MUESTREOPOR

CONGLOMERADOS

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRAFACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIALEstadística III-Material 2-2012Revisión, Cambios y Ampliación: Ing. José Alejandro MarínFuente Primaria: Ing. César Augusto Zapata Urquijo

DEFINICIÓN

El muestreo por conglomerados es unamuestra aleatoria en la que cada unidad demuestreo es un conjunto o conglomeradode elementos. Y se usa cuando el costo deconseguir una observación se incrementacon la distancia que separa los elementos.

DEFINICIÓN

• Tanto en el muestreo aleatorio, así como en elmuestreo estratificado, sistemático y métodosindirectos de estimación, las unidades demuestreo son las mismas que las unidades objetode estudio (unidades simples), pero en la prácticaexisten situaciones más generales en las que lasunidades de muestreo comprenden dos o másunidades de estudio.

• En tal caso a las unidades de muestreo se lasdenomina unidades primarias o compuestas.

DEFINICIÓN

• Se busca dividir previamente al muestreo, lapoblación en conglomerados o áreasconvenientes, de las cuales se selecciona uncierto número para la muestra. Por lo tanto, sóloes necesario un marco de conglomerados queserá más fácil de obtener y más barato. Es posibleusar como marco, divisiones territoriales yaestablecidas de las cuales ya existe información oáreas geográficas ya delimitadas. Está claro quese ahorra coste y tiempo al efectuar visitas a lasunidades.

CARACTERISTICAS

• En el muestreo por conglomerados no se necesita unmarco muy específico como en el caso del MAS en elque era necesario disponer de un listado de unidadesde la población, o como en el muestreo estratificado,donde era necesario disponer de listados de unidadespor estratos.

• El muestreo por conglomerados proporciona másinformación por unidad de costo que los demásmuestreos. Es decir, permite el ahorro de costos ytiempo al efectuar visitas a las unidades seleccionadas.Igualmente, la concentración de unidades disminuye lanecesidad de desplazamientos.

CARACTERISTICAS

• En el muestreo por conglomerados, cuando se toma un tamaño demuestra, la unidad muestral es el conglomerado y se debeencuestar a todos los elementos que se encuentran dentro delconglomerado.

• en el muestreo por conglomerados se suele tener menor precisiónen las estimaciones, debido a que, aunque lo ideal es que hayaheterogeneidad dentro, siempre va a existir un cierto grado dehomogeneidad inevitable dentro de los conglomerados quedisminuirá la precisión.

• La eficiencia de este tipo de muestreo disminuye al aumentar eltamaño de los conglomerados, cuando en realidad este tipo demuestreo es más útil en caso de poblaciones muy numerosas en lasque se puedan construir conglomerados grandes.

CARACTERISTICAS

• El muestreo por conglomerados es unmuestreo aleatorio simple, donde cada unidadde muestreo contiene un número deelementos.

• En el muestreo por conglomerados cuando setoma un tamaño de muestra la unidadmuestral es el conglomerado y se debeencuestar a todos los elementos que seencuentran dentro del conglomerado.

CARACTERISTICAS

• Los conglomerados pueden ser de igual o dedistinto tamaño, y han de ser lo másheterogéneos posible dentro de ellos y lo máshomogéneos posible entre ellos, de tal formaque la situación ideal muestra de tamaño unocon mínimo coste.

• Se observa que la situación ahora es lacomplementaria a la del caso de los estratosestudiados anteriormente.

NOTACIÓN PARA EL MUESTREO POR

CONGLOMERADOSConsidérese una población finita con M unidades elementales oúltimas, agrupadas en N unidades mayores llamadasconglomerados o unidades primarias, de tal forma que noexistan solapamientos entre los conglomerados y que éstoscontengan en todo caso a la población en estudio. Se consideracomo unidad de muestreo el conglomerado, y extraemos de lapoblación una muestra de n conglomerados a partir de la cualestimaremos los parámetros poblacionales.

El número de unidades elementales de un conglomerado sedenomina tamaño del conglomerado.

NOTACIÓN PARA EL MUESTREO POR

CONGLOMERADOSSe supone probabilidades iguales y que todos los conglomerados son del mismo tamaño M, en cuyo caso se usará la siguiente notación.

N=Número de conglomerados en la población.

n=Número de conglomerados seleccionados en la muestra.

