Modulo Trigonom Parte II

TRIGONOMETRÍA

DOCUMENTO DE TRABAJO 2009

Prof. Juan Gutiérrez Céspedes

TRIGONOMETRÍA

2009Módulo de Estudios

ANGULO TRIGONOMÉTRICO

* ANGULO TRIGONOMETRICOEs aquel que se genera por la rotación de un rayo desde una posicióninicial hasta otra posición final, siempre alrededor de un punto fijollamado vértice. En el gráfico podemos distinguir dos tipos de rotación::

Debemos aclarar que la medida de un ángulo trigonométrico no puedeser limitada, ya que la rotación puede efectuarse indefinidamente encualquiera de los dos sentidos. Además para operar ángulostrigonométricos, estos deben obedecer a un sentido común. Por ellolas siguientes consideraciones:

* SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULARSon las diferentes formas en que se pueden medir los ángulos;destacando los siguientes; con sus respectivas sub-unidades:

1



TRIGONOMETRÍA

2009 Módulo de Estudios

Sistema

Sexagesimal

Centesimal

Radial

Sexagesimal

1° = 60'

1' = 60''

1° = 3600''

Centesimal

1 = 100

1 = 100

1 = 10000

g m

m s

g s

Unidad

1°

1

1rad

g

∠

π

1 vuelta

360°

400

2 rad

g

A partir de estas definiciones, se pueden establecer :

1. 1 rad. > 1º > 1g 2. 180º < > 200g < > πrad3. 9º < > 10g 4. aºb'c'' = aº+b'+c''

27' < > 50m xgymzs = xg + ym + zs

81"< > 250s

* CONVERSIÓN ENTRE SISTEMASEs el proceso mediante el cual la medida de un ángulo pasa de unsistema a otro. Para ello se puede aplicar el método del factor deconversión que consiste en lo siguiente:

• Convertir 40g → radianes Convertir π/3 rad → sexagesimal

* FORMULA GENERAL DE CONVERSIÓNEs otro criterio para convertir de un sistema a otro. La fórmula generalde conversión es la relación entre los números que representan lamedida de un ángulo en los tres sistemas conocidos. Dado el ángulo"α ", se cumple:

• Por ejemplo, si queremos convertir 30° → radianes:tenemos: S = 30 y R = ??

2



TRIGONOMETRÍA


Luego:

S R RR

18030

180 6= ⇒ = ⇒ =

π ππ

rad6

30 π><°∴

Pero el uso de la fórmula es mayor en otro tipo de problemas en loscuales se requiere tener además, lo siguiente :

1. S C S C ó SC180 200 9 10

910

= ⇒ = =

2. S RS

R180

180= ⇒ =π π

3. C RC

R200

200= ⇒ =π π

* Una aplicación sería:"Hallar la medida de un ángulo en radianes sabiendo que sus númerosde grados sexagesimales y centesimales, suman 19" Aquí por ejemplo,planteamos el problema así:

Si:

α

R

C

S

"" ⇒ # gradossexag.

# gradoscentes.

+ = 19 S + C = 19

como piden "R", entonces:180 200

19380

1920

R R RR

π π ππ

+ = ⇒ = ⇒ =

rad20

mide nguloá el π∴

3



TRIGONOMETRÍA


PROBLEMASNIVEL 1

1. En el gráfico, señale lo que es

correcto respecto a " α " y " β ":

a) α + β =90º b) α - β = 90º

c) β - α = 90º d) α + β = 0º

e) α + β = -90º

2. En el gráfico, señale lo que es correctorespecto a los ángulos mostrados:

a) α + β = 90º b) α - β = 90º

c) β - α =90º d) α + β = 0º

e) α + β = -90º

3. Exprese "x" en función de "α" y "β"; apartir del gráfico mostrado:

a) 2π α β− − b) 2π α β− +

c) 2π α β+ − d) β α π− − 2

e) β α π+ − 2

4. A qué es igual 320''

a) 3º40' b) 3'40''c) 3º20'' d) 5º 40'e) 5'20''

5. A qué es igual: 1º 20'

a) 1500'' b) 3620''c) 4000'' d) 4800''e) 6000''

