UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS

INGENIERÍA INFORMÁTICA PROGRAMACIÓN LÓGICA

MONOGRAFÍA

PROBLEMA DE LAS JARRAS

AUTORES ANTHONY STEWART ARAUJO FERNANDEZ

JUAN ANTONIO CABEZA RAMIREZ JHON ALEXANDER LEON ORTECHO

TRUJILLO ­ PERÚ 2014

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ÍNDICE DEDICATORIA 4

INTRODUCCIÓN 5

1. MARCO TEÓRICO 7

1.1. Capítulo I: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 7

1.1.1. Caso Base ­ Problema de Jarras de 5 Litros y 3 Litros 7

1.1.2. Caso Específico ­ Problema de Jarras de 4 Litros y 3 Litros 8

1.2. Capítulo 2: DESARROLLO DEL PROBLEMA 8

1.2.1. Búsqueda en Profundidad (BEP) 9

1.2.2. Búsqueda en Anchura (BEA) 10

1.2.3. Análisis del Caso Base ­ Problema de las Jarras de

5 Litros y 3 Litros 11

1.2.4. Análisis del Caso Específico ­ Problema de las

Jarras de 4 Litros y 3 Litros 13

1.3. Capítulo 3: APLICACIONES EN LA SOCIEDAD 15

CONCLUSIONES 17

ANEXOS 18

APÉNDICE A 19

APÉNDICE B 21

BIBLIOGRAFÍAS 22

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ÍNDICE DE IMÁGENES

1. Fig 1 ­ Recorrido de la Búsqueda por Profundidad 10 2. Fig 2 ­ Recorrido de Búsqueda por Anchura 11 3. Fig 3 ­ Solución del problema de las jarras de 5 Litros y 3 Litros 12 4. Fig 4 ­ Solución del Problema de las Jarras para el caso específico 14

3

A mis profesores y maestros de la escuela de Informática que nos enseñan día a día

cómo ser mejores en nuestra carrera sin dejar nuestro lado sociocultural que la

empleamos para ayudar a muchas personas.

Esta pequeña monografía lograda gracias al empeño de todo nuestro grupo de trabajo hecha para enseñanza

y aprendizaje del usuario que leerá esta monografía.

4

INTRODUCCIÓN

Es cierto que la tecnología evoluciona y va cambiando conforme avanza el tiempo,

claro ya es fácil decir que a menudo los avances tecnológicos nos dejan atónitos

con tantas nuevas cosas que podemos ver y disfrutar hoy en día para que faciliten

nuestra calidad de vida. Pero no se da en todos los países, regiones o ciudades

del mundo, la tecnología puede ir avanzando pero no esta al alcance de todos, he

aquí nuestra problemática que muy pocos saben y no se dan cuenta; en la parte de

la sierra o selva de nuestro país, o pueblos alejados de las grandes ciudades, nos

5

damos con la sorpresa que aun siguen habiendo los conocidos trueques y que a

veces estos son mal hechos debido a que no cuentan con un instrumento de

medida.

Teniendo en cuenta esta situación, nos centramos en como resolver o tratar de

resolver esta situación mediante una paradoja ya conocida en el ámbito de la

programación lógica, esta paradoja es conocida como “El problema de las jarras”.

Esta paradoja nos dará una alternativa para poder realizar estos intercambios o

ventas para aquellas personas que no cuentan con instrumentos de medida.

En la presente monografía nos centraremos en dos puntos esenciales primero en

el análisis de esta paradoja junto con la relación que tiene con los métodos de

búsquedas, y cómo podría ayudar a los pobladores de zonas remotas a realizar

una buena medición de sus productos a la hora de hacer trueques o ventas, y así

ver como se puede aplicar esta paradoja en solucionar problemas(. no tan solo de

liquidos tambien de otros materiales.)

