1

2

3

En este quinto material de trabajo autónomo veremos aplicaciones de programaciónentera y binaria, como son los problemas desarrollados de presupuesto de capital ycostos fijos. Así también, veremos una aplicación de programación por metas, como esel problema de carteras de inversión en el cual se busca cumplir varios objetivos almismo tiempo. Estos problemas buscan desarrollar la capacidad de modelar, revisandodistintos modelos aplicados a una diversa gama de problemas. Cada problemáticaparticular tiene una forma de ser modelada, los problemas formulados nunca van a seriguales, pero los esquemas generales de formulación nos ayudarán a modelar nuevosproblemas.

4

5

Dentro de las aplicaciones de los modelos de programación lineal, se requiere enalgunas aplicaciones un enfoque de programación entera, las cuales consideran que lasvariables del problema deben tomar valores enteros. Otros problemas requieren unenfoque de programación binaria, los cuales consideran que las variables del problemadeben tomar valor 0 o 1. En otros casos, los problemas pueden considerar un enfoquemixto de variables continuas, enteras y binarias.

6

Ahora veremos un problema de programación binaria, el cual trata sobre laproblemática de seleccionar un proyecto de varios posibles, considerando la limitaciónde presupuesto de capital.

7

Una fábrica de refrigeradoras está pensando en invertir en varios proyectos que tienennecesidades de capital a lo largo de los siguientes cuatro años. Ante una limitación decapital para cada uno de los años, la administración desearía seleccionar los proyectosmás redituables para su desembolso de capital. El valor presente neto estimado de cadaproyecto, es el flujo de caja neto descontado desde el principio del año 1, lasnecesidades de capital y el capital disponible a lo largo del periodo de cuatro añosaparece en la tabla.

8

Definimos cuatro variables asociadas a cada proyecto donde la decisión a tomar es si seselecciona el proyecto i o se rechaza.

9

Ahora definiremos nuestra función objetivo de la empresa, el cual consiste en maximizarel valor presente neto en todos los proyectos aceptados. Se debe tener en cuenta que elvalor presente neto, representa los flujos de ingreso de dinero traídos al presente,considerando un porcentaje de perdida de adquisición del dinero (como por ejemplo lainflación que de da en varios años), para nuestro ejemplo el valor presente neto es unvalor ya calculado.

10

Ahora formulamos las restricciones para el modelo a partir de la información dada, elcual tiene cuatro restricciones para los fondos disponibles en cada uno de los siguientescuatro años.

11

Ahora veremos el modelo final de asignación de proyectos que busca maximizar lasutilidades a través del valor presente neto y considera las restricciones para los fondosdisponibles en cada uno de los siguientes cuatro años.

12

En muchas aplicaciones, el costo de producción tiene dos componentes: un costo depuesta en marcha, que es un cargo fijo que no está relacionado con el volumen deproducción, y un costo variable, que está relacionado directamente con dicho volumen.El uso de las variables 0‐1 hace posible la inclusión del costo de puesta en marcha fijo enla mezcla de productos o en el problema de programación de la producción.

Ahora veremos un problema que involucra la definición de variables binarias paradeterminar los costos fijos asociados a la fabricación de tipos de productos.

13

Una empresa produce tres tipos de productos químicos: aditivos para combustibles,base disolvente, y líquido limpiador de alfombras.Los productos consumen en su fabricación las materias primas 1, 2 y 3. Asimismo, setiene los datos relacionados con el costo de puesta en marcha y la cantidad máxima deproducción de cada uno de los tres productos.

14

Se definen las variables para identificar cuantas toneladas de cada producto producir ylas variables binarias para identificar si el producto i se produce o no.

La decisión a tomar es:‐ ¿Cuántas toneladas de cada producto producir? y‐ Si se produce el producto i o no se produce.

15

La función objetivo está dada por maximizar la utilidad de los productos menos loscostos de puesta en marcha. Para ello, debemos considerar la utilidad por cada tipo deproducto, así como, el costo fijo de puesta en marcha según el producto que se decidafabricar.