6. A qué es igual:

E =°2 33

''

a) 2 b) 12 c) 40d) 41 e) 52

7. Convierta a radianes: 45º

a)π3

rad b)π4

rad c) rad8

π

d)π2

rad e)π9

rad

8. Convierta a radianes: 36º

a)π2

rad b)π3

rad c)π4

rad

d)π5

rad e)π6

rad

9. Convierta a radianes: 60g

a)π

20rad b)

310

πrad

c) 320

πrad d)

π5

rad

e)π4

rad

4



TRIGONOMETRÍA


10. Convierta a centesimales: 72º

a) 70g b) 80g c) 90g

d) 60g e) 72g

NIVEL II

1. Convierta al sistema sexagesimal :

"π7

rad "

a) 25º 42' 51'' b) 6º 37' 30''c) 5º 37' 20'' d) 5º 32' 30''e) N.A

2. Convierta al sistema centesimal:

"π

125rad "

a) 1g30m b) 1g50m

c) 1g60m d) 1g40m

e) 1g70m

3. Convierta al sistema centesimal:

"π

125 rad"

a) 1g30m b) 1g50m

c) 1g60m d) 1g40m

e) 1g70m

4. Si: π

48rad a bc<> ° '

Calcular: E = (b + c)a-1

a) 1 b) 2 c) 3

d)3

1e)

2

1

5. La suma de dos ángulos es 40° y sudiferencia es 30g. ¿Cuánto mide elmayor?

a) 27° b) 28°c) 27°50' d) 28°30'e) 18°30'

6. La suma y diferencia de dos ángulosson 1° y 1g. ¿Cuánto mide el menor?

a) 1' b) 2' c) 3'd) 4' e) 5'

7. En un triángulo sus ángulos miden:

14x°; 160

9xg

y πx

rad3

.

¿Cuál es el valor de "x"?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

8. Señale la medida de un ángulo enradianes sabiendo que la diferenciade sus números de gradoscentesimales y sexagesimales es 5.

a) rad2

πb)

3

πc)

4

π

d)5

πe)

6

π

9. Sabiendo que el doble del número degrados sexagesimales que contieneun ángulo disminuido en su númerode grados centesimales es igual a 8.¿Cuánto mide el ángulo en radianes?

a)4

πrad b)

5

πc)

10

π

d)20

πe)

40

π

10. Sabiendo que: (S + C)π = 4nR donde"S", "C" y "R" son lo conocido para unmismo ángulo. ¿Cuánto vale "n"?

a) 85 b) 78 c) 95d) 98 e) 100

NIVEL III

1. Halle la medida circular de un ánguloque cumple:

5



TRIGONOMETRÍA


S C R180 200

6+ + =π

siendo: "S", "C" y "R" lo conocido

a) πrad b) 2π c) 3πd) 4π e) 5π

2. La diferencia de las recíprocas querepresentan la medida sexagesimal ycentesimal de un ángulo, es igual a sunúmero de radianes entre 2π. ¿Cuántomide el ángulo en el sistemasexagesimal?

a) 6° b) 8° c) 10°d) 12° e) 15°

3. Se tiene un ángulo que al medirlo engrados sexagesimales dicho númeroexcede a 7 veces su número de

radianes en 79. Si: π=7

22, halle la

medida sexagesimal del ángulo.

a) 75° b) 90° c) 60°d) 120° e) 45°

4. La diferencia de medidas de dosángulos consecutivos de unparalelogramo es 30°. ¿Cuánto mideel ángulo mayor en radianes?

a)512

πrad b)

712

πc)

23π

d)43π

e)56π

5. Siendo "S" y "C" lo conocido para unmismo ángulo, tales que:

x

1 x2

10

C ;

x

1 x

9

S−=+=

calcular la medida radial del ángulo.

a)π 2

40rad b)

π 2

15c)

π 2

5

d)π 2

20e) N.A.

6



TRIGONOMETRÍA


R.T. DE ÁNGULOS AGUDOS I

* Definición:Son los resultados que se obtienen al dividir entre si, los lados de untriángulo rectángulo. Estos resultados carecen de unidades y su nombredependerá de la posición que guarden los lados que se dividen respectoa uno de los ángulos agudos del triángulo.

En el gráfico; para el ángulo agudo "α" se define:

Donde para "α":"a" es cateto opuesto"c" es cateto adyacente"b" es hipotenusa

Los problemas de este capítulo son de diversos tipos; y eso queestamos en la aplicación solo de las definiciones ; ya que aún faltacomplementar la teoría.

