Momento Respecto a Un Punto
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Ejemplo Nº 17
Un tensor AB se usa para tensar cables a un poste. Sabiendo que la tensión en el cable BC es de 1040 N y que la longitud d es de 1.90 m, determine el momento con respecto al punto D, de la fuerza ejercida por el cable C mediante la descomposición en sus componentes horizontal y vertical de la fuerza aplicada en a) el punto C y b) el punto E.falta la figura consultar fotocopias entregadas en clase.
Análisis.
La fuerza aplicada al poste en el punto C trata de enderezarlo, ò sea de hacerlo girar respecto al punto D. Para el punto a, En la solución del punto b, se considera que la fuerza està aplicada en el punto E. Teniendo en cuenta el principio d transmisibilidad, se observa que el momento debe ser igual en ambos casos.
Solución.Se descom pone la fuerza aplicada en el punto C, en sus componentes XY.
Se encuentra el àngulo α en la figura:
tan α = 0.875m/ 2.1m α = 23º
Mc = 0.875m * 956.8N –0. 2m * 405.6 N = 760 Nm
a. Si se considera la fuerza aplicada en el punto E:
MD = 1040N*sen23º*1.9m = 760.64Nm
Ejemplo Nº 18
Un mecánico automotriz usa un tramo de tubo AB como palanca para tensar la banda de la polea de un alternador. Cuando se aplica una fuerza hacia abajo en A, se genera una fuerza de 485N sobre el alternador en B. Determine el
d = 1.90m 0.2m
Fx = 1040N*cos 23º
Fy = 1040N * sen 23º
α
D E
0.875m
C
momento de la fuerza, con respecto al perno C, si su lìnea de acciòn debe pasar por O.
Análisis.La fuerza aplicada en la palanca, al apoyarse sobre el punto de la base fija, produce un giro de la palanca, la cual aplica una fuerza en el punto B de la polea. Esta fuerza tiene una magnitud de 485N. Esta fuerza a su vez hace girar la polea respecto al punto C, tensionando la correa.. Se debe calcular entonces el momento producido por la fuerza de 485N que pasa por los puntos B y O, con respecto al punto C.
Soluciòn.Se descompone la fuerza de 485N en las direcciones X,Y.
C
B
Las componentes de la fuerza de 485N son:
Fx = 485N *cos42º =324.51N Fy = 485N * sen 42º = 360.4N
Las distancias entre los punto B y C son.
En direcciòn X : rx = 120mm65mm = 55mm En direcciòn Y : ry = 90mm + 72mm = 162 mm.
Mc = 0.162m * 324.5N +360.4N * 0.55m = 32.747 Nm
120 mm
72 mm
65 mm
90 mm
Ejemplo Nº 19
Un granjero utiliza una cuerda y una polea para levantar una paca que tiene una masa de 26 kg. Determine el momento, con respecto a A, de la fuerza resultante ejercida por la cuerda sobre la poela, si el centro de la polea C està ubicado a 0.3 m por debajo del punto B y a 7.1m con respecto al piso.
Análisis.El punto A es en donde la viga que soporta la polea està sujeto a la fachada e la bodega.Al aplicar una fuerza al cable, este a su vez lo transmite a la polea, la cual trata de girar la viga respecto a su punto de empotramiento (A).Se debe trasladar la fuerza al punto C, donde la polea està fija a la viga, y calcular su momento respecto al punto A. Para esto, se debe conocer la direcciòn de la fuerza, es decir, de la cuerda.
Solución.Se encuentran las componentes de la fuerza
Y (0,7.4m,0 ) 1.0M
( 1.0m, 7.1m,0m) 0.3m
7.1m E ( 2.5m,1.1m, 2m)
1.1m
1m 2m 1.5m
X Z
Se utiliza el vector unitario entre los puntos C,D para la direcciòn d ela fuerza.
eCD= (2.5m1m)i +(1.1m7.1m)j +(2m0m)k = 0.231i 0.923j –0.307k
(1.5m)2 + (6m)2 + (2m)2 F = 254.8N (0.23i 0.923j –0.307k) = 586.22Ni –235.18Nj –78.22Nk El vector de posición del punto A hasta el punto C es.
rAC = 1mi –0.3mj
Por lo tanto, el momento de la fuerza con respecto al punto A, es:
i j kMA = 1m 0.3m 0 586.22N 235.1N 78.22N
MA = 23.5Nm i +78.22Nmj 59.23Nmk
Ejemplo Nº 20.La llave se usa para apretar una tuerca sobre la rueda. Determine el momento de la fuerza de 120 lbs respecto al punto O. Exprese su respuesta en forma vectorial.
Análisis.Se puede observar que el sistema està en tres dimensiones, debido a que la fuerza està en direcciòn Z y la distancia desde el punto de giro hasta la línea de acciòn de la fuerza, tiene componentes X,Y.Solución.Se puede aplicar la expresión general para momento, ya que la respuesta se pide en forma vectorial:
Mo = r x FEl valor de la fuerza se conoce y solo tiene una componente en direcciòn –k.
Se debe encontrar un vector de posición r, que parta del punto de giro con respecto al cual se desea calcular el momento, ò sea el punto O, y llegue hasta un punto conocido sobre la línea de acciòn de la fuerza:
Este vector se puede apreciar en la figura:
120 lb
El vector desde O hasta A se puede escribir como:r OA = 8pulg i + 12 pulg j
Efectuando el producto vectorial se tiene:
i j kMo = 8pulg 12 pulg 0
0 0 120lb
Mo = 1440 lbpulg i + 960 lbpulg j
12 pulg
12 pulg
4 pulg
x
y