MS ApontamentosCamanho

8/18/2019 MS ApontamentosCamanho

1/318

E

Pedro M. Ponces R. de Castro Camanho

1Pedro Ponces Camanho

Gabinete: L405

Email: [email protected]


2/318

E



3/318

E

:

• Introduo.

• Apresentao e objectivos da Unidade Curricular.

• Mtodo de avaliao e bibiografia recomendada.

• Pro rama da Unidade Curricular.


Aula #1


4/318

E

D:

• Prof. Pedro Ponces Camanho.

• Prof. Lcia Dinis.

• Prof. Antnio Torres Marques.

• Prof. Francisco Pires.


• Prof. Carlos Reis Gomes.

Aula #1

:

• TeraFeira, 11:0012:00

• SextaFeira, 11:0012:00


5/318

E

:

• Compreenso dos conceitos fundamentais da Mecnica dos Slidos.

• Saber aplicar a Mecnica dos Slidos no estudo das peas lineares sujeitas a

solicitaes simples de traco/compresso, toro, flexo e suas combinaes.

Escolaridade: 4 horas semanais46 horas de aulas.

111 .

5Pedro Ponces Camanho Aula #1

,

5 horas para os exames.

:

• 3⁰ ano: Mecnica das Estruturas I e II.

• 4⁰ ano: rgos de Mquinas; Vibraes e Rudo; Iniciao ao Projecto.

• 5⁰ ano: todas as unidades curriculares da opo de Projecto e Construo Mecnica.


6/318

E

:

• Tese de Mestrado Daimler Benz AG.



7/318

E

:

• Tese de Mestrado Airbus Industries.



8/318

E



9/318

E

Fabrication,Load

Detail of lug area

ε11Load

12

0°


14 shell layers

γ 12

Load

Load

TensionCompression

LoadLoad

Failure mode: cleavage


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E

:

1. Anlise das tenses aulas 25.

2. Anlise das deformaes aulas 68.

3. Relaes tensodeformao aula 9.

4. Critrios de cedncia aula 10.


5. Resoluo de exerccios/dvidas aula 11.

6. Diagramas de esforos aula 12.

7. Toro de peas lineares aulas 1315.

8. Tenses de flexo em vigas aulas 1619.

9. Deflexo de vigas isostticas aula 20.

10. Resoluo de exerccios/dvidas aulas 2122.Aula #1


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E

A: avaliao distribuda sem exame final. 50% do primeiro teste + 50% do

segundo teste. Em cada teste h uma nota mnima de 7 valores. No exame de recurso os alunospodero repetir o primeiro teste ou o segundo (a nota a atribuir ser a melhor em cada dessasprovas) ou ento realizar uma prova final com toda a matria. A nota mxima de 20 valores seratribuda apenas com realizao de uma prova oral. No permitida a consulta de qualquertexto de apoio UC durante o exame sero distribudos formulrios.

B

• J.F. Silva Gomes, Mecnica dos Slidos e Resistncia dos Materiais, Ed. INEGI, Porto, 2004.


• S.P. Timoshenko, J.N. Goodier, Theory of Elasticity, McGrawHill, New York, 1970.

• J.P. Den Hartog, Advanced Strength of Materials, McGrawHill, New York, 1952.

• C.M. Branco, Mecnica dos Materiais, Fundao Calouste Gulbenkian, Lisboa, 1985.

• V. Fodosiev, Resistncia dos Materiais, Lopes da Silva Ed., Porto, 1977.

• C. Massonet, Resistance des Materiaux, Dunod, Paris, 1968.

Aula #1


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E



13/318

E



14/318

E



15/318

E

E



16/318

E



17/318

E

:

• Introduo anlise das tenses.

• Componentes Cartesianas da tenso.

• Tenso para uma orientao arbitrria.

• Resolu o dos roblemas 1.2.1 1.2.2 1.2.3 e 1.2.5.


Aula #2


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E

A

• Slidos homogneos, isotrpicos e elsticos.• Anlise macromecnica (material homogenizado).• Comportamento linearelstico.

Foras de superfcie: 1 ... n.

Foras de volume: gravidade, electromagnticas, inrcia.


Tenso resultante no ponto P

associada ao plano de cortedefinido por :

Tenso mdia em ∆A:


19/318

E

A

Funo do ponto P e da orientao danormal .

Tenso normal.


Tenso tangencial ou de corte.

nPT nPT −−= ,,


20/318

E

A


Matriz das tenses em P:

P


21/318

E

A

Face z Face z

Face y Face y

P

z z

σzz

σxx σyyτyx

τxz

τxy

τyz

τzxτzy


• Sentido da normal: do interior para o exterior do elemento.• Faces positivas e faces negativas: sentido da respectiva normal.

• Tenso normal: (+) no sentido da normal traco; () no sentido oposto normal compresso.• Tenses de corte τij: i direco da normal que define o plano no qual a tenso actua;

j direco da tenso de corte. A tenso de corte positiva se o seu sentido coincide como sentido positivo do eixo coordenado em questo.

Face x Face x

x x

y y


22/318

E

A

• Unidades: F/L2; N/m2 (Pa).

• O estado de tenso de um corpo representado por um campo tensorial [ ].),,( z y xσ

Exemplo: campo de tenses na fuselagem de um helicptero:



23/318

E

A

• Em cada ponto P, a intensidade e a direco do vector tenso resultante dependem daorientao do plano de corte.

• possvel mostrar que, a partir das nove componentes da tenso, se pode determinar ovector tenso resultante nesse mesmo ponto para qualquer plano perpendicular ao versor de cossenos directores {l,m,n}T.



24/318

E

A

1=−−−

Considerese o tetraedro elementar PABC, em equilbrio sob a aco das foras devolume correspondentes sua massa e das foras de tenso que actuam em cada umadas respectivas faces.

xT C

zEquao de equilbrio segundo :

Fora por unidade de volume{ }T nmln ,,=

r


3 xo zxo yxo xxo xo

P

=

z

y

T T T

r

P

A

B

x

y

Volume

0

0

0

=−−−

=−−−

=−−−

zzo yzo xzo zo

zyo yyo xyo yo

zxo yxo xxo xo

n Am Al AT A

n Am Al AT A

n Am Al AT A

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ Fazendo h→0:

Equao de equilbrio segundo :

Equao de equilbrio segundo :

rea da face ABC


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E

A

zz yz xz z

zy yy xy y

zx yx xx x

nmlT

nmlT

nmlT

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ

++=

++=

++=

Equao de Cauchy:


{ } [ ]{ }

=

==

n

m

T

T nT

zz yz xz

zy yy xy

zx yx xx

z

y

x

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ

σ

AugustinLouis Cauchy (17891857)


26/318

E

A

P

{ }T nmln ,,=r

=

z

y

x

T

T

T

T r

σσσσσσσσ

ττττττττ

znT

r

⋅=σ z y x nT mT lT ++=σ

nlmnlmnml xz yz xy zz yy xx τ τ τ σ σ σ σ 222222 +++++=

{ } [ ]{ }nT σ =∧

222 τ σ +=T

Componentes σ e τ:


Ao

{ }T cccc nmln ,,=r

x

y

Orientao da tenso de corte:

=+

=+

=+

zc

yc

xc

T nn

T mm

T ll

τ σ

τ σ

τ σ

−=

−=

−=

τ

σ τ

σ τ

σ

nT n

mT m

lT l

zc

y

c

xc

τ σ +=T


27/318

E

A

1.2.1 Num determinado ponto P de um corpo material, a tenso resultante para um plano decorte perpendicular ao eixo dos = {1,0,0}T. Determine as componentes Cartesianas σzz,τ

zx

e τzy

.

