UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS(Universidad del Per, DECANA DE AMERICA)

FACULTAD DE INGENIERIA DE SISTEMAS E INFORMATICA

INGENIERIA ECONOMICA

Monografa de las clases

PROFESOR:

LLEYNI RETEGUI SNCHEZ1

2011

1

Monografa elaborada con la colaboracin de Oscar Carpio Angosto y Maribel Cspedes Sotelo, ex alumnos de la Facultad.

IMPORTANCIA DE LA INGENIERIA ECONMICA En las decisiones empresariales Por lo general, cuando se trata de evaluar la realizacin o no de un proyecto de inversin, uno recurre a la bsqueda del capital y para obtenerlo no slo acudimos a los ahorros sino en la mayora de casos, conviene un financiamiento a largo plazo. Es en esta necesidad, que uno acude a herramientas de la Ingeniera Econmica entre tanto necesitamos hacer un anlisis para la inversin de capital con las proyecciones y estimaciones que conduzcan a la toma de decisiones econmicas; es lograr que el mayor nmero posible de dlares, nuevos soles y centavos obtengan el ptimo rendimiento financiero. En tanto, los conocimientos de la ingeniera econmica son imprescindibles en la formacin del ingeniero ya que en las actividades que realizan deben analizar, sintetizar y obtener conclusiones en proyectos de cualquier ndole. La ingeniera econmica constituye un factor fundamental en la toma de decisiones. Estas decisiones implican los elementos bsicos de flujos de efectivo, tiempo y tasas de inters, entre otros, que se tratan en el curso de Ingeniera Econmica. Proceso de toma de decisiones en Ingeniera La toma de decisiones debe tomar en cuenta factores tcnicos y de tipo econmico-financieros: 1. Identificacin del problema.- se delimita el alcance del problema y los lmites de la solucin, tambin identificando variables (tangibles e intangibles) que toman en cuenta los recursos, especialmente el dinero; 2. Anlisis del problema, estudio de las partes; 3. Reunir informacin relevante; 4. Determinacin de objetivos.- se tomarn en cuenta los objetivos de cada variable, las tcnicas de diseo de equipo, estructura, mejora de un proceso, etc.; las variables econmico-financieras cubren aumento de ingresos, disminucin de costos y el segundo es la compra o reemplazo de equipo; 5. Plantear soluciones al problema, definir las soluciones alternativas; 6. Seleccionar la mejor alternativa utilizando algunos criterios; 7. Implementar la solucin y hacer seguimiento a los resultados.

El Valor del Dinero en el TiempoEl dinero tiene un valor en el tiempo, esto significa que el valor de una suma de dinero dada, depende no solo de la cantidad de dinero sino cuando se recibe el dinero. Si bien es cierto que el valor econmico o poder adquisitivo del dinero cambia con el tiempo, tambin es cierto que las personas prefieren ahora el dinero por el costo de oportunidad. Costo de oportunidad Significa el costo de renunciar a la oportunidad de ganar intereses o un rendimiento, sobre fondos invertidos. Es medido casi siempre en trminos monetarios. El costo de oportunidad se refiere al valor de un recurso en su mejor uso alternativo. Es medir el valor de la mejor opcin rechazada.

Inters Simple versus Inters CompuestoEL INTERS

El inters es el costo del dinero. Es el costo para el prestatario y una ganancia para el prestamista por encima de la cantidad inicial del prstamo. Es el beneficio que se saca del dinero prestado.

Inters Simple (j)Se dice que una operacin financiera se maneja bajo el concepto de inters simple cuando los intereses liquidados no se suman peridicamente al capital. (explicar con Diagrama)

Tasa de Inters SimpleAplica una tasa de inters (en este caso j) nicamente a la cantidad inicial. Se define como el cambio de valor de un nuevo sol al cabo de un periodo donde el inters ganado es: In = P * j * n Y la suma total o monto equivalente al final del periodo ser igual: Sn = P*(1+j*n) Donde: In = Pago que ocurre al final de un periodo de inters P = Cantidad monetaria en un instante elegido para fines de anlisis como instante cero, en ocasiones conocido como valor actual. j = Tasa de inters por periodo de inters n = Nmero total de periodos de inters S = Una cantidad monetaria futura al final del periodo de anlisis. Tambin puede especificarse como Sn, la cantidad final de n periodos de inters R = Un pago de fin de periodo en una serie uniforme, que continua durante n periodos. Es una situacin especial donde R1 = R2 = R3 Vn = Una cantidad monetaria equivalente al final de un periodo especificado n que considera el efecto del valor temporal del dinero. Observe que V0 = P y Vn = S. (explicar con Diagrama) El segundo mtodo para calcular In es interpretar j como la tasa de cambio del valor acumulado del dinero:n

In = j*St-1t=1

Donde t incrementa los aos de 1 a n y S0 = P y

Sn = Sn-1 (1 + j)

Problemas1. En una cuenta se coloc un principal de S/.18 000 que gener un inters de S/.270 en el plazo de un mes Cul fue la tasa de inters de ese periodo? Datos: P = 18 000 I = 270 I = P*j*1 n=1 I 270 j = ? i = ----- = -------- = 1.5% P 18 000 2. Un banco otorg a una empresa un prstamo de S/.10 000 para ser devuelto dentro de 180 das y cobra una TNA de 24% Cul ser el inters simple que pagar la empresa al vencimiento del plazo? Datos: P = 10 000 n = 180 das I = P*j*n j = 24% = 10 000*0.24*(1/2) I = ? = 1 200 3. Se abri un depsito de ahorro el 20 de julio y se cancel el 30 de noviembre del mismo ao en el banco de Crdito. En ese periodo se efectuaron cambios en el principal y tasa de inters, que se presentan en la siguiente tabla: Fecha 20/07 27/08 30/09 30/10 30/11 Operacin Depsito --Depsito Retiro Cancelacin Importe 1 000 --500 300 Operacin Tasa inicial Cambio de tasa Cambio de tasa Cambio de tasa % TNA = 24% TNA = 23% TNM = 1.8% TNM = 1.7%

Se requiere calcular el inters simple que deveng la cuenta de ahorros en todo el plazo de la operacin. Rpta. I = 95.51 4. Una seora solicita un prstamo de s/. 8,000 soles a una tasa de inters simple del 12% anual y ofrece pagarlo de la siguiente manera: s/. 3,000 ms intereses ganados al finalizar el tercer ao y el monto que queda ms los intereses ganados al finalizar el sexto ao. Cul es el monto total que paga la seora por el prstamo?

P = s/.8, 000

s

/. 5,000

0

1

2

3s

4 /. 3, 000

5

6s

/. 5,000

In = P * j * n I1= 8,000 * 0.12 * 3 I1= 2,880 S1=3,000+ 2,880 S1= 5,880 I2=5,000 x 0.12x 3 I2=1,800 S2=5,000+1,800 S2=6,800 Monto total = S1 + S2 = 5,800 + 6,800 = 12,680 5. Usted recibe un prstamo por S/.10 000, el cual debe cancelar ntegramente a los seis meses. La tasa de inters es el 9% semestral. a) A cunto asciende el pago? b) Si le descuentan al momento del desembolso un 1% del monto del prstamo, se encarece su prstamo? En cunto? c) Cul ser el costo efectivo de la deuda, si adicionalmente a lo indicado en el punto b), la liquidacin al sexto mes incluye gastos administrativos y otros por un monto de S/.100? d) Cul ser el costo efectivo, si adicionalmente a lo indicado en a), b) y c), las condiciones del prstamo implican que el 20% del prstamo no ser disponible y estar depositado en una libreta de ahorros ganando el 12.5% anual? 6. Una persona pide prestado S/.7 000 y est de acuerdo en pagar S/.2 000 ms intereses acumulados al final del primer ao y S/.5 000 ms intereses acumulados al final del cuarto ao. De cuanto son los dos pagos si se aplica un inters simple anual de 15%?

7. Una persona deposit S/.3 000 en una cuenta de ahorros que paga inters a una tasa simple de 8% durante los primeros tres aos, de 10% durante los siguientes cuatro aos y de 12% los siguientes dos aos. Cunto habr en el fondo al final del noveno ao? AMORTIZACIN CON CUOTAS UNIFORMES Para resolver stos problemas se toman los siguientes supuestos: n es entero, mayor que 1; la deuda se cancela en n cuotas uniformes; En todas las cuotas se amortiza principal, en las n-1 primeras cotas no se rebaja inters, en la ltima cuota se cancela principal insoluto y todo el inters; Los intereses se generan en su modalidad simple. CLCULO DE LA CUOTA UNIFORME VENCIDA R Equivalencia financiera para hallar R; si se conocen los valores: P, j, n, y se supone que el prstamo P se concede para amortizarse a inters simple con n cuotas uniformes peridicas R, a una tasa nominal j, puede plantearse una ecuacin de equivalencia financiera de la siguiente manera: 2P (1+j*n) R = --------------------n [2+j*(n-1)] DESCUENTO RACIONAL SIMPLE DESCUENTO Estudia las operaciones de financiamiento que se aplica en las operaciones mercantiles de compra y venta a travs del descuento racional y del descuento bancario de ttulos valores como: Letras de cambio y Pagars. Es el inters calculado y deducido con anticipacin del valor nominal; y constituye la diferencia entre el valor nominal o monto de una deuda a su vencimiento y su respectivo importe recibido en el presente. Descuento (D) cantidad de descuento de la operacin = Inters (I) S* j*n D = ------1+ j*n Donde: Sn = Nominal o capital a descontar P0 = Efectivo a recibir o valor descontado n = Duracin de la operacin, esto es, N de perodos que se anticipa el capital FACTOR DE DESCUENTO j de = -------1+j ,P= S 1 1+ j*n , S = P*(1 + j*n)

Son tasas equivalentes vencidas convertidas en tasas anticipadas, que se aplican sobre los valores nominales de ttulos valores en las operaciones de descuento. Estos factores se obtienen a partir de una tasa efectiva vencida dada. Los descuentos se obtienen al multiplicar el valor nominal del ttulo valor por el factor correspondiente al periodo de descuento. (dias que faltan para su vencimiento). Los bancos suelen preparar factores de descuento para todos los dias del ao.

Problemas1. Una Letra de cambio que tiene un valor nominal de S/.5 000 se descont en el Banco de Crdito cuando faltaban 90 das para su vencimiento, se requiere conocer el importe del descuento racional simple que efectu el banco que aplic como tasa de descuento una TNM de 1.5%. 2. Una Letra de cambio (LC.) cuyo valor nominal es S/.3 800 y que tiene como fecha de vencimiento el 26 de febrero se descuenta en el banco Scotiabank el 18 de enero del mismo ao a una TNA de 24%. Se requiere calcular el importe del descuento racional simple que se efectu al valor nominal de la LC. 3. Una LC. Con valor nominal de S/.20 000, que fue girada el 1 de abril y descontada el 7 de abril por el banco Financiero, con una TNA de 18% tiene como fecha de vencimiento el 6 de julio del mismo ao. Calcule: (a) el importe del descuento racional simple; (b) el importe que abon el banco en la cuenta corriente del descontante; (c) el inters simple que generar la operacin sobre el importe efectivamente recibido.

Inters Compuesto2A diferencia del inters simple, aqu se suman peridicamente los intereses ms el capital. Al proceso de sumar los intereses al capital cada vez que se liquidan se llama capitalizacin, y el periodo utilizado para liquidar los intereses se llama periodo de capitalizacin.

Tasa de Inters CompuestoEs el clculo de un valor futuro, sobre un capital inicial y la tasa de inters capitalizada, en este caso el inters se calcula sobre el monto anterior que ya tuvo una tasa de inters ganado, es decir: F1 = P + Pi P*(1+ i) F2 = F1+ F1*i P*(1+i) + P*(i+i2) = P*(1+ 2i + i2) = P*(1 + i)2 F3= F2 + F2 * i P*(1+i)2 + P*(1 + 2i + i2)*i P*(1 + 2i + i2) + P*(i + 2i2 + i3) = P*( 1 + 2i + 3i2 + i3) = P*(1+i) 3 De donde deducimos la frmula general:2

En trminos matemticos, la cantidad de dinero que puede acumularse y retirarse en cada periodo de inters consecutivo durante un nmero infinito de periodos es: A = P*i.

