1

Mtodos para el anlisis

descriptivo: centralizacin

Estadstica

Medidas de Tendencia Central

2

Las medidas de tendencia central permiten describir una

distribucin por medio de sus valores tpicos. Sin embargo

estas medidas son slo parte de la informacin que se puede

obtener de la distribucin. A menudo, al conformarse la

descripcin a una medida de tendencia central se cae en la

sobresimplificacin y el estereotipo. Hacen falta otras medidas

que reflejen la variedad y la multiplicidad. Estas medidas que

hablan de las diferencias y la diversidad son las medidas de

dispersin

3

Medidas de Tendencia Central a partir

de datos no agrupados

Media Aritmtica

4

Es la medida de tendencia central ms utilizada,

tambin se le conoce con el nombre de Promedio.

Para calcular la media aritmtica, se suman todos los

datos de la muestra y el resultado se divide entre el

total de datos

El smbolo que representa a la media aritmtica es una

letra X con una barra sobre ella.

n

x

X

n

i 1

5

La frmula en su esquema de desarrollo se presenta de

la siguiente manera:

n

xxxx xX n2

...431

Ejemplo

6

Se define en minutos el tiempo que le lleva arreglarse,

desde que se levanta hasta que sale de casa. A lo largo

de 10 das hbiles consecutivos, Usted recaba los

tiempos (redondeados a minutos) que se muestra a

continuacin

39 29 43 52 39

44 40 31 44 35

Ejemplo

7

39 29 43 52 39

44 40 31 44 35 DATOS

min6.39

10

396

10

35443140443952432939

10

10

1

X

X

X

x

X ii

El tiempo que tarda para arreglarse es aproximadamente 40 minutos cada da

8

La media ponderada constituye un caso especial de la

media aritmtica y se presenta cuando hay varias

observaciones con el mismo valor.

suponga que el Wendys Restaurant vende refrescos

medianos, grandes y gigantes a $0.90, $1.25 y $1.50. De

las 10 ltimas bebidas vendidas 3 eran medianas, 4

grandes y 3 gigantes. Para determinar el precio promedio

de las ltimas 10 bebidas vendidas recurra a la frmula

del calculo de la Media aritmtica.

Media Ponderada

9

El precio promedio de venta de las ltimas 10 bebidas es de $1. 22.

Una manera fcil para determinar el precio promedio de venta

consiste en determinar la media ponderada; multiplique cada

observacin por el nmero de veces que aparece. La media

ponderada se representa como Xw, que se lee: X subndice w.

10

En general, la media ponderada del conjunto de

nmeros representados como X1, X2, X3, , Xn con

las ponderaciones correspondientes w1, w2, w3, ,

wn, se calcula de la siguiente manera:

La cual se abrevia de la

siguiente manera:

11

La media geomtrica resulta til para determinar el cambio

promedio de porcentajes, razones, ndices o tasas de crecimiento.

Posee amplias aplicaciones en la administracin y la economa,

ya que con frecuencia hay inters en determinar los cambios

porcentuales de ventas, salarios o cifras econmicas, como el

producto interno bruto, los cuales se combinan o se basan unos

en otros. La media geomtrica de un conjunto de n nmeros

positivos se define como la raz ensima de un producto de n

variables. La formula de la media geomtrica se escribe de la

siguiente manera:

Media Geomtrica

12

La media geomtrica siempre es menor o igual (nunca

mayor que) que la media aritmtica. Todos los datos deben

ser positivos. Como ejemplo de media geomtrica, asuma

que usted recibe 5% de incremento en el salario este ano y

15% de incremento el siguiente. El incremento porcentual

anual promedio es de 9.886, no de 10. .Por que razn?

Comience calculando la media geomtrica. Recuerde, por

ejemplo, que 5% de incremento salarial equivale a 105%.

Lo que expresa como 1.05.

13

Este resultado puede verificarse suponiendo que su ingreso

mensual fue de $3 000 para comenzar y que recibi dos

incrementos de 5% y 15%.

El incremento total a su salario es de $622.50. Esto equivale

a:

Mediana

14

Es el valor medio de un arreglo ordenado de datos

numrico, si no hay empates, la primera mitad de las

observaciones ser menor que la mediana y la segunda

mitad ser mayor.

Si un valor extremo se presenta en una secuencia de

datos, es mejor utilizar la mediana.

15

La mediana es el valor tal que el 50% de los datos son

menores y el otro 50% son mayores

)2

1(

~

ninValorPosicX

Ojo: se muestra una pequea diferencia cuando el total de

datos de la muestra es par o impar

16

Regla 1

Si el nmero de datos es impar, la mediana es el dato

que queda exactamente en el medio del arreglo

ordenado.

Datos Menores , , Datos Mayores

Ejemplo

17

Calcular la mediana de una muestra de tiempos que se

tarda una persona en arreglarse durante 9 das.

