Muestreo por Variables, Fraccin defectuosa

Jos D Salinas

Como la caracterstica de calidad es una variable, siempre existir ya sea un lmite de

especificacin inferior LIE, lmite de especificacin superior o ambos, que definan los valores

aceptables de esa caracterstica.

Considerando una caracterstica de calidad x normalmente distribuida y un lmite inferior de

especificaciones LIE, la fraccin defectuosa p es funcin de la media del lote y su desviacin

estndar .

Asumiendo que la desviacin estndar del proceso es conocida, se desea tomar una muestra del

lote para determinar si o no el valor de la media es tal que la fraccin defectuosa p es aceptable.

Para esto se tienen dos mtodos.

p

LIE __

X x

Figura 8.1 Bases del muestreo por variables

Procedimiento 1.

Tomando una muestra aleatoria de n artculos del lote y calculando el estadstico

LIEXZ LIE

=

ZLIE expresa justamente la distancia entre la media X de la muestra y el lmite inferior de

especificacin LIE, entre mayor sea su valor, la media X de la muestra estar ms alejada del LIE

y en consecuencia menor ser la fraccin defectuosa p.

Si hay un valor crtico p que no deba ser excedido con una probabilidad establecida, se puede

traducir el valor de p en una distancia crtica por decir k para ZLIE. De esta forma si ZLIE

Procedimiento 2.

A partir de una muestra sencilla de tamao n del lote, se calcula ZLIE o

)1/( = nnZQ LIELIE (ms exacto) y se estima la fraccin defectuosa p como el rea

bajo la curva normal debajo de ZLIE, si esta fraccin estimada p, excede un valor mximo M,

se rechaza el lote, de otra forma se acepta.

Para el caso de lmites bilaterales se calculan ambos QLIE y QLSE.

)1/(

= nn

LIEXQLIE

)1/(

= nnXLSE

QLSE

Se estiman las fracciones defectuosas P(QLIE) y P(QLSE) de la tabla mostrada en el apndice

para estimar las fracciones defectuosas pI y pS, si la suma de ambas fracciones defectuosas

no excede al valor mximo permitido M se acepta el lote, en caso contrario se rechaza el

lote.

Cuando la desviacin estndar es desconocida, se puede estimar de la desviacin

estndar de la muestra s, remplazando en las frmulas anteriores a por s.

DISEO DE UN PLAN DE MUESTREO POR

VARIABLES

CON UNA CURVA CO ESPECFICA

Para disear un plan de muestreo por variables usando el procedimiento 1, el mtodo de k, que

tiene una curva OC especificada por dos puntos (p1, 1-), (p2, ) donde p1 y p2 son las fracciones

defectuosas que corresponden a niveles de calidad aceptables y rechazables respectivamente se

utiliza un nomograma.

L. J. Jacobson propuso un nomograma mostrando dos escalas diferentes, para estimar n y k con

sigma conocida y sigma desconocida.

Utilizando este nomograma podemos obtener la curva caracterstica de operacin CO,

cambiando los valores de las fracciones defectuosas p y hallando sus probabilidades de

aceptacin si se mantiene fijo n y k.

Ejemplo 8.2 Un embotellador ha establecido que la resistencia mnima para una botella de

plstico sea de LIE= 225 psi, si a lo ms el 1% no pasa el lmite, se aceptar el lote con una

probabilidad del 95% (p1=0.10 y 1-= 0.95), mientras que si el 6% o ms estn abajo del lmite, el

embotellador rechazar el lote con una probabilidad de 90% (p2=0.06, = 0.10).

Para hallar el plan de muestreo por variables n, k, se traza una lnea que une a el punto 0.01 en la

escala de fraccin defectuosas con el punto 0.95 en la escala de probabilidad de aceptacin.

Despus se traza una lnea similar que conecta los puntos p2 = 0.06 y Pa=0.10, en la interseccin de

esas lneas se lee, k=1.9 y n=40 para desconocida (siguiendo la lnea curveada) o n=15 (bajando

una lnea perpendicular) para conocida.

a) Procedimiento 1

Si se desconoce la desviacin estndar, se toma una muestra aleatoria de n = 40 piezas

calculando la media y la desviacin estndar s, se calcula ahora:

LIEXZ LIE

=

Si ZI k = 1.9 se acepta el lote, de otra forma se rechaza.

Si se conoce la desviacin estndar, la n pasa de 40 a 15 con menos costos, al bajar en forma

perpendicular en el punto de interseccin hacia la escala de n.

b) Procedimiento 2.

Una vez obtenidas n 40 y k = 1.9, se obtiene el valor de M del nomograma siguiente:

La abscisa se calcula como sigue (con n = 40 y k = 1.9):

35.0)39(2

409.1

2

1

)1(22

1==

n

nk

Esto indica que M = 0.30.

Por ejemplo si se toma una muestra de n=40 partes y se observa que la media de la muestra

255=X y s = 15, el valor de ZLIE es:

215

255255=

=

=

s

LIEXZ LIE

de las tablas para fraccin defectuosa al final de este captulo se obtiene una p = 0.020, y siendo

que es menor que M = 0.030, se acepta el lote.

Para lmites bilaterales se obtienen ambas pi y ps en base a Zi y Zs, si pi + ps M se acepta el lote, si

no se cumple lo anterior, el lote se rechaza.