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MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de LaGrange, llamados así en honor a Joseph Louis LaGrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de LaGrange. El método dice que los puntos donde la función tiene un extremo condicionado con k restricciones, están entre los puntos estacionarios de una nueva función sin restricciones construida como una combinación lineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.

La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de varias variables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes de la función sean iguales a cero.

Introducción

Consideremos un caso bidimensional. Supongamos que tenemos la función, f (x, y), y queremos maximizarla, estando sujeta a la condición:

Donde c es una constante. Podemos visualizar las curvas de nivel de f dadas por

varios valores de dn, y el contorno de g dado por g(x, y) = c. Supongamos que

hablamos de la curva de nivel donde g= c. Entonces, en general, las curvas de

nivel de f y g serán distintas, y la curva g = c por lo general intersecará y

cruzará muchos contornos de f. En general, moviéndose a través de la

línea g=c podemos incrementar o disminuir el valor de f. Sólo cuando g=c (el

contorno que estamos siguiendo) toca tangencialmente (no corta) una curva de

nivel de f, no se incrementa o disminuye el valor de f. Esto ocurre en el

extremo local restringido y en los puntos de inflexión restringidos def.

Un ejemplo familiar puede ser obtenido de los mapas climatológicos, con sus

curvas de nivel de presión y temperatura (isóbaras e isotermas

respectivamente): el extremo restringido ocurrirá donde los mapas

superpuestos muestren curvas que se tocan.

Geométricamente traducimos la condición de tangencia diciendo que los

gradientes de f y g son vectores paralelos en el máximo. Introduciendo un

nuevo escalar, λ, resolvemos

[f(x, y) - λ (g(x, y) − c)] = 0

para λ ≠ 0.

http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_de_inflexi%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_de_nivel

http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_independiente

http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_independiente

http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_la_cadena

http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial

http://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_lineal

http://es.wikipedia.org/wiki/Puntos_estacionarios

http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Louis_Lagrange

http://es.wikipedia.org/wiki/Optimizaci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)

Una vez determinados los valores de λ, volvemos al número original de

variables y así continuamos encontrando el extremo de la nueva ecuación

no restringida.

de forma tradicional. Eso es, para todo (x, y)

satisfaciendo la condición porque es igual a cero en la

restricción, pero los ceros de F(x, y) están todos en .

Ejemplo #1

Supongamos que queremos encontrar la distribución probabilística discreta con

máxima entropía. Entonces

Podemos usar los multiplicadores de Lagrange para encontrar el punto de

máxima entropía (dependiendo de las probabilidades). Para todo k desde 1

hasta n, necesitamos

lo que nos da

Derivando estas n ecuaciones, obtenemos

Esto muestra que todo pi es igual (debido a que depende solamente de λ). Usando la

restricción ∑k pk = 1, encontramos

Esta (la distribución uniforme discreta) es la distribución con la mayor entropía.

Ejemplo #2

Determinar los puntos en la esfera que están más cercanos al

punto

la distancia al punto :

Para hacer más sencilla la operación se maximiza o minimiza el cuadrado de la

distancia:

La restricción:

De acuerdo con el método de los multiplicadores de Lagrange, se resuelven las

ecuaciones " " y " " y el resultado es:

(1)

(2)

(3)

(4)

La manera más sencilla de resolver estas ecuaciones es dejar x, y, z en función de y

luego sustituimos en la ecuación (4).

De la ecuación (1) obtenemos se observa que ≠ 1 porque si no se

puede realizar la operación.

Lo mismo sucede con la ecuación (2) y (3)

Sustituyendo en la ecuación (4)

Se obtiene que

y entonces los puntos (x, y, z) son :

y

Se puede observar que el punto más cercano entonces es

Ejemplo #3 (restricciones múltiples)

Restricciones:

Aplicar el método:

Entonces:

Por lo tanto, los puntos críticos son:

Bastará entonces evaluar la función en esos puntos para determinar que:

por lo que en ambos puntos tiene un máximo si está restringida de esta manera.

Criterio de la segunda derivada para Extremos con Restricción

EL CASO BIDIMONIAL

Como en el caso no restringido en el que usamos la matriz Hessiana y el criterio de Sylvester para determinar la naturaleza de los puntos críticos, en presencia de multiplicadores de Lagrange existe un método análogo para descubrir si un punto crítico v0 es máximo, mínimo, o punto silla.

Sea f:U⊂ℝ2→ℝ y g:U⊂ℝ2→ℝ dos curvas suaves de clase C2. Sea v0∈U tal

que g(v0)= c y sea S el conjunto de nivel de gcon valor c. Asumimos que g(v0)≠0 y

existe un número real tal que f(v0) = g(v0). Para la función auxiliar h = f -

g tenemos la matriz hessiana limitada:

evaluada en v0

1. Si |H|>0 entonces v0 es un máximo local en f limitada

a S

2. Si |H|<0 entonces v0 es un mínimo local en f limitada

a S

3. Si |H|=0 entonces el criterio no concluye nada

EL CASO N-DIMENSIONAL

Análogamente al caso bidimensional, consideramos el caso n-dimensional,

Sea f:U⊂ℝn→ℝ y g:U⊂ℝn→ℝ dos curvas suaves de clase C2. Sea v0∈U tal

que g(v0)= c y sea S el conjunto de nivel de g con valor c. Asumimos que g(v0)≠0 y

existe un número real tal que f(v0) = g(v0). Para la función auxiliar h = f -

g construimos la matriz hessiana limitada:

evaluada en v0

Examinamos los determinantes de las submatrices en la diagonal de orden mayor o

igual a 3:

1.- Si todos ellos son mayores que 0, tenemos un mínimo local en v0

2.-Si el primer subdeterminante de tamaño 3x3 es mayor que cero, el siguiente (el de

4x4) es menor que cero, y de esa manera los subdeterminantes van alternando su

signo, tenemos un máximo local en v0

3.-Si todos los subdeterminantes son distintos de cero, pero no siguen ninguno de los

dos patrones anteriores, tenemos un punto silla en v0

4.-Si no se da ninguno de los tres casos anteriores, el criterio no concluye nada

COSTO MARGINAL

Costo marginal (CMg) mide cuanto aumenta el costo total cuando la producción se incrementa en una unidad.

-El costo marginal ayuda a responder la pregunta siguiente: ¿Cuánto cuesta producir una unidad adicional del producto?

CMg=(Variació n enel costo total)(Variaci ón en lacantidad )

Costo Marginal=∆ CT∆Q

EJEMPLO 1

Suponga que el fabricante de cierto artículo descubre que con la finalidad de producir x de estos artículos a la semana, el costo total en dólares está dado por C = 200 + 0.03x2. Por ejemplo, si se producen 100 artículos a la semana, el costo está dado por C = 200 + 0.03(100)2 = 500. El costo promedio por artículo al producir 100 artículos es 500100

= $5.

Si el fabricante considera cambiar la tasa de producción de 100 a (100 + ∆x) unidades por semana, en donde ∆x representa el incremento en la producción semanal. El costo es

C + ∆C = 200 + 0.03(100 + ∆x)2

= 200 + 0.03[10,000 + 200∆x + (∆x)2]

= 500 + 6∆x + 0.03(∆x)2

Por consiguiente, el costo extra determinado por la producción de los artículos adicionales es

∆C = (C + ∆C) - C = 500 + 6∆x + 0.03(∆x)2 - 500

= 6∆x +0.03(∆x)2

En consecuencia, el costo promedio por artículo de las unidades extra es

∆ C∆ x

=6+0.03 ∆ x

Por ejemplo, si la producción crece de 100 a 150 artículos por semana (de modo que ∆x = 50), se sigue que el costo promedio de los 50 artículos adicionales es igual a 6 + 0.03(50) = $7.50 por cada uno. Si el incremento es de 100 a 110 (de modo que ∆x = 10), el costo promedio extra de los 10 artículos es igual a $6.30 por cada uno.

Definimos el costo marginal como el valor límite del costo promedio por artículo extra cuando este número de artículos extra tiende a cero. Así, podemos pensar del costo marginal como el costo promedio por artículo extra cuando se efectúa un cambio muy pequeño en la cantidad producida. En el ejemplo anterior,

En el caso de una función de costo general C(x) que represente el costo de producir una cantidad de x de cierto artículo, el costo marginal se define en forma similar por

Es claro que el costo marginal no es otra cosa que la derivada de la función de costo con respecto a la cantidad producida.

Costo Marginal=dCdx

El costo marginal mide la tasa con que el costo se incrementa con respecto al incremento de la cantidad producida.

EJEMPLO 2(Costo marginal)

Para el caso de la función de costo

C(x) = 0.001x3 - 0.3x2 + 40x + 1000

Determine el costo marginal como una función de x. Evalúe el costo marginal cuando la producción está dada por x = 50, x = 100 y x = 150.

Solución Deseamos evaluar C(x). La función dada C(x) es una combinación de potencias de x y así puede derivarse por medio de la fórmula para las potencias que se presentó en la última sección. Obtenemos

C´(x) = dydx

(0.001 x3−0.3 x2+40 x+1000)

= 0.001(3x2) - 0.3(2x) + 40(1) +0

= 0.003x2 - 0.6x + 40

Esta función, el costo marginal, da el costo promedio por artículo de crecimiento de la producción por una pequeña cantidad dado que ya se han producido x artículos.

Cuando se han producido 50 unidades, el costo marginal de los artículos extra está dado por

C´(50) = (0.003)(50)2 - (0.6)(50) + 40 = 7.5 - 30 + 40 = 17.5

Si x =100, el costo marginal es

C´(100) = (0.003)(100)2 - (0.6)(100) +40 = 30 - 60 + 40 = 10

Cuando x =150, el costo marginal está dado por

C´(150) = (0.003)(150)2 - (0.6)(150) + 40 = 67.5 - 90 + 40 = 17.5

Informalmente podemos decir que el costo de producir el artículo número 51 es de $17.50, el artículo número 101 tiene un costo de $10 y el artículo número 151 cuesta $17.50. (Afirmaciones como ésta no son lo bastante precisas, dado que la derivada de la tasa de un incremento infinitesimalmente pequeño en la producción, no para un incremento unitario). ☛ 19

En el ejemplo 2, observamos que el costo marginal decrece a medida que la producción se incrementa de 50 a 100 unidades y luego se incrementa de nuevo cuando la producción aumenta de 100 a 150. En la figura 8 aparece la gráfica de

C´(x) como una función de x.

Este tipo de comportamiento es bastante frecuente en el costo marginal. Cuando la producción x aumenta a partir de valores pequeños, el costo marginal decrece (esto es, baja el costo promedio del pequeño incremento siguiente en la producción).

La razón de esto estriba en las economías de escala, que provocan que la fabricación de pequeñas cantidades de bienes sea relativamente más cara que la producción de grandes cantidades. Sin embargo, cuando x se hace muy grande, los costos empiezan a aumentar a medida que la capacidad de las unidades de producción existentes llega a gastarse, y empieza a ser necesario invertir en una nueva planta o maquinaria o pagar horas extra a los trabajadores, etc. Esto causa un eventual aumento en el costo marginal. Así que, por lo regular, el costo marginal primero decrece al aumentar la producción y luego se incrementa de nuevo.

Vale la pena comparar este tipo de comportamiento con el sencillo modelo de costo lineal. En ese caso, C(x) = mx + b (m y b constantes) y el costo marginal C′(x) = m es constante para toda x. Así que el costo de cada unidad de producción adicional es constante, independiente del nivel de producción.

Es importante no confundir el costo marginal con el costo promedio. Si C(x) es la función de costo, el costo promedio de producir x artículos es el costo total, C(x), dividido entre el número de artículos producidos.

Costo Promedio por art í culo=C (x)

x

Esto es muy diferente del costo marginal, que está dado por la derivada C(x). El costo marginal representa el costo promedio por unidad adicional de un pequeño incremento en la producción. El costo promedio por lo regular se denota por C(x).

EJEMPLO 3 En el caso de la función de costo C(x) = 1000 + 10x + 0.1x2

Funciones costo marginal

C ( x )=1000+10 x+0.1 x2

C ' ( x )=0+10 (1 )+0.1 (2 ) x

C ' ( x )=10+0.2 x

El costo marginal es C´(x) = 10 + 0.2x.

El costo promedio de producir x artículos es

Estas dos funciones son bastante distintas.

EJEMPLO 4Un fabricante estima que al fabricar x Unidades de un bien de consumo, el costo total

será C(x)=18

x2+3 x+98 (miles de dólares).

1.-Nos pide Hallar el Costo Marginal a partir de esta función de costo total.2- Usar el costo marginal para estimar el costo de producir la novena unidad.3.- ¿Cuál es el costo real de producir la novena unidad? 1.- Derivamos:

C ( x )=18

x2+3 x+98

C ' ( x )=2 ×18

x+3 (1 )+0

C ' ( x )=14

x+3

2.-

C ' ( x )=14(8)+3

C ' ( x )=2+3C ' ( x )=5000 dolares

3.- ∆ C=C (9 )−C (8)

4.- ∆ C=( 18

92+3 (9 )+98)−( 18

82+3 (8 )+98) 5.- ∆ C=135.12−130=5.12es el costoreal

EJEMPLO 5La función de Costo total de un producto se denota por la siguiente operación:C(x)= 500+100x+0.5x2. ¿Cuál es el costo marginal?

Se deriva: C ( x )=500+100 x+0.5 x2

C ' ( x )=0+100 (1 )+(2)0.5 x

C ' ( x )=100+x

Como resultado obtenemos que el costo marginal de esta función será 100+X

EJEMPLO 6

Una empresa vende cada unidad de cada producto en $50. El costo total de producir x (mil) unidades se describe mediante la siguiente función C ( x )=10−2.5 x2+x3 donde C(x) se mide en miles de dólares.

Determine la función de costo marginal y promedio de dicha función.

C ( x )=x3−2.5x2+10

C ' ( x )=3 x2−2(2.5) x+0

C ' ( x )=3 x2−5 x Función costo marginal

C ' (50 )=3(50)2−5(50)

C ' (50 )=7250 Costo marginal

Costo Marginal Promedio

725050

=145

EJEMPLO 7

Suponiendo que C(x) es el costo total de producir x numero de trompos, entonces nos dan que la ecuación de costo total es c(x) = 1800 + 0.02x2

a) Encontrar la Función de costo marginalb) Encontrar c’(200)c) Encontrar cuánto costaría hacer 201 trompos y compararlo con producir 200

trompos.

a)

C ( x )=1800+10x+0.02 x2

C ' ( x )=0+10 (1 )+(0.02 )2 X

C ' ( x )=10+0.04 x Función Costo Marginal

b)

C ' (200 )=10+0.04 (200 )

C ' (200 )=18 Costo Marginal

c)

C (201 )−C(200)

C (201 )=1800+10 (201 )+0.02 (201 )2

C (201 )=4618.02

C (200 )=1800+10 (200 )+0.02(200)2

C (200 )=4600

4618.02-4600= 18.02

EJEMPLO 8

El costo de producir “x” cantidad de celulares al día es una empresa china; se calcula a partir de la formula C ( x )=200+40 x−0.001 x2

a) Determinar la función de costo marginal

C ( x )=200+40 x−0.001 x2

C ' ( x )=0+40 (1 )−0.001 (2 ) x

C ' ( x )=40−0.002 x

b) Evalúe la función de costo marginal para C(100)

C ' ( x )=40−0.002 x

C ' (100 )=40−0.002(100)

C ' (100 )=40−0.2

C ' (100 )=39.8

c) Utilizar el costo marginal para calcular el costo de producir, la unidad (100)

C ' ( x )=40−0.002 x

C ' (99 )=40−0.002(99)

C ' (99 )=40−0.198

C ' (99 )=39.802Dolaresd) Cuál es el costo real de producir la unidad cien (100)

C (100 )−C (99 )

(200+40 (100 )−0.001(100)2)−(200+40 (99 )−0.001(99)2 )

200+4000−10−200−3960+9.801

39.801Dolares este es el costo Real de producir 100 unidades

EJEMPLO 9

Un grupo de estudiantes preguntan a un Economista, Cuál es el costo marginal y el costo promedio de la siguiente función de Costo

C ( x )=1000+20 x

Sabiendo que se desea vender 100, 200 y 300 cajas de calculadoras

X C(x) C(x) C’(x)

100 3000

30 20

200 5000

25 20

300 7000

23.33

20

C ( x )=1000+20 x

C (100 )=1000+20 (100 )

C (100 )=3000

C (200 )=1000+20 (200 )

C (200 )=5000

C (300 )=1000+20 (300 )

C (300 )=7000

Costo promedio

3000100

=305000200

=257000300

=23.33

Costo Marginal

C ' ( x )=0+20 (1 )

C ' ( x )=0+20 (1 )

C ' ( x )=20

El valor adicional de producir una unidad mas es de $20, siendo este presente diciendo que vendemos 101 unidades tendremos un costo total de $3020 dólares.

EJEMPLO 10

Sea C ( x )=−10030+73 x−0.03 x2 la función de costo total de una fábrica de cuadernos donde “x” es la producción de cuadernos y “C” el costo total dado en dólares. Encuentre la función de costo marginal y evalúe cuando x=100

C ( x )=−10030+73x−0.03 x2

C ' ( x )=0+73(1)−0.03(2) x

C '(x )=73−0.06 x

C ' (100 )=73−0.06 (100)

C ' (100 )=73−6

C ' (100 )=67

El costo marginal cuando “x” tiende a 100 es igual a $67dolares, es decir q producir el cuaderno 101 equivale a $67 dólares.

EJEMPLO 11

La empres “Cartones Tokio” produce cajas de cartón duro que son vendidas en paquetes de mil cajas. El mercado es altamente competitivo con paquetes que se venden a $100. La curva de costos es: CT=3000000+0.001x2

a) Calcular la cantidad que maximiza el beneficiob) ¿Está la empresa obteniendo beneficios?c) Analiza la situación de la empresa ¿debe operar en el corto plazo?

1.- Maximizar el Beneficio

Costo marginal

C ( x )=3000000+0.001 x2

C ' ( x )=0+0.001 (2 ) x

C ' ( x )=0.002 x

Maximizar el beneficio

P= CMg→ 100= 0.002x

X= 100

0.002→ x= 50000 paquetes

2.- ¿Está la empresa obteniendo Beneficios?

U= IT – CT IT=P*X

U=100 (50000 )−[3000000+0.001 (50000)2 ]U=5000000−3000000−2500000

U=−500000

3.- Respuesta tres

U= IT- CT IT=P*X X=0

U=100 (0 )−⌈ 3000000+0.001(o)2⌉

U=−3000000

Se debe continuar operando con perdidas menores al costo fijo en este caso $3000000

EJEMPLO 12

En la función que se da en dólares encontrar:

C ( x )=1600+8 x+0.01 x2

a) Costo, costo promedio y costo marginal; 1000 unidadesCosto total

C ( x )=1600+8 (1000 )+0.01(1000)2

C ( x )=19600

Costo Promedio

C ( x )=196001000

=19.6

Costo marginal

C ' ( x )=8+0.02 x

C ' ( x )=28

b) Nivel de producción que minimizará el costo promedio

8+0.02 x=1600x

+8+0.01 x

8−8+0.02 x−0.01 x=1600x

0.01 x=1600x

x2=16000.01

√ x2=√ 16000.01

X=400Segunda y Tercera derivada para comprobar que X=400 es un punto mínimo

C '=1600x

+8+0.01 x

C '=1600 x−1+8+0.01 x

C '=−1600 x−2+0.01

Tercera Derivada C'=−1600 x−2+0.01

C '=3200

x3

C '= 3200

( 400 )3

C '=5x 10−5>0

c) Costo promedio mínimo

C ' ( x )=1600x

+8+0.01 x

C ' ( x )=1600400

+8+0.01(400)

C ' ( x )=16 minimo

EJEMPLO 13

La función de costo marginal de una empresa es C ' ( x )=30+0.05 x

a) Determine la función de coto C(x), si los costos fijos de la empresa son de $2000 por mes

b) ¿Cuánto costará producir 150 unidades en un mes?

c) Si los artículos se pueden vender a $55 cada uno, ¿Cuánto deben producirse para maximizar la utilidad?

