Monografia sustentacion
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1 DESARROLLO DE HABILIDADES DE PENSAMIENTO EN EL PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON TRES INCOGNITAS ROSA GÓMEZ NORIEGA UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO FACULTAD DE EDUCACIÓN PROGRAMA DE LICENCIATURA EN MATEMÁTICA BARRANQUILLA-ATLÁNTICO 2015
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1
DESARROLLO DE HABILIDADES DE PENSAMIENTO EN EL PLANTEAMIENTO Y
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON TRES INCOGNITAS
ROSA GÓMEZ NORIEGA
UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO
FACULTAD DE EDUCACIÓN
PROGRAMA DE LICENCIATURA EN MATEMÁTICA
BARRANQUILLA-ATLÁNTICO
2015
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DESARROLLO DE HABILIDADES EN EL PLANTEAMIENTO Y SOLUCIÓN DE
PROBLEMAS CON TRES INCOGNITAS EN ESTUDIANTES DE NOVENO GRADO
ROSA GÓMEZ NORIEGA
TRABAJO DE GRADO PRESENTADO COMO REQUISITO PARA OPTAR AL TÍTULO
DE LICENCIADO EN MATEMÁTICAS
ASESOR
M.SC. RAÚL CASTRO VIDAL
UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO
FACULTAD DE EDUCACIÓN
PROGRAMA DE LICENCIATURA EN MATEMÁTICA
BARRANQUILLA - ATLÁNTICO
2015
3
Nota de aceptación:
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
Firma del presidente de jurado
__________________________________
Firma del jurado
__________________________________
Firma del jurado
Barranquilla, ------------ 2015
4
AGRADECIMIENTOS
Al llegar a la finalización de este proyecto, no queda más que expresar mis más sinceros
agradamientos a todos aquellos que con su apoyo me permitieron culminar con éxito esta gran
etapa de mi formación profesional.
Con ayuda de Dios quien me brindó guía, ayuda y sabiduría, logré alcanzar esta meta
satisfactoriamente.
De igual forma agradezco a mi madre Edit Noriega por su apoyo incondicional en el transcurso
de este proceso, por vivir conmigo mis triunfos y dificultades; a la vez ayudarme y superarlas.
Gracias a mi familia por todo su apoyo por estar a mi lado en los momentos que más lo necesite
Agradezco al asesor de este proyecto quien fue mi guía para poder ejecutar las tareas y acciones.
A los estamentos de la Universidad Del Atlántico por permitirnos cursas estudios en sus
claustros. Agradezco a la Institución Educativa Madre Marcelina , profesores y demás miembros
de su comunidad educativa por su colaboración acogida para llevar a cabo este proyecto
5
TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................... 9
1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA .............................................................................. 11
1.1 Descripción Del Problema ............................................................................................. 11
1.2 Formulación Del Problema ............................................................................................ 13
2 FINES DE LA INVESTIGACIÓN ....................................................................................... 14
2.1 Justificación .................................................................................................................... 14
2.2 Objetivos ........................................................................................................................ 16
2.2.1 Objetivo general ...................................................................................................... 16
2.2.2 Objetivos específicos .............................................................................................. 16
3 MARCO REFERENCIAL .................................................................................................... 17
3.1 Antecedentes .................................................................................................................. 17
3.2 Marco Teórico. ............................................................................................................... 20
3.3 Tic Herramienta Para La Resolución De Problemas ...................................................... 28
3.4 Resolución De Problemas .............................................................................................. 30
3.5 MARCO CONCEPTUAL .............................................................................................. 34
3.5.1 Competencias matemáticas ..................................................................................... 34
3.5.2 Sistema De Ecuaciones Lineales ............................................................................ 37
4 MARCO METODOLÓGICO. .............................................................................................. 45
4.1 Paradigma ....................................................................................................................... 45
4.2 Tipo de investigación ..................................................................................................... 46
4.3 Población ........................................................................................................................ 46
4.4 Muestra ........................................................................................................................... 47
4.5 Etapas de la investigación .............................................................................................. 47
4.6 Técnicas e Instrumentos en recolección de información ............................................. 49
4.7 Análisis E Interpretación De Resultados ........................................................................ 51
4.7.1 Observación ............................................................................................................ 51
4.7.2 Entrevista a estudiantes. .......................................................................................... 52
4.7.3 Entrevistas a docente............................................................................................... 54
4.7.4 Prueba diagnóstica o Pre-Test ................................................................................. 55
6
4.8 Prueba Final o Post Test:. ............................................................................................... 58
4.9 Descripción de la propuesta. .......................................................................................... 60
4.10 Objetivos. ....................................................................................................................... 62
4.10.1 Objetivo General. .................................................................................................... 62
4.10.2 Objetivos Específicos.............................................................................................. 62
5 ANALISIS DE LA PROPUESTA ........................................................................................ 92
5.1 Actividad 1 Cuadro mágico............................................................................................ 92
5.2 Actividad 2Aritmetogo ................................................................................................... 94
5.3 Actividad 3 Resolución de problemas ............................................................................ 96
5.4 Actividad 4 Armando cubos ........................................................................................... 97
5.5 Actividad 5 Graficando con derive ................................................................................ 99
5.6 Actividad 6 Calculadora Web ...................................................................................... 101
5.7 Análisis De Prueba Final O Pos Test ........................................................................... 103
6 CONCLUSIONES ............................................................................................................... 108
7 RECOMENDACIONES ..................................................................................................... 110
Anexo .......................................................................................................................................... 111
8 EVIDENCIAS ..................................................................................................................... 122
BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................................ 126
7
RESUMEN
En el aprendizaje y comprensión de los sistemas matemáticos existen muchas dificultades. En el
presente trabajo investigativo se manifiesta la problemática encontrada en una Institución de
Barranquilla Atlántico en 9º grado, en lo que se refiere al planteamiento y resolución de
problemas con tres incógnitas. Una de las dificultades encontradas en los estudiantes se
manifestó al momento de leer y comprender un enunciado y formar una ecuación debido a que
los estudiantes no saben qué camino tomar para organizar los datos.
Además el uso de herramientas didácticas para la enseñanza, con lo cual se plantea la
siguiente propuesta didáctica que pretende aplicar y desarrollar habilidades que permita la
interpretación y resolución de sistemas de ecuaciones lineales por medio de una propuesta
pedagógica con la ayuda de las TIC y actividades que logren aprendizajes teórico prácticos e
interés para los estudiantes.
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ABSTRACT
There are many difficulties in learning and understanding of mathematical systems.
This research work outlines the problems found on 9th grade in an institution at Barranquilla
City, with regards to the approach and solving three unknowns’ problems. One of the difficulties
encountered was at the time when students have to read and understand a statement and form an
equation because students do not know how to organize the data released. The other hand the use
of educational tools for teaching has not been suitable for student’s needs, whereby the following
methodological approach it intends to pursue and develop skills that allow the interpretation and
resolution of systems of linear equations using a pedagogical proposal with the help of TIC and
activities that arises achieve theoretical and practical learning that stimulate student interest.
9
INTRODUCCIÓN
Los Estándares Básicos de Competencias en Matemática, MEN(2009) otorga pautas sobre los
criterios que permiten establecer los niveles básicos de calidad de la educación, se encuentra un
estándar en el grupo octavo y noveno grado de educación básica secundaria e incluido dentro del
pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos que establece “Identificar diferentes
métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales” el cual fue la herramienta primordial
para producir esta propuesta pedagógica que tiene como objetivo desarrollar habilidades en los
estudiantes al resolver sistemas de ecuaciones lineales en noveno grado.
Este trabajo se ha dividido en cinco capítulos, cada uno de ellos estructurado a la
normatividad que exige toda investigación.
Así pues, en el primer capítulo; que es el planteamiento del problema, se detallan las
dificultades que presentan los estudiantes al resolver sistema de ecuaciones lineales 3x3 también
está la definición y formulación del problema.
En el segundo capítulo; es los fines de la investigación, el cual está basado en la
justificación y objetivos que es desarrollar habilidades en el planteamiento y resolución de
problemas utilizando estrategias pedagógicas.
A continuación, se encuentra un tercer capítulo; llamado marco referencial, compuesto
por los antecedentes y el marco teórico e históricos del tema sistema de ecuaciones lineales, en el
cual se describen las teorías de aprendizaje desde el punto de vista constructivista
10
El cuarto y quinto capítulo, corresponde al marco metodológico, cuyos componentes son:
paradigma, tipo y etapas de la investigación, población y muestra, técnicas e instrumentos de
recolección de la información, implementación de la propuesta por último análisis e
interpretación de los resultados.
Así pues, se resalta la importancia de un paradigma socio-crítico y la investigación acción
basada en el estudio de una situación social con miras a mejorar la calidad de la acción dentro de
ella. Porque produce conocimiento y transforma, manifestándose en el desarrollo integral del ser
humano. También, al final se encontrará el instrumento principal que se le da el nombre de
prueba diagnóstica la permite reconocer las dificultades que presentan los estudiantes, así como
las encuestas que determinan las estrategias que conlleva aun aprendizaje significativo
Todo el trabajo investigativo se materializa en la formulación de la propuesta que enfatiza
en la utilización de una alternativa para dinamizar la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas escolares que tiene como enfoque la resolución de situaciones problema, ya que
los estudiantes, al incursionar en éstas, desarrollan niveles amplios de participación, ponen en
juego su saber previo y reorganizan, con ayuda de sus compañeros y el docente, información. Es
decir de los conceptos, en el que se recrean las actividades individual y colectiva, se auto
controlan los procesos de pensamiento matemático y sistematizan los nuevos aprendizajes.
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1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.1 Descripción Del Problema
Mediantes las observaciones realizadas a lo largo de la presente investigación se detectaron
dificultades que fueron evidentes gracias a la observación de campo y otras herramientas
empleadas como la prueba diagnóstica, las cuales reflejaron dificultades en los estudiantes de
noveno grado de la Institución Educativa Madre Marcelina de Barranquilla Atlántico al momento
de resolver problemas que involucren ecuaciones lineales con tres variables.
Con base en esto, se realizó un diagnóstico de las dificultades que presentaron las
estudiantes al resolver problemas las cuales se clasificaron en 4 categorías que se describen a
continuación.
1. Leer y comprender el enunciado: esta dificultad se presentó al momento que el
estudiante está leyendo un problema surge muchas preguntas tales como (¿Cuál es la
incógnita o incógnitas? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuántas incógnitas son?)
A los estudiantes se les dificulta poder organizar los datos obtenidos al presentársele
un problema con sistema de ecuaciones.
2. Anotar los datos utilizados: Esta dificultad se presenta por no plantear una estrategia
que le ayude a pensar en las condiciones del problema, concebir un plan de acción y
anotar el orden en que deben realizar las ecuaciones.
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3. Elegir una notación que nos permita relacionar las distintas incógnitas: Se presenta
este inconveniente al no saber definir qué cantidad de incógnitas se debe usar.
4. Resolución del sistema: Se detectó esta dificultad durante las observaciones
presentando fallas al resolver las operaciones en el orden establecido.
Todas estas dificultades se obtuvieron durante las observaciones realizadas en estudiantes
de noveno grado de la Institución Educativa Madre Marcelina por medio de esto se pudo analizar
la dificultad que poseen los estudiantes. Y la necesidad que existe en implementar una propuesta
que conlleve a dar solución a cada una de las características que tienes las anteriores
dificultades
Para ello, se propone como objetivo el desarrollo de una estrategia pedagógica que
posibilite la construcción de habilidades de pensamientos en la resolución de ecuaciones lineales
con tres incógnitas teniendo como base los estándares básicos en noveno grado, donde se
tendrán en cuenta las características de las dificultades antes mencionadas al momento de
implementar este proyecto.
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1.2 Formulación Del Problema
Con relación a la problemática antes mencionada, surge un interrogante de tipo descriptivo el
cual busca de una manera general sobre lo que se indaga en esta investigación, la pregunta es:
¿Cómo desarrollar habilidades de pensamiento en el planteamiento y resolución
de problemas en sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas en los
estudiantes?
Para indagar sobre las realidades que conectan la pregunta principal con los objetivos
surgen las preguntas orientadoras.
¿Por qué tiene relevancia la indagación de los conceptos previos que poseen los
estudiantes al desarrollar de competencias en relación con los sistemas de
ecuaciones lineales con tres incógnitas?
¿Qué estrategias pedagógicas permiten el desarrollo de habilidades en el
planteamiento y solución con sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas?
¿Cómo identificar los pasos necesarios para la resolución de problemas que
involucren sistemas de ecuaciones lineales 3x3?
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2 FINES DE LA INVESTIGACIÓN
2.1 Justificación
En este proyecto se trabaja para resolver un problema que se obtuvo por medio de observaciones
y diagnósticos realizados a estudiantes de Noveno Grado de la Institución Educativa Madre
Marcelina. Dificultades que se ven reflejada en el momento de resolver problemas que
involucran un razonamiento en el cual se debe cambiar de lenguaje cotidiano al algebraico.
Por otro lado es notorio que existe un déficit en los conceptos previos puesto que los
estudiantes presentan dificultades con la resolución de ecuaciones lineales con una y dos
incógnitas, por tanto existen dificultades con tres incógnitas. Ha esto se le suma la dificultades en
la interpretación de signos y resolución de estos sistemas ya sea por (igualación, sustitución,
eliminación regla de cramer, determinantes, matrices, entre otros métodos de resolución)
Por tanto, se ha planteado que se debe emplear una metodología eficaz para la
aprehensión de estos conocimientos, que se logrará mediante la resolución de problemas con
ecuaciones lineales de tres incógnitas; además la implementación de software matemático que se
utiliza para graficar y resolver sistemas de ecuaciones tales como, Derive y Wplotsp, que
incentiva al estudiante a interactuar con las tecnologías TIC(Tecnologías de la información y la
comunicación)para la enseñanza de las matemáticas, dado que permite realizar cálculos,
operaciones algebraicas, representaciones geométricas, etc; de una manera muy sencilla.