1.2.2 Para o caso considerado no problema anterior, determine a componente normal (σ) e acomponente de corte (τ) da tenso no ponto mesmo ponto P e para o plano de corte indicado.


1.2.3 No ponto P≡

(1, 1, 1) de um corpo material, para um plano de corte (α) definido pelaequao x+yz1=0, a tenso resultante correspondente = {3,2,−1} T. Determine, no ponto Pe para o plano de corte considerado, as componentes normal e tangencial da tenso.


28/318

E

A

1.2.5 O estado de tenso num ponto de um corpo material definido pelas seguintescomponentes Cartesianas:


a) Determine a componente normal e a componente de corte do vector tenso resultantepara um plano cuja normal est inclinada de α = 68 e β= 35 em relao aos eixos x e y,respectivamente.

b) Determine os cossenos directores da tenso de corte no plano considerado.

E


29/318

E


E


30/318

E

:

• Equaes de equilbrio.

• Lei de transformao das tenses.

• Tenses principais.

• Resolu es dos roblemas 1.2.7 1.2.8 e 1.2.9 alneas a e b .


Aula #3

E


31/318

E

A

O estado de tenso tem de ser compatvel com as condies gerais de equilbrio (esttico oudinmico) do corpo em questo.

Variao da tenso ao longo do corpo

dx

P

x dx xx xx∂

∂+ σ

σ xxσ


Equilbrio segundo a direco 0x

0=+

−

∂

∂++

−

∂

∂++

−

∂

∂+ dxdydzF dxdydz

zdxdzdy

ydydzdx

x x zx

zx zx yx

yx

yx xx xx

xx τ τ

τ τ τ

τ σ σ

σ

E


32/318

E

A

0

0

=+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

=+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

y

zy yy xy

x zx yx xx

F z y x

F

z y xτ σ τ

τ τ σ

Equaes de equilbrio esttico. Tm de sersatisfeitas para todos os estados de tensoadmissveis.

Aplicando as equaes de equilbrio segundo as direces 0y e 0z:


0=+∂

+

∂

+

∂ z

zz yz xz F z y x

No caso dinmico:

[ ]dt

vd F ρ σ =+div

[ ] ⇔=+ 0div F σ 0=+⋅∇ F σ 0=+∂

∂⇔ i

j

ijF

x

σ

E


33/318

E

A

Equilbrio de momentos segundo 0y:


022222222 =

∂

∂

−−

∂

∂

+−

∂

∂

−+

∂

∂

+

dxdzdy

dx

x

dxdzdy

dx

x

dzdydx

dz

z

dzdydx

dz

z xz xz xz xz zx zx zx zx

τ τ

τ τ

τ τ

τ τ xz zx τ τ =

zy yz

yx xy

τ τ

τ τ

=

=

Procedendo de forma idntica para 0x e 0z: A matriz de tenses simtrica e tem6 componentes independentes:

[ ]

=

zz yz xz

zy yy xy

zx yx xx

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ

σ

E


34/318

E

A

Para quaisquer dois elementos de superfcie que se considerem num mesmo ponto, aprojeco da tenso em um deles sobre a normal ao outro igual projeco da tensoneste sobre a normal ao primeiro:

nnPT nnPT ⋅=⋅ ',',rr


E


35/318

E

A

{ }T x x x nmli ''' ,,'= Cossenos directores de x em (x,y,z)

{ }T y y y nml j ''' ,,'= Cossenos directores de y em (x,y,z)

{ }T z z z nmlk ''' ,,'= Cossenos directores de z em (x,y,z)

35

Aula #3

Matriz de transformao de (x,y,z) em (x,y,z):

{ }T x x x nmli ''' ,,'=

Pedro Ponces Camanho

E


36/318

E

( ) '.',''

iiPT x xrrr

=σ

A

k n jmili x x x

rrrr

'''' ++=

'ir


[ ]{ }

( )

( ) k nml

jnml

inmliiPT

zz x yx x xz x

zy x yy x xy x

zx x yx x xx x

r

r

rrr

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ σ

'''

'''

''''',

++

+++

+++==

zx x x yz x x xy x x zz x yy x xx x x x lnnmmlnml τ τ τ σ σ σ σ ''''''2

'

2

'

2

''' 222 +++++=

E


37/318

A

( )

( )

( )( )

( ) '.','.','.',

'.',

'.',

''

''

''

''

''

ik PT

k jPT jiPT

k k PT

j jPT

x z

z y

y x

z z

y y

rrr

rrr

rrr

rrr

rrr

=

=

=

=

=

τ

τ τ

σ

σ

'i

r


E


38/318

A

T

[ ] [ ][ ][ ]T ll σ σ ='


[ ] z z z

y y y

x x x

zz zy zx

yz yy yx

xz xy xx

z z z

y y y

x x x

z z y z x z

z y y y x y

z x y x x x

nml

nml

nml

nml

=

=

'''

'''

'''

'''

'''

'''

''''''

''''''

''''''

..'

σ τ τ

τ σ τ

σ τ τ

τ σ τ σ

E


39/318

A

Funes escalares das componentes Cartesianas da tenso que so independentes dosistema de eixos coordenados considerado.

''''''1 z z y y x x zz yy xx I σ σ σ σ σ σ ++=++=

222

2 zx yz xy xx zz zz yy yy xx I τ τ τ σ σ σ σ σ σ =−−−++=

1 invariante:

2 invariante:


2

''

2

''

2

'''''''''''''' x z z y y x x x z z z z y y y y x x

τ τ σ σ σ −−−++

''''''

2

''''

2

''''

2

''''''''''

222

3

2

2

z y z x y x y x z z z x y y z y x x z z y y x x

yz xz xy xy zz xz yy yz xx zz yy xx I

τ τ τ τ σ τ σ τ σ σ σ σ

τ τ τ τ σ τ σ τ σ σ σ σ

+−−−=

=+−−−=

Qualquer funo que inclua qualquer um dos invariantes das tenses tambm invariante.Por exemplo:

( ) ( ) ( ) ( ) 2

2

1

222222626 I I zx yz xy xx zz zz yy yy xx −=+++−+−+− τ τ τ σ σ σ σ σ σ

3 invariante:

E


40/318

A

Condio de tenso principal:

nT r

r

σ =


{ } [ ]{ }nT σ =Aplicando a equao de Cauchy,

E


41/318

A

Este um sistema de trs equaes lineares e homogneas nas


, , .

que o sistema admita soluo para alm do vector nulo, odeterminante deve ser nulo, isto :

E


42/318

A

Desenvolvendo o determinante:


Tratase de uma equao do terceiro grau em σ, cujas razes σ1, σ2 e σ3 so as trs tensesprincipais no ponto considerado. Por conveno: σ1 > σ2 > σ3.

Substituindo cada uma dessas tenses principais nas equaes (slide #38) e resolvendo osistema em relao a (l,m,n) obtmse os vectores que definem as direces principaiscorrespondentes 1, 2, 3 respectivamente.


43/318

E


44/318

A

As componentes da tenso normal e de corte so dadas por:

⇒⋅== nT rr

σ σ

⇒−= 222 σ τ T


E


45/318

A

Lei da transformao das tenses (relativa ao triedro principal):


Invariantes das tenses:

E


46/318

A

1.2.7 Num determinado referencial global Oxyz, as componentes cartesianas da tenso numponto P so as seguintes:


,

eixos x, y, z so definidas pelos seguintes ngulos:

E


47/318

A

1.2.8 O estado de tenso num ponto P definido pelas seguintes componentes Cartesianas:


, , .

b) Determine as tenses principais no ponto considerado, bem como as respectivas direces.