𝑀=Número de unidades elementales por conglomerado (tamaño del conglomerado)

𝑁 𝑀=Número total de unidades elementales en la población

𝑛 𝑀= Número total de unidades elementales en la muestra

𝑚𝑖=Número de elementos en el conglomerado.

𝑦𝑖=total de todas las observaciones en el i-ésimo conglomerado.

FORMULAS PARA EL MUESTREO POR

CONGLOMERADOS.

𝑦 = 𝑖=1𝑛 𝑦𝑖 𝑖=1𝑛 𝑚𝑖

𝑚 = 𝑖=1𝑛 𝑚𝑖𝑛

*Muestreo Unietápico De Conglomerados De Distinto Tamaño DE DISTINTO

TAMAÑO

VARIANZA ESTIMADA DE LA MEDIA

𝑉 𝑌 =𝑁 − 𝑛

𝑁𝑛𝑀2∗ 𝑠2

𝑠2 = 𝑖=1𝑛 𝑦𝑖 − 𝑦𝑚𝑖

2

𝑛 − 1Si no se conoce M se puede estimar por medio de m

EJEMPLO

Se quieren estimar los ingresos mediospor persona en una ciudad, para ello semuestrean 25 conglomerados de un totalde 415. Use los datos de la siguientetabla para estimar el ingreso mediopoblacional y establezca un límite para elerror.

TABLA DE DATOSConglomerado # Residentes Ingresos por

conglomeradoConglomerado # Residentes Ingresos por

conglomerado

1 8 96000 14 10 49000

2 12 121000 15 9 53000

3 4 42000 16 3 50000

4 5 65000 17 6 32000

5 6 52000 18 5 22000

6 6 40000 19 5 45000

7 7 75000 20 4 37000

8 5 65000 21 6 51000

9 8 45000 22 8 30000

10 3 50000 23 7 39000

11 2 85000 24 3 47000

12 6 43000 25 8 41000

13 5 54000

SOLUCIÓN

𝑦 = 𝑖=1𝑛 𝑦𝑖 𝑖=1𝑛 𝑚𝑖=1329000

151= 8801,32

𝑚 = 𝑖=1𝑛 𝑚𝑖𝑛=151

25= 6,04

VARIANZA ESTIMADA

𝑉 𝑦 =𝑁 − 𝑛

𝑁𝑛 𝑀2∗ 𝑠2

𝑉 𝑦 =415 − 25

415 ∗ 25 ∗ 6.042∗ 251892

𝑉 𝑦 = 653769,23

LIMITE PARA EL ERROR

𝑉 𝑦 =𝑁 − 𝑛

𝑁𝑛 𝑀2∗ 𝑠2

𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 = 2 ∗ 𝑉 𝑦

𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 = 2 ∗ 808,56

𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 = 1617,12𝜇 = 8801,32 ± 1617,12

ESTIMADORES PARA EL TOTAL POBLACIONAL

EJEMPLO

Se quiere estimar el total poblacional detodos los residentes de la ciudad ycalcular un límite para el errorpoblacional, si existen en la ciudad 2500habitantes.

FORMULAS PARA TOTAL POBLACIONAL t

𝑀 𝑦 = 𝑀 𝑖=1𝑛 𝑦𝑖 𝑖=1𝑛 𝑚𝑖

𝑉 𝑀 𝑦 = 𝑀2 𝑉 𝑦 = 𝑀2𝑁 − 𝑛

𝑁𝑛 𝑀2∗ 𝑠2

SOLUCIÓN

𝑀 𝑦 = 2500 ∗ 8801,32

𝑀 𝑦 = 22003300

𝑉 𝑀 𝑦 = 𝑀2𝑉 𝑦 = 25002 ∗ 653769,23

LÍMITE PARA EL ERROR

𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 = 𝑀 𝑦 ± 2 ∗ 𝑉(𝑀 𝑦)

𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒

= 22003300 ± 2 ∗ 25002 ∗ 653769,23

𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 = 22003300 ± 4042800

ESTIMADOR TOTAL CUANDO NO SE CUENTA CON M

𝑁 𝑦𝑡 =𝑁

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑦𝑖

𝑉 𝑁 𝑦𝑡 = 𝑁2 𝑉 𝑦𝑡 = 𝑁

2𝑁 − 𝑛

𝑁𝑛∗ 𝑠2

𝑠2 = 𝑖=1𝑛 𝑦𝑖 − 𝑦𝑡

2

𝑛 − 1

EJEMPLO

Se quiere calcular el ingreso total detodos los residentes de la ciudad pero nose conoce M. Establezca un límite para elerror y calcule el total poblacional.

