MOVIMIENTO EN EL PLANO CON ACELERACIÓN CONSTANTE

(EN DOS DIMENSIONES)

Movimiento de un proyectil

Un ejemplo de movimiento bidimensional curvilíneo es el movimiento de objetos lanzados o proyectados por algún medio. El movimiento de una pelota de golf cuando es golpeada por el palo, es un movimiento de proyectil. Por lo general, despreciamos la resistencia de aire y sólo consideramos la aceleración debido a la gravedad que actúa sobre un proyectil.

Cuando un objeto se lanza hacia arriba con cierta inclinación, la trayectoria que sigue se puede describir como la descomposición de dos movimientos, uno vertical y otro horizontal. Por tal razón es posible analizar el movimiento de los proyectiles a partir de los conceptos del movimiento rectilíneo.

Movimiento semiparabólico.

Si una esfera rueda sobre una superficie horizontal sin rozamiento, decimos que está dotada de movimiento uniforme. Pero si esa misma esfera se deja caer desde cierta altura, vemos que adquiere un movimiento de caída libre, uniformemente acelerado, debido a la acción de la aceleración de la gravedad.

Un cuerpo tiene un movimiento semiparabólico, cuando se lanza horizontalmente desde cierta altura cerca a la superficie de la tierra.

Galileo dijo “cuando un cuerpo es sometido simultáneamente a dos movimientos, cada uno de esos se debe cumplir independientemente”

Se le da el nombre de lanzamiento horizontal al movimiento que describe un proyectil cuando se disparó horizontalmente desde cierta altura con una velocidad inicial v i, bajo estas condiciones el vector velocidad inicial es perpendicular a la acción de la gravedad, la siguiente figura lo ilustra.

En la siguiente fotografía se muestran las posiciones sucesivas, a intervalos regulares, de dos pelotas: una que se lanza horizontalmente y otras que se deja caer. La trayectoria curva de la pelota se puede analizar mejor considerando por separado las componentes

horizontal y vertical del movimiento. En primer lugar la componente horizontal del movimiento de la pelota no cambia al moverse esta hacia un costado. La pelota recorre la misma distancia horizontal durante los intervalos de tiempo iguales que transcurren entre destellos. Esto se debe a que la fuerza gravitacional no tiene una componente que se ejerza en la dirección horizontal.

La gravedad solo se ejerce hacia abajo, de modo que la pelota únicamente se acelera en esa dirección. En segundo lugar, se observa en la fotografía que ambas pelotas recorren distancias verticales iguales en intervalos de tiempo iguales. La distancia vertical no tiene nada que ver con la componente horizontal del movimiento. El movimiento hacia abajo de la pelota que se proyecta horizontalmente es el mismo que si estuviera en caída libre.

Supongamos que una esfera rueda sobre la superficie sin rozamiento con cierta velocidad horizontal v0 , hasta un punto en el suelo. La figura muestra la trayectoria que seguiría de ser así no estuviera sometida a la acción de la gravedad, es decir se movería en el eje x, y en el de y se movería si no llevara velocidad horizontal y tuvieron movimiento de caída libre, mientras que cuando la esfera sometida a la acción de esos movimientos describe una semi parábola.

Ecuaciones del movimiento semiparabólico

En cualquier punto de la trayectoria la velocidad del objeto tiene dos componentes vx y v y, es decir, que la velocidad es v=( vx , v y ) y su dirección es tangente a la trayectoria.

Si el lanzamiento horizontal se produce con velocidad inicial vo, en cualquier posición

P, la componente vx De la velocidad del proyectil coincide con la velocidad de disparo vo, puesto que se desprecia la resistencia del aire. Es decir,

vx = vo

Si las coordenadas de la posición en el eje x está dada por

x=vo .t

El movimiento rectilíneo vertical es un movimiento de caída libre, con velocidad inicial cero. Para cualquier posición, P, la componente v y de la velocidad del proyectil coincide con la velocidad de caída.

Es decir, v y=v oy+g . t donde voy=0 Por lo tanto v y=g .t y la coordenada de la posición en el eje y obtiene a partir de:

y=voy . t+ ¿2

2

Pero como v y=0, tenemos que y=¿2

2

Movimiento parabólico

Un cuerpo posee movimiento parabólico cuando se lanza cerca de la superficie terrestre formando cierto ángulo con la horizontal.

El movimiento del proyectil es un movimiento combinado, el proyectil tiene movimiento vertical y además, se desplaza horizontalmente recorriendo distancias iguales en tiempos iguales.

La trayectoria de un cuerpo con movimiento parabólico depende de la velocidad de lanzamiento y el ángulo que forma con la horizontal.

El alcance horizontal máximo se logra cuando el ángulo de lanzamiento es de 45° despreciando la resistencia del aire figura 1. En las situaciones reales, por ejemplo cuando una pelota o algún objeto es lanzado o golpeado con fuerza, y existe resistencia, la rapidez de proyectil se reduce, por lo tanto el ángulo de proyección para el intervalo máximo es menor de 45° figura 2.

Componentes de la velocidad.

Si un proyectil es lanzado con una velocidad vo , que forma un ángulo θ con la horizontal, se descompone esa velocidad en las direcciones horizontales y verticales. Así:

vox=vo cosθ y voy=vo sin θ La velocidad que lleva el proyectil en cualquier instante también se puedes descomponer. La velocidad horizontal siempre es constante, por lo tanto:

vx=vox=vo cosθ

La velocidad vertical depende del tiempo transcurrido desde el lanzamiento y de la componente vertical de la velocidad inicial. v y=v oy−¿, ya que se comporta como un movimiento uniformemente acelerado. Entonces:

v y=v o senθ−¿

Altura máxima que alcanza el proyectil.

Cuando se define esta altura máxima, la componente vertical de la velocidad es nula. Por lo tanto, de la ecuación que vimos en caída libre:

y=v f

2−v i2

−2 g Remplazamos los valores de la velocidad en la componente y así:

y=v y

2−voy2

−2 g Cuando el objeto empieza a adquirir altura la velocidad en y empieza a

disminuir hasta que alcanza la altura máxima y se convierte en cero. Ver gráfica.

Por lo tanto hacemos v y=0 y obtenemos:

y=voy

2

2 g Reemplazamos voy

ymax=vo

2 sen2θ2 g

Tiempo de vuelo del proyectil

El tiempo que duró el proyectil en el aire, es el doble del que dura subiendo, por lo tanto calculamos de la ecuación v y=v o senθ−¿ el tiempo de subida, haciendo a v y=0 y despejamos t así:

t s=v o senθ

g . El tiempo de vuelo es t v=2 t s, por lo tanto,

t v=2 vo senθ

g

Alcance horizontal del proyectil

Como el movimiento de la componente horizontal es con velocidad constante, el alcance máximo se obtiene con la expresión:

xmax=vo cosθ t v

Remplazando el tiempo de vuelo por la expresión que ya obtuvimos, tenemos:

xmax=2 v o

2cosθsenθg

Observe que la altura máxima, el tiempo de vuelo, y el alcance horizontal del proyectil dependen exclusivamente de la velocidad inicial y del ángulo de lanzamiento.