Movimiento Forzado Ecuaciones

SISTEMAS DE RESORTE Y MASA:

“MOVIMIENTO FORZADO”

LAURA DANIELA BARRIGA GÓMEZ - 1097399798

ANDRÉS FELIPE BUITRAGO FERIA -1097400317

KARLA DÍAZ SALAZAR - 1094927448

UNIVERSIDAD DEL QUINDIO

FACULTAD DE INGENIERIA

PROGRAMA DE INGENIERIA CIVIL

ARMENIA-QUINDIO

2013

~ 1 ~

CONTENIDO

Pág.

1. Introducción ……………………………………………………………………...3

2. Justificación ……………………………………………………………………...3

3. Objetivos…………………………………………………………………………..4

4. Marco teórico………………………………………………………………… .....4

5. Conclusiones…………………………………………………………………....17

6. Referencias bibliográficas……………………………………………………..18

~ 2 ~

INTRODUCCIÓN

Los sistemas de resorte y masa están descritos por una ecuación diferencial de

segundo orden y se puede utilizar por varios tipos de este sistema, entre los

cuales se encuentran:

- Movimiento no amortiguado.

- Movimiento amortiguado.

- Movimiento Forzado con amortiguamiento.

Las formas de esta ecuación de segundo orden se presentan y aplican en el

análisis de problemas en diversas áreas de la ciencia e ingeniería, enfocados en la

elongación, amortiguamiento y resistencia entre otras características de un

movimiento forzado en un resorte.

JUSTIFICACIÓN

Los sistemas de movimiento masa/resorte están establecidos en una ecuación

diferencial de segundo orden, que a medida que se incrementa en el tema se

pueden agregar nuevas variables tales como la elasticidad, amortiguamiento y

fuerza externa. Pero siempre manteniendo la misma proporción con la misma

ecuación Diferencial principal.

~ 3 ~

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL:

Conocer los diferentes tipos de Movimientos del sistema resorte- masa aplicando

los métodos vistos en clase para resolver estas ecuaciones diferenciales de orden

superior.

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

Conocer la forma de la ecuación diferencial de segundo orden para poder

darle solución y hallar una solución generalizada para cualquier problema

dado.

Diferenciar cuales son las características que tiene un movimiento forzado,

las cuales los movimientos libre amortiguado y no amortiguado no tienen.

Entender cuál es la aplicación del tema: sistemas resorte/masa “movimiento

forzado” y como se utiliza.

MARCO TEÓRICO

Los primeros conceptos para comprender esta ecuación nos los dan las siguientes

dos leyes:

LEY DE HOOKE: Suponga que un resorte se suspende verticalmente de

un soporte rígido y luego se le fija una masa m a su extremo libre. Por

supuesto, la cantidad de alargamiento o elongación del resorte depende

de la masa; masas con pesos diferentes alargan el resorte en cantidades

diferentes. Por la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza

restauradora f opuesta a la dirección de elongación y proporcional a la

cantidad de elongación S y es expresada en forma simple como f=KS,

donde K es una constante de proporcionalidad llamada constante de

~ 4 ~

resorte. El resorte se caracteriza en esencia por el número. Por ejemplo, si

una masa que pesa 10 Kilogramos hace que un resorte se alargue 1/2

metro, entonces 10=k (1/2) implica que k = 20 kg/m.

SEGUNDA LEY DE NEWTON Después de que se une una masa m a un

resorte, ésta alarga el resorte una cantidad Sy logra una posición de

equilibrio en la cual su peso W se equilibra mediante la fuerza

restauradoraKS. Recordemos que el peso se define medianteW=mg,

donde la masa se mide en kilogramos o gramos y g = 9.8 m/s2, o bien 980

cm/s2, respectivamente.

La condición de equilibrio es mg=ksó mg—ks=0. Si la masa se desplaza por

una cantidad x de su posición de equilibrio, la fuerza restauradora del resorte es

entonces k (x+s) .Suponiendo que no hay fuerzas restauradoras que actúan

sobre el sistema y suponiendo que la masa vibra libre de otras fuerzas externas.

Iniciando con las ecuaciones diferenciales de resorte-masa se tiene primero la

Ecuación diferencial de un movimiento libre no amortiguado, la cual está dada por

la siguiente expresión:

d2 xd t 2 +w2 x=0

~ 5 ~

Donde w2= k

m

Ahora La segunda forma de la ecuación general del sistema resorte-masa

representaría un movimiento libre amortiguado la cual está dada por:

d2 xd t 2 +2 γ

dxdt

+w2 x=0

Donde:

β=es unaconstante deamortiguamiento positiva

2 γ= βm

Ahora La Tercera forma de la ecuación general del sistema resorte-masa

representaría un movimiento forzado con amortiguamiento la cual está dada por:

d2 xd t 2 +2 γ

dxdt

+w2 x=F (t)

Donde

F ( t )= f (t)m

Suponga que ahora se toma en consideración una fuerza externa f (t) que actúa

sobre una masa vibrante en un resorte. Por ejemplo f (t) podría representar una

fuerza motriz que causa un movimiento vertical oscilatorio del soporte del resorte.