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Con base a lo anterior, es preciso fortalecer las habilidades en la resolución de problemas,
siendo generadora de conocimiento dentro del marco de la matemática educativa. Y teniendo en
cuenta las competencias en matemática (comunicación, razonamiento, solución de problemas)
estos son los procesos que debe desarrollar los estudiantes en la compresión del conocimiento
matemático y por medio de estas acciones debe “saber-hacer” en los problemas que se le
propone para resolver.
En suma, esta investigación quiere fortalecer el rasgo fundamental de la facultad de
investigación y en particular el programa de licenciatura en matemática en donde se pretende la
potencialización en el desarrollo del Pensamiento Matemático y mejorar los procesos, tales
como, la Capacidad Crítica y la Innovación en la Enseñanza de las Matemáticas. Por medio de
proyectos que siguen el rigor de la visión del programa.
16
2.2 Objetivos
2.2.1 Objetivo general
Desarrollar habilidades de pensamiento en el planteamiento y resolución de problemas,
utilizando estrategias pedagógicas que involucran las ecuaciones lineales con tres
incógnitas.
2.2.2 Objetivos específicos
Indagar las características de la enseñanza que utiliza el docente para desarrollar el
concepto de ecuaciones lineales con tres incógnitas.
Develar los conceptos previos que poseen los estudiantes en relación con los sistemas de
ecuaciones lineales con tres incógnitas.
implementar estrategias metodológicas que permitan al estudiante un mejor aprendizaje
consiente del proceso en la resolución de problemas que requieran del planteamiento de
ecuaciones lineales con tres incógnitas.
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3 MARCO REFERENCIAL
3.1 Antecedentes
Las investigaciones que se toman como referencia para el presente estudio son:
A nivel internacional
En el estudio de Levicoy Danilo(2010) titulado Sistemas De Ecuaciones y Resolución de
problemas: una Propuesta de Enseñanza Aprendizaje publicada en la Universidad Santa María
De Chile, se encontró que el objetivo de la investigación fue utilizar diferentes métodos para la
resolución sistemas de ecuaciones por medio de situaciones que involucren la vida cotidiana, que
se puedan resolverse por sistemas de ecuaciones con dos incógnitas para desarrollar el
pensamiento lógico-matemático. El cual consistió en la contextualización de situaciones
problemas que fueron utilizados en el proceso de enseñanza y aprendizaje de los sistemas de
ecuaciones lineales con dos incógnitas; por medio de esta propuesta se integraron conceptos
previos de la geometría y el álgebra para que el estudiantes visualizara la relación existente entre
ambas, obteniendo como resultado el fortalecimiento en la resolución de problemas que
involucren ecuaciones lineales.
A nivel nacional
Se pudo encontrarla siguiente propuesta Ecuaciones Lineales, Desde Situaciones
Cotidianas de Arena Bibiana(2013) publicada en la Universidad Nacional Medellín de
Colombia., el cual se evidencio como objetivo central realizar una estrategia de enseñanza –
aprendizaje mediada por el uso de las TIC, que permita desarrollar habilidades en la formulación
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y solución de sistemas de ecuaciones lineales 2x2.La metodología que se propuso en este trabajo
investigativo fue llevada a cabo a partir de las situaciones del contexto en las que se encuentran
sumergidos los estudiantes con el fin de que la habilidad desarrollada en los educandos se haga
desde la práctica desde la teoría como se hace normalmente en las escuelas tradicionales. Los
resultados que se obtuvieron fueron favorables al implementarla alternativas didácticas que
contribuyo al aprendizaje de los estudiante por ende mejorar en la compresión y actitud hacia la
asignatura
A nivel local
Se encontró un estudio realizado de Montes Shyrley & Bocanegra Enith(2010) titulado
Causas de las dificultades en la resolución de problemas que involucran ecuaciones de primer
grado con una o dos variables. Publicado en la Universidad del Atlántico, cuyo objetivo fue
determinar los aspectos que conllevan a los estudiantes a presentar dificultades en la resolución
de problemas que involucren ecuaciones de primer grado con una o dos incógnitas, donde se
realizaron actividades lúdicas, luego se plantearon talleres para que el estudiante demuestre lo
aprendido en cada sesión. Los resultados obtenidos en esta investigación dan a conocer aquellas
dificultades que se vieron reflejadas en el análisis de situaciones problemas tales como:
interpretación y extracción de datos para plantear una ecuación, entre otros aspectos.
Por ende se obtuvo que al diseñar ejercicios y situaciones problemas, las cuales pusieran
en juego aspectos de rutina como leer, analizar y comprender los procedimientos más complejos,
estimulan al estudiante a reflexionar sobre los conocimientos matemáticos que posee, lo cual
ayudara a que supere estas dificultades .
19
Teniendo como referencias los trabajos anteriormente planteados los cuales se tomaron
como punto de partida para la utilización de estrategias didácticas que ayuden al desarrollo de
habilidades en el planteamiento y resolución de problemas de ecuaciones lineales 3x3. Para ello
se utilizó el método de los cuatro pasos por George Polya, además la incursión con herramientas
TIC para el análisis de situaciones problemas del contexto, que involucraban el uso de
representaciones geométricas para darle solución.
Por otro lado al indagar sobre las investigaciones de estos sistemas lineales, no fue
posible encontrar trabajos realizados que involucren tres incógnitas por ende es pertinente
realizar esta propuesta.
20
3.2 Marco Teórico.
El hombre siempre ha procurado buscar la manera de solucionar problemas, como parte de su
proceso evolutivo situaciones complejas, que emergen en su diario vivir. Las matemáticas ha
permitido que los grandes esfuerzos del hombre por mejorar sus condiciones de vida fueran
posibles gracias a esta venerable disciplina; Problemas como la distribución de cosechas o el
cálculo de la órbita de un planeta y muchos otros que presentaban forma lineal, o más bien
podían ser vistos como sistemas de ecuaciones lineales ocuparon a muchos personajes en la
historia de las matemáticas, apropósito se hace un recorrido por ella desde diversas culturas que
trabajaron este tipo de problemas y aportaron a su solución.
Una muestra de las matemáticas, más específicamente de la aritmética y del álgebra, que
se desarrollaron en Egipto se encuentran en el Papiro de Rhind, escrito por el escriba Ahmés,
hacia 1650 a.C. Este documento que es una copia de otra más antigua(2000 – 1800 a.C) arroja
evidencia del uso de ecuaciones lineales y más aún de sistemas de ecuaciones simultáneas, no
necesariamente lineales. Aceptando el simbolismo actual, se plantearon problemas que
implicaban la solución de sistemas como(Luzardo Deivi & Peña alirio, 2006)
{
Los babilonios hacia el año 2000 a.C, también contribuyeron al surgimiento del álgebra a tal
punto que sus aportes son consideradas de los avances más notables en la historia de las
matemáticas, y no es para menos, los babilonios sabían cómo resolver problemas que
involucraban la solución de ecuaciones lineales, cuadráticas, cúbicas e incluso sistemas de
21
ecuaciones lineales y no lineales. Ellos registraban sus notas en ladrillos que luego de
enfrentarlos a altas temperaturas permanecían grabadas de forma perdurable en el tiempo, es así
como hoy por hoy se cuentan con tablas babilónicas que aún son objeto de estudio. En tales
tablillas se ofrecen instrucciones netamente verbales para solucionar ecuaciones.(Luzardo Deivi
& Peña alirio, 2006)
Los babilonios pudieron resolver sistemas de ecuaciones de hasta diez ecuaciones con
diez incógnitas para estudiar una situación referida a observaciones astronómicas. Como ya se
había mencionado, los problemas algebraicos se formulaban y resolvían de forma retórica, sin
hacer uso del simbolismo algebraico; sin embargo, en ocasiones se valían de palabras asociadas a
cantidades geométricas, como es que significaba longitud, para representar incógnitas, inclusive
para problemas que no estuvieran relacionados con situaciones geométricas.(Luzardo Deivi &
Peña alirio, 2006).
Hacia los años 200 a.C. los matemáticos Chinos resolvieron sistemas de ecuaciones
lineales 3 × 3 trabajando con los coeficientes numéricos de las ecuaciones, evidenciado en su
famoso tratado nueve capítulos sobre el arte matemático. En esta obra escrita por Chuan Tsanom
en el año 152 a.C. donde se recogió los avances matemáticos de la época, aparece un método
para resolver sistemas de ecuaciones lineales conocido como la regla “fan-chen” que se podría
comparar con la eliminación gaussiana que conocemos hoy(Luzardo Deivi & Peña alirio, pág.
157).
22
Los chinos se valían de cuadrados (ver figura 1) para organizar la información y
finalmente solucionar el problema:
{
Figura 1: forma de organización de datos ideado por los chinos.
En donde la primera fila de números se referían a los coeficientes de la variable X, la
segunda a los coeficientes de la variable Y, la tercera fila a los de Z y la última fila se ubicaban
las constantes, a diferencia de cuando aplicamos la eliminación gaussiana en la actualidad,
puesto que la matriz aumentada sería diferente a la presentada por los chinos en el cuadrado,
dado que en las matrices se ubican los respectivos coeficientes de las variables en columnas y no
en filas. Luego mediantes ciertas operaciones por columnas, obtuvieron:(Boyer, 1999)
[
] [
] [
] [
]
Por practicidad se presentan corchetes en lugar de cuadrados. Luego, la última matriz
23
Presenta las ecuaciones
{
Aproximadamente en el siglo III d.C el álgebra greco-alejandrina alcanza un punto
interesante para la evolución de las matemáticas con Diofanto de Alejandría, del cual se
desconocen con certeza su origen y detalles sobre su vida, pero si se tiene es información sobre
su edad a través de un acertijo encontrado en alguna colección griega se encuentra Boyer(1999)
“su niñez duró 1/6 de su vida; le creció barba después de 1/12; tras 1/7 más se casó y tuvo
un hijo 5 años más tarde; su hijo vivió la mitad de la edad del padre y finalmente el padre
pereció 4 años después”
Para la solución de este problema se puede plantear la siguiente ecuación:
(
) (
) (
) (
)
A partir de esto se encuentra que x= 84, de aquí podríamos comentar, por ejemplo, que su
hijo murió a la edad de 42, cuando Diofanto tenía 80 años.
Diofanto fue el autor de diversas obras, de las cuales no se tiene información en su
totalidad debido a la destrucción de la biblioteca de Alejandría. Su mayor trabajo, sin lugar a
24
dudas fue La Arithmética, la cual estaba compuesta por trece libros, de los cuales tan sólo seis
fueron conocidos. Esta obra contiene diversos problemas independientes unos de otros, y se
evidencia el nacimiento del simbolismo en el álgebra. El primer libro, trata sobre problemas que
llevan a la formulación de ecuaciones con una o más variables, los cuatro siguientes consisten en
ecuaciones indeterminadas de segundo grado y en el sexto. Diofanto se centra en triángulos
rectángulos, cuyos lados fueran racionales. Una de las grandes habilidades que poseía Diofanto
era reducir ecuaciones de diversos tipos a formas conocidas o que pudiera manejar, generalmente
lineales. Diofanto también resolvió sistemas de ecuaciones, pese a disponer de sólo un símbolo
que representaba la cantidad desconocida, que llamaba aritmo.(kline, 1992)Afirma que “cada
uno de los 189problemas de la Arithmética está resuelto por un procedimiento distinto. Hay más
de 50 tipos diferentes de problemas, pero no se hace ningún intento por clasificarlos”.(El
pensamiento matematico de la antigüedad hasta nuestros días., 1992)
Siglos más tarde, los métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales tomaron otra
forma que permitirían el avance hacia una nueva rama de las matemáticas: el álgebra lineal.
La manera moderna de estudiar los sistemas de ecuaciones lineales se deben en cierta
forma Según (Gonzalez A. G., 2012) a Leibniz quien en su investigación sobre en el año 1963
introdujo la noción de determinante para hacerle frente a su objetivo, aunque no fue el único que
trabajó en este tema; casi al tiempo Seki Kowa, matemático japonés, trabajaba en esta idea, de
hecho escribió Métodos para resolver problemas disimulados, en donde ofrece métodos para
calcular determinantes en situaciones específicas; no obstante, el matemático Girolamo Cardano
en su obra Ars Magna, expuso una regla para solucionar sistemas de dos ecuaciones lineales a la
25
cual llamó regula de modo, que más adelante se conocería como la regla de Cramer, aun así,
Cardano no ofreció una definición formal de determinante, pero si vislumbra las primeras
nociones de este importante concepto(Gonzalez A. G., 2012)
Leibniz se le conoce como el primer matemático en Occidente que hace uso de un
métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, evidencia de ello se
encuentra en una carta enviada por Leibniz al marqués de L’Hopital, en donde hace uso de
subíndices para los coeficientes de un sistema de tres ecuaciones lineales con dos
incógnitas.(Gonzalez A. G., 2012)
Según Boyer(1999), en esta misma carta estos subíndices indicaban filas y columnas en
un sistema de ecuaciones lineales, así:
10 + 11x + 12 y = 0 20 + 21x + 22 y = 0 o también
30 + 31x + 32 y = 0
En notación moderna se puede escribir como
Particularidades que llegaron mucho tiempo después sobre la eliminación de Gauss aunque fue
usado por los chinos tres siglos antes de Cristo en casos particulares como un sistema lineal de 2
x 2, o 3 x 3, aunque se utilizaban procedimientos propios para cada problema donde se transfirió
a Babilonia y Grecia, El inventor del método general fue Isaac Newton, que no lo quiso publicar,
Euler no lo recomendaba, Legendre lo consideraba un método “ordinario” y Gauss lo calificaba
26
como “común.” Hoy en día lo llamamos Método de Eliminación de Gauss. (Gonzalez A. A.,
2012)
¿Por qué el método de eliminación de incógnitas se popularizó con Gauss? todo nuevo
método necesita un problema que resolver. Gauss lo utilizó en el marco del método de mínimos
cuadrados, de gran utilidad en la resolución de múltiples problemas prácticos, como por ejemplo
la determinación de la órbitas astronómicas, Gauss lo aplicó al asteroide Ceres, o en geodesia y
cartografía(Luzardo Deivi & Peña alirio, 2006)
Collette(1985)afirma que Gauss hasta la llegada de los ordenadores, el método se publicó
una docena de veces, calculista manual que llegó a resolver sistemas de 41 ecuaciones con 41
incógnitas, a mano, con el método de eliminación entre 1873 y 1911. Los cálculos a mano son
largos, por ejemplo, Alan Turing en 1946 necesitó dos semanas para resolver un sistema de 18
ecuaciones y 18 incógnitas. Doolittle ya indica en 1878 que es necesario mecanizar el
procedimiento de eliminación y a partir de 1890 empezó a usar una máquina para calcular
sumas(Stewart Ian, 2008)
Para mayor compresión, en esta investigación se elaboró el siguiente diagrama de tiempo.
