Moebius:el metro como paradigma

de la incomunicación

Moebius: el metro como paradigma de la incomunicación

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Ficha técnica y artísticaDirector: Gustavo Mosquera R. y alumnos de la Universidad de Cine de Buenos Airesvvvvvvv

Productor: Gustavo Mosquera R.

Guión: Arturo Oñativia, Natalia Urruty, Gabriel Lifschitz, Pedro Cristiani, María Ángeles Mira yG. Mosquera R., según el relato Un tren llamado Moebius (A Subway Named Möbius) de A. J. Deutsch

Fotografía: Abel Peñalba

Música: Mariano Núñez West

Montaje: Alejandro Brodersohn y Pablo Georgelli

Nacionalidad y año: Argentina, 1996

Intérpretes: Guillermo Angelelli (Daniel Pratt), Roberto Carnaghi (Marcos Blasi), Jorge Petraglia (Mistein),Anabella Levy (Abril), Miguel Ángel Paludi (Aguivvrre), Fernando Llosa (Nazar), Martín Adjemian(Canotti), Daniel Dibiase (Kenn)

Premios: — 1996: mejor fotografía y mejor sonido en el festival de La Habana, premio al mejor guión ypremio del jurado de la crítica internacional del festival de cine iberoamericano de Huelva,premio de la prensa y del jurado de la juventud en el festival de cine de Puerto Rico.

— 1997: Golden Egret a la mejor puesta en escena en el festival hispano de Miami y premio dela prensa en la Viennale.

— 1998: premio al mejor film internacional en el festival internacional de Bangkok.

Superación del módulo

Para superar el módulo hay que visionar la película y contestar las siguientes preguntas:

a. Cita dos películas en la que aparezcan matemáticos con alguna enfermedad mental.b. ¿Conoces alguna película española con protagonistas matemáticos?c. Un cilindro de papel, ¿cuántas cara y bordes tiene?La banda de Moebius, ¿cuántas cara y bordes tiene?

d. ¿Para qué quiere el protagonista los planos? ¿Qué ha hecho con ellos su profesor en su casa?e. En la película hay tres momentos en la que los personajes expresan distintas opiniones sobre las mate-máticas y los matemáticos. ¿Los recuerdas?

f. Qué sugiere el hecho de que el protagonista sube al tren desaparecido en una estación llamada Borges.¿Y que el tren desaparecido tuviera como destino Plaza de Mayo?

Algunas de estas cuestiones están extraídas o modificadas de la propuesta didáctica para trabajar con elalumnado que a continuación se presenta, la cual no es más que una de las muchas que se pueden plan-tear. Es conveniente que el profesor adapte las actividades a su grupo, añadiendo, quitando o modifican-do.

Consideramos muy recomendable que el profesor, si no conoce la banda de Moebius, realice por su cuen-ta la actividad 1 antes de llevarla al aula

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Propuesta didáctica

Objetivos generales

El objetivo de partida es que el alumnado asimile un poco mejor las propiedades de la banda de Moebius,lo cual utilizaremos como excusa para comprobar la utilidad de las matemáticas por muy abstracta que seala rama de la que se trate; así, como objetivo paralelo a este último trabajaremos la percepción que losalumnos tienen de la matemática y de sus profesionales. Finalmente, mostraremos como se puede utilizaruna disciplina artística como el cine para presentar tanto contenidos científicos como para hacernos refle-xionar sobre temas de contenido social.

Comentario previo al desarrollo didáctico

Moebius no es una película fácil para el alumnado de ESO y Bachillerato. De hecho, es recomendable quese les muestre cuando estén, como mínimo, en cuarto de ESO. No obstante, consideramos que tiene sufi-cientes puntos de interés como para trabajarla en estos niveles.

