. y la otra (B) cada 2 hs.La mamá fue a comprar los remedios y comenzó a dárselos a las 12 hs. de la noche, es decir, a las 0 hs. del día que comenzaba.

¿Cada cuántas horas deberá tomar Rigoberto… a)     el jarabe, la pastilla A y la pastilla B al mismo tiempo?b)     ¿Y el jarabe y la pastilla A juntas?c)     ¿Y el jarabe y la pastilla B?d)     ¿Y la pastilla A y la B juntas? 

 

12) María Elisa, la bibliotecaria, está acomodando libros en mesas. Tiene 42 libros de aventuras y 28 libros de ciencias. Quiere acomodarlos de tal manera que haya la misma cantidad de libros de aventuras y la misma cantidad de libros de ciencias en todas las mesas, y usando la mayor cantidad de mesas posibles.¿Cuántos libros de cada clase pondrá en cada mesa?¿Cuántas mesas usará? 13) En 1999 hubo elecciones para presidente y gobernador. Las elecciones para presidente son cada 4 años y para gobernador, cada 6 años. ¿En qué año volverá a haber ambas elecciones?   14) Matías y Juan tienen la misma edad. Son menores que María, que tiene 35 años. Si la edad de Matías es múltiplo de 8 y la de Juan es múltiplo de 12. ¿Qué edad tienen Matías y Juan?   15) El jueves de la semana pasada fui al supermercado y al club. Voy al club cada 2 días y al supermercado cada 3 días. ¿Qué día de esta semana iré a ambos lugares?   16) Se quiere armar la mayor cantidad de cajas con el mismo contenido en cada una de todas las cajas. Hay 70 paquetes de leche y 50 bolsas de pañales.¿Cuántas cajas se podrán armar?¿Cuántos paquetes de leche y cuántas bolsas de pañales habrá en cada caja?  17) En una fábrica, todos los días se elaboran la misma cantidad de galletitas, que no supera las 30 toneladas. Los lunes y miércoles, esa cantidad es múltiplo de 8, los martes y jueves es múltiplo de 6

y los viernes y sábados es múltiplo de 4. ¿Qué cantidad de galletitas se elaboran por día?   18) Sobre una ruta, cada 4 km hay una parada de ómnibus, cada 5 km, un teléfono y cada 30 km una estación de servicio. ¿Cada cuántos kilómetros hay una parada de ómnibus, un teléfono y una estación de servicio juntos?   19) Compré 24 caramelos y 18 chupetines y quiero repartirlos entre la mayor cantidad de niños, dándoles a cada uno la misma cantidad de caramelos y la misma cantidad de chupetines.¿A cuántos niños les podré dar? ¿Cuántos caramelos y cuántos chupetines a cada uno?

PROBLEMAS CON MÚLTIPLOS Y DIVISORES 

 

1) En el kilómetro 60 de una ruta hay un teléfono para emergencias, una estación de servicio y una estación de peaje. Cada 18 km. hay un teléfono para emergencias, cada 45 km. hay una estación de servicio y cada 90 km. hay una estación de peaje. 

¿En cuál kilómetro volverán a estar juntos un teléfono para emergencias, una estación de servicio y una estación de peaje? 

 

 

2) Se quiere armar la mayor cantidad de cajas con el mismo contenido en cada una de todas las cajas. Hay 27 paquetes de leche y 45 bolsas de pañales. 

¿Cuántas cajas se podrán armar? 

¿Cuántos paquetes de leche y cuántas bolsas de pañales habrá en cada caja? 

 

 

3) María Elisa, la bibliotecaria, está acomodando libros en mesas. Tiene 48 libros de aventuras y 36 libros de ciencias. Quiere acomodarlos de tal manera que haya la misma cantidad de libros de aventuras y la misma cantidad de libros de ciencias en todas las mesas, y usando la mayor cantidad de mesas posible. 

¿Cuántas mesas usará? 

¿Cuántos libros de cada clase pondrá en cada mesa? 