39 29 43 52 39

44 40 31 44

Datos de la muestra ordenados

29 31 39 39 40 43 44 44 52

18

)2

1(

~

ninValorPosicX

Tamao de la muestra

N = 9

Formulacin

)5(~

)2

10(

~

)2

19(

~

inValorPosicX

inValorPosicX

inValorPosicX

19

29 31 39 39 40 43 44 44 52

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ubicar la posicin 5.

40~X

El 50% del tiempo, una persona tarda menos de 40 minutos

en arreglarse.

Mediana

20

)2

(~ baX

Regla 2

Si el nmero de datos es par, la mediana es el

promedio de los dos datos medios del arreglo

ordenado

Datos Menores , a , b , Datos Mayores

Ejemplo

21

Se define en minutos el tiempo que le lleva

arreglarse, desde que se levanta hasta que sale de

casa. A lo largo de 10 das hbiles consecutivos,

Usted recaba los tiempos (redondeados a minutos)

que se muestras a continuacin

39 29 43 52 39

44 40 31 44 35

22

Se ordenan los datos

29 31 35 39 39 40 43 44 44 52

Ubicar la posicin del valor de la mediana

)5.5(~

)2

11(

~

)2

110(

~

invalorposicX

invalorposicX

invalorposicX

Posicin

impar

23

El 50% del tiempo me tardo

menos de 39.5 minutos.

Para el resultado 5.5, buscar la posicin 5 y la posicin 6.

5.39~

2

4039~

X

X

29 31 35 39 39 40 43 44 44 52 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Mediana

Moda

24

Es el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos. La ocurrencia de un dato extremo no afecta el resultado de la moda. De igual manera puede darse lo siguiente:

La moda est en los extremos

Exista ms de una moda

La moda no existe

Recordar siempre que la moda es el dato que ms

veces se repite en una muestra.

Ejemplo

25

Se define en minutos el tiempo que le lleva

arreglarse, desde que se levanta hasta que sale de

casa. A lo largo de 10 das hbiles consecutivos,

Usted recaba los tiempos (redondeados a minutos)

que se muestras a continuacin

39 29 43 52 39

44 40 31 44 35

26

Los datos de ordenan de menor a mayor

Buscar el nmero que ms se repite

De 39 minutos hay 2 das

De 44 minutos hay 2 das

29 31 35 39 39 40 43 44 44 52

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

La mayora del tiempo se tarda 39 44 minutos en arreglarse.

27

Cuantiles

Cuartiles

Deciles

Percentiles

Los cuantiles son medidas de posicin no central

que se utilizan con mayor frecuencia y se emplean

sobre todo para resumir o describir las propiedades de

conjuntos grandes de datos numricos.

28

Cuartiles

25% 25% 25%

25%

De la misma manera que la mediana divide un

conjunto de datos en dos grupos iguales, los

cuartiles lo dividen en cuatro grupos iguales.

Cada grupo est formado por 25% de los datos de la

muestra y se denotan por Q1, Q2 y Q3

respectivamente

Q1 Q2 Q3

29

Cuartiles

)4

)1(3(

)4

)1(2(

)4

1(

3

2

1

ninValorPosicQ

ninValorPosicQ

ninValorPosicQ

La obtencin de los cuartiles depende del nmero de datos de la

muestra; se utilizan los mismo conceptos del clculo de la

mediana. Las frmulas para cada los cuartiles 1 y al vienen a ser:

Ejemplo

30

Se define en minutos el tiempo que le lleva

arreglarse, desde que se levanta hasta que sale de

casa. A lo largo de 10 das hbiles consecutivos,

Usted recaba los tiempos (redondeados a minutos)

que se muestras a continuacin

39 29 43 52 39

44 40 31 44 35

31

Tamao de la muestra N=10

35

)3(

)75.2(

)4

110(

)4

1(

1

1

1

1

1

Q

VPQ

VPQ

VPQ

nVPQ

29

31

35

39

39

40

43

44

44

52

Cuartil 1

3

32

Tamao de la muestra N=10

5.39

2

4039

)5.5(

)4

)110(2(

)4

1(

2

2

2

2

1

Q

Q

VPQ

VPQ

nVPQ

29

31

35

39

39

40

43

44

44

52

Cuartil 2

5.5

33

Tamao de la muestra N=10

44

)8(

)25.8(

)4

)110(3(

)4

1(

3

3

3

3

1

Q

VPQ

VPQ

VPQ

nVPQ

29

31

35

39

39

40

43

44

44

52

Cuartil 3

8

34

Deciles

Los deciles dividen una muestra en 10 grupos iguales y

cada decil acumula el 10% de los datos.

10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10%

Se trabajan igual que los cuartiles

35

Percentiles

Los percentiles dividen una muestra en 100 grupos

iguales y cada percentil acumula el 1% de los datos.

Se trabajan igual que los cuartiles y deciles.

1% 1% 1% 1% 1% 1% 1%