Fn =P*(1+i) n PROBLEMAS 1. Compare el inters simple y compuesto generado al depositar S/. 4,000 durante 5 aos a un inters del 12% anual. Inters Simple In = P x i x n In = 4000 x 0.12 x 5 = 2400 Inters Compuesto Ic = F-P = P [(1+i) n -1] = 4000 [(1+0.12) 5 -1] = 4000(0.762341) = 3049.3667 2. Hallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga el 15% de inters anual con capitalizacin trimestral, para disponer de S/.20 000 al cabo de 10 aos. Rpta. P = S/.4 586.757506 3. Un contratista desea conocer el valor equivalente en el ao 10 de tres sumas de dinero invertidos que son las siguientes: s/.600 soles en el ao cero, s/. 300 soles en el ao 2 y S /. 400 soles en el ao 5 Cul ser el total en el ao 10 a una tasa de inters compuesta del 5%?

F?

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

S

/. 300

S

/. 400

S

/. 600

Fn =P (1+i) n F1 = 600 (1+0.05) 2 = 600(1.1025) = 661.5 + 300 = 961.5 F2 = 961.5 (1+0.05) 3

= 961.5 (1.157625) = 1113.056438 = 1113.056438+ 400 = 1513.056438 F3 = 1513.056438 (1+0.05) 5 = 961.5 (1.27628) = 1931.086 El monto total en el ao 10 es S/. 1931.086. Otra forma de operar es: 600 (1+0.05) 10 + 300 (1+0.05) 8 + 400 (1+0.05) 5 600(1.628894) + 300(1.477455) + 400(1.276281) 977.3367 + 443.2365 + 510.5124 1931.0856 El monto total en el ao 10 es S/. 1931.086.

DESCUENTO RACIONAL COMPUESTO Perodo de tiempo que faltan para el vencimiento del ttulo valor, mientras se conoce el valor nominal del ttulo valor, la tasa de descuento y los periodos de tiempo que faltan para el vencimiento. D = FP P = F*(1+ i)-n D = F F*(1+ i)-n Al factorizar tenemos: D = F*(1 (1+ i)-n)

EJEMPLO 1: Ahora, se tiene uma letra cuyo valor nominal es S/.10 000 y se desea obtener el descuento racional 39 das antes de su vencimiento, con una tasa efectiva mensual de 5%. TEde 39 das = (1 + TEM)39/30 1 = 0.06548193 Factor de descuento (equivalencia entre tasas anticipadas y tasas vencidas) 0.06548193 D39 das = -------------------- = 0.06145756971 1 + 0.06548193 Descuento = S/.10 000*0.06145756971 = 614.48 Idntico resultado com la frmula: D = S*(1- (1+j)-n )

EQUIVALENCIA Equivalencia significa, que sumas diferentes de dinero en momentos diferentes son iguales en valor econmico, (Explicar) 4. Supngase que un inversionista le ofrece el siguiente plan: recibir dentro de un trimestre S/.295 000; al ao S/.850 000 y S/.1 200 000 dentro de ao y medio. Usted desea saber que cantidad recibira tan pronto como exija la entrega de un solo pago al final del ao y medio de la inversin, dado que la tasa de rentabilidad del proyecto es del 6% trimestral. Rpta. El equivalente de los tres pagos al final del ao y medio es = S/.2 549 836.54. 5. Un joven empresario calcula que para el mes de diciembre va a necesitar S/.5 000. Si puedecolocar el capital en un banco que paga el 12% anual capitalizado mensualmente, Cunto debe depositar el 1 de Febrero si necesita el dinero para el 1 de Diciembre? Rpta. = 4521.933061 6. Un empresario con una obligacin bancaria por S/. 60 000 pagaderos en 6 aos trimestralmente al 18% de tasa efectiva anual. Al finalizar el 2 ao, luego de haber efectuado el pago correspondiente a dicho trimestre plantea lo siguiente: a) Cunto tendra que abonar al final del 2 ao para pagar su deuda? b) Cunto tendra que pagar al banco en ese momento (final 2 ao) para que ha futuro sus cuotas de pagos trimestrales asciendan slo a S/.2 500? Rpta. A = 4026.247001; (a) P8 = 46 146.95509; (b) P8-24 = P8 P2 500 = 17 493.12742

LOS FACTORES Y SU USO Los factores en la ingeniera econmica se usan para los clculos econmicos. El propsito que tienen es entender la derivacin de las frmulas de la ingeniera econmica y la forma como se utilizan. DIAGRAMA DE FLUJO

F

0

1

2

3

4

5

HORIZONTE TEMPORAL

Algunos Factores3: 3

Factores P/F y F/P: Derivar los factores de cantidad (Q) compuesta (capitalizada) de pago nico y valor presente.

P.D.: Para usar tablas y encontrar el valor de un factor en la tabla.

Factores P/A y A/P: Derivar los factores de valor presente, serie uniforme y recuperacin de capital. Factores F/A y A/F: Derivar los factores de cantidad compuesta, (Q capitalizada) serie uniforme y fondo de amortizacin. Serie gradiente P/G para usar en costos de mantenimiento de activos. Serie irregular.

Diagramas de Flujo de EfectivoFlujo de Efectivo Son ingresos y salidas de efectivo, producido por inversin de capital, pagos de deuda, ingresos de la actividad, gastos de produccin, etc. El flujo de efectivo ocurre cuando el dinero cambia de manos de un individuo a otro o de una organizacin a otra. Los Diagramas de Flujo de Efectivo Son representaciones visuales en un horizonte temporal con flujos de entrada y salida de efectivo a lo largo del tiempo. Son especialmente tiles para ayudar a detectar cual de los cinco patrones de flujo de efectivo est representado por un problema particular. Podemos sealar cinco tipos de flujo de efectivo: 1. Pago nico: Un solo flujo de efectivo actual (P) o futuro (F). 2. Serie uniforme: Una serie de cantidades iguales (A), a intervalos regulares. 3. Serie de gradiente lineal (G): Serie de flujos que aumentan o disminuyen en una cantidad fija a intervalos regulares. 4. Serie de gradiente geomtrico: Serie de flujos que aumentan o disminuyen en un porcentaje (%) fijo a intervalos regulares. 5. Serie irregular: Serie de flujos que no presenta ningn patrn general. Sin embargo, pueden detectarse patrones en porciones de la serie. Los 5 Tipos de Flujo de Efectivo 1.- Pago nico: Donde los factores P/F y F/P con un solo flujo de efectivo se calcula al derivar los factores ya sea en el periodo actual o futuro. F

P

2.-Serie uniforme: Donde tenemos los factores P/A y A/P con una serie de cantidades iguales que son representadas a intervalos regulares.

P

1 0

2

3

4

5

A = anualidades

A

A

A

A

A

3.- Serie de Gradiente Lineal: Es al serie de flujos que aumentan o disminuyen en una cantidad fija a intervalos regulares

3G 2G G

0

1

2

3

4

4.- Serie de Gradiente Geomtrico: Es la serie de flujos que aumentan o disminuyen en un porcentaje fijo a intervalos regulares.

0

1

2

3

4

A1 g

g2

5. Serie Irregular: es la serie de flujos que no representa ningn patrn general, sin embargo pueden detectarse patrones en porciones de serie4G 3G 2G

G 0 1 2

3

4

Regla del 72: ESTIMACIONES DUPLICANDO EL TIEMPO Y LAS TASAS DE INTERS Para las tasas de inters compuesto puede utilizarse la regla del 72 para estimar i o n, dado el otro valor. La estimacin es simple; el tiempo requerido para duplicar una suma nica inicial con inters compuesto es aproximadamente igual a 72 dividido por el valor de la tasa de retorno (en %). i estimada = 72 / n Por ejemplo: Si usted deposita S/ 1,500 soles en una cuenta de ahorros que produce un inters del 12% compuesto anualmente, Cuntos aos necesitar para duplicar su saldo? Interes Compuesto

Fn =P (1+i) n 3000 = 1500 (1+0.12) n 2 = (1+0.12) n Log 2 = Log (1+0.12) n Log 2 = n Log (1+0.12) Log 2 = n Log (1.12) Log2 = n Log1.12 6.116 = n 6n

, ,

Regla del 72: n = 72 / i n = 72 / 0.12*100 = 6 aos, aprox. n = 72 / 0.10*100 = 7.2

F = 3,000

0

1

2

3

4

.

.

.

P =1,500

Sin embargo, si usted deposita S/ 1,500 soles en una cuenta de ahorros que genera un inters simple del 12 % anual. Para duplicar su saldo Cuntos aos tiene que esperar? Inters simple Datos: S = P (1+i*n) P = S/.1 500 i = 12% S = S/.3 000 n = ?, I = P*i*n , S = P(1+i*n) S/P1 ---------- = n = 8.3 aos 0.1 Resolviendo, 3000 = 1500 (1+0.12 n) 2 = 1+ 0.12 n 8.3 = n

Operaciones Financieras y anualidadesFACTORES DE CLCULO Y FRMULAS DE PAGO NICO

Valor presente (P). Valor futuro (F)

Factor de Valor Actual P/FDiagrama de Flujo:

F

1

2

3

4

5

P Frmula de Valor Actual: Se determina el valor presente P de una cantidad futura dada, F despus de n aos a una tasa de inters i. Al derivar P en la ecuacin: La expresin: P=F (1+i)n Factor de valor presente, pago nico o factor P/F. Problema Suponga que recibir S/12,000 soles dentro de 5 aos a una tasa de inters anual del 11% Cual es el valor actual de esta cantidad? F = P(1 +i)n , 1 factor F/P

F =12,000

P =? F=12000 i = 11% n=5

1 P

2

3

4

5

1 P = 12000 (1+0.11)5 = 12000 1.6850 = 7121.6617 Problema Una persona pide prestado S/. 1,000 soles y est de acuerdo en pagar S/ 500 ms intereses acumulados al final del primer ao y lo que le queda al final del cuarto ao De cuanto son los dos pagos si se aplica un inters compuesto anualmente? P = S/ 1,000 i = 8%

0 4

1

2

3

F1= S/ 500 + I

F2= S/ 500

Fn =P (1+i) n F1 = 1000 (1+0.08) F1 = 1080 I = 1080 1000 = 80 = 500 + 80 = 580 F2= 500 (1+0.08) 3 = 629.856(1.259712) = 629.856 Los dos pagos son de S/. 580 y de S/. 629.856 soles. Problema. Suponga que desea acumular S/. 10,000 soles en una cuenta de ahorros a 6 aos a partir de ahora y que la cuenta paga una tasa de inters del 5% capitalizado anualmente Cunto tiene que depositar hoy? Datos: F = S/.10 000 n = 6 aos

i = 5% P = ?

F = 10,000

0

1

2

3

4

5

6

P?

P=F

1 (1+i)n

P = 10000 P = 7462.153

1 (1+0.05)6

Derivacin del Factor de valor presente Serie UniformeSERIES DE FLUJO DE EFECTIVO

Factor de recuperacin de Capital (P/A, i, n) Ocurre cuando todos los flujos deentrada de una serie son iguales. Puede ser determinado considerando cada valor de A como un factor futuro F y utilizando la ecuacin P = F(1/(1+i)n), con el factor P/F, para luego sumar los valores del valor presente. La frmula general es: P = A (1/(1+i)1) + A (1/(1+i)2) + A (1/(1+i)3) + A (1/(1+i)n-1) + A (1/(1+i)n) Simplificando la ecuacin, conduce a una expresin para P cuando i es diferente de cero: Factor P/A, P = A (P/A, i, n) P=A (1+i) n -1 i(1+i) n

Calculo de Factor A/P,

A = P (A/P, i, n) i(1+i)n

A=P (1+i) n -1 PROBLEMAS 1. Supongamos que se tiene que pagar un prstamo de S/. 5000 soles, mediante cuota fija en 5 periodos. Siendo la tasa de inters del 18% por periodo. Datos: P = S/.5 000 n = 5 i = 18% A = ? P = 5,000

1 0

2

3

4

5

A

A

A

A

A

A=P

i(1+i)n (1+i) n -1

A = 5000

0.18(1+0.18)5 (1+0.18) 5 -1

A = 5000

0.411796 1.287757

A = 5000(0.3197) A = 1598.88 A 1599 2. Una persona compra un terreno por S/. 5,000 soles de pago inicial y pagos anuales diferidos de S/. 700 soles al ao durante 7 aos empezando en 3 aos a partir de la fecha de compra Cual es el valor presente de la inversin si la tasa de inters es de 12% anual? Datos: Pi = S/.5 000 A3-10 = 700

n = 7 i = 12% P = ? P

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

5,000

A=P

i (1+i) n (1+i) n -1 (1+i) n -1 i (1+i) n

P=A

P = 700

(1+0.12)7 -1 0.12(1+0.12) 7

P = 700

1.21068 0.26528

P = 3194.64 Fn =P (1+i) n P=F 1 (1+i)n 1 (1+012)2

P = 3194.64 P = 3194.64 1.2544 P = 2546.74

3. Se compr un auto cuyo precio de contado fue S/. 12 000, pagando una cuota inicial de S/.2 000 y el saldo cancelable en cuatro armadas mensuales iguales cul ser el importe de cada cuota si el costo del financiamiento es del 2% mensual? Rpta. = S/.2 626.24