7



TRIGONOMETRÍA


Pero no se preocupe, el detalle está en captar el criterío de soluciónaplicado en los problemas tipo.

PROBLEMAS

NIVEL I

1. En un triángulo rectángulo, los ladosmenores miden 2 y 3. Calcular el senodel menor ángulo agudo de dichotriángulo.

a)5

2b)

5

3c)

13

2

d)13

3e)

11

2

2. En un triángulo rectángulo, los ladosmayores miden 13 y 12. Calcular latangente del mayor ángulo agudo deltriángulo.

a) 1,2 b) 3,2 c) 2,6d) 2,4 e) 2,8

3. En un triángulo rectángulo un catetoes el doble del otro. Calcular la secantedel mayor ángulo agudo de dichotriángulo.

a) √_3 b) √

_5 c)

2

3

d)2

5e)

3

5

4. En un triángulo rectángulo lahipotenusa es el triple de un cateto.Calcular la cotangente del menorángulo agudo del triángulo.

a) √_3 b) 2 c) 3

d) √_2 e) 2√

_2

5. En un triángulo rectángulo los catetosestán en la proporción de 2 a 3.Calcular el producto de los senos delos ángulos agudos de dicho triángulo.

a)13

2b)

13

6c)

13

5

d)5

6e)

6

5

6. Si: "α" es un ángulo agudo tal que:secα = 1,5. Calcular "tgα".

a)2

1b)

2

3c)

2

3

d)2

5e)

2

7

7. Si: "α" es un ángulo agudo tal que:cosα = √

_2/3. Calcular "tg2α".

a) 1,5 b) 2 c) 2,5d) 3 e) 3,5

8. Si "α" es un ángulo agudo tal que:tgα = 3. Calcular el valor de:

E = secα tgα

a) 10 b) 2 10 c) 3 10

d) 4 10 e) 6 10

9. Si: "α" es un ángulo agudo tal que:senα = 0,3. Calcular el valor de:

P = √_2cotα - 2√

_2secα

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0

8



TRIGONOMETRÍA


10. Siendo "θ" un ángulo agudo tal que:cosθ = 0,96; obtener:

E = cscθ + cotθ

a) 3 b) 5 c) 7d) 1,5 e) 3,5

NIVEL II

1. En un triángulo rectángulo ABC

(B̂=90º); reducir:E = tgA tgC

a) 1 b) ac c) a2c2

d)c

ae) 2

2

c

a


(B̂=90º); simplificar:P = sec2A - tg2A

a) b2 - a2 b) b2 - c2 c) a2 - c2

d) c2 - a2 e) 1


(B̂=90º); se sabe que: senA = 2senCcalcular "secA"

a) 1 b) 2 c) 4d) √

_3 e) √

_5


(B̂=90º); se sabe que: tgA = 2tgC.

Calcular: P = senAsenC

a)3

2b)

32

c)66

d)3

6e)

6

3


(B̂=90º); se sabe que la hipotenusa es

igual al doble de la media geométricade los catetos. Calcular la suma de lastangentes de los ángulos agudos deltriángulo.

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

6. Sea "α" uno de los ángulos agudos deun triángulo rectángulo. Si "senα" esal "cosα" como 8 es a 15; calcular:

E = senα - cosα

a)17

7b)

17

7− c)

17

11

d)17

9− e)

15

11

7. Del gráfico mostrado;calcular "tgθ".

a)4

3b)

3

4c)

24

7

d)25

7e)

41

9

8. En un triángulo rectángulo ABC (B̂=90º)

se sabe que: tgC = 5/12;

a - c = 21.Calcular el perímetro del triángulo.

a) 30 b) 120 c) 60d) 90 e) 100

9. En un triángulo isósceles ABC (AB=AC)se sabe que cosA = 0,6.Calcular "tgB"

a) 1 b) 2 c) 3

d)2

1e)

3

1

9



TRIGONOMETRÍA


10. En el gráfico; calcular "tgθ".

a) 1 b) 2 c) 4d) 1/4 e) 1/2

NIVEL III

1. Del gráfico, calcular: P = cotα - tgβ

a) 3 b) -1 c) -2d) 1 e) 2

2. Del gráfico, obtener "cotα" si: AD esbisectriz.

a)2

3b)