27
Figura # 1 Diagrama de tiempo en los sistema de ecuaciones
-650 EGIPCIOS Sus evidencias fueron
papiro de rhind y moscú
-600 BABILONICOS Trabajaron sistemas de ecuaciones lineales y
ecuaciones de segundo grado
-300ac LOS GRIEGOS Desarrollarón el algebra
200 LOS CHINOS Resolvierón sistemas de
ecuaciones lineales 3x3trabajaban con
coeficientes numéricos
250 DIOFANTO Perfección de la
notacioin y lenguaje algebraico
700 GIROLAMO CARDANO Regla para solucionar sistemas de dos ecuaciones lineales
1707 EULER Teoría de los cálculos con distitas
cantidades
1801 GAUSS Metodo de eliminación para sistema de ecuaciones lineales de
tres o más incógnita
1990 ORDENADORES Software, calculadoras
28
3.3 Tic Herramienta Para La Resolución De Problemas
El desarrollo y evolución de las matemáticas depende de las herramientas disponibles que
permitan representar y operar objetos matemáticos el uso efectivo de algunas demanda que los
estudiantes desarrollen recursos y estrategias que le permitan apropiarse de la herramienta y
transformarla en un instrumento importante en la compresión delas matemáticas y en la
resolución de problemas , se reconoce que el uso de la tecnología ha generado cambios
sustanciales en la forma de como los estudiantes aprenden matemática.
Balacheff y kaput (1996) afirma que una característica única de los ambientes de
aprendizajes basados en la computadora es su carácter cognitivo intrínseco “ la interacción entre
sus estudiantes y una computadora se basa en responder a la demanda de los estudiantes vía a
una representación simbólica o de cálculo, donde la retroalimentación se realiza a través de un
registro propio que permiten leerse como un fenómeno matemático” (pp. 469-470). El National
Council of Teachers of Mathematics (NCTM,2000) identifica el uso de tecnología como
principio que le debe dar soporte alas propuesta curricular (1999)
“Las calculadoras y computadoras son herramientas esenciales para la enseñanza ,
aprendizaje y desarrollo de las matemáticas. Generan imágenes visuales de las ideas
matemáticas, facilitan la organización y el análisis de datos y realizan cálculos de
manera eficientes y precisa.[…] cuando las herramientas tecnológicas están disponibles,
los estudiantes pueden enfocar su atención en proceso de toma de decisiones, reflexión,
razonamiento y resolución de problemas”(pág. 24)
Un aspecto notable en el uso de la tecnología es que permite establecer representaciones
exactas de configuraciones geométricas que pueden ayudar a los estudiantes en la visualización
de la relación matemática Santos Trigo(2007):
29
Para utilizar TIC se requiere una transformación en la actitud, predisposición y
creatividad. Donde el rol del profesor evoluciona a ser un guía en el salón de clase, favoreciendo
el quehacer de los estudiantes, la capacidad del profesor va a ser determinante a la hora de
enseñar a los alumnos a aprovechar las ventajas de las nuevas herramientas, como son: aumento
del interés por la materia estudiada, mejora la capacidad para resolver problemas, los estudiantes
aprenden a trabajar en grupo y a comunicar sus ideas, los estudiantes adquieren mayor confianza
en sí mismos, incrementan su creatividad e imaginación. Polya(1989).
Además el docente posee nuevas alternativas que han surgido con la nueva era y las
nuevas tecnologías TIC de las cuales se destacan sitios web, que suministran apoyo para el
docente de matemáticas, para reforzar y mejorar el aspecto didáctico de la enseñanza-
aprendizaje del estudiante, es el caso de http://es.onlinemschool.com/1la cual es un conjunto de
programas gratis para la solución de problemas.
Los programas escriben detalladamente el paso de solución de problemas, donde se
permite no sólo sacar el resultado, sino, también aprender a resolver los problemas, encontrar y
corregir los errores en su propia solución o verificar si está correcta.
Existen diferentes tipos de software y portales que son útiles para la enseñanza de
matemáticas, entre los cuales podemos destacar Derive,Wimplot, Geogebra, que son unos
programa de cálculos simbólicos el cual permite realizar cálculo matemático avanzado:
variables, expresiones de tipo, ecuaciones, funciones, vectores, matrices, trigonometría, álgebra,
funciones, etc. También tiene capacidades de calculadora científica, y puede representar
funciones gráficas en dos y tres dimensiones en varios sistemas coordenados.
1http://es.onlinemschool.com/ Calculadora online (consultado 24/5/13)
2Investigacion-Accion Y Curriculum ,Mckernan J(p,24)Editorial Morata (1999)
30
Además es un software completamente gratuito otras de las ventajas que ofrece esta
herramienta tecnológica tic.
Por otro lado existen diversas herramientas Tic como lo son las calculadoras científicas,
que permiten resolver sistemas de ecuaciones lineales de 1,2,3 variables, sirviendo de apoyo
motivacional para los estudiantes en esta era de la tecnología se encuentran plenamente
identificado y mediante estas nuevas opciones el estudiante pueda obtener un aprendizaje
significativo.
3.4 Resolución De Problemas
Un principio fundamental, al considerar la resolución de problemas en el aprendizaje de las
matemáticas, es aceptar que la actividad de aprender no se reducen aun conjunto de reglas que
pueden aplicarse en la solución de problemas en una perspectiva en la que existen una
conceptualización dinámica de las matemáticas y en la cual es importante identificar elementos
que ayuden a desarrollar y promover una disposición matemática en los estudiantes.
Polya(1989)Establece que la formalidad de una prueba matemática y su derivación tienen poco
que ver con el trabajo real de resolver problemas en matemática.
Las heurísticas identificadas por polya se enmarcan en comunicar su propia expresión como
matemático en resolver problemas. Polya compartía que las estrategias y preguntas de experto al
resolver problemas podían ser modeladas por un maestro en el salón de clase. Así ,polya creía
que bajo la guía del maestro, los estudiantes podían , en algún momento, adentrarse en el proceso
31
de como un matemático dialoga consigo mismo durante el proceso de solución y usarlo natural
mente sin ayuda externa.
Así el trabajo de polya se desarrolló alrededor de la solución de problemas matemáticos
específicamente, pero muchas de las heurísticas que enfatizo eran aplicables a la resolución de
problemas en otros dominios , lo cual motivo la noción de que la resolución problema podría ser
vista como una habilidad general y que la resolución de problemas matemáticos simplemente
como un caso especial, polya identifica epatas fundamentales en las que el uso de los métodos
heurísticos desempeñan un papel importante de manera general estas etapas son:
1. Entendimiento del problema. En esta etapa se ubican las estrategias que ayudan a
representar y entender las condiciones del problema. Por ejemplo, ¿Cuál es la
información dada en el problema (datos)?, ¿Cuál es la incógnita?, y ¿Cuáles son las
condiciones que relaciona los datos en el problema?, son algunas preguntas que merece
atención en la fase entendimiento del problema.
Otra heurística importante es dibujar una gráfica o diagrama, introducir una notación
adecuada.
2. Diseño de un plan. En esta etapa se recomienda pensar en problemas conocidos que
tengan una estructura análoga a la de problema que se quiere resolver y así establecer un
plan de resolución. en esta psicología, la habilidad de establecer relaciones se identifica
como un indicador de la inteligencia. Es importante que, como método de solución el
individuo diferencie propiedades estructurales profundas de características superficiales,
como la existencias de palabras comunes de los posibles métodos de solución
Polya(1989)
32
3. Ejecución del plan. Aquí se considera aspectos que ayuden a monitoreas. Una idea
fundamental es tratar de resolver el problema en una forma diferente y analizar o evaluar
la solución obtenida. De hecho esta etapa tiene conexión con lo que polya llama una
visión retrospectiva del proceso de solución (Santos Trigo, pág. 32)
Con lo cual se utilizó el método de resolución de problema de los cuatro pasos de Polya el
cual fue empleado como una herramienta pedagógica resolver situaciones, donde se debía
plantear un sistema de ecuaciones lineales de 2x2 y 3x3 incógnitas, todo esto para
potencializar habilidades de pensamiento.
Las competencias matemáticas no se alcanzan por generación espontánea, sino que requieren
de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones problema significativas y
comprensivas, que posibiliten avanzar a niveles de competencia más y más complejos.
(MEN, 2006, pág. 49)
Por otro lado el aprendizaje debe ser significativo y funcional (Ausubel, 1983), es decir,
tener sentido para quien lo aprende y ser útil más allá del ámbito escolar, es decir no mecanizado
buscar un modelo de pedagógico donde el estudiante capte por completo la conceptualización de
dichos procesos algebraicos y el porqué de los mismos, razón por la cual es fundamental que los
diferentes espacios educativos ofrezcan dentro de sus planes la aplicación que tienen cada uno de
estos temas en la vida cotidiana.
Según Godino en su libro (Matemáticas y su Didáctica para Maestros, Manual para el
Estudiante, Edición Febrero 2003)
33
“La actividad de resolver problemas es esencial si queremos conseguir un aprendizaje
significativo de las matemáticas. No debemos pensar en esta actividad sólo como un
contenido más del currículo matemático, sino como uno de los vehículos principales del
aprendizaje de las matemáticas, y una fuente de motivación para los alumnos ya que
permite contextualizar y personalizar los conocimientos. Al resolver un problema, el
alumno dota de significado a las prácticas matemáticas realizadas, ya que comprende
su finalidad” p 63, 64.
Gracias a la utilización de estas teorías se pretendió interiorizar al estudiante sobre la importancia
de los sistemas ya antes mencionados y su utilización en las situaciones en contexto, no solo para
su vida escolar sino para su futuro.
34
3.5 MARCO CONCEPTUAL
3.5.1 Competencias matemáticas
Según Guzner (2010) el conocimiento es el resultado de una movilización de recursos de índole
diversa, asociados a la aparición de esquemas organizados de "saber, saber hacer y saber ser".
Esta visión, que adhiere a la idea del conocimiento no sólo como sinónimo de la aprehensión de
un cuerpo rígido de contenidos disciplinares es lo que se conoce como “aprendizaje por
competencias”.
Desde una perspectiva estrictamente conceptual Guzner,( 2010), habla de competencias
supone referirse a la capacidad del sujeto que aprende a fin de movilizar los recursos que ha
adquirido para afrontar y resolver una situación problema –intra o inter disciplinar-. Involucra,
en principio, la selección, movilización y combinación de un conjunto de:
• “conocimientos teóricos”, asociados a criterios de ejecución o desempeño (niveles de
dominio) - con los cuales se puede reproducir, decir el qué es, el cómo es, el cuándo acerca de un
objeto,
• “habilidades”, como resultado de un proceso de integración que habilita contestar para
qué es, cómo se usa ese objeto.
En los Lineamientos curriculares se establecen como conocimientos básicos:
Pensamiento numérico y sistemas numéricos, pensamiento espacial y sistemas geométricos,
pensamiento métrico y sistemas de medidas, pensamiento aleatorio y sistemas de datos,
pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos.
35
Formulación, comparación y ejercitación de procedimientos: se refiere al conocimiento
de procedimientos matemáticos (como algoritmos, métodos, técnicas, estrategias y
construcciones), cómo y cuándo usarlos apropiadamente y a la flexibilidad para adaptarlos a
diferentes tareas propuestas.
Modelación: entendida ésta como la forma de describir la interrelación entre el mundo
real y las matemáticas, se constituye en un elemento básico para resolver problemas de la
realidad, construyendo modelos matemáticos que reflejen fielmente las condiciones propuestas, y
para hacer predicciones de una situación original.
Comunicación: implica reconocer el lenguaje propio de las matemáticas, usar las
nociones y procesos matemáticos en la comunicación, reconocer sus significados, expresar,
interpretar y evaluar ideas matemáticas, construir, interpretar y ligar representaciones, producir y
presentar argumentos.
Razonamiento: usualmente se entiende como la acción de ordenar ideas en la mente para
llegar a una conclusión. Para este caso particular, incluye prácticas como justificar estrategias y
procedimientos, formular hipótesis, hacer conjeturas, encontrar contraejemplos, argumentar y
exponer ideas.
Formulación, tratamiento y resolución de problemas: todos los aspectos anteriores se
manifiestan en la habilidad de los estudiantes para éste. Está relacionado con la capacidad para
identificar aspectos relevantes en una situación para plantear o resolver problemas no rutinarios;
es decir, problemas en los cuales es necesario inventarse una nueva forma de enfrentarse a ellos.
36
Actitudes positivas en relación con las propias capacidades matemáticas: este aspecto
alude a que el estudiante tenga confianza en sí mismo y en su capacidad matemática, que piense
que es capaz de resolver tareas matemáticas y de aprender matemáticas; en suma, que el
estudiante admita y valore diferentes niveles de sofisticación en las capacidades matemáticas.
También tiene que ver con reconocer el saber matemático como útil y con sentido.
Llegar a ser matemáticamente competente es un proceso largo y continuo que se
perfecciona durante toda la vida escolar, en la medida que los aspectos anteriores se van
desarrollando de manera simultánea, integrados en las actividades que propone el maestro y las
interacciones que se propician en el aula de clase. El maestro de matemáticas debe ser consciente
de esto al planificar su enseñanza y al interpretar las producciones de sus estudiantes, pues sólo
así logrará potenciar progresivamente en ellos las aptitudes y actitudes que los llevará a tener
mejores desempeños en su competencia matemática. Las competencias matemáticas no son un
asunto de todo o nada.