16

Ahora vemos las restricciones de capacidad de producción, de tal manera que si unavariable de puesta en marcha es igual a cero, no se permita la producción. Cuando unavariable de puesta en marcha es igual a uno, se permita la producción hasta la cantidadmáxima.

En el caso del aditivo para combustible, note que si Y1 = 0, no se permite la produccióndel aditivo para combustible (X1 <= 0) . Sin embargo, si Y1 = 1, la producción del aditivopara combustible se permite hasta su nivel máximo (X1 <= 50). Podemos pensar de unavariable de puesta en marcha como un interruptor . Cuando está desconectado (Y1 = 0) ,no se permite la producción; cuando está conectado (Y1 = 1), se permite la producción.

El resto de restricciones de capacidad de producción son similares.

17

Como podemos ver, se tiene la familia de restricciones de capacidad de materia primasegún el ratio de consumo de cada producto.

18

Ahora veremos el modelo final de selección de productos que busca maximizar lasutilidades menos los costos de puesta en marcha y considera las restricciones decapacidad de materia prima según el ratio de consumo de cada producto.

19

Hasta aquí hemos visto problemas que requieren en su formulación variables enteras óbinarias para decidir si seleccionamos o no una determinada alternativa, ahora veremosel tema de la programación por metas que es una técnica usada cuando el tomador dedecisiones necesita considerar múltiples objetivos para llegar a la mejor decisión.

20

A fin de ilustrar el procedimiento de la programación por metas para los problemas dedecisión con múltiples objetivos, consideramos un problema de inversión.

21

Una empresa financiera dedicada a la colocación de fondos, tiene un cliente específicoel cual dispone de $80,000 para invertir y, como estrategia inicial, desearía que la carterade inversiones se limitara a 2 acciones.

Las acciones de “Minera Buenaventura” que tienen un rendimiento de $3 sobre unaacción de precio de $25, tienen una tasa de rendimiento anual de 12%, en tanto que lasacciones de “Credicorp” es de 10%.

El índice de riesgo por acción, es de 0.5 para “Minera Buenaventura” y 0.25 para“Credicorp”. Índices de riesgo más elevados implican un riesgo más alto, por lo que laempresa financiera ha juzgado que las acciones de “Minera Buenaventura” es unainversión más riesgosa.

Asimismo, el cliente dispone de un presupuesto de US$ 80,000.

22

El cliente estuvo de acuerdo en que un nivel aceptable de riesgo correspondería a unacartera con un índice máximo total de riesgo de 700. Considerando el riesgo, una meta uobjetivo es encontrar una cartera que tenga un índice de 700 o menos.

Otra meta del cliente es obtener un rendimiento anual de, por lo menos, $ 9,000. De talforma, el problema de selección de cartera es de decisión de objetivos múltiples einvolucra 2 metas en conflicto: una se ocupa del riesgo y la otra del rendimiento anual.

Suponga que la meta de máxima prioridad del cliente es restringir el riesgo y mantenersu índice en 700 o menos. Tal cliente no está dispuesto a cambiar esta meta por ningúnincremento en rendimiento anual. Pero, siempre que el índice de riesgo en la cartera noexceda de 700, el cliente busca el mejor rendimiento posible.

La meta principal se conoce como meta de nivel de prioridad 1 y la secundaria se conocecomo meta de nivel de prioridad 2, en programación por metas, se conoce comoprioridades jerarquizadas, porque el tomador de decisiones no está dispuesto asacrificar ningún resultado de la meta del nivel de prioridad 1, a cambio de mejorías enmetas de prioridad inferior.

El índice de riesgo de 700 de la cartera es el valor objetivo para la meta del nivel deprioridad 1 (principal) y el rendimiento anual de $ 9,000 es el valor objetivo para lameta del nivel de prioridad 2 (secundario). La dificultad para encontrar una solución queconsiga alcanzar estas metas es que sólo hay $ 80,000 disponibles para invertir.

23

Definimos las variables asociadas al tipo de acción a adquirir para determinar cuántosdólares invertir en cada tipo de acción.

24

Se tiene un fondo disponible de inversión de US$ 80,000 y se tiene como estrategiainvertir en 2 tipos de acciones, las cuales son las acciones de “Minera Buenaventura”que tienen un precio de $25, y las acciones de “Credicorp” de $50.