E


48/318

A

1.2.9 O campo das tenses num corpo de material elstico definido, na ausncia de foras devolume, pelas seguintes componentes cartesianas em cada ponto:


a) Determine a, b, c de modo que o campo das tenses acima definido seja compatvel comas equaes da teoria da elasticidade;

b) Determine as tenses principais no origem das coordenadas, bem como as respectivasdireces.

E


49/318


E


50/318

:

• Valores mximos e mnimos das tenses normais e de corte.

• Tenses octadricas.

• Estado plano de tenso.

• Resolu o das alneas c e d do roblema 1.2.9.


Aula #4

E


51/318

A tenso normal para um plano de corte qualquer, definido por ={l,m,n}T, em que l, m e n soos cossenos directores de relativamente ao triedro principal, calculada como:

232221),,( nmlnml σ σ σ σ ++=

O problema em anlise corresponde determinao dos valores estacionrios da funo σ ,considerando que:


01:),,( 222 =−++= nmlnmlg

Mtodo dos multiplicadores de Lagrange:

( ) ( ) ( ) 0,,,,,, =∧∇=∇ nmlgnmlgnml λ σ

E


52/318

Da equao anterior resulta:( )

( )

( )

=−++

=−

=−

=−

01

0

0

0

222

3

2

1

nml

n

m

l

λ σ

λ σ

λ σ


Solues admissveis do sistema de equaes:

Tenso normal mxima.

Tenso normal mnima.

E


53/318

A tenso de corte para um plano de corte qualquer, definido por ={l,m,n}T, em que l, m e n soos cossenos directores de relativamente ao triedro principal, calculada como:

( )( )23

2

2

2

1

22

3

22

2

22

1

2

22

3

22

2

22

1

22

,,

σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ τ

nmlnml

nmlnml

++−++=

=−++=


O problema em anlise corresponde determinao dos valores estacionrios da funo ,

considerando que:

01:),,( 222

=−++= nmlnmlg

Mtodo dos multiplicadores de Lagrange:

( ) ( ) ( ) 0,,,,,,2 =∧∇=∇ nmlgnmlgnml λ τ

τ

E


54/318

Da equao anterior resulta:

( )( )( )

=−++

=−−

=−−

=−−

01

02

02

02

222

3

2

3

2

2

2

1

2

1

nml

n

m

l

λ σσ σ

λ σσ σ

λ σσ σ



Mnimo de 2τ

Mnimo de

2

τ Mnimo de 2τ

E


55/318



=0

( )232

2

2

1

22

3

22

2

22

1

22 σ σ σ σ σ σ τ nmlnml ++−++=

Substituindo em:

Resulta:

Valor estacionrioda tenso de corte:

E


56/318

l m n σσσσ ττττ

0 0 + 1 σσσσ3 0

0 + 1 0 σσσσ2 0Mínimos

de ττττ

+ 1 0 0σσσσ1

0

02

1±

2

1±

( )

2

32 σ σ +

( )

2

32 σ σ −

1± 0

1±

( )31 σ σ +

( )31 σ σ −

Máximos


2

2

2

2

21±

21± 0 ( )

2

21 σ σ + ( )2

21 σ σ −

Dado que σ1 > σ2 > σ3 o valor mximo de τ para:

E


57/318

θ τ θ σ σ σ σ

σ 22cos22

'' xy

yy xx yy xx

x x sen+−

++

=

P

x

z

y

x ’

y ’

z ’


( ) ( )

( )θ τ θ

σ σ τ

θ τ θ

σ σ σ σ

σ

2cos22

22cos22

''

''

xy

yy xx

y x

xy

yy xx yy xx

y y

sen

sen

+−

−=

−

−

−

+

=

As tenses de corte sero nulas quando for satisfeita a seguinte equao : ( ) yy xx xy

tg σ σ

τ

θ −=

2

2

Dado que ( )π θ θ += 22 tgtg existem duas direces mutuamente perpendiculares

0= xyτ para as quais

E


58/318

00 '''' =∂

∂∧=

∂

∂

== p p

y y x x

θ θ θ θ θ

σ

θ

σ

Logo, as duas direces definidas por correspondem s componentes normais mxima emnima no plano 0xy:

pθ


2

2

2

2

2

1

22

22

xy

yy xx yy xx'

xy

yy xx yy xx'

τ

σ σ σ σ

σ

τ σ σ σ σ

σ

+

−−

+=

+

−+

+=

Tenses principais secundrias no plano 0xy.

E


59/318

Estado de tenso isotrpico ou estado de tenso hidrosttico:

[ ] { } [ ]{ } { } { }nn p pn pm

pl

nT p

p

p

∀=∴−=

−

−

−

==

−

−

−

= 0;

0000

00

τ σ σ


Para um estado de tenso arbitrrio: [ ]

=

zz yz xz

zy yy xy

zx yx xx

σ τ τ

τ σ τ τ τ σ

σ

Tenso mdia ou tenso hidrosttica:

[ ] ( ) ( ) 13213

1

3

1

3

1tr

3

1 I zz yy xxm =++=++== σ σ σ σ σ σ σ σ

E


60/318

Tenses de desvio:

A matriz das tenses pode ser escrita como:

σ σ σ +=


−

−

−

m zz zy zx

yzm yy yx

xz xym xx

σ σ τ τ

τ σ σ τ

τ τ σ σ

[ ]

−

−

−

+

=

=

m zz zy zx

yzm yy yx

xz xym xx

m

m

m

zz zy zx

yz yy yx

xz xy xx

σ σ τ τ

τ σ σ τ

τ τ σ σ

σ

σ

σ

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ

σ

00

00

00

m

m

m

σ

σ

σ

00

00

00

sta o e tens o rost t co. sta o e tens o e esv o.

(variao de volumesem distoro)

[ ] 0tr'1 == d I σ

(Distoro semvariao de volume)

E


61/318

Uma face octadrica caracterizada por um versor que tem o mesmo ngulo relativamentea cada um dos eixos pricipais de tenso.

σ3

σ2

( )nmln ,,=rz 1

8 planos octadricos:


P

x 1

1y 1

1222

=++ nml

3

1;

3

1;

3

1±=±=±= nml

Cossenos directores de relativamente ao sistema de eixos principal de tenso:

E


62/318

Tenso normal nos planos octadricos

Tenso de corte nos planos octadricos (tenso de corte octadrica)


(slide #41)

E

E


63/318

E

• Foras de volume e foras de superfcie, todas paralelas ao plano Oxy.• As nicas componentes Cartesianas da tenso que so eventualmente no nulas so σxx,σyy, τxy , isto , σzz = τxz = τyz =0.

Exemplo: placa solicitada por foras no prprio plano:


Neste caso:

E

E


64/318

Em qualquer ponto, a direco coordenada Oz uma direco principal de tenso, qualcorresponde sempre uma tenso principal nula.

Qualquer plano de corte perpendicular ao plano da placa fica identificado pelo ngulo θque a respectiva normal faz com a direco do eixo Ox


E

E


65/318

A tenso de corte τ anulase para um ngulo θp tal que:

Atendendo a que tg(2θp)= tg(2θp+π), existem duas direces mutuamente perpendicularesque satisfazem a condio anterior. Essas so as duas direces principais de tenso no plano(x,y), as quais correspondem s tenses principais σ1 e σ2 no ponto considerado.