Flujo de Efectivo. Factor (A/F, i, n)Significa el clculo del valor anualizado para una cantidad futura. La frmula es la siguiente: i A=F (1+i)n -1 PROBLEMA. 4. Cuanto de dinero tendr en la cuenta despus de 5 aos por depsito uniformes de S /. 500 soles anuales, si el banco paga 8% de inters anual. F

1 5

2

3

4

5

0

A = 500 i = 8% n=5 F =? A

A i A=F

A

A

A

(1+i)n -1 F=A (1+i)n -1 i F = 500 F = 2933.30 Comprobando de otra manera: 500 (1+0.08) 4 = 680.24 500 (1+0.08) 3 = 629.85 500 (1+0.08) 2 = 540.00 (1+0.08)5 -1 0.08

500

= 500.00 _______ 2933.21

CLASIFICACIN DE LAS ANUALIDADESValor presente de una Anualidad Simple Anticipada Aquella en que los pagos se realizan al principio del periodo. Sucesin de rentas anticipadas, empiezan en el momento cero (0). Ejemplo pago de alquileres, compras a plazos (con cuota inicial), plizas se seguros, pensiones de enseanza. PROBLEMA 1. Qu monto se acumular al trmino de cuatro aos, si hoy y durante tres aos consecutivos se depositan S/.250 en una cuenta de ahorros que devenga una TNA se 24% con capitalizacin mensual? 2. Se alquila un local comercial por 4 meses con pagos anticipados de S/.800 cada uno. cul es el valor actual del contrato de arriendo con una TEA de 12%? Rpta. = S/.3 155.1639 3. Se tiene una obligacin que en un primer momento se haba pactado cubrir en 18 cuotas de S/.15 000 por mes anticipado; se decide pagarla al contado. Si la tasa de inters acordada es del 3% mensual, hallar este valor al contado. Rpta. = S/.212 491 4. hsdkjdk Anualidad Diferida Cuando en un contrato de crdito u operacin similar, que debe amortizarse con cuotas uniformes, el pago de estas rentas empieza despus del vencimiento de uno o varios periodos de renta, contadas a partir del inicio del plazo pactado.

Gradiente Lineal (G)Una gradiente uniforme es una serie de flujos de efectivos que aumentan o disminuyen por una cantidad constante G de un periodo a otro. El gradiente G puede ser positivo (una serie de gradiente creciente) o un negativo (una serie de gradiente decreciente). El primer valor de la gradiente comienza en el periodo 2.

(n-1)G

4G 3G

G0 1 2 3

2G 4 5 (n-1) n

0

1A

2A G

3A

4A

5A

6A

7A

8A

9A

2G 3G 4G 5G 6G

7G

8G

Factor de Valor Actual con Gradiente Lineal Encuentre P dado A, G. n, i, tenemos el factor (P/G, i, n) Para hallar una expresin de la cantidad actual P se aplica el factor: G 2G (n-2)G (n-1)G P = 0 + ------- + ------ + + --------- + ---------(1+i) 2 (1+i) 3 (1+i) n-1 (1+i) n n P = (n-1) G*(1+i)-n n=1 Si establecemos: G = a y 1/(1+i) = X,

Tenemos

P = 0 + aX2 +2aX3 + + (n1)aXn P = aX*(0+X+2X2 + + (n-1)Xn-1 )

Como una serie aritmtica-geomtrica (0, X, 2X2, (n-1) Xn-1 ) tiene la suma finita 1- n*Xn-1 + (n-1) Xn 0 + X + 2X + + (n-1) X ) = -------------------------(n + X)22 n-1

Podemos volver a escribir la ecuacin como: P = aX 1- nXn-1 + (1+i)X n (1+X)2 Al reemplazar los valores originales de a y X obtenemos: P=G (1+i) n - in 1 i 2(1+i) n Problema. Una fbrica de textiles acaba de comprar un camin con vida til de 8 aos. El ingeniero estima que los costos de mantenimiento del camin durante el primer ao ser de S/. 1,000 soles. Se espera adems que dichos costos de mantenimiento suban conforme envejezca el camin a una tasa de S/. 300 soles anuales durante su vida til. Suponga que los costos de mantenimiento ocurren al final de cada ao. La empresa quiere establecer una cuenta de mantenimiento que obtenga un inters del 12% al ao. Todos los gastos de mantenimiento en el futuro se pagaran de esta cuenta Cunto debe depositar en la cuenta de la empresa, ahora?

P G = 300 i = 12% n =8 A = 1000A

0

1

2

3

4

5

6

7

8

A

A G

A

A

A

A

A

2G 3G 4G 5G 6G

7G

P1 = G

(1+i) n - in 1 i 2(1+i) n

P1 = 300 P1 = 300

(1+0.12) 8 0.12(8) 1 0.12 2(1+0.12) 8 0.515963 0.035653

P1 = 4341.44

P2 = A

(1+i) n -1 i (1+i) n (1+0.12)8 -1 0.12(1+0.12) 8

P2 = 1000

P2 = 1000 P2 = 4967.64

1.475963 0.297155

P = P1 + P2 P = 4341.44 + 4967.64 P = 9309.08

Factor de Valor Final con Gradiente Lineal G (F/G, i, n) F=G i Problema Suponga que se hace una serie de depsitos anuales en una cuenta corriente bancaria que paga un inters del 10% anual. El depsito inicial al trmino del primer ao es de S/.1, 500 soles, las cantidades de los depsitos disminuyen en S/.200 soles al final de los siguientes 4 aos Cuanto tendra despus del quinto depsito? FA1 0 2 3 4 5

(1+i) n - 1 i

-n

A = 1500

A

A

A

A

A

FG i = 10% n =5

0 5

1

2

3

4

4G3G 2G G=200

F = FA -FG F = A (F/A, i, n) G (F/G, i, n)

FA = A

(1+i) n -1 i (1+0.10)5 -1 0.10

FA = 500

FA = 1500 (6.1051) FA = 9157.65 FG = G i FG = 200 0.10 (1+i) n - 1 i (1+0.10) 5 - 1 - 5 0.10 -n

FG = 2000(1.1051) FG = 2210.2 F = FG-FA

= 9157.65 2210.2 = 6947.45

Anlisis del crdito. Capitalizacin Continua

Tasas de Inters Nominales y EfectivasUna tasa nominal no es una tasa correcta, real o efectiva. La tasa de inters nominal ignora el valor del dinero en el tiempo y la frecuencia con la cual se capitaliza el inters. La tasa de inters efectiva (i) es la verdadera tasa de rendimiento que produce un capital inicial en una operacin financiera; se utiliza cuando el periodo de capitalizacin (o periodo de inters) es menos de 1 ao. Varias de las transacciones financieras mas comunes por ejemplo, pagos hipotecarios, mensuales o ganancias trimestrales en cuentas de ahorros, son pagos no anuales, para esto la formula como se calcula el inters efectivo es la siguiente:

ie = (1+ r/m) m -1Donde: r: tasa de inters nominal por ao m: frecuencia de composicin o # de periodos cada ao r/m: taza de inters por sub-periodo Problema 1.-Suponga que tiene un prstamo de un banco a un inters compuesto del 12%. En este caso el 12% representa la taza de inters nominal. Calcule el pago total de inters anual suponiendo que la capitalizacin es mensual. r = 12% m = 12

ie = (1+ r/m )m -1 ie = (1+0.12/12)12 -1 ie = (1.01)12 1 ie = 12.68%2.- Calcule el pago total de inters anual suponiendo que la capitalizacin es semestral r = 12%

m=2

ie = (1+0.12/2)2 -1 ie = (1.06)2 1 ie = 1.1236 1 ie = 0.1236 ie = 12.36%

3.- Calcule el pago total de inters anual, suponiendo que la capitalizacin es trimestral

ie = (1+0.12/4)4 -1 ie = (4.12/4)4 1 ie = (1.03)4 1 ie = 1.1255 1 ie = 0.1255 ie = 12.55%3.-Una Sra. Deposita ahora S/. 1500 soles, S/. 3000 soles dentro de 4 aos a partir de la fecha del anterior depsito y S/. 4000 dentro de 7 aos. A una tasa de inters del 18% anual capitalizado trimestralmente. Cunto dinero tendr en su cuenta dentro de 8 aos? Pare resolver este problema tenemos 3 formas posibles. Caso1

F =? F1 1 2 3 4 5 6 P1=1500 3000 4000 7

Lo haremos por partes. F = P (1 + r/m) n F1 = 1500 (1+r/m) 16 F1 = 1500 (1.045) 16 F1 = 3033.55 F2 = 6033.55(1.045)12 F2 = 10232.185 P2 = 3033.55 + 3000 P2 = 6033.55 P3 = 10232.185+4000 P3 = 14232.185

F3 = 14232.185(1.045)4 F3 = 16972.1453 Caso 2 F1 = 1500 (1+0.18/4)32 = 6134.97 F2 = 3000 (1+0.18/4)16 = 6067.11 F3 = 4000 (1+0.18/4)4 = 4770.07 FT = F1 + F2 + F3 = 16972.15 Caso 3

in = r = 18% ie = (1+0.18/4) 4 1 ie = 19.25% anualF1 = 1500 (1+ 0.1925)8 F1 = 6134.97 F2 = 3000(1+0.1925)4 F2 = 6067.11 F3 = 4000(1+0.1925) F3 = 4770.07 FT = F1 + F2 + F3 = 16972.15 Determinacin del periodo de Composicin. Considere el siguiente anuncio de un Banco: Abra un certificado de deposito (CD), del Banco Continental y obtenga una taza de rendimiento garantizado con una inversin mnima de s/ 1000 calcular m. Valor Futuro de un Certificado de Deposito La formula es la siguiente: F = P (1 + r/m) n Problema 1.- Si compro ahora el CD que vale S/. 2000 a 6 meses. Cunto obtendr un inters del 8% compuesto anual capitalizado trimestralmente? P = 2000 r = 8% m =4 n =2 F = P (1 + r/m) n F = 2000 (1+ 0.08/4)2 F = 2000 (1.0404)

F = 2080.8 2.- El banco paga 10% de inters compuesto anual, si la capitalizacin, es mensual cuanto vale mi CD de S/.1000 al 8vo mes. F = P (1 + r/m) n F = 1000 (1+0.10/12)8 F = 1000 (1.06864) F = 1068.64 Conversin de una Tasa Efectiva en una Tasa Nominal, o en Tasa Efectiva de otro periodo j = m ( (1 + i)f/h-1) Donde: j = Tasa nominal anual o tasa efectiva de otro periodo m = nmero de periodos o monto que ser calculado i = es la tasa de inters efectiva TE, como dato f = periodo de capitalizacin a calcular, de la variable j h = periodo correspondiente a i Ejercicio 1: Cul es la tasa nominal anual (TNA) capitalizable trimestralmente, equivalente a una tasa efectiva anual (TEA) de 24%? j = m ((1 + TEA)90/360- 1) = 4 ( (1.24)1/4-1) j = 4 (0.5525) = 0.221 22.1% Ejercicio 2: Cul es la tasa nominal semestral capitalizable bimestralmente, equivalente a una tasa efectiva anual (TEA) igual a 18%? j = m ((1 + TEA)60/360- 1) = 3 ( (1.18)1/6-1) j = 3 (0.1666667 - 1) = 3 (0.0279697) = 0.083909247 8.39% Respuesta:

Capitalizacin ContinuaConforme la frecuencia de Capitalizacin aumenta en un ao, la tasa de inters efectiva tambin se incrementa. Si se desea explicar con claridad la rpida capitalizacin, se debera usar relaciones de capitalizacin continua o de inters compuesto continuo. Matemticamente el factor de cantidad compuesta de pago nico sujeto a inters compuesto continuo, esta dado: Lim (1+r/m) mn = er nh rn

en donde e = 2.71828

E = factor de cantidad compuesta de capitalizacin continua. Donde: r = tasa de inters anual nominal.

m = # de periodos de inters por ao n = # de aos. Con cantidades conocidas, el valor presente, tasa de inters (r) y # de aos(n), el valor futuro (F) se puede calcular mediante la formula. F = Pe r n La tasa de inters efectiva sujeta a inters compuesto continuo puede escribirse de una nueva frmula: Lim (1+1/h) h = eh

COMPOSICIN CONTINUA A medida que m se acerca al infinito, el lmite de la ecuacin: Ie = (1+r/m) m -1 Se encuentra utilizando r = m De donde deducimos m = rh Luego: Lim i = Lim (1+r/m) m -1h m