Por todo lo anterior esta investigación planteo la necesidad de fortalecer estas habilidades
e incursionarla en los de sistemas de ecuaciones lineales 3x3.
37
3.5.2 Sistema De Ecuaciones Lineales
Lay David (2007)Según su libro determina que una ecuación lineal en las variables
es una ecuación que puede escribirse de la forma
(1)
Donde b y los coeficientes son números reales o complejos, por lo general
conocidos cono subíndice puede ser cualquier entero positivo y se nos dice que debemos
determinar los números denominados incógnitas que satisface la ecuación.
(1).Una solución de una ecuación lineal es una sucesión de números que
tiene la propiedad de satisfacer la ecuación.
La solución de los sistemas de ecuaciones lineales encuentra una amplia aplicación de la
ciencia y la tecnología. se tenían métodos para resolver los sistemas, usualmente los sistemas de
ecuaciones lineales son procesos mecánicos donde el estudiante se limita a realizar
procedimientos repetitivos, en donde ellos encuentran cierta indiferencia al estudio de la
resolución de los sistemas de ecuaciones lineales. Existen muchos métodos para darle solución a
los distintos sistemas de ecuaciones lineales con 3 incógnitas de los cuales se tiene:
Eliminación de Gauss consiste en un proceso sistemático y similar al método de la suma
y resta se emplea para resolver ecuaciones con mayor número de incógnitas. Para resolver
ecuaciones con un mayor número de incógnitas. Para resolver un sistema de 3x3 de acuerdo con
el método de Gauss, debe seguirse el procedimiento descrito a continuación.
38
1. Si el primer renglón tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otro que no lo
tenga
2. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados
del renglón superior a los renglones debajo de él.
3. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir
con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en la forma de escalón)
4. Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón
obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de éste sumando múltiplos
correspondientes a los renglones correspondientes(Algebra Lineal, 2008)
Se toma como ejemplo un sistemas de ecuación lineal 3x3 el cual se resolvió utilizando una
calculadora online (http://es.onlinemschool.com/) que tiene como objetivo dar pautas para la
resolución de sistemas lineales 3x3 como se muestra a continuación.
{
se introduce los datos de cada una de las ecuaciones en la calculadora y ella refleja los siguientes
pasos
[
]
De la segunda y tercera fila se sustrae la linea 1, multiplicada respectivamente por 3; 1
39
[
]
Cambiamos de lugar la segunda y tercera fila.
[
]
Dividamos la segunda por -1
[
]
De la fila 1 sustraigamos la línea 2. Multiplicada respectivamente por 1
[
]
Dividimos tercera fila por 4
[
]
De esta forma obtenemos los valores dela incógnita
X = 1 y = 0 z = -1
40
Existen diversos métodos para poder darle solución a los sistemas de ecuaciones lineales 3x3
entre ellos están:
La regla de Cramer se aplica para resolver sistemas de ecuaciones lineales que cumplan
las siguientes condiciones:
1 El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
2 El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.
Tales sistemas son sistemas compatibles determinados y se denominan sistemas de Cramer.
{
Todo sistema de Cramer tiene una sola solución (es decir, es un sistema compatible
determinado) que viene dada por las siguientes expresiones:
son los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º
miembro (los términos independientes) en la 1ª columna, en la 2ª columna, en la 3ª columna y en
la enésima columna respectivamente(Algebra Lineal, 2008)
41
Tipos de sistemas de ecuaciones lineales
Figura #2 Tipos de sistemas de ecuaciones lineales
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que
pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:
Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre:
Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.
Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de
soluciones.
Sistema incompatible si no tiene solución
Figura #3 Casos de resoluciones de sistema de ecuaciones 3x3
Sist
ema
Compatible Determinado
Indeterminado Incompatible
42
Método por Sustitución
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier
incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente y a continuación sustituirla en
otra ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su
valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese
instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en
el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente.
Método De Igualación
El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de
sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se
igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.
Método De Reducción
Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los
casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para
sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones
(generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que
una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación,
se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha
incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de
resolución es simple.
43
Método gráfico
Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El método
(manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un
espacio de dimensión en .
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se
resuelve en los siguientes pasos:
1. Se despeja la incógnita en ambas ecuaciones.
2. Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de
valores correspondientes.
3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
4. En este último paso hay tres posibilidades:
I. Si ambas rectas se cortan en , las coordenadas del punto de corte son los únicos
valores de las incógnitas (x,y). "Sistema compatible determinado".
II. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las
respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden
ambas. «Sistema compatible indeterminado».
III. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución en los reales pero si en
los complejos.
44
Figura # 5. Grafica sistema de ecuaciones lineales 3x3
Figura # 4. Grafico sistema de ecuaciones 2x2
45
4 MARCO METODOLÓGICO.
4.1 Paradigma
La presente investigación está fundamentada filosóficamente por el paradigma socio-critico
propuesto por Kurt Lewin en 1951, ya que se caracteriza por el análisis e introduce la ideología
explicita y la autorreflexión critica en los procesos de conocimiento, su finalidad es la
transformación de la estructura sobre las circunstancias sociales, es decir, su objeto de estudio,
son los individuos y como estos se relacionan con su contexto social y así transformar la
sociedad.
Según Popkewitz (1988) algunos de los principios del paradigma son: (a) conocer y
comprender la realidad como praxis; (b) unir teoría y práctica, integrando conocimientos, acción
y valores; (c) orientar el conocimiento hacia la emancipación y liberación del ser humano; (d)
proponer la integración de todos los participantes, incluyendo el investigador, en procesos de
autorreflexión y de toma de decisiones, las cuales se asumen de manera corresponsables.
Que para tal caso es la comunidad estudiantil de la Institución Educativa Madre
Marcelina donde se lleva a cabo la investigación. Para la cual se procura rediseñar unas
actividades por medio de la implementación y acondicionamientos del ambiente de aprendizaje
en lo que respecta la organización espacial, la forma de trabajo grupal, el cambio del rol del
docente hacia un desempeño como mediador y elaboración de materiales instrucciones; que
finalmente Que tiene como fin fortalecer el desarrollo de habilidades de pensamiento en la
resolución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales por ende, la importancia de vincular
el paradigma señalado en la presente investigación.
46
4.2 Tipo de investigación
El tipo de investigación que se utilizará en este proyecto está basada en la investigación-
acción de Mckernan(1999) quien por medio de esta plantea “el estudio de una situación social
con miras a mejorar la calidad de la acción dentro de ella”2teniendo en cuenta el enfoque
cualitativo en donde se buscara favorecer en el aprendizaje de las estudiantes de la Institución
Educativa Madre Marcelina.
4.3 Población
La investigación se realizó en La Institución Educativa Distrital Madre Marcelina ubicada en la
Calle 48 # 41, el cual fue reconocida por el ministerio de Educación como una de las 100
mejores instituciones del país, ubicándose en el puesto 44 de acuerdo con el nuevo Índice
Sintético de Calidad Educativa (Isce), con el que se busca establecer cómo están en aspectos
como progreso, eficiencia, desempeño y ambiente escolar, además de los resultados en las
Pruebas Saber a los estudiantes de 9° el cual se encuentra dividido en 9A, 9B. Esta institución en
el grado noveno, posee una población estudiantil de estrato socio económico 1, 2 y 3 con edades
que oscilan entre 13 a 16 años de edad. La población estudiantil es de 62 estudiantes, donde
todas son mujeres.
2Investigacion-Accion Y Curriculum ,Mckernan J(p,24)Editorial Morata (1999)
47
4.4 Muestra
La muestra para este proyecto será de 30 estudiantes todas estudiantes adolecentes de sexo
femenino perteneciente a 9A, donde se tomara su totalidad. Puesto que se tuvo mayor
accesibilidad a este grupo de estudiantes debido al horario de la institución y a una mayor
disposición en el tiempo del docente ya que era el mismo para ambos grupos, además se
presentan dificultades al resolver sistemas de ecuaciones lineales, por apatía al área o por
incomprensión en el tema, lo cual se obtuvo por medio de la entrevistas ver Anexo 2 ver
(pag113) y la prueba diagnóstica Anexo 4(pag 117) realizadas al grupo de estudiantes.
GRAFICA # 1 Edades de los Estudiantes
4.5 Etapas de la investigación
Para identificar el problema se realizaron las etapas siguientes: descripción, formulación,
planeación del problema, recolección y análisis de datos, crear una estrategia e implementación
las cuales se observa en la siguiente tabla.
13 años 17%
14 años 47%
15 años 26%
16 años 10%
Edad de los estudiantes de 9°
48
TABLA # 1 Etapas de la investigación
ETAPAS CARACTERISTICAS
1. Descripción del
problema
Particularidad que presentan los estudiantes al resolver problemas
teniendo en cuenta el planteamiento y solución de sistemas de ecuaciones
lineales con tres incógnitas en estudiantes de noveno grado
2. Formulación del
problema
Identificar los elementos que influyen para que se presenten las
dificultades en los estudiantes al resolver sistemas de ecuaciones lineales
3x3.
3. Planeación del
problema
Enfocar la investigación para lograr los objetivos planeados hacia el
desarrollo de habilidades en la resolución de sistemas de ecuaciones
lineales con tres incógnitas.
4. Recolección y
análisis de datos
Realizar e implementar instrumentos (entrevistas, prueba diagnosticas)
que conlleven a la obtención de información detallada sobre la
problemática de los estudiantes por medio de esto analizar dicha
información.
5. Crear una
estrategias
Idear unas estrategias que supla todas las necesidades para desarrollar
habilidades en el planteamiento y solución de sistemas de ecuaciones
lineales.
6. Implementación
de la estrategia
Implementar la estrategia pedagógica que mejore los aprendizajes de las
estudiantes en los sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas.
49
4.6 Técnicas e Instrumentos en recolección de información
En la presente investigación se utilizó las siguientes técnicas e instrumentos que sirvieron como
medios para recolectar información sobre las dificultades que presenta las estudiantes de noveno
grado en la Institución Educativa Madre Marcelina.
Observación de campo: En el proceso de observación del desarrollo de la clase se pudo
notar atreves de la ficha de observación; por medio de este instrumento se pudo observar
la atención de los estudiantes frente a las explicaciones no es constante, debido que el
docente tiene muchos lapsos de silencio, no es continuo con su intervención y eso hace
que los alumnos se distraigan, pierdan la atención y además al docente se le es difícil
volver a recuperar la atención de los estudiantes, por otra parte la participación de los
estudiantes no es espontanea, el docente siempre tienen que incentivarlos con algo para
que se atrevan a participar. En cuanto a manejo de la temática y explicación el docente lo
maneja muy bien a pesar que se limita solo a utilizar el tablero porque durante la
observación no se notó ningún recurso didáctico y mucho menos tecnológico y a pesar
que no se presentó la clase de otra manera solo que la tradicional el desarrollo el maestro
manejo el grupo y logró concluyo su clase Anexo 1ver.(pag 112)
Entrevista a estudiantes: cuyo propósito es indagar sobre la metodología utilizada por el
maestro e identificar cuáles son sus expectativas que ellos visualizan sobre como
quisieran que el profesor les enseñaran al recibir las clases para el desarrollo de su
conocimiento, este instrumento se diseñó gracias a la herramienta Anexo 2(pag 113)
50
Entrevista al docente: la intención es conocer los procedimientos que utiliza en el
desarrollo de la clase y los elementos que hacen parte de ese desarrollo y la
involucración de los estudiantes en la misma Anexo 3ver (pág. 115)
Prueba diagnóstica: se realiza con el fin de analizar los conceptos previos que tiene los
estudiantes al enfrentarse con el planteamiento y solución de sistemas de ecuaciones
lineales con tres incógnitas del cual se analizará tanto las dificultades como las
habilidades para el desarrollo de las mismas .Anexo 4 ver (pág. 117)
En el desarrollo de los instrumentos se realizaron la validación de estos por experto
según Hidalgo Laura(2013)consiste en la exigencia de una interacción constante con el
investigador y el evaluador, en toda investigación cualitativa se de una revisión e
interpretación imparcial y precisa sobre las técnicas e instrumentos implementados por
ende “garantizar la consistencia y credibilidad de los resultados obtenidos
aproximándose a una explicación real del quién, cómo, cuándo y por qué sucede”
(Hidalgo) para ello se necesitó el Juicio de un experto quien evaluó la relevancia,
coherencia, suficiencia y claridad de las preguntas en los instrumentos(entrevistas y
prueba diagnóstica)para así poder ser implementados en los estudiantes de 9° de la
institución.
Para ello se le pidió a una persona externa que tiene conocimiento sobre el tema y este
reviso los instrumentos y sugirió ciertos cambios para poder implementarlo. El cual
fueron aceptados y realizados para ejecutar los instrumentos. Ver (Anexo 6)
51
4.7 Análisis E Interpretación De Resultados
El análisis e interpretación de los resultados se utiliza para tener datos detallados sobre cada uno
de los procedimientos que realiza a los estudiantes y obtener información relevante para la
investigación, por ende se presentara los resultados de los instrumentos aplicados en esta
propuesta.
4.7.1 Observación
La técnica de observación fue muy importante para obtener información útil ya que se pudo
notar que los estudiantes se distraen con mucha facilidad al escuchar las clases del docente, sus
clases son magistrales y los recursos que utiliza son marcador y tablero, esto para los estudiantes
suele ser aburridor, no los incentiva a pasar al tablero, muchos no se atreven a responder las
preguntas sueltas que lanza el docente de manera espontánea. La explicación de los conceptos
fue buena, demostró manejo de grupo.
52
4.7.2 Entrevista a estudiantes.
La finalidad de este instrumento es indagar la metodología utilizada por el Docente,
además conocer si los estudiantes utilizan las tics para el desarrollo de su conocimiento. Así
mismo uno de los objetivos de este trabajo es encontrar la metodología apropiada de enseñanza
de los sistemas de ecuaciones lineales 3x3, por tanto es necesario reconocer. ¿Cuáles son los
interés de los estudiantes?, ¿El grado de interés por la asignatura?, ¿Qué método es más
apropiado utilizar para que los estudiantes se interesarse más por el estudio de las matemáticas?.
