Monografia de Circunferencia Completo

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS


ESCUELA PROFESIONAL DE ARQUITECTURAS E INGENERIAS

DOCENTE: LIC. JESUS BURGA VARGAS

CURSO: CALCULO DIFERENCIAL

CICLO: CIVIL I-A

PRESENTADO POR:

TACNA – PERU2012

Matemática Básica - Ingeniería Civil I-A Página 1

1. RICHARD GOMEZ GUILLERMO


INTRODUCCION

Las circunferencias son figuras de muy frecuente aparición en la vida cotidiana y que

desde el punto de vista de las matemáticas se prestan a multitud de razonamientos

que pueden servir para despertar la curiosidad y fomentar la creatividad de los

estudiantes ingeniería.

Después de la recta, la línea más familiar del estudiante es la circunferencia, pues la

conoce desde sus primeros estudios de geometría elemental. En esta exposición

haremos un estudio detallado de la ecuación de la circunferencia y deduciremos

algunas de sus propiedades especiales.

OBJETIVOS

Obtener un conocimiento preciso de la definición de Circunferencia.

Relacionar figuras y ecuaciones.

Familiarizarse con las distintas ecuaciones sobre circunferencias..

Divertirse mientras se aprende.

INDICE



CAPITULO I pág. 4

CONCEPTOS GENERALES:

1.1 La Circunferencia pág. 4

1.2 Ecuación de la circunferencia de forma ordinaria pág. 4

1.3 Ecuaciones de la Circunferencia de forma canónica pág. 5

1.4 Ecuaciones de la Circunferencia de forma general pág. 5

1.5 Familia de Circunferencias pág. 6

1.6 Recta tangente a una Circunferencia pág. 7

CAPITULO II pág. 9

2.1 Bibliografía pág. 23

2.2 Web grafía pág. 23

CAPITULO I



CONCEPTOS GENERALES:

1.1 La circunferencia

Es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que

equidistan de otro punto fijo del mismo plano.

El punto fijo se llama centro de la circunferencia, y la

constante se llama radio.

1.2 Ecuaciones de la Circunferencia de forma ordinaria

Se le conoce como ecuación o forma ordinaria de una circunferencia. En

general, designaremos como forma ordinaria aquella ecuación de una curva

que nos permita obtener más rápida y fácilmente sus características

importantes así como el centro y radio.

(X ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

1.3 Ecuaciones de la Circunferencia de forma canónica



Es el tipo más simple dela ecuación de ordinaria de una curva se denomina

frecuentemente Forma canónica por ser la forma más simple de una

circunferencia que se representa de esta forma

x ² + y ² = r ²

En general designaremos como forma ordinaria aquella ecuación de una

curva que nos permita obtener de forma más rápida y fácilmente sus

características más importantes

1.4 Ecuaciones de la Circunferencia de forma general

También llamada Ecuación Desarrollada para hallar sus elementos hay que

transformarlos a su forma ordinaria.

Deducción general de la circunferencia

-La ecuación ordinaria de la circunferencia es:

(x - h) + (y - k) = r

-Realizando las operaciones indicadas se transforman en:

x – 2hx + h + y - 2ky + k = r

-Transportamos r y ordenemos los términos:

x + y - 2hx – 2ky + h + k - r = 0

-Agrupamos:

x + y +(-2h)x + (-2k)y + (h + k - r ) = 0

-Se representa de la siguiente forma:

x + y + Dx + Ey + F = 0

1.5 Familia de Circunferencias

Definición:



Cuando hablamos de familias de circunferencia hablamos de conjuntos de

circunferencias que cumplen cierta condición es decir que tienen cierto

parentesco; de ahí el termino de FAMILIA.

Mismo Centro

Mismo Radio y punto



Mismo Radio y Abscisa del Centro

1.6 Recta tangente a una Circunferencia

Si el punto se encuentra dentro de la circunferencia se traza una tangente

si el punto se encuentra fuera de la circunferencia se traza dos tangentes

PROPIEDADES DE LA RECTA TANGENTE:

La recta tangente es perpendicular al radio de la circunferencia dibujado en el

punto de tangencia.

La distancia del centro de la circunferencia a la recta tangente es igual al

radio de dicha

Circunferencia



El punto pertenece a la circunferencia

El punto es exterior a la circunferencia

PROPIEDADx2 + y2 – 10 y = 0

CAPITULO II

EJERCICIOS RESUELTOS



Ejercicio 1

Encuentre la ecuación general de la circunferencia cuyo centro está en las

coordenadas y que tiene un radio igual a

.

