Màster en Enginyeria Informàtica i de la Seguretat (MEIS...

Màster en Enginyeria Informàtica i de la Seguretat

Màster interuniversitari en Intel·ligència Artificial

Presentació de Treball de Recerca/Tesi de Màster

Noms i cognoms dels alumnes:

Director del Treball de Re

Co-directors: Albert Solé Ribalta

Data de presentació: 15/01/2009

Títol del Treball de Recerca/Tesi de Màster:

Graphs

Marcar les caselles corresponents a l’

MEIS, Itinerari Seguretat

MEIS, Itinerari Sistemes Intel·ligents

MIA

MEIS, Pla d’estudis 2006 (Treball de Recerca, 10.5 crèdits)

MEIS, Pla d’estudis 2007 (Treball de Recerca, 30 crèdits)

MIA, Pla d’estudis 2006 (Tesi de Màster, 3

Qualificació:

President

____________


(MEIS)


(MIA)


Noms i cognoms dels alumnes: Enric Vidiella Mars

Director del Treball de Recerca: Dr. Francesc Serratosa

Ribalta

15/01/2009

Títol del Treball de Recerca/Tesi de Màster: Graph Indexing based on

Marcar les caselles corresponents a l’itinerari i el pla d’estudis:

MEIS, Itinerari Seguretat

MEIS, Itinerari Sistemes Intel·ligents

MEIS, Pla d’estudis 2006 (Treball de Recerca, 10.5 crèdits)

MEIS, Pla d’estudis 2007 (Treball de Recerca, 30 crèdits)

MIA, Pla d’estudis 2006 (Tesi de Màster, 30 crèdits)

Secretari

Vocal

_____________ _____




Graph Indexing based on Median

Vocal

_____________

2

ÍNDEX

Agraïments ................................................................................................... 4

1. Descripció del problema a resoldre, objectius del treball de recerca .................. 5

1.1 Objectius: ............................................................................................ 6

2. Estat actual de la tecnologia sobre el problema atacat .................................... 7

2.1- Indexació d’Imatges per contingut ......................................................... 8

2.2- Recuperació de similituds ..................................................................... 9

2.3- Matching, similitud, classificació ........................................................... 10

2.4- Aplicacions de la recuperació d’imatges ................................................. 10

2.5- Estudis actuals ................................................................................... 11

2.6- Conclusions ........................................................................................ 12

2.7- Frameworks dins de la temàtica de recuperació d’imatges usant grafs ....... 13

2.7.1- Definicions ................................................................................... 13

2.7.1.1- Framework ............................................................................ 13

2.7.1.2- Representació basada en grafs ................................................. 13

2.7.1.3- Attributed Graphs (AG’s) ......................................................... 14

2.7.1.4- Random Graphs ( Grafs Aleatoris ) .......................................... 15

2.7.1.5- Outcome Graphs (Grafs Resultants) .......................................... 15

2.7.1.6- Function-Described Graphs (FDGs) ........................................... 16

2.7.1.7- First-Order Random Graphs (FORGs) ........................................ 16

2.7.1.8 Second Order Random Graphs (SORGs) ..................................... 17

2.7.1.9- Median Graphs ....................................................................... 18

2.7.2- Frameworks trobats en la bibliografia .............................................. 19

3. Disseny de la nova solució, justificació de la nova proposta ............................ 27

3.1- Mètrica: graph edit distance ................................................................. 27

3.2- L’estructura: m-tree ............................................................................ 29

3.3- Clustering: dendrograma ..................................................................... 32

3.4- Representant smallest SOD (sum of distances) ....................................... 33

3.5- Prototips: median graph ...................................................................... 34

3

3.6- Cerca ................................................................................................ 37

3.7- Anàlisi de l’arbre: el factor solapament .................................................. 38

4. Aspectes de desenvolupament i implementació .......................................... 40

4.1- Mètrica: graph edit distance ................................................................. 40

4.2- L’estructura ....................................................................................... 43

4.3- Clustering: dendrograma ..................................................................... 46

4.4- Representant smallest SOD (sum of distances) ....................................... 50

4.5- Prototips: Median Graph ...................................................................... 50

4.6- Cerca ................................................................................................ 52

5. Avaluació del sistema desenvolupat, comparació amb altres alternatives ......... 59

5.1- La base de dades. ............................................................................... 60

5.2- Anàlisi de l’arbre: el factor solapament .................................................. 61

5.2 Anàlisi de la cerca: nombre d’accessos ................................................... 63

5.3. Incidència de µMax ............................................................................... 66

5.3.1-Mumax = (dMax(matriu_distancies_tots_amb_tots))/2 .......................... 67

5.3.2- Mumax = (dMax(matriu_distancies_tots_amb_tots))/4 ......................... 68

5.3.3- Mumax = (dMax(matriu_distancies_tots_amb_tots))/8 ......................... 69

5.4- Altres factors amb influència sobre els testos ......................................... 70

6. Conclusions, treball futur ........................................................................... 74

7. Referències .............................................................................................. 75

8. Annex 1 ................................................................................................... 77

9. Annex 2: publicacions ............................................................................... 84

4

Agraïments

Sembla bastant difícil agrair com es mereix, en un petit bocí de paper, a totes les

persones que han estat al meu costat durant aquest temps. De totes maneres, ho

intentaré fer des del més gran dels aprecis.

Abans que ningú vull destacar la meva família. L’any 2009 ha posat una paraula de

moda: persistir. Però jo, gràcies a els de casa, fa molts d’anys que tinc coneixença

d’aquest valor. D’aquest i de la resta de valors, entre milions d’altres coses, que

s’han encarregat de transmetre’m i ensenyar-me des de ben petit per fer-me ser

qui sóc. Sempre han confiat en mi, m’han recolzat i m’han animat. De debò, sou

una familia genial i m’encanta tenir-vos al meu costat.

També voldria agrair al Francesc Serratosa i a l’Albert Solé, no només les hores de

dedicació a aquest treball de recerca: les reunions setmanals (a vegades més sovint

i tot), la resposta a les meves preguntes, l’ajuda donada en qualsevol moment,

etc.; sinó que també voldria agrair el com m’han tractat i recolzat, i la gran

quantitat de coses que he après al seu costat, no només d’informàtica o de recerca,

de tot en general.

No em voldria oblidar als companys de laboratori. Aquestes converses sobre temes

del projecte, d’informàtica en general, o que no tenien res a veure amb la feina,

però que ajudaven a treure un somriure i a tornar amb energies a la feina.

A tots els que han influït en la meva vida, tant positiva com negativament, ja que

gràcies a tots i cadascun d’ells sóc el que sóc ara mateix i estic on estic.

Per acabar, gràcies Pamela simplement per ser genial i per ajudar-me a treure

energies d’allà on no n’hi ha, i a ser feliç en cada instant de la vida.

Gràcies a tots, gràcies de tot cor!

1. Descripció del problema a resoldre, objectius del treball de recerca

5

1. Descripció del problema a resoldre, objectius del

treball de recerca

Indexar un espai mètric significa tenir un manteniment eficient de respostes a

cerques per similitud. Per exemple, cerques amb el propòsit de retornar objectes de

la base de dades que siguin similars a un objecte referència. I on la (dis)similitud

entre objectes es mesura amb una funció de distància mètrica específica d.

Les estructures indexades són eines fonamentals en la utilització de les bases de

dades, ja que s’usen per obtenir un accés eficient en la recuperació d’imatges en

grans recopilacions d’imatges. Tradicionalment els sistemes de bases de dades

manegaven les propietats globals de les imatges, com els histogrames i moltes

altres tècniques que han estat definides per al tractament de conjunts de dades

com per exemple la indexació unidimensional. Com que una comanda de funció

total en un determinat domini sempre existeix, aquesta comanda pot ser utilitzada

per la partició de dades, i aquesta propietat per a partir les dades pot ser explotada

per donar suport a les consultes eficients.

Tanmateix, pocs fan ús d’enfocaments de les relacions entre les entitats de la

imatge [1]. En aquests casos, les imatges són representades per “Attributed

Graphs” (AGs), i la distància entre aquets AGs es utilitzada per dividir les dades [2]

i fer més eficient la recuperació de les imatges.

En aquest treball, volem aplicar els Median Graphs [5] i [6] com la principal

estructura per representar la propietat de partició de dades en lloc d’utilitzar AGs

com s’ha fet en [2]. Com que els Median Graphs tenen més capacitat de

representar a un grup d’AGs, en lloc d’un prototips representat per un sol AG,

volem estudiar si aquest augment del coneixement del grup fa la recuperació

d’imatges més ràpida i més precisa.


6

1.1 Objectius:

⇒ Informe sobre l’estat actual de la tecnologia de recuperació d’imatges

⇒ Informe general dels frameworks trobats dins de la temàtica de recuperació

d’imatges usant AGs (Attribute Graphs)

⇒ Definir un nou framework per a la recuperació de grafs.

⇒ Implementar un sistema per a la recuperació de grafs usant Median Graphs

⇒ Testejar el nou sistema usant alguns grafs pertanyents a una base de dades

⇒ Comparar el nou model amb algun clàssic com per exemple “nearest-

neighbours”


7

2. Estat actual de la tecnologia sobre el problema

atacat

Tant la recuperació d’imatges com la de vídeo, continuen sent unes de les àrees

d’investigació que han anat creixent ràpidament en els últims anys dins el camp de

la tecnologia multimèdia. Però la pregunta que volem respondre és: que pretenem

obtenir a partir de la recuperació d’imatges o de vídeo? Com tots sabem des de fa

pocs anys, l’era digital s’ha imposat dins les nostres vides, i ara els preus dels

dispositius digitals són més assequibles. Això fa possible que sigui una tecnologia a

l’abast de casi tothom. El creixement d’aquesta tecnologia és constant, com per

exemple, l’augment de la capacitat de disc, entre d’altres. Això fa que tinguem

molta informació emmagatzemada en cintes, CD-ROMs, DVDs, o grans dispositius

d’emmagatzematge. Necessitem tècniques d’organització d’imatges i vídeo en

proporció a les quantitats d’informació que disposem. Aquest fet fa que necessitem

alguna mena de mecanisme de compressió d’imatges i vídeo. Avui en dia l’anàlisi i

recuperació d’imatges estàtiques és un problema bastant difícil de resoldre, ja que

requereix un treball sacrificat, que necessita el modelatge, l’adquisició de molts de

coneixements, i l’anàlisi dels continguts de la imatge.

El vídeo a diferència de la imatge es pot definir com a un problema simple per

accedir a les imatges estàtiques, ja que es presenta com una seqüència d’imatges

que reprodueix la vida real, fet que fa que la segmentació de vídeo sigui més

simple que la d’una imatge estàtica. Tot i això, afegeix diversos ordres de

complexitat a l’hora de la recuperació a causa de la indexació i l’anàlisi. Per

exemple l’usuari pot plantejar una consulta basada en la petició de trobar una

escena de vídeo semblant a aquesta. Respondre a aquesta petició requereix

representacions de la imatge i aspectes temporals de l’escena de vídeo. A més,

l’augment de nivell de representacions, que reflecteixen l’estructura constituent de

vídeo o informació semàntica temporal, també podria ajudar en la correcta

recuperació de la escena de vídeo. Aquests, inclouen la semàntica per a la

recuperació d’imatges de vídeo, recuperació de paradigmes interactius, interacció

afectiva i emocional, recuperació d’imatges i vídeos basats en la percepció humana,

l’aprenentatge d’estratègies, i els resums d’informació intel�ligents.

El contingut digital ha esdevingut un objectiu vital per a les empreses i la gestió

d’aquest contingut ha emergit com una necessitat estratègica. Una gran quantitat


8

de fotos i vídeos són generats, publicats, transmesos i accedits cada dia per

empreses i per públic en general. Mentre que la paraula clau indexació de dades

visuals és útil, també és tediosa i normalment es queda curta per a descriure el

contingut de la imatge. Una foto és una senyal en ella mateixa; traduint això a text,

és necessària una operació “lossy”. Aquest tipus d’operacions utilitzen un mètode

en el qual s’elimina informació en el procés de compressió, disminuint així

substancialment la mida de la foto, i sense perdre molta qualitat.

“Content-based indexing of visual data” és una tecnologia clau per a referir-se a

aquest problema. De forma interessant, pot ser un bon complement per a la

paraula clau indexació.

2.1- Indexació d’Imatges per contingut

El prerequisit per aquest tipus de tecnologia és l’existència d’una base de dades de

dades visuals (per exemple imatges). La base de dades ha de ser dinàmica, per

exemple, s’han de poder inserir noves imatges.

Enlloc de descriure el contingut visual d’una imatge per contingut, es calcula una

ditada visual (o signatura). Aquesta signatura ha de ser una codificació optima dels

característiques visuals clau, representant informació general de baix nivell sobre la

imatge: colors, formes, textures, patrons etc [1].

Figura 1: extracció de característiques i codificació

Les signatures d’imatges es calculen per totes les imatges de la base de dades

(totes les imatges inserides). Posteriorment, en el procés de consulta d’imatges,

s’han d’actualitzar aquestes signatures per a realitzar la recuperació d’imatges.

Colors Formes Textures


9

2.2- Recuperació de similituds

La recuperació d’imatges des del punt de vista de l‘usuari es pot realitzar de

diverses formes:

• Cerca d’un objectiu. Buscar una imatge específica a la base de dades

(per exemple la ditada d’una persona).

• Cerca de categoria. L’usuari està interessat en recuperar imatges de la

mateixa categoria (o semàntica) (per exemple ditades del tipus “whorl”).

• Cerca oberta (Open-ended browsing). L’usuari no està buscant cap

imatge o sèrie d’imatges sinó que busca “idees”.

A partir de l’observació comentada anteriorment dels objectius de l’usuari, és

evident que la similitud d’imatges serà una tecnologia clau. La majoria dels

sistemes de recuperació per contingut es centren en l’enfocament “query-by

example” (consulta per exemple). Aquest enfocament consisteix en mostrar alguna

cosa que agradi a l‘usuari, i aleshores, el sistema en troba més com aquesta.

Des d’un punt de vista algorítmic, la similitud d’imatges es deriva de la comparació

de signatures (imatges similars han de tenir signatures similars). Les imatges més

semblants són normalment les “nearest neighbors” (veïns més propers) en l’espai

de característiques.

Des del punt de vista de l’usuari, s’espera prémer en una imatge (o pujar-ne una

de nova) i recuperar les imatges més similars a la seva consulta.

Des d’un punt de vista funcional, el problema és que, per a començar, l’usuari

necessita trobar una imatge similar al resultat esperat. Quan les paraules claus

estan disponibles, el problema pot ser solucionat, com una aproximació, amb

l’enfocament “seleccionar per text, classificar per imatge”, encara que es poden

aconseguir millors resultats mitjançant el més sofisticat esquema de recuperació en

mode creuat.

Per tal d’usar el sistema com una eina potent, l’usuari necessita:

• Ser conscient de l’objectiu (cerca d’objectiu, cerca de categoria o cerca

oberta).

• Ser conscient de què s’està intentant maximitzar: precisió o memòria.


10

Suggerir paraules clau:

Trobar imatge similar

Whorl

...

• Usar la flexibilitat i la intuïció del sistema per refinar la consulta inicial per

a trobar l’objectiu.

2.3- Matching, similitud, classificació

La tecnologia explicada anteriorment de recuperació per similitud és només un

aspecte de l’anàlisi de contingut d’imatges. Desprès de la indexació d’imatge, es

poden aplicar un total de tres tecnologies per a la signatura digital:

1. Matching – per exemple trobar la mateixa imatge (fins i tot amb la seva

geometria o fotometria lleugerament alterada).

2. Similitud – per exemple trobar sèries d’imatges similars (com s’ha descrit el

punt 2.2).

3. Classificació – per exemple suggerint paraules clau basades en paraules clau

d’imatges similars (raonament basat en cas) o basat en classes predefinides

(classificació)

Figura 2: Basada en la signatura digital de la imatge consultada, el sistema pot trobar la

mateixa imatge o similar a la base de dades, o suggerir paraules clau per a la consulta.

