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GEOESTADÍSTICA PARA EXPLORACIONES

ProEXPLO 2013

Instituto de Ingenieros de Minas del Perú

Lima, Perú

17 y 18 de Mayo, 2013

Mario E. Rossi, MSc. Geoestadística, Ing. de Minas.

GeoSystems International, Inc.

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BREVE RESUMEN DE LA TEORIA DEL MUESTREO: INTRODUCCIÓN

Toda muestra entonces lleva un error. Es medida en

un porcentaje muy pequeño de la muestra original, que a su vez se supone representa un volumen mucho mayor!

Los errores siempre ocurren; la clave es como se manejan, lo que requiere diferenciación y cuantificación.

Recordar precisión y certeza: repetibilidad y exactitud.

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ERRORES (1)

Hay dos tipos de errores básicos:

El primero se debe a características propias del material.

Por ejemplo, la mineralización de Au es mas heterogénea que la de Cu.

El segundo tipo surge de los procedimientos de muestreo, preparación de la muestra, y el análisis químico.

También existe el error de representatividad espacial. La

aglomeración de las perforaciones de exploración y de las muestras metalúrgicas. Representan todos los tipos de mineralización que existe en el yacimiento?

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ERRORES (2)

Los errores pueden ser aleatorios, con una media de

0 (sin sesgo).

También pueden ser aleatorios con media diferente de cero (con sesgo).

Pueden ser sistemáticos (no aleatorios); generalmente la media no es cero.

Pueden también ser ocasionales o accidentales, a veces difíciles de rastrear, y no repetitivos, sean aleatorios o no.

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DEFINICIONES (1)

Componente: Elemento de interés en el lote. Normalmente un contenido mineral, pero puede ser también humedad, porcentaje de finos, dureza, o cualquier otra propiedad del lote que debe ser medida.

Contenido Crítico, a: Proporción de un componente que debe ser estimado; el contenido crítico de un lote es aL, de una muestra es aS, etc.

Tamaño del Fragmento dα(cm): Tamaño real del fragmento, pero a veces

también el tamaño promedio de un grupo de fragmentos dentro del incremento α.

Critical Content a Weight of critical component in lot LWeight of all components in lot LL =

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DEFINICIONES (2)

Heterogeneidad: No todos los fragmentos de lote son idénticos. Hay dos tipos de heterogeneidad: Heterogeneidad Constitucional (CH): son las diferencias entre la

composición de cada fragmento dentro del lote. Los factores que se deben considerar son: tamaño, forma, densidad, composición química, y composición mineralógica del fragmento. Este tipo de heterogeneidad genera el error fundamental de muestreo.

Heterogeneidad Distribucional (DH): son las diferencias de un grupo a otro dentro del lote. Los factores que contribuyen, además de la CH, son la distribución espacial, la forma del lote o subgrupos debido a la gravedad, etc.

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DEFINICIONES (3)

Incremento, I: Un grupo de fragmentos extraídos de un lote, en

una operación única, utilizando un aparato o método de muestreo específico.

Lote, L: Material del cual incrementos (o muestras) son seleccionadas. Este es un “batch”, como una bolsa, camión, vagoneta de mina, vagón de tren, etc.

Tamaño nominal del fragmento, d (cm): Tamaño de fragmento máximo en el lote, usualmente definido como el tamaño de malla cuadrado (pasante 95%).

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DEFINICIONES (4)

Selección Probabilística: El proceso de selección incluye una componente aleatoria. La selección perfecta probabilística es una distribución uniforme para todas las unidades dentro del lote, y probabilidad cero si no pertenece al lote. Muestreo manual generalmente no es probabilístico; buen ejemplo de cómo no muestrear.

Muestra: Una muestra es el agrupamiento de varios incrementos, y representa el lote. Submuestras (también llamadas muestras) se obtienen extrayendo porciones de la muestra original.

