Modulo (2) Primavera de 2011Coatepec Veracruz

Clase 2. Febrero 11

Programa de contenidos. Modulo 2.

Clase 1. Geometría Euclidiana: líneas, puntos y ángulos, polígonos y circunferencias. Aplicaciones.

Clase2. Geometría Euclidiana: Círculos y triángulos, propiedades y aplicaciones

Clase 3. Trigonometría: Triángulos rectángulos, relaciones, aplicaciones.

Clase 4. Representación de funciones algebraicas, exponenciales y trigonométricas, aproximación de funciones, aplicaciones

Clase 5. Funciones continuas y discontinuas, representación. Aplicaciones

Clase 6. . Pendientes y derivadas de funciones, máximos y mínimos, variaciones y limites, aplicaciones.

Programa de contenidos. Modulo 2. Clase 7. Calculo de áreas y volúmenes, ejemplos , problemas

y aplicaciones. Clase 8. La geometría de tres dimensiones. Generación de

figuras básicas, cuerpos simétricos, aplicaciones. Clase 9. Manipulación y ensamble de cuerpos

tridimensionales, estimación de áreas y volúmenes, aplicaciones.

Clase 10. Modelado de objetos y procesos mediante funciones. Aplicaciones.

Tabla de contenidos

Observando la naturaleza e identificando formas. La necesidad de replicar formas. Figuras de diferentes tamaños El taller de Euclides Ángulos y Bisectrices Representaciones del espacio en 3D. Polígonos y cuadriláteros Aplicaciones (estudio de mecanismos) Polígonos irregulares Triángulos semejantes.

Observando la naturaleza e identificando sus formas.

Desde sus orígenes los seres humanos hemos constituido una especie con un alto grado de observación e imaginación.El primer espectáculo observado fue desde luego el firmamento, que aparecía ante ellos cada noche,

Observando la naturaleza e identificando sus formas.

luminosos que ellos unían con algunos trazos rectos para conformar imágenes, las cuales les hacían mas simple reconocer determinadas estrellas

Desde sus orígenes los seres humanos hemos constituido una especie con un alto grado de observación e imaginación.El primer espectáculo observado fue desde luego el firmamento, que aparecía ante ellos cada noche, con millares de puntitos

Observando la naturaleza e identificando sus formas.

luminosos que ellos imaginaban unidos por trazos rectos para conformar imágenes similares a las que ellos observaban también en la tierra.

Desde sus orígenes los seres humanos hemos constituido una especie con un alto grado de observación e imaginación.El primer espectáculo observado fue desde luego el firmamento, que aparecía ante ellos cada noche, con millares de puntitos

Observando la naturaleza e identificando sus formas. Seguramente eso les ayudo a desarrollar la imaginación y

a plantearse la posibilidad de hacer sus propias representaciones de los objetos en su entorno.

Las líneas rectas y pequeños trazos curvos les permitieron representar paisajes animales y personas.

Observando la naturaleza e identificando sus formas. Desde luego las simetrías y los objetos redondos como el sol

y la luna les llamaron profundamente la atención, luego descubrieron que había otros igualmente redondos, como piedras y frutos en los arboles.

Así nació la idea del circulo y la necesidad de representarlo

La necesidad de replicar formas Cuando ellos pudieron replicar segmentos de rectas y

círculos en las paredes de las cuevas, su imaginación les llevo a la idea de construir objetos que tuviesen esas formas.

Lar ramas y varas de los arboles por un lado y el barro al que podían darle forma les permitió lograr su propósito

Así nació la geometría.

Figuras de diferentes tamaños Desde luego que pronto se dieron cuenta que los objetos al

igual que las figuras podían ser de diferentes tamaños y ello las a hacia distintas.

De allí surgió la necesidad de crear medidas y usarlas en sus pinturas y construcciones.

El taller de EuclidesNosotros utilizaremos el programa llamado “Taller de Euclides” para el estudio de la geometría y la trigonometría, este programa forma parte del conjunto de laboratorios construidos por el Proyecto Galileo

El taller de EuclidesNosotros utilizaremos el programa llamado “Taller de Euclides” para el estudio de la geometría y la trigonometría, este programa forma parte del conjunto de laboratorios construidos por el Proyecto Galileo

La división del circulo

Un hecho que llamo la atención a los hombres antiguos fue que además de su tamaño, los círculos podían dividirse en porciones o arcos de diferente “amplitud” surgiendo el concepto de amplitud o ángulo .

Ángulos iguales y bisectrices

Una vez que los primeros estudiosos de la geometría pudieron partir el circulo en fracciones les dieron a estas particiones el nombre de ángulos.

Saber si dos ángulos eran iguales y dividir un Angulo en dos porciones iguales se convirtieron en objetivos importantes.

La bisectriz de un ánguloDeterminar la bisectriz de un ángulo es un problema importante y sencillo.

