APUNTES DE MECNICA DE SUELOS EMPUJE DE TIERRAS SOBRE ELEMENTOS DE RETENCIN

Agustn Demneghi Colina Margarita Puebla Cadena Hctor Sangins Garca

*

NOTA PRELIMINAR Cuando se presenta un desnivel entre las superficies de dos reas, ste se puede resolver con un talud o con un elemento de retencin. Si se emplea un elemento de retencin, ste puede ser un muro de mampostera de piedra o de concreto, una tablaestaca, tierra armada, etctera. Con frecuencia los elementos de retencin sufren desplazamientos que hacen que la presin horizontal en reposo se reduzca hasta una presin mnima, que se denomina presin activa. Por el contrario, la presin horizontal puede aumentar hasta una magnitud mxima (esto ocurre cuando el muro empuja sobre el relleno), a la cual se le llama presin pasiva. En los siguientes incisos se presenta la forma de determinar las presiones activa y pasiva, usando el mtodo de Rankine. Tambin se presenta el mtodo de Coulomb para valuar el empuje activo sobre un muro. Al final del captulo se exhibe la forma de calcular un muro de tierra armada. MTODO DE RANKINE Clculo de la presin activa Consideremos el muro de retencin de la figura 1. Supongamos que dicho muro sufre un desplazamiento o un giro hacia la izquierda de la figura, de tal forma que se produce en el suelo del relleno una falla por resistencia al corte.

* Profesor. Departamento de Geotecnia. Divisin de Ingenieras Civil y Geomtica. Facultad de Ingeniera. UNAM

En el elemento de la figura 1 la presin vertical pv se mantiene aproximadamente constante, mientras que la presin horizontal disminuye de ph = Ko pv hasta un valor mnimo pa, que denominaremos presin activa de tierra. A Ko se denomina coeficiente de presin en reposo, y se puede calcular con la siguiente expresin (Mayne y Kulhawy, 1982)

Ko = (1 sen ) (OCR)sen

(1) donde

= ngulo de friccin interna del suelo OCR = relacin de preconsolidacin del suelo Por otra parte, suponiendo que la resistencia del suelo est dada por la ley de Mohr-Coulomb

s = c + tan (2) hallemos a continuacin la magnitud de pa. De acuerdo con la figura 2

(pv pa)/2

sen =

c cot + (pv + pa)/2 Despejando pa

1 sen cos

pa = pv 2 c (3)

1 + sen 1 + sen

1 sen (1 sen2

)

pa = pv 2 c

1 + sen (1 + sen )2

1 sen 1 sen

pa = pv 2 c (4)

1 + sen 1 + sen Sea

1 1 sen

= (5)

N 1 + sen Reemplazando en la ecuacin 4

pa = (1/N) pv - 2 c (1/N) (6)

2

La magnitud de 1/N se puede poner de la siguiente forma cos 2a = cos

2a sen

2a

sen = cos(90 - ) = cos

2(45 - /2) sen

2(45 - /2)

Sustituyendo en la ecuacin 5

1 1 - cos2(45 - /2) + sen

2(45 - /2)

=

N 1 + cos2(45 - /2) - sen

2(45 - /2)

1/N = tan2 (45 - /2) (7)

El estado de esfuerzo en el plano de falla queda representado por el punto D de la figura 3. Usando el procedimiento del polo de los esfuerzos (Demneghi, Magaa y Sangins, 2003) observamos que la inclinacin del plano de falla, con respecto a la horizontal, vale

= 45 + /2 Es decir, cuando se presenta el estado plstico activo del suelo, ste falla a travs de planos

que tienen una inclinacin de 45 + /2, con respecto a la horizontal. Clculo de la presin pasiva Ahora supongamos que la presin horizontal ph sobre el elemento de la figura 1 aumenta hasta que falla el suelo. Procediendo en forma anloga obtenemos

1 + sen 1 + sen

pp = pv + 2 c (8)

1 - sen 1 sen

pp = N pv + 2 c /N (9)

Kp = tan2(45 + /2) (10)

En forma anloga que para el caso activo, se puede demostrar que la inclinacin de los planos de falla, cuando se presenta el estado

plstico pasivo de suelo, es de 45 - /2, con respecto a la horizontal.