La Constante es de $2000 ya dada en los datos del ejercicio.

a)

C ' ( x )=30+0.05 x

C ( x )=∫C ' ( x ) dx

C ( x )=∫ (30+0.05 x ) dx=30 x+0.05x2

2+Constante

C ( x )=30 x+0.025 x2+2000

b)

C (150 )=30 (150 )+0.025(150)2+2000

C (150 )=$ 7062.5

c)

U ( x )=I ( x )−C (x )

U ( x )=55 x−(30 x+0.025 x2+2000)

U ( x )=55 x−30−0.025 x2−2000

Derivamos

U ' ( x )=55−30−0.025 (2 ) x−0

U ' ( x )=55−30−0.05 x

55−30=0.05 x

250.05

=x

x=500

500 unidades para que la utilidad sea máxima

EJEMPLO 14

Durante un análisis marginal se determinó que en el almacén de producto terminado la función de costo marginal estaba dada por: C ' ( x )=27 x2 en dólares, determine el costo de almacenar 165 árboles de navidad artificiales, si se sabe que los costos fijos del almacén son de 5000

C ' ( x )=27x2

C ( x )=∫27 x2 dx=27x3

3+Constante

C (0 )=9 (0 )3+ConstanteC (0 )=0+5000C (0 )=5000

C ( x )=273

x3+5000=9 x3+5000

Ya para saber el costo total de almacenar 165 árboles se reemplaza

C (165 )=9 (165 )3+5000

C (165 )=40429125+5000

C (165 )=40434125

EJEMPLO 15

El costo total de producir cierto artículo es C ( x )=0.0001x3−0.09 x2+20 x+1200, Demostrar cuál es la función del costo marginal y cuál es el costo marginal de producir 75 artículos.

C ( x )=0.0001 x3−0.09 x2+20 x+1200C ' ( x )=0.0001 (3 ) x2−0.09 (2 ) x+20 (1 )+0

C ' ( x )=0.0003 x2−0.18 x+20

C ' (75 )=0.0003(75)2−0.18 (75 )+20

C ' (75 )=16875−13.5+20C ' (75 )=16881.5

INGRESO MARGINAL

GANANCIA MARGINAL

Utilidad Marginal (Umg) Satisfacción que reporta el consumo de una unidad adicional bien.

UMgx=ΔUΔX

=U (X+ΔX,Y )−U (X,Y )ΔX

Utilidad marginal decreciente. Cantidades adicionales generan aumentos menores de utilidad. Ley de Gossen

Utilidad constante a lo largo curva indiferencia

Ley de la utilidad marginal decreciente: establece que a medida que aumenta la cantidad consumida de un bien tiende a disminuir su utilidad marginal, y con ella la satisfacción que obtiene del mismo

Ejemplo 1

Sea la función de Utilidad U(x, y)x1/2y1/2

a)Calcular la utilidad marginal de ambos bienes. ¿Qué puede decir sobre la utilidadmarginal?

In U(x, y) =1/2 In x+1/2 In y

UMgx=∂ In U= 1

∂X 2X

UMgy=∂ InU=1

∂y 2y

La utilidad marginal es igual en los dos bienes

EJEMPLO 2

Una asociación de consumidores de Roma ha realizado una medición para valorar el nivel de satisfacción por el servicio de restaurantes de comida italiana en la ciudad en un período determinado, lo que arrojó la siguiente función de utilidad:

U = 200x-2x²+150.

UMgx ·Δ X=UMgY ·Δ Y

UMg X

UMgY

=ΔXΔY

UMg X

UMgY

=PX

PY

UMg X

PX

=UMgY

PY

a-) Calcule la expresión de la utilidad marginal para la comida italiana.

b-) Si el consumo de dicho servicio aumenta de 25 unidades a 100 unidades en el período analizado, ¿cómo se comportará la satisfacción obtenida de él por parte de los consumidores?

Solución:

a-) UM = U’= (200x-2x²+150)’=200-4x

Rta: La utilidad marginal del servicio restaurantes de comida italiana se comporta según la expresión UM = 200-4x.

b-) Para x =25 Para x =100

UM = 200-4*25 UM = 200-4*100

UM = -100 UM = 200

Rta: La satisfacción que reportan en el período para los consumidores los restaurantes de comida italiana va disminuyendo, incluso cuando el consumo es de 100 ya esté bien no reporta todo lo que esperan de él los consumidores.

EJEMPLO 3

Estudios realizados por una asociación de consumidores en Roma han permitido conformar una función de utilidad con respecto al consumo de servicios de restaurante, influida por las siguientes variables:

x- valoración sobre restaurantes de comida italiana

y- valoración sobre restaurantes de comida internacional

U(x,y) = x³y4- 2x²y³

a-) Calcular las utilidades marginales respecto a cada uno de los dos bienes para

(X0,Y0) = (2,1).

b-) Interprete los resultados.

Solución

a-) U(x,y) = x³y4- 2x²y³

UMx = δ U/ δ x UMy = δ U/ δ y

= 3x²y4 – 4x y³ = 4 x³y³-6x²y²

Evaluar en el punto (2,1):

UMx = 3x²y4 - 4x y³ Umy = 4 x³y³ - 6x²y²

= 3*2²*14 – 4*2*1³ = 4*2³*1³-2²*1²

= 4 = 8

EJEMPLO 4

Dada la siguiente función de utilidad para dos bienes industriales x e y:

U(x,y) = x1/2 y1/3

Se conoce que las empresas están consumiendo 16 y 27 unidades de cada bien respectivamente.

a-) Hallar la utilidad marginal para ambos bienes. Interprete los resultados.

b-) Si el mercado tiende a consumir la misma cantidad del bien x y a triplicar la cantidad consumida del otro. ¿Qué explicación podría dar?

Solución

a-) UMx = δ U/ δ x -Evaluar en (16,27)

= √³Y/2 √x

= √³27/2* √16 = 0.375

Umy = δ U/ δ y

= √x/3 √³Y2

= √16/3* √³27 = 0.148

Rta: El consumo de una unidad adicional del bien X produce una satisfacción mayor que en el caso del bien Y.

b-) UMx(16,81) = √³81/2* √16 = 0.541

UM y(16,81) = √16/3* √³812 = 0.071

UMx (16,81) >UMx (16,27)

UMy (16,81) <UMy (16,27)

Rta: Como resultado de la ley de utilidades marginales decrecientes al aumentar el consumo del bien Y disminuye la satisfacción por él obtenida. Mientras, el bien X se convierte en un bien escaso cuya utilidad marginal aumenta.

EJEMPLO 5

Una asociación de consumidores de Australia ha realizado una medición para valorar el nivel de satisfacción por el servicio de restaurantes de comida japonesa en la ciudad en un período determinado, lo que arrojó la siguiente función de utilidad:

U = 500x-8x²+150.

a-) Calcule la expresión de la utilidad marginal para la comida japonesa.


Solución:

UM = U’= (500x-8x²+150)’=500-64x

Para x =60 Para x =150

UM = 500-64*60 UM = 500-64*150

UM = 3340 UM = 9100

EJEMPLO 6

Dada la siguiente función de utilidad para dos bienes industriales x e y:

U(x,y) = x2/2 y 6/3

Se conoce que las empresas están consumiendo 10 y 24 unidades de cada bien respectivamente.

a-) Hallar la utilidad marginal para ambos bienes. Interprete los resultados.

Solución

a-) UMx = δ U/ δ x -Evaluar en (10,24)

= √Y/2 √x

= √24/2* √10=7.25

Umy = δ U/ δ y

= √x/3 √Y2

= √10/3* √24 =5.15

Rta: El consumo de una unidad adicional del bien X produce una satisfacción mayor que en el caso del bien Y.

EJEMPLO 7

la ecuación de demanda está dada por x= 5000-100p y el costo de producir x unidades está dado por C (x)=3000-20x+0.03x2.

a) encuentre la utilidad marginal para 500 unidades de producción e interprete

U'(500)=?

Utilidad= ingreso total-costo total

U(x)=I(x)-C(x)

=50x-x2-(3000-20x+0.03x2)

100

U(x)=-0.04x2+70x-3000

Derivando respecto de x, se tiene

U'(x)=-0.08x+70

Evaluando en x=500,se tiene

U'(500)=-0.08(500)+70=30

Si se produce y vende 1 unidad más (de 500 a 501) la utilidad dada aumenta a 30

EJEMPLO 8


Calcular la utilidad marginal de ambos bienes. ¿Qué puede decir sobre la utilidad marginal?

In U(x, y) =4/2 In x+4/2 In y

UMgx=∂ In U= 4

∂X 2X

UMgy=∂ InU=4

∂y 2y

EJEMPLO 9

la asociación de consumidores de España ha realizado una medición para valorar el nivel de satisfacción por el servicio de restaurantes de comida ecuatoriana en la ciudad en un período determinado, lo que arrojó la siguiente función de utilidad:

U = 100x-6x²+100.


Solución:

a-) UM = U’= (100x-6x²+150)’=100-36x

Rta: La utilidad marginal del servicio restaurantes de comida japonesa se comporta según la expresión UM = 100-36x.

EJEMPLO 10


a)Calcular la utilidad marginal de ambos bienes. ¿Qué puede decir sobre la utilidadmarginal?

In U(x, y) =1/2 In x+1/2 In y

UMgx=∂ In U= 1

∂X 2X

UMgy=∂ InU=16

∂y 2y

La utilidad marginal no es igual en los dos bienes

EJEMPLO 11

la comida irlandesa de la ciudad de Guayaquil en un período determinado, ha arrojó la siguiente función de utilidad:

U = 800x-24x²+400.

a-) Calcule la expresión de la utilidad marginal para la comida italiana.


Solución:

a-) UM = U’= (800x-24x²+400)’=800-576x

Rta: La utilidad marginal del servicio restaurantes de comida italiana se comporta según la expresión UM = 800-576x.

b-) Para x =100 Para x =200

UM = 800-576*100 UM = 800-576*200

UM = 56.800 UM = 114.400

EJEMPLO 12


Calcular la utilidad marginal de ambos bienes. ¿Qué puede decir sobre la utilidadmarginal?

In U(x, y) =4/2 In x+4/2 In y

UMgx=∂ In U= 1

∂X 5X

UMgy=∂ InU=1

∂y 3y

EJEMPLO 13

La ecuación de demanda esta dada por x= 1000-100p y el costo de producir x unidades esta dado por C (x)=6000-10x+0.03x2.

a) encuentre la utilidad marginal para 100 unidades de producción e interprete

UM'(100)=?

UtilidadMargianal= ingreso total-costo total

UM(x)=I(x)-C(x)

=30x-x2-(6000-10x+0.03x2)

100

U(x)=-0.04x2+70x-3000

Derivando respecto de x, se tiene

U'(x)=-0.08x+70

Evaluando en x=100,se tiene

U'(100)=-0.08 (100)+70=62

Ejemplo 14

Estudios realizados de la comida irlandesa han permitido conformar una función de utilidad con respecto al consumo de servicios de restaurante, influida por las siguientes variables:

x- valoración sobre restaurantes de comida irlandesa

y- valoración sobre restaurantes de comida internacional

U(x,y) = x³y4- 2x²y³

a-) Calcular las utilidades marginales respecto a cada uno de los dos bienes para

(X0,Y0) = (2,1).

b-) Interprete los resultados.

Solución

a-) U(x,y) = x³y4- 2x²y³

UMx = δ U/ δ x UMy = δ U/ δ y

= 3x²y4 – 4x y³ = 4 x³y³-6x²y²

Evaluar en el punto (2,1):

UMx = 3x²y4 - 4x y³ Umy = 4 x³y³ - 6x²y²

= 3*2²*14 – 4*2*1³ = 4*2³*1³-2²*1²

= 4 = 8

EJEMPLO 15

La asociación de consumidores de comida rapida ha realizado una medición para valorar el nivel de satisfacción por el servicio, lo que arrojó la siguiente función de utilidad:

U = 500x-2x²+60.


Solución:

a-) UM = U’= (500x-2x²+60)’=500-4x

Rta: La utilidad marginal del servicio de comida rápida es según la expresión UM = 100-36x.

ELASTICIDAD DE LA DEMANDA

La elasticidad precio de la demanda (EPD, PED, Ep o Ed) es una medida utilizada en economía para mostrar el grado de respuesta, Elasticidad, de la cantidad demandada de un bien o servicio a los cambios en el precio de dicho bien o servicio. Otorga el cambio porcentual de la cantidad demandada en relación a un cambio porcentual en el precio, considerando que el resto de determinantes de lademanda, como la renta, permanecen constantes

EJERCICIO 1

Una compañía de mensajería analiza tres gamas de demandas para sus servicios:

demanda semanal: Q1= 90.5 p1

demanda día de fiesta: Q2 = 35-.25p2

demanda nocturna.: Q3 =30-.20p3

siendo la función de costes totales C(Q) = 25-20(Q1+Q2 +Q3 )a) Hallar el precio que debe establecer e cada servicio con el fin de maximizar el

beneficio obtenido.b) Demuestre que si la compañía maximiza su beneficio, al servicio en el que la

elasticidad precio-demanda en el punto critico es más baja tiene un precio más bajo que lo demás.

Solución:

a)

Q1 = 90-

12 p1

Q2 =35-

14 p2 C(Q) = 25-20(Q1+Q2 +Q3 )

Q3 =30-

15 p3

Ingresos = P*Q= Q1p1+Q2 p2 +Q3 p3

Los beneficios serán nuestra función a maximizar→ B=I-C

B=(90-(1/2)p1)p1+(35-(1/4)p2)p2+(30-(1/5)p3)p3-25+20(90-(1/2)p1+35-(1/4)p2+30-(1/5)p3)=

-

12 p1

2-

14 p2

2-

15 p3

2+80p1+30p2 +26p3 +3075

hayamos el máximo:

Bp1= -p1+80=0 ; p1= 80

Bp2 = -(1/2) p2 +30=0 ; p2 =60

Bp3 =-(2/5)p3 +26=0 ; p3 = 65

Estos son los valores que debemos estudiar si son máximos o minimos para ello estudiaremos el hessiano:

Bp1p1=-1

Bp2p2=-(1/2)

Bp3p3=-(2/5)

H1=-1 <0

H2=(1/2)>0 por lo tanto es un máximo.

H3=-(1/5)<0

b)

Q1= 90-0.50*80=50

Q2 = 25-.25*60=20

Q3 = 30-0.20*65=17

Eq1p1=

∂ q1

∂ p1

∗p1

q1 =-0.50*(80/50)=-0.80

Eq2 p2 =-0.25*(60/20)=-0.75

Eq3 p3=-0.20*(65/17)=-.0.76

EJERCICIO 2

Una compañía destina su planta a la elaboración de dos tipos de bienes A y B. Obtiene un beneficio de 4u.m. por unidad de A y de 6u.m por unidad de B. Los números de unidades de los dos tipos que puede producir mediante la planta están restringidos por la ecuación de transformación del producto dada por :

x2+ y2+2x+ y−4=0con X erY los numeros de unidades ( en miles) de A y B respectivamente producidas por semana. Hallar las cantidades de cada tipo que deben producirse a fin de maximizar el beneficio así como el beneficio máximo

Solución:

Beneficio: 4x+6y

Ecuación de Lagrange: β=4 x+6 y+λ( x2+ y2+2 x+4 y−4 )

Bx= 4+2 λx+2 λ=0

By=6+2 λy+4 λ=0

λ=− 2x+1

λ=− 3y+2

y=3 x−12

x2+14(3 x−1 )2+2 x+2(3x−1 )−4=0

13 x2+26 x−23=0 ;

X=12√13−2∗132∗13

=6∗36−1313

=. 66

X=.66 ; Y= .49

Bxx=2 λByy=2 λBxy=0

H2=4 λ2>0H1<0 máximo

26

El beneficio es de 5.58miles de u.m.

EJERCICIO 3

Supongamos que los precios de los plátanos y naranjas se ven influidos por las demandas

respectivas de uno y otro producto a través de las siguientes expresiones :

pN=70-2dN-3dP ; pP=110-3dN-5dP

donde pN y dN representan el precio y la demanda de naranjas respectivamente y pP y dP lo análogo para los plátanos. Sabiendo que el coste conjunto de abastecer de estas frutas el mercado es de:

C=2dN2-2dNdP+dP

2+37.5

¿Cuál será la demanda óptima para que el beneficio del vendedor sea máximo?

Solución:

Si llamamos

X a la Demanda de Plátanos y P1 al Precio de Plátanos

Y a la Demanda de Naranjas y P2 al Precio de las Naranjas

P1 = 110 – 3Y – 5X

P2 = 70 – 2Y – 3X

Costes , C = 2Y² - 2XY + X² + 37,5

Ingresos , I= P1*X+ P2* Y= 110 X+ 70Y – 6XY – 5X² -2Y²

Beneficio, Bº = I – C = - 6X² - 4Y² - 4XY + 110X + 70Y – 37,5

Derivadas primerasBX = - 12X – 4Y + 110 = 0 Y= 5

BY = - 8Y – 4X + 70 = 0 X = 15/ 2

Derivadas parciales

BXX = -12 H1 = -12 < 0

BXY = - 4

H2 = -12 -4 > 0, H1 < 0 y H2 > 0 Entonces máximo.

27

BYY = -8 -4 -8

EJERCICIO 4

Las funciones de demanda para dos productos de un monopolista son:

Q1=20-5p1+3p2 ; Q2=10+3p1-2p2

Sabiendo que su función de coste total es C(Q1, Q2)= 2Q12-

2Q1Q2+Q22+37.5, hallar los niveles de producción para cada producto que

maximizan el beneficio así como el beneficio máximo.

Solución:

Q1= P1=

Q2= P2=

Ingresos = P1*Q1+P2*Q2 = -2q1² - 5q2² – 6 Q1*Q2 + 70 Q1 + 110 Q2Costes = 2Q1² – 2 Q1*Q2 + Q2² + 37,5

Beneficio = Ingreso – Costo = - 4Q1² – 6Q2² – 4Q1*Q2 + 70Q1+110*Q2 + 37,5

BQ1 = - 8 Q1 - 4 Q2 + 70 = 0

Q1 = 5 , Q2 = 15 / 2

BQ2 = - 12 Q2 – 4 Q1 + 110 = 0

BQ1Q1= -8

BQ1Q2= -4 H= -8 -4 > 0 ENTONCES ES UN MÁXIMO

BQ2Q2= -12 -4 -12

EJERCICIO 5

La función de coste total de un monopolista es C(Q)=10Q+6 donde Q=q1+q2 siendo p1=50-5q1 ; p2 =30-2q2 las funciones de demanda en cada mercado. Hallar la producción que maximiza su beneficio en cada mercado, el precio que pondrá en cada mercado y el beneficio total.

Solución:

Ingresos, I =P1*Q1+P2*Q2= (50 – 5Q1)*Q1+ (30–2Q2)*Q2= 50Q1-5Q1²+30Q2-2Q2²

Costes, C = 10Q + 6 = 10( Q1+Q2) + 6 = 10Q1 + 10 Q2 + 6

Beneficio, B = I - C = 40 Q1-5 Q1² + 20Q2 – 2Q2² – 6

28

Derivadas primeras

BQ1= 40 – 10Q1 = 0 ..................... Q1= 4

BQ2= 20 – 4 Q2 = 0 ....................... Q2= 5

Derivadas parciales H1 -10 < 0

BQ1Q1= -10

BQ1Q2 = 0 H2= -10 0 > 0 , H1 < 0 y H2 > 0 Entonces máximo.

