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Bárbara Cánovas Conesa

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Movimiento de los Cuerpos Celestes. Gravitación y Campo Gravitatorio

LLeeyyeess ddee KKeepplleerr

1º. Los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol, situado en uno de los focos de la elipse.

2º. La recta que une el planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales (los planetas se mueven más rápidamente en el perihelio): los planetas se mueven con velocidad areolar constante.

𝐴1 = 𝐴2

3º. Los cuadrados de los periodos orbitales de los planetas son proporcionales a los cubos de sus distancias medias al Sol:

𝑇2 = 𝑘 𝑟3

Siendo 𝑇 el periodo, 𝑅 la distancia media y 𝑘 la constante de proporcionalidad:

𝑘 = 4𝜋2

𝐺 𝑚𝑠𝑜𝑙

NNoocciioonneess AAccttuuaalleess

Todos los planetas tienen dos movimientos.- traslación y rotación.

Todos los planetas describen órbitas planas alrededor del Sol.

Casi todas las órbitas están aproximadamente en el mismo plano.

Todos los planetas tienen un sentido antihorario de traslación visto desde el polo norte celeste (lo mismo ocurre con los satélites).

Todos los planetas, excepto Urano y Plutón, tienen un eje de rotación perpendicular al plano de su órbita.

Todos los satélites, excepto los de Urano y Plutón, describen órbitas en el plano ecuatorial de sus planetas (prácticamente en su mismo plano orbital).

Todos los planetas, excepto Venus, Urano y Plutón, tienen un sentido antihorario de rotación.

TTrraassllaacciióónn

Consideramos al planeta o al satélite como puntos materiales dotados de la masa del cuerpo, no se tienen en cuenta sus dimensiones.

MMoommeennttoo AAnngguullaarr

Es una magnitud vectorial que se emplea para caracterizar el estado de rotación de los cuerpos alrededor de un punto fijo.

�⃗� = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚 (𝑟 × 𝑣 )

Como vector está caracterizado por:

Módulo: |�⃗� | = 𝑚 𝑣 𝑟 𝑠𝑒𝑛 = 𝑘𝑔 𝑚2 𝑠−1

Dirección: perpendicular al plano que forman los vectores 𝑟 y 𝑝 Sentido: el que nos de la regla de la mano derecha

A2A1

Afelio

Perihelio

L

r

v

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Física _ 2º Bachillerato

MMoovviimmiieennttooss CCiirrccuullaarreess MMoovviimmiieennttooss CCuurrvviillíínneeooss

|�⃗� | = 𝑚 𝑣 𝑟 𝑠𝑒𝑛 → 𝑣 ⊥ 𝑟 → 𝑠𝑒𝑛 90° = 1 |�⃗� | = 𝑚 𝑣 𝑟

�⃗� = 𝑟 × 𝑚 · (𝑣 𝑟 + 𝑣 𝑡) = 𝑟 × 𝑚 · 𝑣 𝑟 + 𝑟 × 𝑚 · 𝑣 𝑡

→ {𝑟 × 𝑚 · 𝑣 𝑟 = 0 (𝑟 ∥ 𝑣 𝑟)

𝑣 𝑡 ⊥ 𝑟 → 𝑠𝑒𝑛 = 1

|�⃗� | = 𝑚 𝑣 𝑟

𝑣 = 𝜔 𝑟 → |�⃗� | = 𝑚 𝑟2 𝜔 → |�⃗� | = 𝑚 𝑟2 𝒹𝜃

𝒹𝑡 𝑣 = 𝜔 𝑟 → |�⃗� | = 𝑚 𝑟2 𝜔 → |�⃗� | = 𝑚 𝑟2

𝒹𝜃

𝒹𝑡

CCoonnsseerrvvaacciióónn ddeell MMoommeennttoo AAnngguullaarr

El momento angular de un cuerpo varía cuando actúa sobre él el momento de una fuerza (�⃗⃗� ).

�⃗�

𝒹𝑡 = 𝑟 ⃗⃗ × 𝐹 = �⃗⃗�

El momento angular de un cuerpo permanece constante si sobre él no actúan fuerzas (𝐹 = 0) o las fuerzas que

actúan son centrales (𝑟 y 𝐹 tienen la misma dirección, las fuerzas están dirigidas siempre hacia un punto fijo la trayectoria de un punto material que se mueve bajo la acción de una fuerza central es siempre plana).