Resolución por desarrollo

En este caso podemos usar las fracciones o convertirlas a decimales:.

Como el centro no está en el origen vamos a usar la fórmula ordinaria para

llegar a la desarrollada:

Para hacerlo, partamos de aquí:

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

Nota:

Debemos recordar que x e y corresponden a las coordenadas de cualquier

punto en la circunferencia, P (x, y), distante un radio desde el centro.

Volvamos a la fórmula:

Reemplacemos los valores en las coordenadas del centro, C (a, b):

y aquí tenemos la ecuación ordinaria (formada por dos cuadrados de binomio)

la cual ahora desarrollaremos para llegar a la ecuación general:



Recordemos el cuadrado del binomio:

a2 + 2ab + b2

Primer término al cuadrado (x)2, más el doble del producto del primero por el

segundo término 2(x)(0,5), más el cuadrado del segundo término (0,5)2

Pongamos los valores de nuestros binomios al cuadrado:

(x)2 + 2(x)(0,5) + (0,5)2 + (y)2 + 2(y)(─1,25) + (─1,25)2 = 3

x2 + x + 0,25 + y2 ─2,50y + 1,56 = 3

ahora acomodamos los términos e igualamos a cero, para obtener la

ecuación general:

x2 + y2 + x ─ 2,50y + 0,25 + 1,56 ─ 3 = 0

x2 + y2 + x ─ 2,50y ─ 1,19 = 0

Resolución por el sistema de fórmulas conocidas

Tenemos:

Centro de la circunferencia (coordenadas)

Radio

r =

Y las fórmulas

D = ─2a

E = ─2b

F = a2 + b2 ─ r2

Recuerde que la ecuación general de la circunferencia tiene esta estructura:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Por lo que solo debemos calcular D, E y F



Ahora que ya conocemos D, E y F los acomodamos en la fórmula general y

tendremos:

x2 + y2 + x + ─2,50y + ─1,19 = 0

x2 + y2 + x ─ 2,50y ─ 1,19 = 0 fórmula general de la circunferencia dibujada

arriba.

Importante

Los dos métodos utilizados aquí para encontrar la ecuación de la

circunferencia nos indican que si nos dan las coordenadas del centro de una

circunferencia distintas de cero y el radio de la misma conviene usar el

método de las fórmulas.

No obstante, si alguien quiere saber exactamente cómo se procede, puede

usar el sistema del desarrollo.



Ejercicio 2

Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro en C (1, 3) y radio

r = 4.

Resolución

Sabemos que debemos obtener un ecuación de la forma

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

por lo que necesitamos saber cuánto valen D, E y F

Para ello, recordamos que

D = ─2a

E = ─2b

F = a2 + b2 ─ r2

Sustituyendo en D y E los valores que nos entregan las coordenadas del

centro C (1, 3), donde

a = 1

b = 3

tendremos que

D = ─2(1) = ─2

E = ─2(3) = ─6

Y ahora sustituimos en

F = a2 + b2 ─ r2

F = (1)2 + (3)2 ─ (4)2

F = 1 + 9 ─ 16

F = ─6

Como ya tenemos los valores de

D = ─2



E = ─6

F = ─6

Los usamos para sustituir en la ecuación

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

para quedar

y llegar finalmente a

x2 + y2 ─ 2x ─ 6y ─ 6 = 0 como la fórmula general de la circunferencia

dibujada arriba.

Ejercicio 3

Hallar la ecuación general de la circunferencia que pasa por el punto P (─3,

2) y cuyo centro es el punto C (1, 5)

Resolución

Debemos calcular el radio (ya que no lo conocemos), pero como tenemos las

coordenadas de un punto y del centro podemos calcularlo así:

El radio es la distancia de C a P, y como su fórmula para conocer dicha

distancia es

Hacemos

Ahora tenemos ubicado el centro C (1, 5) y el radio r = 5



y acudimos a la fórmula ordinaria de la circunferencia

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

Desarrollamos los cuadrados de los binomios

(x2 + ─x + ─x + 1) + (y2 + ─5y + ─5y + 25 = 25

x2 ─ 2x + 1 + y2 ─ 10y + 25 = 25

x2 + y2 ─ 2x ─ 10y + 1 + 25 ─ 25 = 0

x2 + y2 ─ 2x ─ 10y + 1 = 0

Nota importante:

En este ejercicio conocemos las coordenadas de uno de los puntos de la

circunferencia, P (─3, 2) pero ese dato nos sirvió solo para calcular el radio.

