Prueba Integral Lapso 2009-2 754 1/3

Elaborado por: JRGM rea de Matemtica

Universidad Nacional Abierta GEOMETRIA 754 Vicerrectorado Acadmico Cd. Carrera: 126 508

rea De Matemtica Fecha: 26-9-09 MODELO DE RESPUESTAS

OBJ 1 Evale la validez del siguiente razonamiento: -Si llueve hoy, entonces no vamos a comer afuera hoy. -Si no comemos afuera hoy, entonces saldremos a comer maana. Luego, si llueve hoy, entonces vamos a comer afuera maana. Sugerencia: Puede verificar si el condicional [p1 p2 pn] q es una tautologa o aplicar alguna o algunas de las reglas de inferencia lgica. Solucin: Emplearemos en primer lugar la aplicacin de alguna ley de inferencia, para ello consideremos la forma lgica del razonamiento. Sean p1: llueve hoy, p2: vamos a comer afuera hoy, p3: saldremos a comer maana. Note que la expresin vamos a comer afuera maana es la misma que saldremos a comer maana. As, la forma lgica nos queda: p1 p2 Esta forma lgica corresponde a la ley pq p2 p3 de inferencia llamada silogismo hipottico q r p1 p3 Por lo tanto el razonamiento es vlido. p r Otra forma:

La columna en negritas nos indica que se trata de una tautologa por lo tanto es un razonamiento vlido. OBJ 2 Demuestre que la desigualdad entre la media aritmtica y geomtrica

0;0,2

>>+ yxyxxy Solucin: Una forma de probar desigualdades es corroborar que su validez conduce a otra desigualdad evidentemente cierta. Con esa premisa en mente procedamos a elevar al cuadrado cada miembro de dicha desigualdad como primer paso, y seguidamente obtenemos:

0)(244

2)2

(2

22222

2 ++++++ yxyxyxxyyxyxxyyxxyyxxy Y como esta ltima desigualdad es cierta, Por qu? Queda, con ello, demostrada la desigualdad dada.

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OBJ 3 Considere la siguiente figura y demuestre el siguiente enunciado: Si P es un punto interior del tringulo ABC, entonces BPC > A

Solucin: Esta demostracin se puede realizar aplicando el teorema 2.12, pero resulta mucho ms rpido si aplicamos el corolario 2.5 que asegura que todo ngulo externo a un tringulo es mayor que cualesquiera de los ngulos internos no adyacentes a l. Demostracin: El dato que asegura que P es un punto interior del tringulo nos asegura que la figura est en un plano. Es importante que cada afirmacin tenga su correspondiente justificacin.

- 1.- El ngulo x es externo al tringulo PQC, por la definicin de ngulo externo dada en la definicin 2.1 o simplemente por definicin de ngulo externo a un tringulo.

- 2.- El ngulo x es mayor que el ngulo y, por la afirmacin anterior y el corolario 2.5 (o el corolario que dice)

- 3.- Pero el ngulo y es externo al tringulo BAQ, por definicin de ngulo externo. - 4.- As, el ngulo y es mayor que el ngulo en A, por el corolario 2.5 - 5.- Finalmente, por transitividad de las afirmaciones 2 y 3 se concluye que el ngulo x es mayor

que el ngulo en A OBJ 4 Sean E y puntos interiores de los lados AC y BC de un tringulo ABC, como se indica en la

figura. Demuestre que BE y CF no se bisecan. Sugerencia: Proceda por reduccin a lo absurdo.

Demostracin: Observando la figura notamos que BE y CF son las diagonales del cuadriltero BFEC (basta unir los puntos F y E ). Supongamos que si se bisecan (se niega lo que se debe probar). Si BE y CF se bisecan entonces el cuadriltero BFEC sera un paralelogramo, por el teorema 3.7 pg. 183 o por una propiedad que dice que si las diagonales de un cuadriltero se bisecan entonces el cuadriltero es un paralelogramo. Pero esto es absurdo pues las rectas que contienen a los lados BF y CE se cortan en A. Este absurdo proviene de haber supuesto que BE y CF se bisecaban por lo tanto BE y CF no se bisecan, quedando as probado el enunciado. OBJ 5 Determine el radio r de una circunferencia circunscrita a un cuadrado de lado x. Solucin: Una forma es darse cuenta que la diagonal d del cuadrado es precisamente el dimetro de la circunferencia, pero como la diagonal del cuadrado de lado x cumple con la relacin: d2 = x2+x2 , es decir, d2 = 2x2, de donde se obtiene que d = x 2 , entonces el radio r de la circunferencia viene dado por r = d/2 = x 2 /2

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OBJ 6 Escriba cada uno de los pasos necesarios para construir la circunferencia que pasa por los puntos P, Q y R Solucin:

1) Dibujamos los segmentos PQ y QR 2) Con el comps y una regla o escuadra trazamos las rectas L1 perpendicular a PQ en su punto

medio, L2 perpendicular a QR en su punto medio. 3) Estas rectas se intersecan en un punto O que ser precisamente el centro de la circunferencia

buscada. 4) Apoyamos el comps en O y con abertura igual a la distancia desde el punto O hasta

cualesquiera de los puntos medios de los segmentos PQ o QR trazamos la circunferencia pedida.

OBJ 7 Halle el rea de un paralelogramo si dos lados consecutivos miden 30 y 45, y el ngulo comprendido mide 30o Solucin: Se sabe por un teorema que la diagonal de un paralelogramo lo divide en dos tringulo iguales o congruentes y por lo tanto de igual rea, por lo tanto si calculamos el rea de uno de esos tringulos y multiplicamos por 2 tendremos el rea buscada. A B 30 30 D 45 C Bastar que calculemos el rea del tringulo ADC y multipliquemos por dos. Por el teorema 6.7 el rea de un tringulo es el semiproducto de dos de sus lados por el seno del ngulo comprendido. Luego

Area del paralelogramo ABCD = 2Area del tringulo ADC = 675)21.(45.30

230.45.30.2 ==sen

FIN DEL MODELO