2.4- Aplicacions de la recuperació d’imatges

Des de 1999, s’han aplicat satisfactòriament les tecnologies anteriors als següents

sectors de mercat:

• Seguretat – per exemple comparació d’imatges per a la seguretat

corporativa, biometria i multitud d’investigacions per enfortir-les.


11

• Propietat Intel�lectual – per exemple recuperació d’informació de dades,

patents i marques comercials (per exemple dibuixos tècnics, logos,

fotos).

• Protecció de marques – per exemple seguiment de la propietat de dades

visuals a Internet.

� Arxius Multimèdia– per exemple cerca, recuperació i gestió

d’actius visuals (i meta dades associades).

� Representació d’imatges científiques– per exemple recuperar i

classificar imatges en respecte a un contingut visual científic

(utilitzat en ciències de la vida, salut, biotecnologia, etc.).

2.5- Estudis actuals

Diversos documents fan referència als problemes semàntics i donen informació

valuosa sobre l’estat actual de la tècnica de recuperació d’imatges i vídeo. A

continuació es mostra un llistat dels diferents temes investigats i estudiats

referents a aquest camp.

En un dels estudis es resumeixen els principals temes de recerca en mètodes

automàtics per a la descripció d’alt nivell i anotació. Un altre presenta un estudi

complet de la recuperació d’informació visual, l’objectiu del qual es proporcionar

una millor informació sobre la naturalesa semàntica necessitada i sobre la

representació i recuperació del contingut semàntic a traves de l’ampli espectre de

l’activitat de recuperació d’imatges.

En un altre s’argumenta que la comprensió semàntica de continguts multimèdia

requereix models de conceptes semàntics, context i una estructura. Per aquest

motiu, presenten un framework que pot combinar models generatius per a

estructures i contextos. Un altre framework per a la comprensió de vídeo usant

context i ontologies multimèdia. Aquest és un sistema expert que utilitza un motor

basat en regles, en domini del coneixement, detectors visuals, i meta dades. Un

altre autor proposa la detecció de conceptes semàntics de vídeo utilitzant gradients

temporals i classificació d’àudio. Un altre analitza diferents formes d’acoblament de

la informació per mitja de les característiques múltiples visuals en la representació

de continguts visuals temporals usant models basats en cadenes de Markov. De la

mateixa manera es presenta un algorisme per a la recuperació de vídeo que fusiona


12

les decisions d’agents de recuperació múltiple tant en modalitat text com en

imatge.

També existeix una avaluació de les tècniques de reconeixement d’expressió facial.

Aquestes tècniques es centren en el disseny dels classificadors utilitzats per al

reconeixement d’emocions: estàtic i dinàmic. La recuperació de vídeo de les

interaccions humanes mitjançant en el “model-based motion tracking”. També

tenim un estudi “eyetracking” sobre com la gent veu el vídeo digital. Hi ha autors

que discuteixen els possibles problemes relacionats amb la indexació de vídeos

personals capturats per un sistema d’imatges. Un repte important en la recuperació

de la informació visual prové de la interpretació dinàmica de les imatges en

diferents circumstàncies. En altres paraules, la semblança de percepció depèn sobre

l’aplicació, la persona, i el context on és usat. Molts documents estan adreçats a

l’aprenentatge i donen molta rellevància al tema de recuperació d’imatge i vídeo.

Diversos algoritmes d’aprenentatge que utilitzen representacions d’imatges globals,

són usats per a la recuperació d’imatges basada en regions de manera eficient. Es

pot usar un enfocament diferent per a millorar la recuperació d’imatges i la

classificació d’aquestes. A més a més, s’han presentat noves tècniques referents a

problemes de recuperació, incloent el seguiment d’objectes, recuperació basada en

formes, cerca d’imatges a gran escala dins d’una base de dades, arbres k-d per a

indexació de dades, trademarks, i recuperació d’imatges per web.

2.6- Conclusions

La recuperació d’imatges basada en contingut és una tecnologia trencadora que

avui en dia és madura i que ajuda a les empreses i organitzacions a recuperar i

gestionar dades visuals de manera més eficient.

L’aspecte més important d’aquesta tecnologia és la seva versatilitat: no només pot

complementar idealment la paraula clau indexació, sinó que també pot canviar-la si

no es pot utilitzar, per exemple en aplicacions en temps real. També és una

tecnologia que ha de ser ben refinada per a aplicacions específiques.


13

2.7- Frameworks dins de la temàtica de recuperació d’imatges usant grafs

2.7.1- Definicions

En aquest punt es definiran diferents conceptes que ajudaran a la comprensió de

les posteriors explicacions.

2.7.1.1- Framework

Framework és una estructura conceptual bàsica utilitzada per resoldre problemes

complexos. És un terme adoptat de l'anglès i equival a entorn de treball o, també,

marc de treball. Aquest mot forma part de la terminologia tècnica utilitzada en

múltiples àmbits de l'enginyeria i de l'informàtica.

2.7.1.2- Representació basada en grafs

Una representació basada en grafs és molt més fàcil d’entendre i suficientment

flexible per a crear diferents representacions del mateix domini. El domini (per

exemple dades i relacions) es descriu utilitzant grafs. Aquests grafs esdevenen una

aportació important en les eines que utilitzen heurístiques per a escollir subgrafs

considerats importants (patterns).

Un graf es defineix com un parell G(V,A):

• V= {v1,..., vn} són un conjunt d’elements anomenats vèrtexs.

• A és el conjunt d’arestes a que satisfan E �[V]2. Aleshores, cada aresta a � E

és parell (vi,vj). Si (vi,vj) és un parell ordenat per cada (vi,vj) � E aleshores

G=(V,E) és diu que és un graf dirigit. Un graf etiquetat té etiquetes

associades a les seves arestes i vèrtexs.

Es pot representar una gran varietat d’objectes en forma de grafs, mitjançant unt

algorisme de transformació de dades a format graf, com es mostra en la següent

figura:


14

Figura 3: representació de diferents objectes en forma de grafs.

2.7.1.3- Attributed Graphs (AG’s)

Abans de tot, hem de tenir clar què és un graf. Un graf consisteix en un conjunt de

vèrtexs que representen primitives i un conjunt d’arestes que representen relacions

entre les primitives. Però nosaltres necessitem tenir més informació a cada vèrtex, i

per solucionar aquest problema utilitzem els Grafs amb Atributs, en els quals

podem incorporar més informació semàntica sobre ells. Els Grafs amb Atributs han

estat utilitzats per fer aplicacions tals com reconeixement de caràcters, anàlisi

esquemàtic de dibuixos, anàlisi de formes 2-dimensionals, anàlisi d’escenes

dinàmiques, anàlisi d’imatges dins del camp de la medicina... Normalment, els grafs

són usats per representar models coneguts d’una base de dades i mostres

d’entrada desconegudes, i la tasca d’aquest reconeixement gira en front al

problema de “graph-matching”.

Xarxes Físiques Xarxes Lògiques Ditades

Lletres Imatges

Estructures Químiques

Símbols Gràfics

Formes


15

2.7.1.4- Random Graphs ( Grafs Aleatoris )

En la aproximació dels Random Graphs, els AGs s’amplien de varies formes per tal

d’incloure informació probabilística o fuzzy. Wong va definir els RGs per a modelar

classes de patrons descrits per AGs a través d’un espai de probabilitat conjunta de

variables aleatòries, però degut a la dificultat computacional de treballar amb els

grafs aleatoris, es van proposar els First Order Random Graphs (FORGs) per a

aplicacions reals (és interessant notar que encara que els Random Graphs formen

ara part de la terminologia estàndard en reconeixement de patrons,

desafortunadament en teoria de grafs precisament aquest nom es refereix a un

concepte completament diferent i ben arrelat introduït per Erdos).

2.7.1.5- Outcome Graphs (Grafs Resultants)

Un graf resultant és qualsevol graf amb atributs obtingut per mitjà de la

instanciació de tots els vèrtexs aleatoris i totes les arestes aleatòries d’un graf

aleatori (RG) en el camí que satisfaci totes les relacions estructurals. D’aquesta

manera, un Graf Aleatori representa el conjunt de tots els possibles Grafs amb

Atributs que poden resultar Grafs Resultants d’aquest, d’acord amb una distribució

de probabilitat associada.

Definició:

Per a cada graf resultant G d’un RG R, la probabilitat conjunta dels vèrtexs i arestes

aleatoris es definida per la instanciació que produeix G. Suposem que G s’orienta

respecte R per un isomorfisme estructural µ; per cada vèrtex ω� a R, suposem que a� � γ�µ� �ω�� és el corresponent valor de l’atribut dins de G’, i similarment, per a

cada aresta ε�� en R (associada a la variable aleatòria β�) agafem b� � γ��µ� �ε�� corresponent al valor de l’atribut en G’. Llavors la probabilitat de G d’acord amb

l’orientació de µ, definit per P(G| µ) es defineix com:

��|�� ^ ��!� � "#�$#%

&�% ' � (�� , … , �& , " , … , "$�


16

2.7.1.6- Function-Described Graphs (FDGs)

Un FDG és una estructura que conté informació per mantenir les característiques

locals dels AGs que pertanyen a una classe, així com permetre el rebuig dels AGs

que no pertanyen a aquesta classe. En general, un FDG pot ser derivat com una

síntesis d’un conjunt individual d’AGs. Per tal d’aconseguir una representació

compacta d’un conjunt d’AGs per mitjà d’un prototip, es desitjable tenir una

descripció probabilística del conjunt per tenir en compte les variacions dels patrons

estructurals en el conjunt de referències. FDG son definits com una aproximació del

conjunt probabilístic dels elements aleatoris.

Conseqüentment tenim dos mètodes per resoldre-ho. Depèn de:

• Suposició d’independència

• Relacions de segon ordre

El primer d’aquests dos, ens diu que els atributs als nodes són independents dels

altres nodes i també de les arestes, i són considerades algunes suposicions

d’independència. I el segon mètode, ens diu que algunes funcions de segon ordre

són incloses per permetre una generalització limitada.

Figura 4: Function-Described Graph

2.7.1.7- First-Order Random Graphs (FORGs)

Degut a la dificultat computacional dels grafs generals aleatoris, causada per la

dificultat a l’hora d’estimar i manipular la distribució de probabilitat dels conjunts

d’alt-ordre, es van proposar els FORGs per a aplicacions reals. Es van introduir tres

suposicions sobre la independència probabilística entre els vèrtexs i les arestes:


17

• Els vèrtexs aleatoris són mútuament independents.

• Les arestes aleatòries són independents donant valors per als vèrtexs

aleatoris.

• Les arestes són independents dels vèrtexs, exceptuant els vèrtexs que estan

connectats.

Definició

Per un FORG R podem dir que és un RG (Random Graph) que satisfà la les

proposicions del graf resultant i dels FDGs. Basant-nos amb aquestes proposicions,

per a un FORG R, la probabilitat de P(G| µ) es converteix en:

��+|�� , (�&

�% �� , -#$

#% �"#|�# , �#.�

On pi (a) = Pr(�� , 1 ≤ i≤n, són funcions de probabilitat de densitat marginal

per als vèrtexs i qj /"|�# � �#.0=Pr/!# � "|�# � �#. � �#.0,1 ≤j≤m, són les funcions de

probabilitat condicionals per a les arestes, en les quals �# , �#. es refereixen als

vèrtexs aleatoris per als punts finals dels arcs aleatoris !#.

2.7.1.8 Second Order Random Graphs (SORGs)

Els SORGs els podem definir com una formula general per a l’estimació de la

probabilitat conjunta dels elements aleatoris dins d’un RG sintetitzat des d’un

conjunt d’AGs. Els SORGs volen millorar la representació dels FORGs i dels FDGs.

La probabilitat conjunta d’una instanciació d’elements aleatoris en el RG es pot

descriure com una aproximació a:

��|�� (�1 , … , 12� 3 , (�2

�% �1�� , , ��#�1� , 1#�2#%�4

2� �%

On pi(di) són les probabilitats marginals dels elements aleatoris 5� (vèrtexs o

arestes) i rij son els coeficients de compatibilitat de Peleg que hem de tenir en

compte ambdues, la marginal i la probabilitat conjunta de segon ordre.

��#/1� , 1#0 � Pr �5� � 1�^5# � 1#�(��1��(#�1#�


18

El coeficient de Peleg, amb un rang que no és negatiu, esta relacionat amb el

“grau” de dependència entre dues variables aleatòries. Si aquestes dues variables

són independents, la probabilitat conjunta és definida com el producte del primer

marginal, d’aquesta manera rij =1 (o un valor pròxim a 1 si les funcions de

probabilitat són estimades). Si una d’aquestes probabilitats marginals és nul�la, la

probabilitat conjunta és també nul�la. En aquest cas, la indeterminació 0/0 és

solucionada com a 1, sense que això afecti a la probabilitat conjunta global, que es

nul�la.

2.7.1.9- Median Graphs

Donat un conjunt de grafs, el median graf ha de ser definit com el graf que te la

mínima suma de distàncies (SOD, Sum Of Distances) a tots els grafs del conjunt.

Aquesta simple definició amaga el poderós concepte de descriure un prototips d’un

conjunt de grafs. La única restricció imposada per aquesta definició és que s’ha de

definir la mesura per comparar grafs. De fet, la definició de median graf té una

definició equivalent en el concepte de median vector, o en un cas més general, en

el concepte de median d’un conjunt d’objectes, que es coneix com una de les

maneres més importants d’obtenir un prototips del conjunt. Aquesta simple però

poderosa definició fa que el concepte de median graf sigui molt atractiu.

A més, els median grafs tenen un gran nombre d’aplicacions. Per exemple, poden

ser utilitzats en clústering de grafs (com és el nostre cas) per a representar el

centre del clúster. També són d’interès en el context d’aprenentatge d’objectes

prototips. En aquest cas l’objectiu és deduir un model representatiu d’una col�lecció

de mostres amb soroll del mateix objecte. Finalment, els prototips obtinguts amb el

median graf es fan servir en tasques de classificació (molt important en aquest

article ja que són els que formen els routing nodes de l’arbre representant als

nodes fulla). Fins i tot en un esquema més general, els median grafs poden ser

potencialment usats en qualsevol aplicació en la que es necessiti un prototips que

representi al conjunt.

2.7.1.7.1- Per a que son usats els SORGs.

Els SORGs han estat creats des de fa pocs anys. Actualment els investigadors

encara estan investigant com explotar el potencial d’aquests i com millorar les

seves representacions. Fins avui, tenim diversos articles que tracten aquest tema:


19

• “SORG for modeling sets of attributed graphs and their application to

object learning recognition”: la principal característica d’aquest article és

ensenyar-nos la representació dels grafs aleatoris, que estan basats en

relacions de 2n ordre entre els elements del graf, per aconseguir un

conjunt de models de “Attributed graphs” (AGs).

• “Distance Measures between Attributed Graphs and Second-Order

Random Graphs”: el principal punt d’aquest article és proposar el

mesurament de distàncies entre els “Attributed Graphs”(AGs) i els

Second-Order Random Graphs (SORGs) per a la seva classificació

posterior i el seu reconeixement.

Tot i això en l’actualitat encara hi ha projectes d’investigació en procés:

• “Reasoning about the representative of a set of ndimensional elements”:

en aquest treball alguns elements són representats com a SORGs i

l’objectiu que té és la definició d’algunes distàncies, i la definició

d’algoritmes per a crear la representació i per calcular la distància entre

un element i la seva representació

• “Graph indexing based on SORGs”: en aquest treball, el principal punt a

tractar és l’aplicació dels SORGs com a una estructura principal per

representar la propietat de dividir les dades en comptes d’utilitzar els

AGs. Com que els SORGs tenen més capacitat per representar grups

d’AGs, en aquest article són estudiats si aquest augment de coneixement

dels clústers fa que la recuperació d’imatges sigui més ràpida i més

exacta.

2.7.2- Frameworks trobats en la bibliografia

Per la realització d’aquest punt, hem cercat informació en la documentació que

forma l’apartat de referències.

