MPL SIMPLEX: CASO MAX

Dr. ALCIBIADES SOSA PALOMINO

ETAPAS EN LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

PROBLEMA MODELO SOLUCIÓN …

 

METODO SIMPLEX

Método analítico que nos permite resolver el MPL utilizando propiedades del álgebra en forma simplificada.Es aplicable para MPL con n variables y m restricciones.

  

1. Identificación del problema.2. Formulación del modelo.3. Estandarización del modelo .- Transformar las inecuaciones en ecuaciones agregando variables( de holgura , de excedencia y artificiales ). Los coeficientes de la variable de holgura y excedencia en la función objetivo es cero y de las variables artificiales es -M en el caso de MAX y M en el caso de Min ; M se considera como una cantidad infinitamente grande.

PROCEDIMIENTO

1. Identificación del problema.2. Formulación del modelo.3. Estandarización del modelo .- Transformar las inecuaciones en ecuaciones agregando variables( de holgura , de excedencia y artificiales ). Los coeficientes de la variable de holgura y excedencia en la función objetivo es cero y de las variables artificiales es -M en el caso de MAX y M en el caso de Min ; M se considera como una cantidad infinitamente grande.

PROCEDIMIENTO

5. PROCESAMIENTO DE LA TABLA INICIAL

1. Se selecciona la columna clave : (N° índice positivo mayor)2. Se selecciona la fila clave :

menor valor positivo de = b i /aij columna clave

4. Ubicación del número clave o pivote ( fila clave intersección con la columna clave)

1. Se obtiene la fila principal que reemplaza a la fila clave = N° en la FC/N° clave

2. Se obtiene las demás filas de la nueva tabla.Nuevo número = N° anterior – (N° corresp.de la FC)

(N°corresp.de la CC)/N° clave 3. Se analiza los números índices de la nueva tabla. 4. Se repite el proceso hasta que todos los números índices sean cero ó negativos; en este estado se habrá llegado a la solución óptima.

6. CONSTRUCCIÓN DE LA NUEVA TABLA

ALECIONES MATERIA PRIMA ( Tn )

Fierro Cromo Zinc Utilidad ($)

A1 5 10 10 100

A2 5 8 5 200

A3 10 5 0 50

Disponibilidad 1000 2000 500

PROBLEMA 1 Una empresa produce tres tipos de aleaciones: A1, A2 ; A3 . Para la fabricación de estos productos necesita la materia prima siguiente: Fierro , Cromo , Zinc.El gerente debe programar la producción para la siguiente semana. La materia prima disponible, las proporciones de materia prima empleada en cada tipo de aleación y las utilidades correspondientes se detallan en la tabla siguiente:

Determinar la producción óptima.

MAX Z= 100X1 + 200X2 + 50X3Sujeto a :

5x1 + 5x2 + 10x3 ≤ 100010x1 + 8x2 + 5x3 ≤ 200010x1 + 5x2 + 0x3 ≤ 500xj≥ 0 j= 1; 2 ; 3

MAX Z= 100X1 + 200X2 + 50X3 +0S1 + 0S2 + 0S3Sujeto a :

5x1 + 5x2 + 10x3 + S1 = 100010x1 + 8x2 + 5x3 + S2 = 200010x1 + 5x2 + 0x3 +S3 = 500