Substituindo o valor do ngulo θp para a componente normal σ, obtmse:


E

A


66/318

1.2.9 O campo das tenses num corpo de material elstico definido, na ausncia de foras devolume, pelas seguintes componentes cartesianas em cada ponto:


c) Nesse mesmo ponto (origem das coordenadas), determine o valor da tenso de cortemxima, e o plano e a direco segundo os quais actua.

d) Identifique os planos octadricos na origem e calcule as respectivas tenses octadricas(normal e de corte).

E


67/318


E


68/318

:

• Construo de Mohr.

• Equaes de equilbrio em coordenadas cilindricas.

• Problema 1.2.10


E

C


69/318

( )32221223222221223

22

21

2

σ σ σ σ σ σ τ

σ σ σ σ

nmlnml

nml

++−++=

++=

σ1222 =++ nml

2221 nlm −−= 3

22

21

2 σ σ σ σ nml ++= ( ) 221

22 σ σ σ σ

−

−−−=

ln


23

( )( )2

321312

22

2

32

22

−+−−=+

+−

σ σ σ σ σ σ τ

σ σ σ l

( )( )2

321312

2

2

−+−−

σ σ σ σ σ σ l

Equao de uma circunferncia

Centro,2

32 σ σ + Raio,

E

C


70/318


1. Marcar sobre o eixo das abcissas os pontos P1, P2 e P3, de tal modo que:

2. Tomando os segmentos P1P2, P2P3 e P3P1 como dimetros, desenhar os trs crculos deMohr com centros nos pontos mdios C3, C2 e C1, respectivamente.

3. Pelos pontos P1, P2 e P3 traar as rectas P1T1, P2T2 e P3T3, respectivamente, perpendicularesao eixo das abcissas.

E

C


71/318


3. Marcar o ngulo α=arcos(l) a partir da vertical P1T1 e desenhar a recta P1Q 3Q 2, que

intersecta os crculos de Mohr (2) e (3) nos pontos Q 2 e Q 3.

4. Com centro no ponto C1, desenhar o arco de circunferncia Q 2QQ 3 , com raio C1Q 2.

5. A partir da vertical P3T3, marcar o ngulo γ=arcos(n) e desenhar a recta P3S1S2 que

intersecta os crculos de Mohr (1) e (2) nos pontos S1 e S2, respectivamente.

6. Com centro no ponto C3, desenhar o arco de circunferncia S1QS2 , com um raio igual a C3S1.

E

C


72/318


7. A interseco dos dois arcos de circunferncia define o ponto Q representativo da tensopara o plano considerado.

As coordenadas do ponto Q no plano (σ,τ) so tais que a abcissa igual componente normalda tenso e a ordenada igual componente tangencial, para o plano de corte definido por

l=cos(α) , m=cos() , n=cos(γ):

E

C


73/318

Estados de tenso possveis

2

31σ τ −=máx

ττττττττmáxmáx

ττττττττmáxmáx (no plano Oxy)(no plano Oxy)

21 σ σ ≠Neste caso: 0

3 =σ e


σσσσσσσσ

ττττττττ

σxx

σyy

σ1σ2

ττττττττmáxmáx (no plano Oxy)(no plano Oxy)

ττττττττmáxmáx 11

22

33

E

C


74/318

σ σ


σ 22cos22

''

xx yy

xy

yy xx yy xx

x x sen

−=

+−

++

=

σ σ


σ 22cos22

''

yy xx

xy

yy xx yy xx

x x sen

−−

+−

=+

−

ou:


2'' xy y x

2'' xy y x

Quadrando e somando as duas expresses anteriores obtmse, aps simplificao:

2

2

2

''

2

''22

xy

yy xx

y x

yy xx

x x τ σ σ τ σ σ σ +

−=+

+−

E

C


75/318

Equivalente equao de uma circunferncia no plano (σ,τ)σ,τ)σ,τ)σ,τ)σ,τ)σ,τ)σ,τ)σ,τ) , isto ;

( ) 22''

2

'' ba y x x x =+− τ σ

20

yy xxC a

σ σ +== Absissa do centro


2

2

2 xy

yy xx Rb τ σ σ +

−== Raio da circunferncia

E

C


76/318


20

yy xx

C a

σ σ +

==

2

2

2 xy

yy xx Rb τ

σ σ +

−==

E

C


77/318

A tenso normal σ e a tenso de corte τ para um plano oblquo qualquer definido pelo nguloθ, relativamente direco principal 1 so dadas pelas expresses seguintes:


Estas duas componentes podem ser

interpretadas como sendo as coordenadasdo ponto D sobre o crculo de Mohrdesenhado num diagrama (σ,τ), conformeilustrado na figura.

O centro do crculo de Mohr o ponto Csobre o eixo das abcissas, distncia(σ1+σ2)/2 da origem do diagrama, sendo orespectivo raio igual semidiferena dastenses principais, isto , igual a (σ1σ2)/2.

E

C


78/318


As tenses normais positivas indicam traco e as tenses de corte so consideradaspositivas quando definem um binrio que tende a fazer rodar o elemento sobre queactuam no sentido do movimento dos ponteiros do relgio. o caso das tenses decorte que actuam nas faces bc e ad do elemento abcd representado na figura.

E

C


79/318


As tenses normais positivas indicam traco e as tenses de corte so consideradaspositivas quando definem um binrio que tende a fazer rodar o elemento sobre queactuam no sentido do movimento dos ponteiros do relgio. o caso das tenses decorte que actuam nas faces bc e ad do elemento abcd representado na figura.

E

C


80/318


medida que o ngulo θ varia desde o valor θ=0 at θ =π/2 o ponto D deslocase de P1para P2, de tal forma que a parte superior do crculo de Mohr representa as tensespara todos os valores de θ compreendidos entre aqueles dois limites. A metade inferiordo crculo de Mohr representa as tenses para valores do ngulo θ compreendidosentre θ = π /2 e θ =0.

Prolongando o raio CD at ao ponto D, isto , se se considerar o ngulo π +2θ em vezde 2θ, obtmse as tenses que actuam no plano BC perpendicular a AB. Isso mostraque as tenses de corte em dois planos mutuamente perpendiculares sonumricamente iguais.

E

C


81/318


A construo representada na figura pode tambm ser utilizada para determinar as

direces principais de tenso no ponto considerado, a partir das tenses σxx, σyy eτxy. Com efeito, se forem conhecidas as componentes da tenso relativamente aosistema de eixos Oxy, ficam perfeitamente identificados os pontos D e D, quedefinem um dimetro do crculo de Mohr.

Traando depois a respectiva circunferncia com centro no ponto C, obtmse ospontos P1 e P2 sobre o eixo das abcissas, cujas distncias origem definem asamplitudes das duas tenses principais. O ngulo 2θ, que define a orientao doseixos principais de tenso, dado pela inclinao do dimetro DD em relao aoeixo das abcissas.