2

5c)

2

7

d) 2 e)2

3

3. Del gráfico, calcular "tgθ"

a) √_2 b) 2√

_2 c)

2

2

d)4

2e) 3√

_2

4. Si: BCDE es un cuadrado; calcular:L = ctgα - tgθ

a) 1 b) 2 c) 3

d)2

1e)

3

1

5. En un triángulo rectángulo los lados

miden a + b; a - b y a b2 2+ . Calcular

la secante del mayor ángulo agudo deltriángulo.

a) √_2 b) √

_3 c) √

_6

d) 2√_2 e) N.A.

10



TRIGONOMETRÍA


R.T. DE ÁNGULOS AGUDOS II

* TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLESSon aquellos triángulos en los cuales se puede precisar o aproximar larelación existente entre sus lados, conociendo para ello sus ángulosagudos, destacan:

a

2aa

45° 30°

45° 60°

a

3a5a

4a37°

53°

sen

cos

tg

ctg

sec

csc

30º

1/2

1/2

2

3/5

4/5

3/4

4/3

5/4

5/3

4/5

3/5

4/3

3/4

5/3

5/42

37º 45º 53º 60º

√3/2

√2/2 √3/2

√3/3

√2/2

√2

√3

√2

√3/3

2 3√

2 3√

/3

/3

√3

a 3√

a 2√

1

1

* PROPIEDADES:

A. R.T. Recíprocas B. R.T. de Ángulos ComplementariosSe cumple que:senx cscx = 1 si: x + y = 90°cosx secx = 1 se cumple: senx = cosytgx ctgx = 1 tgx = ctgy

secx = cscy

Note que el ángulo agudo Note la relaciòn entre las R.T. y quedebe ser el mismo los ángulos deben ser

complementarios

11



TRIGONOMETRÍA


Ej.: sen40° . csc40° = 1 Ej.: sen40° = cos50°tg10° . ctg10° = 1 tg10° = ctg80°

PROBLEMAS

NIVEL I

1. Halle el valor de:

E = 2sen30° + sec245° + 1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Hallar:

P = tg260º + √_3tg30º + tg45º

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Hallar "x" en:

2xtg45º + √_3tg60º = 2xsen30º + cos260º

a)4

7b)

4

7− c)

4

11

d)4

11− e) N.A.

4. Hallar "x" en:

xsec260º + xcsc260º=sec230º csc230º

a) 1 b)4

1c)

3

4

d)3

16e) N.A.

5. Halle "x" si: sen2x csc40º = 1

a) 10º b) 20º c) 30ºd) 40º e) 50º

6. Halle "x" si: tg3x ctg42º = 1

a) 8º b) 16º c) 14ºd) 17º e) 21º

7. Hallar "x" si:cos(2x + 10º) sec(3x - 40º) = 1

a) 10º b) 20º c) 30ºd) 40º e) 50º

8. Hallar "x" si:sen2x = cos20º

a) 10º b) 15º c) 20ºd) 25º e) 35º

9. Hallar "x" si:tg3x = ctg57º

a) 10º b) 11º c) 12ºd) 13º e) 14º

10. Hallar:E = tg10º . tg80º

a) 1 b) 2 c) 4d) e) F.D.

NIVEL II

En los siguientes gràficos, calcular "tgθ"

1.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

12



TRIGONOMETRÍA


2. Si el triángulo ABC es equilátero

D

CA

B

1

2

a)2

3b)

3

3c)

4

3

d)5

3e)

6

3

3. CD = 2AD

a)8

1b)

4

1c)

8

3

d)2

1e)

8

5

4.

a)7

1b)

7

3c)

7

4

d)7

5e) N.A.