1 h

i = Lim (1 +1/h) hr -1h

= Lim [(1 + 1/h) h] r - 1h

= iec = e r -1 La relacin inversa entre valor futuro (F) y valor presente (P) indica que: P = Fe-r n Problema 1.- Para un tasa nominal anual del 9% Cul es la tasa efectiva continua anual?

iec = e r -1= e 0.09 - 1 = 0.0942 = 9.42%

Si se deposit S/. 3 000 soles y el banco me paga el 9% anual Cunto totalizara la cantidad acumulada? F = P e rn = 3000 e 0.09 = 3 282.5226 2.- Suponga que se deposita S/. 2 000 soles cada ao en una cuenta que paga intereses a una tasa 12% capitalizada en forma continua a) Determine el monto de la cuenta inmediatamente despus del 8vo depsito b) Determine el equivalente en valor actual de 10 depsitos. r = 12% A = 2000

iec = e r -1= e 0.12 - 1 = 0.1274 = 12.74% a) F=A (1+i) n -1 i

F = 2000

(1+0.1274)7 -1 0.1274

F = 2000

2.60992 0.1274

F = 25 273.19 b) P=A (1+i) n -1 i (1+i) n

P = 700

(1+0.1274)7 -1 0.1274 (1+0.1274) 7

P = 2000 (5.4831089) P = 10 966.21

3. - Para una tasa de inters del 16% anual capitalizado en forma continua, calcule la tasa de inters efectiva anual y mensual r = 16% Anual:

iec = e r -1= e 0.16 - 1 = 0.1735 = 17.35%

16/12 = 1.33% r mensual = 1.33%

iec = e r -1= e 0.0133 - 1 = 0.0134 = 1.34%

Esquema de un estudio de ingenieraAnalizar, sintetizar y obtener conclusiones en proyectos de gran envergadura significa estudiar acerca de la inflacin, estimacin de costos, impuestos y depreciacin; anlisis de sensibilidad adicional y riesgo. Adems de evaluar algunas medidas de valor como: valor presente (VP), valor futuro (VF), periodo de recuperacin Valor anual (VA); Tasa de retorno (TIR); Valor econmico agregado; Razn beneficio Costo (B/C) Costo capitalizado (CC). Los flujos de efectivo durante algn periodo de tiempo: Estimacin de ingresos y egresos; Estrategias de financiamiento; Leyes tributarias; Valor del dinero en el tiempo; tasa de inters; medida de valor y tcnicas de mantenimiento correctos. Los Atributos No Econmicos, dan como resultado que se tenga mayor confianza por aspectos: 1. Sociales 2. Legales 3. Polticos 4. Ambientales 5. Personales.

Ejemplo: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Compra de un avin costo de la compra mtodo de financiamiento tasa de inters costos anuales de impuesto sobre la renta Ingresos anuales, etc.

Anlisis de la rentabilidad

En la prctica las decisiones de inversin no deben basarse nicamente en le clculo de rentabilidad de un proyecto pues tambin debemos considerar un impacto global en la solidez financiera y la posicin de la compaa. No son las ganancias en s, sino el flujo de efectivo. El precio de mercado de las acciones de la compaa representa hasta cierto punto el precio de sta, es salud financiera. Varios factores afectan el valor de mercado de la compaa: las ganancias actuales y futuras, que pueden ser obtenidas de la siguiente manera: Ventas Netas Ingresos Netos Ganancias por Accin ------------------------------------------------= Activo Total XXXX - Pasivo Total XXX -----------------------------------------------------= Valor Neto Precio de Accin Tipos de decisiones de Ingeniera Econmica o nuevas ideas, proyectos y actividades como: (1) Seleccin de materiales y procesos; (2) Reemplazo de equipo; (3) Productos nuevos y expansin de productos; (4) Reduccin de costos y (5) Mejora de servicios.

Criterios de Valor Actual Neto (VAN)El valor actual neto mide el excedente de un producto de inversin, en el instante cero. Uno no mide la rentabilidad, sino el simple hecho cuanto tardara en recuperarse la inversin inicial de un proyecto. El clculo costo capitalizado, compra alternativas con base en el valor presente. Para esto resumiremos el procedimiento bsico para aplicar el criterio de valor actual neto o un proyecto de inversin tpico: 1.- Determine la tasa de inters que la empresa desea obtener. Por lo general denominaremos a esta tasa de inters Tasa de Rendimiento Mnima Atractiva (TRMA). Esta seleccin ser una poltica de gerencia. 2.- Estimar la vida econmica del proyecto (nmero de aos).

3.- Estimar el flujo de efectivo correspondiente a los ingresos de cada periodo. 4.- Estime el flujo de salida de efectivo de cada periodo econmico. 5.- Determine los flujos de efectivo netos Flujos Efectivo Neto (Flujo Neto = Flujo de Entradas de Efectivo Flujo de Efectivos de Salidas de Efectivo) 6.- Encuentre el valor actual de cada flujo de efectivo neto cuando la tasa de inters toma su valor en el periodo que usted haya fijado. Sume las cifras de valor actual, el resultado se define como Valor Neto Actual de Progreso. El proyecto para ser aceptado debe tener una suma de inversin y flujos netos de valor actual >= 0 VAN (TRMA) = - Inversin + Flujos Netos Problema 1.-Un proyecto independiente requiere una inversin de S/.10 000000 soles y producira beneficios anuales netos de S/. 1 800000 soles a lo largo de una vida de 8 aos. En estas cifras se incluye todos los costos y beneficios. El Presidente de la compaa le solicita que le evale el mrito econmico de esta inversin, si la TRMA de la empresa es del 15%.A A A A A A A A

A = 1 800000

1

2

3

4

5

6

7

8

P = 10 000000

VAN (15%) = -P + Pc PC = A (P/A, TRMA, 8) PC = A (1+i) n -1 i (1+i) n

PC = 1800000

(1+0.15)8 -1 0.15 (1+0.15) 8

PC = 1800000 (4.487321) PC = 8 077 178. 714 VAN (15%) = -P + PC = -10 000000 + 8 077 178. 714 = -1 922 821.286 No se invierte, puesto que el VAN es negativo (< = 0) 2.- Un proyecto con una inversin inicial de S/. 300 000 soles en el ao cero, seguido por 8 aos de ingresos anuales netos de S/. 75 000 soles. Si la tasa de rendimiento mnima atractiva (TRMA) de la empresa es del 14%, calcule el VAN de este proyecto Es aceptable el proyecto?A A A A A A A A

A = 75 000

1

2

3

4

5

6

7

8

P = 300 00

VAN (14%) = -P + Pc PC = A (P/A, TRMA, 8) PC = A (1+i) n -1 i (1+i) n

PC = 75000

(1+0.14)8 -1 0.14 (1+0.14) 8

PC = 75000 (4.638863) PC = 347 914.792 VAN (15%) = -P + PC = -300 000 + 347 914.792 = 47 914.792 Es aceptable el proyecto, puesto que el VAN es positivo (> = 0) 3.- Una pareja de esposos tiene una tierra valiosa y ha decidido vender los derechos sobre los minerales en su propiedad a una compaa minera. Su objetivo principal es obtener un ingreso de inversin de largo plazo y suficiente dinero para financiar la educacin universitaria de sus 2 hijos. Dado que los nios tienen actualmente 8 y 4 aos de edad, la pareja estima que los nios empezarn la universidad dentro los 10 y 14 aos respectivamente. Por lo consiguiente proponen a la compaa minera que esta pague S/. 18 000 soles anualmente durante 20 aos, empezando dentro un ao, ms S/. 10 000 soles dentro de 10 aos y S/. 15 000 dentro de 14 aos. Si la compaa desea cancelar su rendimiento financiero de inmediato Cunto debe pagar ahora si la inversin podra generar 16% anual?10 000 15 000

A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

12 13 14 15 16

17 18 19 20

P = A (P/A, i, 20) + F1 (P/F, i, 10) + F2 (P/F, i, 14) A (P/A, i, 20) PA = A (1+i) n -1 i (1+i) n

P?

A = 18000 i = 16%

PA = 18000

(1+0.16)20 -1 0.16 (1+0.16) 20

PA = 18000

18.460759 3.113721

PA = 18000 ( ) PA = 10 671.9136 F1 (P/F, i, 10) P1 = F1 1 (1+i)n 1 (1+016)10

P1 = 10000 P1 = 10000

19.4607 P1 = 513.854 F2 (P/F, i, 14) P2 = F2 1 (1+i) n 1 (1+016)14

P2 = 15000 P2 = 15000

7.98751 P2 = 1 877.93 P = PA + P1 + P2 = 10 671.9136 + 513.854 + 1 877.93 = 13 063.6976 Mtodos bsicos para evaluar Proyectos Los mtodos bsicos, tradicionales, para evaluar decisiones econmicas son los siguientes: Perodo de recuperacin de la inversin. Tasa de rendimiento sobre la inversin (tasa de rendimiento).

Costo anual uniforme equivalente (CAUE) Valor presente neto / Valor actual neto (VPN) Relacin Beneficio-Costo (B/C) Tasa Interna de Retorno (TIR).

Tablas de Amortizacin Las amortizaciones son una serie de pagos sucesivos, generalmente en montos y perodos iguales, que se efectan con el fin de cancelar una obligacin y sus intereses, dentro de un plazo convenido previamente. Por ejemplo si se adquiere un prstamo de bienes por S/.1 000 000 que gana intereses al 10% anual, para cancelarlo en cinco aos, se debe calcular la cuota que habr que pagar y los intereses, todos expuestos en una tabla. Datos: P = 1 000 000 A = P (A/P, 10%, 5) A = 1 000 000*(0.263797) = 263.797.48

TABLA DE AMORTIZACINPERODO 1 2 3 4 5 CUOTA 363.797.48 363.797.48 363.797.48 363.797.48 363.797.48 PAGO DE INTERESES 100.000 83.620.25 65.602.53 45.783.03 23.981.59 PAGO DE SALDO CAPITAL 163.797.48 836.202.52 180.177.23 656.025.29 198.194.95 457.830.34 218.014.45 239.815.90 239.815.89 0.00

Criterios de evaluacin de inversiones

Tanto el VPN como la TIR son indicadores que permiten evaluar proyectos de inversin. Cuando empleamos el VPN estamos calculando en nuevos soles del presente el rendimiento de los dineros involucrados en el proyecto. La TIR mide tambin la rentabilidad de un proyecto sobre los dineros que todava permanecen invertidos en l, pero expresada como tasa de inters. Aunque el clculo del VPN es mucho ms sencillo que el de la TIR, sta ltima es ms comprensible. Cuando hablamos de un proyecto que rinde el 20% anual, todo el mundo sabe lo que se quiere decir4.

Tasa Interna de Retorno5 (TIR)4

Tomado de Matemtica Financiera Prctica (2001) de Jos Rejas Saal. Hipocampo Ediciones, LimaPer. 5 Interpolar linealmente para encontrar el valor ms exacto de un factor.