La bisectriz de un ánguloDeterminar la bisectriz de un ángulo es un problema importante y sencillo.Para lograrlo es suficiente trazar un circulo con centro en el vértice del ángulo y luego otros dos círculos del mismo radio, por los puntos donde este circulo se intersecta con los lados del triangulo.Cuando el ángulo original es menor a 90º, los círculos rojos pueden ser menores al azul.Si el ángulo es mayor a 90º los círculos rojos deben ser mayores al azul

Realizar estas construcciones con “Euclides”

La bisectriz de un ánguloDeterminar la bisectriz de un ángulo es un problema importante y sencillo.Para lograrlo es suficiente trazar un circulo con centro en el vértice del ángulo y luego otros dos círculos del mismo radio, por los puntos donde este circulo se intersecta con los lados del triangulo.Los puntos donde estos círculos se cortan definen las bisectrices de los ángulos estudiados.

Las bisectrices de los ángulos tienen una gran importancia en el estudio de la óptica y de otras ramas de la física por las trayectorias de reflexión de las radiaciones, ante la presencia de objetos de diferentes formas.

Ángulos iguales y comparación de ángulos.

La comparación de ángulos para saber si son iguales ofrece dificultades, la solución a este problema requirió del establecimiento de un esquema de medidas en base a grados, utilizado hasta nuestros días. Este sistema es utilizado en una gran variedad de actividades de ingeniería, ciencias naturales y geografía, por mencionar algunas. Por otra parte los problemas relacionados con la comparación y uso de los ángulos pudieron ser resueltos mediante el uso de la trigonometría, a la que dedicaremos nuestra atención posteriormente.Para ello será necesario primero estudiar los polígonos y en particular un tipo de estos llamados triángulos.

La medición de los ángulos Los primeros pueblos que se interesaron en las fracciones

fueron los babilonios, que utilizaron el numero 60 para dividir la unidad. De ellos heredamos los 360º = 60º x 6 para medir una circunvolución completa alrededor del circulo y partes de ella.

Las dimensiones del espacio Desde algún momento remoto, los hombres primitivos se

percataron que mientras sus pinturas se podían trazar en una superficie plana, los objetos reales existían en un espacio diferente y mas amplio.

No sabemos cuando, pero en algún momento ellos comenzaron a distinguir entre el espacio de dos dimensiones y el real de tres dimensiones. (ser consientes de esto fue un gran paso adelante).

Los polígonos En el plano los objetos reales se pueden aproximar por

polígonos (varios lados) cerrados, diferentes a los polígonos abiertos que también les eran de utilidad en el trazo de escenarios.

Los polígonos cerrados pueden ser construidos de manera que todos sus lados sean iguales.

Triángulos y cuadrángulos

Los polígonos mas simples son el triangulo y el cuadrángulo. El triangulo con sus tres lados es una figura rígida o indeformable ya que si quisiéramos mover uno de sus vértices esto modificaría no solo la amplitud de sus vértices, sino también la longitud de por lo menos uno de sus lados.

Los cuadrángulos en cambio si pueden ser modificados, sin cambiar la longitud de sus lados, de manera que podemos decir que ellos no son rígidos-

Tetrágonos y rectángulos En estas dos figuras podemos observar la configuración

inicial de un cuadrángulo y una posible deformación que no modifica la longitud der ninguno de sus lados

Esta misma propiedad la tienen los polígonos de mas de4 lados (son deformables)

Tetrágonos y rectángulosEl elemento central de esta deformación, es que las longitudes de los lados del cuadrilátero ABCD, son iguales a las del cuadrilátero A´B´C´D´.Para obtener este nuevo cuadrilátero utilizamos los círculos auxiliares C1, C2 y C3, los cuales nos garantizan que las longitudes sean iguales.Esta propiedad es utilizada por los ingenieros mecánicos para construir estructuras metálicas con ciertos niveles de elasticidad, para lograr mas resistencia ante fuerzas externas del viento o de movimientos del suelo.Otra aplicación de esta idea son los mecanismos en donde los vértices de los polígonos recorren trayectorias diversas mientras las longitudes de los lados permanecen constantes.

El pantógrafo ferroviario

El pantógrafo ferroviario es un mecanismo articulado que transmite la energía eléctrica que proporciona la fuerza de tracción a locomotoras, trolebuses, tranvías y otros vehículos.

El pantógrafo Un pantógrafo es un

mecanismo articulado basado en las propiedades de los paralelogramos; este instrumento dispone de unas varillas conectadas de tal manera que se pueden mover respecto de un punto fijo (pivote).

Movimientos de un mecanismo utilizado en los motores de combustión.

En esta imagen observamos algunos puntos del movimiento seguido por el mecanismo de un cilindro de combustión que permite transformar el movimiento lineal de un pistón, en un movimiento circular que alimenta al eje de rotación del motor, se trata de una aplicación directa de la geometría euclidiana.

Hagamos la construcción utilizando el taller de Euclides.

Movimientos de un mecanismo utilizado en los motores de combustión.

En esta nueva imagen podemos ver las diferentes posiciones del pistón dentro del cilindro, con las correspondientes de la leva y la manivela.En la figura se puede observar que el movimiento circular no es constante, sino que presenta oscilaciones en la velocidad angular.

Este problema se resuelve con la presencia de varios cilindros, que permiten uniformar el movimiento

¿Que tan irregulares son los cuadriláteros irregulares?