E

C


82/318


E

C


83/318


E

C


84/318

Traco uniaxial

[ ]

=

00

0 xxσ σ σ

τ

Py σxx


[ ]

=

0

0

yx

xy

τ

τ σ

Corte puro

x

σ

τ

P

x

y τxy

τyx

E

C


85/318

Estado hidrosttico (isotrpico) de tenso

τ


[ ]

−

−

= σ

σ

σ 0

0σ

P

x

y

σ

σ

σ

E

E


86/318

Coordenadas cilndricas r, θ e z


E

E

θ


87/318


Em cada ponto P considerase o triedro ( ) zr uuu

rrr

,, θ

r ur

θur

zur

z

P

z

0


As componentes da tenso so:

z z zr rzr r zzrr , , , , , θθθθθθ τ=ττ=ττ=τσσσ

rθ

x y

E

E


88/318

zr r rr τ τ σ θ


=

zz zrz

zr

σ τ τ

σ σ

θ

θ θθ θ

E

E


89/318


0

( ) dzrd dzd dr r dr r

rr rr

rr θ σ θ σ

σ −+

∂

∂+

Eliminando os termos com termos infinitsimais superiores a 3 ordem obtmse

rr Contribuio de

dzd rdr r r

rr rr θ σ σ

∂

∂+

E

E


90/318


0

θθ Contribuio de

θ σ θ

θ θ

σ σ θθ θθ θθ rdrdzd

r

d drdzsend

−≈

∂

∂+−

22

E

E


91/318


0

θ r Contribuio de

dzrdrd r

d drdzd r r θ

θ

τ θ θ

θ

τ θ θ

∂

∂≈

∂

∂ 1

2cos

E

E


92/318


0

zr τ Contribuio de

( ) θ τ

θ τ

drdzd z

r dr rd dz z

zr zr

∂

∂≈

∂

∂

Contribuio das foras por unidade de volume:

θ rdrdzd F r

E

E


93/318

01

=+−

+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂r

rr zr r rr F r zr r

θθ θ σ σ τ

θ

τ σ

01

021

=++∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

=++

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

zrz zz zrz

r zr

F r zr r

F

r zr r τ σ

θ

τ τ

τ τ

θ

σ τ

θ

θ θ θ θθ θ :


z z zr rzr r jiij ji θ θ θ θ τ τ τ τ ===∀= ;;,

Da lei de reciprocidade das tenses:

E

E

No caso de existir simetria axial relativamente ao eixo 0z no haver variao do estado


94/318

No caso de existir simetria axial relativamente ao eixo 0z, no haver variao do estadode tenso com a coordenada θ. Neste caso, as equaes de equlbrio so dadas por:

0

τ∂

=+σ−σ+∂τ∂+

∂σ∂

θ

θθ

z

r rr rzrr F

r zr


0=+τ+∂

σ∂+∂

τ∂

∂

zrz zzrz F r zr

z

E

1.2.10 O campo das tenses num corpo slido elstico homogneo e isotrpico definido


95/318

1.2.10 O campo das tenses num corpo slido elstico, homogneo e isotrpico definidopelas seguintes componentes:

As restantes componentes do campo das tenses so nulas.

a) Mostre que tal campo de tenses est necessariamente associado a um campo de foras


.

b) Determine as tenses principais nos pontos e, e as respectivas direces.

c) Desenhe os crculos de Mohr correspondentes ao estado de tenso no ponto.

d) volta do ponto B, desenhe um paraleleppedo elementar de faces paralelas aos planosCartesianos e, sobre cada uma dessas faces, represente as tenses correspondentes.

E


96/318


E

:


97/318

• Anlise das deformaes.

• Deslocamento e deformao linear.

• Distoro ou deformao de corte.

• Com onentes Cartesianas da deforma o.


• Deformao segundo direces arbitrrias.

• Leis de transformao das deformaes.

• Problemas 2.2.1 e 2.2.2.

Aula #6

E

E

.


98/318

Oy

z

V’

V

P

P’

( )

( )wvuuPP

z y xOP

z y xOP

,,'

',',''

),,(

==

=

=

r

z zw y yv x xu −=−=−= ';';'

x


Vector deslocamento de um ponto:

Campo de Deslocamentos:

Assumese que as funes (u, v, w) tm valores muito pequenos, que variam de uma formacontnua com as coordenadas x, y, z e que as suas derivadas so tambm quantidades muitopequenas.

E

E

.


99/318

Forma deformadaForma no deformada



E

E

.


100/318


ur

0ur


0' uur r r

rrrrr

−=−=∆

Em notao indicial:

E

E

.


101/318

Gradiente do campo de deslocamentos


∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂

∂

∂−

∂

∂

+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

=

02

1

2

1

2

10

2

1

2

1

2

10

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

,

y

w

z

v

x

w

z

u

y

w

z

v

x

v

y

u x

w

z

u

x

v

y

u

z

w

z

v

y

w

z

u

x

w

y

w

z

v

y

v

y

u

x

v x

w

z

u

x

v

y

u

x

u

u ji

Matriz das deformaes Matriz das rotaes

[ ]ε [ ][ ]ur

∇ = +

E

E

.


102/318

Tensor das deformaes: Tensor das rotaes:

( )i j jiij

uu,,

2

1+=ε ijij jiu ε +=,


Deformao Rotao de corpo rgido

jij jijii dxdxuu ε ++=

E

E


103/318

• Unidades: adimensional.

• O estado de deformao de um corpo representado por um campo tensorial [ ].),,( z y xε

Exemplo campo de deformaes num estabilizador vertical de um avio:


ε11Load

E

E


104/318

O

y

z

PP’

V’Q’V

Q '''; dsQPdsPQ ==


Deformao linear mdia ou extenso mdia do segmento PQ:

Deformao linear, ou extenso, em P segundo a direco PQ definida por ={l,m, n}T:

No casos particulares das direces coordenadas, tmse as trs componentes cartesianaslineares da deformao em P:

E

E

A deformao de corte ou distoro de um elemento rectangular ABCD traduz o


105/318

A deformao de corte ou distoro de um elemento rectangular ABCD traduz oescorregamento relativo de planos paralelos uns sobre os outros:

y


Na situao em questo, em que as duas direces so paralelas a x e y, temse:

x

E

E

yz


106/318

yz


xNo caso dum elemento tridimensional, a deformao de corte ou deformao angular traduzida por trs componentes, correspondentes s distores dos trs diedrosconcorrentes no vrtice A. Obtmse assim as trs deformaes de corte no pontoconsiderado:

E

E


107/318

AB B A xx

−=

''ε

Extenso segundo 0x:


( ) ( )[ ] ( ) ( )

222

2

,,,,''

∂

∂

+

−

∂

∂

++=

∂

∂

+−++= dx x

v y xudx

x

u y xudxdx

x

v y xu ydx xudx B A

( ) dx x

u y xu

∂

∂+= ,

E

E


108/318


dx x

udx

x

v

x

u

x

u B A

∂

∂+≈

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+= 121''

22

x

u

dx

dxdx x

u

AB

AB B A xx

∂

∂=

−

∂

∂+

=−

=

1''

ε

E

E


109/318

β α γ += xy

Distoro no plano xy:


x

v

dx x

udx

dx

x

v

∂

∂

≈

∂

∂+∂

∂

=≈ α α tan y

u

dy y

vdy

dy y

u

∂

∂

≈

∂

∂+

∂

∂

=≈ β β tan x

v

y

u xy

∂

∂

+∂

∂

=γ

E

E

Considerando as trs direces cartesianas Oxyz, obtmse as seis componentes da


110/318

y , pdeformao no ponto considerado (trs componentes lineares e trs componentes decorte):


Deformaes de corte de engenharia ( )

E

E

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂=

wvuzzyyxx ,, ε ε ε


111/318

Deformaes de corte tensoriais ou componentes Cartesianas da matriz de deformaes:

( )

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂=

∂∂∂+=

z

u

x

w

y

w

z

v

x

v

y

u

z y xuu

zx yz xy

zz yy xx

i j jiij

2

1,

2

1,

2

1

,,

2

1,,

ε ε ε

ε


E

E


112/318

Considerese um segmento PQ, segundo umadireco arbitrria ={l,m, n}T.