El tipo de preguntas utilizadas en este instrumento son cerradas, claras y precisas
el cual solo pueden ser resueltas por los mismos estudiantes que son objeto de esta investigación
por ello esta herramienta permitió hacer un acercamiento profundo a la implementación de
estrategias didácticas que potencializaran el interés y la motivación en los estudiantes.
Por todos estos interrogantes se pudo realizar el siguiente análisis
TABLA # 2 Entrevista a estudiantes
CATEGORIA IDEAS CLAVES DE
INDAGACION HALLAZGO
1. Metodología del
docente.
* Te gusta como tu profesor
actual dicta las clases de
matemáticas
* El profesor utiliza palabras que
en la clase no entiendes.
Las estudiantes manifiestan
aburrirse la mayorías de las veces
con las clases
53
2. Ambiente de aula
* Te gusta la asignatura de
matemáticas
* Tienes una participación activa
mientras el docente se encuentra
desarrollando los temas
propuestos.
A veces les gusta la asignatura y
participan en clase.
3. Desarrollo del
aprendizaje
* Siente que es importante para tu
vida aprender matemáticas.
* Te gustan los juegos o acertijos
que involucren matemática.
* Se te facilita realizar las
operaciones con suma, resta,
multiplicación y división
* Identificas los datos dentro de
un problema matemático
Según los estudiantes a veces
pueden identificar en donde pueden
utilizar las matemáticas, y se le
dificulta saber que operaciones
deber realizar
4.Evaluación del
aprendizaje
* Si en una operación cambian un
número por una letra, entiendes la
operación.
* Reconoces las soluciones de
una ecuación lineal por medio de
gráficas
* Reconoces cuales son los
métodos que permiten dar
solución a un sistema de
ecuaciones lineales.
La mitad de las veces no pueden
realizar los ejercicios por que tuvo
algún cambio al ejercicio planteado
por el profesor
54
4.7.3 Entrevistas a docente
Se recolectó información esencial para obtener información sobre la planeación y ejecución de
estrategias pedagógicas que implementan los docentes en el área de matemática, para analizar un
poco sobre esta entrevista podrás encontrar información en la siguiente tabla.
TABLA # 3 Entrevista a docentes
CATEGORIA IDEAS CLAVES DE INDAGACIÓN ANALISIS
1. Planeación
del trabajo del
aula y factores
motivacionales
*¿Cuánto tiempo lleva en su labor como
docente?
* ¿Se siente usted a gusto en su labor de
educador?.
¿Cuál piensa usted, que es la razón para que
los estudiantes sientan apatía en el área de
matemática?
El docente se siente a gusto
trabajando en la institución, pero
falta motivación al trabajar el
área de matematicas con las
estudiantes
2. Desarrollo de
habilidades
cognitivas y
resolución de
problemas
*¿Cree usted que los estudiantes de noveno
grado de esta institución tienen dificultades
en la resolución de problemas en donde se
utiliza un sistema de ecuaciones lineales?
* ¿Utiliza usted los métodos de Resolución
de Problemas planteados por Polya (1945)
para enseñar a sus estudiantes, como
resolver problemas? Si su respuesta es
positiva, explique de qué forma lo aplica
Conoce el método utilizado por
Polya pero no dinamiza con los
estudiantes para una mayor
compresión de problemas y
posterior resolución.
3. Uso de
estrategias.
*¿De qué forma, usted ayuda al estudiante a
superar las dificultades en el área?
*¿Qué estrategia ha utilizado usted para
mejorar las dificultades en los estudiantes en
la resolución de problemas?
* El uso de las TIC hace parte de las clases
que usted desarrolla
Utiliza un método poco
estratégico para la
implementación de las clases y
por ende pierde la atención de
los estudiantes al trabajar en el
área
55
4.7.4 Prueba diagnóstica o Pre-Test
Para poder obtener datos sobre cuáles son las debilidades que presentaron los estudiantes
en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales se presentó la prueba diagnóstica. En el cual
se logró identificar donde radica las falencias que tiene los estudiantes y así poder encontrar una
estrategia que ayude a la aprensión de los conceptos ligados a los sistemas de ecuaciones
lineales.
Por tanto se obtuvo la información que fue de vital ayuda para caracterizar cada uno de
los indicadores de desempeño que debe manejar el estudiantes según la necesidad del tema y
ubicar donde radica las falencias por ende podemos encontrar esas característica en la siguiente
tabla
56
TABLA # 4 Prueba Diagnostica
PREGUNTA COMPETENCIAS FRECUENCIA PORCENTAJE
1
*Interpretar y usar expresiones
algebraicas equivalentes.
20
66.67%
2
*Establece relaciones entre propiedades
de las gráficas y propiedades de las
ecuaciones algebraicas.
*Identificar características de gráficas
cartesianas en relación con la situación
que represen
22
73.33%
2.1
*Resolver problemas que requieran para
su solución ecuaciones lineales y
sistemas de ecuaciones lineales
3
10 %
3
*Usar y relacionar diferentes
representaciones para modelar
situaciones de variación, y viceversa.
10
33.33%
3.1
* Modelar situaciones de un lenguaje
común a un lenguaje algebraico.
7
23.33%
4
*Modelar situaciones de un lenguaje
común a un lenguaje algebraico.
9
30%
*Resolver problemas que requieran para
su solución ecuaciones lineales y
sistemas de ecuaciones lineales
0
0%
57
Grafica 2 Prueba Diagnóstica
Al observar esta gráfica podemos visualizar información sobre cuáles son esas
competencias que el estudiante presenta dificultades y en donde podemos fortalecer ya sea en la
modelación, resolución e interpretación de los problemas que tienen como eje los sistemas de
ecuaciones lineales.
Según la anterior gráfica, los estudiantes presentaron dificultades al plantear una
ecuación, reconocer las variables e identificar características cartesianas de una gráfica en el
plano cartesianos. Así mismo se observaron problemas con el planteamiento de los diferentes
sistemas de ecuaciones lineales.
0
5
10
15
20
25
30
1 2 2,1 3 3,1 4
Alto
Bajo
Gráfica de la Prueba Diagnóstica
Preguntas
Desempeños
58
4.8 Prueba Final o Post Test:.
Se realiza con el fin de comparar los resultados arrojados por la prueba inicial o pre test, luego de
aplicar la propuesta pedagógica planteada, esta prueba se realizara de manera escrita.
Esta herramienta fue utilizada para mostrar el grado de efectividad de la propuesta
planificada y aplicada, por otro lado su relación con el análisis de los resultados arrojados en la
aplicación de cada una de las fases de la propuesta pedagógica planteada se evidenció una
mejora secuencial y significativa en cuanto a la interpretación y resolución de problemas que
involucran ecuaciones de segundo grado con una incógnita, en comparación con el diagnostico o
pre test, lo cual demuestra la efectividad de esta estrategia pedagógica. Anexo 5 (Pág. 120)
59
Entender el proceso de como un individuo resuelve problemas es fundamental al proponer
actividades de instrucción durante el aprendizaje de las matemáticas, puesto que se identifica la
importancia de relacionar la resolución de problemas bajo una perspectiva dinámica de las
matemáticas
Por ende se ha creado una propuesta que busca implementar recursos didácticos, que
surge a través de buscar una alternativas para fortalecer las dificultades en el planteamiento y
solución de sistemas de ecuaciones lineales
.
60
4.9 Descripción de la propuesta.
La propuesta resultado de la investigación, se realizó con las estudiantes de noveno grado de la
Institución Educativa Madre Marcelina de la Ciudad de Barranquilla.
Se trabajarán con guías de forma secuencial donde el estudiante utilice habilidades de
pensamiento y la adquisición de habilidades de análisis, observación, de razonamiento lógico
matemático y pueda después llevarlas a la cotidianidad. Las guías a trabajar, están
fundamentadas en un aprendizaje donde el estudiante vea la aplicabilidad de la temática y
encuentre sentido a la adquisición de los contenidos y particularmente en este caso a su
utilización, dado que son contenidos que el estudiante ya conoce, propiciando además
motivación y gusto al momento de la aplicación del conocimiento matemático..
Las guías de trabajo están organizadas de tal manera que permitan a los estudiantes el
afianzamiento de los contenidos propuestos desde el momento de su construcción hasta llegar al
momento de su aplicación, permitiéndonos percibir y analizar los avances alcanzados mediante
el desarrollo de cada una de las guías.
Estas guías, serán desarrolladas de forma que no sea solamente el docente quien
intervenga en la construcción del conocimiento, sino que el mismo estudiante a partir de las
orientaciones dadas por el docente y de los recursos utilizados (videos) se motive en el desarrollo
de cada una de las actividades propuestas, y de esta forma generar en el estudiante una razón o
un sentido en el desarrollo y aplicación de los contenidos matemáticos propuestos.
61
Dentro de las guías a desarrollar encontraremos los siguientes contenidos matemáticos:
Lenguaje algebraico, ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones con tres incógnitas. En la
estructura de las guías de trabajo encontramos el nombre del tema a trabajar, una situación
problema relacionada con el tema, la conceptualización del tema y por último una serie de
ejercicios y problemas para resolver
Para la realización del análisis se tendrán en cuenta los siguientes criterios: conceptuales
y procedimentales. Dentro del criterio conceptual se tendrá en cuenta el aprendizaje y manejo de
los contenidos, los procedimentales son aquellos indicadores que nos reflejan las habilidades,
destrezas y procesos desarrollados.
62
4.10 Objetivos.
4.10.1 Objetivo General.
Incentivar en el estudiante a solucionar problemas de sistemas de ecuaciones lineales con
la ayuda de las TIC y estrategias didácticas.
4.10.2 Objetivos Específicos.
Aplicar estrategias didácticas que incentiven al estudiante a participar en área de
matemáticas.
Resolver sistemas de ecuaciones lineales donde el estudiante fortalezca cada uno de los
procesos de resolución y sus conceptos previos.
Proporcionar en el estudiante estrategias pedagógicas que faciliten la interpretación de
problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales.
63
Tabla # 6Plan de Acción
OBJETIVO ETAPAS ACTIVIDADES FECHAS RECURSOS APRENDIZAJES
*Fortalecer los
prerrequisitos para el
aprendizaje
significativo de los
sistemas de ecuaciones
lineales.
ETAPA 1
Cuadro
mágico
* Identificar de qué forma se le
da solución al cuadro mágico
*Resolver el cuadro mágico.
*Resolver guía 1
*Socialización sobre las formas
de solucionarlo
21 de
octubre
* Tablero
* Marcador
* Lápiz
* Cartelera
* Guía 1
* Identificar las características
de las incógnitas, además de
los procedimientos necesarios
para resolver una ecuación
lineal.
* Resolver sistemas de
ecuaciones con tres
incógnitas
ETAPA 2
Arítmetogono
*Entregar pautas para la
resolución del arítmetogono por
medio de sistemas de ecuaciones.
*Resolver la guía 2
*Socialización sobre lo
aprendido
22 de
octubre
* Tablero
* Marcador
* Lápiz
* Cartelera
* Guía 2
* Relacionar patrones
simbólicos a partir de
situaciones que involucran
ecuaciones lineales.
*Determinar que
estrategias faciliten la
interpretación y
solución de sistemas de
ecuaciones lineales.
ETAPA 3
Resolución de
problemas
* Leer los enunciados
cuidadosamente.
* Escoger una estrategia para
hallar la solución de los
problemas.
* Socialización sobre las formas
de solucionarlo
23 y 24 de
octubre
* Tablero
* Marcador
* Lápiz
* Guía 3
*Reconocer como construir la
solución de problemas que
involucren sistemas de
ecuaciones lineales, atreves de
la técnica de los cuatro pasos
de Polya.
64
*Identificar cuáles son
las características de
figuras
tridimensionales en el
espacio
ETAPA 4
Armando
cubos
*Por medio del papel formar
figuras tridimensionales
* Señalar los ejes
* Identificar como se forman los
planos dentro de un cubo
28 de
octubre
*Tijeras
*Regla
*Lápiz
*Hojas
milimetradas
*Goma
*Armar figuras e identificar
sus características.
* Incorporar las TIC en
la realización de
graficas por medio de
un software
ETAPA 5
Graficando
con derive
*Se trabajara en la sale de
informática
*Se realizara la actividad con un
software que se ha instalado en
el computador y que permite
trabajar la representación de
gráficas.
29 de
octubre
*Sala de
informática
*Tablero
* Marcador
* Lápiz
* Guía 4
*Identificar representaciones
geométricas de cada una de las
ecuaciones lineales para
observar la solución grafica en
3D (solución única, infinita e
inconsistente).
*Incorporar una
calculadora web para la
resolución de sistemas
de ecuaciones lineales
3x3 por medio del link
/es.onlinemschool.com/
ETAPA 6
Calculadora
web
*Se trabajara en la sale de
informática.
*Se utilizara la calculadora web
/es.onlinemschool.com/ para la
resolución de sistemas lineales
3x3
30 de
octubre
* Sala de
informática
*Tablero
* Marcador
* Lápiz
*Identificar la solución de
ejercicios con sistemas de
ecuaciones lineales 3x3, para
observar la solución detallada
por el método de eliminación
Gaussiana.
65
"¿Qué es un maestro?
No es aquél que enseña algo.... sino aquél que inspira al alumno
a dar lo mejor de sí para descubrir un conocimiento que ya tiene dentro de su alma."
Paulo Coelho.
Desafiando las
Matemáticas
66
DESAFIANDO LAS MATEMATICAS
Guías para el afianzamiento en el desarrollo de habilidades de pensamiento en
la resolución de problemas teniendo en cuenta los sistemas de ecuaciones
lineales 3x3
Rosa María Gómez Noriega
Asesor:
M. sc. Raúl Castro Vidal
Estudiante En Licenciatura En Matemática
Universidad Del Atlántico
2015
67
Paso 1: Entender el problema, planteémonos los
siguientes interrogantes.
¿Cuáles son los datos? ¿Cuáles son las
incógnitas?
GUÍA 1 CUADRO MÁGICO
Objetivos: Identificar las características de las incógnitas, además de los procedimientos
necesarios para resolver una ecuación lineal.