A pesar de que pueda parecer que la película va a aburrir a los alumnos, la siguen con interés, quizás debi-do al estilo narrativo a caballo entre el cine de suspense y el de terror. En muchos momentos de la pelícu-la ellos esperan alguna muerte o algo que les haga botar de la silla, pues esa es la clave en la que están acos-tumbrados a leer determinadas escenas acompañadas de cierto tipo de música incidental.

Por otro lado, al estar en una clase de matemáticas, pronto empiezan a lanzar la hipótesis de que el trense encuentra «en otra dimensión». Tampoco se privan de realizar comentarios sobre los personajes, enespecial sobre el protagonista, del que hacen comentarios del estilo «este tío tiene cara de loco»; obviamen-te, los autores de la película no logran extirpar de los alumnos el estigma de la excentricidad de los mate-máticos, a pesar de que hacen un tratamiento del personaje buscando salirse, precisamente, de la imagen«estándar» y manida del matemático ajeno a la realidad e incluso con alguna enfermedad mental. Esta últi-ma visión suele ser bastante repetida en la filmografía sobre matemáticas.

Matemáticamente, la película toca de forma clara tres temas: la teoría de grafos, el tratamiento topológicode las superficies y el concepto de infinito. Con el concepto de infinito sólo aspiramos a hacerles reflexio-nar sobre ello e intentaremos despertar el interés literario de los alumnos hacia Borges, aprovechando lanada casual circunstancia de que la estación en la que el protagonista encuentra el tren «fantasma» lleva elnombre del célebre escritor argentino.

Por otra parte, podemos encontrar otros contenidos no matemáticos, pero igualmente interesantes, sobrelos que reflexionar. El más evidente es el que constituye la moraleja de la película: «vivimos en un mundodonde nadie escucha». Esto se menciona al principio y al final pero durante el desarrollo se van dando pin-celadas, relacionándolo, también, con el hecho de que no se escucha la solución que aporta el protagonis-ta, bien porque no se entiende, bien porque no interesa a las altas esferas; esto nos da también pie a tratarel tema de como ve la sociedad a los matemáticos, pues aparecen varias secuencias donde se toca el tema.

Finalmente, aparece sutilmente el tema de los desaparecidos en Argentina. De hecho se menciona que eltren desapareció cuando iba hacia la plaza de Mayo. El tema político, también se refleja en la actitud delas autoridades ante las personas desaparecidas y en la tipología de los viajeros del tren. Este asunto no esmuy conocido para los alumnos, por lo que podemos aprovechar para informarles.

Así, el desarrollo didáctico lo estructuramos como sigue. Empezamos con una actividad previa al visionadode la película, en la que trabajaremos la construcción de una banda de Moebius en comparación con un

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cilindro, para familiarizar a los alumnos con los conceptos de cara de una superficie y borde de una super-ficie. Después, pasaremos al visionado de la película tras el cual haremos una actividad que trate los aspec-tos matemáticos o de ciencia-ficción relacionados directamente con la desaparición del tren. A continua-ción, analizaremos como ven las matemáticas y a los matemáticos algunos personajes de la película.Aprovechando el poco caso que las autoridades hacen a la solución aportada por el matemático, enlazare-mos con otra actividad que tratará el tema de la incomunicación. Luego, como actividades más formativasy tendentes a la reflexión trataremos el asunto de los desaparecidos y el infinito. Finalmente volveremoscon la parte más manipulativa haciendo nuevos ejercicios con bandas de Moebius.

En el desarrollo de las actividades aparecen entre corchetes comentarios telegráficos que resumirán algu-nas de las aclaraciones y de las explicaciones que el profesor hará a los alumnos. Esto, obviamente, nodeberá aparecer en el material entregado a los alumnos.