Tomando os comprimentos do segmento PQ,antes e depois da deformao, pode escreverse:


com:

( )

( )( ) z y xw z z

z y xv y y

z y xu x x

,,'

,,'

,,'

+=

+=

+=

E

E

Desprezando termos de 2 ordem nas derivadas dos deslocamentos resulta:


113/318

Da definio de deformao linear:


Desprezando os termos de 2 ordem em ε resulta:

( ) [ ]{ }( ) { }nnnP ⋅=⇔ ε ε r

,

E

E


114/318

Consideremse agora dois segmentos de comprimentos

infinitesimais, PQ 1 e PQ 2, segundo duas direcesortogonais entre si 1 e 2. As componentes Cartesianasdaqueles dois segmentos, aps a deformao, podem


E

E

{ }T


115/318

O ngulo θ pode calcularse recorrendo seguinte

{ }

{ }T

T

dzdydxQP

dzdydxQP

'2

'2

'2

'2

'

1

'

1

'

1

'

1

,,'

,,'

=

=


equao:

( ) ( ) 'cos11'cos'''' 2211'

2

'

1

'

2

'

1 θ ε ε θ ++==⋅ dsdsQPQPQPQP

( )( )2121

'

2

'

1

11'''cos

ε ε θ

++⋅=

dsdsQPQP

E

E


116/318

Desprezando os termos de segunda ordem nas

derivadas dos deslocamentos, de acordo com aaproximao linear das deformaes infinitesimais,obtmse:


Considerando: 2,1'

2

'

2

sin'cos nnγ θ π

θ π

θ =−≈

−=


117/318

E

E

Considerese a seguinte matriz de transformaodo sistema de eixos 0xyz no distema de eixos 0xyz:


118/318

As componentes cartesianas da deformao referidas ao sistema de eixos 0xyz, podem

ser calculadas em funo do estado de deformao no sistema 0xyz, recorrendo s leisde transformao das deformaes, que decorrem directamente das expressesanteriormente:

do sistema de eixos 0xyz no distema de eixos 0x y z :


[ ] [ ][ ][ ]T ll ε ε ='ou:

E

E

Comparando estas equaes com as equaes homlogas referentes s leis de transformaodas tenses, verificase que existe uma semelhana notvel entre os dois tipos de equaes.


119/318

, q p q

Com efeito, se se definir uma correspondncia do tipo:


As equaes de transformao em ambos os casos so idnticas duas a duas. E este tipo

de semelhana importante, na medida em que da decorre imediatamente que algunsdos resultados que foram obtidos anteriormente para as tenses podem ser agoratransportados directamente para a anlise das deformaes. o caso, por exemplo, dasdeformaes principais e das direces principais de deformao

E

2.2.1 O campo dos deslocamentos num meio material definido pelas seguintes componentes:


120/318

a) Determine o campo das deformaes que lhe est associado.


b) Determine a deformao linear ε, no ponto P de coordenadas (0, 1, 1), segundo a direco

igualmente inclinada relativamente aos trs eixos coordenados, isto :


121/318

E


122/318


E

:

• Deformaes principais.


123/318

• Invariantes das deformaes.

•Deformaes principais secundrias.

• Deforma o mdia e deforma o desvio.


• Deformaes sobre um plano.

• Valores mximos da deformao de corte

• Deformaes octadricas.

• Problema 2.2.5.

Aula #7

E

D

Em cada ponto existem pelo menos trs direces mutuamente ortogonais definidas pelosversores (1,2,3), para as quais so nulas as deformaes de corte, sendo estacionrios(mximos ou mnimos) os valores das respectivas deformaes lineares. Essas direces so as


124/318

direces principais de deformao, definidas por um sistema de trs equaes do tipo:


Onde as deformaes principais ε1 ≥ ε2 ≥ ε3 so as razes da equao caracterstica do terceirograu:

E

D

Relativamente ao triedro ortonormal das trs direces principais de deformao (1, 2, 3)as equaes que exprimem a extenso linear segundo uma direco arbitrria ={l,m,n}T e adeformao de corte segundo duas direces ortogonais ={l,m,n}T e ={l’,m’,n’}T so


125/318

{ } { }dadas pelas seguintes expresses:

=0 =0 =0


=0 =0 =0

E

Invocando a analogia existente entre o tensor das deformaes e o tensor das tenses,

podemos referir a existncia dos seguintes trs invariantes das deformaes:


126/318

O primeiro invariante , 1, tambm chamado Invariante Principal ou Invariante Linear, tem


O volume do paralelippedo, antes e depois da deformao, dado pelas seguintes expresses:

E

A variao de volume por unidade de volume (coeficientede deformao volumtrica) dado pela seguinte


127/318

expresso:

ou se a des rezando uantidades infinitamente e uenas de


ordens superiores primeira:

E

D

A noo de deformao principal secundria num plano definese de forma idntica ao quefoi feito para as tenses. Considerando uma rotao θ do triedro Oxyz em torno do eixo doszz, obtmse as seguintes equaes de transformao para as deformaes:


128/318


A deformao de corte γxy anulase para um ngulo θp dado por:

As solues desta equao definem duas direces mutuamente perpendiculares, que soas direces principais secundrias de deformao, 1 e 2 no plano xy. As deformaesprincipais secundrias vm ento:

Valores mximo (ε1) e mnimo (ε2’) dasextenses no plano xy.

E

D

Definese deformao mdia num dado ponto como a quantidade ε, calculada atravs da

relao:


129/318

As deformaes desvio, , so dadas por:


Qualquer que seja o estado de deformao num ponto material P pode sempre escreverse:

E

D

Onde [ε] representa um estado de deformao isotrpico com deformao εm e distorsonula e [ε ] a matriz das deformaes de desvio ou matriz das distores representando


130/318

nula, e [εd ] a matriz das deformaes de desvio, ou matriz das distores, representandoum estado de distoro pura, sem variao de volume ( 1=0).

D


Deformao ou extenso linear sobre um planoπ a deformao linear επ segundo a direcoda respectiva normal ={l,m,n}T, isto :

E

D

Considerese agora uma direco qualquer'={l',m',n}T sobre o plano π. Definesedeformao angular, deformao de corte


131/318

ou distoro sobre o plano π segundo adireco deformao angular γ

π' entre a

normal e a direco , isto :


A deformao γπ' traduz o escorregamento relativo dos planos paralelos a π, uns sobre osoutros, segundo a direco :

E

D


132/318

Para uma segunda direco "= {l",m",n}Ttambm sobre o plano π e perpendicular a :


O escorregamento relativo e" de π' sobre π, na direco " :

O escorregamento relativo total () entre os dois planos π e π ' dado por:

A este valor corresponde a deformao de corte ou distoro resultante γπ sobre o plano π

dada por:

Esta deformao de corte responsvel pela transformao do rectngulo ABCD noparalelogramo ABCD.