BQ2Q2 = -4 0 -4

P1= 50 –5Q1 = 30 u.m. Entonces P1 = 30 u.m.

Bº = I – C = 124 u.m.

P2 = 30 – 2 Q2 = 20 u.m. Entonces P2 = 20 u.m.

EJERCICIO 6

La función de producción de una empresa es Q=8K1 /4 L1 /2. El precio de su producto por unidad es 4 y los precios de los inputs capital (K) y trabajo (L) son r=8 y w=4 respectivamente. Hallar los niveles de inputs que maximizan el beneficio de la empresa, el nivel de producción y el beneficio máximo.

Solución:

Ingresos, I = P * Q = 4 * (8K¼ * L½) = 32 K¼ * L½ Costes, C= W * L + K * R = 8K + 4 L

Beneficio, Bº = I – C = (32 K¼ * L ½ ) - ( 8K + 4 L )

Derivadas primeras

BK = 8 K ˉ¾ * L ½ - 8 = 0 K ˉ¾ * L ½ = 1

BL = 16 Lˉ ½ * K¼ - 4 = 0 4 K¼ * Lˉ ½ =1 L ½ = K¼

4 K¼ * K ˉ¾ = 1 ; 4 K½ = 1 ; K½ = 4 ; K= 16

L ½ = 16¾ ; L= 16 ^ (3/2) ; L = 4³; L = 64

Derivadas parciales

BKK = -6 K ^(-7/4) * L ½ BKK (16,64) = - (3/8)

sustituimos

BKL = 4 K ^ (-3/4) * Lˉ ½ BKL (16,64) = 1/ 16

L=64 y K=16

29

BLL = - 8 K¼ * L ^(-3/2) BLL (16,64) = - (1/32)

H1 = - (3/8) < 0

- (3/8) 1/16

H2 = > 0 ; H1 < 0 y H2 > 0 Entonces máximo.

1/16 - (3/8)

Q = 128 Bº = 128

EJERCICIO 7

Cuatro plantas fabrican cuatro productos iguales x, y, z, t. Se tiene un pedido de 1000 unidades.

Sabiendo que los costos de fabricación en cada planta son:

Hallar el número de unidades que debe fabricar cada planta para que los costes sean mínimos.

Solución:

S.T.:x+y+z+t=1000

Igualando a cero llegamos a los valores de: x=50 , y=±3 , z=943 , t=4

30

C1( x )=60+ x2

10;C3 ( z )=20+10 z ;C2 ( y )=30+ y+ y

3

3

;C4 ( t )=25+2 t+t2

F . O . :60+ x2

10+20+10 z+30+ y3

3+25+2t+t2

α ( x , y , z , t , λ )=60+x2

10+20+10 z+30+ y3

3+25+2 t+t2−λ( x+ y+z+t−1000)

α ' x=x5− λ=0

α ' y=1+ y2−λ=0α ' z=10−λ=0⇒ λ=−10α ' t=2+2 t−λ=0

α ''zt=0α ''yz=0α ''yt=0

α ''xy=0α ''xz=0α ''xt=0

α ''xx=15

α ''yy=2 yα ''zz=0α ''tt=2d2 α=1

5dx2+2 ydy 2+2 dt2

para y=3 ; d2 α > 0 mínimo

EJERECICIO 8

Determinada compañía elabora dos tipos de bienes A y B. Obtiene un beneficio que viene dado por B(x,y)=2x3+y3, donde x e y son los números de unidades de A y V, respectivamente. Los números de unidades de los dos tipos que puede producir, están restringidos por la ecuación de transformación del producto dada por: x2+y2=100. Hallar las cantidades de cada tipo que deben producirse a fin de maximizar el beneficio, así como el beneficio máximo.

Solución:

F.O.: B(x,y)=2x3+y3

S.T.:x2+y2=100

PUNTO CRÍTICO Sí x=0 y=10 porque x2+y2=100 ; como y=10

=15 porque (0,10,15)

Sí y=0 x=15 porque x2+y2=100 ; como x=10 =30 porque (10,0,30)

sustituir y=x2 en la restricción,

S.T.:x2+y2=100 x2+4x2=100

Sí

H(0,10,15) = = -90

H0=1

H1=-30

H2=-90 duda

31

y =+√100-x2

α ( x , y , λ )=2 x3+ y3−λ( x2+ y2−100 )=2 x3+ y3−λx2−λy2+100 λα ' x=6 x2−2 λx=0⇒2 x (3 x− λ)=0 ; x=0 ;3 x=λ

α ' y=3 y2−2 λy=0⇒ y (3 y−2 λ ); y=0 ; λ=32

y

α ' λ=−x2− y2+100=0⇒ S .T .: x2+y2=100

x=32

y

x=32

y

λ=3 x=32

y⇒ y=2 x

x=2√5

(2√5 ,4 √5 , 6√5)λ=6√5y=4√5x=2√5

α ''xx=12 x−2 λ⇒α ''xx( 0 ,10 , 15)=−30α ''xy=α ''yx=0α ''yy= 6y-2 λ⇒α ''yy=(0 , 10 , 15)=30

−30 00 30

60 00 −60

H(10,0,30) = =-3600

H0=1

H1=-60

H20 duda

H0=1

H10

H20 mínimo relativo

máximo relativo

máximo relativo

minimo relativo

EJERCICIO 9

En una planta industrial se consume un único input del que se dispone en una cantidad limitada de 8 unidades que es preciso consumir completamente. En dicha planta funcionan tres procesos independientes entre los que es preciso repartir la cantidad disponible de input. Sean x, y, z las cantidades asignadas a cada uno de los procesos y

f(x)=230-(2x+2)2 ; g(y)=345-(2y+8) 2 ; h(z)=186-(2z+10) 2

32

Hα (2√5 , 4√5 ,6√5 )=12√5 00 12√5

>0

HO (0 ,10 , 15 )=0 0 −200 −30 0−20 0 30

=12000>0

HO (10 ,0 , 30 )=0 −20 0−20 60 00 0 −60

=240000>0

HO (2√5 , 4√5 , 6√5 )=0 4 √5 8√54√5 12√5 08√5 0 12√5

<0

los rendimientos obtenidos de ellos. ¿Qué cantidad de factores debe asignarse a cada uno de los procesos productivos para que el rendimiento total sea máximo?Solución:

S.T.: x+y+z=8

z=x-4 3x=15 ; x=5

y=x-3 y=2

z=1

33

α ( x , y , z , λ )=230−(2 x+2)2+345−(2y+8 )2+186−(2 z+10)2+ λ( x+ y+z−8 )α ' x=−2(2 x+2)2+λ=0⇒ λ=8 x+8α ' y=−2(2 y+8 )2+λ=0⇒ λ=8 y+32

α ' z=−2(2 z+10 )2+λ=0⇒ λ=8 z+40

α ''xx=−8α ''yy=−8α ''zz=−8H3=

−8 0 00 −8 00 0 −8

=−512<0 ; H2=−8 00 −8

=64>0 ; H1=−8<0

Máximo relativo

EJERCICIO 10

La función de utilidad de un consumidor es: U=2lnx+lny y su restricción presupuestaria es M=2x+4y. Hallar los niveles de x e y que el consumidor debe asignar a fin de maximizar su utilidad.

Solución:

F.O.: U=2lnx+lny

S.T.: M=2x+4y

(x,y,)=2lnx+lny-(2x+4y-M)

’x=0 ;

2( 1x− λ)=0 ; λ= 1

x

’y=0 ;

1y−4 λ=0 ;

1y=4 λ ; λ= 1

4 y

sustituyendo en la restricción, M = 2x + 4y

Hallar :

λ=1x⇒ λ= 1

M3

= 3M

;

PUNTO CRÍTICO

34

α ' x=2x−2 λ⇒

2x−2 λ=0

α ' y=1y−4 λ⇒1

y−4 λ=0

α ' λ=−2 x−4 y−M⇒−2 x−4 y−M=0⇒ S .T .: M=2 x+4 y=0

1x= 1

4 y⇒ x=4 y

M=2( 4 y )+4 y⇒ y=M12

M=2 x+4 ( x4)⇒ x=M

3

( M12

,M3

,3M )

α ''xx(M3

,M12

,3M

)=−2

(M3

)2=−18

M2

α ''yy(M3

,M12

,3M

)=−1

(M12

)2=−144

M 2

α ''xx=−2

x2

α ''xy=0

α ''yy=−1

y2

Hα ( M3

,M12

,3M

)=

−18

M 20

0−144

M 2

H0= 1

H1<0

H 2>0 máximo relativo

La función de U=2lnx+lny presenta un máximo relativo para el valor de

y el valor

EJERCICIO 11

La función de utilidad de un consumidor viene dada por U=(x+2) (y+1). Sabiendo que su poder adquisitivo es de 51 u.m. y que los precios respectivos de x e y son px=2 ,py=5, hallar los niveles de x e y que maximizan la utilidad del consumidor.

Solución:

F.O.: U=(x+2) (y+1)

S.T.: 2x+5y=51 (presupuesto: px x + py y)

(x,y, )=(x+2)(y+1)-(2x+5y-51)

’x=y+1-2 ’x=0 ; y+1-2=0 y+1 =

(y+1)5=2(x+2)

’y=x+2-5 ’y=0 ; x+2-5=0 y+2 = 5y+5=2x+4

’=-2x-5y+51 ’=0 ; -2x-5y+51=0

sustituir en la restricción, 2x+5y=51:

2(5y+1)+5y=51 ; y=5

2

2x+5(2x-1)=51 ; x=13

5

hallar : =y+1 =5+1 =3

2 2

35

2

5

Y =2x-1 5y+1=x 5 2

y= M12x= M

3

PUNTO CRÍTICO: (13,5,3)

’’xx= 0 H(13,5,3)= =-1

’’xy= 1

’’yy= 0 H 0= 1

H 1= 0

H2=-1 duda

’= -2x-5y+51

’’x=-2

’’y=-5

’’= 0

HO(13,5,3)= =200

máximo relativoPara x=13 e y=5 se maximiza la función de utilidad del consumidor U=(x+2) (y+1).

EJERCICIO 12

La función de producción de un fabricante es Q=4K1 /2 L1 /2. Su función de costo es C=2K+8L. Hallar la combinación de K y L para minimizar el costo a un nivel de producción Q=32.

Solución:

F.O.: C=2K+8L

S.T.: 4K1 /2 L1 /2=32

(K,L, )=2K+8L-[(4K1 /2 L1 /2)-32]= 2K+8L-(4K1 /2 L1 /2)+32

’K= 2-2K - 1 /2 L1 /2 ’K=0 ; 2=2K - 1 /2 L1 /2 ;

’L= 8-2K1 /2 L - 1 /2 ’L=0 ;

36

0 11 0

0 2 52 0 15 1 0

λ= 1

K−1

2 L12

λ= 8

2K12 L

−12

λ= 1

K−1

2 L12

= 8

2K12 L

−12

⇒2K12 L

−12

K−1

2 L12

=4⇒ KL=4⇒K=4 L

sustituir en la restricción, 4K 1 /2 L1 /2=32:

4 (4 L)12 L

12=32⇒8 L

12 L

12=32⇒8 L=32⇒ L=4

Sí L=4 ; K=16

Hallar : =2

PUNTO CRÍTICO (16,4,2)

H(16,4,2)=

H0= 1

H1 0

H2 0 duda

mínimo relativo, para L=4 y K=16 el costo es mínimo

EJERCICIO 13

La relación entre el importe de las ventas S y las cantidades x e y gastadas en dos medios de publicidad está dada por:

Sabiendo que el beneficio neto es la diferencia entre 1/5 de las ventas y el costo de la promoción y que el presupuesto para publicidad es de 25, ¿cómo debe asignarse éste entre los dos medios para maximizar el beneficio neto?

37

λ= 1

K−1

2 L12

α ''KK (16 ,4,2)=0 ,0625α ''KL(16 , 4,2 )=0 , 25α ''LL(16 ,4,2 )=−1

α ''KK=λK−3

2 L12

α ''KL=λ 2 K−1

2 12

L−1

2= λK−1

2 L−1

2

α ''LL= λ 2 K12 −1

2L−3

2 =−λK12 L

−32

0 ,0625 0 , 250 , 25 −1

HO (16,4,2 )=

0 −4 −16

−4 0 −12

−16 −12

0

<0

S=200x5+ x

+100 y10+ y

Solución:

Sustituir en la restricción,

Sí x=15; y=10

Hallar :

PUNTO CRÍTICO

H =

H0= 1

H1=-1/200

H2 0

definido negativamente: máximo relativo en

EJERCICIO 14

El volumen de ventas de un detergente es función del número de anuncios en la prensa x y del número de minutos de propaganda en TV, y. Estadísticamente se ha estimado que la relación entre estas variables es V=(x+2) (y+1).

38

S .T .:C=x+ y=25ventas=S=200 x5+x

+100 y10+ y

Bneto=15

S−C=15(200 x

5+ x+100 y

10+ y)−( x+ y )

α ( x , y , λ )=f (x , y )− λg( x , y )

α ( x , y , λ )=40 x5+x

+20 y10+ y

−( x+ y )−λ( x+ y−25 )

α ' x=40(5+x )−40 x

(5+ x )2−1− λ=0⇒ λ=

200

(5+x )2−1

α ' y=20(10+ y )−20 x

(10+ y )2−1−λ=0⇒ λ=200

(10+ y )2−1

α ' x=α ' y⇒ λ=200

(5+x )2−1=200

(10+ y )2−1⇒(5+x )2=(10+ y )2=5+ x=10+ y⇒ x− y=5; y=x−5

α ' λ=−x− y+25=0⇒S . T .: x+ y=25

x+( x−5 )=25 ;2 x=30 ; x=15

λ=200

(10+ y )2−1=200

(10+10 )2−1=200

400−1=−1

2

(15 ,10 ,−12)

α ' xx(15 ,10 ,−12)=−

120

α ' xy(15 ,10 ,−12)=0

α ' yy(15 ,10 ,−12)=−

120

α ' xx=−200⋅2 (5+ x )(5+x )4

=−400(5+x )3

α ' xy=0

α ' yy=−200⋅2(10+ y )(10+ y )4

=−400(10+ y )3

(15 , 10 ,−12) − 1

200

0 −1

20

(15 , 10 ,−12)

Sabiendo que un anuncio en la prensa vale 20.000 u.m., un minuto en TV 50.000 u.m. y que el

presupuesto para publicidad es de 2.550.000 u.m., determinar la política publicitaria óptima.

Solución:

F.O.: V=(x+2)(y+2)

S.T.: 20.000x+50000y=2.550.000 (presupuesto: px x + py y)

Sustituir en la restrición:

’x= y+1-20.000=0 y+1 =

20.000 50.000(y+1)=20.000(x+2)’y= x+2-50.000=0 x+2 =

50.000

’= -20.000-50.000y+2.550.000=0 S.T.: 20.000x+2.550.000=2'55*106

50.000y+50.000=20.000x+40.000

50.000y+10.000=x ; y=20.000x-10.000

20.000 50.000

sustituir en restricción

x= 64

y=25'4

hallar : = y+1 = 1'32*10-3

20.000

PUNTO CRÍTICO (64, 25'4, 1'32*10-3)

39

α ( x , y , λ )=( x+2)⋅( y+1)−λ⋅(20000 x+50000 y−2550000)

λ= y+120000

= x+250000

α ' x= y+1−20000 λ=0⇒ λ=y+120000

α ' y=x+2−50000 λ=0⇒ λ=x+250000

α ' λ=−20000 x−50000 y−2550000⇒S .T . :20 .000x+50000y=2 .550 . 000

50000( y+1 )=20000( x+2)50000 y+50000=20000 x+40000

'x= y+1-20.000

'y= x+2-50.000

''xx=0 H(64,25'4,0'00132) = = -1 0

''xy=1 H0=10

''yy=0 H1=0

H20 duda

'=-20.000x-50.000y+2.550.000

''x=-20.000

''y=-50.000 HO (64,24'5,0'00132)= = 10*108 0

''=0

para obtener una política presupuestaria óptima debemos:- editar 64 anuncios en prensa (x=64)- anunciarnos durante 25'4 min en TV (y=25'4)

EJERCICIO 15

La función de producción de una empresa viene dada por Q(L,K)=50L2 /3 K1 /3 donde L y K representan respectivamente el número de unidades de mano de obra y de capital utilizadas y Q es el número de unidades elaboradas del producto. Sabiendo que los costos por unidad de mano de obra y capital empleados son de 100 u.m. y 300 u.m. respectivamente y que la empresa dispone de una cantidad de 45.000 u.m. para propósitos de producción, se pide:

Solución:

F.O.: Q(L,K)=50L2/3

S.T.: 100L+300K=45.000

a) Determinar, utilizando sólo las condiciones de primer orden, la combinación de mano de obra y de capital que la empresa deberá utilizar con objeto de maximizar su producción.

(L.K,)= 50L2/3-(100L+300K-45.000)

´L=100L-1/3K1/3-100= 0 100/3 L -1/3 K 1/3 = 1 L- 1/3K1/3

40

0 11 0

0 −20 . 000 −50 . 000−20 . 000 0 1−50 . 000 1 0

100 3

´K=50L2/3K-2/3-300=0 50/3 L 2/3 K -2/3 = 5 L2/3K-2/3

3 300 90

´=-100L-300K+45.000=0 S.T.: 100L-300K=45.000

1/3 L-1/3 K1/3 = 1/18 L2/3 K-2/3

6 L-1/3 K1/3 = L2/3 K-2/3 ; 6 L -1/3 K 1/3 = 1 6L-1K-1=1

L2/3 K -2/3

La condición de pimer orden es:

b) Demuestre que en este nivel de producción, el cociente de las productividades marginales de los factores es igual al cociente de sus costes unitarios.

Q'L=50/3 2L -1/3 K 1/3 = 2K = 250 = 1

50/3 2L2/3 K-2/3 L 300 3

Q'L= 100 = 1

Q'K 300 3

Cociente costes unitarios

Cociente productividades marginales de los factores en ese nivel de producción

AREA MAXIMA

41

6 K=L; K=L6

∂Q∂L

(300 ,50 )=1003

L−1

3 K13

∂Q∂K

(300 ,50 )=503

L23 K

− 23

EJERCICIO 1.

un terreno rectangular requiere 2000 pies de alambre para cercarlo. si una de sus dimensiones es x (en pies), expresa su áreamáxima.

Sea el Terreno rectangular con lados "x" e "y" 2x +2y = 2000 y = 1000 - x

Área del terreno A = x(1000 - x) A = 1000 x -x ²

Para calcular el áreamáxima derivamos la ecuación del Área y la igualamos a cero dA = 1000 - 2x = 0 x = 500

Luego el Áreaserámáxima para x =500. Reemplazando: Amax = 500 (2000 - 500) Amax = 750 000 pies ²

EJERCICIO 2

Área máxima de un rectángulo de perímetro 2(a+b).

Max A = ab s. a: a+b-P = 0 k siendo k el multiplicador de Lagrange

La función lagrange L es

L = ab + k (2a+2b-P) = 0

dL/da = b + 2k = 0

dL/db = a + 2k = 0 b + 2k = 0 = a + 2k = 0 implica a = b

EJERCICIO 3

¿Cuál es el área máxima que puede tener un rectángulo si la longitud de su diagonal es 4?

Solución:

Represente un rectángulo con lados x e y, base y altura respectivamente.

La longitud de la diagonal es 4, fíjese que se forma un triángulo rectángulo.

Función a optimizar: maximizar en este caso: Área.

Área de un rectángulo: A = x.y

Condición a cumplir: 4=√x2+ y 2:

42

De una manera más fácil:

16=x2+ y2

Al tener identificadas la función y la condición, se determinan los gradientes.