FORMULACIÓN DEL MODELO

STANDARIZACIÓN DEL MODELO

Ck 100 200 50 0 0 0

Ck Xk bi X1 X2 X3 S1 S2 S3

0 S1 1000 5 5 10 1 0 0

0 S2 2000 10 8 5 0 1 0

0 s3 500 10 5 0 0 0 1

TABULACIÓN DEL MODELO

Ck 100 200 50 0 0 0

Ck Xk bi x1 x2 x3 s1 s2 s3

0 S1 1000 5 5 10 1 0 0

0 S2 2000 10 8 5 0 1 0

0 s3 500 10 5 0 0 0 1

Zj=0 0 0 0 0 0 0

NÚMERO INDICE CJ-ZJ 100 200 50 0 0 0

Ck 100 200 50 0 0 0

Ck Xk bi x1 x2 x3 s1 s2 s3

0 S1 1000 5 5 10 1 0 0 200

0 S2 2000 10 8 5 0 1 0 250

0 s3 500 10 5 0 0 0 1 100

Zj=0 0 0 0 0 0 0

NÚMERO INDICE CJ-ZJ 100 200 50 0 0 0

Ck 100 200 50 0 0 0

Ck Xk bi x1 x2 x3 s1 s2 s3

0 S1 1000 5 5 10 1 0 0 200

0 S2 2000 10 8 5 0 1 0 250

0 s3 500 10 5 0 0 0 1 100

Zj=0 0 0 0 0 0 0

NÚMERO INDICE CJ-ZJ 100 200 50 0 0 0

0 S1

0 S2

100 X2 100 2 1 0 0 0 1/5

Ck 100 200 50 0 0 0

Ck Xk bi x1 x2 x3 s1 s2 s3

0 S1 1000 5 5 10 1 0 0 200

0 S2 2000 10 8 5 0 1 0 250

0 s3 500 10 5 0 0 0 1 100

Zj=0 0 0 0 0 0 0

NÚMERO INDICE CJ-ZJ 100 200 50 0 0 0

0 S1 500 -5 0 10 1 0 -1

0 S2 1200 -6 0 5 0 1 -8/5

100 X2 100 2 1 0 0 0 1/5

Ck 100 200 50 0 0 0

Ck Xk bi x1 x2 x3 s1 s2 s3

0 S1 1000 5 5 10 1 0 0 200

0 S2 2000 10 8 5 0 1 0 250

0 s3 500 10 5 0 0 0 1 100

Zj=0 0 0 0 0 0 0

NÚMERO INDICE CJ-ZJ 100 200 50 0 0 0

0 S1 500 -5 0 10 1 0 -1 50

0 S2 1200 -6 0 5 0 1 -8/5 240

100 X2 100 2 1 0 0 0 1/5

2000 400 200 0 0 0 40

NÚMERO INDICE -300 0 50 0 0 0

Ck 100 200 50 0 0 0

Ck Xk bi x1 x2 x3 s1 s2 s3

0 S1 1000 5 5 10 1 0 0 200

0 S2 2000 10 8 5 0 1 0 250

0 s3 500 10 5 0 0 0 1 100

Zj=0 0 0 0 0 0 0

NÚMERO INDICE CJ-ZJ 100 200 50 0 0 0

0 S1 500 -5 0 10 1 0 -1 50

0 S2 1200 -6 0 5 0 1 -8/5 240

100 X2 100 2 1 0 0 0 1/5

2000 400 200 0 0 0 40

NÚMERO INDICE -300 0 50 0 0 0

50 X3 50 -1/2 0 1 1/10 0 -1/10

0 S2

200 X2

Ck 100 200 50 0 0 0

Ck Xk bi x1 x2 x3 s1 s2 s3

0 S1 1000 5 5 10 1 0 0 200

0 S2 2000 10 8 5 0 1 0 250

0 s3 500 10 5 0 0 0 1 100

Zj=0 0 0 0 0 0 0

NÚMERO INDICE CJ-ZJ 100 200 50 0 0 0

0 S1 500 -5 0 10 1 0 -1 50

0 S2 1200 -6 0 5 0 1 -8/5 240

100 X2 100 2 1 0 0 0 1/5

2000 400 200 0 0 0 40

NÚMERO INDICE -300 0 50 0 0 0

50 X3 50 -1/2 0 1 1/10 0 -1/10

0 S2 950 -7/2 1 0 -1/2 1 -11/10

200 X2 100 2 1 0 0 0 1/5

ZJ 2250 375 200 50 5 0 35

NÚMERO INDICE CJ-ZJ -275 0 0 -5 0 -35

RESPUESTA: Z= 22 500 X1= 0 X2= 100 X3= 50

CASO 2

MAX Z= X1 – 3X2ST:

X1 –X2 > 5X1 + X2 = 10XJ≥ 0 ; J=1,2

MAX Z= X1 – 3X2 + 0S1 - Ma1 - Ma2ST:

X1 – X2 - S1 + a1 = 5X1 + X2 -a2 = 10XJ≥ 0 ; J=1,2

Ck 1 -3 0 -M -M

Ck Xk bi X1 X2 X3 S1 S2

-M a1 5 1 -2 -1 1 0

-M a2 10 1 1 0 0 1

TABULACIÓN DEL MODELO

Ck 1 -3 0 -M -MCk Xk bi X1 X2 X3 S1 S2-M a1 5 1 -2 -1 1 0-M a2 10 1 1 0 0 1

-15M -2M -M M -M -M1+2M M-3 -M 0 0

Ck 1 -3 0 -M -MCk Xk bi X1 X2 X3 S1 S2-M a1 5 1 -2 -1 1 0 5

-M a2 10 1 1 0 0 1 10

-15M -2M -M M -M -M1+2M M-3 -M 0 0

Ck 1 -3 0 -M -MCk Xk bi X1 X2 X3 S1 S2-M a1 5 1 -2 -1 1 0 5

-M a2 10 1 1 0 0 1 10

-15M -2M -M M -M -M1+2M M-3 -M 0 0

1 X1 5 1 -2 -1 1 0-M a2 5 0 3 1 -1 1 5/3

1 -2-3M -1-M 1+M -M0 3M-1 M+1 -2M-1 0

1 X1 25/3 1 0 -1/3 5/3 2/3-3 X2 5/3 0 1 1/3 -1/3 1/3 5

1 -3 -4/3 8/3 -1/3

0 0 4/3 -M+8/3 -M+1/3

1 X1 10 1 1 0 4/3 1

0 S1 5 0 3 1 -1 1

Ck 1 -3 0 -M -MCk Xk bi X1 X2 X3 S1 S2-M a1 5 1 -2 -1 1 0 5

-M a2 10 1 1 0 0 1 10

-15M -2M -M M -M -M1+2M M-3 -M 0 0

1 X1 5 1 -2 -1 1 0-M a2 5 0 3 1 -1 1 5/3

1 -2-3M -1-M 1+M -M0 3M-1 M+1 -2M-1 0

1 X1 25/3 1 0 -1/3 5/3 2/3-3 X2 5/3 0 1 1/3 -1/3 1/3 5

1 -3 -4/3 8/3 -1/3

0 0 4/3 -M+8/3 -M+1/3

1 X1 10 1 1 0 4/3 1

0 S1 5 0 3 1 -1 1

1 1 0 4/3 1

0 -4 0 -M-4/3 -M-1

PRODUCTOS CAPACIDAD

A B C HORAS/MES

DEPARTAMENTO 1 10 2 1 100

DEPARTAMENTO 2 3 13 4 150

DEPARTAMENTO 3 2 3 12 120

UTILIDAD($) 5 7 6

PROBLEMA la tabla siguiente proporciona los tiempos de procesamiento de tres productos en tres departamentos junto con las capacidades departamentales y las contribuciones utilitarias .Encuentre la mezcla de productos que nos de la máxima utilidad.