5.

a) 3 1− b) 3 1+

c)3 1

2

+d)

3 1

2

−

e) 2 3 1−

6. CD = 3AD

a)16

1b)

8

1c)

8

3

d)16

3e)

4

1

7. Hallar "x" si:sen2x tg10º - cosx ctg80º = 0

a) 10º b) 20º c) 30ºd) 40 e) 50º

13



TRIGONOMETRÍA


8. Hallar "x" si:sen(10º + x) sec(40º + x) = 1

a) 10º b) 20º c) 30ºd) 40º e) 50º

9. Hallar "x" si:tg10º tg20º tg30º ....... tg80º = tg3x

a) 5º b) 10º c) 15ºd) 20º e) 25º

10. Siendo:

∑=

=°89

1k

nksen

Hallar:

E = cosk

k

°=

∑1

89

a) n b) 2n c) n-1d) 2n-1 e) n - 1

NIVEL III

1. Del gráfico; calcular "tgθ" si ABCD esun cuadrado.

a) 4 b)4

1c)

2

1

d)2

3e)

3

2

2. Del gráfico calcular "tgφ" si el área deltriàngulo PMC es igual a la deltriángulo ABC

a)3

1b)

5

2c)

15

1

d)15

2e)

15

4

3. Hallar "tgα"

a)9

2b)

9

4c)

3

1

d)3

2e) N.A.

4. Hallar "x" si:sen(50º - x) tg(10º + y) = cos2x ctg(80º - y)

a) 10º b) 20º c) 30ºd) 40º e) 50º

5. Calcular:E = sen21º + sen22º + sen23º + .... + sen289º

a) 44 b) 44,5 c) 43,5d) 45,5 e) 46

14



TRIGONOMETRÍA


IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

• DEFINICIÓNSon aquellas relaciones que se establecen entre las funcionestrigonométricas de una variable. Estas relaciones de igualdad severifican para todo valor admisible de la variable presente y se clasificande la siguiente manera:

I. I.T. Recíprocas

• senx cscx = 1 • cosx secx = 1

senx1cscx =

cosx1secx =

• tgx ctgx = 1

tgx1ctgx =

II. I.T. por División

• cosxsenxtgx = • senx

cosxctgx =

III. I.T. Pitagóricas

• sen2x + cos2x = 1 • sec2x - tg2x = 1sen2x = 1 - cos2x sec2x = 1 + tg2xcos2x = 1 - sen2x tg2x = sec2x - 1

• csc2x - ctg2x = 1csc2x = 1 + ctg2xctg2x = csc2x - 1

15



TRIGONOMETRÍA


PROBLEMAS

NIVEL I

Simplificar:

1. J = tg2x cosx(secx)-1cscx

a) senx b) 1 c) cosxd) 2 e) csc2x

2. E = senx(1 + senx) + cosx(1 + cosx) - 1

a) senxb) cosxc) senx - cosxd) senx + cosxe) 2senx

3. S = tg2x(ctgx + 1) - tgx

a) 1 b) 2 c) tgxd) tg2x e) ctg2x

4. A = (1 - senx) (1 + senx) secx

a) senx b) 2senx c) cosxd) 2cosx e) 1

5. L = (1 + cosx) (1 - cosx) ctgx cscx

a) 1 b) tgx c) senxd) cosx e) 2cosx

6. I = (senx + cosx)2 + (senx - cosx)2

a) 1 b) 2 c) 4d) 4senx cosx e) 2senx cosx

7. A = (tgx + ctgx) senx cos2x

a) 1 b) senx c) cosxd) cos2x e) sen2x

8. N = sen4x - cos4x + cos2x

a) senx b) 1 c) sen2x

d) 2sen2x e) 2cos2x

9. E = (secx - cosx) ctgx

a) secx b) cscx c) tgxd) ctgx e) senx

10. A=(cscx-senx) (secx-cosx) (tgx+ctgx)

a) 1 b) senx cosxc) secx cscx d) 2e) 2senx cosx

NIVEL II

1. Si: tgx + ctgx = 3;calcular:

E = senx cosx

a)2

1b)

3

2c)

3

1

d)3

3e)

6

3

2. Si: senx ctgx + cosx tgx = n;hallar:

E = senx + cosx

a) n b) n-1 c) 2n

d) √_n e) n2

3. Si: cos2x + cosx = 1;hallar:

E = ctgx - senx

a) 1 b) 0 c) -1

d)2

1e) 2

4. Si: senx + cosx = n;hallar: E = senx cosx

a) n2 + 1 b) n2 - 1

c)2

1n2 +d)

2

1n2 −

e) 2n2 - 1

16



TRIGONOMETRÍA



E = tg2x + ctg2x

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9


E = tg3x + ctg3x

a) 1 b) 3 c) 27d) 19 e) 18

7. Si: tg2x + ctg2x = 5;calcular:

xtgcxtgxtgcxtg

E−+

=

a)27

b)37

c)57

d)97

e) N.A.