∇ A= ( Ax , Ay )=( y , x )

∇ g=( gx , gy )= (2x ,2 y )

Así las ecuaciones de Lagrange son:

y= λ (2 x )

x=λ (2 y )

x2+ y2=4

Al resolver el sistema, una de las formas puede ser:

Multiplicar la ecuación (1) por x, y también la ecuación (2) por y,

xy= λ (2 x2 )

yx= λ(2 y2 )

Se igualan las ecuaciones

λ (2 x2)=λ (2 y2) Al simplificar queda:

x2= y2; Queda: y=± x

Luego una variable se expresa en función de la otra y se sustituye en la ecuación (3).

Si y = x

16=x2+(x2)

16=2 x2

x=±√8

Como estamos midiendo distancias, x solo puede tomar valores no

negativos, así que se tiene un único punto que es para x=√8 , la altura y también vale.

Así se concluye que las dimensiones del rectángulo corresponden con un

cuadrado de lado √8 . Su área será: A=√8*√8=8

EJERCICIO 4

Utilizando multiplicadores de Lagrange demostraremos que el rectángulo con área máxima que tiene como perímetro p es un cuadrado.

43

H(x,y,λ) = f(x,y) - λg(x,y) Donde g(x,y) = 0 ......... es la restriccion.

Construccion de la funcion objetivo: A(rectangulo) = b.h b: base ⇒ b=x h: altura ⇒ h=y f(x,y) = xy Construccion de la restriccion: P(perimetro) = 2b+2h = 2(b+h) 2(x+y) = p ⇒ 2(x+y) - p = 0 g(x,y) = 2(x+y) - p

H(x,y,λ) = f(x,y) - λg(x,y) H(x,y,λ) = xy - λ[2(x+y) - p] = xy - 2λx - 2λy + p

Derivando la funcion H e igualando a cero (puntos criticos): Hx = y - 2λ = 0 ⇒ y = 2λ Hy = x - 2λ = 0 ⇒ x = 2λ Sustituyendo en la restriccion: 2(x+y) - p = 0 ⇒ 2(2λ+2λ) - p = 0 ⇒ 8λ = p ⇒λ = p/8 x = 2λ ⇒ x = p/4 y = 2λ ⇒ y = p/4 El cuadrado es el unico que tiene como lado p/4

Utilizando el Hessiano ∂²f/∂x² = ∂²(xy)/∂x² = ∂(y)/∂x = 0 ∂²f/∂y² = ∂²(xy)/∂y² = ∂(x)/∂y = 0 ∂²f/∂x∂y = ∂²(xy)/∂x∂y = ∂(y)/∂y = 1 D = (∂²f/∂x²)(∂²f/∂y²) - (∂²f/∂x∂y)² = 0.0 - 1² = -1 < 0 en el punto P(p/4,p/4) hay un maximo∴

EJERCICIO 5

Problema : Determinar las dimensiones del un pentagóno no regular construido usando como base un rectánguloy colocando encima de él un triángulo isóceles de manera que el perímetro sea fijo y que tenga área máxima.

44

EJERCICIO 6

Cuál es el área máxima que se puede hacer en un triángulo-rectángulo de 4 unidades de perímetro?

queremos calcular el máximo de

A = xy/2

sujeto a la restricción

P = x + y + √(x^2 + y^2)

A = 1/2 r^2 sen a cos a

P = r ( cos a + sen a + 1)

Construimos la funcion de Lagrange

F(r, a , λ ) = 1/2 r^2 sen a cos a + + λ ( r ( cos a + sen a + 1) - P)

Anulamos sus derivadas parciales

1) δF(r, a , λ ) / δ r = r sen a cos a + + λ ( cos a + sen a + 1) = 0

2) δF(r, a , λ ) / δa = 1/2 r^2( (cos^2 a - sen^2a) + + λ ( - sen a + cos a ) = 0

3) δF(r, a , λ )/ δλ = r ( cos a + sen a + 1) - P = 0

46

De 1 y 2 quedan

- λ = r sen a cos a / ( cos a + sen a + 1) - λ = 1/2 r^2( (cos^2 a - sen^2 a) / ( - sen a + cos a )

Una solucion evidente :)) es a = 45* (Transforma la segunda igualdad en 0/0)

entonces

a = 45 * r = P / (( cos 45* + sen 45* + 1) = P / ( 1 + √2 )

El triangulotendrà catetos iguales a

x = y = r cos a = √2 P / 2( 1 + √2 )

e hipotenusa = P / ( 1 + √2 )

EJERCICIO 7

Como calcular el área máxima de un triángulo rectángulo cuyo perímetro es de 4 unidades?

A = a b/2c^2 = a^2 + b^2

c = raiz[a^2 + b^2]

a + b + raiz[a^2 + b^2] = 4

La funcionlagrangeana es :

L(A) = a b/2 + k( a + b + raiz[a^2 + b^2] - 4), donde k es el multiplicador de lagrange

derivando parcialmente :

dL/da= b/2 + (1 + a / raiz[a^2 + b^2] ) k = 0

dL/db = a/2 + (1 + b / raiz[a^2 + b^2] ) k = 0

dL/dk = 14 + a + b + Sqrt[a^2 + b^2] = 0

a = 2 ( 2 - √2 ) = 1.17157

b = 2 (2 - √2 ) = 1.17157

k = 2 ( - 3 + 2 √2) = -0.343146

EJERCICIO 8

47

un terreno rectangular requiere 4000 pies de tablas para cercarlo. Si una de sus dimensiones es x (en pies), expresa su área máxima.

Sea el Terreno rectangular con lados "x" e "y" 2x +2y = 4000 y = 2000 - x

Área del terreno A = x(2000 - x) A = 2000 x -x ² dA = 2000 - 2x = 0 x = 1000

Luego el Área será máxima para x =1000. Reemplazando: Amax = 1000 (4000 - 1000) Amax = 300 000 pies ²

EJERCICIO 9

una empresa desea construir un tanque rectangular con capacidad de 1500 pies cúbicos de agua. La base y las paredes verticales deberán ser de concreto y la tapa de acero. Si el costo del acreo es el doble por unidad de area que el de concreto, determine las dimensiones del tanque que minimizan el costo total de la construcción.

Solución: x,y,z (en pies)la longitud, el ancho y la altura del tanque rectangular

Area de la base = area de la tapa = x,y

Area de las cuatro paredes = 2xz+2yz

P (xy+2xz+2yz)

C=p(xy+2xz+2yz)+2pxy=p(3xy+2xz+2yz)

xyz=1500

C=p(3xy+3000+3000) o x y

Cx=p (3y-3000)=0 o bien x2y=1000

x2

Cy=p (3y-3000)=0 o bien x2y=1000

X2

X2y=xy2

48

F(x, y, z, ƛ)=f(x, y, z)-ƛg(x,y, z)

Fƛ=fx-ƛgx=0

Fƛ=fy-ƛgy=0

Fƛ=fz-ƛgz=0

Fƛ= -g=0

F(x,y,z)=C=p(3xy+2yz+2zx)

G(x,y,z)=xyz-1500=0

F(x,y,z,ƛ)=f(x,y,z)-ƛg(x,y,z)

=p(3xy+2yz+2zx)-ƛ(xyz-1500)

Fx=p(3y+2z)-ƛyz=0

Fy=p(3x+2z)-ƛxz=0

Fz=p(2x+2y)-ƛxy=0

Fƛ=-xyz+1500=0

ƛ=3y+2z=3+2

p yz z y

ƛ=3x+2z=3+2

p xz z x

ƛ=3x+2y=3+2

p xyx y

3+2=3+2 o bien 2=2

Z x x y z y

-y .y.3y+1500=0 o bien y3=1000

2

En consecuencia y=10. Por lo tanto x=y=10yz=3y=15

2

El punto critico de C(x,y,z) sujeto a la restricción xyz=1500 esta dado por x=10y=10yx=15

EJERCICIO 10


YY

49

2 2

X


Condición a cumplir: 2=√x2+ y2:

4=x2+ y2

∇ A= ( Ax , Ay )=( y , x )

∇ g=( gx , gy )= (1 x ,1 y )


y= λ (1 x )

x=λ (1 y )

x2+ y2=2

xy= λ (1 x2 )

yx= λ(1 y2)

λ (1 x2)=λ (1 y2) :


Si y = x

4=x2+ (x2)

4=2 x2

x=±√2

EJERCICIO 11

.Área máxima de un rectángulo de perímetro 6(a+b).

Max A = ab s. a: a+b-p = 0 k siendo k el multiplicador de Lagrange

La función lagrangiana L es

L = ab + k (6a+6b-P) = 0

dL/da = b + 6k = 0

dL/db = a + 6k = 0

b + 6k = 0 = a + 6k = 0 implica a = b

50

EJERCICIO 12.

con los multiplicadores de Lagrange demostrar que el rectángulo con área máxima que tiene como perímetro p es un cuadrado.

H(x,y,λ) = f(x,y) - λg(x,y)

g(x,y) = 0.

A(rectángulo) = b.h b: base ⇒ b=x h: altura ⇒ h=y f(x,y) = x,y P(perímetro) = 2b+2h = 2(b+h) 2(x+y) = p ⇒ 2(x+y) - p = 0 g(x,y) = 2(x+y) - p

H(x,y,λ) = f(x,y) - λg(x,y) H(x,y,λ) = xy - λ[2(x+y) - p] = xy - 2λx - 2λy + p Hx = y - 2λ = 0 ⇒ y = 2λ Hy = x - 2λ = 0 ⇒ x = 2λ 2(x+y) - p = 0 ⇒ 2(2λ+2λ) - p = 0 ⇒ 8λ = p ⇒λ = p/8 x = 2λ ⇒ x = p/4 y = 2λ ⇒ y = p/4

Utilizando el Hessiano ∂²f/∂x² = ∂²(xy)/∂x² = ∂(y)/∂x = 0 ∂²f/∂y² = ∂²(xy)/∂y² = ∂(x)/∂y = 0 ∂²f/∂x∂y = ∂²(xy)/∂x∂y = ∂(y)/∂y = 1 D = (∂²f/∂x²)(∂²f/∂y²) - (∂²f/∂x∂y)² = 0.0 - 1² = -1 < 0 en el punto P(p/4,p/4) hay un maximo∴

EJERCICIO13.

La hacienda Fernández requiere 8000 pies de alambre para cercarla. Si una de sus dimensiones es x (en pies), expresa su área máxima.

2x +2y = 8000 y = 4000 - x

Área del terreno A = x(4000 - x) A = 4000 x -x ² dA = 4000 - 2x = 0 x = 2000 Amax = 2000 (8000 - 2000) Amax = 12000 000 pies ²

51

EJERCICIO 14.

Como calcular el área máxima de un triángulo rectángulo cuyo perímetro es de 8 unidades?

A = a b/2c^2 = a^4 + b^4

c = raiz[a^4 + b^4]

a + b + raíz[a^4 + b^4] = 8 :

L(A) = a b/4 + k( a + b + raiz[a^4 + b^4] - 2dL/da= b/4 + (1 + a / raíz[a^4 + b^4] ) k = 0

dL/db = a/4 + (1 + b / raíz[a^4 + b^4] ) k = 0

dL/dk = 26 + a + b + Sqrt[a^4 + b^4] = 0

a = 4 ( 4 - √4 ) = 8

b = 4 (4 - √4 ) = 8

k = 4 ( - 3 + 4 √4) = 20

EJERCICIO 15

Cual es el area máxima de un rectángulo de perímetro 10(a+b).

Max A = ab s. a: a+b-P = 0 k

L = ab + k (10a+10b-P) = 0

dL/da = b + 10k = 0

dL/db = a + 10k = 0

b + 10k = 0 = a + 10k = 0 implica a = b

VOLUMEN MAXIMO

Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuesta a estos problemas, que de otro modo parecería imposible su solución.

Entre los valores q puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el más grande y otro que sea el más pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos.

52

x

y4

Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto crítico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo.

Ejemplo 1:


Solución:

Represente un rectángulo con lados x e y, base y altura respectivamente.

La longitud de la diagonal es 4, fíjese que se forma un triangulo rectángulo.

Función a optimizar: maximizar en este caso: Área.


Condición a cumplir: 4=√x2+ y 2:

De una manera más fácil:

16=x2+ y2

Al tener identificadas la función y la condición, se determinan los gradientes.

∇ A= ( Ax , Ay )=( y , x )

∇ g=( gx , gy )= (2x ,2 y )


y= λ (2x ) …. (1)

x=λ (2 y )….. (2)

x2+ y2=4 …(3)

53

Al resolver el sistema, una de las formas puede ser:

Multiplicar la ecuación (1) por x, y también la ecuación (2) por y,

xy= λ (2 x2 )…. (4)

yx= λ(2 y2 )….. (5)

Se igualan las ecuaciones (4) y (5)

λ (2 x2)=λ (2 y2) Al simplificar queda:


Luego una variable se expresa en función de la otra y se sustituye en la ecuación (3).

Si y = x

16=x2+(x2)

16=2 x2

x=±√8

Como estamos midiendo distancias, x solo puede tomar valores no

negativos, así que se tiene un único punto que es para x=√8 , la altura y también vale.

Así se concluye que las dimensiones del rectángulo corresponden con un

cuadrado de lado √8 . Su área será: A=√8*√8=8

Ejemplo 2:

¿Cuáles son los valores máximos y mínimos que puede tener una la función

f ( x , y )=x2+2 y2 , sobre el círculo x

2+ y2=1 ?

Solución:

Se pide calcular los valores extremos de la función f ( x , y )=x2+2 y2 sujeta a

la restricción g ( x , y )=x2+ y2=1

Calculamos los gradientes:

∇ f =(2x ,4 y )

∇ g=(2 x ,2 y )

Las ecuaciones de Lagrange pueden escribirse:

2 x=λ 2 x ……ec nº 1

54

4 y=λ 2 y ……ec nº 2

x2+ y2=1……ec nº3

Partiendo de la ecuación Nº 1 se tiene:

2 x=λ 2 x

2 x−λ 2 x=0

2 x (1− λ )=0

x=0 yλ=1 , entonces se verifican estos dos valores en las otras ecuaciones.

Si x=0 en la ec nº4 se obtiene: y=±1

Luego si λ=1 , en la ec nº2 se tiene y=0, y luego en la ec nº3, x=±1

Como consecuencia, f ( x , y ) tal vez tiene valores extremos en los puntos:

(0,1) (0,-1) (1,0) (-1,0)

Al evaluar a f ( x , y ) en esos cuatro puntos se encuentra que:

o

f (0,1 )=2f (0 ,−1 )=2f (1,0 )=1f (−1,0 )=1

Por consiguiente, hay dos valores máximos en los puntos (0,1); (0,-1) y dos valores mínimos en los puntos: (1,0) y (-1,0).

Ejemplo 3:

Determine las dimensiones de un cilindro circular recto con volumen máximo si el área de su superficie es de 24π (unidades de longitud cuadradas).

Solución:

Del enunciado se saca que la función que se quiere maximizar, en este caso, es la función volumen del cilindro circular recto. La expresión de volumen para un cilindro circular recto es:

V(h,r) = πhr²

h: es la altura del cilindro

r: es el radio del cilindro

La restricción o la condición que debe cumplir la caja es que la superficie de la caja será igual a 24π (unidades de longitud cuadradas), escribimos la

55

expresión de la superficie del envase cilindro circular recto considerando el fondo del recipiente y su “tapa”.

S(h,r)= 2 πr² + 2 πhr = 24 π

Observe que las expresiones del volumen y de la superficie están dadas respecto a las mismas dos variables: h y r.

Determinamos los gradientes.

a) primero de la función a maximizar, la función volumen

Vh = πr²

Vr = 2 πhr

∇ V (h, r )=(πr2 , 2 π hr )

b) luego el gradiente de la restricción

Sh =2πr

Sr = 4πr + 2 πh

∇ S (h, r )=(2 πr , 4 πr+2πh )La ecuación de Lagrange se escribe:

(πr2 , 2 π hr ) =λ (2 πr , 4 πr+2 πh )Se forma el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la igualación de cada componente:

πr² = λ 2πr …ec nº 1

2 πhr = λ (4πr + 2 πh) …ec nº 2, además de

2 πr² + 2 πhr = 24 π …ec nº 3

Despejando λ de las ecuaciones nº 1 y nº 2, se tiene:

λ= πr 2

2πr= r

2

λ= 2 π hr2 π (2 r+h )

= hr2r+h

Al igualar ambas se obtiene:

56

r2= hr

2 r+h

r (2 r+h )=2hr

(2 r+h )=2 h

h=2 r , se sustituye en la ecuación nº 3 y se obtiene:

2 πr² + 2 π2rr = 24 π

2 πr² + 4πr² = 24 π

6 πr² = 24 π

r² = 4

r = ± 2, pero solo se considera el valor positivo ya que r representa una distancia, así que el valor del radio r es 2, la altura h=4.

Finalmente se concluye que las dimensiones que producen el volumen máximo de un cilindro circular recto para una superficie de 24 π son: h = 4 ; r = 2

Ejemplo 4:

Se desea fabricar una caja de cartón donde el material de los lados y la tapa es de Bs 1/metro cuadrado y el costo del material del fondo es de Bs 3/ metro cuadrado. Determine las dimensiones que debe tener la caja para que su volumen sea de 2 metros cúbicos y su costo sea mínimo.

Solución:

Primero dibujamos la caja donde sus lados sean paralelos al sistema de referencia xyz.

Del enunciado se saca que la función que se quiere minimizar, en este caso, es la función costo. Entonces debemos escribir la llamada función costo, veamos, hay dos precios diferentes involucrados en la fabricación de la caja: el fondo por un lado y las paredes o lados laterales y la tapa. Entonces:

Costo total = costo total fondo caja + costo total lados-tapa,

Además:

Costo total fondo caja= costo unitario fondo*área de fondo

Costo total lados-tapa = costo unitario lados-tapa*área lados- tapa.

Así que se puede escribir el costo total de la siguiente manera:

Si Identificamos:

57

Costo total: CT.

Costo unitario fondo: Cf. Donde Cf = 3 Bs/m²

Área de fondo: Af. Donde Af = x*y

Costo unitario lados-tapa: Cl-t . Donde Cl-t =1 Bs/m²

Área lados-tapa: A l-t. Donde Al-t = x*y + 2x*z + 2y*z

Entonces:

CT = Cf*Af + Cl-t*Al-t

Escribiéndolo en formulas se tiene:

CT = 3 Bs/m²* x*y + 1 Bs/m² (x*y + 2x*z + 2y*z)

Asumiendo que las unidades son correspondientes:

CT = 3 x*y + (x*y + 2x*z + 2y*z)

CT = 4 x*y + 2x*z + 2y*z

Finalmente esa es la formula a optimizar, de aquí vamos a hallar el costo mínimo de la caja con esas condiciones.

La restricción o la condición que debe cumplir la caja es que el volumen de la caja será:

V= xyz = 2


CTx = 4 y + 2z

CTy = 4x + 2z

CTz = 2x + 2y

∇CT= (4 y+2 z , 4 x+2 z , 2 x+2 y )Vx= yz

Vy= xz

Vz= xy

∇ V=( yz , xz , xy )La ecuación de Lagrange se escribe:

(4 y+2 z , 4 x+2 z , 2 x+2 y ) =λ ( yz , xz , xy )Se forma el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la igualación de cada componente:

58

4 y + 2z =λyz …ec nº 1

4x + 2z = λxz …ec nº 2

2x + 2y= λxy …ec nº 3, y además

xyz = 2 …ec nº4

Se resuelve el sistema de ecuaciones lineales por cualquiera de los métodos conocidos para estos casos.