FVAN

(P/F, i*, n)

1

2

3

4

5

6

P

Significado de la T.I.R. Cuando se realiza una operacin financiera, generalmente se cree que la tasa de inters obtenida (TIR) representa el rendimiento o costo sobre la inversin inicial. La TIR es la tasa de inters pagada sobre los saldos de dinero tomado en prstamo o la tasa de rendimiento ganada sobre el saldo no recuperado de la inversin. La tasa de retorno est expresada como un porcentaje por periodo, Ej. 12% En los clculos de la tasa de retorno el pago, o entrada final, iguala exactamente a cero con el inters considerado, es decir: VP = VFi 0 = - VP +VFi Mtodos para determinar i* El valor de i* puede hallarse con varios procedimientos, cada uno de ellos tiene sus ventajas y desventajas, los mtodos ms prcticos son: 1.- Mtodo de Solucin Directa 2.- Mtodo de Tanteos 3.- Mtodo Grfico Defectos de la TIR Primer defecto: Si dos proyectos son independientes, entonces los criterios del VPN y la TIR, siempre conducirn a la misma decisin de acptese/rechcese. Si el VPN afirma que el proyecto debe aceptarse, la TIR dir lo mismo. Cuando el VPN aumenta en la medida en que aumenta la tasa de descuento. Este caso presenta un primer defecto de la TIR, y se observa en proyectos de inversin no convencionales, o sea cuando en el periodo cero no hay inversin sino ingresos. Utilicemos el siguiente flujo de caja que corresponde a un proyecto no convencional:

Proyecto A

0 1.000

1 -3.600

2 4.320

3 -1.728

TIR 19.98%

VPN(10%) -0.75

Segundo defecto. TIR mltiples La ecuacin de la TIR es un polinomio de grado n. La obtencin de las races de cualquier polinomio est regido por la regla de los signos de Descartes que dice: un polinomio tiene tantas races como cambios de signos. Esto significa para el caso de la TIR, que si el flujo de caja del proyecto presenta dos cambios de signo, se pueden obtener dos TIR, lo que no tiene interpretacin econmica. Parodiendo al matemtico Ren Descartes: pienso, luego s cuantas TIR pueden existir. Al platear la ecuacin de la TIR, tenemos:

Proyecto A

0 -1.600

1 10.000

2 -10.000

TIR 1 25%

TIR 2 400%

VPN(10%) -773.55

10.000

10.000

VPN = 0 = - 1.600 + ------------ - -------------(1 + TIR)1 Problema 1.- Considere 2 proyectos que tienen las siguientes transacciones: (1 + TIR)2

N Proyecto 1 Proyecto 2 0 1 2 3 4 2000 0 0 +500 +2000 1500 +1300 +1800 0 0

Calcule la Tasa Interna de Retorno por el Mtodo de Solucin Directa

Proyecto 1 500 2000

0

1 P = 2000

2

3

4

2000 = F1 (P/F, i*, 3) + F2 (P/F, i*, 4) 2000 = 500 + 2000 (1+i) 3 (1+i) 4 4= 1 + 4 (1+i) 3 (1+i) 4

4 (1+i) 4 = 1 + i + 4 Log 4 (1+i) 4 = log (5 + i) Log 4 + 4Log (1+i) = Log (5+i) Log (5+i) Log 4 = 4 Log (1+i) i = 0.061 6.1% Proyecto 2 1300 1800

0

1 P = 1500

2

3

4

1500 = F1 (P/F, i*, 1) + F2 (P/F, i*, 2) 1500 = 1300 + (1+i)1 1800 (1+i)2

15 (1+i) 2 = 1 + i + 2 Log 2 (1+i)2 = log (5 + i) Log 2 + 2Log (1+i) = Log (5+i) Log (5+i) Log 2 = 2 Log (1+i) i = 0.61 61% TASAS DE RETORNO La tasa de retorno es un porcentaje que indica el rendimiento relativo en diferentes usos de capital. Tres tasas de retorno aparecen con frecuencia en los estudios de ingeniera econmica: 1) La tasa mnima aceptable de retorno (TMAR) es la tasa establecida por una organizacin para designar el nivel ms bajo de rendimiento para aceptar una inversin. 2) La tasa interna de retorno (TIR) es la tasa sobre el saldo no recuperado de la inversin en una situacin donde el balance final es cero. 3) La tasa externa de retorno (TER) es la tasa de retorno que es posible obtener para una inversin en condiciones econmicas actuales. En los estudios de ingeniera econmica; la tasa de inters externa a menudo ser establecida por la TMAR. TMAR.-La tasa de retorno razonable sobre la inversin (TMAR) debe ser mayor que cualquier otra tasa de retorno previamente establecida; se establece por encima del costo de capital dependiendo de las circunstancias y aspiraciones de una organizacin. El propsito es evitar las inversiones no productivas en las actividades marginales, quiz favorecidas por razones polticas, y para conservar el capital durante periodos cuando se presntan menos propuestas atractivas. TIR.-Es el mtodo de tasa de retorno mejor conocido y ms utilizado. Tambin se le conoce como el mtodo de tasa de retorno verdadera y el mtodo de flujo de efectivo descontado. Es la tasa de inters ganada por una inversin alternativa sobre el saldo no recuperado de una inversin. Por ejemplo un prstamo que tiene que ser pagado a una tasa de inters igual a 10% con una TIR = i. La tasa de retorno es aquella que hace que el valor de los ingresos de un proyecto sea equivalente al valor presente de los egresos; es decir, aquella tasa de inters que hace que el Valor Presente Neto (VAN) de un proyecto sea igual a cero. La TIR puede calcularse al igualar el valor presente, valor futuro o valor anual del flujo de efectivo a cero (0) y resolver la tasa de inters que permita la igualdad. Para expresar esto de otra manera: la tasa que cuando se emplea en el clculo del valor presente de todos los costos y valores presentes de todos los rendimientos los har iguales.

VALORES MLTIPLES DE TASAS DE RETORNO POSIBLES Ejemplo: Una compana ha mercadeado un producto durante tres aos, con los siguientes flujos de efectivo netos en soles (S/.) AO Flujo Efectivo 0 de +2000 1 -500 2 -8100 3 +6800

Solucin: La relacin en valor presente es: VP = 2000 - 500*(P/F, i, 1) 8100*(P/F, i, 2) + 6800*(P/F, i, 3) i% VP S/. 5 +50.97 10 -39.82 20 -106.48 30 -82.39 40 -11.66 50 81.48

2.-Su banco est dispuesto a prestarle S/. 20 000 para su proyecto de remodelacin de vivienda. Usted debe firmar una hipoteca que requiere pagos de S/. 3116.4 al final de cada uno de los prximos 10 aos Cul es la tas de inters que le ofrece al banco?P = 20000 A = 3116.4 n = 10 i* = ? 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

1

P=A

(1+i) n -1 i (1+i) n

20000 = 3116.4

(1+i) 10 -1 i (1+i) 10

20000 = 3116.4

(1+i) 10 -1 i (1+i) 10

Log 6.4176 = Log

(1+i) 10 -1 i (1+i) 10

0.8073 = Log

(1+i) 10 -1 i (1+i) 10

i = 0.09 9%

Problemas 1.-Suponga que efectuamos depsitos trimestrales a una cuenta de ahorros que produce un inters del 9% anual capitalizado mensualmente. Calcule la tasa de inters efectiva por periodo de pago. r = 9% m=3 i e = (1 + 0.09/ 12)3 -1 = (1 + 0.0075)3 -1 = (1.022669) -1 = 2.27% 2.- Suponga que hace una serie de depsitos anuales a una cuenta bancaria que paga un inters del 15%. El Depsito inicial al trmino del primer ao es de S/. 1600 soles. Las cantidades de los disminuyen en S/. 180 al final de los siguientes 4 aos Cunto tendra despus del quinto depsito?

FA

A = 1600

1 0

2

3

4

5

G = 180 i = 15% n =5

A

A

A

A

A

FG

0 5

1

2

3

4

180 360 540

720

F = FA -FG F = A (F/A, i, n) G (F/G, i, n) A (F/A, i, n) FA = A (1+i) n -1 i (1+0.15)5 -1 0.15 FA = 1600 1.0113571 0.15 FA = 1600 (6.742380) FA = 10 787.81 G (F/G, i, n)

FA = 1600

G FG = i 180 FG = 0.15

(1+i) n - 1 i

-n

(1+0.15) 5 - 1 - 5 0.15

FG = 1200 (1.742381) FG = 2090.85 F = FG-FA = 10 787.81 2090.85 = 8696.96

3.-El Sr. Snchez acaba de comprar una propiedad de S/. 300 000 soles efectuando un pago inicial de S/. 60 000 soles y obteniendo un prstamo por los S/. 240 000 soles restantes. El prstamo hipotecario es por 15 aos a una tasa de inters compuesta del 12 % mensual. El acuerdo consiste en efectuar pagos mensuales iguales. a) Cul es el pago mensual del Sr. Snchez? b) Despus de efectuar el pago nmero 100 al seor Snchez le gustara pagar el saldo restante del prstamo Cul es el pago requerido? P = 240 000 n = 15 aos = 180 meses i = 12% A =? 3 4 ... 100 101 ... 180

0

1

2

a)

12%/12 = 1% ie = (1+ r/m) m -1 = (1 + 0.01/1)1 -1 = 1% A = P (A/P, ie, 180)

A=P

i (1+i) n (1+i) n -1 0.01 (1+0.01) 180 (1+0.01) 180 -1

A = 240 000

A = 240000 (0.01200168) A = 2880.4033 4.-Supongamos que se tiene que pagar un prstamo de S/. 5 000 mediante cuota fija en 8 periodos, siendo la tasa de inters de 5% por periodo.

P

1 0

2

3

4

5

6

7

8

P = 5000 i = 5% n =8 A =?

A

A

A

A

A

A

A

A

A=P

i(1+i)n (1+i) n -1 0.05(1+0.05)8 (1+0.05) 8 -1

A = 5000

A = 5000 0.05 (1.47745)8 (1.47745) 8 -1

A = 5000

0.073872 0.477455

A = 5000 (0.1547034)

A = 773.6090 Problema 1.- Suponga que se tiene una serie de recepciones semestrales iguales de S/.500 soles que se extiende durante un periodo de 6 aos Cul es el valor actual de esta serie de pagos semestrales a un inters del 8% compuesto continuamente? i = 6 aos x 2 = 12 P = A (P/A, i*,12) iec = e r -1 iec = e r/k -1 iec = e 0.08/2 -1 = 4.081% 2.- Si alguien deposita S/. 1000 soles ahora y le prometen un pago de S/. 500 soles despus de 3 aos y otro de S/. 1500 soles en 5 aos a partir de ahora Cul es la tasa de retorno utilizando el valor presente? 1500 500 anual por periodo r = anual k = periodo

0

1 P = 1000

2

3

4

5

1000 = F1 (P/F, i*, 3) + F2 (P/F, i*, 5) 1000 = 500 + 1500 (1+i) 3 (1+i) 5 2= 1 + (1+i) 3 3 (1+i) 5

2 (1+i) 5 = (1+i) 2 + 3 Log 2 (1+i) 5 = Log (1+i) 2 + Log 3 Log 2 + 5Log (1+i) = 2 Log (1+i) + Log 3

3 Log (1+i) = 0.1760912 1+i = 1.144714 i = 0.144714 i = 14.47% 3.-Calcule el valor anual equivalente que representa el ciclo de vida de un activo con un costo inicial de S/. 25 000 soles un costo de operacin anual de S/. 5 000 soles y una vida de 5 aos. Si se aplica una tasa de inters del 18 % anual

0

1

2

3

4

5

i = 18% n=5 A = 500

AP = 25000

A

A

A

A

A = P (A/P, i, n) + 500 A=P (1+i)n -1 i (1+i)n A = 25000 (0.31978) + 500 A = 7994.5 +500 A = 8494.5 2.-En un distrito de Lima (S. M .P) se planea construir 2 rutas alternativas. La primera ruta A cuesta S/. 7 000000 soles proporcionar beneficios anuales estimados de S /. 135 000 soles a los negocios locales. La ruta B que cuesta S/. 8 000000 soles puede proporcionar S/. 120 000 soles en beneficios anuales. El costo anual de mantenimiento es S/. 200 000 soles para A y el costo de mantenimiento es de S/. 120 000 soles para B. Si la vida de cada avenida es de 20 aos y se utiliza una tasa de inters del 12% anual Cual de las 2 alternativas debe seleccionarse? Ruta A135000 13500 135000 135000 135000

+ 500

1

2

3

4

...

19

20

200000 200000 200000 200000

7 000000 P = A (P/A, i, n) 7 000000 = -65 000 (7.4694) 7 000000 = - 485511 7 000000 = - 7 485 511 0 Tambin A = -P (A/P, i, n) 200 000 + 135 000 = -7 000000 (0.13388) 65 000 = -1 002 160 Ruta B120000 120000 120000 120000 120000

1

2

3

4

...

19

20

120000 120000 120000 120000

8 000000 P = A (P/A, i, n) 8 000000 P = - 8 000000 0 Tambin A = -P (A/P, i, n) 120 000 + 120 000 = -8 000000 (0.13388) = -1 071 040 Se elige la Ruta A

Problema1. Una empresa de confecciones produce prendas de vestir segn la temporada estacional. La empresa ha decidido utilizar maquinaria importada que debe reemplazarse cada 4 aos, lo que produce a su vez un patrn de flujo de efectivo que se repite segn el grfico adjunto. Se pide determinar los flujos de efectivo anuales, sabiendo que la tasa de inters es de 12% anual.

800 700 600 500

800 700 600 500

...