8. Si: senx = a ^cosx = b;

eliminar "x"

a) a2 + b2 = 1 b) a + b = 1

c) a2 - b2 = 1 d) a - b = 0

e) a2 + b2 = 2

9. Eliminar "x" si: tgx = a, ctgx = b

a) a + b = 1 b) ab = 1c) a - b = 1 d) ab = 2e) a - b = 2

10. Eliminar "x" si:tgx + ctgx = m;tgx - ctgx = n

a) m2 + n2 = 1 b) m2 + n2 = 2

c) m2 - n2 = 2 d) m2 + n2 = 4

e) m2 - n2 = 4

NIVEL III

1. Reducir:

1xtgcxtg1xtgcxtg

2xtgcxtg

2xtgcxtgP

2222

++++

−−+

−+=

a) 1 b) 2 c) 3d) secx e) secx cscx

2. Siendo: secx + tgx = 4;calcular:

P = secx - tgx

a) 1 b) 2 c) 0,5d) 0,25 e) 0,75

3. Si: asenx + bcosx = b;hallar:

P = cscx + ctgx

a)b

ab) a - b c)

a

b

d) a + b e)b

a2

4. Reducir:P = (sec2x + tg2x) (sec4x + tg4x) (sec8x + tg8x) + tg10x

a) secx b) sec2x

c) sec4x d) sec8x

e) sec16x


P = tg7x + ctg7x

a) F.D. b) 2 c) 4d) 6 e) 16

17



TRIGONOMETRÍA


F.T. DE LA SUMA Y DIFERENCIADE ÁNGULOS

• FORMULAS1. sen(x ± y) = senx cosy ± seny cosx2. cos(x ± y) = cosx cosy m senx seny

3. tgytgx1tgytgxy)tg(x m

±=±

• PROPIEDADES

1. Si: E = asenx ± bcosx

⇒ 22 ba +=máxE

⇒ 22 ba +−= mínE

es decir:2222 babcosxasenxba +≤±≤+−

Por ejemplo:

E = 3senx + 4cosx

⇒ 2222 434cosx3senx43 +≤+≤+−⇒ -5 ≤ 3senx + 4cosx ≤ 5

2. tgx + tgy + tgx tgy tg(x + y) = tg(x + y)

Por ejemplo:tg12º + tg14º + tg12º tg14º tg26º =tgx + tg2x + tgx tg2x tg3x =

Los problemas son de diferente tipo y nivel; motivo por el cual se lerecomienda seguir en orden la resolución de los ejercicios.

18



TRIGONOMETRÍA


PROBLEMAS

NIVEL I

1. Reducir:

ycosxcos)yxsen()yxsen(

P−++

=

a) tgx b) tgy c) 2tgxd) 2tgy e) 2ctgx

2. Reducir:

ysenxsen)yxsen()yxsen(

Q−−+

=

a) tgx b) tgy c) ctgxd) ctgy e) 2ctgx

3. Reducir:

ycosxsen)yxcos()yxcos(

R−++

=

a) 2ctgy b) ctgy c) ctgxd) 2ctgx e) 2ctgx tgy

4. Reducir:

ycosxsen)yxcos()yxcos(

S+−−

=

a) tgx b) 2ctgx c) ctgyd) 2tgy e) 2ctgy

5. Reducir:

xcos

)xº45sen()xº45sen(T

−++=

a) 2 b) 2tgx c) √_2

d) √_2tgx e) √

_2ctgx

6. Reducir:

1ytgxtg

)yxtg(U

1

−

−−

=−

a) tgx b) tgyc) tgx tgy d) ctgx ctgye) 2tgx tgy

7. Reducir:

º50tgº20tgº70tg

V−

=

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

8. Reducir:W = tgx - tgy - tgx tgy tg(x - y)

a) tgx b) tgy c) tg(x-y)d) tgx - tgy e) tgx + tgy

9. Si: ;3

1xcosxsen =+

calcular:E = sen(x + 45º)

a)3

2b)

2

2c)

6

2

d)12

2e)

16

2

10. Si: tg(x + y) = 5tgx = 2

calcular: "tgy"

a)11

1b)