En l’article “SECOND-ORDER RANDOM GRAPHS FOR MODELING SETS OF

ATTRIBUTED GRAPHS AND THEIR APPLICATION TO OBJECT LEARNING AND

RECOGNITION” d’Alberto Sanfeliu, Francesc Serratosa i René Alquézar es parla dels

SORGs (Second Order Random Graphs), un dels frameworks utilitzats per a la

recuperació d’imatges usant Grafs amb Atributs.


20

Els SORGs són un tipus de representació de grafs aleatoris (Random Graphs)

basada en relacions de segon ordre entre els elements del graf. Aquestes són

usades per a un conjunt de models dels AGs. La principal característica dels SORGs

és que aquests contenen dues funcions de probabilitat:

• Funcions de probabilitat marginal dels elements del graf

• Funcions de probabilitat de conjunts de segon ordre

Els SORGs han sigut creats per aconseguir resoldre problemes de dades i

representacions de prototips dels AGs, ja que aquests últims presenten molta

complexitat computacional a l’hora de compara dos AGs.

Per entendre bé com funcionen els SORGs s’han d’entendre els conceptes explicats

en l’apartat 2.7.1 (Definicions): FORGs (First Order Random Graphs) i FDGs

(Function Describe Graphs), ja que els SORGs els podem definir com una

generalització d’aquests dos últims, i a més alguns conceptes generals com els

grafs amb atributs, grafs aleatoris, i grafs resultants (outcome graphs).

En l’article “Efficient Matching and Indexing of Graph Models in Content-Based

Retrieval” de Stefano Berretti, Alberto Del Bimbo, and Enrico Vicario es tracten

bàsicament els ARG’s (Attributed Random Graphs).

En la recuperació d’imatges de bases de dades, l’avaluació de similituds, basada en

l’aparença d’entitats espaials i en les seves relacions mútues, depèn de la

representació del contingut basat en ARGs. Aquesta classe de modelatge comporta

una indexació i “matching” complicat, la qual cosa impedeix que s’utilitzi

actualment dintre d’aplicacions integrals. Al llarg de l’article s’exposa una

formulació teòrica i gràfica per al problema de la recuperació d’imatges basat en la

similitud conjunta d’entitats individuals i les seves relacions mútues.

En concret, es mostra l’ús de la tècnica “metric indexing” per tal d’organitzar arxius

grans de models de grafs, i es proposa un mètode innovador, que representa una

solució eficient per a corregir el problema de l’error d’isomorfisme de (sub)grafs

que es necessita per calcular distàncies entre objectes. La comparació analítica i els

resultats experimentals mostren que millora l’estat actual de la tecnologia en

mètodes de cerques estat-espai i que l’ús combinat del “matching” i l’esquema


21

d’indexació proposat, permeten que es manegui la complexitat de les aplicacions de

recuperació per plans espaial.

L’accés efectiu a les bases de dades d’imatges requereix que els índexs

convencionals es complementin amb consultes que apuntin a l’aparença esperada

de la imatge que es cerca. Per això s’ha estudiat una gran quantitat de tècniques

que comparen característiques visuals, com per exemple el color o la textura.

Aquestes tècniques afecten a la imatge en general o a algun conjunt de píxels que

forma una entitat espaial amb algun tipus de cohesió visual. Quan s’han definit

múltiples entitats, el model també ha de capturar informació sobre les seves

relacions. Aquest pas pot millorar la efectivitat de la recuperació mitjançant el

registre de diferències i similituds que depèn de la disposició de les entitats enlloc

de dependre de les seves característiques individuals.

En el mètode més utilitzat, l’aparença visual de cada entitat espaial es representa

independentment com un vector de característiques de dimensions predefinides.

Això permet considerar a les entitats com a punts independents en un espai

vectorial de característiques, i així habilitar un indexat eficient basat en mètodes

d’accés a punts consolidats, que divideixen l’espai al llarg d’una estructura

jeràrquica ordenada. Les relacions mútues entre entitats es poden tenir en compte

en aquest procés de recuperació a través d’un filtre en cascada. Aquest filtre avalua

la similitud en el posicionament de les entitats desprès que aquestes hagin estat

recuperades a partir de les seves característiques individuals.

No obstant, aquest esquema de “matching” no és capaç d’escollir, tot i disminuir la

similitud de les característiques, dues entitats que s’assemblin suficientment.

Per a aconseguir un millor rendiment, s’ha de fer la consulta amb imatges

arxivades. Així maximitzem l’equilibri de similitud conjunta, la rellevància de les

característiques de les entitats individuals i les relacions mútues entre entitats. Això

requereix entitats i relacions representades i comparades com parts d’una

estructura global que captura les dependències mútues. En aquest cas, el model de

contingut pren forma d’ARG, amb vectors entitat i descriptors de relació associats a

vèrtex i arestes, respectivament.

Desafortunadament, la representació d’imatges com a ARGs, incrementa

radicalment la complexitat dels algoritmes de “matching”, i dificulta la viabilitat dels

esquemes d’indexació. Per aquesta raó, encara no s’ha proposat cap solució que


22

suporti la aplicació d’ARGs a la recuperació basada en contingut de bases de dades

d’imatges d’interès pràctic. De fet, mentre la distància entre dos conjunts de

vectors independents es pot calcular en un temps polinòmic, la distància entre dos

ARGs requereix la identificació òptima de correcció de l’error d’isomorfisme del

(sub)graf, cosa que és un problema NP-complet amb algoritmes amb un temps de

solució exponencial. A més, la falta de correspondència estructural entre entitats de

diferents imatges dificulta la representació directa de grafs a vectors amb

dimensions i estructura predefinida, impedint així la indexació basada en mètodes

d’accés a punts.

Per tal de comparar un graf amb una gran quantitat d’altres grafs, s’arriba a la

conclusió que el millor és descompondre el problema. En temps

d’emmagatzematge, els grafs es descomponen repetidament en subgrafs i

s’organitzen per mida amb un índex jeràrquic global. En temps d’execució, es fa el

“matching” comparant el graf d’entrada amb els subgrafs amb una composició

d’índex “bottom-up” (de baix cap a dalt). Fent això cada subgraf apareixerà en

múltiples imatges i serà comprovat només un cop, cosa que reduirà la dependència

de la mida de la Base de Dades.

No obstant, aquesta reducció no és tan evident quant els grafs són etiquetats amb

valors numèrics (no simbòlics), una situació molt habitual en aquest tipus de

tecnologia de recuperació. En aquest context, fins i tot en la comparació de models

d’imatges aparentment similars, les diferències entre valors numèrics afecten a

totes les entitats i relacions.

Seguint un enfocament oposat, en un altre paper es representen els grafs com a

objectes amb estructura 3D organitzats en una jerarquia de conjunts, i cada

conjunt es representa com un supermodel paramètric que combina les estructures

dels supermodels que conté. En aquest cas l’accés es fa “top-down” (de dalt a

baix), ignorant aquells conjunts, els supermodels dels quals no corresponen a la

consulta realitzada, i per mitjà de baixar la jerarquia per a identificar un model

específic a través d’un refinament repetitiu de la seva representació paramètrica.

Aquest enfocament pot donar un “speedup” significatiu, però pot causar falsos

rebuigs i exagerar la mida dels supermodels.

En un altre paper, els ARGs que modelen imatges mediques es redueixen a

representacions vectorials habilitant un indexat R-tree (Real-Tree), sota la suposició

que tots els grafs contenen un conjunt d’entitats connexes amb etiquetes


23

predefinides. Les entitats no connexes també estan permeses, però el seu nombre

determina una degradació linear en la eficiència de l’índex. Això impedeix l’aplicació

quan les imatges arxivades no comparteixen un mateix nombre dominant d’entitats

connexes. Aquest enfocament no és aplicable en cas que les entitats siguin

identificades per característiques numèriques i ràpidament canviants enlloc

d’utilitzar identificadors simbòlics.

Fig. 5- Exemple senzill de r-tree per a rectangles 2D.

En un article diferent, es mapejen models teòrics de grafs d’objectes estructurals

en espais vectorials a través del càlcul de signatures de les seves “eigenvalues” de

la matriu d’adjacència. Això permet la construcció d’un índex vectorial que permet

una selecció eficient d’un subconjunt de models que tenen una topologia semblant

a la utilitzada en la cerca. No obstant, aquest esquema tampoc es pot aplicar en

grafs etiquetats amb valors numèrics.

En un altre, es proposa una solució general per organitzar bases de dades

d’objectes sense reduir-los a representacions vectorials. De fet, en aquest esquema

d’indexació, els objectes s’agrupen i es recuperen segons les seves distàncies

mútues, enlloc de la seva posició absoluta en el sistema de referències d’un espai

vectorial. Això permet la indexació dels objectes amb alta dimensionalitat i habilita

cerques basades en distàncies de mètrica complexa. Aparentment, la indexació


24

mètrica també s’adequa eficientment a les necessitats per a organitzar un arxiu

d’ARGs. No obstant, aquesta solució, que no s’ha posat mai en pràctica, ja que

comporta una major dificultat degut a la necessitat per calcular contínuament les

distàncies d’objectes durant l’accés a l’índex. En el cas d’ARGs arxivats, cada

distància necessita solucionar el problema de correcció de l’error d’isomorfisme,

comportant així una complexitat computacional crítica.

En l’article den del Bimbo, es tracta el problema d’indexació i “matching” d’ARGs

empleat en el context d’aplicació de recuperació d’imatges basades en el contingut.

Es parla sobre aplicacions de models d’imatges que capturen propietats d’entitats i

de les seves relacions. També es descriu la representació com a ARG, i es formula

el càlcul de la distància entre models d’imatges com a correcció òptima al problema

de l’error d’isomorfisme. Desprès es recorden els principis de la indexació mètrica i

s’adapten a les necessitats específiques d’un arxiu de models ARG en el context de

recuperació d’imatges basat en el contingut. Desprès de diverses proves per a

avaluar les teories, els resultats mostren que la estratègia proposada millora l’estat

actual de la tecnologia, en algoritmes basats en espai i estat per al problema de la

correcció de l’error d’isomorfisme, i és capaç de manegar la complexitat en l’ús de

l’esquema d’indexació mètrica per a accedir a una base de dades realista.

Quant a les conclusions, el modelatge del contingut d’imatges basat en ARGs

adapta les necessitats a una recuperació efectiva basada en la similitud conjunta

entre entitats individuals i la seva relació mútua. En particular, això pot servir en

recuperacions per plans espaials. No obstant, la aplicació pràctica d’aquest

enfocament de modelatge es descarta degut a la complexitat de la indexació i el

“matching”. En aquest article es proposa una solució comprensiva per a ambdós

problemes, amb resultats que mostren la seva viabilitat en un context d’ús realista.

Es proposa l’ús de l’esquema d’indexació mètrica com a forma de manegar la

organització de grans arxius d’ARGs amb una mida comú.

Usant aquest esquema, els ARGs s’han organitzat jeràrquicament segons les seves

distàncies mútues, evitant així la necessitat de representar-los en forma vectorial.

Això permet aprofitar la complexitat de la distància mètrica entre grafs i la seva

capacitat per combinar la similitud entre entitats i entre relacions amb una

compensació (trade-off) equilibrada. L’esquema d’indexació proposat també sembla

apropiat per a suportar fàcil integració de cerques i exploracions (browsing),

permetent una participació més propera de l’usuari en la tasca de recuperació.


25

Per confirmar la aplicació de l’esquema en el context de recuperació d’imatges

basat en el contingut, s’han realitzat mètodes originals que permeten manegar

diferencies entre funcions de distància usades per a arxivar i recuperar. Aquests

mètodes permeten abastar modalitats de consulta comuns on se li permet a l’usuari

equilibrar la rellevància de diferents característiques visuals i establir el nombre

d’entitats especificant les imatges que espera que apareguin com a resultat.

Aquesta ultima solució sembla adequada quan estenem l’esquema d’indexació al

cas en el que els arxius de grafs tenen diverses mides i suporten funcions de

distància que són tolerants a la presència, en la consulta, d’un subconjunt d’entitats

que no poden fer el “matching” efectivament en el contingut de la base de dades.

L’aplicació de l’esquema d’indexació mètrica a una base de dades realista de

models de grafs, depèn críticament d’una solució eficient per al problema de la

correcció de l’error d’isomorfisme de subgraf. Aquest és el component central

utilitzat en la avaluació repetida de distàncies entre grafs que condueixen l’accés

cap a la jerarquia d’índex. Per a aquesta finalitat, s’ha proposat un algoritme que

combina la cerca amb una estimació original de la visió de futur. Aquesta estimació

es deriva de la solució òptima de l’assignació ponderada, que disminueix el

problema de la visió de futur, amb la finalitat d’eliminar el factor bàsic de

complexitat exponencial. Aquesta classe de disminució dóna com a resultat una

estimació molt ben informada que encara es pot calcular en un temps polinòmic.

Els resultats analítics i experimentals demostren que això millora significativament

l’actual estat de la tecnologia en un mètode de cerca òptima espai-estat. En

concret, la precisió de l’estimació i la seva estructura incremental permeten

reutilitzar un únic conjunt de condicions amb visió de futur al llarg de tot el procés

de “matching”. Això s’anomena “look-ahead” global en contrast amb la pràctica

usual de mètodes de branca i límits (branch and bound) on es calcula una

estimació per cada estat intermedi del procés de cerca. L’ús d’un únic “look-ahead”

global redueix dràsticament la càrrega computacional en la estimació (i també la

dificultat de programació en la seva aplicació pràctica), i, a més, encara dóna un

“look-ahead” que, de lluny, està més informat que els resultats anteriors de la

bibliografia.

L’experiència computacional demostra que l’ús combinat de l’esquema de

“matching” i indexació proposat, permet gestionar la complexitat d’una aplicació

típica de recuperació basada en la disposició visual del contingut. La implementació


26

i experimentació de l’aplicació també permet entendre les dependències crítiques

entre aspectes de la complexitat computacional i la efectivitat de percepció.

L’avaluació conjunta d’ambdós aspectes simulats combina recerca i experimentació

de “trade-offs” (compensació).

3. Disseny de la nova solució, justificació de la nova proposta

27


En aquest punt es descriuran les diferents parts teòriques que té el nou model.

L’objectiu bàsic que es pretén assolir és el de crear un nou mètode d’organitzar una

base de dades de grafs estructurada en forma d’arbre, en la que els routing objects

són prototips dels subconjunts de nodes fulla (grafs nous creats a partir dels nodes

fulla) i comparar-la amb un altre mètode, amb la mateixa estructura però en el que

els routing objects són representants dels subconjunts de nodes fulla (un mateix

graf del node fulla es replica i es promociona). S’explicaran les diverses opcions que

hi havia en cada cas i se’n veuran els avantatges i inconvenients que proporciona

cada opció. Al final de cada punt, s’explicarà l’opció escollida en detall i el perquè

d’aquesta elecció.

3.1- Mètrica: graph edit distance

Abans de començar a explicar l’estructura, definirem el concepte de mètrica.