133/318

E

D


134/318

A direco segundo a qual actua a deformao de corte γπ, isto , a direco segundo a qual


,por expresses semelhantes s das tenses:

E

Os resultados que foram encontrados para as tenses, relativamente aos valores mximos emnimos de τ, podem agora ser generalizados para as deformaes, tendo em conta acorrespondncia atrs referida entre as tenses e as deformaes:


135/318


E

D

Sobre os planos octadricos a deformao linear

octadrica :


136/318

A deformao de corte sobre cada um dos planos

octadricos a chamada deformao de corte oudistoro octadrica, sendo dada pela expressoseguinte:


ou, em termos das componentes cartesianas da deformao relativamente aum sistema de eixos arbitrrio Oxyz:

( ) ( ) ( )231

2

32

2

213

2ε ε ε ε ε ε γ −+−+−=oct

E

2.2.5 O estado de deformao num ponto P dum corpo material definido pelas seguintes

componentes cartesianas


137/318


a e erm ne as e orma es pr nc pa s e as respec vas rec es pr nc pa s no pon oconsiderado.

b) Determine as componentes normal e de corte da deformao sobre um plano π cujanormal est igualmente inclinada sobre os trs eixos coordenados.

c) Identifique os planos octadricos no ponto considerado e, sobre eles, determine as

respectivas deformaes normal e de corte.

E


138/318


E

:

• Equaes de compatibilidade.

E d l d d f


139/318

• Estado plano de deformao.

• Crculo de Mohr para o estado plano de deformao.


• Anlise de rosetas.

• Relao entre o campo de deslocamentos e o campo de deformaes emcoordenadas cilndricas.

• Problema 2.2.8.

Aula #8


140/318


141/318

E

E

As seis componentes da deformao no podem ser fixadas arbitrariamente, devendo

satisfazer determinadas condies que garantam a existncia das trs funescontnuas u(x,y,z), v(x,y,z) e w(x,y,z), capazes de definirem uma deformao coerentede todo o corpo. Essas condies so traduzidas por seis equaes, denominadasEquaes de Compatibilidade das deformaes


142/318

Equaes de Compatibilidade das deformaes.

x

vu xy

∂

∂+

∂

∂=γ Derivando em ordem a x e a y obtmse:

vu xy ∂+

∂=

∂

2

3

2

32γ


∴∂

∂

=∂

∂

= ; y

v

x

u yy xx ε ε y x

v

x y x

u

y

yy xx

∂∂

∂

=∂

∂

∂∂

∂

=∂

∂2

3

2

2

2

3

2

2

;

ε ε

2

2

2

22

x y y x

yy xx xy

∂∂+

∂∂=

∂∂∂ ε ε γ

Substituindo:

Equao de compatibilidade das deformaes.


143/318

E

E

O estado plano de deformao corresponde a uma situao em que no h escorregamento ou

corte entre planos perpendiculares a uma dada direco. o caso, por exemplo, de um corpocilndrico de grande espessura, solicitado por foras que actuam perpendicularmente ao eixo edistribuidas uniformemente ao longo de toda a espessura.


144/318

Tomando o eixo dos zz orientado segundo essa direcoparticular, o estado plano de deformao ser, portanto,caracterizado por serem nulas as componentes εzz, γyz e γxz,


[ ]

=

000

0

2

1

02

1

yy xy

xy xx

ε γ

γ ε

ε

s o :

E

E

Num estado plano de deformao, a extenso linear ε segundo uma direco paralela aoplano Oxy e inclinada de um ngulo θ relativamente ao eixo dos xx, ={cosθ , senθ ,0}T, dada por:


145/318

A deformao de corte, sobre o plano perpendicular a essa direco, dada por:


A deformao de corte anulase para um ngulo θp, definido pela equao:

Existem duas direces mutuamenteperpendiculares que satisfazem esta condio.

So as direces principais de deformao 1 e2, as quais correspondem s extensesprincipais ε1 e ε2, dadas pelas expresses:


146/318

E

C


147/318


Quando a deformao angular γ positiva, (γxy > 0), o ponto D representativo da direco Ox marcado a uma distncia γxy para baixo do eixo horizontal, e o ponto D representativo dadireco Oy , a uma distncia γxy para cima; e viceversa, quando a deformao angular γxy negativa. A conveno para o sinal da deformao de corte coincide com a que foiadoptada na construo do crculo de Mohr para as tenses.

E

A

Experimentalmente, mais fcil medir directamente as extenses lineares do que as

distores. Por isso, frequente prse o problema de determinar as extenses principaisnum ponto, a partir da medio das extenses lineares εa, εb, εc, segundo trs direcesdistintas sobre o plano de deformao.


148/318


Suponhase que aquelas trs direces fazem ngulos θa, θb e θc , respectivamente, com adireco do eixo dos xx. Pode escreverse:

E

A

Corresponde situao em que as trs direces esto espaadas de 45˚. Nas aplicaesprticas esta situao materializado atravs das rosetas rectangulares de trsextensmetros, que tm um aspecto conforme representado nas seguintes figuras.


149/318

Y


45º

45º X

E

A


150/318


E

A

Corresponde situao em que as trs direces esto espaadas de 120˚. Nas aplicaesprticas esta situao materializado atravs das rosetas rectangulares de trsextensmetros, que tm um aspecto conforme representado na seguinte figura.


151/318


E

A


152/318


E

C


Em cada ponto P considerase o triedro ( ) zr uuu rrr

,, θ

θur

zur

P

z


153/318

r u

r

z

P

0


θ

x y

+−

+

=

−=

w

vu

vu

w

v

u

u

u

u

z

r

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

θ cossin

sincos

100

0cossin

0sincos

E

C


θ θ sincos

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

r

z

z

v

r

y

y

v

r

x

x

v

r

z

z

u

r

y

y

u

r

x

x

u

r

ur

=0 =0


154/318


θ θ γ θ ε θ ε

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

cossinsincos

cossinsincos

sinsincoscossincos

22

22

xy yy xx

r

x

v

y

u

y

v

x

u

y x y xr

++=

=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

=

∂

+∂

+

∂

+∂

=∂

E

C

Por outro lado:

[ ] [ ][ ] [ ] θ θ γ θ ε θ ε ε ε ε θ cossinsincos 2200 xy yy xxrr T xyx zr T T ++=∴=

Resultando:u∂


155/318

r

ur rr ∂

∂=ε


Para as restantes extenses e distores:

E

2.2.8 Num ponto P da superfcie livre dum corpo material, mediramse as deformaes

lineares segundo trs direces a, b, c espaadas de 45˚:

) D i d f i i i id d i i


156/318

a) Determine as deformaes principais no ponto considerado e as respectivas orientaes.

b) Determine o valor da deformao de corte mxima e a orientao do plano segundo o qual


e a se processa.

c) Resolva as alneas anteriores recorrendo exclusivamente construo dos crculos de Mohr.

E


157/318


E

:

• Relaes tensodeformao.

• Energia elstica de deformao.


158/318

• Formulao geral de problemas de elasticidade.


• Princpio de SaintVenant.

• Problemas 3.2.1, 3.2.3 e 3.2.4.

Aula #9

E

.

Quando sobre um corpo elstico so aplicadas foras de intensidades gradualmentecrescentes, verificase experimentalmente que, at se atingir um determinado valor limite, ocorpo comportase como perfeitamente elstico, na medida em que recuperar totalmenteas deformaes produzidas, reassumindo a forma e dimenses originais:


159/318


Configurao (III) = Configurao (I)

E

.

A primeira formulao de uma ligao entre a deformao e as foras aplicadas ao corpo foiproposta por Robert Hooke, estabelecendo uma relao de proporcionalidade directa entreaquelas duas grandezas para uma barra linear traco:


160/318


Robert Hooke (16351703)

σ = F / A a tenso, E a constante de proporcionalidade e ε adeformao longitudinal da barra

E

Uma generalizao natural da lei de Hooke, consiste em considerar que, em todos ospontos, cada uma das seis componentes da tenso se pode exprimir como uma combinaolinear das seis componentes da deformao, e inversamente. a chamada lei de Hookegeneralizada:


161/318


E

Inversamente:


162/318


Em qualquer das formas que se represente a lei de Hooke generalizada, esto

envolvidos 36 parmetros elsticos.