En la realización del presente estudio ha tenido dificultades debido a que la

paradoja tiene muchas versiones distintas, que cada cultura altera de acuerdo a

sus principios y otros factores; es por eso que nos centraremos en dos casos

específico (uno es el que dio origen a la paradoja y el otro que uno de los más

conocido) para poder sintetizar nuestra información y poder centrarnos en un

punto, y así poder integrar la información recaudada en esta presente monografía.

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1. MARCO TEÓRICO

1.1. Capítulo 1: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

La paradoja de “El problema de las jarras” tiene muchas versiones que se

obtuvieron al modificar el caso base que fue planteado por uno amigo de

Siméon Poisson que desarrollo esta paradoja. Para lo cual nuestra monografía

se centrará en este caso base y en una de sus versiones que es muy conocida.

Teniendo eso en mente se presentarán los dos casos a analizar.

1.1.1 Caso Base ­ Problema de Jarras de 5 Litros y 3 Litros

La familia de Siméon Poisson intentó que su hijo fuera de todo, desde

abogado a cirujano, lo primero alegando que no servía para nada más.

Inició una o dos de estas profesiones con notable ineptitud, pero al final

encontró su verdadero oficio cuando, durante un viaje, alguien le planteó un

problema análogo al que tratamos a continuación.

Lo resolvió al instante y desde entonces Poisson descubrió su verdadera

vocación, llegando a ser uno de los más grandes matemáticos del siglo

XIX.

El problema dice: Dos amigos que tienen una jarra de 8 litros de vino lo

quieren repartir en 2 partes iguales. Disponen también de dos jarra vacías

de 5 y 3 litros respectivamente. La pregunta es clara, ¿cómo pueden

repartirse el vino en 2 partes iguales sin tirar nada?.

7

1.1.2 Caso Específico ­ Problema de Jarras de 4 Litros y 3 Litros

Este caso es una modificación del primero, sólo se modificó una parte para

obtener otra cantidad distinta. En sí el problema puede modificarse de

diferentes maneras para obtener distintas cantidades pero en este ejemplo

nos centraremos en el de 4 litros y otra de 3 litros.

Disponemos de dos jarras de agua, una de 4 litros de capacidad y otra de

3 litros de capacidad. Inicialmente están ambas vacías. El estado objetivo

es que la jarra de 4 litros de capacidad contenga dos litros de agua,

independientemente el contenido de la otra, sabiendo que en ninguna de

las jarras hay una señal de volumen distinta de su capacidad.

1.2. Capítulo 2: DESARROLLO DEL PROBLEMA

En este capítulo analizaremos cómo desarrollar el problema de las

jarras mediante búsquedas, entrando a detallar en qué consisten estas

búsquedas y cómo ayudan a solucionar esta paradoja.

1.2.1. Búsqueda en Profundidad (BEP)

Un algoritmo de búsqueda se basa en la construcción de un árbol,

cuyo nodo raíz representa el estado inicial, es decir, la situación desde

8

la cual partimos (en el caso de las Jarras de Agua, el estado inicial es

que las dos jarras están vacías). Cada uno de los nodos hijos del raíz

representarán los estados posibles a los que se puede cambiar desde

el estado inicial, y así sucesivamente.

En la búsqueda primero en profundidad, partiendo del estado inicial, el

algoritmo comienza a examinar cada uno de las transiciones posibles,

construyendo el árbol de estados, pero no abandona una rama hasta

haber agotado todas las posibilidades, o haber llegado a la solución

(denominada estado final o estado meta). Por tanto, su funcionamiento

sería el siguiente: Parte del estado inicial y examina la primera de las

posibilidades de transición, a continuación, pasa a examinar la primera

de las posibilidades del nuevo estado, y así sucesivamente, va bajando

de nivel en el árbol. Una vez que ha alcanzado el estado meta o un

estado ya repetido (lo cual indica que por esa rama no va a ninguna

parte), examina la siguiente posibilidad del último nodo explorado, y así

hasta completar el árbol.

9

Fig 1 ­ Recorrido de la Búsqueda por Profundidad disponible en:

http://www.monografias.com/trabajos­pdf5/recorrido­y­busqueda­arboles/recorrido­y­busqueda­arboles.shtml

1.2.2. Búsqueda en Anchura (BEA)

Es un procedimiento para recorrer o buscar elementos en un árbol.