RESPUESTA DEL ESQUELETO SLIDO DE UN SUELO TOTALMENTE SATURADO En mecnica de suelos las teoras que se desarrollan para el clculo de las deformaciones, de la resistencia al corte, del empuje de tierras, de la capacidad de carga, etctera, son vlidas para un cuerpo slido. Sin embargo, un suelo totalmente saturado est formado por dos fases: la fase slida y la fase lquida; cuando el suelo est en reposo, la fase lquida no posee resistencia al corte y no se comporta como un slido, por lo que las teoras mencionadas slo son aplicables a la estructura slida del terreno. Dado que la presin que acta sobre las partculas slidas es la presin efectiva, cuando se quiera conocer la respuesta del esqueleto slido se debe emplear en las frmulas obtenidas justamente la presin efectiva en vez de la presin total. MTODO DE RANKINE. SUELO PURAMENTE FRICCIONANTE En un suelo puramente friccionante c = 0. La ecuacin 3 queda

1 sen

pa = pv (11)

1 + sen pa = 1/N = Ka pv (12)

1 sen

Ka = (13)

1 + sen

Ka = tan2 (45 - /2) (14)

Ka se denomina coeficiente de presin activa del suelo friccionante. Si el suelo est sometido nicamente a peso propio (sin sobrecarga), la fuerza resultante de la presin activa, actuando sobre un muro de altura total H, por unidad de longitud del muro, vale Ea = (1/2) Ka H

2 (15)

El punto de aplicacin de Ea queda a H/3, medido a partir de la base del muro.

3

Para la condicin de empuje pasivo, usando la ecuacin 8

1 + sen

pp = pv (16)

1 - sen pp = Kp pv (17)

1 + sen

Kp = (18)

1 - sen

Kp = tan2 (45 + /2) (19)

La fuerza resultante pasiva sobre un muro de altura total H vale Ep = (1/2) Kp H

2 (20)

El punto de aplicacin de Ep queda a H/3, medido a partir de la base del muro. Ejemplo Calcular la magnitud y punto de aplicacin del empuje activo Ea del muro de retencin de la figura E-1. Utilizar el mtodo de Rankine. Considerar las siguientes condiciones:

a) Suelo seco. Nivel de agua fretica (NAF) bajo la base del muro

b) Suelo totalmente saturado debido a una fuerte lluvia, pero muro con un eficiente sistema de drenaje

c) NAF en la superficie del relleno. No existe drenaje en el muro

d) NAF a 2 m de profundidad bajo la corona del muro. Suelo totalmente saturado entre 0 y 2 m de profundidad

Solucin

El coeficiente activo vale Ka = tan2 (45- /2) =

tan2 (45-34/2) = 0.2827 a) La presin activa (ecuacin 15) pa = Ka

pv Para el clculo del empuje activo Ea usamos las siguientes frmulas para un trapecio (figura 4) rea = (a+b)h/2 (21) y = (2a+b)h/[3(a+b)] (22) Los diagramas de presin se muestran en la figura E-2a

b) La presin activa pa = Ka pv, usando sat = 19.656 kN/m

3

Los diagramas de presin se exhiben en la figura E-2b

c) La presin horizontal sobre el muro vale pa = Ka pv + u Los diagramas de presin de muestran en la figura E-2c

d) La presin horizontal sobre el muro vale

pa =Ka pv + u

Los diagramas de presin de muestran en la figura E-2d

---------- MTODO DE RANKINE. SUELO PURAMENTE COHESIVO

En un material puramente cohesivo = 0. Para el caso activo la ecuacin 3 queda pa = pv 2 c (23) Para la condicin de empuje pasivo, con la ecuacin 8 hallamos pp = pv + 2 c (24) Altura crtica de un corte vertical Consideremos que hacemos un corte vertical en un suelo puramente cohesivo (figura 5). El empuje activo total horizontal vale

Ea = o pv dz 2 c H (25)

Si no existe sobrecarga pv = z. La ecuacin 25 queda

Ea = o z dz 2 c H

Ea = H2 / 2 2 c H (26)

El corte se sostiene cuando el empuje Ea = 0. Reemplazando en la ecuacin 26

H = Hcrit = 4 c / (27) La ecuacin 27 proporciona la altura mxima de un corte vertical en un material puramente