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DEFINICIONES (5)

Protocolo de Muestreo: Una serie de procedimientos bien definidos y

específicos para el muestreo, la preparación, y el análisis de la muestra. Normalmente se intenta optimizar para minimizar los errores de muestreo, y debe ser específico para cada elemento y depósito.

Espécimen: Una mala muestra. No es representativa, no se ha

extraído utilizando reglas de delimitación y extracción aceptada.

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TIPOS DE ERROR (1)

Error Fundamental (EF): No puede ser eliminada por medio de un muestreo perfecto. Es función de la heterogeneidad constitucional (CH) y puede ser estimado antes del muestrear. Los errores que genera (asumiendo un muestreo perfecto) es aleatoria con una media de 0.

Error de Delimitación del Incremento (DE): La forma del volumen a partir del cual se toma el incremento no es la correcta. Por ejemplo, no tomar la sección completa en una cinta transportadora, o un cono de detrito de pozo de tronadura. Los errores tienden a ser aleatorios, con medias diferente de cero (con sesgo).

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TIPOS DE ERROR (2)

Error de Extracción del Incremento (EE): No todos los fragmentos que pertenecen al incremento son tomados. Los errores tienden a ser aleatorios con una media diferente de cero.

Estos últimos dos tipos de errores se pueden eliminar (o minimizar) utilizando procedimientos adecuados (óptimos) de muestreo.

Los errores accidentales pueden ser críticos, pero no pueden ser analizados estadísticamente por no ser aleatorios. Solamente la supervisión de la correcta implementación de los debidos procedimientos pueden eliminar estos errores.

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TIPOS DE ERROR (3)

Los errores se interpretan como Variables Aleatorias, y se asumen independientes. Por lo tanto, los errores son cumulativos:

Error Total de Muestreo (TE) FE DE EE ...= + + +

{ } { } { } { }E TE E FE E DE + E EE ...= + +

{ } { } { } { }σ σ σ σ2 2 2 2TE FE DE + EE ...= + +

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TIPOS DE ERROR (4)

Combinando los conceptos de precisión y certeza, es posible definir:

O sea, si el error de muestreo es menor a un estándar pre-

establecido, la muestra puede ser considerada representativa.

{ } { } { }r SE m SE s SE r2 2 2o2= + ≤

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HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL (1)

El CH genera el Error Fundamental de Muestreo (FSE).

Heterogeneidad es proporcional a la diferencia entre el contenido crítico de un fragmento (ai) y el contenido crítico del lote (aL):

hi ∝

−( )a aa

i L

L

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HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL (2)

La varianza del CH se define como: La que también se llama el CHL del Lote. NF es el número de

fragmentos en el lote, y Mi y ML son las masas promedio del fragmento y del lote, respectivamente.

CHL = =− ⋅

⋅∑σ 2

2 2

2 2( ) ( )h N a a Ma M

i Fi L i

L Li

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HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL (3)

Pero como no podemos contar todos los fragmentos, definimos la Heterogeneidad Intrínseca (IHL):

Este es un factor constante de CH, con unidades de masa.

IH CHL=

L MN

a a Ma M

L

F

i L i

L Li=

− ⋅

⋅∑ ( )2 2

2

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HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL (4)

En la práctica se introducen varios conceptos adicionales y simplificaciones para obtener IHL.

El desarrollo completo para llegar a la fórmula final de IHL se la puede encontrar en el libro de F. Pitard’s.

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HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL (5)

Las suposiciones básicas son:

1. Hay generalmente una fuerte correlación entre el contenido crítico del fragmento y su densidad; pero hay una menor correlación entre el contenido crítico del fragmento y su tamaño.

2. Lo mismo se pueden extender a las fracciones, dado que el contenido crítico varía mas de una densidad de fracción a la otra, que de un tamaño al otro. Por lo tanto, los valores individuales del contenido crítico pueden ser reemplazados por el valor promedio del contenido crítico de la fracción de densidad.