 

 

4) Tres personas están haciendo gimnasia en una plaza. Una da vueltas caminando, otra, trotando y otra, corriendo. La primera tarda 10 minutos en dar una vuelta, la segunda tarda 6 minutos y la tercera, 2 minutos. Si comenzaron a la misma hora y en el mismo lugar, ¿cada cuánto tiempo se vuelven a encontrar en el punto de partida? 

                               

 

 

5) En mi rebaño hay menos de 3 docenas de ovejas. Si las agrupo de a 2, de a 3, de a 5 ó de a 6, siempre sobra una. ¿Cuántas ovejas tengo? 

 

 

6) Se quiere armar bolsitas para repartir al finalizar un cumpleaños, de tal manera que las bolsitas tengan la misma cantidad de caramelos que de chupetines. (En algunas habrá sólo caramelos y en otras, sólo chupetines.) Las bolsitas deben tener la mayor cantidad de golosinas posible. 

Hay 24 chupetines y 40 caramelos. 

¿Cuántas golosinas tendrá cada bolsita? ¿Cuántas bolsitas se podrán armar? 

 

 

7) Tengo 21 alfajores de chocolate y 18 de dulce de leche. Quiero repartirlos entre mis amigos, dándole a cada uno la misma cantidad y la mayor cantidad posible. Pero les daré sólo de chocolate o sólo de dulce de leche. 

¿Cuántos alfajores le daré a cada amigo? 

¿A cuántos amigos les daré los alfajores? 

 

 

8) En el año 2007 viajé a Europa y a Estados Unidos. Voy a Europa cada 5 años y a Estados Unidos cada 3 años. ¿Cuál será el próximo año en que volveré a viajar a ambos lugares? 

 

 

9) El 4 de octubre Mariana tuvo clases de Arte y Danzas. Tiene clases de Arte cada 3 días y de Danza cada 5 días. (También puede ir los sábados o los domingos.) ¿Cuál será el próximo día de octubre en el que realice las dos actividades? 

 

 

10) En la cuadra de mi casa hay un kiosco y un almacén. En mi barrio hay un kiosco cada 2 cuadras y un almacén cada 7 cuadras. ¿A cuántas cuadras de mi casa están el próximo kiosco y almacén en la misma cuadra?

Una tabla de 0.84 m de largo debe dividirse en tres partes iguales. ¿Cuántos centímetros medirá cada parte?

El contenido de una botella de 0.750 litros será repartido en partes iguales entre 4 amigos. ¿Cuántos litros de agua le tocará a cada uno?Una bolsa que contenía 34 de kg de arroz fue dividida en 6 partesiguales. ¿Cuánto pesaba cada una de esas partes?Una gelatina que pesa 1.240 kg se va a dividir en 4 partes iguales.¿Cuánto pesará cada pedazo?

Cuatro amigos van a repartirse 6/8 de una pizza por partes iguales y sin que sobre algún pedazo. ¿Cuántas partes le tocarán a cada uno?b) Patricia tiene 34 de metro de listón y lo cortará para hacer 4 moños iguales. ¿Quécantidad de listón ocupará para cada moño?c) Daniel compró un pastel y se comió la octava parte. A sus cinco hermanos lesrepartió lo que quedaba en partes iguales. ¿Qué fracción del pastel correspondió acada uno de sus hermanos?

Montserrat vive en Villahermosa; cuando espera su autobús, en el centro,observa que los autobuses que van a la universidad pasan cada 8 minutosy los que van a su casa cada 15 minutos. A las 3:00 de la tarde pasó unautobús de cada ruta, ¿a qué hora volverán a coincidir los autobuses deambas rutas?

b) En la colonia San José, el camión del gas pasa cada 10 días; el cartero,cada 5 días y el camión que recoge la basura, cada 4 días. Si el lunes5 de septiembre pasaron los tres, ¿cuál será el próximo día en que lostres coincidan?

b) Adrián quiere una bicicleta para su cumpleaños. Su papá le dice que siadivina la edad de su abuelo, se la regalará. Adrián le pide una pista y supapá le responde que la edad de su abuelo se puede dividir exactamenteentre 15 y también entre 18. ¿Qué edad tiene su abuelo?