4

cohesivo (sin sobrecarga en la corona). La altura de trabajo Ht la obtenemos Ht = Hcrit / FS (28) donde FS = factor de seguridad. Si usamos un FS = 2 Ht = Hcrit / 2 Debido a la cohesin del suelo, al disminuir la presin horizontal en un corte vertical se pueden producir esfuerzos de tensin en el terreno, y presentarse grietas en la corona del corte. Considerando una sobrecarga nula sobre la excavacin, la profundidad de estas grietas de tensin se obtiene haciendo pa = 0 en la ecuacin 23 z = 2 c z = 2 c / (28) La ecuacin 28 mide la profundidad de las grietas de tensin que se presentan en la corona de un corte vertical, practicado en un material puramente cohesivo. MTODO DE COULOMB Sea el muro de retencin mostrado en la figura 6. El significado de las literales es el siguiente W = peso de la cua Q = sobrecarga sobre la cua Sh = fuerza ssmica horizontal Sv = fuerza ssmica vertical C = fuerza resistente debida a la cohesin del suelo F = fuerza resistente debida a la friccin del suelo U = fuerza de subpresin hidrulica

= ngulo de friccin interna del suelo Cm = fuerza resistente debida a la adherencia entre muro y suelo

= ngulo de friccin interna entre muro y suelo Establezcamos el equilibrio de fuerzas en direcciones x y y

Fx = Ea cos - Sh + C cos - F sen ( - )

U sen = 0 (29)

Fy = - W Q + Cm + Sv + Ea sen

+ F cos ( - ) + C sen + U cos = 0 (30)

De la ecuacin 30 despejamos F W+Q -Cm - Sv Ea sen - C sen - U cos

F =

cos ( - ) (31)

Sustituimos en la ecuacin 30 Sh-Ccos +Usen +tan( - )(W+Q-Cm-SvCsen -Ucos ) Ea =

cos + tan ( - ) sen (32)

El valor mximo del empuje sobre la pared vertical del muro de la figura 6 se obtiene

variando el ngulo en la ecuacin 32, hasta hallar el mximo de Ea en dicha ecuacin. El uso de la ecuacin 32 tiene la ventaja de que se puede programar en hoja de clculo de una computadora. Frmulas para el clculo del empuje de tierras Se emplean las siguientes frmulas (figura 5)

= - (33)

L = H [ sen (90+ ) / sen ] (34)

A = H L cos / 2 (35)

W = A (36)

D = L cos (37) Q = q D (38) C = c L (39) Cm = cm H (40) Sh = csh (W + Q) (41) Sv = csv (W + Q) (42) csh = coeficiente ssmico horizontal csv = coeficiente ssmico vertical Ejemplo Determinar el empuje de tierra sobre un muro de retencin que tiene las siguientes caracters-ticas:

H = 4 m, = 34, c = 0, = 0, cm = 0, = 18

kN/m3, q = 30 kPa, = 0, csh = 0.053, csv = 0,

considerando una cua de deslizamiento con = 55. Solucin Aplicando las ecuaciones 33 a 42 obtenemos

= 55 L = 4.8831 m A = 5.6017 m

2

5

W = 100.830 kN D = 2.8008 m Q = 84.025 kN C = Cm = 0 Sh = 9.7973 kN Reemplazando en la ecuacin 32 Ea = 80.756 kN Resolviendo el problema en hoja de clculo de computadora, se halla un empuje mximo Eamax

= 82.42 kN, que corresponde a un ngulo = 60. (Coulombm)

---------- FRMULA DE MONONOBE-OKABE Dado el muro de retencin de la figura 7, el empuje de tierras sobre el mismo vale (Ovando et al, 1979; Das, 2001)

Ea = (1/2) H2 (1 csv) Ka (43)

cos2 ( - - )

Ka =

sen( + ) sen( - - )

cos cos2

cos( + + )[1+ ]2

cos( + + ) cos( - )