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HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL (6)

3. La razón de las masas de las fracciones

dentro del lote a la masa total del lote no varía mucho de una fracción de densidad a otra. Por lo tanto, se puede utilizar una razón promedio.

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HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL (7)

Se puede escribir IHL entonces como:

Donde vα y β son el volumen y densidad de la fracción, aβ y aL

son los contenidos críticos de la fracción y del lote, y MLβ y ML las masas correspondientes.

IHL=v M

Ma a M

a ML

L

L L

LL

α α

αβ

β β

βλ⋅

− ⋅

⋅

∑ ∑

( )2

2

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HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL: FACTOR DE FORMA (8)

El factor de forma f es una medida de la desviación del fragmento de la forma cúbica perfecta. Si los fragmentos son todos cubos perfectos, entonces fα=1.

El volumen vα es entonces fα*d3. Si los fragmentos son todas esferas, el volumen de la esfera es 4/3*π*r3; para un radio r=1, fα=0.523.

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HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL: FACTOR DE FORMA (9)

El factor de forma f es a-dimensional y determinado experimentalmente, con la mayoría de sus valores cerca de 0.5. Hay excepciones notables, como minerales escamosos como la mica, con f≈0.1; pepitas de oro (sólidos blandos), f≈0.2; minerales aciculares (como asbestos), con f>1 y hasta f≈10.0.

El factor de forma f es relativamente constante para distintas fracciones de tamaño, tal que fα=f.

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HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL: FACTOR GRANULOMÉTRICO (10)

El factor granulométrico g es una medida de las variaciones (rango) de los tamaños de fragmentos en la muestra. Junto con el tamaño nominal del fragmento d, g se utiliza para tomar en cuenta la distribución de tamaños de fragmentos.

g para materiales no calibrados (productos de trituración) es aproximadamente 0.25. Para materiales calibrados (entre dos mallas), es cerca de 0.55. Para materiales naturalmente calibrados, como cereales o porotos, es 0.75.

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HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL(11)

El factor de forma f y el factor granulométrico g son los dos

parámetros utilizados para estimar la primera parte de IHL.

v MM

fgdL

L

α α

α

⋅

=∑ 3

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HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL : FACTOR MINERALÓGICO (11)

El segundo término de IHL es (por definición) la varianza (ponderada por la densidad) para el tamaño de liberación dl.

Es 0 si el material es completamente homogéneo, y 1 si ha sido completamente liberado. En este último caso, hay una fracción de mineral puro, con densidad, con densidad M, y una fracción de pura ganga, con densidad g.

El contenido crítico de la fracción de mineral pura es aM=1; el contenido crítico de la fracción de ganga pura es ag=0, y el contenido crítico del lote es aL=MM/Ml.

La masa del lote es ML=Mg+MM.

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HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL : FACTOR MINERALÓGICO (12)

Resolviendo la ecuación matemática, el factor mineralógico c is:

Pero podemos aproximar un resultado si aL es menor a

un 10%: c= M/aL; Si aL es mayor que el 90% (0.9), entonces c= g(1-aL).

c = Mλ λ( ) ( )1 12−+ −

aa

aL

Lg L

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HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL : FACTOR MINERALÓGICO (13)

Es interesante notar que el factor mineralógico c depende de la ley del lote.

Por lo tanto, todas las calibraciones y trabajo experimental deben estar relacionados a una ley “esperada” del material.

También el contenido crítico es una proporción del mineral, no del elemento químico.

Por ejemplo, para Au=1 gpt=10-6 (aL<<1), M=19.3, y c= 19,300,000 g/cm3.

Para un 1% Cu, la proporción debe ser calculada. El factor mineralógico c dependerá del tipo de mineralización (Cc, Cpy, Cv, or Bn).

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HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL : FACTOR DE LIBERACIÓN (14)

Debido a la definición previa, el factor de liberación l es necesariamente 1 al tamaño de liberación.