SOLUCIÓN

VARIANZA ESTIMADA

𝑉 𝑁 𝑦𝑡 = 𝑁2 𝑉 𝑦𝑡 = 𝑁

2𝑁 − 𝑛

𝑁𝑛∗ 𝑠2

𝑁 𝑦𝑡 ± 2 ∗ 𝑁2 ∗𝑁 − 𝑛

𝑁𝑛∗ 𝑠2

= 22061400 ± 3505532

TAMAÑO DE MUESTRA

𝑛 =𝑁𝜎2

𝑁𝐷 + 𝜎2

𝐷 =𝐵2 𝑀2

4

𝑠2 = 𝑖=1𝑛 𝑦𝑖 − 𝑦𝑚𝑖

2

𝑛 − 1

EJEMPLO

Si se quiere estimar m con una diferenciade 500 cual debe ser el tamaño demuestra.

SOLUCIÓN

𝑛 =415 ∗ 251892

2280100 + 251892

𝐷 =𝐵2 𝑀2

4=5002 ∗ 6.042

4

𝑛 = 166,576

𝑠𝑟 = 25189

ESTIMADOR PARA EL TOTAL

𝑛 =𝑁𝜎2

𝑁𝐷 + 𝜎2

𝐷 =𝐵2 𝑀2

4𝑁2

EJEMPLO

Si se quiere estimar t con una diferenciade 1000000 cual debe ser el tamaño demuestra y si sabemos que M=2500

EJEMPLO

Si se quiere estimar t con una diferenciade 1000000 cual debe ser el tamaño demuestra y si se desconoce M.

MUESTREO POR CONGLOMERADOS

ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN POBLACIONAL

Sirve para estimar una proporción poblacional ofracción. El mejor estimador de la proporciónpoblacional 𝑝 es la proporción muestral 𝑝.

FORMULA

𝑝 = 𝑎𝑖 𝑚𝑖

Donde 𝑎𝑖 es el número total de elementos en elconglomerado i que poseen la característica deinterés.

𝑚𝑖 es el número de elementos en elconglomerado.

VARIANZA ESTIMADA DE P

𝑉 𝑝 =𝑁 − 𝑛

𝑁𝑛 𝑀2∗ 𝑠2

𝑠2 = 𝑖=1𝑛 𝑎𝑖 − 𝑝𝑚𝑖

2

𝑛 − 1

EJEMPLO

Se pregunta a los residentes de un barrio si lacasa que tienen en la actualidad es propia o enarriendo. Los resultados se muestran en lasiguiente tabla y se busca estimar la proporciónde residentes que viven en alquiler y establecerun límite para el error. La población total deconglomerados es igual a 410

TABLA DE RESULTADOSConglomerado Residentes Arrendatarios

1 8 4

2 12 7

3 4 1

4 5 3

5 6 3

6 6 4

7 7 4

8 5 2

9 8 3

10 3 2

11 2 1

12 6 3

13 5 2

14 10 5

15 9 4

16 3 1

17 6 4

18 5 2

19 5 3

20 4 1

21 6 3

22 8 3

23 7 4

24 3 0

25 8 3

SOLUCIÓN

VARIANZA ESTIMADA DE Y

𝑉 𝑝 =𝑁 − 𝑛

𝑁𝑛 𝑀2∗ 𝑠2

𝑉 𝑝 =410 − 25

410 ∗ 25 ∗ 6,042

𝑉 𝑝 = 0,000546

LÍMITE PARA EL ERROR

𝑝 ± 2 ∗ 0,00054

0,48 ± 0,0464

𝑝 = (0,4336 ; 0,5264)

SELECCIÓN DEL TAMAÑO DE MUESTRA

𝑛 =𝑁 ∗ 𝜎2

𝑁𝐷 + 𝜎2

𝐷 =𝐵2 ∗ 𝑀2

4

𝑠2 = 𝑖=1𝑛 𝑎𝑖 − 𝑝𝑚𝑖

2

𝑛 − 1

EJERCICIO

Del ejemplo anterior se quiere estimar laproporción p de residentes que viven en alquiler.¿Cuál debe ser el tamaño de muestra paraestimar p con un límite de 0,045 en laestimación.