En particular, en este caso se multiplicara la ec nº 1 por x, la ec nº 2 por y, la ec nº 3 por z. quedan así las ecuaciones:

4xy + 2xz =λxyz …ec nº 5

4xy + 2yz = λxyz …ec nº 6

2xz + 2yz= λxyz …ec nº 7, y aun se tiene la ec nº 4.

Fíjese que las tres ecuaciones poseen igual los segundos términos (λxyz), así que los igualaremos a través de ellos.

Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 6:

4xy + 2xz = 4xy + 2yz, luego

2xz = 2yz, entonces

x = y, ….ec nº8


4xy + 2xz = 2xz + 2yz , luego

4xy= 2yz , entonces

2x =z, …ec nº9

Luego se sustituyen las expresiones encontradas en las ecuaciones nº8 y nº9 en la ecuación nº4, de esa manera queda una sola ecuación con una sola incógnita que es la x.

xx2x = 2, entonces queda

x³=1 y finalmente se obtiene

x= 1

Ahora por las ecuaciones nº 8 y nº 9 se obtiene que las dimensiones de la caja son:

x = 1, y = 1, z = 2.

Note que efectivamente el volumen de la caja es de 2 m³.

El costo minimote la caja a construir será:

CT = 4(1)(1) + 2(1)(2) + 2(1)(2) = 4+4+4=12 bolívares

Comentario:

59

En el costo del valor final de la caja, 12 bolívares, parece alto para la realidad, pero es que se usaron valores enteros para que los valores a calcular fuesen fáciles de ver.

Luego se resolverán ejemplos mas complicados.

Ejemplo 5:

El material para el fondo de una caja rectangular cuesta el triple por metro cuadrado que el material para los lados y la tapa. Determine la máxima capacidad (volumen) que la caja puede tener si la cantidad total de dinero a gastar es de 6 bolívares y el material del fondo cuesta Bs 0.90/metro cuadrado.

Solución:

Primero dibujamos una caja donde sus lados sean paralelos a los ejes del sistema de referencia xyz.

Del enunciado se saca que la función que se quiere maximizar, en este caso, es la función capacidad o volumen. Entonces debemos escribir la llamada función del volumen de la caja de acuerdo a su expresión geométrica.

V= xyz

Ahora identifiquemos la restricción: el costo fijo de la caja es de 6 bolívares, pero observemos que hay dos precios diferentes involucrados en la fabricación de la caja: el fondo por un lado y las paredes o lados laterales y la tapa. Escribamos la expresión del costo que es fijo e igual a 6 bolívares, entonces:

Costo total =6 Bs = costo total fondo caja + costo total lados-tapa,

Además:

Costo total fondo caja= costo unitario fondo*área de fondo

Costo total lados-tapa = costo unitario lados-tapa*área lados- tapa.

Así que se puede escribir el costo total de la siguiente manera:

Si Identificamos:

Costo total: CT.

Costo unitario fondo: Cf. Donde Cf = 3 Bs/m²

Área de fondo: Af. Donde Af = x*y

Costo unitario lados-tapa: Cl-t . Donde Cl-t =1 Bs/m²

Área lados-tapa: A l-t. Donde Al-t = x*y + 2x*z + 2y*z

Entonces:

CT = 6 = Cf*Af + Cl-t*Al-t

Escribiéndolo en formulas se tiene:

60

6 = 0.9 Bs/m²* x*y + 0.3 Bs/m² (x*y + 2x*z + 2y*z)

Si decimos que las unidades son correspondientes, escribimos la expresión de manera más sencilla:

6 = 0.9 x*y + 0.3 (x*y + 2x*z + 2y*z)

6 = 1.2 x*y + 0.6x*z + 0.6y*z



Vx= yz

Vy= xz

Vz= xy

∇ V=( yz , xz , xy )b) luego el gradiente de la restricción

CTx = 1.2 y + 0.6z

CTy = 1.2x + 0.6z

CTz = 0.6x + 0.6y

∇CT= (1 . 2 y+0. 6 z ,1 .2 x+0 . 6 z , 0 . 6x+0 .6 y )La ecuación de Lagrange se escribe:

( yz , xz , xy ) =λ(1 .2 y+0 .6 z , 1. 2 x+0. 6 z , 0. 6 x+0 .6 y )Se forma el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la igualación de cada componente:

yz = λ( 1.2 y + 0.6z) …ec nº 1

xz= λ (1.2x + 0.6z) …ec nº 2

xy=λ(0.6x + 0.62y) …ec nº 3, y además

6 = 1.2 x*y + 0.6x*z + 0.6y*z …ec nº4



61

xyz = λ 1.2 xy + 0.6 zx λ …ec nº 5

yxz= 1.2x λ y + 0.6 yz λ …ec nº 6

xyz = 0.6 xz λ + 0.6 yz λ …ec nº 7, y además

6 = 1.2 x*y + 0.6x*z + 0.6y*z …ec nº4

Fíjese que las tres ecuaciones poseen igual los primeros términos (xyz), así que los igualaremos a través de ellos.


1.2 λ xy + 0.6zx λ = 1.2 λ xy + 0.6yz λ

0.6zx λ = 0.6yz λ

x = y


1.2 λ xy + 0.6 zx λ = 0.6 xz λ + 0.6 yz λ

1.2 λ xy = 0.6 yz λ

1.2 x = 0.6 z

2 x = z

Se escribe la ec nº 4 respecto de una variable

6 = 1.2 xx + 0.6 x2x + 0.6 x2x

6 = 1.2 x² + 1.2 x² + 1.2 x²

6 = 3.6 x²

63. 6

=x2

, x=±√6

3 . 6

Como x representa una distancia se toma el valor positivo.

Así que: x=√6

3 . 6

Entonces los valores de las dimensiones de la caja son:

x=√63 . 6 ;

y=√63. 6 ;

z=(2 )√63 .6

La capacidad total será

V= √63 . 6*√6

3 . 6*(2 )√6

3 .6 = 2√(6 3 .6)3

[m ]3 .

Ejemplo 6:

62

Determine las dimensiones de una caja rectangular con la capacidad máxima, es decir con el máximo volumen, si el área de la superficie total será 64 cm. cuadrados.

Solución:

Primero dibujamos una caja donde sus lados sean paralelos a los ejes del sistema de referencia xyz.

Del enunciado se saca que la función que se quiere maximizar, en este caso, es la función capacidad o volumen de una caja rectangular o de un paralelepípedo rectangular.

Entonces debemos escribir la llamada función del volumen de la caja de acuerdo a su expresión geométrica.

V= xyz

Además, se identifica la condición a cumplir o la restricción, dada por la superficie que debe poseer dicha caja, que es de 64 cm. cuadrados. Escribimos el área de la superficie (S):

S= 2xy + 2yz + 2xz = 64



Vx= yz

Vy= xz

Vz= xy

∇ V=( yz , xz , xy )b) luego el gradiente de la restricción

Sx = 2y + 2z

Sy = 2x + 2z

Sz = 2x + 2y

∇ S=(2 y+2 z ,2 x+2 z ,2 x+2 y )La ecuación de Lagrange se escribe:

( yz , xz , xy ) =λ(2 y+2 z , 2 x+2 z ,2 x+2 y )Se forma el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la igualación de cada componente:

yz = λ( 2 y + 2z) …ec nº 1

xz= λ (2x + 2z) …ec nº 2

63

xz= λ (2x + 2y) …ec nº 3 y además

2xy + 2yz + 2xz = 64…ec nº4



xyz = 2 λx y + 2 λx z …ec nº 5

xyz= 2 λxy + 2 λy z …ec nº 6

xyz=2 λxz + 2 λ yz …ec nº7

Fíjese que las tres ecuaciones poseen igual los primeros términos (xyz), así que los igualaremos a través de ellos.


2 λx y + 2 λx z = 2 λxy + 2 λy z

2 λx y + 2 λx z = 2 λxy + 2 λy z

2 λx z = 2 λy z, se obtiene:

x = y


2 λx y + 2 λx z= 2 λxz + 2 λ yz

2 λx y = 2 λ yz

x = z

Así que se tiene: x =y = z

Se escribe la ecuación nº4 en función de una sola variable:

2xy + 2yz + 2xz = 64…ec nº4, respecto de x por ejemplo, queda:

2 x2+2 x2+2 x2=64

6 x2=64

x2=646

x=±√646=±√32

3 , por representar x una distancia se toma el valor positivo, así que:

x=√323 , entonces:

64

x= y=z=√323 y el volumen máximo para la condición dada es:

V=xyz=√323√32

3√323=(√32

3)3

, cm3

.

Ejemplo 7:

Determine cual es la distancia más corta entre el plano cuya ecuación es

x+2 y+3 z=12 y el punto origen del sistema ℜ3.

Solución:

Del enunciado se obtiene que la función que se quiere minimizar, en este

caso, es la función distancia entre dos puntos deℜ3. Fíjese que el

enunciado establece: la distancia más corta, eso se refiere a la menor de las distancias, a la mínima distancia entre dos puntos, donde uno de los puntos es el origen y el otro punto debe estar sobre la superficie dada.Se desea optimizar la distancia.

Entonces debemos escribir la llamada función distancia (d).

d=√x2+ y2+z2

Además, se identifica la condición a cumplir o la restricción, eso es que el

punto debe estar contenido en el plano dado por: x+2 y+3 z=12 .

Una observación muy importante y que nos ahorraría mucho tiempo y esfuerzo es que podemos trabajar con la distancia al cuadrado, es decir la

función a minimizar se puede escribir como: d2=x2+ y2+ z2

,el alumno deberá demostrar que esto es cierto. Para ello deberá

trabajar con la ecuación normal de la distancia d=√x2+ y2+z2

y/o revisar bibliografías para llegar a comprender y concluir que se obtienen los mismos valores.


a) primero de la función a minimizar, la función distancia:

dx= 2x

dy= 2y

dz= 2z

∇ V=(2 x ,2 y ,2 z )b) luego el gradiente de la restricción

65

Sx = 1

Sy = 2

Sz = 3

∇ S=(1,2,3 )La ecuación de Lagrange se escribe:

(2 x , 2 y ,2 z )=λ (1,2,3 )Se forma el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la igualación de cada componente:

2 x=λ ……ec nº1

2 y=2 λ ……ec nº2

2 z=3 λ ……ec nº3, y además

x+2 y+3 z=12 ……ec nº4

Se resuelve el sistema de ecuaciones a partir de la igualación de λ .


2 y=2 (2 x ) , y queda: y=2 x …ec nº 5


2 z=3 (2x ) , y queda: z=3 x …ec nº 6

Se sustituyen las expresiones de restas dos variables en la ec nº 4 para que quede respecto de una variable.

x+2 (2x )+3 (3 x )=12 , así que

x+4 x+9 x=12

14 x=12

x=67

Se obtienen los valores de los otras dos variables:

66

y=127 Además:

z=187 .

Así que la distancia mas corta entre el punto (0,0,0) y el plano dado es:

d=√(6 7)2

+(127)

2

+(187)

2

¿√10 ,29≃3 .21Ejemplo 8:

Determine la mínima distancia entre el origen y la superficie

x2 y−z2+9=0 .

Solución:

Del enunciado se obtiene que la función que se quiere minimizar, en este

caso, es la función distancia entre dos puntos deℜ3, donde uno de los

puntos es el origen y el otro punto debe estar sobre la superficie dada.Se desea optimizar la distancia.

Entonces la ecuación la llamada función distancia (d).

d=√x2+ y2+z2

Además, se identifica la condición a cumplir o la restricción, eso es que el

punto debe estar contenido en la superficie dada por. x2 y−z2+9=0 . Es

decir, debe satisfacer la ecuación de esa superficie.

Una observación muy importante y que nos ahorraría mucho tiempo y esfuerzo es que, de nuevo, al igual que en el ejemplo anterior, se puede trabajar con la distancia al cuadrado, es decir la función a minimizar se

puede escribir como: d2=x2+ y2+ z2

,el alumno deberá demostrar que esto es cierto. Para ello deberá trabajar con la ecuación normal

de la distancia d=√x2+ y2+z2y/o revisar bibliografías para llegar

a comprender y concluir que se obtienen los mismos valores.


a) primero de la función a minimizar, la función distancia:

dx= 2x

dy= 2y

dz= 2z

∇ V=(2 x ,2 y ,2 z )b) luego el gradiente de la restricción

67

Sx = 2xy

Sy = x²

Sz = -2z

∇ S=(2 xy , x2 ,−2 z )La ecuación de Lagrange se escribe:

(2 x , 2 y ,2 z )=λ (2 xy , x2 ,−2 z)Se forma el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la igualación de cada componente:

2 x=λ 2 xy ……ec nº 1

2 y=λx2……ec nº 2

2 z=−2 λz ……ec nº 3, y además

x2 y−z2+9=0 ……ec nº 4

Se resuelve el sistema de ecuaciones, veamos como se hace en este caso:

De la ecuacion nº 1 se tiene, al hacer cero de un lado:

2 x−2 xy λ=0 ,

2 x (1− yλ )=0 , de aquí salen dos situaciones:

i. x=0 . Entonces si x=0, de la ec nº 2 queda y=0 , y al sustituir

en ec nº 4 se obtiene:z=±3 . Se obtienen los puntos: P1 :

(0,0,3) y P2 : (0,0,-3).

ii. 1− λy=0 , se despeja λ, se tiene: λ= 1

y ,

se sustituye en la ec nº 3, se observa: y=−1

se sustituye en la ec nº 2 y queda: 2=x2,entones x=±√2

luego al sustituir los valores y=−1, 2=x2ambos en la ec nº 4:

2 (−1 )−z2+9=0 que al resolver se obtiene: z=±√7 .

De esta parte se han obtenido los siguientes puntos:

68

P3 : (√2 ,−1 ,√7 ):

P4 : (√2 ,−1 ,−√7 ) :

P5 : (−√2 ,−1 ,√7 ):

P6 : (−√2 ,−1,−√7 ) :

Seguimos analizando las opciones planteadas del sistema de ecuaciones, de la ec nº 3.

2 z=−2 λz

2 z+2 λz=0

2 z (1+λ )=0 de aquí también salen dos situaciones:

i. 1+λ=0 , pero esta opción ya fue considerada en la parte anterior, así que no se estudiará de nuevo.

ii. z=0 . De la ec nº 4 se obtiene: x2 y+9=0 , ..ec nº 5

además

x2 y=−9 , se puede comentar aquí que y debe ser negativo.

Si multiplico la ec nº 1 por x , la nº 2 por y se obtiene:

2 x2=λ 2 x2 y así que x2=−λ 9 ……ec nº 6

2 y2= λx2 y así que 2 y2=−λ 9 ……ec nº 7

Que al igualar estas dos últimas ecuaciones se obtiene:

2 y2=x2… … ec nº 8

que al sustituirla en la ec nº 5 se obtiene:

2 y2 y+9=0 ,

2 y3+9=0 ,

y3=−9 /2

y=3√−92 ,

Esto representa otro valor probable para y.

69

Entonces de 2 y2=x2, se obtienen dos valores para x.

x2=2(3√−92)

2

,

Ejercicio 9

Averiguar las dimensiones del paquete rectangular de máximo volúmen sometido a la restricción de que la suma de su longitud y el perímetro de la sección transversal no exceda 108 pulgadas.

FO:

FR:

Resolver ecuación:

FR:

Ejercicio 10

Una caja rectangular sin tapa se hace con de cartón. Calcule el volumen máximo de esta caja.

70

Buscamos maximizar:

con restriccion:

ahora aplicamos lo que nos dice el metodo de los multiplicadores de Lagrange.

Entonces:

Las cuales se transforman a la hora de igualar y aplicar el método en:

Una forma conveniente de resolver el sistema anterior es dejar del lado izquierdo por lo tanto la primera la multiplicamos por la segunda por

y la tercera por , quedaría de la siguiente manera:

Esto quiere decir que tenemos igualdades por lo tanto:

de la segunda ecuación sabemos que:

entonces: . Si se hace sustituimos en la ecuación:

y nos quedaría de la siguiente manera:

Por lo tanto entonces: y .

71

11.-Cuáles deben ser las dimensiones de un envase para leche de forma rectangular, volumen de 512 cm3 y costo mínimo, si el material de los lados de la caja cuestan $10 el centímetro cuadrado y el material de la tapa y el fondo cuestan $20 el centímetro cuadrado.

X V=xyz=512 g(x,y,z)=xyz-512

C(x,y,z)= 2.xy.10+2.yz.10+2.xz.20

y C(x,y,z)=20xy+20yz+40xz

z

C x=¿¿λgx 20y+40z=λyz 20xy+40xz=λxyz 1)

C y=¿¿λgy 20x+20z= λxz 20xy+20yz=λxyz 2)

C z=¿ ¿λgz 20y+40x=λxy 20yz+40xz=λxyz 3)

g(x,y,z)=0 xyz-512=0 xyz-512=0 4)

40xz-20yz=0 20xy-20yz=0 x.2x.x-512=0

20z(2x-y)=0 20y(x-z)=0 2x3-512=0

2x-y=0 x-z=0 x3=5122

2x=y x=z x3=256=6.35

Y=12.7 cm

Z=6.35 cm

Ejercicio 12

Encuentre las dimensiones de la caja rectangular cerrada con volumen maximo q puede inscribirse en una esfera unitaria.

a ver, en este caso, basta con tener un vértice de la caja, ya que el resto se obtienen directamente proyectando los lados, diagonales, etc. Podemos dar por hecho que uno de los vértices estará en el primer cuadrante, y con esa hipótesis trabajamos

sea este punto (x, y, z), el volumen de la caja es: V(x, y, z) = (2x) · (2y) · (2z) = 8 xyz x >= 0 y >= 0 z >= 0 x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0

∂h / ∂x = 8yz - 2 λ x = 0; λ = 4yz/x ∂h / ∂y = 8xz - 2 λ y = 0; λ = 4xz/y ∂h / ∂z = 8xy - 2 λ z = 0; λ = 4xy/z ∂h / ∂λ = x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0

72

4yz/x = 4xz/y = 4xy/z yz / x = xz / y = xy / z yz / x = xz / y ; y^2 = x^2 xz / y = xy / z ; z^2 = y^2

dado que estamos en el primer cuadrante x = y = z

x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0 3 x^2 - 1 = x^2 = 1/3 x = y = z = raíz(3) / 3

el volumen máximo es pues V = 8 · (raíz(3)/3)^3 = 8 · 3 · raíz(3) / 3^3 = 8/9 · raíz(3)

y la caja es cúbica, de arista (2 · raíz(3) / 3)

Ejercicio 13

Encuentre los puntos sobre la superficie z^2=xy+4 mas cercanos al origen a ver, en este caso la función a minimizar es la distancia D = raíz(x^2 + y^2 + z^2)

pero es algo engorrosa para derivar, así que se puede minimizar su cuadrado y es equivalente: f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 en la superficie h(x, y, z) = z^2 - xy - 4 = 0

∂h / ∂x = 2x + λ y = 0; 2x + y = 0 ∂h / ∂y = 2y + λ x = 0; 2y + x = 0 ∂h / ∂z = 2z - 2λz = 0; λ = 1 ∂h / ∂λ = z^2 - xy - 4 = 0; z^2 - 4 = 0; z = +-2

la solución es doble; (0, 0, 2) y (0, 0, -2)

Ejercico 14

Hallar el volumen máximo de un paralelepípedo rectangular sabiendo que la suma de las longitudes de las aristas es 36 puede tener 3 lados diferentes, x, y, z V = x · y · z 4 x + 4y + 4z = 36 x + y + z - 9 = 0

∂/∂x (V + λ (x + y + z - 9)) = yz + λ = 0 ∂/∂y (V + λ (x + y + z - 9)) = xz + λ = 0 ∂/∂z (V + λ (x + y + z - 9)) = xy + λ = 0 ∂/∂λ (V + λ (x + y + z - 9)) = x + y + z - 9 = 0

x = y = z = 3

73

3.- Hacer el máximo o el mínimo Z = XY sujeta a la condición X² + Y² = 1

∂/∂x (Z + λ (x² + y² - 1)) = y + 2λx = 0 ∂/∂y (Z + λ (x² + y² - 1)) = x + 2λy = 0 ∂/∂λ (Z + λ (x² + y² - 1)) = x² + y² - 1 = 0

y/x = x/y x² = y² = 1/2

dos soluciones x = y = raiz(2)/2 x = y = -raiz(2)/2

4.- Hallar el valor mínimo de Z = X² + (Y-2)² sobre la hipérbola X² - Y² = 1

∂/∂x (Z + λ (x² - y² - 1)) = 2x + 2λx = 0 ∂/∂y (Z + λ (x² - y² - 1)) = 2 (y-2) - 2λy = 0 ∂/∂λ (Z + λ (x² - y² - 1)) = x² - y² - 1 = 0

λ = -1 2y - 4 + 2y = 0 y = 1 x² = 2, x = +- raiz(2) (dos soluciones)

EJERCICIO 15

Una caja de cartón sin tapa debe tener 32.000 cm cúbicos, Calcule las dimensiones que minimicen la cantidad de cartón. Hallar un paralelepípedo rectangular de área total dada S que tenga el volumen máximo. Y Determinar las dimensiones de una caja rectangular de volumen máximo, tal que la suma del largo de las 12 aristas es una constante C.