1000 A A

1000 A A

1000 300 200 100

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

P = 1000 A = 800 n =4 i = 12% A = -1000 (A/P, i, 4) + 800 100 (A/G, i, 4) A = -1000 (0.32923) + 800 100 (1.3589) A = -329.23 + 800 135.89 A = 334.88 G = 100

La frmula de interpolacin

X X1 Y = Y1 + ----------*(Y2 Y1) X2 X1 Donde: Y = Parmetro para calcular la i desconocida Y1 = Valor inferior de la i; 5% en el problema Y2 = Valor superior de la i; 6% en el problema X1 = Valor del factor en Tablas que corresponde a Y1, esto es para 5% de inters. Corresponde un factor de (P/A) = 6.463, y para (A/P) = 0.1547. X2 = Valor del factor que corresponde a Y2, esto es, para 6% de inters (P/A) es 6.210 y (A/P) = 0.161 X = Valor del factor que corresponde a Y, esto es, (P/A) = 6.25 y (A/P) = 0.16 Ejemplo: PROBLEMA Se invirtieron S/.500 con una expectativa de recibir S/.80 al final de cada uno de los siguientes 8 aos. Cul es la tasa interna de rendimiento de la inversin? Rpta.: TIR = 5.837213% Datos: P = 500 A = 80 n=8 i* = ?, Solucin: 500 = 80 (P/A, i*, 8) 6.25 = (P/A, i*, 8) = 0.16 = (A/P, i*, 8) = El clculo es: 6.25 6.463 Con el factor (P/A) Y = 5 + ----------------* (6 5) = 5.8418 6.21 6.463 0.16 0.1547 Con el factor (A/P) Y = 5 + ------------------* (6 5) = 5.8412 0.161 0.1547 Diferencia de la interpolacin por el uso de distintos factores para calcular un solo parmetro, 0.0006.

Evaluacin de la Razn Beneficio/CostoSe considera que un proyecto es atractivo cuando los beneficios derivados de su implementacin y reducidos por los beneficios negativos esperados exceden sus costos asociados. Se pueden utilizar las siguientes descripciones: Beneficios (B).- Que es igual a las ventajas experimentadas por el propietario Beneficios negativos (BN).- Es igual a las desventajas de otro proyecto cuando el primero es implementado.

Costos (C).- Son los gastos anticipados por construccin, operacin, mantenimiento, etc., menos cualquier valor de salvamento. La razn convencional se calcula de la siguiente manera: B/C = B BN C * En los anlisis Beneficio/Costo, los costos no estn precedidos por un signo menos Hay otras formas para evaluar el beneficio y estimacin de costos en los proyectos, esto es: B C, donde se elimina las discrepancias, puesto que B representa los Beneficios Netos; es decir: B C = (B C) BN B C = B (C + BN) Nota: Puede utilizarse cualquier mtodo de clculo (clculo de valor presente, clculo de valor anual o valor futuro) en tanto estn expresados (los Beneficios, Beneficios Negativos y los Costos) en las mismas unidades.

Problema 1Una organizacin est contemplando una inversin de S/. 2 000000 de soles para instalar 2 laboratorios con nuevas formas de ensear a la gente las bases de una profesin. Los cursos se extendern durante un periodo de 10 aos y crearn un ingreso de S/. 600,000 soles anuales. La organizacin utiliza una tasa de retorno del 6% anual. Por el nuevo programa que ser adicionado en las actividades en marcha, se ha estimado que se retirarn S/. 200,000 soles de fondos anuales del otro programa para apoyar esta investigacin. Para hacer exitoso el programa, la organizacin incurrir en gastos de operacin anual de S/. 80,000 soles de su presupuesto regular. Utilice los mtodos de anlisis para determinar si el programa se justifica: a) B / C b) Beneficio costo modificado y c) anlisis B C

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2 000 000

i = 6% n = 10 B = 600,000

BN = 200 000

COA = 80 000 anuales C = -2 000000 (A/P, i, 10)

C = -2 000,000 inversin inicial,

C = -2 000000 (0.13587) = -271,740 anuales Solucin: a) B/C = B BN C B/C = 600 000 200 000 271 740 + 80 000 = 400 000 = 1.14 351 740

El proyecto se justifica ya que B / C es mayor que uno. b) El B / C modificado trata el COA como un beneficio negativo B/C = 600 000 200 000 80 000 = 320 000 = 1.18 271 740 271 740 El proyecto tambin se justifica. c) B C = (600 000 200 000) (271 740 + 80 000) = 48 260 Dado que B C es mayor que cero, la inversin se justifica.

Problema 2Suponga que el costo para mantener el funcionamiento de una estructura de control de inundaciones es de S/.10 000 y que la estructura proporciona un beneficio de proteccin estimado en un valor de S/.20 000 anualmente. Al arrendar cierta mquina por S/.3 000 anuales el costo anual de mantenimiento se reducir a S/.5 000 y los beneficios de proteccin de inundaciones aumentar a S/.24 000 por ao, cmo se determina la razn B/C? Debe aceptarse el proyecto? Beneficios Anuales Costos anuales Costo Incremental = 4 = -2 -2 Condicin Presente 20 000 10 000 Condicin Mejorada 24 000 8 000

Emisin de obligaciones Inversin en Bonos

Bonos Los bonos son un instrumento financiero importante mediante el cual el mundo empresarial puede obtener fondos para financiar proyectos. Los bonos son una forma especializada de prstamos en la cual el acreedor, por lo general una empresa o el gobierno, promete pagar una tasa de inters determinada a intervalos especificados durante un periodo definido y luego reponer el capital en una fecha especfica conocida como fecha de vencimiento del bono. En el caso de los bonos, los prestamistas son inversionistas (conocidos como tenedores de bonos), que pueden ser individuos u otras empresas. Terminologa de los Bonos a) Valor a la Par.- Los bonos individuales generalmente se emiten con denominaciones redondas, como por ejemplo S/. 1,000 soles o mltiplos de mil. b) Bono de Descuento o de Prima.- Un bono que se vende por su debajo de su valor a la par. Se denomina Bono de Descuento. Cuando se vende por encima de su valor a la par se le conoce como Bono de Prima. Ejemplo: Los bonos de la empresa ATS se ofrecen a menos que el valor a la par a un 99.625%, o sea un descuento de 0.375%. c) Valor Nominal del Bono.- El valor nominal hace referencia a su denominacin. El valor nominal es importante por 2 razones: 1. Este representa una suma global que ser pagada al tenedor del bono a la fecha de su vencimiento. 2. El monto de inters (I) pagado por periodo con anterioridad a la fecha de vencimiento del bono se determina de la siguiente manera: I = V*b C Donde: I = Inters pagado por periodo V= Valor nominal del bono b = Tasa de inters del bono C = Nmero de periodos por pago de ao.

Nota: Solamente el valor nominal, no el precio de compra se utiliza para calcular el monto del inters del bono (I).

Problema Una compaa esta planeando realizar una expansin en la empresa, para lo cual emiti bonos de S/. 4,000 soles al 6% para financiar el proyecto. Los bonos vencern dentro 10 aos, con pagos trimestrales de inters. El Sr. Prez compr uno de los bonos a travs de su comisionista de bolsa S/. 3,800 soles. a) Qu pagos tiene derecho a recibir el Sr. Prez? b) Calcule el valor presente de los ingresos obtenidos por el Sr. Prez en esta negociacin y diga si le reporta o no utilidades? a) I = V*b C V = 4,000 b = 6% C=4

I = 4000(0.06) = S/.60 que paga la Ca. Cada tres meses. 4 b) El Sr. Prez adquiere el bono a S/. 3,800 soles Al final obtiene: 60x40 = 2400 + 4000 Vp = -3800 +60 (P/A, 6%, 40) + 4000 (P/F, 6%, 40) = -3800 + 60 (15.0463) + 4000 (0.0972) = -3800 + 902.778 + 388.8 = -2508.33 No reporta utilidades. ProblemaS Determine el monto de inters que usted recibir por periodo si compra un bono de /. 5,000 soles al 6% el cual vence dentro de 12 aos con intereses pagaderos semestralmente

I = V*b C

V = 5,000 b = 6% C=2

I = 5000(0.06) = S/.150 que paga la Ca. Cada semestre. 2 Al vencimiento de los 12 aos se paga los S/. 5000 soles

Anlisis de Reemplazo y Retiro de Equipo y Maquinaria Mtodos para evaluar alternativasEl estudio de reposicin bsico est diseado para determinar si debe remplazarse un activo utilizado actualmente. Los activos existentes pueden sustituirse debido al deterioro, la obsolescencia o la capacidad inadecuada. Los crecientes costos de reparacin sugieren la decisin de reparar o reemplazar, que podra cambiar las caractersticas de los productos.

Comparacin en VP de alternativas con vidas iguales

Cuando un activo puede ser remplazado por un retador que tiene una vida estimada diferente, debe determinarse la longitud del periodo de estudio, es prctica comn utilizar un periodo de estudio igual a la vida del activo de vida ms larga.

Ejemplo:Mquina A B Costo inicial S /.5,000S

Vida til 5 aos 5 aos

Costo Anual de Mantenimto.(CAM) S /. 600S

Valor de Salvamento S /. 500S

IngresosS

/. 2000 /. 800

/.2,000

/. 500

/. 100

S

Para una tasa de inters del 5% Vp: Llevar todo a valor presente, siempre que las comparaciones sean del mismo nmero de aos de vida til. Mquina A VpA = -5000 -600 (P/A, 5%, 5) + 500 (P/F, 5%, 5) + 2000 (P/A, 5%, 5) = -5000 -600 (4.3295) + 500 (0.7835) + 2000 (4.3295) = -5000 -2597.7 + 391.75 + 8659 = 1453.05

Mquina B VpB = -2000 -500 (P/A, 5%, 5) + 100 (P/F, 5%, 5) + 800 (P/A, 5%, 5) = -2000 -500 (4.3295) + 100 (0.7835) + 800 (4.3295) = -2000 2164.75 + 78.35 + 3463.6 = -622.8 PROBLEMA1. Se compr un equipo hace tres aos a un costo de S/.120 000 con una vida til de 10 aos, y un valor de salvamento de S/.20 000 al final de ese periodo; puede venderse en ste momento en S/.70 000. Actualmente produce ingresos de S/.260 000 al ao, con costos de operacin de S/.130 000 anuales. Debido a que produce gran cantidad de desperdicio, se ha pensado en remplazarlo por equipo nuevo que tiene un precio de adquisicin de S/.170 000, un valor de salvamento de S/.30 000 al final de su vida til de 7 aos, que elevara los ingresos a S/.330 291 al ao, con costos de operacin de S/.165 000 anuales. Ambos equipos se deprecian por lnea recta, se pagan impuestos de 50% y la TRMA de la empresa es 20%. Determine la conveniencia econmica del reemplazo. DATOS: Equipo Defensor Equipo Retados B 120 000 170 000 I 70 000 VS 20 000 30 000 A 260 000 330 291 CAO 130 000 165 000 n, aos 10 7 TRMA = 20% Impuesto (T) = 50% 120- 20 Dt,D = ---------- = 10 000 10 170- 30 Dt,D = ---------- = 20 000 7 Anlisis de resultado DEFENSOR Ingreso 260 000 - CAO 130 000 - Dt,D 10 000 = U.A.I. 120 000 - T. 60 000 = U.D.I. 60 000 + Dt, 10 000 = F.E.N. 70 000 RETADOR 330 291 165 000 20 000 145 291 72 645.5 72 645.5 20 000 92 645.5 INCREMENTO 70 291 35 000 10 000 ahorro de impuestos 25 291 12 645.5 12 645.5 10 000 22 645.5

VPND = -70 000 + 70 000*(P/A, 20%, 7) + 20 000*(P/F, 20%, 7) = -70 000 + 70 000* 3.6046 + 20 000* 0.2791 VPND = 187 904 VPNR = -170 000 + 92 645.5*(3.6046) + 30 000*(0.2791) = - 170 000 + 333 949.96 + 8 373

VPNR = 172 322.96, aceptar reemplazo Incremento de la Inversin es: -170 000 + 70 000 + 10 000 = 90 000 VPNI = -90 000 + 22 645.5*(3.6046) 30 000*(0.2791) = -90 000 + 81 627.969 + 8373 VPNI = 0.969

Comparacin en VP de alternativas con vidas diferentesVSA VSB VSA VSB VSA VSB

0

3 2000 5000 2000

5

6 2000 5000

9 2000

10 12 2000 5000

15 aos

BA

Se sigue el procedimiento de la seccin anterior con una excepcin: Las alternativas deben compararse durante el mismo nmero de aos. El requerimiento de servicio de 2 mquinas de diferente vida til, puede satisfacer mediante 2 enfoques: 1. Comparar las alternativas durante un periodo de tiempo igual al mnimo comn mltiplo (MCM) de sus vidas. 2. Comparar las alternativas utilizando un periodo de estudio que no necesariamente considera la vida de las alternativas. Este se denomina el enfoque de : Horizonte de Planeacin Problema Seleccione la mejor alternativa mediante clculo de valor presente de 2 mquinas para los cuales se muestran los siguientes costos e ingresos Mquina A B Costo inicial S /.10,000S

Vida til 6 aos 9 aos

Mantenimiento(CAM)S S

/. 3,500 /. 3,100

Valor de Salvamento S /. 1,200S

IngresosS S

/. 8,000

/18,000

/. 2,000

/. 16,000

a) Determine cual debe ser seleccionada con base en una comparacin utilizando una tasa de inters del 10% anual?