�⃗�

𝒹𝑡 = 𝑟 × 𝐹 = 0

MMoommeennttoo AAnngguullaarr ddee TTrraassllaacciióónn

Según la 2ª ley de Kepler: la velocidad areolar de un planeta es constante:

𝑣 =á𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎

𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜=

𝒹𝐴

𝒹𝑡

De lo que se deduce que el momento angular de traslación de un planeta alrededor del Sol permanece cte.

𝒹𝐴

𝒹𝑡 =

1

2·

𝐿

𝑚

CCoonnsseeccuueenncciiaass

1. Las órbitas de los planetas y satélites son planas, consecuencia de la constancia en la dirección del momento angular.

2. La fuerza que gobierna el movimiento planetario y de los satélites es de tipo central y actúa en la dirección que une el planeta y el sol, ó el satélite y el planeta.

3. Las órbitas planetarias y de los satélites son estables.

L

r

p

L

rvt0

vr

v

F




CCeennttrroo ddee MMaassaass

Su posición viene dada por las coordenadas promedio de las masas que componen el sistema.

𝑟 𝐶𝑀 = ∑𝑚𝑖 · 𝑟 𝑖𝑚𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

𝑣 𝐶𝑀 = ∑𝑚𝑖 · 𝑣 𝑖𝑚𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

El movimiento del CM es representativo del movimiento de todo el sistema. El momento lineal del sistema equivale al 𝑝 del CM si se supone concentrada en él toda la masa del sistema.

𝑝 𝐶𝑀 = 𝑚𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑣 𝐶𝑀 = 𝑚𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝒹𝑟 𝐶𝑀

𝒹𝑡 𝐹 =

𝒹𝑝 𝐶𝑀

𝒹𝑡

RRoottaacciióónn

Se considera el cuerpo como un sólido rígido (conjunto de partículas que ocupan posiciones relativas fijas entre sí o con respecto a un origen arbitrario cualquiera).

𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (∑𝑚𝑖 · 𝑟𝑖2

𝑛

𝑖=1

) · 𝜔

MMoommeennttoo ddee IInneerrcciiaa

El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro:

𝐼 = ∑ 𝑚𝑖 · 𝑟𝑖2

𝑛

𝑖 = 1

(𝑘𝑔 · 𝑚2)

Depende de la masa del sólido y de la distribución de esta masa con respecto al eje de rotación elegido (un sólido tendrá multitud I, tantos como ejes de rotación se puedan elegir).

MMoovviimmiieennttooss LLiinneeaalleess MMoovviimmiieennttooss CCuurrvviillíínneeooss

Magnitud Momento lineal o cantidad de movimiento Momento angular

Caracteriza El estado de traslación lineal El estado de rotación

Expresión 𝑝 = 𝑚 · 𝑣 �⃗� = 𝐼 · �⃗⃗�

Factor de oposición a los cambios

Masa Momento de inercia

Agente Dinámico Fuerza Momento de Fuerza

Expresión 𝐹 = 𝑚 · 𝑎 (𝑁) �⃗⃗� = 𝐼 · 𝛼 (𝑁 · 𝑚)

CCoonnsseerrvvaacciióónn ddeell MMoommeennttoo AAnngguullaarr eenn RRoottaacciióónn

Si sobre un sólido no actúa momento de fuerza ninguno (o los que actúan se anulan):

𝒹�⃗�

𝒹𝑡 = 0 → �⃗� = 𝑐𝑡𝑒 → (𝐼 · 𝜔)𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 = (𝐼 ′ · 𝜔′)𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠

m mCM

r2

r1

rCM

0



EEnneerrggííaa CCiinnééttiiccaa ddee uunn CCuueerrppoo eenn RRoottaacciióónn

𝐸𝐶 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 = 1

2 ·

(𝐼 · 𝜔)2

𝐼 =

𝐿2

2 𝐼

CCuueerrppooss RRooddaanntteess

RRoottaacciióónn ssiinn ttrraassllaacciióónn TTrraassllaacciióónn ssiinn rroottaacciióónn CCuueerrppoo RRooddaannttee

El punto en contacto con la superficie está en reposo (su velocidad de traslación es igual y contraria a su velocidad de rotación).

El punto superior tiene una velocidad relativa 2𝑣 con respecto al punto de contacto y 𝑣 en relación con el CM.