V(x,y,z)=xyz=32000

A(x,y,z)=xy+2yz+2xz

APLICAMOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

AX=λ vx x + 2z= λ yz1

Ay= λ vy y + 2z=λ xz2

Az= λ vz z + df= λ xy3

V(x,y,z)=0 xyz – 32000 = 0

DIVIDIMOS LAS ECUACIONES

Y + 2z = λ yz

X + 2z λ

xz

Y + 2z = y

74

X + 2z x

X(y + 2z)= y(x + 2z)

Xy + 2xz= xy + 2yz

2xz = 2yz

X=y

Y + 2z = λ yz

2y + 2x λ

xy

Y + 2z =z

2y + 2x x

X(y + 2z)= z(2y + 2z)

Xy + 2xz= 2yz + 2xz

xy = 2yz

x= 2z

z= x

2

Reemplazamos

Xyz – 32000 =0

x.x.x - 32000=0

2

x3

2 = 32000

x3 =64000

X = 40

y= 40

Z= 20

2) hallar el parapelipedo

V(x,y,z) = xyz

V(x,y,z)= 2xy + 2yz + 2xz = s

Planteamos las ecuaciones

Vx=λax yz=

λ(2y + 2z)

75

Vy= λ

ay xz= λ

(2x + 2z)

Vz= λ

az xy= λ

(2y + 2x)

V(x,y,z) = 0 2xy + 2yz + 2xz- s = 0

Resolvemos las ecuaciones

Yz = λ (2y + 2z)

Xz λ

(2x + 2z)

Y = 2y + 2z

x 2x + 2z

y(2x + 2z)= x(2y + 2z)

2Xy + 2yz= 2xy + 2xz

2yz = 2xz

y= x

otra ecuación

Yz = λ (2y + 2z)

Xy λ

(2y + 2x)

z = 2y + 2z

x 2y + 2z

z(2y + 2x)= x(2y + 2z)

2yz + 2xz= 2xy + 2xz

2yz = 2xz

x= z

reemplazamos

2xy + 2yz + 2xz – s =0

2(x)(x) + 2 (x)(x) + 2(x)(x) – s=0

2x2+ 2x2 + 2x2 - s = 0

6x2- s=0

76

6x2= s

x2 = 56

X= 56

3) vamos a maximimar el volumen

V(x,y,z) = xyz

S(x,y,z)= 4x + 4y + 4z =c

Vx=λsx yz=

λ4

Vy= λ

sy xz= λ

4

Vz= λ

sz xy= λ

4

S(x,y,z)= 0 4x + 4y + 4z – c =0

Ecuaciones

yz =λ4

xz λ

4

y = 1

x

y=x

otra ecuación

yz =λ4

xy λ

4

z = 1

x

z=x

Reemplazamos

4x + 4y + 4z – c =0

77

4x + 4x + 4x –c =0

12x – c =0

12x=c

X= c

12

COSTO MÍNIMO

1) Se quiere cortar y decorar un cuadro de fotos rectangular de área 60 dm²Si los adornos a lo largo de los lados horizontales cuestan 15 centavos por decímetro y los de los lados verticales cuestan 24 centavos por decímetro. ¿Cuáles son las dimensiones que minimizan el costo total?

15¢/dm FUNCIÓN OBJETIVO C=(2x)*15+(2y)*24 C= 30x+48y y 24¢/dm f(x,y)=30x+48y x RESTRICCIÓN: x > 0 y > 0 x*y=60 → xy-60=0 g(x,y)=xy-60

▼f =λ*▼g <fx,fy>=λ*<gx,gy> <fx,fy>=<λgx,λgy> fx=λgx fy=λgy λ= fx λ= fy gx gy

fx = fy gx gy

Derivamos 30 = 48 f(x,y)=32x+50y y xfx=32 30x = 48yfy=50 (/2) 30x = 48y (1) x=48y (2) 30

g(x,y)=xy-40 ® xy=360 gx=y gy=x (2) en ® 48y *y= 60 . 30 48y² = 60 30 y²=60*30

78

A=60 dm²

48 y²=1800 48 y²=37.5 y= 6.12 dm; sustituimos en (2) x=48y (2) 30 x=48(6.12) 30 x= 9.8 dm P.C. (9.8,6.12)

PRUEBA: xy=60

R//.x=9.8 dm y=6.12 dm

2) Cuáles deben ser las dimensiones de un envase para leche de forma rectangular, volumen de 512cm³ y costo mínimo, si el material de los lados de la caja cuestan 10 dólares el centímetro cuadrado y el material de la tapa y el fondo cuestan 20 dólares el cm².

RESTRICCIÓN V= xyz =512 G(x,y,z)=xyz-512

FUNCIÓN OBJETIVO C(x,y,z)=2xy(10)+2yz(10)+2xz(20) z C(x,y,z)=20xy+20yz+40xz

x

Cx=λgx 20xy+40xz=λxyz (1)Cy=λgy 20xy+20yz=λxyz (2)Cz=λgz 20yz+40xz=λxyz (3)g(x,y,z)=0 xyz-512=0 (4)

(1) Y (2)

20xy+40xz =λxyz (-) 20xy -20yz=λxyz

0 +40xz-20yz= 0 20z (2x-y)=0 2x-y= 0

79

y

x y C=30x+48y 9.8 6.12 587.76 10 6 58820 3 744

2x=y

(1) Y (3) 20xy +40xz=λxyz -20yz-40xz=λxyz 20xy-20yz 0 = 0 20y(x-z) = 0 x= z

Reemplazamos en la ecuacion (4) xyz-512=0 x(2x)(x)-512 = 0 2x³-512= 0 x³=512 2 x³=256 x=6.35 cm Vamos hallar el lado (y) y (z) 2x=y x=z 2(6.35)= 12,7 cm 6.35cm=z

3) Una empresa desea diseñar un tanque de almacenmiento para gas liquido,ñas especificaciones del cliente piden un tanque cilindrico con extremos semisfericos,que debe contener 8000 m³ de gas.el cliente tambien quiere usar la menor cantidad de material para construir el tanque.¿Que radio y altura recomendaria para la parte cilindrica del tanque?

V(r,h)=πr²h+4 πr³ = 8000m³ 3 FUNCION OBJETIVO

A(r,l)=2πrh+4πr² Ar= λgr 2πh+8πr = λ(2πrh+4πr²) (1) Ah= λgh 2πr = λπr² (2) V(r,l)= 0 πr²h+4 πr³-8000= 0 (3)

3 Despejamos λ de la ecuacion (2) 2πr = λπr² 2πr = λ πr² λ= 2 r ;reemplazo en la ecuación (1)

2πh+8πr = 2(2πrh+4πr²) r 2πh+8πr=4πh+8πr 2πh=4πh 0=4πh-2πh 0=h(4π-2π) 0=h(2π)

80

h=0 ; reemplazo en la ecuacion (3)

πr²(0)+4 πr³-8000= 0 3 4 πr³-8000=0 3 r³=8000*3 4π r³=6000 π r=12,4 m

4) Se quiere cortar y decorar un espejo rectangular de área 40 dm²Si los adornos a lo largo de los lados horizontales cuestan 16 centavos por decímetro y los de los lados verticales cuestan 25 centavos por decímetro. ¿Cuáles son las dimensiones que minimizan el costo total?

16¢/dm FUNCIÓN OBJETIVO C=(2x)*16+(2y)*25 C= 32x+50y y 25¢/dm f(x,y)=32x+50y x RESTRICCIÓN: x > 0 y > 0 x*y=40 → xy-40=0 g(x,y)=xy-40

▼f =λ*▼g <fx,fy>=λ*<gx,gy> <fx,fy>=<λgx,λgy> fx=λgx fy=λgy λ= fx λ= fy gx gy

fx = fy gx gy

Derivamos 32 = 50 f(x,y)=32x+50y y xfx=32 32y = 50yfy=50 (/2) 16x = 25y (1) x=25y (2) 16

g(x,y)=xy-40 ® xy=40 gx=y gy=x (2) en ® 25y *y= 40 . 16

81

A=40 dm²

25y² = 40 16 y²=40.16 25 y²=128 5 y=√128 5 y=5.06 dm ;sustituimos en (2) x=25y (2) 16 x=25(5.06) 16 x=7.91 dm P.C. (7.91,5.06)

PRUEBA: xy=40

R//.x=7.91 dm y=5.06 dm

5) Cuáles deben ser las dimensiones de una caja para aguas servidas de forma rectangular, volumen de 1000m³ y costo mínimo, si el material de los lados cuestan 20 dólares el centímetro cuadrado y el material de la tapa y el fondo cuestan 40 dólares el cm².

V=x,y,z=1000→ g(x,y,z)-10000 RESTRICCIÓN g(x,y,z)=xyz-1000 FUNCIÓN OBJETIVO z C(x,y,z)= 2xy(20)+2yz(20)+2xz(40) x C(x,y,z)=40xy+40yz+80xz


1 y 2

40xy+80xz =λxyz

82

y

x y C=32x+50y 7.91 5.06 506.12 10 4 52020 2 740

(-) 40xy -40yz=λxyz 0 +80xz-40yz= 0 40z (2x-y)=0 2x-y= 0 2x=y



6) Un contenedor (en forma de sólido rectangular) ha de tener un volumen de 480 pies cúbicos. Hallar el valor mínimo del costo de fabricación y las dimensiones para obtener dicho valor, sabiendo que el fondo cuesta $5 por pie cuadrado, mientras que los laterales y la cubierta superior cuestan $8 por pie cuadrado.

x y : largo y ancho del fondo z : alto del contenedor

C = 5( x y) + 3(x z + y z + x y)

C= 5x y + 3x z + 3y z +3xy

C= 8x y + 3x z + 3y z RESTRICCIÓN (x y z) = 480→x,y,z-480= 0

g(x,y,z)=xyz-480 Construimos el lagrangiano

Cx=λgx 8xy+3xz=λxyz (1)

83

Cy=λgy 8xy+3yz=λxyz (2)Cz=λgz 3xz+3yz=λxyz (3)

g(x,y,z)=0 xyz-480=0 (4)

(1) y (2)8xy+3xz =λxyz

(-) 8xy -3yz=-λxyz 0 +3xz-3yz= 0 3z(x-y) = 0 x= y

(1) Y (3) 8xy+3xz =λxyz (-) -3xz-3yz=-λxyz 8xy 0 -3yz= 0 y(8x-3z) = 0 8x= 3z 8x= z ; Reemplazamos en la ecuación (4) 3

xyz-480=0 (x)(x)(8/3x)-480 = 0 8 x³-480 = 0 3 8x³=480*3 x³=1440 8 x³=180 x=5.65

Ancho y largo de base x = y 5.65 =y

Altura del contenedor 8x= z 3 8 (5.65)= 15.06 3costo mínimo C= 8x y + 3x z + 3y z C=8(5.65)(5.65) + 3(5.65)(15.06) + 3(5.65)(15.06)

C = $765.914

7) Cuáles deben ser las dimensiones de un envase para aceite de forma rectangular, volumen de 600cm³ y costo mínimo, si el material de los lados de la caja cuestan 15 dólares el centímetro cuadrado y el material de la tapa y el fondo cuestan 30 dólares el cm².

RESTRICCIÓN

84

V= xyz =600 g(x,y,z)=xyz-600 FUNCIÓN OBJETIVO C(x,y,z)=2xy(15)+2yz(15)+2xz(30) C(x,y,z)=30xy+30yz+60xz


(2) Y (2)

30xy+60xz =λxyz (-) 30xy -30yz=λxyz

0 +60xz-30yz= 0 30z (2x-y)=0 2x-y= 0 2x=y



8) Una empresa desea diseñar una tuberia para drenaje,las especificaciones de la costructora pide un tuberia cilindrica con extremos semisfericos,que debe contener 9000 m³ de gas.el cliente tambien quiere usar la menor cantidad de material para construir el tanque.¿Que radio y altura recomendaria para la parte cilindrica del tanque?

85

V(r,h)=πr²h+4 πr³ = 9000m³ 3 FUNCION OBJETIVO

A(r,l)=2πrh+4πr² Ar= λgr 2πh+8πr = λ(2πrh+4πr²) (1) Ah= λgh 2πr = λπr² (2) V(r,l)= 0 πr²h+4 πr³-9000= 0 (3)

3 Despejamos λ de la ecuacion (2) 2πr = λπr² 2πr = λ πr² λ= 2 r ;reemplazo en la ecuación (1)

2πh+8πr = 2(2πrh+4πr²) r 2πh+8πr=4πh+8πr 2πh=4πh 0=4πh-2πh 0=h(4π-2π) 0=h(2π) h=0 ; reemplazo en la ecuacion (3)

πr²(0)+4 πr³-9000= 0 3 4 πr³-9000=0 3 r³=9000*3 4π r³=27000 4π r³= 6750 π r³= 2148.59 r=12,9 m

9) Un teleférico (en forma de sólido rectangular) ha de tener un volumen de 600 pies cúbicos. Hallar el valor mínimo del costo de fabricación y las dimensiones para obtener dicho valor, sabiendo que el fondo cuesta $25 por pie cuadrado, mientras que los laterales y la cubierta superior cuestan $50 por pie cuadrado.

x y : largo y ancho del fondo z : alto del contenedor

86

C = 50( x y) + 25(x z + y z + x y)

C= 50x y + 25x z + 25y z +25xy

C= 75x y + 25x z + 25y z RESTRICCIÓN (x y z) = 600 → x,y,z-600= 0

g(x,y,z)=xyz-600 Construimos el lagrangiano

Cx=λgx 75xy+25xz=λxyz (1)Cy=λgy 75xy+25yz=λxyz (2)Cz=λgz 25xz+25yz=λxyz (3)

g(x,y,z)=0 xyz-600=0 (4)

(1) y (2)75xy+25xz =λxyz

(-) 75xy -25yz=-λxyz 0 +25xz-25yz= 0 25z(x-y) = 0 x= y

(1) Y (3)

75xy+25xz =λxyz (-) -25xz-25yz=-λxyz 75xy 0 -25yz= 0 25y(3x-z) = 0 3x= z ; Reemplazamos en la ecuación (4)

xyz-480=0 (x)(x)(3x)-600 = 0 3x³-600 = 0 3x³=600 x³=600 3 x³=200 x=5.85

Ancho y largo de base x = y 5.85 =y

Altura del contenedor 3x= z 3(5.84)= 17.55costo mínimo C= 75x y + 25x z + 25y z

87

C=75(5.85)(5.85) + 3(5.85)(17.55) + 3(5.85)(17.55)

C = $3182.70

10) Tiene que construirse una cisterna subterránea con la finalidad de albergar 100 pies cúbicos de desechos radiactivos. La cisterna tendrá forma cilíndrica. La base circular y la cara lateral, todos bajo tierra, tienen un costo de $100 por pie cuadrado y la tapa, al nivel del suelo tiene un costo de $300 por pie cuadrado debido a la necesidad de protección. Más aún, la profundidad del tanque no puede exceder los 6 pies porque una capa de dura roca está por debajo de la superficie, lo que incrementaría el costo de la excavación enormemente si se penetrara. Por último, el radio del tanque no puede exceder 4 pies por limitaciones de espacio. ¿Qué dimensiones del tanque hacen del costo un mínimo?

π r2 x=¿100 ; x=100/πr²

(2 πrx+πr²)(100)

La tapa cuesta (πr²)(300)

x

C= (2 πrx+πr²) (100) + (πr²) (300) C =200πrx+400πr²

C=200πr (100/πr²)+400πr² C=20000/r+400πr²

Luego derivamos para encontrar el valor mínimo de C, hacemos dc/dr =0 y despejamos r.

(r)d/dx(20000+400πr²)-(20000+400πr²)dc/dx(r)+d/dx(400πr²) dc/dx= r²

(r)(0)- (20000+400πr²) (1)+2(400πr) dc/dx= r²

-20000 +800πr=0 dc/dx= r²

800πr= 20000 r²

r³= 20000 = 25

80π π

88

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr

r = ³√25/π = 2.00

El valor correspondiente de x es x= 100 = 100 =7.96 πr² π (2.00)²

11) Se quiere construir un envase cilíndrico de base circular. El volumen del cilindro deberá ser 64 cm³.Hallar las dimensiones que debe tener para que la cantidad de lámina empleada sea mínima.

V= πr²h =64cm³ (1)

La función que debemos minimizar es el área A=2πr²+2πrh (2) Despejamos h de la ecuación (1) h=64/πr² (3) A(r)=2πr²+2πr (64/πr²)

A(r)=2πr²+128(rˉ¹) ; Derivamos A´(r)=4πr-128rˉ² = 0 A´(r)=4(πr-32rˉ²)= 0

=ø (πr-32/r²)= 0 =πr³-32/r²= 0 R=³√32/π ; radio que minimiza el área

Luego sacamos la segunda derivada. A´´(r)=4π+2(128)rˉ³

A´´(r)=4π+256/ r³ ; sustituimos el r en esta expresión.

=4 π+256/(³√32/π)³

=4 π+ (256/32π)

A´´(r)= (³√32/π) > 0 Mínimo

Reemplazamos en la ecuación (3). h=64/π (³√32/π)²

Para que el área sea mínima sustituimos el valor del r en la ecuación original.

89

A(r)=2πr²+128(rˉ¹)

A(r)= 2π (³√32/π) ²+128(³√32/π) ˉ¹

A(r)=133.08

12) Hallar las dimensiones de un recipiente cilíndrico de latón de 1200cm³ de capacidad, que requiere la menor cantidad de metal (área total).

R V= πr²h= 1200 cm³ (1)

La función que debemos minimizar es el área A= 2πr²+2πrh (2) h Despejamos h de la ecuación (1) h=1200/πr² (3) (3) en (2)

A(r)=2πr²+2πr (1200) πr² A(r)=2πr²+2400(rˉ¹) ; Derivamos A´(r)=4πr-2400rˉ² = 0 4πr-2400rˉ² = 0

4πr-1200 r² r³=1200 4π r³=600 π

r= ³√600 = 5,76 ; radio que minimiza el área π Luego sacamos la segunda derivada. A´´(r)=4π+2(2400)rˉ³

A´´(r)=4π+4800 ; sustituimos el r en esta expresión. r³ =4 π+4800 600 π

A´´(r)= (³√600/π) > 0 Mínimo

Reemplazamos en la ecuación (3).

90

h=1200/π (³√600/π)² h=11,50 m

Para que el área sea mínima sustituimos el valor del r en la ecuación original.