Para resolver los cuadros mágicos tienes que tener en cuenta que la suma de las filas, las
columnas y las diagonales siempre van hacer la misma y ha esta se le denomina
“constante mágica”.
Para encontrar el resultado en cada uno de
los espacios, en blanco de la tortuga debemos
tener en cuenta los siguientes pasos.
Sabías que los cuadros mágicos son muy antiguos, una leyenda china cuenta
que alrededor del año 2200 a.c el emperador yu vio en las orillas del rio Amarillo
un cuadrado mágico grabado en el caparazón de una tortuga se denominó “LO-SHU”
Paso 2: Observa la primera fila de la tortuga. Plantea
una ecuación en la cual puedes obtener la solución de
lo que buscas. ¿Qué operación utilizas? ¿Sabes cuál
es el valor donde tienes que hallar?
¿Cuáles son los número que van el cada uno
de los espacios en blanco de la tortuga .si su
constante mágica es 15?
Paso 3: Después de haber encontrado la solución
anterior, observa la tortuga y mira que otras
ecuaciones puedes plantear para hallar la solución
de los espacios en blanco que tienen la tortuga.
Paso 4: verifica si cada una de las ecuaciones que
resolviste tienes las características requeridas para la
solución del cuadro mágico, es decir en todas las
direcciones (filas, columnas, diagonales) sea 15.
68
Ahora es tu turno para resolver los siguientes cuadros mágicos teniendo en cuenta los
pasos anteriores para resolver dichos cuadros.
¿Cuál es el valor de las letras (K,M,X,N) ?
Práctica lo que aprendiste
Encuentra el valor de cada una delas letras que están dentro del cuadro mágico.
Ten en cuenta como pudimos resolver las anteriores ecuaciones.
1. 4x+1=2
2. 5x=8x-15
3. 5x+6=10x+5
4. 5y+66y-81=7y+102+65y
5. X + 2 (3x + 1)= 3(x – 2)
69
GUÍA 2 ARÍTMETOGONO
Objetivos
Relacionar patrones simbólicos a partir de situaciones que involucran ecuaciones lineales.
Competencias
En un arítmetogono es una figura geométrica que está formada por cuadros y círculos los
cuales cada uno tiene su funcionalidad; el número que está en un cuadrado es suma de los
que están a su lado.
Halla el valor de cada incógnita que está en el arítmetogono.
1. Determina cuales son las
incógnitas
2. ¿Que podrías formar con
esas incógnitas?
3. ¿Cuántas ecuaciones
crees que puedes formar?
4. ¿será que puedes utilizar
las operaciones básicas
sumas y resta?
5.¿Cómo harías para
encontrar los valores de las
incógnitas?
3 7 4
X
Y Z
11 12
13
70
Ahora es tu turno .
Encuentra el valor de las incógnitas
X
Y Z
9 8
7
2
X
Y Z
22
31
34
43
L
71
Interpreta y resuelve la historieta, encontrando los valores de las incógnitas por
medio del método de gauss.
GUÍA 3Resolución de problemas
Objetivos: Reconocer como construir la solución de problemas que involucren sistemas de
ecuaciones lineales, atreves de la técnica de los cuatro pasos de Polya.
Comprando con
Gauss
72
73
Para aprender a resolver un problema matemático, a continuación te presentamos el método
de los cuatro pasos sugeridos por George Polya, el cual te iremos explicando a medidas que
resolvamos el anterior problema:
Paso I:Lee el problema tantas veces como sea necesario hasta comprenderlo. En
este paso se debe tener en cuenta:
74
¿Cuáles son los datos? (lo que conocemos)
¿Cuáles son las incógnitas? (lo que buscamos)
Si se puede, realiza un esquema o dibujo de la situación.
X =lo que gastamos en
y=lo que gastamos en
z=lo que gastamos en
Paso II: TRAZA UN PLAN PARA RESOLVERLO
Los datos que ubicamos en el problema anterior son:
En pan , manzanas y queso se gastaron 16 pesos
En manzanas hemos gastado el doble que en pan
En queso sólo el triple que en pan más lo que hemos gastado en manzanas.
Deseamos saber ¿cuál es el valor de cada uno de los artículos comprados?
Representaremos de la siguiente forma cada incógnita:
75
o ¿Este problema se parece a otros que hallas
realizado?
o ¿Puedes ilustrar el problema de otra forma?
o Plantea la ecuación correspondiente.
Ya has comprendido bien cuáles son las incógnitas, ahora es tiempo para que crees una
estrategia para buscar la solución.
Ahora vamos a ir escribiendo las ecuaciones con los datos que me hemos extraído ¿Cuánto
hemos gastado en total?
Como nuestra mama nos dio 20 pesos y nos sobraron 4 entonces podemos decir que nos
gastamos 16 pesos en comprar manzanas, pan y queso
X + y +z = 16
En manzanas hemos gastado el doble que en pan, entonces:
X =2y
Pero en queso hemos gastado el triple que en pan más lo que hemos gastado en manzanas.
z = x + 3y
76
Ahora tenemos 3 ecuaciones lineales con tres incógnitas. Definamos el sistema de
ecuaciones.
{
Paso III : Ejecutemos el plan
En este paso resolveremos la ecuación que planteaste en el paso anterior. Teniendo en
cuenta lo siguiente:
Comprobar y justificar cada uno de los pasos.
Si te tropiezas con alguna dificultad, debes volver al principio, reordenar las ideas y probar
de nuevo.
Despejemos cada una de las incógnitas
{
Resolvamos por el método de Gauss, colocando los coeficientes correspondientes a cada
una de las incógnitas en un sistema matricial.
⟨
| ⟩
77
Lo que tenemos que conseguir operando con las filas es transformar en 0 los números que
observamos de un color distinto.
⟨
| ⟩
Empezamos con el número del círculo rojo Como es un 1 igual que el mismo número en su
posición en la Fila 1 sólo tenemos que calcular Fila 2 menos la Fila 1, y sustituir la Fila
2por la nueva fila obtenida:
Con esto, la matriz de coeficientes se transforma en la siguiente:
⟨
| ⟩
Ahora le toca el turno al número de color verde. Como es -1 y en la Fila 1 en esa columna
tenemos un 1, bastará consumar la Fila 3 con la Fila 1, y sustituir la Fila 3por la nueva
fila obtenida.
Sustituimos en la matriz de coeficientes:
⟨
|
⟩
Fila
1 Fila
2
Fila
1
Fila 2
78
Observamos que el número de color azul ha cambiado. si hubiese cambiado a 0 ya
habríamos acabado. Pero no, aún no es 0. Tenemos que seguir currando. Pero antes que
nada, fíjate que todos los coeficientes de la Fila 3 son pares, todos son divisibles por 2.
Si dividimos la Fila 3 por 2, nos quedará:
⟨
| ⟩
Para conseguir que el -1 el número azul sea 0, ahora usamos la Fila 2, porque si usamos
la Fila 1 podríamos perder el 0 del número verde que acabamos de conseguir.
Por tanto Tenemos que multiplicar el número de la Fila 2 correspondiente a la columna de
nuestro número azul, el -3, por un número para que el resultado sea 1 y al sumarlo a la Fila
3, nuestro -1 se convierta en un 0.
Multiplicaremos la Fila 2 por -1/3 y lo sumaremos a la Fila 3, el resultado será la
nueva Fila 3 de la matriz de coeficientes.
Ahora tenemos la nueva fila 3 de la siguiente forma:
⟨
|
⟩
Y si multiplicamos por 3 la fila número tres obtenemos:
⟨
|
⟩
𝟏
𝟑Fila 2 Fila 3
79
Pero también nos damos cuenta que podemos dividir la fila tres por 4 ya que ambos
números son múltiplos de cuatro.
⟨
|
⟩
Y tenemos que Z=10, por tanto el sistema quedaría de la siguiente forma.
{
Ahora reemplazamos el valor de z en cada una de las ecuaciones para encontrar el valor de
x, y en:
, liego reemplazamos los valores encontrados en la ecuación:
Entonces hemos gastado:
4 Pesos en manzanas
2 Pesos en pan y
10 Pesos en queso
80
PASO IV COMPROBAR LA SOLUCIÓN OBTENIDA.
Ahora debes comprobar si la respuesta que se obtuvo es correcta. Para esto ten en cuenta:
Leer de nuevo el enunciado y comprueba que se te pedía, es lo que se has averiguado. Da la
solución y concluye claramente lo que hallaste.
2. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales 3x3.
1. Un videoclub está especializado en películas de tres t ipos:
infanti les, oeste americano y terror. Se sabe que:
El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste
representan el 30% del total de las películas. El 20% de las
infanti les más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror
al representan la mitad del total de las películas. Hay 100
películas más del oeste que de infantiles.
𝑥 𝑦 𝑧
Para verificar sustituimos los valores obtenidos y
vemos si realmente es la respuesta correcta: X=4,
Y=2, Z=10 en alguna de las ecuaciones tomemos la
primera:
Se cumple la igualdad por tanto la respuesta que
encontrado es acorde al problema planteado.
81
Halla el número de pel ículas de cada tipo.
2. {
3. {
4. {
5. El costo para producir un par de zapatos es de $14 000 y depende de la materia
prima y de la mano de obra.
a) Si el costo de la materia prima es el doble del costo de la mano de obra, ¿cuál es
el costo de la materia prima y de la mano de obra?
b) Si produce 260 pares de zapato y los vende a 75 000 cada par, ¿cuál es el costo
variable y la utilidad de esta producción, si el costo fijo es de 120 000?
82
Actividad 5
DERIVE
Derive es un software para trabajar y aprender matematicas básicas y avanzadas. Con esta
aplicación se pueden ilustrar conceptos como : ecuaciones, funciones, vectores y matrices,
entre otros. También se emplea como calculadora científica y graficadora en 2D y 3D.
La potencia de Derive es enorme y no resulta complicado de manejar, teniendo en cuenta la
gran cantidad de posibilidades que ofrece. Es fácil navegar a través de él y consultar la
ayuda online y la tabla de contenidos. El usuario también puede personalizar menús, barras
de herramientas y atajos de teclado.
¿Cómo instalar Derive en tu computador? Para descargar el software derive puedes ir a, la
página http://derive.softonic.com/descargar
Imagen #1 icono Derive
Imagen # 2 grafico 3D Derive
83
Imagen # 3 ventana descargar Derive
Al descargarlo aparecerá como un archivo comprimido, le damos clic en el archivo
luego otra vez nos aparece el archivo comprimido así comenzamos la instalación Derive
español.
Imagen # 4 Guardar Derive Portable
84
Aceptamos los terminos de funcionamiento y damos aceptar, despues nos pide el
idioma en este caso colocamos español, damos aceptar, esperamos que carge y damos
instalar y guardar el archivo en el disco duro o en un disco de su prefrerencia damos aceptar
esperamos que termine de cargar y finalizar. una vez finalizada la instalacion se nos habre
la interfax de Derive 6 donde prodra realizar las aplicaciones contenidas. la utilizacion se
explicara mas adelante
¿Cómo lo podemos usar?
Teclas de funciones interesantes en el entorno algebraico:
F1.Ayuda.
F2.Editor de línea para introducir una expresión.
F3.Introduce en la línea de edición una expresión previamente marcada.
F4.Introduce en la línea de edición una expresión previamente marcada,
introduciéndola entre paréntesis.
F5.Inserta una línea de texto.
Barra de herramientas
85
¿Cómo graficar en 3D usando Derive?
Grafiquemos el siguiente sistema de ecuaciones de 3x3.
Primero escribimos cada una de las ecuaciones en la barra de entrada, una a una.
Hasta escribirlas todas.
Imagen # 5 Ventana Derive
Imagen # 6 Iconos de Derive
86
Imagen # 7 Insertar ecuaciones en Derive 1
Luego nos vamos a la barra de herramientas y damos clic en gráficos 3D. y
seleccionamos la opción representar. Y repetimos el proceso con cada una de las demás
ecuaciones.
Imagen #9. Sistemas de ecuaciones 3x3
Ahora bien podemos notar que el sistema de ecuaciones posee soluciones únicas
dado que los tres planos se intersecan en un punto. En este caso el sistema tiene solución
Imagen # 8. Gráficos 3D Derive
Imagen #10. Grafico Ventana en 3D
87
Imagen # 12 Elementos de gráficos Derive
Reales los números X, Y, Z; que representan las coordenadas de un punto P. Además
podemos usar el derive para solucionarlo y los resultados son:
Por otro lado un sistema de ecuaciones lineales tiene un número infinito de
soluciones si tienen una línea recta en común o si coinciden.
Imagen # 11. Sistema con infinitas soluciones
.
88
Inconsistente o no posee solución, si dos (o los tres) planos son paralelos, si dos de
ellos coinciden y el tercero es paralelo, o si las intersecciones de cada par de ellos son
rectas paralelas.
En resumen.
Imagen # 13Soluciones Gráficas de sistemas de ecuaciones lineales 3x3
89
Actividad 6
Para la implementación de esta actividad se hizo necesaria la biblioteca la cual estaba
dotada de computadores, con acceso a internet.
Las siguientes imágenes son tomadas para identificar cual es el proceso que se debe
realizar para utilizar esta herramienta.
1. Abrimos nuestro buscador e introducimos la siguiente página web
http://es.onlinemschool.com/ donde podemos observar la siguiente imagen. Esta
herramienta es de fácil acceso y utilidad ya que solo hay que introducir los datos o
coeficientes de las ecuaciones y este resuelve dando cada uno de los pasos que se utilizó
para tener información detallada sobre las pautas para la resolución de sistemas de
ecuaciones lineales 3x3.
CALCULADORA WEB ONLINEMSCHOOL
Imagen # 14portada de la calculadora Web
90
2. En la ventana que se muestra introducimos los valores de los coeficientes.
Imagen # 15Ventana para introducir los datos.