𝐸𝐶 𝑟𝑜𝑑𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 = 𝐸𝐶 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 + 𝐸𝐶 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 = 1

2 𝑚 𝑣2 +

1

2 𝐼𝐶 𝜔

2

v = 0

v = R ·

v = R ·

v

2v

v = 0




LLeeyy ddee llaa GGrraavviittaacciióónn UUnniivveerrssaall

Esta ley formulada por Newton, afirma que la fuerza de atracción que experimentan dos cuerpos dotados de masa es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa (ley de la inversa del cuadrado de la distancia). La ley incluye una constante de proporcionalidad que recibe el nombre de constante de la gravitación universal:

𝐹𝑔⃗⃗ ⃗ = − 𝐺 𝑀 𝑚

𝑅2 𝑢𝑟⃗⃗⃗⃗ 𝐺 = 6.67 · 10−11 𝑁

𝑚2

𝑘𝑔2

FFuueerrzzaass GGrraavviittaattoorriiaass eenn uunn CCoonnjjuunnttoo ddee MMaassaass

𝐹 = 𝐹 2 1 + 𝐹 3 1 + 𝐹 4 1

AAcceelleerraacciióónn ddee CCaaííddaa LLiibbrree ddee llooss CCuueerrppooss eenn llaass SSuuppeerrffiicciieess PPllaanneettaarriiaass

𝑎 = 𝐺 𝑚𝑇

(𝑅𝑇 + ℎ)2

Sólo depende de la masa de la Tierra y no de la del objeto.

Si la altura desde la que cae es muy pequeña en comparación con el radio de la Tierra:

𝑔 = 𝐺 𝑚𝑇

𝑅𝑇2

MMaarreeaass

𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑒𝑎 = 𝐺 𝑚𝐿 2𝑟

𝑑3

AAllttaass oo ddee FFlluujjoo

Siendo A y B los puntos de la superficie acuosa terrestre más próximo y más alejado de la Luna, respectivamente, tenemos:

𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑒𝑎 𝐴 = 𝑎 𝐴 − 𝑎 𝑇 𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑒𝑎 𝐵 = 𝑎 𝐵 − 𝑎 𝑇

La a⃗ A es la aceleración con la que la Luna atrae al punto A. La a⃗ T es la aceleración con que la Luna atrae a cada punto de la Tierra:

𝑎 𝐴 = 𝐺 · 𝑚𝐿

(𝑟 – 𝑟𝑇)2 𝑎 𝑇 =

𝑚𝐿

𝑟2

BBaajjaass oo ddee RReefflluujjoo

𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑒𝑎 𝐶 = 𝑎 𝐶 − 𝑎 𝑇 𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑒𝑎 𝐷 = 𝑎 𝐷 − 𝑎 𝑇

2

34

F2 1

F3 1F4 1

1

A

D

B

C



CCaammppoo

Un campo es una región del espacio cuyas propiedades son perturbadas por la presencia de una partícula. Es definido por magnitudes que adquieren distintos valores en cada punto del espacio y en el tiempo. El conjunto de valores Ai (x, y, z, t) que adoptan dichas magnitudes, define el campo. Existen campos vectoriales y escalares.

Un campo gravitatorio se considera un campo estacionario (no varía con el tiempo: sus magnitudes serán en función de la posición).

CCaammppoo GGrraavviittaattoorriioo

Magnitudes inherentes a la interacción del campo con una partícula:

FFuueerrzzaa:: actúa sobre la partícula como medida de la interacción, desde un punto de vista dinámico:

𝐹𝑔⃗⃗ ⃗ = −𝐺 𝑀 𝑚

𝑟2 �⃗� 𝑟

EEnneerrggííaa PPootteenncciiaall:: de la partícula asociada a su posición relativa en el campo, dentro de un enfoque energético de la interacción.

Magnitudes que definen el campo

IInntteennssiiddaadd ddeell ccaammppoo:: en un punto debido a una masa puntual, define al campo gravitatorio desde un punto de vista dinámico:

𝐹𝑔⃗⃗ ⃗ = − 𝐺 𝑀 𝑚

𝑅2 �⃗� 𝑟 = 𝑚 𝑔 → 𝑔 = − 𝐺

𝑚

𝑅2 �⃗� 𝑟 → 𝑔 =

𝐹𝑔⃗⃗ ⃗

𝑚 (

𝑁

𝑘𝑔≈

𝑚

𝑠2)

Su sentido apunta hacia la masa puntual 𝑚 que da lugar al campo y varía inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.

PPootteenncciiaall ddeell ccaammppoo:: en un punto, dentro de un enfoque energético de la interacción.