Si los fragmentos están por debajo del tamaño de liberación, la varianza del fragmento no cambia, y l=1. Para tamaños por encima del de liberación, 0<l<1.

Usar uno de los dos; o el método de liberación o el de mineralogía para estimar el factor de liberación l.

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HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL : FACTOR DE LIBERACIÓN (15)

Método del tamaño de liberación: No usar el método de F. Pitard’s (publicado en su libro

de 1993), porque resulta en masas (cantidad de muestra) irreales. En mas razonable aplicar la formula generalizada de D. François-Bongarçon’s (o alguna de las variantes modernas propuestas por Pitard):

El tamaño nominal del fragmento de la muestra es d (95%

pasante); el tamaño de liberación es dl, y b es un parámetro que debe ser calibrado para cada caso. En general, la experiencia sugiere para el Au b≈1.5, y en general, 1<b<2.

l = dd

l

b

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HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL : FACTOR DE LIBERACIÓN (16)

Método mineralógico: si el contenido crítico del lote, aL, y el contenido crítico del fragmento más grande, aMAX, son conocidos, entonces el factor de liberación utilizando:

l a aa

L

L

=-

MAX −

1

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HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL: RESUMEN (17)

Por lo tanto, la ecuación que se usa en práctica para determinar IHL es:

En esta ecuación, típicamente g=0.25, f=0.5. El factor de liberación l se calcula a veces utilizando b=1.5 como una primera aproximación.

IH lL = c f g d3⋅ ⋅ ⋅ ⋅

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ERROR FUNDAMENTAL (1)

El Error Fundamental (EF) se genera por la Heterogeneidad Constitucional, y es el único que afecta los resultados de los análisis si la selección de los incrementos que componen la muestra es la correcta.

P. Gy demostró que la media es cero, y su varianza es:

σFE LIH2 = 1- PP ML⋅

⋅

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ERROR FUNDAMENTAL (2)

Aquí P es la probabilidad de selección de cualquier fragmento dentro del lote, MS=P*ML

Y cuando ML>>MS:

σFE LIH2 = 1M

1MS L

−

⋅

σFE LIH2 = 1MS

⋅

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EL NOMOGRAMA (1)

El nomograma es un gráfico log-log con masa de la muestra en el eje X y la varianza de la muestra en el eje Y.

En la práctica, queremos optimizar protocolos de muestreo tal que todos los errores que no son IHL son eliminados.

Para poder hacer el nomograma (masa vs varianza), primero tomamos el logaritmo de la ecuación previa.

log( log( ) log( ) log( )σFE Sc l f g d clfg d M2 3 3) = log 1MS

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= + −

log( log( ) log( )σFE SC d M2 3) = + −

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EL NOMOGRAMA (2)

Los cambios en la varianza y tamaño de la muestra se grafican, reflejando o un cambio en tamaño debido a trituración o molienda, o un cambio de tamaño debido a la división.

Si se trata de una división, no hay cambio en el tamaño nominal, tal que la varianza es proporcional a –log(MS). Por lo tanto los cambios por división (cambios en masa y varianza) siguen una línea en el nomograma con una pendiente de -1.

Si se reduce el tamaño del fragmento por trituración o molienda, la masa de la muestra se mantiene, y todo lo demás en la ecuación cambia. Así la reducción de varianza que resulta se grafica hacia abajo hasta el siguiente tamaño nominal del fragmento.

La figura que se muestra es un ejemplo tomado de François-Bongarçon y Gy (2001).

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HETEROGENEIDAD DISTRIBUCIONAL: ERROR DE DISTRIBUCIÓN (1)

El DH, también llamado segregación, se refiere a la distribución espacial de los fragmentos dentro del lote.

La segregación puede ocurrir debido a diferencias en densidades, masa, tamaño, forma, etc. También puede depender del ángulo de reposo y del tipo de aparato utilizado para generar el lote.