3. posterior a ello observamos la solución y las pautas que esta herramienta nos
brinda para hallarle la solución al sistema lineal 3x3
Imagen #16 Ventana solución del sistema por la calculadora
91
TABLA # 7 Planificación de clase tic
GUÍA PARA LA PLANIFICACIÓN DE LAS CLASES UTILIZANDO TIC
Nombre de la
Asignatura Matemática
No. estudiantes 30 Estudiantes No. de equipos 2 Grado 9° A Período Cuarto Contenido/Conceptos
de la clase Ecuaciones lineales, graficas de ecuaciones, solución de sistemas ecuaciones
lineales. Objetivos de
aprendizaje Identificar representaciones geométricas de cada una de las ecuaciones lineales
Fecha de realización 22 octubre ASPECTOS PARA EL DESARROLLO DE LA CLASE
Fases Duración Actividad Recursos TIC
Inicio 15 min Introducción hacia la instalación y
utilización del software derive. Video Beam,
computadores.
Desarrollo 1 : 25 min
Realizar graficas por medio del software e
identificar las características de las
gráficas. Utilizar la calculadora
es.onlinemschool.com para observar la
resolución de sistemas en ecuaciones
lineales con tres incógnitas.
Computadores,
la web.
Cierre 10 min
Socialización sobre las característica del
programas y la implementación al resolver
y gráficas y resolver sistemas
Computadores
Estrategia de evaluación del
aprendizaje Realización de guías en el cual se encontraran ejercicios donde se
utilizaran los recursos tic
92
5 ANALISIS DE LA PROPUESTA
Para demostrar la efectividad de la propuesta que se plateó y ejecuto en la Institución
Educativa Madre Marcelina con la finalidad de superar las dificultades presentadas por los
estudiantes de Novenos Grado A, en la resolución de problemas que involucran sistemas de
ecuaciones lineales con tres incógnitas por el método de eliminación, las cuales fueron
detectadas mediante la prueba diagnóstica, presentamos a continuación el análisis de cada
una de las actividades.
5.1 Actividad 1 Cuadro mágico
La primera actividad se denominó “Cuadro Mágico” la cual se desarrolló de la siguiente
forma: en primer lugar se realizó una reseña histórica sobre la utilidad del cuadro mágico,
su creador, su trascendencia a través del tiempo, hasta la actualidad; posteriormente se
procedió a realizar una breve explicación sobre cómo se emplea está herramienta para la
solución de sistemas de ecuaciones lineales se expresó a los estudiantes en qué consistía la
actividad propuesta, ya que estuvo planificada para ser resuelta en parejas.
Los estudiantes debían resolver un grupo de ejercicios, en los cuales se empleaba el
cuadro mágico en cada uno de ellos, al realizar este; los estudiantes se sintieron motivados
y participativos al manifestar el gran interés que producía encontrar cada una de las
93
incógnitas inmersas en dichos cuadros. A continuación se muestra el gráfico que ilustra los
resultados obtenidos en esta actividad.
Grafico 3. Actividad 1
Como se puede observar en la anterior gráfica los estudiantes presentaron variantes
en las dificultades al analizar y resolver el cuadro mágico, dichas dificultades se tuvieron en
cuenta para la siguiente etapa de esta investigación, por otro lado hubo un número de
estudiantes que resolvieron esta actividad de manera significativa, además fue evidente el
interés de los estudiantes en resolver cada una de los ejercicios propuestos ya que un
número muy alto de estudiantes jugó y exploró con el cuadro mágico.
0 5 10 15 20
Solución de una ecuación
Interpretación de incognita
Planteamiento de ecuaciones
Representación simbolica
sin dificultades
algunas dificultades
dificultades
Grafico Actividad 1
94
5.2 Actividad 2Aritmetogo
Esta actividad estuvo dispuesta para ser realizada de manera individual, haciendo
una breve introducción sobre el tema a trabajar y una reseña histórica sobre el
áritmetogono, además se socializo acerca de cómo se utiliza dicha herramienta, lo cual se
hizo con el fin de que los estudiantes pudieran formar ecuaciones y al mismo tiempo
reunirlas para formar los sistemas de ecuaciones lineales de 3x3;estructuradosde tal manera
que organizaran las ecuaciones y pudieran encontrar su valor utilizando el método de
eliminación.
Grafico 4. Actividad 2
Esta actividad ayudo a los estudiantes a que fueran creando, analizando y buscando
cada una de las incógnitas para resolver cada uno de los sistemas; toda la anterior
estrategia antes descrita, estuvo relacionada con el método constructivista ya que los
estudiantes construyeron el concepto y solución de una ecuación de 3x3, por su propia
0
5
10
15
Representacionsimbolica
Planteamiento deecuaciones
solucion deecuaciones
Sin dificultad
Con dificultad
algunas dificultades
Grafico Actividad 2
95
autonomía. A continuación se muestra el grafico de esta actividad donde se reflejan los
datos obtenidos.
Según los datos obtenidos por medio de la anterior grafica pudimos observar que en
los estudiantes se ha adquirido una mejora en el planteamiento de problemas involucrando
sistemas de ecuaciones lineales 3x3, también se produjo en ellos el incremento de su nivel
motivacional con respecto a la asignatura.
96
5.3 Actividad 3 Resolución de problemas
Antes de dar inicio a esta actividad los estudiantes estaban tanto impacientes, como
entusiasmados con cuál sería la estrategia didáctica a trabajar. Una vez que se les planteo la
estrategia hubo mucha aceptación de la misma, dicha estrategia consistía en emplear el
método de resolución de los cuatro pasos de George Polya, en primera instancia se expuso
el método a los estudiantes médiate la utilización de un ejemplo sobre un problema de
ecuaciones lineales de 3x3, que se debía resolver empleando el método de a Gauss como
herramienta para resolverlo.
A lo largo de esta actividad los estudiantes estuvieron muy motivados además con la
secuencial resolución de cada problema se familiarizaron poco a poco con este desconocido
pero muy efectivo método para ellos, logrando así un aprendizaje significativo.
Grafico 5. Actividad 3
0 10 20 30
Resolucion de problemas
Lee y comprende el enunciado
Extraccion de datos
Planteamiento de ecuaciones
Alguna dificultad
Sin dificultad
Dificultad
GRAFICO ACTIVIDAD. 3
97
Como se pudo evidenciar en la anterior grafica los estudiantes desarrollaron
habilidades que corresponden al registro, análisis, extracción de los datos necesarios para la
resolución de un problema con ecuaciones lineales de 3x3, además del planteamiento de un
sistema de ecuaciones para dar solución al mismo, gracias al método de George Polya.
5.4 Actividad 4 Armando cubos
En esta actividad se utilizaron elementos como papel, tijera, goma y regla en la cual los
estudiantes formaron poliedros teniendo en cuenta que se debían realizar polígonos, para la
realización de los mismos, posteriormente los estudiantes empezaron a idear como se
debían armar estas figuras y reconocer cada una de sus partes: vértices, aristas, caras,
diagonales, bases, ejes (x,y,z).
Para los estudiantes esta actividad fue de vital importancia, ya que al poder tocar, y formar
figuras, además de realizar representaciones simbólicas de los sistemas de ecuaciones
lineales de 3x3,
98
Grafico 6. Actividad 4
Lograron construir su conocimiento puesto que se produjo un aprendizaje
significativo cuando el estudiante empezó a dar sus propias ideas para armar las figuras, lo
cual es mucho más gratificante porque conllevo a la formación de preguntas, que le dieron
un sentido a esta actividad, posteriormente el estudiantado empezó a pensar en el espacio.
Y como un plano formado por papel corta los poliedros formando nuevas figuras gracias a
la construcción de cada uno de estos poliedros.
0
2
4
6
8
10
12
14
Representacion simbolica conceptualización de unsistema 3x3
Medio
Bajo
Alto
GRAFICA ACTIVIDAD 4
DESEMPEÑO
99
5.5 Actividad 5 Graficando con derive
Para desarrollar esta actividad, previamente fue instalado en cada uno de los computadores,
el software Derive, posteriormente a su instalación, se procedió a guiar al estudiante para
esta actividad.
En esta actividad se deseaba que los estudiantes graficaran y observaran la solución
grafica de una ecuación lineal de 3x3,al iniciar esta sesión algunos se sintieron confundidos
al mirar las gráficas resultantes a cada ejercicio y los planos involucrados en los mismos;
pero hubo estudiantes que notaron y observaron que en algunas graficas los planos se
interceptaban en diferentes formas y otros que se interceptaba en un único punto.
Por otro lado los estudiantes resolvieron cada una de estas ecuaciones lineales de
3x3 con el software Derive de forma algebraica y observaron que aquellos ejercicios que
poseían una solución única eran los planos que se interceptaban en único punto y poco a
poco se fue difundiendo esta información en los estudiantes logrando en ellos una
aceptación al tema planteado, incluso de aquellos que un principio se sintieron confundidos.
100
Grafico 7. Actividad 6
Al interactuar con el software Derive los estudiantes notaron que tenían muchas
herramientas para experimentar con la matemática y motivar a cambiar a el aspecto de las
figuras realizadas por medio de colores y formas.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Representacióngrafica
Interpretacion delas graficas
Resolucióngraficas
Bajo
Alto
Medio
Grafico Actividad 5
101
5.6 Actividad 6 Calculadora Web
Para esta actividad fue necesaria la utilización de la biblioteca, ya que estaba dotada de
equipos informáticos, los cuales sirvieron como herramienta útil y eficaz para la
implementación de la calculadora web /es.onlinemschool.com/ esta herramienta fue
empleada como un medio para que los estudiantes identificaran y resolvieran sistemas de
ecuaciones lineales 3x3 por medio de las TIC,las cuales se introdujeron de manera muy
rápida, debido a que es de fácil manejo para la resolución de los sistemas antes
mencionados. En esta actividad los estudiantes debían colocar el valor de las variables en
dicha calculadora y posterior a ello la calculadora procedía a resolver los sistemas según
los datos introducidos, por tanto esta herramienta tiene la ventaja de resolver paso a paso
cada ejercicio dando de manera explícita cada uno de los procesos inmersos en cada
operación.
Grafico 8. Actividad 7
Motivación; 93%
Desmotivacion; 7%
Interés; 97%
Desinterés; 3%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
Motivación Desmotivacion Interés Desinterés
102
Esta actividad tuvo una gran acogida en los estudiantes porque les llamaba la atención al
utilizar esta herramienta computacional y además se podía visualizar, que se debe tener en
cuenta para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 3x3.
Por todo lo anterior los estudiantes se sintieron muy motivados al realizar cada uno de los
ejercicios propuestos y al observar como la calculadora les daba los pasos para resolverlos.
103
5.7 Análisis De Prueba Final O Pos Test
El propósito fundamental de esta prueba consistió en analizar el avance que alcanzaron los
estudiantes al realizar problemas en los cuales es necesario plantear un sistema de
ecuaciones lineales de 2x2 y 3x3 para dar solucion a las mismas, aplicando el metodo de
los cuatro paso de George Polya, asi mismo para suministrar soluciones a las dificultades
encontradas en los diagnosticos a los estudiantes de la Institucion Educativa Madre
Marcelina, con la implementacion de la presente propuesta.
Posteriormente a las actividades que se plantearon en esta propuesta didactica, se
evidenció que los estudiantes fueron desarrollando habilidades secuencialmente en cada
una de las actividades, más aún en aquellas que se debe relacionar las situaciones con una
ecuación lineal de 2x2 y 3x3, un gran número de los estudiantes realizaron los problemas
correctamente, por otro lado los estudiantes mostraron interés por resolver la evaluación
puesto que deseaban comprobar cuanto se había aprendido y saber el conocimiento que
habían adquirido luego de haber trabajado en el computador con el software Derive y la
internet con la calculadora web, por otro lado los estudiantes fueron identificando uno a
uno los procedimientos y métodos más apropiados que se debían emplear para resolver
tanto los problemas que involucraban soluciones gráficas, como aquellos en los que se
debía plantear un problema por sus propios medios, además de realizar procesos
algorítmicos específicos sobre el método de eliminación, e implementación apropiada del
método de Gauss, así como el cálculo de áreas y volúmenes.
A continuación se muestra la gráfica de los resultados obtenidos en el post test.
104
Grafico 9 Evaluación o Post Test
En la gráfica se observa que el grupo ha mejorado en el desarrollo de
planteamientos de problemas, solución de problemas que involucran sistemas de
ecuaciones de 2x2 y 3x3 resolución e interpretación grafica de situaciones problema que
involucran sistemas de ecuaciones de 2x2 y solución de ecuaciones ya sea por el método de
eliminación o el método de Gauss, es evidente que se estuvo logrando un aprendizaje
significativo con el uso de las TIC y la implementación de las estrategias didácticas, así
como la guías de actividades. También se muestra el desempeño de los estudiantes a lo
largo de esta evaluación.
28
25 27
28
0
5
10
15
20
25
30
Planteamirnto deproblemas
Solucion deProblemas
Resoluciongrafica de
sistemas 2x2
Solucion deecuaciones
Con dificultad
Sin Dificultades
Algunas Dificultades
GRAFICO POST -TEST
105
Grafico 10 Motivación post test
Como se puede visualizar en la gráfica de motivación los estudiantes estaban mucho
más interesados en las desarrolladas al final de la propuesta a diferencia de a diferencia del
Diagnóstico.
Por otro lado para analizar los avances y resultados que se han obtenido en la
implementación de la propuesta didáctica, es pertinente necesario comparar los resultados
de la prueba diagnóstica o pre test y el pos test que se les ha aplicado a los estudiantes, con
el fin de conocer si se ha alcanzado el objetivo de superar las dificultades que tienen los
estudiantes al resolver plantear problemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas.
0
5
10
15
20
25
3028
25
29 28
Pre test
Post Test
GRAFICO DE MOTIVACION
106
Grafico 11 Comparación entre el pre-test y post test
En el grafico anterior se muestra la agrupación de las categorías anteriormente
evaluadas en la prueba diagnóstica o (pre test) y los resultados obtenidos en el post test:
Interpretar ecuaciones así como identificar las características de todas y cada una de
las incógnitas, con lo cual es evidente la mejoría en relación con el inicio de la presente
propuesta.
Establece relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las
ecuaciones algebraicas e identificar características de gráficas cartesianas en relación con la
situación que representa.