(44) donde

= peso volumtrico del relleno

= ngulo de friccin interna del relleno

= ngulo de friccin entre la pared y el relleno

= ngulo del muro con la vertical

= inclinacin del relleno

= tan-1

[csh/(1 csv)] (45) csh = coeficiente ssmico horizontal csv = coeficiente ssmico vertical La ecuacin 43 da el empuje activo mximo generado por un suelo en estado de equilibrio

lmite (estado activo) y de inclinacin con la horizontal (figura 7). Cuando se considera el efecto ssmico, se recomienda que el punto de aplicacin del empuje Ea quede a la mitad de la altura del muro. ANLISIS Y DISEO DE MUROS DE RETENCIN DE MAMPOSTERA

La revisin de la seguridad de un muro consta de tres etapas: a) Estabilidad regional b) Estabilidad externa c) Estabilidad interna a) Estabilidad regional Se revisa la seguridad del muro por problemas de estabilidad regional, como pueden ser fallas de taludes en grandes reas, erosin regional -externa o interna-, presencia de oquedades o cavernas en el subsuelo, agrietamiento del terreno por sismos de alta intensidad, etctera. b) Estabilidad externa La estabilidad externa se revisa por los siguientes conceptos: b.1) Volteo b.2) Deslizamiento b.3) Seguridad del terreno de cimentacin b.1) Volteo En trminos generales, el factor de seguridad para prevenir una falla de cierto tipo, se define de la siguiente forma Sumatoria de elementos mecnicos resistentes

FS= (46) Sumatoria de elementos mecnicos actuantes

De acuerdo con lo anterior, el factor de seguridad por volteo es

FSv = MR / MA (47) donde

MR = sumatoria de momentos resistentes

MA = sumatoria de momentos actuantes Los momentos se toman con respecto a un eje que pasa por el punto A de la figura 7. Como ejemplo, en la figura 8 se muestran los empujes de tierra que actan sobre un plano vertical trazado a partir del taln (punto B) del muro. b.2) Deslizamiento El factor de seguridad para prevenir el deslizamiento se define

6

FSd = FR / FA (48) donde

FR = sumatoria de fuerzas resistentes

FA = sumatoria de fuerzas actuantes Las fuerzas se calculan a lo largo del posible plano de deslizamiento AB de la figura 8. La fuerza de friccin entre la base del muro y un suelo friccionante es igual a la fuerza normal en la base multiplicada por el coeficiente de friccin f entre suelo y base. En un suelo friccionante sin finos f es del orden de 0.55; si el suelo contiene limo f = 0.45. Cuando el muro descansa sobre un suelo fino, inmediatamente antes de construir el cimiento del muro, se deben remover los ltimos 10 cm de suelo y reemplazarlos por una capa del mismo espesor de arena o arena con grava bien compactadas; en este caso se puede tomar f = 0.35. Sin embargo, si la resistencia no drenada su del suelo cohesivo es menor que la resistencia por friccin, el deslizamiento puede ocurrir a lo largo del suelo fino, en cuyo caso la fuerza resistente se debe obtener a partir de la cohesin su del terreno de cimentacin (Terzaghi y Peck, 1967). b.3) Seguridad del terreno de cimentacin La revisin de la seguridad del terreno de cimentacin se lleva a cabo verificando que no se exceda la capacidad de carga admisible por resistencia al corte del terreno y que las deformaciones del mismo no superen las deformaciones permisibles del muro de retencin. Este tema se estudiar en el siguiente captulo. c) Estabilidad interna Como se trata de un muro de mampostera de piedra, no deben obrar en el mismo esfuerzos de tensin. Por lo tanto, se verifica en varias secciones horizontales del muro que no se presenten esfuerzos de tensin. Los esfuerzos se calculan usando la frmula de la escuadra

= N/A My/I (49) donde N = fuerza normal sobre la seccin

A = rea de la seccin M = momento flexionante actuando alrededor de un eje que pasa por el centroide de la seccin I = momento de inercia de la seccin y = distancia del centroide al punto donde se calcula el esfuerzo Tomemos como ejemplo la seccin AB de la figura 8, situada digamos a la mitad de la altura del muro. En la figura 9 se exhiben los empujes de tierra que obran por arriba de la seccin AB. Los esfuerzos en los puntos extremos A y B valen, aplicando la ecuacin 49

a = N/B1L + 6M/L(B1)2 (50)

b = N/B1L - 6M/L(B1)2 (51)