11

2c)

11

3

d)11

4e)

11

5

NIVEL II

1. Si: sen(x + y) = 3sen(x - y);calcular:

A = tgx ctgy

19



TRIGONOMETRÍA


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

2. Si:cos(x - y) = 4cos(x + y);

calcular:B = tgx tgy

a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4d) 0,5 e) 0,6

3. Si:3senx + 4cosx = ksen(x + θ);

hallar:"k y θ"

a) 5 y 30º b) 5 y 37ºc) 5 y 53º d) 10 y 37ºe) 10 y 53º

4. Si:√

_3cosx - senx = kcos(x + θ);

hallar: "k y θ"

a) 2 y 30º b) 2 y 60ºc) 2 y 45º d) 4 y 30ºe) 4 y 60º

5. Si:senx + cosx = kcos(x - θ)

hallar: "k y θ"

a) √_2 y 30º b) √

_2 y 45º

c) 2√_2 y 45º d) 2√

_2 y 30º

e) √_2 y 60º

6. Del gráfico,calcular: "tgθ"

a)53

20b)

53

21c)

53

31

d)53

51e) N.A.

7. Del gráfico, calcular "tgθ"si: AB = BC

C

E

3

2

BAD

a)9

1b)

3

1c)

3

2

d)9

2e)

9

8

8. Señale el valor máximo de:E = 5senx + 12(cosx - 1)

a) 1 b) 26 c) 25d) 32 e) 37

9. Señale el valor mínimo de:E = senx + cosx

a) √_2 b) 2 c) -1

d) -2 e) -√_2

10. Señale la variación de:E = 3(senx + 1) + 4(cosx - 1)

a) [-5;5] b) [-6;6] c) [-6;4]d) [-4;6] e) N.A.

NIVEL III

1. Señale el valor de:E = tg15º + tg22º + tg15º tg22º tg37º

a) 0,75 b) c) 0,25d) 0,6 e) 0,8

20



TRIGONOMETRÍA


2. Señale el valor de:E = tg20º + tg25º + tg20º tg25º

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) F.D.

3. Señale el valor de:E = (1 + tgx) (1 + tgy);si: x + y = 45º

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

4. Reducir:E = (ctgθ + tgx) (ctgθ + tgy);si: x + y = θ

a) ctgθ b) ctg2θ c) cscθd) csc2θ e) 1

5. Del gráfico, calcular el máximo valorde: "tgθ"

a)ba2

a

+b) a)ba(2

a

+

c) b)ba(2

a

+ d) a)ba(2

b

+

e) N.A.

21



TRIGONOMETRÍA


F.T. DEL ÁNGULO DOBLE

• FÓRMULAS: (x → 2x)

1. 2.

• (senx + cosx)2 = 1 + sen2x • 1 - cos2x = 2sen2x

• (senx - cosx)2 = 1 - sen2x • 1 + cos2x = 2cos2x

3.

• PROPIEDADES

1. 2.

Ahora, complete las siguientes expresiones:

• 2sen4x cos4x = ...................... • cos23x - sen23x =...............• 2sen3x cos3x = ...................... • 1 - cos6x = .........................

• =2xcos

2x2sen ............................ • 1 + cos4x = ........................

También:• ctg2x + tg2x = .......................... • ctg40º - tg40º = ..................• ctg10º + tg10º = ....................... • ctg5º - tg5º .........................

22



TRIGONOMETRÍA


PROBLEMASNIVEL I

1. Reducir:E = 4senx cosx cos2x

a) sen2x b) sen4xc) sen8x d) sen16xe) senx

2. Reducir:E = (tgx + ctgx) sen2x

a) 1 b) 2 c) 4

d)2

1e)

4

1

3. Reducir:E = (sen2x secx)2 + (sen2x cscx)2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 8

4. Reducir:E = senx cosx cos2x cos4x

a)8

x8senb)

8

x16sen

c)8

x4send)