Resolver problemas que requieran para su solución ecuaciones lineales y sistemas
de ecuaciones lineales.
0
5
10
15
20
25
30
InterpretarEcuaciones
Soluciongrafica de
ecuaciones
Resolverproblemas
Uso deexpresionesalgebraicas
20 22
3
9
29 28 28 27
Pre test
Post test
COMPARACION ENTRE EL PRE TEST Y POST TEST
107
Usar y relacionar diferentes representaciones para modelar situaciones de variación,
y viceversa, así como modelar estas situaciones del lenguaje común a un leguaje algebraico
para solucionar problemas.
Al concluir la experiencia investigativa se evidenció en el análisis comparativo entre el pre
test y el pos test, para tener resultados generales y se ha logrado un 98% del objetivo, lo que
es muy satisfactorio ya que se concluye que el uso de las TIC, las estrategias didácticas de
las actividades en la propuesta pedagógica ayudaron a mejorar, de manera satisfactoria a los
estudiantes a lograr un aprendizaje significativo.
Así mismo 90% de los escolares manifestó su agrado por la estrategia utilizada para
mejorar el aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales, las TIC, el resultado del
trabajo realizado, la concepción de los educandos, en cuanto su gusto e interés por aprender
la matemática de otra manera, ha mejorado gracias a la utilización de herramientas que les
permita acceder más fácilmente a los contenidos algebraicos que se contemplan en los
cursos de décimo grado, esto seguramente influirá positivamente en la seguridad que el
estudiante ha adquirido en cuanto a su actuación y desempeño en las matemáticas.
108
6 CONCLUSIONES
Luego de la implementación de la presente propuesta didáctica se presentan las siguientes
conclusiones: El 98% de los estudiantes de la institución Educativa Madre Marcelina
potencializaron y desarrollaron habilidades propias del pensamiento como: análisis,
interpretación, comparación, planteamiento y resolución de problemas que involucran
sistemas de ecuaciones lineales de 3x3 para darles solución a estas situaciones problema de
la vida cotidiana. Todo lo anterior fue posible gracias a la implementación de las estrategias
didácticas y pedagógicas que dieron un cambio a la metodología tradicionalista de la
enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, incursionando con el uso de las TIC, con el
software Drive para ayudar a los estudiantes a reconocer las soluciones gráficas de estas
ecuaciones, por otro lado esta propuesta pedagógica facilitó a los estudiantes a construir
conocimiento de manera propia y significativa mediante el uso de la internet gracias a la
calculadora web “onlinemschool” lo que hoy en día es la mayor distracción que poseen los
jóvenes.
Este avance se pudo identificar gracias al desenvolvimiento y desempeño que
tuvieron los estudiantes en cada una de las actividades que fueron planteadas, ya que a
medida que se avanzaban en el proceso se les hacía más fácil entender los sistemas de
ecuaciones lineales y más aún aquellas que involucran problemas con sistemas de 3x3,
además encontraron en la internet una nueva alternativa de estudio y comprendieron estos
sistemas antes mencionados, gracias a la explicación minuciosa de la calculadora web, y
que la internet no solo es para visitar las redes sociales, jugar, entre otras actividades.
109
Por otro lado con la aplicación de esta propuesta basada en el desarrollo de
actividades prácticas que involucraban el uso de guías didácticas, se observó que los
estudiantes mejoraron notablemente las dificultades que presentaban en cuanto el análisis
de las ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas, puesto que al comparar la prueba
diagnóstica (pre test) y el post-test, la mejoría en cuanto a la temática estudiada fue muy
evidente, pasaron a ser de un 20% a un 94% del total de los estudiantes que lograron
comprender y realizar problemas que involucran ecuaciones lineales de 3x3 ya sea por
métodos gráficos o eliminación.
Así mismo la aplicación de estrategias metodológicas que involucren el uso del
internet y el computador con actividades prácticas que incluyeron resolución de problemas,
ejercicios con ecuaciones de 3x3, ayudan al docente a plantear cambios a nivel
metodológico en cuanto al dominio y manejo de las competencias matemáticas, tales como
formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida
cotidiana. Además utilizar diferentes registros de representación o sistemas de
representaciones simbólicas para crear y expresar ideas matemáticas para que los
estudiantes sustenten y formulen sus propios puntos de vista, dominen procedimientos,
algorítmicos, matemáticos y conocer cómo, cuándo y por qué usarlos de manera eficaz.
110
7 RECOMENDACIONES
Gracias a los resultados alcanzados durante la implementación del presente trabajo
investigativo y teniendo como base las dificultades presentadas por los estudiantes en los
sistemas de ecuaciones lineales de 3x3, es preciso tener en cuenta lo siguiente:
Es necesario contextualizar los problemas, explicaciones y terminología empleada
para una mayor comprensión en los sistemas de ecuaciones lineales de 2x2 y 3x3 o
de cualquier tipo, e implementar TIC para mejorar la interpretación de los mismos.
Debe ser primordial y continuo el uso de las herramientas computacionales para
mejorar el análisis, interpretación y planteamiento de sistemas de ecuaciones
lineales de 3x3, así como los problemas que involucran estos sistemas.
Concientizar a los docentes sobre el cambio en la metodología tradicionalista de
enseñanza de las matemáticas y como el uso de estrategias didácticas propician el
desarrollo intelectual en los estudiantes para obtener un aprendizaje significativo.
Continuar implementado las TIC como estrategia de enseñanza para posibilitar en
los estudiantes un mayor aprendizaje y motivar el buen uso del internet.
111
TABLA DE ANEXOS
Anexo 1
Ficha de observación
Anexo 2
Modelo de entrevista a estudiantes
Anexo 3
Modelo de entrevista a docentes
Anexo 4
Modelo de prueba diagnóstica o pre-test
Anexo 5
Modelo de prueba final o post-test
Anexo 6
Certificado de validación de instrumentos
Anexo 7
Carta a la institución
112
ANEXO 1 UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACION LIC EN MATEMÁTICA
Anexo 1 Ficha de Observación
Institución Educativa Madre Marcelina
Asignatura: Matemáticas Noveno Grado
Valoración
Característica 1 2 3
4 5
Atención
Participación
Comportamiento
Motivación
113
ANEXO 2 UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACION LIC EN MATEMÁTICA
Entrevista a estudiantes. Instrumento # 1
Objetivo
Identificar los factores cognitivos y motivacionales que influyen en el desarrollo de
habilidades en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Instrucciones
A continuación encontraras afirmaciones que deberás responder de manera sincera y
honesta. De esta forma podrás contribuir al proceso investigativo para el mejoramiento de
habilidades en el área de matemática.
Piensa detenidamente en cada afirmación y marca con una “x”en la línea que mejor exprese
lo que piensas.
siempre La mayoría
de las veces
La
mitad
de las
veces
A veces Nunca
1.
Te gusta la asignatura de matemáticas
____
____
____
____
____
2. Siente que es importante para tu vida aprender
matemáticas.
____ ____ ____ ____ ____
3. Te gustan los juegos o acertijos que involucren
matemática.
____ ____ ____ ____ ____
4. Si en una operación cambian un número por una
letra, entiendes la operación.
____ ____ ____ ____ ____
5. Se te facilita realizar las operaciones con suma,
resta, multiplicación y división.
____ ____ ____ ____ ____
6. Te gusta como tu profesor actual dista las clases
de matemáticas.
____ ____ ____ ____ ____
114
7. El profesor utilizas palabras que en la clase no
entiendes.
____ ____ ____ ____ ____
8. Identificas los datos dentro de un problema
matemático.
____ ____ ____ ____ ____
9. Reconoces cuales son los métodos que permiten
dar solución a un sistema de ecuaciones lineales.
____ ____ ____ ____ ____
10. Reconoces las soluciones de una ecuación lineal
por medio de gráficas.
____ ____ ____ ____ ____
11. Tienes una participación activa mientras el
docente se encuentra desarrollando los temas
propuestos.
____ ____ ____ ____ ____
115
ANEXO No 3 UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACION LIC EN MATEMÁTICA
Entrevista a Docentes Instrumento # 2.
NOMBRE:____________________________________
FECHA:_____________________
AREA: Matemática
Objetivo
Identificar las estrategias que utilizan los docentes en la planeación y solución de
problemas en matemática.
Instrucciones
A continuación encontraras preguntas que deberás responder de manera sincera y honesta.
De esta forma podrás contribuir al proceso investigativo para el mejoramiento de
habilidades en el área de matemática.
1. ¿Cuánto tiempo lleva en su labor como docente?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
2. ¿Se siente usted a gusto en su labor de educador? Explique ¿Por qué?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
3. ¿Cuál cree usted, que es la razón para que los estudiantes sienta apatía en el área de
matemática?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
4. ¿De qué forma, usted ayuda al estudiante a superar las dificultades en el área?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
116
5. ¿Cree usted que los estudiantes de noveno grado de esta institución tienen dificultades
en la resolución de problemas en donde se utiliza un sistema de ecuaciones lineales?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
6. ¿Qué estrategia ha utilizado usted para mejorar las dificultades en los estudiantes en la
resolución de problemas?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
7. ¿Utiliza usted los métodos de Resolución de Problemas planteados por Polya (1945)
para enseñar a sus estudiantes, como resolver problemas? Si su respuesta es positiva,
explique de qué forma lo aplica ?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
8. ¿El uso de las TIC hace parte de las clases que usted desarrolla?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
9. ¿Utiliza usted las TIC como una estrategia para la enseñanza en el área de matemáticas?
Si su respuesta es positiva, Explique de qué forma.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
117
ANEXO 4 UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACION LIC EN MATEMÁTICA
Prueba diagnostica instrumento #3 .
Objetivo:
Identificar las competencias que le permiten al estudiante, el planteamiento y solucion de
sistemas de ecuaciones lineales.
NOMBRE:____________________________________________
FECHA:_________________
INSTITUCION ____________________________________________
Esta prueba les permitiran alos investigadores recolectar informacion clave, para
determinar los factores que influye la resolucion de problemas de sistemas de ecuaciones
lineales.
1. Camilo presenta el siguiente procedimiento, incompleto, para resolver la ecuación
4k + 2 = k:
4k + 2 – k = k – k
3k + 2 = 0
3k + 2 – 2 = 0 – 2
3k = -2
¿Con cuáles de los siguientes pasos se completa correctamente la solución
de la ecuación?
A. 3k – 3 = -2 – 3
k = -5
B. 3k + 3 = -2 + 3
k = 1
C.
= -
k = -
D. 3k (3) = -2 ( 3 )
k = - 6
118
2. Teniendo en cuenta la siguiente gráfica, donde P y M son rectas.
¿Cuál de los siguientes puntos corresponde a la intercepción de las gráficas?
A. (0,4)
B. (2,3)
C. (4,2)
D. (
)
2.1 ¿Cuál de las siguientes pares de funciones representan correctamente las rectas
P y M en la anterior gráfica, ten en cuenta que el punto de intercepción es el valor
de las incógnitas “x”y “y” en las ecuaciones?
A. P : 5x +2y = 5
M: x+ 2y = 8
B. P : 2x +5y = 5
M: x+ 2y = 8
C P : 4x -2y = 5
M: x+ 2y = 8
D P : 4x -y = 5
M: x+ 2y
119
El lenguaje algebraico es muy diverso y lo puedes formar de muchas maneras a medida que
vas leyendo lo puedes ir traduciendo.
A continuación se te da un enunciado y por medio de frases vas a traducirlo al
lenguaje algebraico en el siguiente recuadro.
María y Alex son hermanos y entre los dos suman 19 años. Sabiendo que la edad de
María menos uno es igual a la mitad de la edad de Alex.
Lenguaje común Lenguaje algebraico
María
Alex
Son hermanos Entre los dos suman 19 años.
La edad de María menos 1
Es igual a la mitad de la edad de Alex.
2.1 ¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones corresponde con el problema
planteado en la tabla?
A. {
B. {
C. {
3. En la primaria de la institución “Madre Marcelina “hay 150 niños de 4, 5, y 6 años de
edad, 90 de 4 y 5 años y 110 de 5 y 6 años.
Lenguaje cotidiano Lenguaje algebraico
Niños de 4 años
Niños de 5 años
Niños de 6 años
Hay 150 niños de 4,5 y 6 años.
90 niños de 4 y 5 años de edad
110 niños de 5 y 6 años
Utiliza el recuadro para formar un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas utilizando
cualquier método para la solución de sistemas 3x3 esto te podrá ayudar a encontrar la
respuesta de la pregunta ¿Cuántos niños hay de 5 años de edad?.
120
ANEXO 5
UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACION
LIC EN MATEMÁTICA
Prueba final instrumento #5 .
Objetivo:
Identificar las competencias que le permiten al estudiante, el planteamiento y solucion de
sistemas de ecuaciones lineales.
NOMBRE:____________________________________________
FECHA:_________________
INSTITUCION ____________________________________________
Lee el enunciado y forma el sistema de ecuaciones lineales.
1. Con dos camiones cuyas capacidades de carga son respectivamente de 3 y 4
toneladas, se hicieron en total 23 viajes para transportar 80 toneladas de madera.
¿Cuantos viajes realizó cada camión?
2. Formula y resuelve el sistema de ecuación lineal :
Marta y sus amigos pagaron $109 por 5 hamburguesas y 7 refrescos. Si la semana
anterior consumieron 8 hamburguesas y 11 refrescos y la cuenta fue de $173,
¿cuánto cuesta cada hamburguesa y cada refresco?
121
3. Resuelve gráficamente el siguiente sistema.
{
4. Resuelve el sistema de ecuaciones lineales de 3x3
{
122
8 EVIDENCIAS
Imagen#17 Estudiantes armando cubos
Imagen #18 Estudiantes recortando las figuras para armar los poliedros
123
Imagen #19 Estudiantes realizando las guías
Imagen #20 Estudiantes realizando las guías de trabajo
124
Imagen # 21 Estudiantes trabajando con el software Derive
Imagen #22 Estudiantes graficando el sistema de ecuaciones con el software Derive
125
Imagen #23 Estudiantes armando poliedros
Imagen #24 Estudiantes armando poliedros
126
BIBLIOGRAFIA
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