Intuitivamente, se comienza en la raíz (eligiendo algún nodo como

elemento raíz en el caso de un grafo) y se exploran todos los vecinos

de este nodo. A continuación para cada uno de los vecinos se exploran

sus respectivos vecinos adyacentes, y así hasta que se recorra todo el

árbol.

Formalmente, BFS es un algoritmo de búsqueda sin información, que

expande y examina todos los nodos de un árbol sistemáticamente para

buscar una solución. El algoritmo no usa ninguna estrategia heurística.

10

Fig 2 ­ Recorrido de Búsqueda por Anchura disponible en:

http://pier.guillen.com.mx/algorithms/09­busqueda/09.1­introduccion.htm

1.2.3. Análisis del Caso Base ­ Problema de las Jarras de 5 Litros y 3

Litros

En la paradoja que cuenta con las 3 jarras analizamos la solución de la

siguiente manera:

Tener 3 jarras de 8, 5 y 3 litros, se dispone también solamente de 8 litros

de agua y se debe lograr dejar 4 litros en la jarra de 8.

Solución N°1:

Cada columna es una jarra indicada como 8 5 y 3, los número debajo son

los litros de agua que tengo y que voy pasando:

8 ­ 5 ­ 3 ­­­­> Jarras

8 ­ 0 ­ 0 ­­­­> Estado inicial, jarra de 8 litros llena

5 ­ 0 ­ 3 ­­­­> Llenar jarra de 3, me quedan 5 litros en la de 8

11

5 ­ 3 ­ 0 ­­­­> Paso los 3 litros a la de 5

2 ­ 3 ­ 3 ­­­­> Llenar jarra de 3, me quedan 2 en la de 8

2 ­ 5 ­ 1 ­­­­> Llenar jarra de 5 con la de 3, me sobra 1 litro en la de 3

7 ­ 0 ­ 1 ­­­­> Paso los 5 litros a la de 8

7 ­ 1 ­ 0 ­­­­> Paso el litro de la jarra de 3 a la de 5

4 ­ 1 ­ 3 ­­­­> Llenar la jarra de 3 litros, la de 8 me queda con 4 litros, el

resultado esperado.

Solución N°2:

Fig 3 ­ Solución del problema de las jarras de 5 Litros y 3 Litros disponible en: Edward Kasner y James Newman, A.(2007), MAtemáticas e Imaginación, D.R. Libreria S.A., Pág. 127

12

Desarrollo de la Solución:

8 ­ 5 ­ 3 ­­­­> Jarras

8 ­ 0 ­ 0 ­­­­> Estado inicial, jarra de 8 litros llena

3 ­ 5 ­ 0 ­­­­> Llenar jarra de 5, me quedan 3 litros en la de 8

3 ­ 2 ­ 3 ­­­­> Paso los 3 litros a la jarra de 3 litros.

6 ­ 2 ­ 0 ­­­­> Llenar jarra de 8, me quedan 5 en la de 8

6 ­ 0 ­ 2 ­­­­> Paso los 2 litros a la jarra de 3 litros

1 ­ 5 ­ 2 ­­­­> Paso los 5 litros de la jarra de 8 litros a la jarra de 5 litros

1 ­ 4 ­ 3 ­­­­> Pasó un litro de la jarra de 5 litros a la jarra de 3 litros

4 ­ 4 ­ 0 ­­­­>Llenar la jarra de 8 litros con los 3 litros de la jarra de 3 litros.

1.2.4. Análisis del Caso Específico ­ Problema de las Jarras de 4

Litros y 3 Litros

Las operaciones que podemos realizar para conseguir nuestro objetivo son

6:

Llenar la jarra de 4 litros completamente (para ello, la jarra de 4 litros

no debe estar completamente llena).

Llenar la jarra de 3 litros completamente (para ello, la jarra de 3 litros

no debe estar completamente llena).