En matemàtiques, una mètrica o funció de distància és una funció que defineix una

distància entre els elements d’un conjunt. S’anomena espai mètric un conjunt amb

una mètrica. Una mètrica indueix una topologia en un conjunt però no totes les

topologies poden ser generades per una mètrica. Quan un espai topològic te una

topologia que pot ser descrita per una mètrica, es diu que l’espai topològic és

metritzable. Una mètrica en un conjunt X és una funció de distància o simplement

la distància:

d : X × X → R

On R és el conjunt de tots els nombres reals. Per tot x, y, z en X, aquesta funció

requereix que es satisfacin les següents condicions:

1. d(x, y) ≥ 0 � no negativitat (la impliquen les altres)

2. d(x, y) = 0 si i només si x = y � identitat dels indistingibles

Nota: les condicions 1 i 2 juntes produeixen definitud positiva

3. d(x, y) = d(y, x) � simetria

4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) � desigualtat triangular:


Ja parlant sobre la mètrica escollida per desenvolupar aquest treball, parlarem de la

graph edit distance [7] o distància d’edició

com la mínima quantitat de distorsió que es necessita per a transformar un graf en

un altre. Aquesta distorsió s’afegeix mitjançant les operacions d’edició

operacions d’edició poden ser:

dels elements que formen un graf, és a dir,

El conjunt de distorsions aplicades a un graf per a arribar a un altre s’anomena

camí d’edició (edit path [

distància es calcula utilitzant aquests valors

complicades, en les que no entrarem en aquest treball

A continuació es veurà un exemple de com calcular la distància entre dos grafs, g

g2:

En la figura 7, es mostra com,

el primer pas s’eliminen tres arestes. En el segon pas s’elimina un node. En el

tercer s’afegeix un node. En el quart, s’afegeixen dues arestes, i ja tenim el g

Aquests passos es combinen amb d’altres de modificació de

complicats de representar en un gràfic visual.


mètrica escollida per desenvolupar aquest treball, parlarem de la

distància d’edició de grafs. Es defineix dissimilitud de grafs

nima quantitat de distorsió que es necessita per a transformar un graf en

un altre. Aquesta distorsió s’afegeix mitjançant les operacions d’edició

operacions d’edició poden ser: insercions, eliminacions i substitucions

e formen un graf, és a dir, de nodes i arestes.


[8]). A cada distorsió se li assigna un valor o pes. I la

distància es calcula utilitzant aquests valors, amb funcions de ponderació

complicades, en les que no entrarem en aquest treball.

A continuació es veurà un exemple de com calcular la distància entre dos grafs, g

Figura 7: grafs d’exemple

com, afegint una sèrie de distorsions a g1 s’arriba a g


tercer s’afegeix un node. En el quart, s’afegeixen dues arestes, i ja tenim el g

Aquests passos es combinen amb d’altres de modificació de nodes i arestes, més

complicats de representar en un gràfic visual.

Figura 6: exemples de

desigualtat triangular.

La figura de dalt

mostra una desigualtat

estricta i la figura de

baix mostra una

igualtat.

28

mètrica escollida per desenvolupar aquest treball, parlarem de la

s defineix dissimilitud de grafs

nima quantitat de distorsió que es necessita per a transformar un graf en

un altre. Aquesta distorsió s’afegeix mitjançant les operacions d’edició ei. Les

insercions, eliminacions i substitucions de qualsevol


). A cada distorsió se li assigna un valor o pes. I la

amb funcions de ponderació

A continuació es veurà un exemple de com calcular la distància entre dos grafs, g1 i

s’arriba a g2. En


tercer s’afegeix un node. En el quart, s’afegeixen dues arestes, i ja tenim el g2.

nodes i arestes, més

: exemples de

desigualtat triangular.

La figura de dalt

mostra una desigualtat

estricta i la figura de

baix mostra una


29

Figura 8: edit path [8] entre g1 i g2.

Tot i que sembla evident, cal remarcar que, com es veurà en el punt 4.1, no

existeix un únic camí d’edició, i que calcular l’òptim és una tasca

computacionalment costosa.

3.2- L’estructura: m-tree

Per a dissenyar l’estructura ens hem basat en l’m-tree [4], o metric tree, que és el

tipus d’arbre que s’utilitza en [2]. S’ha escollit aquest perquè dóna un mètode

d’accés eficient per a la cerca per similitud en espais mètrics i grans bases de

dades. En [4] es demostra que aquest tipus d’arbre amplia el domini d’aplicabilitat

més enllà dels tradicionals espais vectorials, rendeix raonablement bé en espais de

dades d’altes dimensions, i escala bé en cas d’arxius que creixen (en pes) amb el

pas del temps. És un arbre balancejat, capaç de tractar arxius de dades dinàmics,

de tal manera que no requereix reorganitzacions periòdiques. Pot indexar objectes

usant comparació de característiques mitjançant funcions de distància que no caben

en un espai vectorial o no usen una mètrica Lp, cosa que amplia considerablement

els casos pels quals el processament de cerques és possible. El disseny d’aquest

tipus d’arbre s’inspira en els principis d’arbres mètrics i mètodes d’accés a bases de

dades, i la optimització del rendiment té en compte tant la CPU (càlculs de

distància) i costos d’E/S. Divideix objectes segons les seves distàncies relatives,

calculades amb la funció de distància específica d, i emmagatzema aquests objectes

en nodes de mida fixa, que corresponen a regions obligades de l’espai mètric.

Usant un indexat mètric es divideix un arxiu en una col�lecció jeràrquica de

conjunts, que reuneix objectes similars. Cada conjunt té una referència (routing

object) i un radi que dóna un límit superior per a la distància màxima entre

l’objecte referència i qualsevol altre objecte del conjunt. En l’m-tree cada node


30

conté un nombre màxim fixat de m entrades (entries). A la seva vegada, cada

entry conté:

- un routing object D;

- una referència a l’arrel subD, d’un (sub)índex que conté els ARGs en l’anomenada

covering region de D;

- radi µD que prové un límit superior per a la distància entre D i qualsevol ARG en la

seva covering region;

< node > ::. {< entry >}m < entry > ::. D, subD; µD.

Aquest esquema es pot aplicar per organitzar una col�lecció gran d’objectes, sense

requerir que aquests s’hagin de passar a una representació vectorial, i més aviat

que es compti amb la seva distància mútua. Si la distància és mètrica, es pot usar

la desigualtat triangular (triangular inequality) durant l’accés a l’arxiu per retallar

conjunts que surten d’un rang assignat des d’una consulta (query).

Figura 9: Organització m-tree per a un conjunt d’objectes en un espai bidimensional. En

aquest exemple s’ha assignat 3 com a mida fixa del node.

Entre les modificacions que hem fet al m-tree dissenyat en [2] i [4], per a que sigui

més eficient i s’adeqüi millor a les nostres necessitats, destaca el canvi de la mida

fixa dels nodes per variable, ja que d’aquesta manera es poden fer clústers basant-

se únicament en la distància. Si es fixa la mida dels nodes, es a dir, el nombre

d’entries que tindrà cada node, es condiciona a l’algorisme de clustering, i força que

s’ajuntin entries que poden tenir distàncies molt grans, augmentant així el radi i en

conseqüència, el solapament com es veu en la figura 9. Tots aquests canvis fan que

disminueixi l’eficiència de la cerca augmentant el nombre d’accessos. També, i per

la mateixa raó, s’ha canviat que l’arbre es mantingui balancejat.


31

A l’hora d’indexar, s’agafa subD, que recordem que era l’índex al node fill, de la

següent manera:

Pare p

Com a exemple de l’aplicació de la nostra estructura d’arbre a la seguretat en el

camp de la biometria es pot agafar el següent: Francis Galton(1822-1911) va

classificar les ditades com: arch, left loop, right loop, whorl, etc., i en el nostre

arbre podrien quedar classificades de la següent manera:

x, r(x), indexFill(x) y, r(y), indexFill(y)

z

Figura 11: Entry Index = (routing object, índex al fill, covering radi),

Tots els objectes del subarbre estan dins del “covering radi” del routing object

x y

d(y,z)≤ r(y)

a) b)

Figura: 10 efecte de la fixació de la mida del node a l’hora de fer el clustering:

En la figura a) hem agafat 3 com a mida fixa del node i veiem com les covering region són

molt més grans i hi ha solapament, pel que la cerca serà mol menys eficient (hi ha molta

més area ocupada que fa que augmenti la probabilitat d’explorar tots els entries que formen

aquell node) que en la figura b) on les covering region són molt més petites i a sobre, no hi

ha solapament.


Figura 12:exemple

3.3- Clustering: dendrograma

El primer que es farà en aquesta secció és definir la paraula clau cl

segons el TERMCAT (organisme català destinat a estudiar la terminologia en

català), i segons ens mostra l’enciclopèdia catalana, és

funcionals interconnectades per mitjà d'una

En el nostre cas muntarem clústers de gr

s’uniran per a formar nodes. Aquests formaran l’arbre resultant.

Un algorisme de clustering és, doncs, un procediment de càlcul que unirà, en el

nostre cas, un conjunt de grafs segons una política a escollir

nodes, que s’uniran, completaran l’arbre

d’aquest tipus que existeixen avui en dia, s’ha decidit utilitzar l’anomenat

dendrograma per la seva facilitat de comprensió i d’ús, unida al seu més que

correcte rendiment.


12:exemple d’aplicació de m-tree en el camp de la biometria

ing: dendrograma

El primer que es farà en aquesta secció és definir la paraula clau clúster. Un cl

organisme català destinat a estudiar la terminologia en

, i segons ens mostra l’enciclopèdia catalana, és un conjunt d'unitats

funcionals interconnectades per mitjà d'una xarxa que actuen com una sola unitat

En el nostre cas muntarem clústers de grafs, on cadascun formarà un

s’uniran per a formar nodes. Aquests formaran l’arbre resultant.


nostre cas, un conjunt de grafs segons una política a escollir per tal de

, completaran l’arbre. Entre la gran varietat d’algorismes



Arch

32

tree en el camp de la biometria

ster. Un clúster,

organisme català destinat a estudiar la terminologia en

un conjunt d'unitats

que actuen com una sola unitat.

, on cadascun formarà un entry, i


per tal de formar

. Entre la gran varietat d’algorismes




33

El dendrograma és un tipus de representació gràfica o diagrama de dades en forma

d’arbre (del grec Dendro=arbre i Grama=gràfic) que organitza les dades en

subcategories que es van dividint en d’altres fins a arribar al nivell de detall desitjat

(assimilant-se a las branques d’un arbre que es van dividint en altres

sucessivament). Aquest tipus de representació permet apreciar clarament las

relacions d’agrupació entre les dades i entre grups d’elles encara que no les

relacions de similitud o proximitat entre categories.

Observant las successives subdivisions podem fer-nos una idea sobre els criteris

d’agrupació dels mateixos, la distància entre les dades segons les relacions

establertes, etc. També podríem referir-nos al dendrograma com la il�lustració de

las agrupacions derivades de la aplicació d’un algoritme de clustering.

Com a exemple, imaginem que les dades següents s'han d'agrupar usant

la distancia euclidiana com a distància mètrica.

Figura 13: Els nodes de la línia superior representen les dades, la resta de nodes representen

els agrupaments als quals pertanyen, i les fletxes representen la distància.

3.4- Representant smallest SOD (sum of distances)

Es poden implementar diferents politiques per a seleccionar el node fulla més

apropiat per a promoure i representar un clúster de grafs. Les polítiques més

comuns són les anomenades “Minimum of Maximum of Radii” (que redueix la mida


34

dels conjunts) i “Maximum Lower Bound on Distance” (que redueix la superposició

entre diferents conjunts).

En aquest treball, per a simplificar la feina, i enfocar els nostres esforços a assolir

els objectius proposats al principi, s’ha escollit que el representant d’un node sigui

el graf del clúster que tingui la mínima suma de distàncies (minimum or smallest

SOD) entre ell i la resta de grafs del subconjunt al que pertany. Aquest

representant també s’anomena Set Median. Hi ha altres politiques que tenen un

rendiment que a la llarga s’acosta al Set Median però tenen desavantatges com

l’augment del temps de computació o el solapament. Tot i que un dels objectius és

comparar els solapaments, no s’ha volgut comparar el nou model amb un que fos

absolutament ineficient, sinó que s’ha buscat un que rendís de forma raonable, amb

un cost de creació d’arbre i de cerca moderat.

3.5- Prototips: median graph

S’ha decidit buscar un prototips amb l’objectiu de reduir el solapament de zones i,

per tant, el nombre d’accessos. Per a calcular el radi es busca la distància més gran

del centre al graf mes llunyà i se li suma el radi d’aquest graf més llunyà. Si fem el

prototips aquest és equidistant a la resta de grafs, però si agafem un representant,

al no estar aquest just al centre de la resta, la distància entre aquest i el més llunyà

serà més gran, i en conseqüència, també ho serà el radi, fent la covering region del

representant més gran que la del prototips. Com això influeix a tot el conjunt de

representants, s’incrementen totes les covering region del nostre espai i el

solapament augmenta de manera exagerada. Aquest factor incideix directament en

la cerca, ja que com més grans siguin les covering region, més gran serà la

possibilitat de que l’algorisme de cerca hagi d’explorar aquestes zones, cosa que

implica fer càlculs i que, d’aquesta manera, disminueixi el seu rendiment.


35

Com s’introduïa abans i es veu en la figura anterior, aquest factor implica que, si

busquem algun graf posicionat en aquesta zona de solapament, s’hauran de

comparar els dos representants i recórrer els fills d’aquests ja que entren a la

covering region. D’aquesta manera, l’algorisme de cerca interpreta que és possible

que existeixi algun graf en aquella zona. En canvi, al utilitzar prototips, ens

estalviem aquestes dues comparacions (i els recorreguts dels fills corresponents)

Solapament

a) Representant

X

r

X

r

b) Prototips

X

P X

P

Figura 14: comparació de radis utilitzant com a centre:

a) un representant b) el prototips


36

perquè aquell espai mort ja no existeix, cosa que ens informa que no hi ha cap graf

en aquella zona.

En aquest exemple es pot veure també que la tolerància de la cerca, radi de cerca o

el que anomenem µMAX, hauria de ser molt gran en l’exemple dels prototips per tal

Area tractada

a) Representant

X

r

X

r

b) Prototips

X

P X

P

Figura 15: comparació d’àrees explorades en la cerca d’un objecte

posicionat qualsevol punt de l’àrea de solapament de a, utilitzant com a centre a) un

representant b) el prototips


37

que la cerca hagués d’explorar tots els fills ha de ser molt gran, pel que també es

pot afirmar que el nou sistema és més tolerant a la variació d’aquest factor.

El graf escollit per a calcular el prototips és l’anomenat Median Graph, concepte del

qual, ja ha estat introduït en el punt 2.7.1.7.

En aquest punt, només afegir que el càlcul del Median Graf és exponencial tant en

nombre de grafs d’entrada (que fa que l’espai de cerca per al càlcul sigui molt gran)

com en la seva mida (degut a la complexitat de càlcul de la distància entre dos

grafs). En el passat s’han proposat un elevat nombre d’algoritmes per a calcular els

Median Grafs però l’únic exacte que s’ha proposat fins ara es basa en un algorisme

A*(A star o A estrella) utilitzant una estructura de dades anomenada multimatch.

Com el cost computacional d’aquest algorisme és molt elevat, s’utilitzen d’altres

aproximacions com la cerca genètica i els algorismes greedy-based. Malgrat aquest

desavantatge clar, s’utilitzarà l’algorisme A*, disminuint una mica la precisió

d’aquest per tal de que sigui factible fer tests en la nostra màquina.

Fins ara, els MG s’han utilitzat satisfactòriament per a obtenir prototips de símbols

gràfics, per a obtenir median words per tasques OCR i per a realitzar clustering

d’imatges basat en contingut. Però totes aquestes aplicacions s’han provat en

dades sintètiques o en grafs molt petits, a vegades només representats per nodes.

Així, a pesar de la seva potencial aplicació, e seu ús s’ha limitat a escenaris amb

poca aplicabilitat real.

3.6- Cerca

Durant la cerca i recuperació, es pot usar la desigualtat triangular (explicada en el

punt 3.1- Mètrica: graph edit distance) per a mantenir un processat eficient de les

cerques de rang. Un exemple en són les cerques que busquen tots els grafs d’un

arxiu que estiguin en un rang de distància donat (que nosaltres anomenem µmax),

des d’un element de cerca Q. Per a això, la distància entre Q i qualsevol graf,

anomenem-lo D, en la covering region del routing object D, pot ser limitada

utilitzant el radi µD i la distància entre D i Q. Específicament, si µmax és el rang de la

consulta, es pot utilitzar la següent consulta per comprovar si tots els grafs en la

regió coberta per D poden ser descartats, basant-nos en un sol càlcul de la

distancia µ(Q,D):


38

µ(Q, D) ≥ µmax + µD � cap ARG in subD és acceptable: (a)

De forma similar, la condició següent comprova si tots els grafs den la regió coberta

per D cauen dintre del rang de la consulta (en aquest cas, tots els grafs de la regió

poden ser acceptats):

µ(Q, D) ≤ µmax - µD � cada ARG en subD és acceptable: (b)

En el cas crític que cap de les dues desigualtats (a) o (b) es complís, la regió que

cobreix D ha de contenir tant els ARGs acceptables com els que no ho són, i la

cerca ha de repetir-se amb el subíndex subD.