donde B1 = ancho de la seccin L = longitud de la seccin

Se revisa que el esfuerzo a dado por la ecuacin 50 no supere la resistencia a la compresin de la mampostera, y que el

esfuerzo b dado por la ecuacin 51 sea positivo, o, si es negativo, que sea menor, en valor absoluto, a la resistencia a la tensin de la mampostera. Revisin de la seguridad de un muro de retencin Para el muro de la figura 8, es usual calcular los empujes de tierra debidos a la sobrecarga q y al peso propio del relleno actuando sobre la seccin BD de la figura. La sobrecarga y el relleno que se encuentran sobre el muro se consideran como parte integrante de ste. Los pesos de muro y relleno se computan tomando las cuatro reas indicadas en la figura. La altura sobre la que obran los empujes vale (figura 8)

H = H + d4 = H + B tan (52) B = B b (53) Cuando se hace la revisin en condiciones ssmicas, adems de los empujes debidos al temblor, se deben considerar las fuerzas de inercia de las cuatro reas de la figura 8.

7

Las fuerzas que obran sobre el plano BD son las mostradas en la figura 9. El cmputo de los momentos actuantes se lleva a cabo descomponiendo la fuerza Ea en una componente horizontal y en una componente vertical:

Eah = Ea cos (54)

Eav = Ea sen (55) Por ejemplo, la sumatoria de momentos con respecto a un eje que pasa por el punto A valdr (figura 9)

MA = Eah d - Eav B - Cm B En la tabla 1 se exhiben factores de seguridad tentativos para volteo y deslizamiento, los cuales deben usarse nicamente para fines de anteproyecto. Las magnitudes de estos factores pueden variar ampliamente en funcin de la clase de obra que se est analizando. Para la determinacin de los esfuerzos internos, las fuerzas actuantes para el cmputo de los esfuerzos en la seccin AB se exhiben en la figura 10. Ejemplo Revisar la seguridad del muro de retencin de la figura E-3. Usar los factores de seguridad tentativos de la tabla 1, un coeficiente de friccin entre muro y suelo f = 0.45, con las siguientes propiedades de la mampostera de piedra braza: Resistencia a la compresin: 1000 kPa Resistencia a la tensin: 50 kPa

= 23 kN/m3

En el relleno de arena limosa: = 18 kN/m3, c =

0, = 36. Para la revisin por sismo tomar csh = 0.053 y csv = 0. Suponer que no existen problemas de estabili-dad regional. Para el clculo del empuje de tierras usar la frmula de Mononobe-Okabe. Solucin Usando la frmula de Mononobe-Okabe

(ecuacin 44), con = = 36, se obtienen los siguientes empujes obrando sobre la cara BD (figura E-3): Sin sismo: Ka = 0.2412, Eaq = 36.187 kN, hq = 5/2 = 2.5 m, Ear = 54.280 kN, hr = 5/3 = 1.667 m.

Aplicando las ecuaciones 54 y 55 (con = =

36) obtenemos los empujes horizontales y verticales mostrados en la figura E-4. Con sismo: Ka = 0.2751, Eaq = 41.265 kN, hq = 5/2 = 2.5 m, Ear = 61.897 kN, hr = 5/2 = 2.5 m. Usando las ecuaciones 54 y 55 se determinan los empujes mostrados en la figuras E-6. (Las fuerzas actan por cada metro de longitud del muro). En la tabla E-1 se muestran los pesos y las fuerzas de inercia horizontales (por sismo) de las cuatro reas y de la sobrecarga de la figura E-3. Presentamos a continuacin nicamente la revisin de la seguridad del muro considerando el sismo. La revisin sin sismo es muy similar a sta. Revisin de la seguridad con sismo (Nota: los momentos y fuerzas actan por unidad de longitud del muro) b.1) Volteo Los momentos se toman alrededor de un eje que pasa por el punto A (figuras E-3 y E-6)

MR = 46(0.2)+106.375(0.4+1.85/3) +83.25(0.4+1.85(2/3))+55.5(0.4+1.85/2) =326.868 kN.m

MA = 33.383(2.5)-24.555(2.25)+50.076(2.5)-36.382(2.25)+2.438(2.5) +5.638(5/3)+4.412(2)(5)/3+2.942(5) = 117.123 kN.m Aplicando la ec 2: FSv = 326.868/117.123 =