A(r)=2πr²+2400rˉ¹

A(r)= 2π (³√600/π) ²+2400(³√600/π) ˉ¹

A(r)=939.23

13) Se sobra un terreno de forma rectangular de 1250m² de área se desean construir 3 casas iguales, para ello, es necesario colocar malla ciclónica que delimite el perímetro del terreno para que se utilice la menor cantidad de malla ciclónica posible.

y A(x,y)=1250m² L=P+2y x P(x,y)=2y+2x L= (2x+2y)+2y

L=2x+4y Ax=ΛPx 2x=λ Ay=λPy A(x,y)= 0 Despejamos y de la fórmula del área. 250= xy

y= 1250/x

Sustituimos el valor de y en la ecuación de la L.

L=2x+4(1250/x) L=2x+5000/x

Sacamos la primera derivada:

L´=2-5000 x² L´= 0

2-500 = 0

91

1250m²

x²

-500 = -2x²

-500 = x² -2 x² = 2500

x =50

Sustituimos x en la ecuación del área. y= 1250/x y=1250/50 y=25

Sacamos la segunda derivada:

L´´= 5000 (2x) x

L´´= 5000 (2(50)) (50) L´´= 0.08 > 0 Mínimo.

14) Se quiere cercar un lote rectangular de 1800 m² de área. Si los lados horizontales mide

200m y su anchura es de 50m¿Cuáles deberán ser las dimensiones del lote para que la longitud de la cerca sea menor posible?

xh= 1800m² x = 1800 (1) x h x ;ancho h ; altura h h L=2h+x (2) Sustituimos (1) en (2) L=2h+(1800) (3) h

Procedemos a derivar.

L´=2-1800hˉ² L´=2-1800 h² 2-1800 = 0 h² 2h²-1800 = 0 h²

92

2h²-1800 = 0

h²-900= 0

h²=900

h=30

Sacamos la segunda derivada.

L´´=2(1800) hˉ³

=3600 h³ L´´=(30) > 0

Sustituimos h en la ecuación (1) y (3) x = 1800 (1) h x = 1800 (30) x=60 L=2h+ (1800) (3) h L=2(30)+ (1800) (30)

L=60+60 = 120m

INGRESO MÁXIMO

EJEMPLO 1

Una compañía fabrica una serie de productos de los cuales son deficitarios, se h estimado que la función que determina las pérdidas al fabricar esos productos es:

93

f ( x , y )=x2+2 y2−xy

(x+ y=8¿ x+ y−8=0

f ( x , y , λ )=f ( x , y )−λg ( x , y )

f ( x , y , λ )=x2+2 y2−xy−λ ( x+ y−8 )

f ( x , y , λ )=x2+2 y2−xy−x λ− yλ+8 λ

∂ F∂ x

=2 x− y− λ=0 (1)

∂ F∂ y

=4 x− y− λ=0 (2)

∂ F∂ λ

=−x− y+8=0 (3)

Sistema 1 y 2

2 x− y−λ=0 (1) 2 x− y−λ=0 (1)

(-1) −x+4 y−λ=0 (2) x−4 y+λ=0

3 x−5 y=0 (4)

Sistema 3y 4

(3)−x− y+8=0 (3 ) 3 x−5 y=0

3 x−5 y=0 (4) −3 x−3 y=−24

−8 y=−24

y=−24−8

y=3

Sustitución y=3 e ecuación 3

−x− y+8=0 (3 )

−x−3+8=0

−x+5=0

−x=−5−1

x=5

P.C (5,3)

94

Desde un punto de vista económico, si cada restricción se interpreta como la disponibilidad de cierto recurso, se puede ver a los multiplicadores como un sistema de precios, e el sentido de indicar el valor o rendimiento que se podría obtener al aumentar la disponibilidad del correspondiente recurso.

Comparando estos precios con los precios reales del mercado, puede decidirse si resulta efectivo o no el aumento de la cantidad disponible. Por lo tanto para minimizar los costos de producción se necesitan fabricar 5 productos “X” y 3 productos “Y”

EJEMPLO 2 (Decisiones de producción) Una compañía puede destinar su plantaa la elaboración de dos tipos de productos, A y B. Obtiene una utilidad de $4 porUnidad de A y de $6 por unidad de B. Los números de unidades de los dos tipos quePuede producir mediante la planta están restringidos por la ecuación de transformacióndel producto, que es

x2+ y2+2 x+4 y−4=0conx y ylos números de unidades (en miles) de A y B, respectivamente, producidaspor semana. Halle las cantidades de cada tipo que deben producirse a fin de maximizarla utilidad.Solución Deseamos maximizar la utilidad P, que está dada por

P(x, y) =4x +6y(en miles de dólares por semana). Aquí x y yestán sujetas a las restricciones

g ( x , y )=x2+ y2+2 x+4 y−4=0

Empleando el método de los multiplicadores de LaGrange, construimos la función

F(x, y,λ) =P(x, y) -λg(x, y)Así, los puntos críticos están dados por

F x=Px−λ gx=4−λ (2 x+x )=0F y=Py− λ g y=6−λ (2 x+4 )=¿0

F λ=−g=0Esta expresión de Fλes igual que la ecuación restrictiva dada. A partir de las ecuacionesparaFx y Fy,

λ= 2x+1

= 3y+2

Por consiguiente, 2(y +2) =3(x +1) o y =(3x -1)/ 2. Sustituyendo esto en laEcuación (8), obtenemos una ecuación sólo en términos de x.

95

x2+( 3 x−12 )+2 x+4 (3 x−1

2 )−4=0

Después de simplificar, esto se reduce a 13x2+26x -23 =0. A partir de la fórmulaCuadrática, encontramos las raíces

x=−1±6√13

13≈ 0.664 o bien−2.664

Por supuesto, sólo la raíz positiva x =0.664 tiene sentido. Con este valor de x, tenemos

y=3 x−12

=3 (0.664 )−1

2=0.496

Así que los niveles de producción óptimos son de 664 unidades por lo que respectaaA y de 496 unidades en el caso de B por semana. La utilidad máxima es

P=4(0.664) +6(0.496) =5.63esto es, $5630 por semana.

EJEMPLO3 (Decisiones sobre inversiones en mano de obra y capital) EmpleandoL unidades de mano de obra y K unidades de capital, una empresa puede elaborarP unidades de su producto, con

P ( L, K )=50 L2 /3 K1/3

Le cuesta a la empresa $100 por cada unidad de mano de obra y $300 por cada unidad de capital empleado. La empresa dispone de una suma de $45,000 para propósitos de producción.a) Mediante el método de multiplicadores de LaGrange determine las unidades de mano de obra y de capital que la empresa debería utilizar con el objetivo deMaximizar su producción.

a) Aquí la función a maximizar esP ( L, K )=50L2 /3 K1/3

El costo de emplear L unidades de mano de obra a $100 cada una y K unidades de capital a $300 cada una es de (100L + 300K) dólares. Puesto que deseamos disponer por completo de la suma de $45,000, debemos tener que

100L + 300K =45,000Maximizaremos P(L, K) sujeta a esta restricción.La función auxiliar es

F ( L , K , λ )=50 L2/3 K1 /3−λ(100 L+300 K−45000)

96

Para de obtener un máximo de P(L, K), debe tenerse que

FL=100

3L−1 /3 K1/3−100 λ=0

F k=503

L2/3 K−2/3−300 λ=0

F λ=−(100 L+300 K−45000)=0

Resolviendo las primeras dos ecuaciones para λ

λ=13

L−1 /3 K1/3 y λ= 118

L2/3 K−2/3

Ahora igualamos los dos valores de _.13

L−1 /3 K1/3= 118

L2/3 K−2/3

Multiplicando ambos lados porL1/3 K 2/3, obtenemos

13

K= 118

L o bien L=6 K

Sustituyendo esto en la expresión de Fλresulta que600K +300K +45,000=0 o bien, K =50

Por consiguiente, L =6K=300 y la empresa maximiza su producción si emplea300 unidades de mano de obra y 50 de capital.

Ejemplo Calcular los valores máximo y mínimo de la función f(x, y, z) =

x2+ y2+z2sobre la superficie del elipsoide

M = {(x, y, z) ∈R3 :x2

64+ y2

36+ z2

25−1=0

Al ser M un subconjunto compacto de R3 , f alcanza los valores máximo y mínimo en M. Además M es una variedad.

Consideremos la función F ( x , y , z )=x2+ y2+ z2+λ ( x2

64+ y2

36+ z2

25−1)Sabemos que

los extremos relativos de f /Mson puntos críticos de F para algún valor de λ. Ası pues, debemos resolver el sistema de ecuaciones:

2 x−2 λx

64=0

97

2 y−2 λx

36=0

2 z−2 λx

25=0

x2

64+ y2

36+ z2

25−1=0

De la primera ecuación tenemos que, o bien x = 0 o bien λ = 64. En el primer caso, sustituyendo en las otras tres ecuaciones obtendríamos las soluciones (0.0± 5¿ ,(0 , ± 6,0)

Si λ = 64, al sustituir en las ecuaciones segunda y tercera obtenemos y = z = 0

y, llevando estos valores a la cuarta nos quedax=± 8Finalmente, deberemos calcular f (± 8,0,0 ) , f (0 , ± 6,0 ) , f (0,0 , ±5 ), de donde resulta que el valor máximo de f /Mes 64 y el mínimo es 25.

Ejemplo 4

Un fabricante planea vender un nuevo producto al precio de $350 por unidad y estima que si se gasta x miles de dólares en desarrollo e y miles de dólares en promoción, los consumidores compraran aproximadamente (250y/y+ 2) + (100x/x+ 5) unidades del producto. Si los costos de fabricación de este producto son $150 por unidad.a) ¿Cuánto debería gastar el fabricante en desarrollo y cuanto en promoción para generar la mayor utilidad posible, si dispone de fondos ilimitados?b) Suponga que el fabricante tiene solo $11 000 para gastar en el desarrollo y la promoción del nuevo producto, ¿cómo deberá distribuirse este dinero para generar la mayor utilidad posible?c) Suponga que el fabricante del problema decide gastar $12000 en lugar de $11 000, en el desarrollo y la promoción del nuevo producto. Emplee el multiplicador de LaGrange para estimar de qué manera afectará este cambio la máxima utilidad posible.

a)U=INGRESOS- (COSTOS+INVERSION)

U (x , y)=350( 250YY +2

+ 100 XX+5 )−[150( 250Y

Y +2+ 100 X

X+5 )+1000 X+1000Y ]U ( x , y )=200( 250 Y

Y +2+ 100 X

X+5 )−1000 x−1000 y

Ux=200( 100 ( x+5 )−1 (100 x )( x+5 )2 )−1000

Ux=200( 100 x+500−100 x

( x+5 )2 )−1000

98

Ux=100000

( x+5 )2−1000

Uy=200( 250 ( y+2 )−1(250 y)( y+2 )2 )−1000

Uy=200( 250 y+500−250

( y+2 )2 )−1000

Uy=200( 500

( y+2 )2 )−1000

Uy=100000

( y+2 )2−1000

Ux=100000

( x+5 )2−1000=0

Uy=100000

( y+2 )2−1000=0

100

( x+5 )2=1

100

( y+2 )2=1

100=( x+5 )2 100=( y+2 )2

± 10=( x+5 ) ± 10=( y+2 )2

10-5=x =5 y=10-2=8

100000 ( x+5 )−2100000 ( y+2 )−2

Uxx=−200000 ( x+5 )−3Uyy=¿−200000 ( y+2 )−3

Uxx=−200000

( x+5 )−3 Uyy=−200000

( y+2 )−2

Uxy=0

X=5 Uxx=−200000

( x+5 )−3 Uyy=−200000

( y+2 )−2

Y=8Uxy=0

Uxx=(5,8 )=−200000

(5+5)3=−200000

103=−200<0

Uyy=(5,8 )=−200000

(8+2)3=−200000

103=−200 (5,8) Max.

99

D (5,8 )=(−200 ) (−200 )−(0 )2=40000>0

b) U(x,y) G=x+y=11

Ux=λGx100000

(x+5)2−1000=λ 1)

Uy=λGy100000

( y+2)2−1000=λ 2)

G(x,y)=0 x+y-11=0 3)

100000

(x+5)2−1000=100000

( y+2)2−1000

100000

( x+5 )2=100000

( y+2 )2( y+2 )2=(x+5)2

Y+2=x+5 y=x+3

3)x+y-11=0 y=4+3=7DESARROLLO

X+x+3-11=0

2x=11-3

2x=8 x=4 PROMOCIÓN

c) U(x,y) G=x+y=12

Ux=λGx100000

(x+5)2−1000=λ 1)

Uy=λGy100000

( y+2)2−1000=λ 2)

G(x,y)=0 x+y-12=0 3)

100000

(x+5)2−1000=100000

( y+2)2−1000

100000

( x+5 )2=100000

( y+2 )2( y+2 )2=(x+5)2

Y+2=x+5 y=x+3

3)x+y-12=0 y=x+3

X+x+3-12=0 y=4.5+3

2x=12-3 y=7.5DESARROLLO

2x=9

X=4.5PROMOCION

Ejemplo 5

100

Consideremos una empresa que fabrica tres artículos A, B y C en cantidades x,y, z respectivamente. La empresa fija los precios de sus artículos según unas funciones decrecientes en la cantidad producida del siguiente modo: un artículo A vale 200 − 4x unidades monetarias, un artículo B vale 200 − 3y u.m. y, por último, el precio de un artículo C es 100 − z u.m. Además, la empresa ha calculado empíricamente que su coste en función de las cantidades producidas puede aproximarse por la función x2+ 2y2 + z2 + 100z + 100. En la actualidad, el nivel de producción total es de 59 unidades, pero la empresa considera que puede aumentarlo en una unidad sin incumplir sus restricciones técnicas. Calcula los precios ´óptimos y el beneficio optimo actual y razona si a la empresa le conviene aumentar su producción. Solución: Veamos que este problema se puede plantear como un problema de programación clásica con restricciones. Para ello, pensemos que el objetivo de la empresa consiste en maximizar sus beneficios y supongamos que la empresa vende toda su producción. En este caso, y en ausencia de otras fuentes de financiación, la función de ingresos de la empresa vendrá dada por:

I(x, y, z) = (200−4x)x+(200−3y)y+(100−z)z = −4x2−3y2−z2+200x+200y+100z

Mientras que la función de costes nos la proporciona el enunciado y es:

C(x, y, z) = x2 + 2y2 + z2 + 100z + 100

Con todo ello, la función de beneficios podemos calcularla como:

B(x, y, z) = I(x, y, z) − C(x, y, z) = −5x2 − 5y2 − 2z2 + 200x + 200y − 100

Además, sabemos que el nivel de producción total es de 59 unidades, es decir, debe cumplirse la restricción x + y + z = 59.Por tanto, con la información de la que disponemos podemos decir que el problema que tiene que resolver la empresa es:

Max −5x2 − 5y2 − 2z2 + 200x + 200y − 100

s.a. x + y + z = 59

Con los métodos estudiados en epígrafes anteriores, es fácil calcular que el nivel

de producción ´optimo viene dado por (x, y, z) = (24, 24, 10) puesto que (24, 24, 10) con multiplicador asociado λ = −40 es el ´único máximo global relativo de B. Sustituyendo vemos que los precios óptimos de la empresa son pA = 200−4×24 =

104 u.m., pB = 200 − 3 × 24 = 128 u.m. y pC = 100 − 10 = 90 u.m. Su beneficio

Máximo es B(24, 24, 10) = 3540 u.m.

Si el nivel de producción total aumenta una unidad marginal, el termino independiente b de la restricción aumenta en una utilidad y como

dB∗¿db

=¿¿ λ =-40

101

Resulta que el beneficio máximo B∗ de la empresa disminuiría aproximadamente

en 40 u.m. Por tanto a la empresa no le conviene aumentar la producción.

Ejemplo 6

Un empresario produce dos artículos en cantidades x, y respectivamente La empresa tiene un coste fijo de 20 C y sus costes variables unitarios vienen dados por x ϵpara el primer artículo y x+2yϵ para el segundo. En la actualidad la empresa tiene una producción total de 100 unidades: Calcule el coste mínimo para el nivel actual de producción y razona si al empresario le interesaría, caso de ser posible, aumentar o disminuir el nivel de producción.

Solución: El problema es

Min C(x, y)

s.a. Q(x, y) = 100

Para calcular el coste sabemos que el coste variable por unidad del primer artículoes x. Si se producen x unidades, el coste variable total del primer artículo será x · x = x2. Del mismo modo, el coste variable total para el segundo artículo es (x + 2y)y = xy + 2y2. Si añadimos el coste fijo, obtenemos el coste total.

C(x, y) = x2 + 2y2 + xy + 20ϵ

Por otro lado, Q(x, y) = x + y unidades. Por tanto debemos resolver

Min x2 + 2y2 + xy + 20

s.a. x + y = 100

La función lagrangiana es

L(x, y, λ) = x2 + 2y2 + xy + 20 + λ(100 − x − y).

Calculamos los puntos críticos:

2x +y −λ = 0

x +4y −λ = 0

x +y = 100

Resolviendo el sistema vemos que el ´único punto crítico del problema es (75, 25)

con multiplicador asociado λ = 175.

Puesto que la restricción del problema es lineal, vamos a estudiar la convexidad

de la función objetivo C(x, y) = x2 + 2y2 + xy + 20.

HC= ( x , y )=(2 11 4

)

102

Sus menores principales conducentes valen A1 =2y A2 = 7, con lo que la

Forma cuadrática asociada a HC(x, y) es definida positiva y C es una función estrictamente convexa. Por tanto, (75, 25) es un mínimo global estricto relativo del problema y el coste mínimo es de 8770 ϵ .

Si el empresario puede cambiar el nivel de producción actual, es decir, modificar el término independiente b de la restricción, el comportamiento local de los costes vendrá dado por el multiplicador λ:

∂ C∂ b

=¿λ= 175

El signo positivo indica que por cada unidad marginal que el empresario aumente (disminuya) el nivel de producción, el coste aumentara (disminuirá) 175 unidades marginales. Luego al empresario le convendría disminuir el nivel de producción total

Ejemplo 7

La función de utilidad de un consumidor es U(x, y) = ln (1+xy), donde

x, y son la unidades consumidas de los bienes A y B, respectivamente, cuyos precios son ambos de 1 C por unidad. El consumidor dispone de una renta de 4 C. Calcula las cantidades de ambos bienes que maximizan la utilidad suponiendo que el consumidor gasta toda la renta. Interpreta el multiplicador de LaGrange.

Solución: Con los datos que tenemos podemos plantear la restricción presupuestaria x+y=4. El problema es

Max ln(1 + xy)

s.a. x + y = 4


L(x, y, λ) = ln(1 + xy) + λ(4 − x − y)

Calculamos los puntos críticos

∂ L∂ x

= y1+xy

−λ=0

∂ L∂ y

= x1+xy

−λ=0

∂ L∂ λ

=4−x− y=0

Despejando λ de las dos primeras ecuaciones e igualando obtenemos

103

y+xy2=x+x2 y

Despejando y de la tercera ecuación del sistema y sustituyendo en la anterior, tenemos la ecuación de tercer grado en x:

x3+6 x2+7 x+2=0

Cuyas soluciones son x = 2, x =2+ √5 y x = 2 − √5. Rechazamos este último resultado, por no tener sentido económico, y calculamos, para x = 2, y = 4−x = 2; para x =2+√5, y = 4−x = 2−√5. Este ´ultimo resultado tampoco tiene sentido y, por tanto no lo consideramos.