Los lotes se clasifican como uni-, bi-, o tri-dimensional, donde a veces una o mas dimensiones del lote puede ser considerada poco importante.

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CLASIFICACIÓN DE LOTES (1)

Los lotes 3-D son bloques donde todas las dimensiones son importantes. Por ejemplo, un bloque de roca sólida en un depósito, un camión o vagón de ferrocarril, una bolsa, el contenido de un barco, etc.

Lotes 2-D tienen poco espesor comparado con la longitud y ancho. Por ejemplo, una pila achatada, un manto de carbón, etc.

Lotes 1-D tienen solo una dimensión significativa, como por ejemplo materiales en cintas transportadoras, corrientes o flujos en plantas de procesamiento, una serie de vagones de ferrocarril, etc.

Lo más importante es que todo los fragmentos tengan la misma oportunidad de ser seleccionado. Cada tipo de lote tiene una forma correcta de delimitar la muestra, derivada de considerar aspectos geométricos.

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CLASIFICACIÓN DE LOTES (2)

Para los lotes 3-D, la forma correcta de delimitación es una esfera. Esto en la práctica es difícil de lograr, excepto cuando se trata de líquidos con sólidos en suspensión. Generalmente, se utiliza un aparato de muestreo 2-D, como es una perforación. Cuando sea posible, se debe reducir los lotes de 3-D lotes a 2-D.

Para los lotes 2-D, la forma correcta de delimitación es un cilindro uniforme con una sección constante a través del lote entero. Perforaciones (DDH o detritos) pueden ser utilizados.

Para los lotes 1-D, la forma correcta de delimitación son dos planos paralelos, con la distancia entre los planos constante, y cruzan completamente el lote.

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HETEROGENEIDAD DISTRIBUCIONAL: ERRORES DE EXTRACCIÓN Y PREPARACIÓN

(1)

El error de extracción se refiere al proceso de tomar la muestra; los casos mas difíciles e importantes se refieren a las perforaciones y pozos de tronadura.

Los métodos correctos para extraer muestras es hacer el muestreo por sectores en las perforadoras, y utilizando secciones cuadradas que contengan la muestra.

Los errores de preparación resultan de contaminación, pérdida de masa, cambios en la composición química o física, errores no intencionales, etc.

Todos estos errores deben ser minimizados porque normalmente producen un sesgo (media diferente de cero). Además, pueden ser tan significativos que abruman todo el trabajo de detalle en la optimización del protocolo.

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HETEROGENEIDAD DISTRIBUCIONAL : ERRORES DE EXTRACCIÓN Y PREPARACIÓN

(2)

El oro es un caso particularmente difícil, particularmente tan pronto como es liberado. La segregación (DH) es muy alta por su densidad (19.3 g/cm3). También, el Au no se tritura o muele bien, porque tiende a recubrir el aparato por ser maleable.

También, las leyes bajas son importantes, con bajas leyes de corte. El impacto de los errores de muestreo puede ser significativo, con importantes consecuencias económicas.

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ALGUNAS REFERENCIAS

François-Bongarçon, D., and Gy P. The most common error in applying “Gy’s Formula” in the theory of mineral sampling, and the history of the liberation factor. In A.C. Edwards, ed., Mineral Resource and Ore Reserve Estimation – The AusIMM Guide to Good Practice, pp. 67-72. The AusIMM, Melbourne, 2001.

Pitard, F.F., Pierre Gy’s Sampling Theory and Sampling Practice, Second Edition. CRC Press LLC, Boca Raton, Florida, 1993.

Roden S. and Smith T. Sampling and analysis protocols and their role in mineral exploration and new resource development. In A.C. Edwards, ed., Mineral Resource and Ore Reserve Estimation – The AusIMM Guide to Good Practice, pp. 73-78. The AusIMM, Melbourne, 2001.