2.791 > 1.5 Cumple b.2) Deslizamiento Las fuerzas se calculan a lo largo de la base del muro (seccin AB, figuras E-3 y E-6)

FR = [291.125+(24.255+36.382)](0.45) = 158.293 kN

FA = 15.43+33.383+50.076 = 98.889 kN Aplicando la ecuacin 50: FSd = 158.293/98.889

= 1.6 > 1.2 Cumple b.3) Terreno de cimentacin Se revisar en el siguiente captulo c) Estabilidad interna Revisamos que los esfuerzos actuantes no excedan las resistencias admisibles a la compresin y a la tensin de la mampostera. Para ilustrar los clculos, tomaremos como ejemplo una seccin a la mitad del muro (seccin AB, figura E-3) Usando la frmula de Mononobe-Okabe, obtenemos los siguientes empujes (de la mitad del muro hacia arriba) Ka = 0.2751, Eaq = 20.632 kN, hq = 2.5/2 = 1.25 m, Ear = 15.474 kN, hr = 2.5/2 = 1.25 m

8

Aplicando las ecuaciones 54 y 55 (con = = 36) obtenemos los empujes horizontales y verticales mostrados en la figura E-7. En la tabla E-2 se muestran los pesos de las tres reas y de la sobrecarga que actan arriba de la seccin AB de la figura E-3 N = 98.157+12.127+9.096 = 119.38 kN B1 = 0.4+1.85/2 = 1.325 m El momento lo calculamos con respecto al centro de la seccin (a la mitad del ancho B1 = 1.325 m) M=(16.692+12.519)(1.25)-(12.127+9.096)(0.6625)-27.75(0.6625-0.4625)+1.219(1.25)+1.410(2.573)+1.103(2/3)(2.5)+1.471(2.5) = 25.118 kN.m

Reemplazando en la ecuacin 54: a = 175.941

kPa < 1000 kPa Cumple

Reemplazando en la ecuacin 55: b = 4.255

kPa > 0 Cumple En la tabla E-4 se exhiben los resultados de los anlisis de seguridad, con sismo y sin sismo. (Muret4)

------------ TIERRA ARMADA En un muro de tierra armada se utilizan cintas de refuerzo dentro del relleno, que toman los esfuerzos de tensin que se generan en el suelo. Si las cintas o tiras son de acero, ste debe protegerse contra la corrosin que podra sufrir durante la vida til del muro. Consideremos la tierra reforzada de la figura 11 (Whitlow, 1994). La presin activa a la profundidad z vale pa = Ka pv La fuerza de tensin que debe resistir una banda de refuerzo a la profundidad z es Tz = pv Ka sv sh (56) El factor de seguridad contra la fuerza de tensin en una banda vale (Whitlow, 1994) b t fy b t fy FT = = (57) Tz pv Ka sv sh Debemos dar a la banda una longitud de anclaje le. As, la longitud necesaria de una banda, a la profundidad z es

Lz = (H z) tan (45 - /2) + le (58) La resistencia por friccin en una cinta de dos caras es R = 2 pv b le tan (59) El factor de seguridad contra falla por anclaje vale R 2 b le tan FP = = (60) Tz Ka sv sh La longitud necesaria de la banda valdr

FP Ka sv sh Lz = (H z) Ka + (61)

2 b tan Ejemplo Calcular las dimensiones de las cintas de refuerzo de un muro de tierra armada de 9 m de altura, formada por un relleno de arena con las siguientes propiedades: = 18 kN/m

3, = 35.

Se usarn cintas de acero galvanizado con las siguientes especificaciones: sh = 1 m, sv = 0.5 m; = 24; fy = 240 MPa; tasa de corrosin = 0.025 mm/ao; vida til = 50 aos. Utilizar factores de seguridad iguales a 3, tanto para tensin como para anclaje. Solucin Ka = tan

2 (45 - /2) = tan

2 (45 - 35/2) = 0.271

La fuerza de tensin mxima se presenta en la base del muro (ecuacin 56) Tzmax = H Ka sv sh = 18(9)(0.271)(0.5)(1) = 21.95 kN El rea de una seccin transversal de una cinta es, de acuerdo con la ecuacin 57 Tzmax FT b t = (62)

fy 21.95(3) b t = = 0.000274375 m

2 = 274.375 mm

2

240000

Si usamos b = 75 mm, entonces t = 3.658 mm Agregamos espesor por corrosin 0.025(50) = 1.25 mm Espesor total de la cinta = 3.658+1.25 = 4.908 mm Utilizamos cintas de refuerzo de 75 mm por 5 mm

9

La longitud de una cinta la determinamos con la ecuacin 61, para la cinta ms cercana a la superficie (z = 0.5 m). Para el resto usamos la misma longitud por razones constructivas.