Així doncs i en resum, es farà la cerca de tots els grafs que estiguin a una distància

µmax de l’element de cerca Q que se li introdueixi al sistema. Si es vol buscar algun

graf de manera exacta, només s’ha d’assignar a µmax el valor 0.

Les consultes K-nearest neighbour que cerquen els K grafs que siguin més

semblants a la cerca en l’arxiu es poden manegar de manera similar, però amb

menys eficiència. Així s’obté, mitjançant la consideració de la consulta com un cas

particular en el que el rang µmax, es determinat durant la cerca. Mentre (a) encara

pot ser aplicada, (b) requereix una major complexitat, encara que el manegament

és intuïtiu.

3.7- Anàlisi de l’arbre: el factor solapament

Un dels objectius d’aquest projecte és reduir el nombre d’accessos per tal

d’augmentar la velocitat de recuperació d’informació emmagatzemada en forma de

grafs d’una base de dades. Per tal d’assolir aquest objectiu, el primer pas és reduir

el solapament entre els clústers que formen cada node de l’arbre, per a explorar el

mínim de branques possibles, fent així, el mínim càlcul de distàncies possible.

En un principi, es va decidir calcular-lo com la suma dels radis dels fills agafats de

dos en dos menys la distància entre ells. Si la suma dels radis era més gran que la

distància entre els dos entries, el solapament era la suma dels radis menys la

distància entre entries. D’altra banda, el solapament era zero.

A continuació veurem el pseudocodi per a intentar que tot quedi més clar:


39

Si (Ri+Rj)>d(i,j) aleshores

S(i,j)=Ri+Rj-d(i,j);

Sinó

S(i,j)=0;

Fsi

Això es faria per a tots els germans, calculant la distància de tots amb tots, i se’n

faria la mitja amb el nombre de germans al quadrat com es mostra tot seguit:

89 � ∑ ∑ 8�;, <�=#>�=�#+@�A�BC.

Aquesta definició ens mostrava uns resultats força interessants però que eren

excessivament positius, pel que vam haver de treballar més aquesta definició. Al

repassar-ho, ens vam adonar que no s’estava sent just amb la forma que tindria

l’arbre i ho vam definir com segueix. Per cada germà es calcula la suma del seu radi

amb el de cadascun dels germans i es divideix distància entre els dos entries. Si

aquesta divisió és més gran que 1, s’assigna el resultat d’aquesta divisió al

solapament entre aquests dos entries.

Si 8 � �D�4D��E��,�� >1 aleshores

S(i,j) � �D�4D��E��,��

Sinó

S(i,j)=0;

Fsi

Això es farà per a tots els germans, calculant la distància de tots amb tots, i se’n

farà la divisió amb el binomi de Newton com es mostra tot seguit:

8F � ∑ ∑ G�H�,H#�IJKLIL /MN0 ; on N és el nombre de fills de l’entry.

4. Aspectes de desenvolupament i implementació


Per al desenvolupament d’aquest article

Aquest és un entorn de computació numèrica

per la companyia The MathWorks

dibuixar funcions i dades, implementar algorismes, crear

comunicar-se amb altres programes en altres llenguatges. Aquesta característica ha

estat molt útil ja que des d’aquest entorn, s’han realitzat crides a codi Java per tal

de calcular les distàncies, els camins d’edició i els

que s'especialitza en computació numèrica, una caixa d'eines opcional (

permet treballar en altres camps

4.1- Mètrica: graph edit distance

La distància d’edició es defineix com:

On és el conjunt de camins

d’edició que mesura el pes c(e

Tot i que questa distància proporciona un model de desigualtat general per als

grafs, s’ha de tenir en compte la complexitat de l’algorisme de cerca d’aquesta

distància. S’utilitzen arbres de cerca com a formalismes representatius del

problema d’optimització del camí. Es a dir, s’utilitza una heurística que té en

compte totes les possibilitats


Aspectes de desenvolupament i implementació

Per al desenvolupament d’aquest article s’ha utilitzat bàsicament

computació numèrica i un llenguatge de programació. Creat

The MathWorks, MATLAB permet manipular fàcilment

i dades, implementar algorismes, crear interfícies d'usuari, i

se amb altres programes en altres llenguatges. Aquesta característica ha

es d’aquest entorn, s’han realitzat crides a codi Java per tal

de calcular les distàncies, els camins d’edició i els prototips (median graphs

que s'especialitza en computació numèrica, una caixa d'eines opcional (

altres camps.

Mètrica: graph edit distance

La distància d’edició es defineix com:

és el conjunt de camins que transformen g1 en g2 , i c és la funció de cost

d’edició que mesura el pes c(ei) de cada operació d’edició ei.

ncia proporciona un model de desigualtat general per als


S’utilitzen arbres de cerca com a formalismes representatius del

ció del camí. Es a dir, s’utilitza una heurística que té en

possibilitats.

40

bàsicament MATLAB.

ogramació. Creat

, MATLAB permet manipular fàcilment matrius,

interfícies d'usuari, i

se amb altres programes en altres llenguatges. Aquesta característica ha

es d’aquest entorn, s’han realitzat crides a codi Java per tal

median graphs). Tot i

que s'especialitza en computació numèrica, una caixa d'eines opcional (toolbox)

és la funció de cost

ncia proporciona un model de desigualtat general per als


S’utilitzen arbres de cerca com a formalismes representatius del

ció del camí. Es a dir, s’utilitza una heurística que té en


Figura 16: arbre de cerca en el que el node arrel representa

inicial de la nostra cerca, i els nodes fulla representen camins compl

solucions al problema proposat de transformar un graf completament en un altre.

La solució amb el pes més petit serà la solució òptima, es a dir, distància més

acurada i el camí d’edició més precís entre

La complexitat de càlcul del camí d’edició òptim

Els nodes del graf font poden ser mapejats com qualsevol dels nodes del graf destí,

cosa que pot portar problemes

sigui exponencial en quant al nombre de nodes en els grafs en general

alguns casos concrets pot ser només lineal.

Figura 17: totes les combinacions possibles per a assignar nodes

Per a obtenir les distàncies i el camí d’edició entre dos grafs, s’ha incorpo

l’algorisme ideat i desenvolupat

donats pels mateixos articles

testos. Es va mirar que aquests valors influïssin de tal manera que els resultats

donats fossin el més reals possibles.

Per a començar a calcular la distància, es necessiten dos grafs g1 i g2

anomenarem source (font)

aplicarem les distorsions per tal que arribi

objectiu. Cada graf està format per

- Matriu d’ocurrència

apareixen a la vegada. En matlab es pot saber el nombre de nodes del graf


arbre de cerca en el que el node arrel representa el principi

i els nodes fulla representen camins complets, que proporcionen



acurada i el camí d’edició més precís entre ambdós grafs.

de càlcul del camí d’edició òptim és el seu principal desavantatge.


cosa que pot portar problemes, i, també, provoca que el càlcul d’aquesta assignació

n quant al nombre de nodes en els grafs en general

casos concrets pot ser només lineal.

totes les combinacions possibles per a assignar nodes

Per a obtenir les distàncies i el camí d’edició entre dos grafs, s’ha incorpo

desenvolupat en [5] i [6]. Els pesos de les distorsions venen

donats pels mateixos articles i van ser trobats mitjançant un elevat nombre de

mirar que aquests valors influïssin de tal manera que els resultats

ossin el més reals possibles.

Per a començar a calcular la distància, es necessiten dos grafs g1 i g2

(font) i target (destí), ja que g1 serà el graf inicial

aplicarem les distorsions per tal que arribi a convertir-se en g2 , que serà el graf

format per tres matrius:

Matriu d’ocurrència: matriu que indica si en la posició (x,y)

apareixen a la vegada. En matlab es pot saber el nombre de nodes del graf 41

del camí, o punt

ets, que proporcionen



principal desavantatge.


d’aquesta assignació

n quant al nombre de nodes en els grafs en general, tot i que en

totes les combinacions possibles per a assignar nodes.

Per a obtenir les distàncies i el camí d’edició entre dos grafs, s’ha incorporat

en [5] i [6]. Els pesos de les distorsions venen

van ser trobats mitjançant un elevat nombre de

mirar que aquests valors influïssin de tal manera que els resultats

Per a començar a calcular la distància, es necessiten dos grafs g1 i g2, que

serà el graf inicial al que

que serà el graf

), els dos nodes

apareixen a la vegada. En matlab es pot saber el nombre de nodes del graf


42

fent: diag(squeeze(class(1).occurrenceMatrix(1,:,:))). Un exemple d’aquesta

matriu, amb 2 nodes, per exemple la lletra I seria:

O1 1 0 R1 1 0 R0 0 0 RS S S T O

Aquesta matriu indica que existeixen els nodes 1 i 2, ja que els índexs (1,1),

(1,2), (2,1) i (2,2) tenen el valor 1, i es compleix la característica

esmentada en el paràgraf anterior.

- Matriu d’adjacències: matriu que ens dona informació sobre les arestes. On

les i, i les j són els identificadors del node. Si hi ha aresta entre el node i, i

el node j, el valor de MatriuAdjacencies[i,j] serà 1. En cas contrari serà 0.

Continuant amb l’exemple de la classe de la lletra I, el graf que representa

aquesta lletra te una aresta entre els nodes 1 i 2. Val a dir que si les arestes

són dirigides, i en conseqüència, el graf és dirigit (la relació entre els vèrtexs

no és simètrica), la matriu no serà simètrica. En el nostre cas, les arestes no

són dirigides i per tant la matriu serà simètrica. Podem veure com les

posicions (1,2) i (2,1) tenen valor 1 perquè hi ha una única aresta entre el

node 1 i el node 2, que és la mateixa que de 2 a 1.

O0 1 0 R1 0 0 R0 0 0 RS S S T O

- Matriu d’atributs quantitatius dels nodes: matriu de 2X#grafs que guarda els

valors x i y amb les coordenades de cada node. En la matriu, les dades es

guarden com x=(1,índex) i y=(2,índex), on índex és l’identificador del graf del

que formen part aquestes coordenades..

N1 N2 … UV W1,23 1,23 0 R0,59 4,52 0 RW

Per la qual cosa tenim cada node i cada aresta identificat. L’algorisme els identifica i

relaciona com es mostra en la figura:


43

Figura 18: Identificació i relació de nodes i arestes dels grafs source i target.

A continuació es van creant diversos camins d’edició mitjançant l’aplicació de

distorsions trobades per un algorisme A*, que queda fora de l’abast d’aquest

treball. Com que no existeix un únic camí d’edició, aquest algorisme els mira tots

(si es busca l’òptim), sinó només alguns, i s’encarrega de tornar el camí més adient

segons els paràmetres introduïts, amb un temps de resposta força bo en

comparació als diversos algorismes existents avui en dia. Aquest anàlisi i

desenvolupament s’ha fet en [5] i [6]. Anteriorment, en la secció 3.1, s’ha

comentat que, és un algorisme computacionalment costós, però el fet que tingui un

paràmetre d’optimització configurable i que entre tots els algorismes actuals trobi el

camí d’edició més òptim ens ha fet decidir per ell.

4.2- L’estructura

Segons els experiments realitzats en [4], en un m-tree, es poden escollir dos

factors que incideixen directament en el rendiment del arbre: la distribució dels

entries i la elecció dels routing objects. En el primer hi ha dues polítiques, que es

poden descriure de la següent manera:

• Generalized Hyperplane: Assigna cada objecte Oj Є N al routing object més proper: si d(Oj,Op1) ] d(Oj, Op2) aleshores assigna Oj a N1, sinó assigna Oj a N2.

• Balanced: Calcula d(Oj, Op1) i d(Oj, Op2,) per tot Oj Є N. Repeteix fins que N estigui buit:


44

o Assigna a N1 el veí més proper a Op1 en N i elimina’l de N;

o Assigna a N2 el veí més proper a Op2, en N i elimina’l de N.

Depenent de la distribució de les dades i de com es triïn els objectes, no balancejar

l’arbre provoca que s’encamini millor cap als objectes degut a el grau addicional de

llibertat que obté. També és millor que fer-lo balancejat pel fet que no

s’incrementen els radis de les regions al llarg de les dimensions necessàries. En un

espai mètric, el consegüent increment del covering radius es propaga a totes les

“dimensions”. És per això que hem decidit fer-lo no balancejat.

El segon factor (la elecció dels routing objects) s’utilitza en el moment de

promoure. Aquest mètode determina, donat un conjunt d’entries, N, dos objectes

poden ser promoguts i emmagatzemats en el node pare. Els algorismes específics

que es tracten en [4] es poden classificar primerament d’acord en si confirmen o no

al pare original. Una política de divisió confirmada escull un objecte promogut, per

exemple O1 , com a objecte pare del node dividit.

En altres paraules, una política de divisió confirmada només extreu una regió,

centrada en el segon routing object, Op2, de la regió en la que encara es mantindrà

centrada en Op. En general, això simplifica l’execució de la divisió i redueix el

nombre de càlculs de distància.

Les alternatives descrites per implementar el promoure explicades a continuació

són un subconjunt de polítiques que han estat seleccionades del conjunt complet

avaluat en [4], format per:

• m_RAD: l’ algorisme "minimum (sum) of radii" és el més complex en termes

de càlculs de distància. Es consideren tots els possibles parells d'objectes i,

després de la partició del conjunt d'entrades, promou el parell d'objectes per

als quals la suma de la covering radii, r(Op1) + r (Op2), és mínim.

• mM_RAD: és semblant a m_RAD, però minimitza el màxim dels dos radis.

• M_LB_DIST: l’acrònim ve de “Maximum Lower Bound on DISTance”.

Aquesta política canvia de la anterior en que només utilitza distàncies

precalculades. En la versió confirmada on Op1 ^ Op2, l’algorisme determina

Op2 com l’objecte més llunya d’ Op que és:


45

d(Op2, Op)=maxj {d(Oj, Op)}.

- RANDOM: aquesta variant escull de forma aleatòria com referenciar

objectes. Encara que no és una estratègia gaire intel�ligent, es ràpida i el

seu rendiment pot ser utilitzat per a comparar-lo amb altres polítiques.

- SAMPLING: aquesta és una política aleatòria, però iterada sobre una mostra

d’objectes de mida s>1. Els entries són distribuïts per a cada parell

d’objectes s(s-1)/2 de la mostra, i s’estableix el coveriing radii. Aleshores es

tria la parella de la qual el màxim resultat dels dos coveriing radiis és

mínim. En el cas de la promoció confirmat, només s diferents distribucions

són analitzades. La mida gran de la mostra en els experiments realitzats en

[4], es va establir a la desena part de la capacitat dels nodes.

De totes aquestes polítiques, s’ha escollit la M_LB_DIST per als representants, ja

que minimitzarà els radis i, en conseqüència els solapaments i el nombre

d’accessos. D’aquesta manera tindrà molt més valor que el model desenvolupat

durant aquest treball sigui més eficient. En el primer pas del procés de creació d’un

arbre, es calculen les distàncies de tots a tots per a que, posteriorment, puguin ser

utilitzades per a iniciar l’algorisme de clustering. Aquestes distancies

s’emmagatzemen en una matriu mDis, i s’utilitzen desprès en la cerca per a

estalviar temps en fer els tests i com que no compararem temps de cerca, no

afectarà a la nostra anàlisi i ens permetrà utilitzar aquest temps en fer més testos.