b) Si se especifica un periodo de estudio de 5 aos y no se espera que los valores de salvamento cambien Cul alternativa debe de seleccionarse? c) Cul mquina debe ser seleccionada en un horizonte de 6 aos si se estima que el valor de salvamento de la mquina B es de S/ 6,000 soles despus de 6 aos a) El MCM de 6y 9 aos es = 18VSB VSA VSA VSA VSB

0

6 10,000 18,000 10,000

9

12 10,000 18,000

18aos

BA

VpA = -10000 -10000 (P/F, i, 6) 10000 (P/F, i, 12) - 3500 (P/A, i, 18) + 8000 (P/A, i, 18) + 1200 (P/F, i, 6) + 1200 (P/F, i, 12) + 1200 (P/F, i, 18) = -10000 -10000 (0.5645) - 10000 (0.3186) - 3500 (8.2014) + 8000 (8.2014) + 1200(0.5645) + 1200 (0.3186) + 1200 (0.1799) = 19 350.9 VpB = -18000 -18000 (P/F, i, 9) 3100 (P/A, i, 18) + 1600 (P/A, i, 18) + 2000 (P/F, i, 9) + 2000 (P/F, i, 18) = -18000 -18000 (0.4241) - 3100 (8.2014) + 16000 (8.2014) + 2000 (0.4241) + 2000 (0.1799) = 81 372.26 Se debe de seleccionar la mquina B. b) Se realiza el mnimo comn mltiplo VpA = -10000 - 3500 (P/A, i, 5) + 1200 (P/F, i, 5) + 8000 (P/A, i, 5) = -10000 - 3500 (3.7908) + 1200 (0.6209) + 8000 (3.7908) = 7 803.68 VpB = -18000 - 3100 (P/A, i, 5) + 2000 (P/F, i, 5) + 16000 (P/A, i, 5)

= -18000 - 3100 (3.7908) + 2000 (0.6209) + 16000 (3.7908) = 31 025.5 c) VpA = -10000 - 3500 (P/A, i, 6) + 1200 (P/F, i, 6) + 8000 (P/A, i, 6) = -10000 - 3500 (4.3553) + 1200 (0.5645) + 8000 (4.3553) = 7 803.68 VpB = -18000 - 3100 (P/A, i, 6) + 6000 (P/F, i, 6) + 16000 (P/A, i, 6) = -18000 - 3100 (4.3553) + 6000 (0.5645) + 16000 (4.3553) = 31 025.5 Se debe de seleccionar la mquina B. Se debe de seleccionar la mquina B.

La inflacin en las operaciones financieras El Significado y la Medicin de la InflacinLa Inflacin, se define como el incremento sostenido en el nivel general de los precios en una economa. Es perdida del poder adquisitivo del dinero por alza permanente en los precios de Bienes y Servicios.6

Medicin de la Inflacin, es necesario hallar una forma de aislar y medir su efecto, el Instituto Nacional de Estadstica e Informtica (INEI) es el que nos da el ndice de inflacin, el ministerio de Economa y Finanzas (MEF), el Banco Central de Reserva (BCRP) y el INEI estn siempre relacionadas pero la institucin que se ocupa de la inflacin es el INEI. Los economistas han desarrollado una medicin llamada ndice de precios al consumidor (IPC), basada en una cesta de mercado de bienes y servicios (canasta bsica) requeridos por el consumidor medio. La cesta usualmente contiene elementos de 8 grupos principales: 1. Alimentos y Bebidas. 2. Vivienda. (Pago de alquiler, arbitrios) 3. Vestimenta. 4. Servicios de Salud. 5. Entretenimiento y cultura. 6. Transporte. 7. Cuidados del Hogar y personales. 8. Otros. C/u tiene un valor de ponderacin; este valor de ponderacin tiene una implicancia en el valor total de la inflacin mensual o anual. Tasa media de Inflacin, como la tasa de inflacin de cada uno de los aos se basa en la tasa del ao anterior, el efecto es compuesto. Los clculos se simplifican al usar una tasa media, en lugar de distintas tasas para los flujos de efectivo de cada ao. Ejemplo: Su ponga que queremos calcular la tasa de un periodo de dos aos. La tasa de inflacin del primer ao es el 4%, el 8% del segundo ao, con S/.100 como precio base. (a) Determinar el precio al final del segundo ao; (b) Hallar la tasa media de inflacin. Solucin: (a) 100*(1 + 0.04)*(1 + 0.08) = 112.32 (b) 100*(1 + f)2 = 112.32 f = 5.98

6

Precio, es el valor del producto en el mercado. Costo, son los gastos que ocasiona la produccin del bien (incluye mano de obra y mquinas).

Problema Calcular la tasa media de inflacin (f), de un periodo de 2 aos. Si la inflacin del primer ao fue de 56.7% y del segundo ao fue del 39.5% con S/.100 soles como precio base. (a) Determinar el precio al final del segundo ao; (b) Hallar la tasa media de inflacin. f 91 = 56.7% f 92 = 39.5% Precio Base = S/.100 f =? 1 Paso:er

0 56.7%

1 39.5%

2

S

/.100

f = 100 (1+f 91) (1+ f 92) = 100 (1.56719) (1.395) = 218.61 2 do Paso: F = P (F/P, f, 2) F = P (1 + f) n

218.61 = 100 (1 + f) 2 2.1861 = ( 1 + f) 2 1.4785 = 1 + f 0.478548 = f 47.85% = f, es la tasa de inflacin promedio de cada ao.

El Valor del Dinero en el Tiempo

r = tasa de inters real i = tasa de inters combinada f = tasa de inflacin Se resuelve: (1+i) = (1+r) (1+f) i = r + f + rf Problema Si la tasa de inflacin (f) es de 6.5% anual y el valor real del dinero en el tiempo (r) es de 15% al ao Cul es la tasa de inters combinada? r = 15% f = 6.5% i =? i = r + f + rf = 0.065 + 0.15 + 0.065(0.15) = 0.215 + 0.00975 = 22.475% 22.48% Problema Si la tasa de inters combinada (i) es de 23% anual y capitaliza mensualmente, el valor de la inflacin (f) en el tiempo es de 20% trimestral Cul es la tasa real mensual? Solucin: 0.2312 i = 23% anual i = 1 + -------- = 25.586377 12 %, imensual = (1.25586377)1/12 = 1.916667% f = 20% r = mensual? (1 + i) = (1 +r)*(1 + f) (1.01916666667) = (1 + r)*(1.062658569182611066) r = 0.95907255276791487 1 = -0.040927447232 = r = -0.040927447232% fmensual = (1.20)1/3 = 6.2658569182611066%

Anlisis Econmico que Incluye InflacinLos flujos de efectivo futuros se pueden expresar en funcin del dinero constante o dinero corriente en ese momento. Flujo de Efectivo Corriente Es aqul valor contabilizado al valor de adquisicin en el mercado. En el flujo de efectivo corriente esta incluido el efecto inflacin. Flujo de Valor Constante Es aquel valor que se expresa en funcin del poder adquisitivo del dinero con respecto a un punto fijo en el tiempo conocido como periodo base. Los flujos de efectivo de valor constante no incorporan la inflacin, a los flujos de efectivo no se ve afectado por la subida de precios. Donde: Valor = Q x PS/ PBI 2001 140,500 PBI 2002 157,300 (inflacin 3,7%) de valor

-Esta cantidad ha sido afectada por la variacin de precios por la inflacin -En cambio el valor constante es el valor corriente que se divide entre el IPC (ndice de Precio del Consumidor); hacemos ahora la comparacin al deflactar7 el PBI del ao 2002 y sera: PBI 2001 140,500 Vs. 157,300 PBI 2002 = ---------- = 151 687.56 (1.037)

7

Deflactar, es el proceso de corregir la unidad monetaria descontndola con la inflacin, al dividir la cantidad o monto corriente entre (1 + f); en cambio Indexacin Formal o Informal, es el proceso de corregir la unidad monetaria al capitalizar con la tasa de inflacin, multiplicar por (1 + f).

LA DEPRECIACIN Y EL FLUJO DE EFECTIVO ANTES Y DESPUES DE IMPUESTOSDepreciacin de Activos Depreciacin es la reduccin en el valor de un activo. En general, el proceso de depreciar un activo explica la prdida del valor del activo debido a la edad, uso y obsolescencia durante su vida til. Las compaas recuperan sus inversiones de capital en activos tangibles (equipo, computadores, vehculos, edificaciones y maquinaria) mediante el proceso de depreciacin. La depreciacin es una deduccin permitida en impuestos, al ser la depreciacin una deduccin junto con salarios y sueldos, materiales, arriendo, etc., reduce los impuestos sobre la renta, mediante la relacin: Ingreso Gravable (IG) = (Ingresos Deducciones8) Impuestos = IG*(Tasa de Impuestos) Existen leyes gubernamentales que regulan los periodos de recuperacin (es la vida depreciable, n, del activo en aos) y depreciacin permisibles. La tasa de Depreciacin o tasa de recuperacin, es la fraccin del costo inicial que se elimina por depreciacin cada ao. Esta tasa (dt ) puede ser la misma cada ao, denominndose entonces tasa en lnea recta, o puede ser diferente para cada ao del periodo de recuperacin. Valor de Salvamento (VS), o Valor Residual (VR) Es el valor estimado de intercambio o de mercado al final de la vida til del activo. Descripcin de Activos Conjunto de todos los bienes y derechos con valor monetario que son propiedad de una empresa, institucin o individuo, y que se reflejan en su contabilidad . Activos: - Mquinas - Muebles - Edificios - El valor de las viviendas disminuye por la antigedad Prdida del valor de los activos fijos que puede generar deterioro y/o obsolescencia9

Existen 2 puntos de vista: Depreciacin Econmica Depreciacin Contable Depreciacin Fsica Depreciacin Econmica Depreciacin Funcional8 9

Deducciones, son los costos de bienes vendidos; depreciacin; gastos operativos.

Biblioteca de Consulta Microsoft Encarta 2004. 1993-2003 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.

La Depreciacin Econmica, es la reduccin gradual de la utilidad de un activo con el uso y el tiempo. Depreciacin en Libros Depreciacin Contable Depreciacin Fiscal Depreciacin Contable, es la asignacin sistemtica del valor de un activo, en proporciones, durante su vida depreciable. Ingresos por Ventas.- De aqu se deducen gastos (costo de produccin, gastos de operacin, depreciacin) Operamos: + Ingresos por Ventas Gastos - (Costo de produccin) - (Gastos de operacin) - (Depreciacin) Ganancia Gravable (o Ganancia Bruta) - Impuestos sobre la Renta Utilidad Neta + Depreciacin Donde: Impuesto sobre la Renta = Utilidad Gravable X (Impuesto) Problema Una Compaa compra una mquina por S/. 30,000 soles (en el ao cero) y la usa durante 5 aos para luego desecharla. El Costo de los bienes producidos debe incluir un cargo por la depreciacin de dicha mquina. Suponga que la empresa estima los siguientes ingresos y gastos para el primer ao operativo: Ingreso por ventas = S/. 70,000 soles Costo de los Bienes Vendidos = S/. 30,000 soles Depreciacin de la Mquina = S/. 6,000 soles Gastos operativos = S/. 10,000 soles Si la compaa paga el 30% de impuesto sobre sus ganancias gravables 1.- Cul es su ganancia neta en el primer ao del proyecto? 2.- Cunto tiene en efectivo al final del primer ao el dueo del proyecto? 1.