E

Considerese, num ponto P dum corpo elstico isotrpico, as equaes da lei de Hookegeneralizada referidas ao triedro das direces principais em P, {1, 2, 3}

T:


163/318


A condio de isotropia implica que o efeito de uma deformao ε1 sobre a tenso σ1 deve ser o

mesmo que o efeito de ε2 sobre σ2 e o efeito de ε3 sobre σ3. Isto quer dizer que E11= E22= E33. Domesmo modo, pela condio de isotropia, os efeitos das deformaes ε2 e ε3 sobre a tenso σ1devem ser iguais. Portanto, E12= E13. Pela mesma razo, dever ser E21= E23 e E31= E32. Almdisso, os efeitos de ε2 e ε3 sobre σ1 devem ser iguais aos efeitos de ε1 e ε3 sobre σ2 e de ε1 e ε2sobre σ3. Ento, dever ser:

E

Resulta ento:


164/318


Parmetros de Lam

E

Relativamente a um sistema de eixos Cartesiano arbitrrio 0xyz:

2

3

2

2

2

1 nml xx σ σ σ σ ++=


165/318


''' 321 nnmmll xy σ σ σ τ ++=

E

Inversamente:


166/318


E

Considerese o caso bidimensional de corte puro representado na Figura. A relao entre atenso de corte τ e a correspondente deformao de corte γ , por definio, o mdulo deelasticidade ao corte, ou mdulo de rigidez do material, habitualmente representado pelaletra maiscula G:


167/318

Por outro lado, o estado de corte pura representado nafi ura caracterizado elas se uintes com onentes:


τ τ τ == yx xy

Aplicando a Lei de Hooke:

Donde, μ = G, isto , o parmetro de Lam μ numericamente igual ao mdulo de rigidezG do material.

E

Outra constante elstica frequentemente utilizada nas aplicaes em engenharia o chamadomdulo de Bulk, ou mdulo de compressibilidade, K, que se define pela relao entre apresso p e o coeficiente de dilatao volumtrica θ, num estado de tenso hidrosttico:


168/318


pelos seguintes componentes:

Substituindo nas trs primeiras equaes da lei de Hooke e adicionando membro a membro:

E

No ensaio de traco convencional, habitualmente utilizado para adeterminao das propriedades mecnicas dos materiais, submetese uma barra do material a estudar aco de duas foras iguais eopostas, aplicadas segundo o eixo do provete.


169/318


Simon Dinis Poisson (17811840)

Thomas Young (17731829) O Mdulo de Young (E) e o Coeficiente de Poisson (ν) so duasconstantes elsticas do material, definidas por:

onde εl e εt so as extenses lineares nas direces longitudinal

e transversal, respectivamente.

E

Tomando o eixo dos xx segundo a direco axial da pea, os estados de tenso e de deformaocorrespondentes situao representada na figura so:


170/318


Por outro lado, decorre directamente da lei de Hooke:

Mdulo de

YoungCoeficiente dePoisson


171/318

E

Inversamente:


172/318


E


173/318


E

E

Quando um corpo elstico se deforma sob a aco de foras externas, estas realizam trabalho

que fica armazenado no interior do corpo sob a forma de energia elstica de deformao, quepoder ser totalmente recuperada quando removidas as foras que provocam a deformao.


174/318


E

E

Densidade de energia elstica:

Quando actuam as trs tenses normais:


175/318


Densidade de energia elstica:

Quando actuam as trs tenses de corte:


176/318

E

E

Energia elstica total:

Qualquer estado de tenso pode decomporse num estado de tenso hidrosttico e numestado de tenso de desvio ou distorsional (sem variao de volume):


177/318


As duas componentes da energia de deformao U0V e U0D so dadas por:

E

Funes a definir (15):

Campo de tenses (seis componentes) Campo de deformaes (seis componentes) Campo de deslocamentos (seis componentes)

Equaes de ligao (15)


178/318

Equaes de ligao (15)


deformao e de deslocamentos:

ou

E

Seis equaes resultantes da lei de Hooke:


179/318


Trs equaes de equilbrio:

E

Se o sistema de foras que actua sobre uma pequena rea da superfcie dum corpo elstico

for substitudo por um outro sistema de foras estaticamente equivalente actuando sobre amesma rea da superfcie do corpo, essa redistribuio da carga poder produzir alteraessubstanciais das tenses e deformaes na vizinhana imediata da zona de aplicao dacarga, mas as tenses e as deformaes permanecero essencialmente inalteradas nasregies do corpo mais afastadas, a partir de uma distncia considervel em relao s

dimenses da rea de carregamento


180/318

dimenses da rea de carregamento.


Adhmar Barr de SaintVenant (17971886)

E

3.2.1 O estado de deformao num ponto P de um corpo material em ao (λ=120GPa,

μ=80GPa) dado pelas seguintes componentes cartesianas:


181/318

Determine o correspondente estado de tenso no ponto P.


3.2.3 Determine a variao de volume de um cubo de ao (λ=120GPa , μ=80GPa) de 1metro de lado, quando mergulhado no fundo do oceano, a 10.000 metros deprofundidade.

E

3.2.4 Uma placa em ao (E=210GPa, ν=0,3), de dimenses 200mmx200mmx10mm est sujeita

a um estado biaxial de tenso uniforme, conforme ilustrado na figura.


182/318


a) Utilizando as equaes relativas ao estado plano de tenso, determine a tenso de corte

mxima e a direco segundo a qual actua.b) Determine o alongamento que sofre a diagonal AC.


183/318

E

:

• Critrios de rotura: Rankine e MohrCoulomb.

• Critrios de cedncia plstica: Tresca e Von Mises.

• Problemas 3.2.9 e 3.2.17.


184/318


E

C

Materialfrgil

Materialdctil


185/318


A questo que se coloca consiste em determinar as condies que levam rotura de ummaterial frgil e ao incio de plastificao de um material dctil para um estado multiaxial detenso e de deformao.

ento necessrio definir uma funo escalar do tensor das tenses (ou das deformaes)

que delimita o regime elstico do comportamento mecnico dos materiais:

[ ]( ) 0≤Θ σ

E

C

( )

rot σ σ ≤max


186/318


Considerando um estadoplano de tenso:

As condies de rotura de um material frgil so determinadas pela presena de defeitos,

o que resulta num pronunciado efeito de escala: verificase que volumes superioresresultam em tenses de rotura inferiores. Desta forma, os critrios de rotura de materiaisfrgeis so frequentemente utilizados em combinao com anlises nodeterminsticas.

E

C

O critrio de MohrCoulomb utilizado para prever a rotura de materiais frgeis e adeformao plstica de materiais com tenses de cedncia plstica diferentes em tracoe compresso.

Considerase que a rotura ocorre


187/318

quando um estado de tenso


representado por um crculo de Mohrtangente recta de rotura de Mohr. Deuma forma equivalente, a rotura ocorrequando a tenso de corte e a tensonormal que actuam num planosatisfazem a seguinte condio:

φ σ τ tan−= c : coeso; φ : ngulo de frico interna.

E

C

( ) ( ) φ φ σ σ σ σ cos2sin3131

c=++−

O critrio de MohrCoulomb pode ser escrito em termos das tenses principais daseguinte forma:

A coeso, , e o ngulo de frico interna, φ , podem ser calculados a partir de dois crculos


188/318

de Mohr, um correspondente a um estado de traco uniaxial e outro a um estado de


compresso u

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