Conocido éste, la fórmula general que obtendremos ahora servirá para todos

los puntos de la circunferencia equidistantes del centro, representados como

P (x, y), por eso en la fórmula ordinaria de la circunferencia reemplazaremos

solo los valores de a y de b como las coordenadas del centro C (1, 5)

Ejercicio 4

Hallar la ecuación general de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento

entre los puntos A(2, 3) y B(─4, ─9)

Resolución



Como el segmento AB es el diámetro, el centro estará en la mitad de este

(radio), y hacemos

Ahora calculamos el radio, que es la distancia desde C(─1, ─3) hasta el

punto A(2, 3)

Conocemos ahora las coordenadas del centro C(─1, ─3) y el radio

Aplicamos la fórmula ordinaria

Desarrollamos los binomios

(x2 + x + x + 1)+ (y2 +3y + 3y + 9) = 45

(xsup>2 +2x +1) + (y2 + 6y + 9) = 45

x2 + y2 +2x +6y +1+ 9 ─45 = 0

x2 + y2 +2x +6y ─ 35 = 0 ecuación de la circunferencia graficada arriba.

Como un ejercicio probatorio de la efectividad de la fórmula analítica x2 + y2

+2x +6y ─ 35 = 0 reemplacemos los valores de las coordenadas de los

puntos A y B en x e y

Primero el A(2, 3) que sea x = 2, y = 3

22 + 32 + 2•2 + 6•3 ─ 35 = 0

4 + 9 + 4 + 18 ─ 35 = 0

Ahora el B(─4, ─9) que sea x = ─4, y = ─9

(─4)2 + (─9)2 + 2(─4) + 6(─9) ─ 35 = 0

16 + 81 ─ 8 ─ 54 ─ 35 = 0



Ejercicio 5

Hallar la ecuación de la circunferencia centrada en el punto (5, ─2) y de radio

3.

Resolución

Recordemos nuestra ecuación ordinaria de la circunferencia:

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

Conocemos a y b (5, ─2) y el radio (r = 3)

Entonces reemplacemos

(x ─ 5)2 + (y ─ ─2)2 = 32

(x ─ 5)2 + (y + 2)2 = 9

Desarrollemos lo binomios cuadrados:

(x ─ 5) (x ─ 5) + (y + 2) (y + 2) = 9

(x2 ─ 10x + 25) + (y2 + 4y + 4) = 9

ordenamos e igualamos a cero

x2 + y2 ─ 10x + 4y + 25 + 4 ─ 9 = 0

x2 + y2 ─ 10x + 4y + 20 = 0



Ejercicio 6

Calcular la ecuación de la circunferencia de centro (1, 1) y que contiene al

punto (–2, 3).

Resolución:

Primero debemos conocer el radio

Entonces la ecuación ordinaria nos queda

x2 ─ 2x + 1 + y2 ─ 2y +1 = 13

x2 + y2 ─ 2x ─ 2y + 1 + 1 ─ 13 = 0

x2 + y2 ─ 2x ─ 2y ─ 11 = 0

Ejercicio 7:

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(2;6) y con radio r = 4

(x - 2)² + (y - 6)² = 4²

Solución:

Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C(2;6) y radio r = 4

(x - 2)² + (y - 6)² = 4²

x² - 2(2x) + 2² + y² - 2(6y) + 6² = 4²

x² - 4x + 4 + y² - 12y + 36 = 16

x² + y² - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0

x² + y² - 4x - 12y + 24 = 0

D = -4 , E = -12 , F = +24



Ejercicio 8:

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es

tangente al eje de abscisas.

Ejercicio 9

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de

intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.



Ejercicio 10

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación

, y que pasa por el punto (-3,4).

Por ser concéntricas tienen el mismo centro.

Ejercicio 11

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto C(3,1) y

es tangente a la recta: 3x - 4y + 5 = 0.



Ejercicio 12

Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(-5,3) y B(3,1).

¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?



Ejercicio 13

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia

que sea tangente a la recta 3x - 4y + 7 = 0.

Ejercicio 14

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto C(3,1) y es

tangente a la recta: 3x - 4y + 5 = 0.



Ejercicio 15

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,1) y B(-2,3) y

tiene su centro sobre la recta: x + y + 4 = 0.



CAPITULO III

3.1 Bibliografía

Título: la circunferencia, libro: Geometría analítica plana, autor: Lehmann Editorial Limusa Ultima edición.

3.2 Web grafía

http://www.docstoc.com/docs/283879/geometria-analitica----circunferencia

http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/circunferencia.html


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