+70 000 - 30 000 - 10 000 - 6 000

(Depreciacin)

+24 000 - 24 000 X 0.30 16 800

(Impuesto a la Renta)

Su Ganancia Neta es de S/.16 800 soles 2. 16 800 + Depreciacin 16 800 + 6 000 = S/. 22 800 (Efectivo al final del primer ao)

Las compaas recuperan sus inversiones de capital, en activos tangibles -equipos, computadoras, vehculos, edificios y maquinaria- mediante un proceso llamado depreciacin. El proceso de depreciar un activo al cual se hace referencia, explica la perdida de valor del activo debido a la edad, uso y obsolescencia durante su vida til, aunque un activo puede estar en excelente condicin de trabajo, el hecho de que valga menos a travs del tiempo se considera en los estudios de evaluacin econmica como recuperacin de capital. Depreciacin y amortizacin Depreciacin y amortizacin son dos conceptos que se manejan juntos y en la prctica ocupan un mismo rubro en el estado de resultados. La depreciacin fiscal permite a cualquier empresa legalmente constituida recuperar la inversin hecha en sus activos fijo y diferido, va un mecanismo fiscal, que tiene varios objetivos. Por su parte amortizacin es un trmino al cual usualmente se le asocia con aspectos financieros, pero cuando se habla de amortizacin fiscal, su significado es exactamente el mismo que el de depreciacin. La diferencia estriba en que la amortizacin slo se aplica

a los activos diferidos o intangibles, tales como gastos pre operativos, gastos de instalacin, compra de marcas y patentes10, entre otros. Por qu la depreciacin es tan importante para la ingeniera econmica? La depreciacin es una deduccin permitida en impuestos incluida en los clculos del impuesto de renta mediante la relacin: Impuestos = (ingreso - deducciones) * (tasa de impuestos) Al ser la depreciacin una deduccin permitida para los negocios (junto con salarios y sueldos, materiales, arriendo, etc.), reduce los impuestos sobre la renta. Terminologa de Depreciacin Depreciacin: Es la reduccin en el valor de un activo. Costo Inicial o base no ajustada: Es el costo instalado del activo que incluye el precio de compra, las comisiones de entrega e instalacin y otros costos directos deprciales en los cuales se incurre a fin de preparar el activo para su uso. El valor en libros: Representa la inversin restante, no depreciada en los libros despus de que el monto total de cargos de depreciacin a la fecha han sido restados de la base. El periodo de recuperacin: Es la vida depreciadle, n, del activo en aos para fines de depreciacin (y del impuesto sobre la renta) El valor de mercado: Es la cantidad estimada posible si un activo fuera vendido en el mercado abierto. La tasa de depreciacin o tasa de recuperacin: Es la fraccin del costo inicial que se elimina por depreciacin cada ao. El valor de salvamento: Es el valor estimado de intercambio o de mercado al final de la vida til del activo. La propiedad personal: Es la mayor parte de la propiedad industrial manufacturera y de servicio: vehculos, equipo de manufactura, mecanismos de manejo de materiales, computadoras, conmutadores y mucho ms. La propiedad real: Incluye la finca raz y las mejoras a esta y tipos similares de propiedad. La convencin de medio ao: Se empieza a hacer uso de los activos o se dispone de ellos a mitad de ao. La tierra en si se considera propiedad real, pero no es depreciable. Mtodos de Depreciacin Los mtodos tradicionales de depreciacin basados en aos son las siguientes: 1. Depreciacin en Lnea Recta 2. Depreciacin de Salidas Crecientes 3. Suma de Dgitos de los aos Surgieron posteriormente mtodos acelerados:

10

Activos intangibles: representativos de franquicias, privilegios u otros similares, incluyendo los anticipos por su adquisicin (derechos de propiedad intelectual, patentes, marcas, licencias, llave de negocio, gastos de organizacin y pre operativos, gastos de investigacin y desarrollo, etc.)

1.- El Sistema acelerado de Recuperacin de costos (SARC), fue anunciado en 1981 en EEUU. 2.- El Sistema modificado acelerado de recuperacin de Costos (SMARC), anunciado en 1986; que a la fecha, contina siendo el nico mtodo de depreciacin aprobado en EEUU. Las depreciaciones dependen de varios factores: a) b) c) d) e) La base de costo o inversin en la propiedad. Clase de propiedad y periodo de recuperacin. Fecha en que se puso en servicio. Que convencin. Mtodo de depreciacin.

Depreciacin en Lnea Recta (LR) El modelo en lnea recta es un mtodo de depreciacin utilizado como el estndar de comparacin para la mayora de los dems mtodos. Obtiene su nombre del hecho de que el valor en libros se reduce linealmente en el tiempo puesto que la tasa de depreciacin es la misma cada ao, es 1 sobre el periodo de recuperacin. La depreciacin anual se determina multiplicando el costo inicial menos el valor de salvamento estimado por la tasa de depreciacin d, que equivale a dividir por el periodo de recuperacin n, en forma de ecuacin, D = (B - VS)* d D = (B VS)/ n Donde: t = ao (t=1, 2,....n) D = cargo anual de depreciacin B = costo inicial o base no ajustada VS = valor de salvamento estimado d = tasa de depreciacin (igual para todos los aos) n = periodo de recuperacin o vida depreciable estimada VLt = Valor en libros en el ao t VLt = B t D Nota: En el Per de acuerdo al Decreto Legislativo 774 y su reglamento Decreto Supremo 122-94, dispone que la depreciacin para ciertos productos, establece las siguientes tasas: -Edificios 3% -Unidades de Transporte 20% - Equipo de Cmputo 25% - Muebles y otros Equipos 10%

El valor de salvamento es de acuerdo a la poltica que establece cada empresa. Problema Si un activo tiene un costo inicial de S/. 60,000 soles con un valor de salvamento estimado de S/. 100,000 soles despus de 5 aos a) Calcule la depreciacin anual. b) Calcule el valor en libros del activo despus de cada ao y c) Represente graficamente. a) B = 60 000 VS = 10 000 n=5 Dt = (B VS) n Dt = 60000 10000 5 Dt = 10,000 depreciacin de cada ao, es constante. b) VLt = B t Dt VL1 = 60000 1 (10000) = 50 000 VL2 = 60000 2 (10000) = 40 000 VL3 = 60000 3 (10000) = 30 000 VL4 = 60000 4 (10000) = 20 000 VL5 = 60000 5 (10000) = 10 000

Valor en Libros 50 000 40 000 30 000 20 000

10 000

} Valor de salvamento 0 1 2 3 4 5

Depreciacin de Saldo Decreciente (SD) El mtodo de saldo reciente, conocido tambin como el mtodo de porcentaje uniforme o fijo, es un modelo de cancelacin acelerada. En trminos simples, el cargo de depreciacin anual se determina multiplicando el valor en libros al principio de cada ao por un porcentaje uniforme, que se llamara d, en forma decimal equivalente. El cargo de depreciacin es mas alto durante el prime rao y disminuye para cada ao que sucede. El porcentaje de depreciacin mximo permitido (para fines tributarios) es el doble de la tasa en lnea recta. Para la depreciacin SD o SDD, el valor de salvamento estimado no se resta del costo inicial al calcular el cargo de depreciacin anual, Es importante recordar esta caracterstica de los modelos SD y SDD. Aunque los valores de salvamento no se consideran en los clculos del modelo SD, ningn activo puede depreciarse por debajo de un valor de salvamento razonable, que puede ser cero. El clculo de depreciacin se realiza con la siguiente frmula: D = (d) B (1-d) t-1 El mximo de depreciacin permitido como porcentaje (para fines tributarios) es el doble de la tasa en lnea recta, es decir: d mx. = 2/n n = periodo de vida til del activo Otro porcentaje comnmente utilizado para el mtodo de saldos decrecientes Si 150% de la Tasa en LR d = 1.5/ n

El clculo del valor en libros es: VLt = B (1-d) t VLt = VL t-1 Dt O

Asimismo la tasa de depreciacin real para cada ao t relativa al costo inicial es: d t = d (1-d) t-1 Donde: d = Tasa de depreciacin. Valor de Salvamento implicado para un modelo Salvo Decreciente Doble, cuya frmula es: VS implicado = B (1-d) n Problema Suponga que un activo tiene un costo inicial de S/. 50,000 soles y un valor de salvamento estimado S/. 14,000 soles despus de 12 aos. Calcule la depreciacin y su valor en libros para los: a) Ao 1 b) Ao 4 c) Calcule el valor de salvamento implicado despus de 12 aos para el modelo Saldo Decreciente doble (SDD). B = 50000 n = 12 VS = 14000 d mx. = 2/n d mx. = 2/12 d mx. = 16.67% a) Para el primer ao: t=1 Dt = (d) B (1-d) t-1 Dt = (0.1667) 50000 (1-0.1667) 0 Dt = 8 335 VLt = B (1-d) t VL1 = 50000 (1-0.1667) 1 VL1 = 41 665 b) Para el cuarto ao: t=4 Dt = (d) B (1-d) t-1 Dt = (0.1667) 50000 (1-0.1667) 3 Dt = 4 822.92

VLt = B (1-d) t VL1 = 50000 (1-0.1667) 4 VL1 = 45 177.08

c)

VS implicado = B (1-d) n VS implicado = 50000 (1-0.1667) 12 VS implicado = 5 605.1415

Mtodo de la Suma de los Dgitos de los aos o la Depreciacin de la Suma de los Dgitos de los Aos Para el caso de un activo que tiene un costo inicial de S/. 98,000 soles con un valor de salvamento estimado de S/. 7,000 soles despus de 7 aos. Calcule: a) La Depreciacin Anual b) Calcule el Valor en Libros

Fin de Ao t 0 1 2 3 4 5 6 7

Valor de [n (t-1)]/[n (n+1)/2]

Dt Bt [n- (t-1)]/[(n (n+1))/2]

Inversin no recuperada Bt o VLt 98,000

7/28 6/28 5/28 4/28 3/28 2/28 1/28

22,750 19,500 16,250 13,000 9,750 6,500 3,250

75,250 55,750 39,500 26,500 16,750 10,250 7,000

Sistema Modificado Acelerado de Recuperacin de Costos (SMARC)En los aos 80 se fue reglamentando (en EE.UU.) los sistemas de recuperacin de capital. En 1981 se introdujo el Sistema Acelerado de Recuperacin de Costos (SARC) y la ley de Reforma Tributaria de 1986 lo modific a Sistema Modificado Acelerado de Recuperacin de Costos (SMARC), que es el mecanismo de depreciacin de activos vigente (julio del 2006). Ambos sistemas dictan las tasas de depreciacin estatutarias para toda la propiedad personal y real aprovechando a la vez los mtodos acelerados de la recuperacin de capital. En general el SMARC calcula la depredacin anual utilizando la relacin: Dt = B x dt Donde: Dt = Depreciacin anual dt = Tasa de depredacin, est dada por el gobierno en forma tabulada y actualizada peridicamente. El clculo de valor en libros es: VL t = VL t-1 - Dt Donde: VL t = Valor en libros del activo B = Costo inicial Dt = Depreciacin anual Porcentajes de recuperacin permitidos por el Internal Revenue Service (IRS), Servicio de Recaudacin Fiscal de los Estados Unidos para propiedades que entraron en servicio despus de 1986 de SMARC para clases de activos: 3, 5, 7, 10, 15 y 20 aos. VLt = B Sumatoria de Dt acumulada

TABLA: Tasa de Depreciacin (%) para Cada Periodo de Recuperacin SMARC en aos11,12. Ao 1 2 3 4 5 6 711

n =3 33.33 44.45 14.8113 7.41

Categora de Propiedad n =5 n =7 n =10 n =15 20.00 14.29 10.00 5.00 32.00 24.49 18.00 9.50 19.20 17.49 14.40 8.55 11.52 12.49 11.52 7.70 11.52 8.93 9.22 6.93 5.76 8.92 7.37 6.23 8.93 6.55 5.90

n =20 3.75 7.219 6.677 6.177 5.713 5.285 4.888

Estas tablas proporcionan las tasas que se pueden usar, a menos que el activo tenga adiciones o mejoras significativas (que requieren calcular de nuevo las tasas de depreciacin). Estas tasas contienen la convencin de medio ao, quiere decir que el primer ao se considera uso del activo solamente medio ao. El valor residual de la propiedad siempre es cero. 12 El valor residencial de la propiedad o periodo de recuperacin de la propiedad real para estructuras es comnmente de 39 aos (d = 1/39), aunque es posible justificar una recuperacin anual de 27.5 aos como propiedad residencial de alquiler. 13 Ao para el cambio de disminucin de saldo a lineal.

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17-20 21

4.46

6.55 6.55 6.55 3.28

5.90 5.91 5.90 5.91 5.90 5.91 5.90 5.91 2.95

4.522 4.462 4.461 4.462 4.461 4.462 4.461 4.462 4.461 4.462 2.231

Para la propiedad real, SMARC utiliza el mtodo LR para n = 39: Ao 1 Ao 2 39 Ao 40 Problema Un empresa de servicios quiere elaborar residuos de /// para esto adquiere una mquina a un costo de S/. 400,000 soles, se espera que el salvamento estimado (Valor de Salvamento) despus de 3 aos sea el 5% del costo inicial. Suponga que el propietario de la empresa desea comparar la depreciacin de un modelo SMARC de 3 aos con lo de un modelo de Saldo Decreciente Doble (SDD) de 3 aos. El propietario tiene la curiosidad de conocer la depreciacin total ms alta despus de 2 aos. a) Determine cual modelo ofrece la depreciacin total ms alta despus de 2 aos. b) Determine el valor en Libro para cada modelo despus de 2 aos y al final del periodo de recuperacin. SMARC SDD Ao dt (%) Dt VL Ao dt Dt 0 400,000 0 1 33.33 133,320 266,680 1 2/3 266,666.667 2 44.45 177,800 88,880 2