13

Vaciar la jarra de 4 litros (para ello, la jarra debe contener algo de

líquido).

Vaciar la jarra de 3 litros (para ello, la jarra debe contener algo de

líquido).

Verter el contenido de la jarra de 4 litros en la jarra de 3 litros (para

ello, la jarra de 4 litros debe contener algo de líquido y la de 3 litros

no estar completamente llena).

Verter el contenido de la jarra de 3 litros en la jarra de 4 litros (para

ello, la jarra de 3 litros debe contener algo de líquido y la de 4 litros

no estar completamente llena).

Fig 4 ­ Solución del Problema de las Jarras para el caso específico disponible en:

http://www.uco.es/users/sventura/misc/TutorialCLIPS/Practica6.htm

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1.3. Capítulo 3: APLICACIONES EN LA SOCIEDAD

Esta paradoja de las jarras que se generan a veces en la vida diaria

de una persona del campo se pueden desarrollar fácilmente si es

que conocemos el procedimiento de esta, y así poder aplicar a las

labores diarias de un campesino que no cuenta con muchas

herramientas de medición. Aplicando este método a sus simples

labores puede tener con exactitud y precisión cuánto corresponde

dar de sus productos que ofrece a sus vecinos sin que se vea

perjudicado.

Esto puede llevar a que no solo aplicamos esta técnica de desarrollo

para lo que dice el título, “Problema de las Jarras”, no sólo es

aplicable con líquidos, si no también lo podemos hacer con otros

materias del cual tengamos una medida exacta y queramos otra de la

cual no tenemos, pero queremos esa misma precisión y esto lleva

consigo a ponerla en desarrollo con otros productos con los cuales

trabaja un campesino, ya se el arroz el trigo y otros productos que

se puedan manipular fácilmente.

Podemos citar estos casos con una ejemplo:

­ Supongamos que el campesino quiere hacer un cambio de

15

alguno de sus productos, pero se da cuenta que dicha cantidad que

le pidieron no tiene una medida referencial para ello, pero no quiere

generarse una pérdida dando de mas, pero el campesino sabía el

desarrollo de la paradoja de las Jarrones de Agua y así con eso

pudo solucionar su problema con la cantidad exacta que debía de

dar.

16

CONCLUSIONES A lo largo del proyecto, obteniendo el conocimiento y conociendo el caso del

problema de las jarras, hemos podido encontrar una necesidad que se

muestra en las zonas más alejadas de nuestro Perú, nos hemos podido dar

cuenta que con la instrucción y el conocimiento adecuado, no se requiere de

grandes ordenadores, o sistemas sotisficados para poder solucionar una

necesidad, como la que hemos planteado en nuestra monografía. Será de

gran utilidad y además de evitar costos, también se garantiza la efectividad del

método, a la hora de emplearlo.

Aquellos planteamientos que se han resuelto a través por las matemáticas y la

lógica, son la base para que luego, se desarrolle y plasme una forma diferente

y más precisa, mucho más rápida en el avance de nuestra historia.

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ANEXOS

18

­ APÉNDICE A Código del planteamiento del problema de las Jarras tanto para el caso base como para el caso específico. Hecho en Prolog

Código en Prolog por anchura y profundidad %%%%%%%%%%%%%% Búsquedad en profundidad %%%%%%%%%%% profundidad(Sol):­ inicial(N),

pp([],N,Sol). pp(Path,N,[N|Path]):­final(N),!. pp(Path,N,Sol):­ s(N,N1),

not(member(N1,[N|Path])), pp([N|Path],N1,Sol).

profundidad(Sol):­ inicial(N),

pp([N],Sol). pp([H|T],Sol):­ s(H,NF),

final(NF), Sol1=[NF,H|T], reverse(Sol1,Sol),!.

pp([H|T],Sol):­ s(H,N),

not(member(N,[H|T])), pp([N,H|T],Sol).