Per a mantenir la mateixa estructura d’arbre entre l’arbre muntat amb prototips i

l’arbre muntat amb representants, i que aquests siguin comparables, a l’hora de

promoure un prototips, calculem aquest i el promovem directament. Ho fem de la

mateixa manera amb el representant. El calculem els representants de cada clúster

i els promovem, però no deixem de tenir-lo a les fulles. Dit d’una altra manera, el

repliquem i el promovem. En la cerca, els routing objects no conten com a objectes

a trobar, pel que només s’acceptaran els nodes fulla.

Per tal de millorar l’eficiència de l’arbre i enfocar els esforços de la recerca cap als

objectius comentats al principi, s’han utilitzat els conceptes teòrics de l’m-tree però

sense implementar les funcions inserir i esborrar. En conseqüència no ens calen

tampoc les politiques de dividir nodes. En canvi, si que utilitzem la funció de

promoció en el moment d’escollir un representant, com s’explicarà més endavant.


L’arbre es muntat a partir d’un

pròxima secció. Aquest algorisme retorna un conjunt de clústers que nosaltres

anomenem entries, i que s’agrupen en nodes. Aquests nodes s’enllacen, a partir de

les distàncies entre ells formant l’arbre final.

Així doncs, l’arbre queda estructurat de la següent manera: e

emmagatzemen tots els objectes indexats (bd), representats per les seves claus o

característiques, mentre que els nodes interns emmagatzemen els

que són objectes de base d

mitjà d’un algoritme de promoció específic.

4.3- Clustering: dendrograma

El procés de creació del dendrograma es resumirà de forma esquemàtica en la

figura següent:

Figura 19: gràfic esquemàtic del procés de creació del dendrograma.

El primer que s’ha fet és calcular la distància del grafs de tots amb tots. Per a fer

això, s’ha creat una matriu de NxN, on N és el nombre de grafs fulla

•Matriu de Grafs

pdistGrafs

Vector de distàncies de tots amb tots


a partir d’un algorisme de clústering que serà explicat en la


, i que s’agrupen en nodes. Aquests nodes s’enllacen, a partir de

les distàncies entre ells formant l’arbre final.

cs, l’arbre queda estructurat de la següent manera: e


característiques, mentre que els nodes interns emmagatzemen els

que són objectes de base de dades als quals se’ls assigna un rol d’enrutament per

mitjà d’un algoritme de promoció específic.

ing: dendrograma


: gràfic esquemàtic del procés de creació del dendrograma.


això, s’ha creat una matriu de NxN, on N és el nombre de grafs fulla

•Algorisme de

clustering

•'single'

linkage•Dibuixa

l'arbre

dendrogram

Vector de distàncies de tots amb tots

Taula amb tots els clústers i la distància entre ells

46

que serà explicat en la


, i que s’agrupen en nodes. Aquests nodes s’enllacen, a partir de

cs, l’arbre queda estructurat de la següent manera: els nodes fulla


routing objects,

e dades als quals se’ls assigna un rol d’enrutament per


: gràfic esquemàtic del procés de creació del dendrograma.


això, s’ha creat una matriu de NxN, on N és el nombre de grafs fulla que tindrà

Dibuixa

dendrogram

Taula amb tots els clústers i la distància entre ells


47

l’arbre. La diagonal d’aquesta matriu serà, òbviament, zero ja que la distància entre

un graf amb ell mateix és zero. Per tal de millorar l’eficiència d’aquest algorisme,

s’ha calculat només la diagonal superior, ja que la matriu és simètrica. En aquest

pas s’han guardat dues variables: aquesta matriu, i la mateixa matriu en forma de

vector, ja que és el paràmetre que es necessita per al següent pas. La matriu serà

reutilitzada posteriorment per a estalviar càlculs de distàncies entre grafs ja

existents, no servirà en el cas dels prototips, augmentant notablement la velocitat

de càlcul de tot el procés. Aquesta part de l’algorisme de clustering l’anomenarem

pdistGrafs.

El següent pas consisteix en agafar les distàncies mínimes per a fer el clústers. Això

es fa mitjançant la funció linkage() proporcionada per Matlab.

Z = LINKAGE(Y, METHOD) crea un arbre de clústers jeràrquic utilitzant un

algoritme específic. Els mètodes disponibles són:

� 'single' : distància més propera;

� 'complete' : distància més llunyana;

� ‘average': distància mitjana no ponderada o mitjana del grup

(UPGMA: unweighted average distance)

� 'weighted': distància mitjana ponderada

� (WPGMA: weighted average distance)

� 'centroid': distància de centre de masses no ponderada

(UPGMC: unweighted center of mass distance)

� 'median’:distància ponderada de centre de masses

(WPGMC: weighted center of mass distance)

� 'ward': (inner squared distance) algorisme de variància mínima

Després d’analitzar totes les opcions i fer diversos testos a mà i sobre el paper

mitjançant exemples 2D, i comparar-los amb els resultats extrets per aquesta

funció s’ha decidit escollir la primera opció: ‘single’.

La informació dels clústers es retorna com una matriu Z amb mida m-1 per 3, on m

és el nombre d'observacions de les dades originals. Les columnes 1 i 2 de Z

contenen índexs de clúster enllaçats en parelles per formar un arbre binari. Els

nodes fulla estan numerats de 1 a m. Aquests són els grups solitaris dels quals es


48

construeixen totes les grans agrupacions. A cada grup acabat de formar, que

corresponent a la Z (i,:), se li assigna l'índex m + i, on m és el nombre total de

fulles inicial. Z (i, 1:2) conté els índexs dels dos grups de components que el clúster

m+i. Hi ha m-1 clústers de més amunt que corresponen als nodes interiors de

l’arbre de clustering de sortida. Z (i, 3), conté les distàncies d'enllaç corresponents

entre els dos grups que es fusionen en Z (i,:), per exemple, si hi ha un total de 30

nodes inicials, i en el pas 12, el grup 5 i el grup 7 es combinen i la seva distància en

aquest moment és d’1,5, aleshores la fila 12 de Z serà (5,7,1.5). L'agrupació

acabada de formar tindrà un índex de 12 +30 = 42. Si la mostra de clúster 42 a

una fila d'aquest últim, el que significa aquest grup acabat de formar es combina de

nou en alguns més grans del clúster.

El tercer i últim pas és dibuixar el dendrograma. Aquesta acció es fa a través de la

funció dendrogram(Z) que també incorpora Matlab. Aquesta funció genera una

imatge del clúster binari jeràrquic creat per la funció anterior. El dendrograma

consisteix en diverses línies que connecten els objectes en un arbre jeràrquic.

L’alçada de cada clúster representa la distància entre els dos objectes que s’estan

connectant.

Es poden utilitzar diversos paràmetres per retornar la informació creada per

aquesta funció, però no ha estat necessari ja que només s’ha utilitzat la impressió

com a mode per adquirir informació i estudiar els resultats obtinguts. Per millorar la

visibilitat de la imatge i ajudar a comprendre-la millor, existeix el paràmetre

('COLORTHRESHOLD',T), que assigna un color únic a cada grup de nodes que es

vinculen per sota del valor escalar T on T és en el rang de 0 <t <max(Z(:,3)). Si T

és menor o igual a zero o si T és més gran que la vinculació màxima llavors el

dendrograma s'elaborarà utilitzant un sol color. T també es pot establir en 'default'

en aquest cas el llindar s'estableix en el 70% de la vinculació és a dir, màxim 0,7 *

Max (Z (:, 3)). En la següent figura es veurà la utilització d’aquest paràmetre per

tal de representar els 3 límits aplicats a un dendrograma per a construir un arbre

d’exemple.


49

Figura 20 exemple de procés de clustering en tres passos. La primera imatge mostra els

clústers creats amb límits 0-4. La segona amb límits de 4-8. La tercera amb límits 8-10.


50

4.4- Representant smallest SOD (sum of distances)

Per tal d’implementar aquest punt, s’han agafat tots els nodes que formen un

clúster, en temps de creació de l’arbre, i s’ha calculat la matriu de distància de tots

amb tots. Un cop calculada la matriu de NxN, sent N el nombre de grafs que formen

el clúster, s’ha escollit el node que te la suma mínima de distàncies entre ell i la

resta dels elements del clúster.

4.5- Prototips: Median Graph

Per tal de calcular el Median Graph de dos grafs g1 i g2, s’ha calculat la distància i el

camí d’edició entre ells. S’ha buscat un graf que estigui a la mateixa distància de g1

que de g2, és a dir, que si la distància entre g1 i g2 la és d, la del MG a g2 sigui d/2.

Fig. 21. Exemple gràfic de la idea del càlcul del Median Graph.

d

d/2


51

El MG es va calculant, com ja s’ha dit anteriorment, mitjançant l’addició de

distorsions al graf font g1. Les distorsions a afegir venen donades pel camí d’edició.

Així doncs, a cada pas del camí, s’aplica una nova distorsió del camí d’edició al MG

actual (agafant com a primer median g1), es forma un nou MG i es calcula la

distància d’aquest nou graf al graf destí d(MG,g2). Es repeteix aquesta seqüència

fins que d(MG,g2) < d/2.

Com que al realitzar el clustering mitjançant el dendrograma, ens pot agrupar més

de dos grafs en un mateix clúster, s’ha decidit agafar els grafs de dos en dos i anar

realitzant el Median Graph d’aquests (G1 i G2) que seria M G12. En el següent pas

s’agafa el següent graf del clúster (G3), i es calcula el Median Graph d’aquest MG12

amb el G3 i així successivament, amb el que aconseguim el Median Graph del

conjunt.

Figura 23: càlcul de MGs en un clúster de grafs. Els cercles representen nodes i els triangles

els Median Grafs. Primer es calcula el median groc (G1,G2), i desprès el vermell (MG12,G2).

Figura 22: exemple de com crear el Median Graph entre 2 grafs. G1 és el graf font i G2 és

el grafs destí. Els Cn són els canvis o distorsions que apliquem al graf font per a fer el

Median Graf fins que la distancia d(MG,g2) < d/2.

d(MG,g2) < d/2?

No No No Si

MG1 MG2 MG3 MG(G1,G2)=MG4

C1 C2 C3 C4

G1 G2

G1

G2

G3 MG12 = MG(G1,G2)

MG123 = MG(MG12,G2)


52

4.6- Cerca

En aquesta secció s’explicarà com s`ha realitzat la cerca: els paràmetres analitzats,

els casos possibles que es pot trobar l’algorisme, els problemes trobats i les

solucions proposades.

En el punt “3.6- Cerca” s’ha realitzat un petit esbós de com es portarà terme

aquesta secció. A continuació s’aprofundirà en aquest procés, en un nivell més alt

de detall i molt més enfocat a la programació realitzada, sense perdre mai de vista

els conceptes teòrics.

Sent:

• Q el graf que volem cercar;

• D un graf que està en la base de dades;

• µMAX el que nosaltres anomenarem tolerància, el radi o rang de la cerca que

tindrà el graf Q;

• µD radi que ens dona una distància límit entre D i qualsevol graf. En els

nodes fulla, tindrem µD = 0;

Tenim 3 casos possibles:

1) Cap graf de l’arrel subD és acceptable si:

a� µ�Q, D� a µbcd e µf b� µ�Q, D� g µbcd e µf

Amb la qual cosa el graf Q està fora de la covering region de D i mai no estarà

situat sota l’arrel subD tal i com es mostra en la següent figura. Val a dir que al

principi s’utilitzava la desigualtat a) i al final ens hem quedat amb la desigualtat b)

recoberta amb el rectangle, que és la mateixa que la anterior però canviant el a per

> ja que, si només volem trobar, o altrament dit, fer matching amb l’element

exacte posem la tolerància µMAX = 0 i estem buscant en un node fulla (on el radi µD

= 0), l’algorisme de cerca entraria en aquesta desigualtat erròniament, perquè

estaríem dient que no és acceptable quan, en realitat, el graf és exactament igual i

fa match.


53

Figura 24: Efecte µ en el càlcul de distància entre dos grafs Q és el graf que s’està cercant i

D és un graf qualsevol en l’espai. En aquest cas no s’accepta ni el graf D ni la resta dels seus

fills perquè estan fora de l’abast de la query.

2) Tots els ARGs en subD són acceptables si:

µ�Q, D� ] µbcd h µf

Es a dir, que tots els grafs pertanyents a la covering region de D, es a dir, els fills,

també estaran continguts en el conjunt de punts que forma el cercle Q amb radi

µMAX.


D és un graf qualsevol en l’espai. En aquest cas s’accepta el graf D i el conjunt sencer dels

seus fills perquè estan tots dintre de l’abast de la query.

Q

µ (Q,D)

µD

D

µMAX

Q

µD

µ (Q,D)

µMAX

D


54

3) En el cas crític que cap de les dues desigualtats anteriors es compleixi, la

covering region de D conté grafs acceptables i no acceptables, per la qual cosa la

cerca s’ha de repetir en els subíndex subD. Dit d’una altra manera, s’han d’explorar

els fills de l’arbre actual per tal d’afinar més.


D és un graf qualsevol en l’espai. En aquests casos s’han de continuar explorant els fills de D

perquè estan dintre de l’abast de la query tot i que el graf D no hi sigui.

S’ha comprovat matemàticament que si tenim un node fulla (µD = 0) i busquem el

graf exacte (µMAX = 0, sense tolerància), només pot entrar en (a) o (b) però no a

les 2 alhora. Posteriorment s’ha comprovat directament amb el programa posant un

if > i un else <= per la qual cosa ja serà excloent. S’ha provat amb diversos

exemples i s’ha comprovat com veritablement no s’entra en la inequació a)

mitjançant el retorn del vector d’acceptats torna l’objecte que toca i no pas el

descarta. Malgrat tot s’ha confirmat amb el debugger, que quan arriba a la

inequació 0 > 0+0 passa de llarg fins a la segona on 0<=0 + 0.

S’ha comprovat el retorns de punts mentre es va canviant (augmentant per a veure

l’efecte als radis) la tolerància µMAX. En un exemple 2D amb 39 objectes i emplaçant

el punt Q de cerca al centre de l’espai, s’ha començat amb µMAX = 0 fins a µMAX = 50

Q

µMAX

µ (Q,D)

µD

D Q

µMAX

µ (Q,D)

µD

D

1 2


55

Figura 27: gràfica d’exemple de la resposta de la cerca (quant al nombre d’acceptats)

reaccionant a l’increment lineal de µMAX. La distància màxima entre elements que formen

aquest espai és 60 i el punt Q s’ha posicionat en el centre de tots els punts de l’espai. Es pot

comprovar que ja quan el radi de cerca és 30, es a dir, la meitat de la distància més gran, ja

accepta tots els grafs de l’espai.

Un aspecte que es realitza en temps de creació de l’arbre però que afecta

directament a la cerc, és el càlcul dels radis dels routing objects que s’explicarà tot

seguit.

Per a calcular els radis de cada routing object, al principi es va decidir agafar com a

radi la distància entre el centre (pare) i el fill més llunyà. Però ràpidament es va

veure com hi havia un problema de “zones mortes” quan el radi dels fills quedava

fora de l’abast dels pares com es mostra en la següent figura:

0 0

4

12

24

34

39 39 39 39 39

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Nu

me

ro d

'Acc

ep

tats

µ MAX

(25,17)


56

Zona morta Area amb rang de cerca de G

Figura 28. Zona morta al calcular de manera errònia el covering radi. A és el pare, D el fill, i Q

un objecte de cerca en la zona morta.

Si explorem aquesta part de l’arbre, cercant un graf Q amb rang de cerca µbcd en

qualsevol punt de la zona morta, mirem si, en relació a A, compleix µ�Q, D� g µbcd eµf ho compleix, per tant descarta tots els fills de A, deixant-se per explorar la zona

morta on pot trobar grafs que estiguin dins del rang de cerca µbcd.

Per a solucionar aquest problema s’ha decidit que, partint de la base que la solució

no pot ser la distància màxima de l’arrel A als nodes fulla F, perquè aquest F podria

estar entre A i B (pare d’C i fill d’A) i d’aquesta manera i erròniament, el radi de A

seria petit i descartaria al seu fill B i molts dels seus possibles fills:

Figura 29.A és el pare, B és fill d’A i C és fill de B. Aquesta figura mostra perquè no es pot

calcular el radi de A com la distància entre ell i els fulla. Molta àrea del graf B quedaria

descartada.