25

Para completar la formulación del modelo, debemos desarrollar una ecuación objetivopara cada meta. Empecemos con una ecuación objetivo para la meta principal.

Se tiene un índice de riesgo global que no debe pasar de 700 unidades, pero existe laposibilidad de sobrepasar esta meta o quedar por debajo. Lo ideal es no sobrepasarlo,para ello definiremos las variables de desviación d1 (exceso) y d2 (defecto).

26

Dado que cada acción de “Minera Buenaventura” tiene un índice de riesgo de 0.50 ycada una de “Credicorp” lo tiene en 0.25, entonces el conjunto de acciones de ambascarteras nos dará un índice de riesgo global que en lo posible no debe pasar de 700. Siqueda por debajo o encima de la meta de 700, entonces la variable de desviación d1tomará un valor por la cantidad de exceso sobre los 700 puntos, o la variable dedesviación d2 tomará un valor por la cantidad que quede por debajo de los 700 puntos.En ambos casos, solo una variable se activará y la otra variable asumirá valor cero.Debemos tener en cuenta que las variables d1 y d2 no tomarán valores distintos de ceroa la vez.

Para llegar exactamente a una meta, ambas variables de desviación deben ser igual acero.

27

Ahora, veremos la ecuación objetivo para la meta secundaria.

Se tiene una meta secundaria de rendimiento anual, el cual no debe bajar de los US$9,000, pero existe la posibilidad de sobrepasar esta meta o quedar por debajo. Lo ideales no quedar por debajo, para ello definiremos las variables de desviación d3 (exceso) yd4 (defecto).

28

Dado que cada acción de “Minera Buenaventura” tiene un rendimiento anual estimadode US$ 3 y cada una de “Credicorp” lo tiene en US$ 5, entonces el conjunto de accionesde ambas carteras nos dará un rendimiento global que en lo posible no debe bajar deUS$ 9,000. Si queda por debajo o encima de la meta de US$ 9,000, entonces la variablede desviación d3 tomará un valor por la cantidad de exceso sobre los US$ 9,000, o lavariable de desviación d4 tomará un valor por la cantidad que quede por debajo de losUS$ 9,000. En ambos casos solo una variable se activará y la otra variable asumirá valorcero.

Debemos tener en cuenta que las variables d3 y d4 no tomarán valores distintos de ceroa la vez.

Para llegar exactamente a una meta, ambas variables de desviación deben ser igual acero.

29

En un modelo de programación por metas, la función objetivo requiere la minimización de una función delas variables de desviación. En el problema de la selección de cartera, la meta de mayor importancia,identificada con prioridad 1 (p1), es encontrar una cartera con un índice de riesgo igual o inferior a 700.Este problema incluye solo 2 metas y el cliente no está dispuesto a incurrir en un índice de riesgo decartera superior a 700, a fin de conseguir la meta secundaria de rendimiento anual. Por lo tanto, ésta seidentifica como de prioridad 2 (p2) . Estas prioridades de meta se conocen como prioridadesjerarquizadas, porque la satisfacción de una meta de nivel superior no puede ser sacrificada por lograr unade nivel inferior.

Los problemas de programación por metas con prioridades jerarquizadas se resuelven primero por lasmetas de nivel 1 (p1) en una función objetivo. La idea es encontrar primero una solución que se aproximelo más posible a satisfacer las metas de prioridad 1. Esta solución se modificará después, al resolver unproblema con una función objetivo que involucre sólo metas de prioridad 2 (p2); sin embargo, sepermitiránmodificacionesen la solución, solo si éstas no obstaculizan la consecución de las metas p1.

En general, la solución de un problema de programación por metas con prioridades jerarquizadasinvolucran una secuencia de programas lineales con distintas funciones objetivos. Primero, se consideranlas metas de prioridad 1 (p1), después las metas de prioridad 2 (p2), en tercer lugar las metas de prioridad3 (p3), y así sucesivamente. En cada una de las etapas del procedimiento, se acepta una modificación a lasolución, únicamente si no causa ninguna reducción en la consecución de alguna meta de prioridadsuperior. Para cada nivel de prioridad debe resolverse un programa lineal. Cada programa lineal seobtiene del nivel superior siguiente, modificando la función objetivo y agregando una restricción.