La inclusión de f (t) en la formulación de la segunda ley de Newton da la ecuación

diferencial de movimiento forzado o dirigido.

EJEMPLOS:

1) x ' '+6 x '+10x=25 cos4 t

~ 6 ~

Se Resuelve la ecuación diferencial homogénea

x ' '+6 x '+10x=0 (1)

Aplicando la solución de la forma x (t )=c1 emt y derivando se obtiene:

x ' (t )=c1memt

x ' ' (t )=c1m2emt

al remplazar en la ecuación diferencial (1), se obtiene:

c1m2 emt+6 (c1me

mt )+10 (c1 emt )=0c1 e

mt (m2+6m+10 )=0

utilizando la ecuación auxiliar

m2+6m+10=0

m=−6±√6−4(10)

2

m=−6±√−42

m=−6±2i2

m=−3± i

m1=−3+i , m2=−3−i

Como las soluciones encontradas son raíces complejas conjugadas, se

utiliza la ecuación:

xh=eα ¿ (2)

~ 7 ~

Al remplazar en la ecuación diferencial (2) se obtiene:

xh=e−3 t ¿

Se resuelve la ecuación diferencial no Homogénea:

x ' '+6 x '+10x=25 cos4 t (3)

La solución particular tiene la forma:

x p=A cos 4 t+B sin 4 t (4)

Y derivando se obtiene:

x ' p=−4 A cos 4 t+4 B sin 4 t

x ' ' p=−16 A cos 4 t−16 B sin 4 t

Al remplazar en la ecuación diferencial (3), se obtiene:

−16 A cos 4 t−16 B sin 4 t+6 (−4 A cos4 t+4 B sin 4 t )+10 ( A cos 4 t+B sin 4 t )=25 cos 4 t

−16 A cos 4 t−16 B sin 4 t−24 A cos 4 t+24 B sin 4 t+10 A cos4 t+10 B sin 4 t=25 cos 4 t

cos 4 t (−16 A+24 B+10 A )+sin 4 t (−16B−24 A+10B )=¿25 cos4 t ¿

Se halla el valor de A y B:

−16 A+24 B+10 A=25

−6 A+24 B=25

−6 A=25−24 B

A=25−24 B−6

A=25−24 (50

51 )−6

A=−25102

−16 A−24 B+10 A=0

~ 8 ~

−6 B−24 ( 25−24B−6 )=0

−6 B+100−96B=0

−102B+100=0

B=−100−102

B=5051

Al remplazar A y B en la ecuación diferencial (4), se obtiene:

x p=−25102

cos 4 t+ 5051

sin 4 t

Por último se remplaza xh y x p en la ecuación:

x (t )=xh+x p y seobtiene:

x (t )=e−3 t ¿

2) Cuando una masa de 2 kilogramos se une a un resorte cuya constante es

32N/m, este llega al reposo en la posición de equilibrio, y con una fuerza igual

a f (t )=68e−2 t cos 4 t se aplica al sistema. Determine la ecuación de movimiento

en ausencia de amortiguamiento.

m=2kg k=32Nm

f (t )=68e−2 t cos 4 t

Al remplazar en la ecuación diferencial de movimiento forzado

~ 9 ~

md2 xd t2

+β dxdt

+kx=f (t )

Se obtiene:

2 x' '+32x=68e−2t cos4 t

Se Resuelve la ecuación diferencial homogénea:

2 x' '+32x=0 (1)


x ' (t )=c1memt

x ' ' (t )=c1m2emt


2(c1m2emt)+32 (c1 e

mt )=0c1 emt (2m2+32 )=0

Y se utiliza la ecuación auxiliar:

2m2+32=0

2m2=−32

m2=−322

m2=−16

m=±√−16

m=±√16 i

m=±4 im1=4 i , m2=−4 i

~ 10 ~



xh=eα ¿ (2)


xh=c1 cos4 t+c2 sin 4 t

Se resuelve la ecuación diferencial no Homogénea:

2 x' '+32x=68e−2t cos4 t (3)


x p=Ae−2 t cos 4 t+Be−2 t sin 4 t (4)


x ' p=−2 Ae−2 t cos 4 t−4 A e−2t sin 4 t−2Be−2 t sin 4 t+4 Be−2 t cos 4 t

x ' ' p=4 Ae−2 t cos 4 t+8 A e−2 t sin 4 t+¿8 A e−2 t sin 4 t−¿16 A e−2 t cos4 t ¿¿

+4B e−2 t sin 4 t+8Be−2 t cos 4 t+8Be−2 t cos 4 t−16B e−2 t sin 4 t


2¿

8 Ae−2 t cos 4 t+16 A e−2 t sin 4 t+¿16 A e−2 t sin 4 t−¿32 A e−2 t cos 4 t+8B e−2 t sin 4 t+16 Be−2 t cos 4 t+16 Be−2 t cos 4 t−32Be−2 t sin 4 t+32 A e−2t cos4 t+32Be−2 t sin 4 t=68e−2t cos4 t ¿¿