Cuando nosotros construimos un cuadrilátero cualquiera, nos encontramos que al unir los puntos medios de sus lados, nos encontramos con un paralelogramo cuyos lados alternos son iguales.

Que tan irregulares son los cuadriláteros irregulares

Cuando nosotros construimos un cuadrilátero cualquiera, nos encontramos con que al unir los puntos medios de sus lados, nos encontramos con un paralelogramo cuyos lados alternos son iguales.

Que tan irregulares son los cuadriláteros irregulares ||

¿Sera esto cierto en todos los casos?

Que tan irregulares son los cuadriláteros irregulares

¿Sera esto cierto en todos los casos? En esta nueva figura hemos modificado la posición del vértice

A a la de A’, el nuevo polígono formado con los puntos medios es también un nuevo paralelogramo, aunque el cambio de A fue arbitrario.

Que tan irregulares son los cuadriláteros irregulares

¿Sera esto cierto en todos los casos? Esto quiere decir, que si ahora modificamos la posición de

cualquiera de los otros vértices arbitrariamente , los puntos medios de los lados seguirán definiendo nuevos paralelogramos.

Ello constituye la prueba de que la propiedad es común a todos los cuadriláteros independientemente de su forma.¿Existirá una propiedad semejante entre los polígonos con mas lados?

Dividiendo un segmento en dos partes iguales

Dividir el segmento AB en dos partes iguales es un problema sencillo, que puede ser resuelto utilizando dos círculos iguales, cuyos centros estén ubicados en los dos extremos A y B del segmento.

Existe sin embargo un método mas general que permite dividir al segmento en cualquier numero de partes iguales.

Dividiendo un segmento en varias partes iguales

La división de un segmento de recta en dos partes iguales es una tarea sencilla, pero igualmente es posible dividirlo en cualquier otro numero de partes iguales.

Imaginemos que necesitamos dividir el segmento AB en tres partes iguales.Para lograrlo construyamos una recta arbitraria que pase por A. Ahora construyamos tres círculos de radios iguales a partir de A, con centros sobre la nueva recta.

Dividiendo un segmento en partes igualesLa división de un segmento de recta en dos partes iguales es una tarea sencilla, pero igualmente es posible dividirlo en cualquier otro numero de partes iguales.

Imaginemos que necesitamos dividir el segmento AB en tres partes iguales.Para lograrlo construyamos una recta arbitraria que pase por A. Ahora construyamos tres círculos de radios iguales a partir de A, con centros sobre la nueva recta.

Dividiendo un segmento en varias partes iguales

Si ahora unimos el punto extremo D de la recta, con el punto B de la recta original, para construir un triangulo, es claro que al trazar otras dos rectas paralelas a la recta BD que pasen por los centros de los círculos C2 y C3, cortan a la recta AB en dos puntos p1 y p2 que dividen a AB en tres segmentos iguales.Para los griegos seguramente fue una sorpresa ver todo lo que ellos podían hacer con una estaca para trazar rectas y un compas similar a los que usamos nosotros.

Los triángulos Los polígonos cerrados mas simples que podemos construir

son los triángulos, polígonos de tres lados, que tienen también tres ángulos.

Su importancia en el desarrollo de las matemáticas y de la ciencia en general dio lugar al desarrollo de la trigonometría, que se centra de manera particular en los triángulos, uno de cuyos vértices forma un ángulo recto

Una propiedad de los triángulos

Si nosotros tomamos un triangulo y medimos las aperturas de los tres ángulos en sus vértices, nos encontraremos que la suma de estos es 180º. Nuestro primer impulso, es pensar que se trata de una casualidad, pero lego vemos que no lo es, y entonces nos preguntamos si existirá alguno por allí que no cumpla esta regla.

Una propiedad de los triángulos

Si nosotros tomamos un triangulo y medimos las aperturas de los tres ángulos en sus vértices, nos encontraremos que la suma de estos es 180º. Nuestro primer impulso, es pensar que se trata de una casualidad, pero lego vemos que no lo es, y entonces nos preguntamos si existirá alguno por allí que no cumpla esta regla.

No es el caso, ello se puede constatar con solo dibujar una recta paralela a uno de los lados y confirmar que los ángulos en los extremos de ese lado (a y c de la figura) son idénticos a los ángulos a’ y c’ que al ser sumados a b dan un ángulo de 180º

Triángulos equiláteros e isósceles

Los triángulos equiláteros son los que tienen sus tres lados iguales, su construcción es muy sencilla, ella puede observarse en la siguiente figura.

La construcción de los triángulos isoceles,llamados así por tener dos de sus lados iguales es también sencilla como se ve en la figura siguiente.

La utilización de triángulos en la generación de polígonos regulares

Los triángulos equiláteros permiten construir hexágonos fácilmente. Los triángulos isósceles son utilizados para construir pentágonos y octágonos.

Ella es la razón de la formula que conocemos para calcular el área de un polígono regular:

Área = Perímetro X Apotema / 2

Tarea Realizar con el taller

de Euclides el trazo de un pentágono inscrito en un circulo.