%%%%%%%%%%%%%%%% Búsqueda en anchura%%%%%%%%%%%%%%% anchura(S):­ inicial(E),

pa([[E]],S). pa([[E|C]|_],S):­ final(E),

!, reverse([E|C],S).

pa([N|R],S):­ expande([N|R],Sucesores),

append(R,Sucesores,NAbiertos), /*writeln(NAbiertos),*/ pa(NAbiertos,S).

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expande([[E|C]|R],Sucesores):­ findall([E1,E|C],(s(E,E1),not(memberchk(E1,C)),

not((member(X,R),subset([E1],X)))),Sucesores). %%%%%%%%%%%%%%%% Problema de las jarras %%%%%%%%%%%%%%%% %%%%% capacidad 4 y 3, se requiere obtener 2 %%%%% modificar para los valores para %%%%% capacidad 5 y 3, se requiere obtener 4 inicial(0­0). final(2­_). final(_­2). s(X­Y,4­Y):­ X<4.%llenar una jarra s(X­Y,X­3):­ Y<3. s(X­Y,0­Z):­Z is (X+Y), Z=<3, X>0.%Vaciar una en la otra s(X­Y,Z­0):­Z is (Y+X), Z=<4, Y>0. s(X­Y,4­Z):­Z is (Y­(4­X)), Z>=0, X<4.%llenar alguna con parte de la otra s(X­Y,Z­3):­Z is (X­(3­Y)), Z>=0, Y<3. s(X­Y,0­Y):­X>0.%vaciar alguna s(X­Y,X­0):­Y>0. %%%%%%%%%%% Otra notacion %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% /* inicial([0,0]). final([2,_]). final([_,2]). s([X,Y],[4,Y]):­ X<4. s([X,Y],[X,3]):­ Y<3. s([X,Y],[0,Z]):­Z is (X+Y), Z<4, X>0. s([X,Y],[Z,0]):­Z is (Y+X), Z<5, Y>0. s([X,Y],[4,Z]):­Z is (Y­(4­X)), Z>(­1), X<4. s([X,Y],[Z,3]):­Z is (X­(3­Y)), Z>(­1), Y<3. s([X,Y],[0,Y]):­X>0. s([X,Y],[X,0]):­Y>0. */

20

­ APÉNDICE B Fuentes libro sobre el nacimiento de la paradoja y otras en internet:

Google ­ Books : http://books.google.com.pe/books?id=zdBHMHV3m5YC&pg=PA124&lpg=PA124&dq=simeon+poisson++y+las+jarras&source=bl&ots=3IjWLjFSD_&sig=7CDs6fHxdEvuiaY08Sp1ATR5khw&hl=es­419&sa=X&ei=_jqwU6P8Ns6syAS7zYKgCg&ved=0CCIQ6AEwAQ#v=onepage&q=simeon%20poisson%20%20y%20las%20jarras&f=false

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BIBLIOGRAFÍA ­ Samuel Gutiérrez Revenga, A. (2006), Algoritmos de búsqueda en

profundidad y en anchura, en la página

http://www.dma.fi.upm.es/java/matematicadiscreta/busqueda/ > (página

consultada el día 28­06­2014).

­ Wikipedia, enciclopedia libre, A. (2013),Búsqueda en Anchura, en la página

http://es.wikipedia.org/wiki/B%C3%BAsqueda_en_anchura > (página

consultada el día 27­06­2014).

­ Juan José Cruz Jiménez, A. (2013), El problema de las Jarras de Agua con

CLIPS ­ Búsqueda primero en profundidad, en la página

http://www.uco.es/~i42crjij/aplicada/mem6_1.htm > (página consultada el día

28­06­2014).

­ Edward Kasner y James Newman, A.(2007), MAtemáticas e Imaginación,

D.R. Libreria S.A., Pág. 125 ­130.

­ Silvana Arias, A. (2011), Resolución del problema de “Las Jarras”, en la

página

http://smacmil.wordpress.com/2011/03/25/resolucion­al­problema­de­las­jarras

/ > (página visitada el día 29­06­2014).

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