C

µD

B A

µD

D A

µA

Q


57

Aleshores tenim:

A/µ A’ A’’

B/µ B’/µ B’’/µ

C/µ C’/µ C’’/µ

Figura 30: exemple gràfic de com calcular els radis

I ara si que s’ha eliminat aquest problema com es mostra en la figura següent:

Fig 31. Error de zona morta al calcular el covering radii corregit amb èxit.

Hem comprovat que no si hi ha routing objects repetits dintre de la mateixa taula,

per exemple t(15) = (2,1), t(24) = (2,1) en 2D, els trobi els dos. Efectivament la

cerca dóna com a resultat que els 2 elements repetits són trobats correctament.

També s’ha tingut en compte tractar els nodes NO fulla si:

µ(Q,D)

µD

A

c

S’ha de buscar el màxim en tots

els fills calculant:

MAX(distància entre pare i fill +

radi d’aquest fill)

µA = MAX( d(A, B) + µB)

sent µ el radi de cada entry.

µ (A,B)

µB(MAX)


58

μf ] μ�Q, D� ] μbcd

µMAX

]

µ (Q,D)

]

µD

Figura 32: la distància entre Q i D està entre la µMAX i el radi de cerca

Però aquesta inequació presenta un problema quan el radi de D és més gran que el

rang de cerca, ja que seria impossible que es compleixi la condició anterior:

Figura 33: problema quan el radi és més gran que el rang de cerca

Per tant s’ha de modificar la inequació, que finalment queda així, ja que, quan no

depèn de µf, accepta tots dos casos: μ�Q, D� ] μbcd

Ara si doncs, l’algorisme implementat té en compte tots els casos descrits en

aquest punt.

µD

D µMAX

Q

µ (Q,D)

D

µ (Q,D)

µMAX

µD

Q

5. Avaluació del sistema desenvolupat, comparació amb altres alternatives

59

5. Avaluació del sistema desenvolupat, comparació amb altres

alternatives

En aquest punt es descriuran els testos realitzats tant en el sistema inicial com en

el nou sistema desenvolupat per tal de poder comparar-los i extreure’n conclusions.

Els testos s’han realitzat en una màquina: Pentium 4 amb CPU 2.00 GHz del

laboratori 143, en el campus Sescelades de l’ETSE (URV). S’han realitzat sota els

entorns Matlab i Java, amb l’editor Eclipse. S’ha escollit Matlab per la seva potència

de càlcul amb elements matemàtics, i perquè és un dels llenguatges més utilitzats

en el camp que estem tractant. La raó d’escollir Java va ser perquè l’algorisme de

càlcul de distàncies i camins d’edició estava desenvolupat en aquest llenguatge. Per

tal de fer testos raonablement grans en aquesta màquina s’ha hagut de disminuir la

precisió del càlcul de la distància d’edició, del camí d’edició i del Median Graph.

Podem assegurar que l’estructura d’ambdós arbres és la mateixa perquè, a part de

només canviar el routing object promocionat, s’han realitzat testos que retornaven

la mitjana de numero de fills per node. S’han comparat totes les dades extretes

d’aquest test i la diferència entre totes elles era 0, pel que els 2 arbres tenien el

mateix nombre de nodes per arbre i el mateix nombre d’elements per node.

Per a fer els testos, s’han creat 15x4x3 = 180 arbres de cada tipus (representants i

prototips), o sigui, un total de 180x2 = 360 arbres. Els nombres utilitzats per

aquest càlcul es refereixen a:

• 15: nombre de classes que formen la base de dades (explicat amb detall al

pròxim punt);

• 4: nombre de les diferents particions que se li faran al dendrograma per tal

d’organitzar els clústers. Aquestes particions el dividiran en 4, 7, 10 i 12

parts de la mateixa mida. D’aquesta manera es veurà l’efecte del sistema

ideat segons com estigui muntat l’arbre.

• 3: nombre d’elements fulla utilitzats per a crear l’arbre. Crearem arbres de

15, 30 i 50 grafs fulla. Recordem que posteriorment el nombre de grafs que

formaran l’arbre es veurà augmentat degut a les promocions.


60

5.1- La base de dades.

Abans de definir i explicar els testos realitzats, es farà una breu explicació sobre el

conjunt de bases de dades del test trainDataLetterHIGH.m [8].

Aquesta base de dades la formen 15 classes. Cada classe correspon a una lletra. El

perquè de que siguin 15 és degut a que només tenim les lletres formades per

traçades rectes sense cap ni una corba, es a dir, tenim lletres com A, E, F... i no en

tenim cap de l’estil de O,P,S...

Índex: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Lletra A E F H I K L M N T V W X Y Z

Nodes 5 6 5 6 2 5 3 5 4 4 3 5 5 4 6

Arestes 4 5 4 5 1 4 2 3 3 3 2 4 4 3 5

Taula 1: classes que formen la base de dades trainDataLetterHIGH.m

Els nodes i arestes de la taula anterior corresponen a una lletra escrita

perfectament, però com es veu en la figura següent, no ha de ser sempre així, ja

que les lletres han estat escrites a mà i passades a grafs per un programa

especialitzat en aquesta funció i, com ja sabem, no s’escriu sempre de la mateixa

manera. Per a que les lletres siguin una mica més diferents, s’ha exagerat la

diferència d’escriptura.

Figura 34: exemple de grafs de la base de dades trainDataLetterHIGH.m.

Exemples del conjunt de lletres A.


61

Cada classe esta formada per 150 elements dividits en 3 grups de 50 elements per

grup, on cada element correspon a un graf. Aquests grups són:

• 50 Aprenentatge

• 50 Entrenament

• 50 Test

5.2- Anàlisi de l’arbre: el factor solapament

Un cop definit el concepte de solapament, ens disposem a explicar els testos

realitzats, mostrar els resultats en forma de gràfiques de barres i a comentar-ne els

resultats.

S’han realitzat aquests càlculs a tots i cadascun dels 360 arbres creats. S’han desat

els resultats en una matriu de 15X4X3 i se n’ha fet la mitjana de la dimensió de les

classes (la de 15), per tal de poder-ne tenir una representació gràfica.

En la figura següent veurem ambdues gràfiques del solapament dels representants i

dels prototips respectivament. En aquestes gràfiques es veu que com més

compacte és l’algorisme de clustering més es redueix el solapament al utilitzar els

prototips. Un factor estrany és que decreixi aquest solapament a mesura que

augmenta el nombre de nodes fulla. Aquest fet es pot atribuir a que, al haver-hi

més elements, l’algorisme de clustering te més opcions on triar, i augmenta el seu

rendiment.

Figura 35: Solapament del representant i prototips. El càlcul del solapament és la mitja dels testos realitzats a les 15 lletres.


En la figura anterior s’intueix un decreixement general del solapament

amb prototips respecte als arbres amb representants

diferència entre els dos. Per tal de

la gràfica de la divisió del solapament dels arbres formats per representants per la

dels formats pels prototips

Figura 36: divisió

Sembla ser que a mesura que augmenten les particions, el nombre de germans

també augmenta i aleshores, és normal que el solapament també augmenti. A més

s’intueix que a mesura que s’incrementa el nombre d’elements fulla, disminueix el

nombre de germans, reduint també el solapament. Això creiem que es deu al fet

que augmenta la probabilitat d’ajuntar grafs en el moment de fer el clúster,

repartint l’arbre de manera més justa.

Per tal d’extreure més dades concloents

estàndard del solapament

funció STD que incorpora Matlab

veure que el solapament dels arbres amb prototips té menys desviació, per tant,

junt amb els resultats de Figura 35 concloem que la representació de l’arbre amb

prototips és més eficaç que amb representants.

1012

So

lap

am

en

t

Numero Particions Dendrograma

Solapament Representant/Solapament Prototipus

Avaluació del sistema desenvolupat, comparació amb altres alternatives

ior s’intueix un decreixement general del solapament

respecte als arbres amb representants, però és difícil d’apreciar la

diferència entre els dos. Per tal de solucionar aquest problema, s’ha decidit realitzar


prototips, donant el següent resultat:

divisió del solapament dels representants i dels prototips




germans, reduint també el solapament. Això creiem que es deu al fet


repartint l’arbre de manera més justa.

Per tal d’extreure més dades concloents es va decidir analitzar la des

del solapament entre els dos tipus d’arbres. Això es va fer

funció STD que incorpora Matlab a les dades anteriors. En la figura següent es pot

que el solapament dels arbres amb prototips té menys desviació, per tant,

amb els resultats de Figura 35 concloem que la representació de l’arbre amb

que amb representants.

15

30

50

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

47

nElemsFulla

Numero Particions Dendrograma


Avaluació del sistema desenvolupat, comparació amb altres alternatives

62

ior s’intueix un decreixement general del solapament dels arbres

, però és difícil d’apreciar la

solucionar aquest problema, s’ha decidit realitzar


prototips.




germans, reduint també el solapament. Això creiem que es deu al fet


es va decidir analitzar la desviació

dos tipus d’arbres. Això es va fer aplicant la

En la figura següent es pot

que el solapament dels arbres amb prototips té menys desviació, per tant,

amb els resultats de Figura 35 concloem que la representació de l’arbre amb

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

nElemsFulla



63

Figura 37: resta del solapament dels representants i dels prototips.

5.2 Anàlisi de la cerca: nombre d’accessos

El nombre d’accessos és una variable que s’incrementa cada cop que es realitza un

càlcul de distància entre grafs en temps de cerca. Aquesta variable ens indica el

numero de càlculs que s’han de fer abans no s’acaba la cerca.

Aquest nombre pot portar a conclusions errònies en certes ocasions, perquè pot

donar més elevat que el nombre d’elements. Això és degut a que el nombre

d’elements es refereix al numero d’elements fulla que hi ha a l’arbre. Com ja s’ha

explicat, al crear aquest arbre, es fan promocions de grafs (tant Set Medians com

Graph Medians), a partir de les fulles, per tal que exerceixin com a nodes

enrutadors (routing objects). En el moment de crear un prototips i promocionar-lo

(fer-lo pare del node format pels entries que s’han utilitzat per crear-lo) i en el de

promocionar un Set Median (recordem que en aquest moment es copia el mateix

routing object), estem augmentant el nombre d’entries que formaran l’arbre i, en

conseqüència, el nombre d’accessos que es poden fer per a trobar un graf dins

d’aquest arbre.

Si això passa, deixa el nostre sistema en evidència, ja que seria més eficient tenir

els elements en una taula y cercar un los mitjançant un recorregut. Per sort, el

nostre sistema normalment no ho fa, tot i que no es pot assegurar que no ho faci

mai.

Descripció dels testos realitzats:


64

• Test 1: cerca 3 elements dels que formen l’arbre.

• Test 2: cerca 3 elements dels que estan a la mateixa classe però fora de

l’arbre.

• Test 3: cerca 3 elements que no pertanyen a la classe utilitzada per a crear

l’arbre.

Figura 38: Exemple gràfic de les consultes realitzades. En la primera filera de taules s’està

consultant els elements de la classe 1 que pertanyen al test (Test 1). En la segona filera els

elements de la classe 1 que no formen part de l’arbre. No els trobarà però la distància serà

relativament petita (Test 2). En la tercera s’agafen elements d’una altra classe, on la

distància serà més gran (Test 3).

Aquestes 9 operacions s’han realitzat per a tots els arbres creats (360) i per a cada

arbre amb 3 radis de cerca (µMAX) diferents. Els radis de cerca s’han calculat dividint

la distància entre els 2 elements més allunyats de l’arbre. Per a fer aquesta divisió

s’han escollit tres valors diferents: 2, 4 i 8. Aquesta µMAX s’aplicarà a cada graf Q

que vulguem cercar.

Figura 39: mostra de com es selecciona la µMAX. El node en blau marca l’inici i el vermell el

final. Les 3 µMAX diferents van del node blau fins a caddascuna de les 3 particions marcades.

C1

C1

C1

C2

C2

C2

#ElemsTest

|

DMAX/2 |

DMAX/4 |

DMAX/8

µ


65

Per adonar-nos de la gran càrrega computacional que han suposat aquests testos,

mostrarem algunes xifres:

360 arbres x 9 queries x 3 µMAX =9720 testos

Tenint en compte que cada arbre esta format per un munt de grafs i que els grafs

tenen una mitja de 5 nodes i 4 arestes, s’han de calcular diverses distàncies i

camins d’edició. Cal remarcar que com més nodes i més arestes, més costós serà

de calcular.

Així doncs, cada un d’aquests 9720 testos tindrà un cost bastant elevat tot i no

utilitzar l’algorisme òptim.


66

5.3. Incidència de µMax

Com més gran sigui aquest factor sembla ser que més accessos hauria d’haver-hi,

però no ha de ser així forçosament. L’explicació recau en l’algorisme de cerca, ja

que en radis de cerca grans, totes les distàncies (d(Q,D) + RadiD) seran més petites

que el radi de cerca µMAX, complint així la condició 2) del punt “4.6. Cerca”, i

acceptant així tots els fills d’un entry amb un únic càlcul de distància, realitzat en

d(Q,D). En la següent figura es veurà la diferència entre la situació acabada

d’esmentar i una en la que el radi de cerca és més petit i ha de fer 3 càlculs de

distàncies.

a) b)

Figura 40:explicació visual de com influeix la el radi de

cerca en el nombre total de càlculs realitzats

a) µMAX petita: 3 càlculs per a acceptar 3 nodes

b) µMAX gran: 1 càlcul per acceptar 3 nodes

En la figura 40a) l’algorisme de cerca escolliria la tercera opció, explorar tots els

fills, ja que ni s’han de descartar, ja que pot ser que n’hi hagi dintre del radi de

cerca i la covering region de D, ni s’han d’acceptar tots, per la explicació feta en el

paràgraf anterior. Aleshores s’haurien de calcular 3 distàncies per tal de mirar si

entren dins al radi de cerca i decidir si s’accepten o no. En canvi, en la 39b), i com

s’ha explicat abans, en un càlcul de distància s’acceptarien els 3 sense cap

necessitat de calcular la resta de distàncies. Cal remarcar que aquests fills poden

tenir més fills i la poda pot disminuir encara més aquest nombre de càlculs.

Q

D

Q

D


67

5.3.1-Mumax = (dMax(matriu_distancies_tots_amb_tots))/2

Figura 41: nombre d’càlculs de distància fets en els tests per als representants i per als

prototips.

Figura 42: percentatge d’estalvi de càlculs de distància fets en els tests per als representants

i per als prototips. En la primera figura es mostren els càlculs fets


68

5.3.2- Mumax = (dMax(matriu_distancies_tots_amb_tots))/4


prototips.




69

5.3.3- Mumax = (dMax(matriu_distancies_tots_amb_tots))/8


prototips.




70

Les gràfiques anteriors s’han realitzat agafant el nombre d’accessos realitzats, i

dividint-lo pel nombre d’elements fulla utilitzats en cada cas per construir l’arbre.

Això ho hem fet per a veure quin percentatge d’accessos fem menys que si es

recorregués l’arbre de manera seqüencial. D’aquesta manera es pot veure que en

alguns casos, muntar l’arbre amb representants com s’ha fet, pot arribar a ser

pitjor que en seqüencial, tot i que això no passa sempre. Al crear-lo amb prototips

aquest factor no supera mai el 100% d’elements fulla. És més, comparant els

arbres amb prototips, veiem un estalvi d’accessos entre el 10% i el 20% dels

accessos. Per analitzar els resultats, ens fixarem bàsicament en les columnes dels

arbres formats per 50 elements fulla.

També observem que, com sembla evident, com més elements fulla hi ha a l’arbre,

més accessos es fan.

D’altra banda, el nombre de particions sembla no influir tant com s’esperava

inicialment.

S’observa que el representant no escala massa bé , pel que no valdria la pena

utilitzar-lo quant es pot recórrer la taula seqüencialment més ràpidament.