CCaammppooss GGrraavviittaattoorriiooss PPrroodduucciiddooss ppoorr CCuueerrppooss EEssfféérriiccooss

EEnn eell EExxtteerriioorr EEnn eell IInntteerriioorr

El campo gravitatorio originado por un cuerpo esférico de masa m en un punto exterior P es el mismo que el que originaría dicha masa si estuviese concentrada en el centro del cuerpo:

𝑔 = − 𝐺 𝑚

𝑅2 �⃗� 𝑟

El campo neto en el interior de una corteza esférica es nulo.

El campo en el centro (r’ = 0) de una esfera sólida homogénea es nulo. Su valor aumenta linealmente conforme a r’.

𝑔 = − 𝐺 𝑚

𝑅3 𝑅′ �⃗� 𝑟

CCaammppoo GGrraavviittaattoorriioo TTeerrrreessttrree

𝑔 = − 𝐺 𝑚

𝑅𝑇2 �⃗� 𝑟 = 9.8

𝑁

𝑘𝑔 = 9.8

𝑚

𝑠2

VVaarriiaacciióónn ccoonn llaa AAllttiittuudd VVaarriiaacciióónn ccoonn llaa LLaattiittuudd

𝑔𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = 𝑔 − 2𝑔 𝑑𝑟

𝑟 = 𝑔 (1 −

2ℎ

𝑟𝑇) 𝑔𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = 𝑔 − 𝜔2 𝑟𝑇 𝑐𝑜𝑠

2𝜑

g: aceleración gravitatoria a nivel del mar h: altitud rT: radio terrestre (6378 km)

r

r’P

r

g

y

x

acr

ach

ac

rT




PPrriinncciippiioo ddee SSuuppeerrppoossiicciióónn ddee CCaammppooss

𝑔 = ∑ (− 𝐺 𝑚𝑖

𝑟𝑖2 �⃗� 𝑟)

𝑛

𝑖 = 1

CCaammppoo GGrraavviittaattoorriioo ddeessddee uunn eennffooqquuee eenneerrggééttiiccoo

El trabajo realizado por la fuerza de la gravedad necesario para desplazar una masa desde un punto A hasta otro B se obtiene por medio de la siguiente expresión:

𝑊𝐴→𝐵 = ∫ 𝐹𝑔⃗⃗ ⃗ 𝑑𝑟 𝐵

𝐴

La fuerza gravitatoria descrita por la ley de la gravedad es una fuerza central y por tanto es una fuerza conservativa. Esto implica que:

El trabajo que realiza una 𝐹𝑔⃗⃗ ⃗ para mover un cuerpo desde una posición A hasta otra B, únicamente depende de

dichas posiciones y no de la trayectoria seguida entre ambos puntos. Cuando el camino que sigue el cuerpo entre A y B es un camino cerrado o ciclo, el trabajo gravitatorio es nulo.

𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 = − ∆𝐸𝑝

Cuando:

W > 0 RB < RA, es decir, el cuerpo se acerca a la masa generadora de campo M. El trabajo lo realiza el campo gravitatorio.

W < 0 RA < RB , es decir, el cuerpo se aleja de la masa generadora de campo M. Para que esto pueda ocurrir, debe existir un agente externo actuando sobre la partícula m que se opone a la fuerza gravitatoria y que es la que impone el sentido del movimiento. El trabajo, pues, lo realiza dicho agente externo.

EEnneerrggííaa PPootteenncciiaall GGrraavviittaattoorriiaa

Es la energía que posee un cuerpo por el hecho de encontrarse bajo la acción de la gravedad. Se fija el valor cero de energía potencial gravitatoria aquel en el que la fuerza gravitatoria es cero (en el infinito

𝐸𝑝(𝑟) = − 𝐺

𝑀 𝑚

𝑅

EEnneerrggííaa PPootteenncciiaall ddee uunn SSiisstteemmaa ddee VVaarriiaass PPaarrttííccuullaass

Nos da la medida del trabajo que debería realizarse para separar el sistema hasta hacer infinita la distancia entre partículas:

𝐸𝑝 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐸𝑝 1 2 + 𝐸𝑝 1 3 + 𝐸𝑝 2 3 = − 𝐺 (𝑚1 𝑚2

𝑅1 2 +

𝑚1 𝑚3

𝑅1 3 +

𝑚2 𝑚3

𝑅2 3)

PPootteenncciiaall GGrraavviittaattoorriioo

El potencial gravitatorio en un punto del campo gravitatorio es una magnitud escalar que se define como el trabajo por unidad de masa que debe realizar una fuerza para transportar un cuerpo, a velocidad constante, desde el infinito hasta un punto de dicho campo gravitatorio.