3(0.271)(0.5)(1) Lz = (9-0.5) 0.271 + = 10.5 m

2(0.075) tan 24 (Nota: ejemplo tomado de Whitlow, 1994)

---------- COMENTARIO FINAL En los incisos anteriores se han empleado para la determinacin de los empujes de tierra la

cohesin c y el ngulo de friccin interna del suelo. El ingeniero debe tener presente que estos parmetros de resistencia pueden cambiar con el tiempo, sobre todo en lo que se refiere a la cohesin del terreno. Adems, con frecuencia la cohesin del suelo disminuye con el tiempo, lo que puede dar lugar a un aumento de la presin sobre el elemento de retencin con el transcurso del tiempo. Por lo tanto, deber estimarse el mnimo valor de la cohesin, y usarse ste para el clculo de la presin del suelo. Por otra parte, como se pudo observar en los ejemplos presentados en el cuerpo del captulo, la presencia de presiones hidrulicas en el relleno aumenta en forma considerable el empuje de tierras sobre el muro de retencin, por lo que deber dotarse a ste de un adecuado sistema de drenaje, que reduzca en forma significativa las presiones hidrulicas sobre el respaldo del elemento de retencin. Ciudad Universitaria, D F, octubre de 2007 REFERENCIAS Das, B M, Fundamentos de Ingeniera Geotcnica, Thomson Learning, 2001 Demneghi, A, Magaa, R y Sangins, H, Fundamentos de Mecnica del Medio Continuo, Facultad de Ingeniera, UNAM, 2003

Mayne, P W y Kulhawy, F H, Ko-OCR relationships in soil, Jour Geot Eng Div, ASCE, Vol 108, N GT6: 851-872, june, 1982 Ovando Shelley, E, Snchez Sesma, F J y Arias, A, Anlisis y Diseo Ssmico de Muros de Retencin, Instituto de Ingeniera, UNAM, diciembre 1979 Terzaghi, K y Peck, R B, Soil Mechanics in Engineering Practice, 2

nd ed, Wiley, 1967

Whitlow, R, Fundamentos de Mecnica de Suelos, 2a ed, CECSA, 1994 (Ms empuje tierras)

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TABLA 1 FACTORES DE SEGURIDAD MNIMOS TENTATIVOS

Volteo Deslizamiento

Sin sismo 2.0 1.5

Con sismo 1.5 1.2

Nota: Las magnitudes de estos factores pueden variar ampliamente en funcin de la clase de obra que se est analizando. TABLA E-1 PESOS Y FUERZAS DE INERCIA DE LAS REAS Y LA SOBRECARGA DEL MURO DE LA FIGURA E-3

rea Peso Fuerza ssmica horizontal

m2

kN kN

1 46 2.438

2 106.375 5.638

3 83.25 4.412

Sobrecarga 55.5 2.942

Suma 291.125 15.43

TABLA E-2 PESOS Y FUERZAS DE INERCIA ARRIBA DE LA SECCIN AB (FIGURA E-3)

rea Peso Fuerza ssmica horizontal

m2

kN kN

1 23 1.219

2 26.594 1.410

3 20.813 1.103

Sobrecarga 27.75 1.471

Sumas 98.157

TABLA E-3 RESULTADOS DE LOS ANLISIS DE SEGURIDAD DEL MURO DE RETENCIN

VOLTEO DESLIZA-MIENTO

ESFUERZOS INTERNOS

FSv FSd a b kPa kPa

SIN SISMO

12.23 2.12 120.82 55.43

CON SISMO

2.79 1.60 175.94 4.26

(Muret4) (Ms empuje tierras)

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