Para nuestro caso, primero desarrollaremos el problema de prioridad 1 (p1), que busca encontrar unasolución de compra de cartera que tenga un índice de riesgo de 700 o inferior; por eso, nuestra funciónobjetivo busca minimizar d1, que representa la cantidad en la cual el índice de riesgo de la cartera excedeal valormeta de 700.

30

Se consiguió la meta de no sobrepasar un índice de 700, ya que la variable por exceso d1= 0. También la variable por defecto d2 = 0.Es decir que la meta de nivel de prioridad 1 se cumple con exactitud.

31

Ahora desarrollaremos el problema de prioridad 2 (p2) que busca encontrar aquella cartera quenos dé un rendimiento anual de, por lo menos, US$ 9,000. ¿Nos debe preocupar que nos dé unrendimiento anual de por lo menos US$ 9,000? La respuesta es no, pues carteras con unrendimiento anual superior a US$ 9,000 corresponderán a rendimientosmás elevados.

¿Es preocupante no llegar al valor meta de US$ 9,000? La respuesta es sí, porque aquellascarteras con un rendimiento anual inferior a US$ 9,000 no son aceptables para el cliente.

De esta manera, la función objetivo que corresponde al programa lineal de prioridad 2 debeminimizar el valor de la variable d4, que corresponde a la cantidad en la cual el rendimientoanual de la cartera es inferior al valor meta de $ 9,000.

Sin embargo, como la meta 2 es secundaria, la solución del programa lineal de prioridad 2 nodebe degradar la solución óptima correspondiente al problema de prioridad 1.

Note que el programa lineal de prioridad 2 difiere en dos puntos del de prioridad 1. La funciónobjetivo involucra minimizar la cantidad en la cual el rendimiento anual de la cartera queda pordebajo de la meta del nivel 2. Se ha agregado otra restricción para asegurar que no se sacrificarála consecución de la meta de prioridad 1.

32

La solución recomienda que los US$ 80,000 disponibles para la inversión se utilicen paraadquirir 800 acciones de “Minera Buenaventura” y 1,200 acciones de “Credicorp” . Noteque se alcanzó la meta de prioridad 1, es decir, un índice de riesgo de cartera de 700 omenos. Sin embargo, no se consiguió la meta 2, es decir, obtener un rendimiento anualde por lo menos US$ 9,000. La cartera recomendada proyecta un rendimiento anual deUS$ 8,400.

33

Los problemas de programación por metas principalmente se resuelven como unasecuencia de problemas lineales; existe uno por cada nivel de prioridad.

Las prioridades P1 y P2 no son coeficientes de ponderación numéricos de las variablesde desviación, sino símbolos que nos recuerdan los niveles que tienen dichas metas.

34

35

36

A continuación te proponemos tres ejercicios de formulación de programación entera yprogramación por metas, para que pongas en práctica lo aprendido hasta el momento.

Para cada ejercicio se pide plantear:• Definición de las variables• Restricciones y• Función objetivo

La solución será discutida en la siguiente clase.

37

La administración de una empresa de ventas de seguros establece metas, es decir, cuotas mensuales parael tipo de clientes que se contactan. La estrategia de contacto con clientes de la empresa determina queen las siguientes cuatro semanas, la fuerza de ventas formada por 4 personas debe efectuar 200contactos con clientes que hayan adquirido productos de la empresa, además de hacer 120 contactos conclientes nuevos. La finalidad de esta última meta es asegurarse de que la fuerza de venta investiguenuevas fuentes de venta.

Tomando en consideración tiempos de viaje y de espera, así como el tiempo directo de venta y dedemostración, la empresa de seguros ha asignado dos horas de esfuerzo de la fuerza de ventas para cadacontacto con un cliente anterior. Los contactos con nuevos clientes tienden a ser más largos y requierentres horas cada uno. Normalmente, un vendedor trabaja 40 horas a la semana, es decir 160, en unhorizonte de planeación de 4 semanas; según un programa de trabajo normal, los 4 vendedores tendrándisponible 4(160) = 640 horas de la fuerza de venta para contacto con clientes.