Es la energía potencial que adquiriría la unidad de masa colocada en dicho punto. Válido para masas puntuales y cuerpos esféricos:

𝑉 = 𝐸𝑝

𝑚′ = − 𝐺

𝑚

𝑟 (

𝐽𝑢𝑙

𝑘𝑔)

El conjunto de valores del potencial en función de la distancia define un campo

EP

R

1

2

3

r2 3

r1 3

r1 2

V

R

https://www.fisicalab.com/apartado/ley-gravitacion-universal

https://www.fisicalab.com/apartado/fuerzas-conservativas



escalar:

𝑉 = − 𝐺 · (𝑚1

𝑟1 +

𝑚2

𝑟2 + ⋯ +

𝑚𝑛

𝑟𝑛)

RReepprreesseennttaacciióónn GGrrááffiiccaa ddeell CCaammppoo GGrraavviittaattoorriioo

LLíínneeaass ddee FFuueerrzzaa ((IInntteennssiiddaadd ddee CCaammppoo))

Las líneas de fuerza permiten visualizar la forma en que se distribuye la intensidad del campo gravitatorio en el espacio (fuerza gravitatoria que experimenta la unidad de masa situada en dicho punto). Están caracterizadas por:

Son líneas continuas

Su dirección es tangente en cada punto al vector intensidad de campo gravitatorio

Su sentido es siempre entrante hacia la masa generadora de campo: es el sentido del vector intensidad del campo gravitatorio.

Cada línea partiría idealmente desde el infinito y moriría en el punto en el que se genera el campo. Es decir, ocupa toda la extensión del campo.

El número de líneas que atraviesan una unidad de superficie es proporcional al módulo de la intensidad de campo.

Nunca se cruzan.

SSuuppeerrffiicciieess EEqquuiippootteenncciiaalleess ((PPootteenncciiaall))

Son superficies que unen todos los puntos con un mismo potencial gravitatorio (todos situados a la misma distancia r de la masa m). Son superficies esféricas para masas puntuales y cuerpos esféricos. Son perpendiculares a las líneas de fuerza.

AAssppeeccttooss EEnneerrggééttiiccooss ddeell MMoovviimmiieennttoo ddee llooss CCuueerrppooss eenn uunn CCaammppoo GGrraavviittaattoorriioo

En las órbitas elípticas, la energía mecánica se conserva debido al carácter conservativo de la fuerza gravitatoria. Sin embargo, la existencia de una componente que realiza trabajo (en el sentido o contra el sentido de desplazamiento) hace que la energía cinética y la energía potencial varíen en la órbita.

1

2 3

4

r2r3

r4

P

r1

Superficie equipotencial

A

Superficieequipotencial

B

g

Perihelio(Ec Ep)

Afelio(Ep Ec)

F

vP

vA

Ft

Fn

g

https://www.fisicalab.com/apartado/ley-gravitacion-universal




EEnneerrggííaa ddee AAmmaarrrree oo LLiiggaadduurraa

Indica el valor mínimo de energía necesario para que un cuerpo quede “amarrado” al campo:

𝑊 = 𝐺 · 𝑚𝑇 · 𝑚

𝑟𝑇

VVeelloocciiddaadd ddee EEssccaappee

Es la energía mínima que debe comunicarse a un cuerpo para que salga del campo gravitatorio:

𝑣 = √2 𝐺 𝑚𝑇

𝑟𝑇

EEnneerrggííaa yy ÓÓrrbbiittaass

Si un cuerpo alcanza la velocidad de escape, su energía será cero, es decir, un cuerpo con energía cero abandonará un campo gravitatorio:

Cuando vCUERPO > vESCAPE, la energía será superir a cero: el cuerpo no quedará ligado a campo gravitatorio alguno y alcanzará una distancia infinita con cierta velocidad.

Cuando vCUERPO < vESCAPE, el cuerpo posee energía negativa: queda ligado al campo gravitatorio.

𝐸ó𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 = − 𝐺 · 𝑚𝑇 · 𝑚

2 𝑟

EÓRBITA < 0 órbitas cerradas circulares o elípticas

EÓRBITA = 0 órbitas parabólicas

EÓRBITA < 0 órbitas hiperbólica

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