Actividades programadas

Actividad 1. Los cilindros y las bandas

[Previo al visionado de la película]

a. Divide con las tijeras a lo largo un A4 en 5 partes iguales. Con una tira de papel puedes construir unsimple «cilindro» pegando los extremos de la cinta o una banda de Moebius dando media vuelta —semi-giro— a un extremo antes de pegarlo con el otro. [El profesor explica gráficamente el pegado]

[Explicación de los conceptos borde y cara de una superficie]

b. El cilindro de papel, ¿cuántas cara y bordes tiene?La banda de Moebius, ¿cuántas cara y bordes tiene?

c. Cortando por la mitad. Dibuja en una cinta de papel un línea que la divida a lo largo por la mitad. Siformas con ella un cilindro y lo cortas por la línea central, ¿cuántas superficies obtendrás? ¿Cuántascaras y bordes? Intenta contestar a estas preguntas antes de hacer los cortes.Repite el proceso formando una banda de Moebius en lugar de un cilindro. Responde las mismas pre-guntas.Si cortas de nuevo la superficie obtenida, ¿qué obtendrás?

[Visionado de la película]

Actividad 2. Argumento matemático

a. ¿Cuál es la solución que aporta Daniel Pratt (el protagonista matemático) a la desaparición del tren?¿Te parece una solución con base matemática o la consideras de ciencia-ficción?

b. Si el tren circula por una banda de Moebius, ¿por qué lo oyen pero no lo ven? ¿Por qué se activan losmecanismos de seguridad que detectan el movimiento de trenes?

c. Daniel Pratt afirma que es topólogo. ¿Recuerdas la explicación que se da en la película sobre la ramade las matemáticas llamada Topología?

[Se les vuelven a poner dos cortas escenas donde se explica: minuto 11 y minuto 14]

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d. ¿Para qué quiere el protagonista los planos? ¿Qué ha hecho con ellos su profesor en su casa?

e. Después de estar en el parque de atracciones Daniel Pratt vuelve al metro y empieza a escribir en sulibreta. ¿Qué hace?

Actividad 3. Percepción de las matemáticas

a. En la película hay tres momentos en la que los personajes expresan distintas opiniones sobre las mate-máticas y los matemáticos. ¿Los recuerdas?

[Se les pone las secuencias si no lo recuerdan entre todos: minuto 10, minuto 14 y minuto 55]

b. ¿Qué opinas sobre lo que dicen?

c. ¿Por qué crees que se ríen las autoridades al final de la explicación que da Daniel Pratt? ¿Por qué sólomuestra interés el ingeniero?

d. Las autoridades parecen satisfechas al ver de nuevo el tren y se vuelven a reír de la solución del mate-mático. ¿Crees que es correcto que no le hayan escuchado?

Actividad 4. Vivimos en un mundo en el que ya nadie escucha

a. Di que te sugiere esta frase.

b. Al principio se dice que el metro es un símbolo de los tiempos que corren. ¿Qué quiere decir esto?Mientras tanto, van saliendo imágenes del metro de Buenos Aires: ¿qué te sugieren?

c. ¿Qué le contesta el profesor a Pratt cuando éste le dice que tiene que hacer público su descubrimien-to? ¿Por qué lo ignorarían?

d. Contrasta la actitud de las autoridades con la que sugiere la profesora de la Facultad de Matemáticascuando dice que si existiera una teoría que dijera que en un punto del espacio el tiempo se detiene,como mínimo habría que escucharla. ¿Qué actitud te parece más razonable? ¿Y más habitual?

e. ¿Qué ven desde el tren cuando dicen que están viajando a la velocidad del pensamiento?

e. Reflexiona sobre la frase del profesor: «Afuera hay un mar de sorderas que nos está llevando a ser irre-mediablemente desgraciados». Ahora, explícala con tus palabras.

Actividad 5. El infinito y Borges

a. Cuando el protagonista entra en el tren desaparecido habla con su profesor sobre el infinito.¿Recuerdas otro momento anterior en el que se habla del infinito?

[El profesor ayuda a recrear el momento en que se explica la solución del problema a las autoridades]

b. ¿Qué es lo que no entiende el ingeniero al respecto de la explicación que da Pratt en dicho momento?

c. ¿Cuándo aparece el símbolo de infinito asociado a la banda de Moebius?