La administración, si fuera necesario, está dispuesta a utilizar algo de tiempo extraordinario, pero tambiénaceptará una solución que utilice menos de las 640 horas programadas. Sin embargo, la administracióndesea que, a lo largo de las 4 semanas, el tiempo extraordinario y la subutilización de la fuerza de trabajose limite a no más de 40 horas. Así, en referencia al tiempo extraordinario, la meta de la administración esno utilizar más de 640 + 40 = 680 horas para las ventas; y en cuanto al uso de la mano de obra, la meta dela administraciónes utilizar por lo menos 640‐40 = 600 horas de la fuerza de ventas.

Además de las metas de contacto con clientes, la empresa aseguradora estableció una meta en relacióncon el volumen de ventas. Con base a su experiencia, la empresa aseguradora estima que cada clienteanterior contactado generará ventas por US$ 250 y cada cliente nuevo generará US$ 125 de venta. Laadministracióndesea generar ingresos por ventas de por lo menos US$ 70,000 para el mes siguiente.

Dada la pequeña fuerza de ventas de la empresa aseguradora y el breve lapso involucrado, laadministración decidió que la meta de tiempo extraordinario y la meta de uso de la mano de obra sean deprioridad 1. También concluyó en que la meta de US$ 70,000 debe ser de prioridad 2, y que las dos metasde contactos con clientes deben ser de prioridad3.

38

Un operador bancario está evaluando el potencial de expandirse a una región de 13provincias. La ley permite el establecimiento de sucursales en cualquier provinciaadyacente a otro en el que esté localizada una oficina principal. El mapa siguientemuestra la región de 13 provincias indicando la población de cada uno de ellos.

a) Suponga que en la región solamente se puede establecer una oficina principal.¿Dónde deberá localizarse para maximizar la población atendida?

(Sugerencia: piense en maximizar la población atendida e introduzca la variable Yi = 1si es posible establecer una sucursal en la provincia i y Yi = 0 de lo contrario).

b) Suponga que se pueden establecer en la región 2 oficinas principales. ¿Dóndedeberían localizarse para maximizar la población atendida?

39

Una galería de arte está considerando la instalación de un sistema de seguridad de cámaras devideo para reducir sus primas de seguro. Un diagrama de los ocho salones de exhibición queutiliza la galería de arte para sus exposiciones aparece en la figura; las aperturas entrehabitaciones o salones están enumeradas del 1 al 13. Una empresa especializada en seguridadha propuesto que se instalen cámaras de dos direcciones en algunas de las aperturas de lossalones. Cada cámara tiene la capacidad de vigilar los 2 salones entre los cuales se localiza. Porejemplo, si una cámara se localiza en la apertura número 4, quedarían cubiertos los salones 1 y4. Si se localizara una cámara en la apertura 11, quedaría cubiertos los salones 7 y 8, y asísucesivamente.

La administración ha decidido no colocar un sistema de cámaras a la entrada de los salones deexhibición. El objetivo es proporcionar cobertura de seguridad para los ocho salones utilizandoun número mínimo de cámaras de dos direcciones.

a) Formule un modelo de programación lineal de enteros 0‐1 que le permita a laadministraciónde la galería de arte determinar las ubicaciones de los sistemas de cámaras.

b) Resuelva el modelo formulado en el inciso (a) en LINGO para determinar cuántos sistemasde dos direcciones adquirir y dónde deberán quedar colocados.

c) Suponga que la administración desea cobertura adicional de seguridad para el salón 7.Específicamente, la administración desea que el salón 7 esté cubierto por 2 cámaras. ¿Cómotendría que cambiar su modelo según fue formulado en el inciso (a) para que acepte estarestricción de política ?

d) Con la restricción de política que se definió en el inciso (c), determine cuántos sistemas decámara de dos direcciones será necesario adquirir y dónde quedarán localizados. UsarLINGO.

40

41

42

43

44