Con todo lo anterior, el problema que estamos intentando resolver tiene

un punto crítico que es (2, 2) con multiplicador asociado λ =25

,

Puesto que la restricción es lineal, vamos a ver si podemos estudiarla convexidad de la función objetivo y, así, aplicarle la condición suficiente de segundo orden para óptimos globales. La matriz hessiana de la función U es :

HU (x , y )= − y2

(1+zy )2

11+zy ¿2 ¿

11+zy ¿2 ¿¿−

x2

1+zy ¿2 ¿¿

Sus menores conducentes valen:

A1=y2

¿¿

A2=x2 y2−1

¿¿

Cuyo signo puede variar dependiendo de x, y. Así pues, no podemos concluir que existe un máximo global. Empleemos la condición suficiente de segundo orden para óptimos locales. Primero estudiaremos la matriz H(x,y)L(x, y, λ) que en este caso coincide con HU(x, y). Calculada en el punto crítico tenemos que:

H ( x , y ) L(2,2 ,25 )=

−425

125

125

−425

Sus menores principales conducentes son

A1=−425

<0 y A2=3

125>0

104

con lo que la forma cuadrática asociada es definida negativa y, por tanto, el punto

(2, 2) con multiplicador asociadoλ=25

es un máximo local.

En conclusión, si el consumidor desea maximizar su utilidad utilizando toda

su renta, debe consumir 2 unidades del bien A y 2 unidades del bien B.

El multiplicador de LaGrange se interpreta como:

∂U∗¿∂ b

=λ=25¿

Puesto que el termino independiente representa la renta total del consumidor, el significado de λ es que cuando su renta aumenta (disminuye) una unidad marginal, la utilidad aumenta (disminuye) 0.4 unidades marginales

Ejemplo 8

Una empresa dispone de un almacén desde el que distribuye producto a dos zonas comerciales diferentes. La empresa ha calculado que sus costes variables de trasporte vienen dados por la función

3 x12+2 x2

2+4 x1 x2−10 x1−8 x2, donde x, representa la cantidad del producto, medida e miles de unidades, enviada a la zona i. Además la empresa tiene que hacer frente a uso costes fijos de infraestructura de 14 u.m. Calcula cuantas unidades del artículo enviara la empresa a cada zona para que sus costes sean mínimos.

Solución: ´ El problema es minimizar los costes totales de transporte de la empresa que vienen dados por la suma de los costes variables y los costes fijos. Esto es, se trata de resolver el problema

MinC (x1 , x2 )=3 x12+2 x2

2+4 x1 x2−10 x1−8 x2+14

Para ello calculamos los puntos críticos del problema, igualando el gradiente de la función de costes al vector nulo y resolviendo el sistema así obtenido:

∇C= (x1 , x2)=(6 x1+4 x2−10 ,4 x2+4 x1−8 )=(0,0)

El único punto crítico es (1, 1). Vamos a clasificarlo:

HC (x1 , x2 )=6 44 4

105

Los menores conducentes son A1 =6y A2 = 8, con lo que la forma cuadrática asociada a HC(x1 , x2 ) es definida positiva y, por tato, C es una función estrictamente convexa. En consecuencia, (1,1) es el único máximo global de la función y la respuesta al problema es que la empresa debe enviar 1000 unidades de producto a la primera zona comercial y 1000 unidades de producto a la segunda.

Ejemplo 9

Una empresa fabrica dos artículos en cantidades x, y. Su función de costes viene dada por C(x, y)=x2+2 y2+xy+20∈ .Calcula el máximo nivel de producción de la empresa sabiendo que el coste total son 8770∈. Razona que ocurrirá con la producción si la empresa decide tener un coste total de 8769∈.

Solución: ´ El problema es

Max Q(x, y)

s.a. C(x, y) = 8770

Por tanto, debemos resolver

Max x + y

S.ax2+2 y2+xy=8750


L ( x , y , λ )=x+ y+λ (8750− x2−2 y2−xy )

Los puntos críticos son las soluciones del sistema

1 − 2xλ − yλ = 0

1 − 4yλ − xλ = 0

x2+2 y2+xy=8750

Despejando λ de las dos primeras ecuaciones e igualando las expresiones resultantes, obtenemos x=3y. Sustituyendo en la tercera ecuación, 14y2 = 8750, con lo

qué y = 25 o y = −25Rechazamos este ´ultimo resultado por carecer de interpretación económica y sustituimos en los resultados anteriores, con lo que al final obtenemos un punto crítico para este problema que es

(75,25) con multiplicador asociado λ= 1175

106

Puesto que la restricción no es lineal, no podemos clasificar el punto crítico mediante el teorema para ´óptimos globales. Vamos a utilizar, pues, la condición suficiente de segundo orden para óptimos locales. Tenemos que la matriz hessiana respecto de las variables x, y es:

H ( x , y ) L ( x , y , λ )=−2 λ −λ−λ −4 λ

Que calculada en el punto crítico es:

H ( x , y ) L(75,25 ,1

175 )=−2175

−1175

−1175

−4175

Los menores conducentes valen:

A1=−1175

<0

A2=−1

4375>0

con lo que la forma cuadrática asociada es definida negativa y el punto

(75, 25) con multiplicador asociadoλ= 1175

es un máximo local relativo del

problema.Así pues, el máximo nivel de producción que puede alcanzar la empresa es Q(75, 25) = 100 unidades de producto,aunque hemos de tomar este resultado con precaución puesto que el óptimo calculado es local y, por tanto, no podemos asegurar que no existan otras combinaciones de inputs para las cuales la producción sea mayor con el mismo coste.

Si la empresa decide reducir su coste total en una unidad, esto es, pasar de

8770 a 8769∈, el termino independiente del problema se reduce en una unidad que podemos considerar marginal. Por la interpretación del multiplicador de LaGrange, sabemos que

∂Q∗¿∂ b

= λ= 1175

¿

El signo positivo indica que por cada unidad marginal que el empresario disminuya

el coste, el nivel de producción disminuirá1

175 unidades marginales.

GANANCIA MÁXIMA

107

1. Un fabricante planea vender un nuevo producto al precio de $350 por unidad y estima que si se gasta miles de dólares en desarrollo y miles de dólares en promoción, los consumidores compraran aproximadamente (250y/y+2)+(100x/x+5) unidades del producto. Si los costos de fabricación de este producto son $150 por unidad.¿Cuánto debería gastar el fabricante en desarrollo y cuanto en promoción para generar la mayor utilidad posible, si dispone de fondos ilimitados?

U=Ingreso-[costo +inversión] U(x,y)=350(250y +100x )-[150 250y +100 )+1000x+1000y] y+2 x+5 y+2 + x+5

U(x,y)=200(250y +100x )-1000x+1000y y+2 x+5 Ux=200(100(x+5)-1(100x) )-1000 (x+5)² Ux=200(100x+500-100x) )-1000 (x+5)² Ux,=100000 -1000 (x+5)² Ux=200(250(y+z)-1(250y) -1000 (y+5)²

Ux=200(250y+500-250y) -1000 (x+5)² Ux=200(500) -1000 (y+2)²

Uy=100000 -1000 (y+2)²

Ux,=100000 -1000 = 0 (x+5)² 100 =1 (x+5)²100=(x+5)² ± 10=(x+5) 10-5=x 5=x

Uy=100000 -1000 = 0 (y+2)² 100 = 1 (y+2)²

100 = (y+2)²

108

±10=y+2 8=y

Uxx=100000 -1000 (x+5)² Uxx= -200000(x+5)ˉ³Uxx= -200000 (x+5)³

Uy=100000 -1000 (y+2)²Uyy= -200000(y+2)ˉ³

Uyy=-200000 (x+2)³

Uxy= 0 x=5 Uxx= -200000 (x+5)³

y=8 Uyy= -200000 (y+2)³ Uxx(5,8)= -200000 = -200000 = -200< 0 (5+5)³ 10³

Uyy(5,8)= -200000 = -200000 = -200 (8+2)³ 10³

D(5,8)=(-200)(-200)-(0)² (5,8) Máximo. =40000>0

2. Del ejercicio anterior, suponga que el fabricante tiene solo $11 000 para gastar en el desarrollo y la promoción del nuevo producto, ¿cómo deberá distribuirse este dinero para generar la mayor utilidad posible?

Uxy g=x+y=11

Ux = λgx 100000 -1000 = λ (1) (x+5)²

Uy= λgy 100000 -1000 = λ (2) (y+2)²

g(x,y)= 0 x + y -11 = 0 (3)

100000 -1000 = 100000 -1000 (x+5)² (y+2)²

100000 = 100000 (y+2)² = (x+5)² -> y+2 = x+5 -> y = x + 3 reemplazamos en (3). (x+5)² (y+2)²

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R// g(x,y)= 0 x + y -11 = 0 (3) -> x= 4 -> y = 7

Es de decir debe distribuir el dinero en 4000 en desarrollo y 7000 en promoción.

3. Del ejercicio anterior, suponga que el fabricante del problema decide gastar $12000 en lugar de $11 000, en el desarrollo y la promoción del nuevo producto. Emplee el multiplicador de Lagrange para estimar de qué manera afectará este cambio la máxima utilidad posible.

Uxy g=x+y=12

Ux = λgx 100000 -1000 = λ (1) (x+5)²

Uy= λgy 100000 -1000 = λ (2) (y+2)²

g(x,y)= 0 x + y -12 = 0 (3)

100000 -1000 = 100000 -1000 (x+5)² (y+2)² 100000 = 100000 (y+2)² = (x+5)² -> y+2 = x+5 -> y = x + 3 reemplazamos en (3). (x+5)² (y+2)²

g(x,y)= 0 x + y -12 = 0 (3) -> x= 4,5 -> y = 7,5

Entonces:g(x,y)= 0 x + y -11 = 0 (3) -> x= 4 -> y = 7 con 11000

g(x,y)= 0 x + y -12 = 0 (3) -> x= 4,5-> y = 7,5 con 12000

Función de utilidad para 11000 (x=4, y=7)

U(x,y)=200(250y +100x )-1000x+1000y y+2 x+5

U= 200(250(7) +100(4))-1000(4)+1000(7) 7+2 4+5 U= 50,777.77

Función de utilidad para 12000 (x=4.5, y=7.5)

U(x,y)=200(250y +100x )-1000x+1000y y+2 x+5

U= 200(250(7.5) +100(4.5))-1000(4.5)+1000(7.5) 7.5+2 4.5+5 U= 51,947.36En conclusión la utilidad máxima se incrementa.

4. La función de producción de Cobb -Douglas para un fabricante de software está dada por

f(x,y)=100x¾y¼

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Donde x representa las unidades de trabajo (a $150 por unidad) y se representa las unidades de capital(a $250).el costo total de trabajo y capital está limitado a $50000.Hallar el nivel máximo de producción de este fabricante.

FUNCION OBJETIVO F(x,y)= 100x¾y¼ x=unidades de trabajo ($50 por unidad) y=unidades de capital ($250 por unidad) RESTRICCIÓN: C(x,y)=50000 =150x+250y Derivamos la f(x,y)= 100x¾y¼ 75xˉ¼y¼= λ150 (1) 25x¾yˉ¾= λ250 (2) 150x+250y=5000 (3)Despejamos λ de la ecuación ( 1) 75xˉ¼y¼= λ150 λ= 75xˉ¼y¼ 150 λ= 1xˉ¼y¼ 2Sustituimos λ ecuación (2) 25x¾yˉ¾= λ250 25x¾yˉ¾= 1xˉ¼y¼ (250) 2 25x¾yˉ¾=125xˉ¼y¼ x= 5y

Sustituimos x=5y en la ecuación (3) 150x+250y=5000 150(5y)+250y=5000 750y+250y=5000 1000y=5000 y= 5000 1000 y=5sacamos el valor de x y de λx=5(5) λ= 1xˉ¼y¼ 2X=25 λ= 1(250)ˉ¼(50)¼ 2 λ=0.334

5. Un fabricante de piezas de cerámica ha determinado que el costo total C (q) está dado por C (q)=400+4q+0.001q² cada pieza de cerámica debe venderse a un precio de p dólares.

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P=12-0.0004p

¿Cuál es el nivel diario de producción que maximiza la utilidad?¿Cuál es la máxima utilidad?

I (q)=p*q I (q)=12q-0.0004q² U (q)= Ingresos-Costos U (q)=12q-0.0004q²-(400+4q+0.0001q²) U (q)=12q-0.0004q²-400-4q-0.0001q² U (q)=8q-0.0005q²-400

Procedemos a maximizar la utilidad, derivamos e igualamos a 0.

U´ (q)= 0

U´ (q)= 8-2q(0.0005)

=8-0.0010q

8=0.0010q

8 = q 0.0010

q=8000Sustituimos q=8000 en la utilidad

U (q)=8q-0.0005q²-40 U (q)=8(8000)-0.0005 (8000)²-40 U (q)=31960. Utilidad máxima.

6. Un vendedor es capaz de vender x unidades de un producto por mes a un precio unitario que varía de acuerdo a la siguiente ecuación P=200-0.01x dólares, si el costo total mensual de los productos está dado por la siguiente ecuación C=50x+20000 dólares.

¿Qué cantidad de producto debe vender para que la utilidad sea máxima?

P=200-0.01x C=50x+20.000

U (x)= Ingreso- Costo U (x)= x (200-0.01x)-(50x+20.000)

U (x) =200x-0.01x²-50x-20.000

U (x)= -0.01x²+150x-20000

Procedemos a derivar la utilidad.

U´(x)=-0.02X+150 = 0

112

x= -150/-0.02 x = 7500Luego sacamos la segunda derivada. U´´(x)= -0.02

Sustituimos x=7500 en la ecuación de la utilidad.

U (x) = -0.01 (7500)²+150(7500)-20000

U(x) =542500.

7. Una empresa determina que el costo de producir x número de artículos viene dado por la función:

C= 5x²+800x

También sabe que sus ingresos se pueden representar por la función: I= 1000x +200

¿Cuantas piezas se deben producir y vender para maximizar la utilidad?

Utilidad= Ingresos – Costo U(x)= (1000x+200) – (5x²+800x)

U(x)=1000x+200-5x²-800x

U(x)=-5x²+200x+200

Procedemos a derivar la utilidad e igualamos a 0 y encontrar el valor de x. U´(x)= 10x+200 = 0 x= 200 10

x= 20

U´´(x)= 10

Sustituimos el valor de x de la primera derivada en la ecuación de la utilidad.

U(x)= -5(20)²+200(20)+200

U(x)= -5(400)+4000+200

U(x)= -2000+4200

U(x)= 2200.

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8. Las utilidades de una empresa, en miles de dólares, están dadas por la expresión:

U(x)= -x²+10x-24

Donde x expresa el número de cientos de unidades producidas y vendidas.a) Halla el número de unidades que se deben producir para obtener la máxima

utilidad posible.b) Halla la máxima utilidad posible.

U(x)= -x²+10x-24

U´(x)= -2x+10 = 0

x= -10 -2

X=5

U´´(x)= -2

Sustituimos el valor de x de la primera derivada en la ecuación de la utilidad.

U(x)= -x²+10x-24

U(x)= -(5)²+10(5)-24

U(x)= -25+50-24

U(x)= 1

a) 500 unidades R//.b) 1000 dólares R//.

9. Una tienda de productos naturistas tiene como función de precio

, donde x es el número de artículos distribuidos y vendidos y p(x) el precio por un artículo cuando se distribuyen y venden x de ellos. Si además se tiene como función de costo de la distribución y venta de los

productos por día. Determinar la utilidad máxima y el número y precio de los artículos, bajo esta situación.

Calculamos la función de ingreso:

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Obtener la función de utilidad:

Derivamos la función:

Ahora igualamos a 0 este resultado:

X=143

Luego sacamos la segunda derivada

Sustituir en la función de utilidad el valor de x para obtener la ganancia máxima:

Ahora al sustituir x= 143 en la función de precio tenemos:

De esto tenemos que cuando la tienda distribuye y vende 143 productos por día con un precio de $10.5, se tiene una ganancia de $1,323.73 diarios.

115

10. Suponga que la ecuación de demanda para el producto de un monopolista es p=400-2x, y que la función de costo promedio es ĉ(x)=0.2x+4x+ 400 ; donde x representa el número de unidades x

p el precio, y p y ĉ se expresan en dólares por unidad.

a) Determinar el nivel de producción en el que se maximiza la utilidad.b) Determinar el precio en que ocurre la utilidad máxima.c) Determinar la utilidad máxima.

U(x)=I(x)-C(x) (1) I(x)= px (2)

Ĉ(x)= Cx ≈ C(x)= xĉ(x) (3) x

p=400-2x (4) ĉ(x)=0.2x+4x+ 400 (5) x

Sustituimos (4) en (2) y (5) en (3)

I(x)= (400-2x)x

=400x -2x² (6)

C(x)=x [0.2x+4x+ 400] x

= 0.2x²+4x+400 (7)

Ahora sustituimos (6) y (7) en (1):

U(x)=400x -2x²- (0.2x²+4x+400)

U(x)=400x-2x²-0.2x²-4x-400 U(x)= -2.2x²+396x-400 (8)

Procedemos a derivar la utilidad.

a) U(x)= -2.2x²+396x-400

U´(x)= -2(2.2x)+396

U´(x)= -4.4x+396 -4.4x= -396

x= -396 -4.4

x= 90

116

U´´(x)= -4.4.

Sustituimos x=90 en (4)

b) p=400-2x p=400-2(90) p=220

Sustituimos x=90 en la utilidad

c) U(x)= -2.2x²+396x-400 = -2.2 (90)²+396(90)-400 = 17420

11. Considere una empresa que opera en el mercado bajo la siguiente función de costos totales:CT(x)=0.1x²+10x+50 y con un precio de venta dado por el mercado de $20 por unidad. Dada esta información, conteste cada una de las siguientes preguntas:a. Para maximizar las utilidades, ¿Cuántas unidades debe producir la empresa?b. ¿A cuánto ascienden las utilidades?

x:número de unidades producidas

CT(x)=0.1x²+10x+50 costo de producción. 20x precio por unidades

U(x)=20x-(0.1x²+10x+50)U(x)=20x-0.1x²-10x-50

U(x)= -0.1x²+10x-50Sacamos la derivada.

U´(x)= -2(0.1x)+10 U´(x)= -0.2x+10 -0.2x+10 = 0 x= -10 -0.2 x=50 unidades que debe vender la empresa.

Reemplazo x=50 en la utilidad.

U(x)= -0.1x²+10x-50U(x)= -0.1 (50)²+10(50)-50U(x)= 200. La utilidad asciende a los $200.

12. Una empresa productora de sillas opera en el mercado con la siguiente función de costos totales: CT=900-35x+x², si el precio de venta en el mercado es de $625 por unidad, responda:a. ¿Cuál es el nivel de producción que maximiza las utilidades?

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b. ¿a este nivel de producción, cual es la utilidad?

x : número de sillas fabricadas por la empresa.CT(x) =900-35x+x²; costo de producir625x; dinero por la venta de x sillas U(x)=P(x)-CT(x) ; utilidad en función de x.

a. U(x)=625x-(900-35x+x²)U(x)=625x-900+35x-x²U(x)= -x²+660x-900 (1)

Procedemos a derivar.

U´(x)= -2x+660 (2)U´(x)=0U´(x)= -2x+660= 0 x= -600 -2 x=330 (3) ; número de sillas vendidas.

Sustituyo (3) en (1).

U(x)= -x²+660x-900 U(x)= -(330)²+660(330)-900

U(x)= 108000 ; utilidad máxima.

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PROYECTO DE MATEMÁTICA

TEMA:

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

INTEGRANTES:

CARLOS AMÓN MEJÍA

VANESA BAJAÑA VITERI

GABRIELA AMAIQUEMA RONQUILLO

GÉNESIS CARRANZA BASURTO

JOSUÉ AVILÉS FALCONI

CARRERA

ING. COMERCIO EXTERIOR

CURSO:

1/63

DOCENTE:

ING. FRANKLIN HABLICH

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