~ 11 ~

8 Ae−2 t cos 4 t+32 Ae−2 t sin 4 t−32 Ae−2 t cos 4 t+8Be−2 t sin 4 t+32B e−2 t cos 4 t−32B e−2 t sin 4 t+32 Ae−2 t cos 4 t+32 Be−2t sin 4 t=68e−2 t co s4 t

e−2 t cos 4 t (8 A−32 A+32B+32 A )+e−2 t sin 4 t (32 A+8B−32B+32 B )=68e−2 t cos 4 t

e−2 t cos 4 t (8 A+32 B )+e−2 t sin 4 t (32 A+8B )=68e−2 t cos4 t


8 A+32 B=68

8 A=68−32 B

A=68−32B8

A=68−32 (2 )

8, A=1

2

32 A+8 B=0

32( 68+32B8 )+8B=0

272+128B+8B=0

136 B=−272

B=−272136

, B=−2

~ 12 ~


x p=12e−2 t cos 4 t−2e−2 t sin 4 t

Y por último se remplaza xh y x p en la ecuación:


x (t )=c1 cos 4 t+c2 sin 4 t+¿ 12e−2 t cos 4 t−2e−2t sin 4 t ¿

3) x+ 2 x ' + 2 x = 4 cost + 2 sen

Al remplazar en la ecuación diferencial de movimiento forzado

md2 xd t2

+β dxdt

+kx=f (t )

Se obtiene: X ’’+2 x ’+2x=0

Se Resuelve la ecuación diferencial homogénea:

X ’’+2 x ’+2x=0 (1)


x ' (t )=c1memt

x ' ' (t )=c1m2emt


13

X=c1 emt (m2+2m+2 )=0

c1 emt≠0 m2+2m+2=0

m=−2±√4−4 (2 )

2=−2±√4

2=−2±2 i

2

m1=−1+i

m2=−1−i

α=−1 β=1



xh=eα ¿ (2)

Para llegar a ello se realiza:

x (t )=c1 e−t e¿+c2 e

−t e−¿

e¿=cos t+ isent e¿+e−¿=2cost

e−¿=cos t−isent e¿−e−¿=2isent

Si c1=c2=1

x1 (t )=e−t (e¿+e−¿)

x1 (t )=e−x (2cosx)

S ic1=1 , c2=−1entonces :

14

x2 (t )=e−t (e¿−e−¿)

x2(t)=e−t2isent


xh (t )=c1 e−t2cost+c2 e

−t2 isent

Se resuelve la ecuación diferencial no Homogénea (primera parte):

x ' '+2 x '+2 x=4cost (3)


p=acost+bsent (4)


x p'=−asent+bcost

x p' '=−acost−bsent


−acost−bsent−2asent+2bcost+2acost+2bsent=4 cost

cost (a+2b )+sent (b−2a )=4cost


b−2a=0

B=2a

15

a+2b=4

a+4 a=4

a=45, b=8

5


x1 p ( t )=45cost+ 8

5sent

Se resuelve la ecuación diferencial no Homogénea (segunda parte):

x ' '+2 x '+2 x=2 sent

xp=acost+bsent

x p'=−asent+bcost

x p' '=−acost−bsent


−acost−bsent−2asent+2bcost+2acost+2bsent=2 sent

cost (a+2b )+sent (b−2a )=2 sent


a+2b=0

a=−2b

b−2a=2

B+4 b=2

5b=2

16

b=25


x2 p (t )=−45cost+ 2

5sent

La solución general de de la ecuación diferencial no homogénea está dada

por:

x1 p+x2 p=2 sent

Y por último se remplaza xh y x p en la ecuación:


x (t )=c1 e−t2cost+c2 e

−t2 isent+2 sent

CONCLUSIONES

El movimiento forzado dentro de los sistemas de resorte y masa abarca

completamente los temas de movimiento libre no amortiguado y el movimiento

libre amortiguado, ya que para la solución de la ecuación diferencial del

movimiento forzado amortiguado es necesario: 1) tener claro el concepto de

los dos temas anteriores, y 2) saber utilizar e implementar las ecuaciones de

los temas, ya que estas son una base fundamental de la tercera.

17

A partir de la ley de Hooke y de la segunda ley de Newton se pueden

obtener las primeras fórmulas tanto para el movimiento libre no amortiguado

como para cada uno de los siguientes temas.

En la ecuación diferencial del movimiento forzado se presenta una parte de

la ecuación como base única e irremplazable y otra segunda en la que se

conforma de constantes de proporcionalidad de acuerdo al estado o las

condiciones en las que se encuentre el resorte como: restauración,

amortiguamiento, elasticidad, distancia de elongación, etc...

La característica principal del sistema resorte/masa en movimiento forzado

es que en el sistema se presenta una fuerza ejercida sobre el resorte u objeto,

en la cual, la base también se encuentra a su vez en movimiento, situación

que no ocurría en ninguno de los movimientos anteriores.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Zill G. Dennis. “ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la

frontera”. México D.F. Grupo editorial Iberoamérica S.A.1982.pag.195-205.

Kurmyshev Evguenii. “fundamentos de métodos matemáticos para física e

ingeniería”. México D.C. Editorial Limusa. 2003. Pag.52.

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