5.4- Altres factors amb influència sobre els testos

Els factors analitzats en aquest treball no són els únics que influeixen en la millora

de l’aspecte de la cerca. La complexitat de les variables analitzades i el cost de fer

els testos, ha fet impossible dur a terme aquesta anàlisi. D’haver-ho intentat,

s’haurien ampliat les proporcions d’aquest treball de manera exagerada, requerint

així, un temps de dedicació i de computació molt elevats.

En aquest punt es comentaran alguns d’aquests altres factors, i se’n analitzaran les

possibles causes i/o conseqüències.

El primer i un dels més importants són les particions del dendrograma creant

clústers en el moment de crear l’arbre. Com ja s’ha explicat, aquestes divisions en

el factor de solapament i, de retruc, en el moment de fer consultes. Per a realitzar

questa acció, s’han hagut d’escollir uns límits genèrics, cosa que és molt difícil tant

d’escollir com de ser just amb el conjunt de clústers, que associïn tots els grafs de

manera equitativa.


71

La precisió en el càlcul de la distància i del Median Graph també influeix. S’han

realitzat els testos amb el paràmetre astarDeep de l’arxiu ‘median.prop‘ amb el

paràmetre a 10 (recordem que -1 significa infinit, es a dir, algorisme òptim i com

aquest numero sigui més gran, més òptim serà el resultat). Així doncs tenim els

càlculs subòptims, que disminueixen el temps dels testos i permeten treballar amb

un nombre elevat de grafs, i que aquests siguin més complexos, és a dir, que

tinguessin més nodes i arestes.

En un principi s’havia intentat amb el paràmetre a -1 i s’ha comprovat com els

resultats milloraven però, com a contrapartida, calcular distàncies i, en

conseqüència, medians, tenia un cost molt més elevat, i això afectava a l’algorisme

sencer. Per tal de reduir aquest cost i demostrar els nostres objectius de manera

pràctica, es va buscar utilitzar trade-off entre velocitat de càlcul i precisió, abans

esmentat. Aquest paràmetre ens el va facilitar el mateix desenvolupador de

l’algorisme de càlcul de distàncies i medians [5] i [6], ja que va ser ell mateix qui

va testejar aquest rendiment.

Amb tot això podem veure com els resultats no seran tant bons com es pot esperar

ja que el MG no serà l’òptim, i això farà que els radis augmentin i, en cascada, els

les covering region, els solapaments i el nombre de càlculs de distància a realitzar

en temps de cerca, que aquí hem anomenat nombre d’accessos.

Fent referència a la figura 14 de la secció “3.5-. Prototips Median Graph”, en la que

es mostrava un exemple en la que es comparava el solapament de dos clústers

amb el Set Median com a representant i un altre amb els mateixos clústers amb el

Median Graph com a representant del clúster, a la figura següent es pot veure com

la diferència ja no és tant gran al ser el Median Graph no òptim.


72

Figura 47: mostra d’augment del radi si el Median Graph no és l’òptim

Aquest desplaçament del centre pot donar, en el pitjor dels casos de l’exemple

anterior, un augment enorme del radi que produeixi solapament, com es veurà en

la següent figura:


73

b) Median graph zona d’error

Figura 48: ampliació del radi del prototips degud

a a la disminució de precisió del Median Graph.

6. Conclusions, treball futur

74

6. Conclusions, treball futur

En l’estudi realitzat s’ha intentat avaluar les característiques de l’arbre generat amb

prototips i amb representats com també rendiment en la realització de cerques.

Des del punt de vista de l’estructura generada en l’arbre els resultats obtinguts

conclouen una reducció de prop d’un 25% del solapament, cosa que ens indica que

l’arbre forma un estructura més equilibrada on els clústers tenen una separació

més equidistant.

Referent a l’avaluació en la realització de les consultes podem concloure que s’ha

reduït el nombre d’accessos entre un 10 i un 20% de mitjana. Aquest valor s’ha

extret al comparar les dues gràfiques d’accessos tant de l’arbre amb representants

com de l’arbre amb prototips. Cal remarcar que, en algun cas concret, el nombre

d’accessos que es fa en l’arbre amb representants supera en mitjana el nombre

d’elements utilitzats per a crear l’arbre, del qual és pot deduir que usar un arbre en

representats no suposa cap benefici. En canvi, en l’arbre creat amb prototips és

supera en cap cas aquest límit, sinó que sempre és redueix el nombre d’accessos.

Un paràmetre molt important en la realització de les consultes és el valor µmax. De

l’estudi realitzat per diferents valors d’aquest paràmetre µmax s’esperava veure la

influencia en el nombre d’accessos realitzats al llarg de l’arbre donada una consulta

determinada, ja que com més petit és el radi de la consulta (valor més petit de

µmax) més dirigida aquesta a un element en concret. En canvi l’avaluació d’aquest

paràmetre demostra que aquest radi només influeix lleugerament en la mitjana

d’accessos per cerca.

Quant al treball futur, s’espera poder estudiar més exhaustivament com afecta la

reducció del solapament entra els clústers de l’arbre en la reducció del nombre

d’accessos en una consulta determinada. També seria interessant veure com afecta

la precisió del Median Graph en les consultes. Referent als paràmetres que

influeixen en la creació de l’arbre (límits que divideixen el dendrograma i tipus

d’algorisme de clustering) s’haurien d’estudiar com aquests influeixen en la creació

els arbres i analitzar com afecten en l’aplicació del sistema ideat en aquest treball.

7. Referències

75

7. Referències

Recursos utilitzats (bibliografia, pàgines web, programari, hardware, etc.)

[1] Massimo De Santo, Gennaro Percannella, Carlo Sansone, Mario Vento: A Multi-

Expert System For Shot Change Detection In Mpeg Movies. IJPRAI 18(5): 933-956

(2004).

[2] S.Berretti, A.Del Bimbo, E.Vicario, Efficient Matching and Indexing of Graph

Models in Content Based Retrieval, IEEE Transactions on Pattern Analysis and

Machine Intelligence, (2001).

[3] A. Sanfeliu, F. Serratosa & R. Alquézar, “Second-Order Random Graphs for

modelling sets of Attributed Graphs and their application to object learning and

recognition”, International Journal of Pattern Recognition and Artificial Intelligence,

Vol. 18, No. 3, pp: 375-396 (2004).

[4] P. Ciaccia, M. Patella, and P. Zezula, “M-Tree: An Efficient Access Method for

Similarity Search in Metric Spaces”, Proc. Int'l Conf. Very Large Data Bases, 1997).

[5] Miquel Ferrer, Ernest Valveny, Francesc Serratosa: Median graphs: A genetic

approach based on new theoretical properties. Pattern Recognition 42(9): 2003-

2012 (2009).

[6] Miquel Ferrer, Ernest Valveny, Francesc Serratosa: Median graph: A new exact

algorithm using a distance based on the maximum common subgraph. Pattern

Recognition Letters 30(5): 579-588 (2009).

[7] A. Sanfeliu and K. Fu, “A distance measure between attributed relational graphs

for pattern recognition”, IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, 13,

353-362 (1983).

[8] Riesen, K. and Bunke. IAM Graph Database Repository for Graph Based Pattern

Recognition and Machine Learning, Structural, Syntactic, and Statistical Pattern

Recognition, LNCS 5342, 287-297(2009).

7. Referències

76

[9] Michel Neuhaus, Kaspar Riesen and Horst Bunke: “Fast Suboptimal Algorithms

for the Computation of Graph Edit Distance”, Graph Based methods, SSSP, Vol:

4109/2006, 163-172 (2006).

8. Annex 1

77

8. Annex 1

En aquest apartat s’explicaran les rutines més importants i els paràmetres que

utilitzen.

testCrearCubArbres.m

És una rutina que crea un cub d’arbres de dimensions #elements_classe X

#particions_cluster X #elems_arbre . No te paràmetres ni d’entrada ni de

sortida. Desa les dades en el fitxer “BBDDcubs.mat”. Les 3 variables més

importants desades son:

o matriuRepre:

o matriuProto:

o mDis[i,j,k]: matriu de distàncies de tots amb tots (tant de l’arbre

amb representants com de l’arbre amb prototips)

[arbre, arbre2, mDis]=muntarArbre(m,numParticions)

Aquesta rutina munta dos arbres, un amb representants i l’altre amb

prototips a partir d’una matriu m de grafs i el nombre de particions que es

vol que tingui el clúster.

Paràmetres d’entrada:

o m: matriu que conté tots els grafs.

o numParticions: nombre de divisions que es faran en el dendrograma

Paràmetres de sortida:

o arbre: arbre prototips

o arbre2: arbre representants.

o mDis: matriu de distàncies de tots els grafs de m amb tots. Per

estalviar càlculs, s’ha calculat només la matriu superior. Pel que

sempre que es busqui mDis(x,y), x>y. Això està controlat en la

funció calcular distància.

8. Annex 1

78

[mpdis,mDis]=pdistGrafs(m)

Rutina que calcula la distancia de tots amb tots els grafs de m. Retorna un

vector de distàncies que es necessari per a fer el clustering i una matriu de

distàncies de tots amb tots, útil per a estalviar processament a l’hora de

construir l’arbre amb representants, ja que reutilitza aquestes distancies

calculades.


o m: matriu que conté tots els grafs.


o mpdis: vector de distàncies de tots els grafs de m amb tots, en el

que les distàncies es van guardant de manera seqüencial a mesura

que es calcula la matriu superior.

o mDis: matriu de distàncies de tots els grafs de m amb tots.

taula=dBuscarUnirFillsRepresentant(clusters,v,mat,taula)

Analitza tots els clústers i els uneix formant nodes segons els límits

especificats en v (que són els valors on particions dividiran el dendrograma),

que posteriorment emmagatzema en una taula.


o clústers: matriu de 3 X #clústers calculada per linkage. (Explicat en

la secció de clustering).

o v: vector amb els límits inferior i superior entre els que ha de fer els

clústers. Cal remarcar que no és un índex, sinó un valor concret on

tallar el dendrograma

o mat: matriu amb tots els grafs.

o taula: taula on es desen els nodes creats desprès d’ajuntar els clúster



8. Annex 1

79

taula=dBuscarUnirFillsPrototips(clusters,v,mat,taula);

Igual que l’anterior però amb prototips enlloc de representants, calculant-ne

els medians. En aquest cas es modifica també la matriu mat, per tal

d’emmagatzemar també els prototips just al final.

arbre=dMontarArbreRepresentant(taula,m);

Reordena la taula (posant el node arrel que està en la ultima posició al

principi i així successivament). Crea els enllaços entre nodes (pare - fill), i

calcula el radi de cada node.



o m: matriu amb tots els grafs.


o arbre: taula on es desen els nodes creats desprès d’ajuntar els

clúster

arbre2=dMontarArbrePrototips(taula2);

De la mateixa manera que l’anterior, reordena la taula, però tenint en

compte els grafs nous (prototips) emmagatzemats en la matriu.

booleà = esfulla(node)

Indica si el node passat per paràmetre és fulla, es a dir, si te fills o no.

8. Annex 1

80

distancia = calcularDistanciaGrafs(g1,g2)

Retorna la distància entre els dos grafs passats per paràmetre, del mateix

tipus carregat de la base de dades:

g1.occurrenceMatrix;

g1.adjacencyMatrix;

g1.quantitativeNodeAttributes;

I crida a la funció java per a calcular-ne la distància entre ells, passant-li per

paràmetre, les 3 matrius de cada graf.


o g1: graf font.

o g2: graf destí.


o distància: distància d’edició entre els dos grafs.

distancia = calcularDistanciaIndexos(x, y)

Retorna la distància entre els dos grafs passats per paràmetre en forma

d’índex de la matriu de grafs mDis creada anteriorment. Amb aquesta

informació només cal enviar buscar a la posició (x,y) de la matriu i retornar-

ne el valor. D’aquesta manera estalvia càlculs de distàncies i l’algorisme és

més eficient. Val a dir que aquesta funció només s’utilitza en muntar l’arbre

amb representants, perquè el de prototips pot tenir distàncies diferents

degut a la creació de nous elements dintre de l’espai en forma de prototips.


o g1: graf font.

o g2: graf destí.


o distància: distància d’edició entre els dos grafs.

8. Annex 1

81

arbre=dCalcularRadis(index,arbre)

Funció que calcula tots els radis d’un arbre.


o arbre: arbre en el que es desitja fer la cerca. Pot ser tant fet amb

prototips com amb representants.

o index: índex de l’arbre per on començarà el càlcul.


o arbre: arbre en el que es desitja fer la cerca amb els nous radis

assignats. Pot ser tant fet amb prototips com amb representants.

[acceptats,nAcceptats,nAccessos]=dMtRangeQuery(arbre,n,q)

Aquesta fa la cerca de q, en un arbre seguint les condicions esmentades en

els punts de cerca tant de teoria com de desenvolupament. A mesura que va

cercant, compta també el nombre de càlculs realitzats i els retorna

juntament amb el conjunt d’elements trobats i el nombre d’aquests.


o arbre: arbre en el que es desitja fer la cerca. Pot ser tant fet amb

prototips com amb representants.

o n: índex de l’arbre per on començarà la cerca.

o q: element que es vol cercar. Estructura que conté:

� d: element o graf que es vol cercar.

� µMAX que tindrà la cerca.


o acceptats: taula de grafs acceptats, es a dir, dintre del rang µMAX introduït

mitjançant q .

o nAcceptats: nombre d’elements acceptats.

o nAccessos: nombre de càlculs realitzats durant la cerca.

8. Annex 1

82

[acceptatsRepre,acceptatsProto,nAccessosRepre, nAccessosProto] = ferCerques (q,

arbreRrepre,arbreProto)

Crida a la funció anterior per als arbres representant i prototips. Els

paràmetres són els mateixos, però duplicats perquè hi ha 2 arbres. S’ha

exclòs retornar la taula d’elements trobats perquè no s’ha analitzat.

testCalcularSolapaments.m

Aquesta rutina que carrega el fitxer “BBDDcubs.mat” i crea un cub de

solapaments per a cada tipus d’arbre (representants i prototips) de

dimensions #elements_classe X #particions_cluster X #elems_fulla_arbre

(15X4X3), pertanyents als arbres calculats a la rutina anterior . No te

paràmetres ni d’entrada ni de sortida. També es guarden les desviacions

estàndard de cada arbre per al posterior estudi d’aquests. Desa les dades en

el fitxer “BBDDsolapaments.mat”

testCalcularAccessos.m

Rutina que carrega el fitxer “BBDDcubs.mat” i s’encarrega de calcular la

mitjana d’accessos. Crea un cub de 5 dimensions: Divisió(µMAX) X

#particions_cluster X #elems_fulla_arbre X elements_classe X num_test

(3X4X3X15X9), per a cada arbre (representants i prototips) amb els

accessos generats per cada test. Desa les dades en el fitxer

“BBDDaccessos.mat”

testCalcularMitjanesSolapament.m

Aquesta rutina carrega el fitxer “BBDDsolapaments.mat” i en calcula les

mitjanes. Emmagatzema les dades en una taula de 2 dimensions:

#particions_cluster X #elems_fulla_arbre, fent la mitjana dels valors de la

resta de dimensions. Desa els resultats en el fitxer

BBDDMatriuSolapament.mat.

8. Annex 1

83

testCalcularMitjanesAccessos.m

És una rutina que carrega el fitxer “BBDDaccessos.mat” i en calcula les les

mitjanes, tal com ho ha fet la rutina anterior, però en aquest cas de la

variable nombre d’accessos. S’emmagatzemen els resultats obitinguts en el

fitxer BBSSMatriuAccessos.mat.

9. Annex 2

84

9. Annex 2: publicacions

Pendent de submissió a SSSPR2010 (Syntactic and Structural Pattern Recognition),

amb deadline 1 de Febrer.

Màster en Enginyeria Informàtica i de la Seguretat (MEIS...

Documents

Transcript of Màster en Enginyeria Informàtica i de la Seguretat (MEIS...