[Se dibuja el símbolo de infinito en la pizarra. Después se pone la escena referenciada: minuto 38]

[El profesor pega en una mesa un modelo de papel que los alumnos pueden mirar desde todos los ángulos, pero no tocar]

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d. ¿Qué le produce a Pratt el infinito en el que se ve sumergido? ¿Le parece extraño a su profesor?

e. El protagonista sube al tren desaparecido en una estación llamada Borges. ¿Conoces este nombre?

[Si no lo saben se les explica quien era Borges]

e. En algunos de los textos de Borges hay referencias matemáticas. Concretamente el concepto de infini-to aparece en varios. Te recomiendo que leas dos cuentos cortos (o uno de ellos por lo menos): El Alephy El libro de Arena.

[Se les ofrece si quieren fotocopias de los cuentos]

Actividad 6. Los desaparecidos

a. El tren desaparece cuando va camino de plaza de Mayo. ¿Sabes algo de este lugar de Buenos Aires?

[Si nadie sabe nada, se explica el tema brevemente]

[A continuación se pone la secuencia en la que aparecen lo viajeros «desaparecidos»: minuto 70]

b. ¿Ves alguna relación entre estos viajeros y los acontecimientos políticos reales?

[Se ponen las secuencias relacionadas del minuto 14 y del 53]

c. ¿Notas preocupación en las autoridades por las personas desaparecidas?

d. En este contexto, ¿qué opinas ahora de la frase del profesor «ni los hombres ni el tiempo desaparecensin dejar huella»?

Actividad 7. Profundización en los contenidos matemáticos

a. Construye una superficie (de las mismas medidas que en la actividad 1) girando un extremo una vuel-ta completa, es decir, dando dos semigiros distintos. ¿Qué obtienes? ¿Cuántos bordes y caras tiene?¿Qué pasa cuando cortas por la mitad? ¿Y cuando cortas a un tercio?

b. Construye ahora una superficie girando un extremo una vuelta y media (tres semigiros seguidos).Contesta a las mismas preguntas.

c. ¿Qué características (número de caras y bordes) tendrá una superficie con un número par de semigiros?¿Y con un número impar?

d. Con un folio y tijeras (sin usar pegamento) construye de una sola pieza la superficie que se te muestraen el dibujo.

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e. Debes unir mediante tuberías dos casas con dos pozos con las siguientes condiciones: cada casa deberecibir agua de los dos pozos y las tuberías no se deben cruzar.

f. Trata de resolverlo ahora en el caso de tres casas y tres pozos.

[Después de dejar un cierto tiempo para que lo intenten resolver sin éxito, se les indica que recortando el dibujo y haciendo una

banda de Moebius, es fácil encontrar la solución]

g. Imagina que en lugar de tuberías fueran vías de tren y en lugar de casas y pozos fueran estaciones demetro. ¿Te parece que hay alguna relación de la película con el problema anterior? ¿Y con el resto deejercicios de esta actividad?

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Referencias

Bibliográficas

BLANCO ALONSO, M., A. RUIZ DE ELVIRA ALBANDEA y A. CORCHETE GONZÁLEZ (1998): Taller deMatemáticas, Junta de Extremadura, Consejería de Educación y Juventud, Mérida.

MARTÍNEZ, G. (2006): «Borges y la matemática», La Gaceta, 9.2, 365-380, RSME, Madrid.

SORANDO MUZÁS, J. M. (2005): «Matemáticas e Historia», Suma, 49, 125-137, FESPM, Madrid.

Internet

<gauss.mat.eup.uva.es/~alfonso/moeb.html>

<www.ciencia-ficcion.com/opinion/op00108.htm>

<www.cinenacional.com/peliculas/index.php?pelicula=2168>

<www.divulgamat.net/weborriak/cultura/CineMate/MHC/index.asp>

<www.pasadizo.com/peliculas2.jhtml?cod=161&sec=3>