4

x8sen

e)4

x8cos

5. Reducir:E = cosx cos2x cos4x cos8x

a)xsen

x8senb)

xsen

x16sen

c)xsen8

x16send)

xsen16

x16sen

e)xsen16

x8sen

6. Reducir:

E = senx cos3x - sen3x cosx

a) sen4x b) 2sen4x

c) 4sen4x d) x4sen2

1

e) x4sen4

1

7. Reducir:E = cos4x - sen4x

a) cos22x b) cos4xc) cos2x d) 2cos2xe) 2cos4x

8. Reducir:E = (ctgx - tgx)sen2x

a) cos2xb) 2cos2xc) 4cos2x

d) x2cos2

1

e) x2cos4

1

9. Reducir:E = tg2x(1 - tg2x) - tgx

a) 1 b) tgx c) ctgxd) 2tgx e) 2ctgx

10. Reducir:E = tg4x(1 - tg22x) (1 - tg2x)

a) 2tgx b) 4tgx c) 8tgx

d) xtg2

1e) xtg

4

1

NIVEL II

1. Si: senx + cosx = n;hallar: "sen2x"

23



TRIGONOMETRÍA


a) n2 b) 2n2 c) n2-1

d) 2n2-1 e) 2n2+1

2. Si: sen4x + cos4x = n;hallar: "sen2x"

a) )n1(2 + b) )1n(2 −

c) )n1(2 − d) n1−

e) 1n −

3. Si: tgx + ctgx = n;hallar: "sen2x"

a) 2n b)2

nc) 2n-1

d)2

n 1−e)

4

n 1−

4. Reducir:

x2cos1x2cos1

E+−

=

a) tgx b) ctgx c) tg2xd) ctg2x e) 1

5. Reducir:E = csc2x - ctg2x

a) 1 b) tgx c) ctgxd) secx e) cscx

6. Reducir:E = csc2x + ctg2x

a) tgx b) ctgx c) -tgxd) -ctgx e) secx

7. Reducir:

x2senx2cos1

x2senx2cos1E

+++−

=

a) tgx b) ctgx c) tg2x

d) ctg2x e) 1

8. Reducir:E = (sec2x - 1) csc2x

a) 2sen2x b) 2cos2xc) 2sec2x d) 2csc2xe) 2

9. Reducir:E = ctgx - tgx - 2tg2x

a) 2ctg2x b) 2ctg4xc) 4ctg4x d) 4tg4xe) N.A.

10. Reducir:

x4tgcx4cscxtgxtgc

E+−

=

a) 1 b) 2 c) 2tg2xd) 2ctg2x e) 4

NIVEL III

1. Del gráfico, calcular "tgθ"

C

BAD3 2

a)3

3b) 2 c)

5

5

d)6

6e)

7

7

2. Calcular:E=cos2x + cos2(60º + x) + cos2(60º - x)

a) 1 b) 2 c) 3d) 1,5 e) 2,5

24



TRIGONOMETRÍA


3. Si: cos2x + cos22x + cos32x = 1;calcular:

E = tgx + tg2x + tg3x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Sabiendo que:tg2x + tgx = 1;

calcular: "tg2x"

a) 1 b) 2 c) -2

d)2

1e)

2

1−

5. Siendo:senα + cosα = senβsenθ + cosθ = cosβ

calcular:J = sen2α + sen2θ

a) 1 b) -1 c) cos2βd) -cos2β e) 1 - cos2β

25



TRIGONOMETRÍA


TRANSFORMACIONESTRIGONOMÉTRICAS

CASO l: De suma ó diferencia a producto

ObjetivoEscribir sumatorias de senos ó cosenos en forma de producto; paraagilizar su simplificación. En general se pueden transformar cualquiertipo de expresiones; más las fórmulas que vamos a detallar, solo operansenos y cosenos.

Fórmulas:

1. )2

yx)cos(2

yx2sen(senysenx −+=+ )2

)cos(2

2sen(senysenx =+

2. )2

yx)cos(2

yx2sen(senysenx +−=− )2

)cos(2

2sen(senysenx =−

3. )2

yx)cos(2

yx2cos(cosycosx −+=+ )2

)cos(2

2cos(cosycosx =+

4. )2

xy)cos(2

xy2sen(cosycosx +−=− )2

)cos(2

2sen(cosycosx =−

• Por ejemplo:

a. sen5x + sen3x = 2sen4xcosx)2

3x5x)cos(2

3x5x2sen( =−+

b. sen7x - sen3x =

c. cos4x + cos2x =

d. cos5x - cos7x =

e. cos9x - cos3x =

26

sen



TRIGONOMETRÍA


Propiedades:

y )y ) s e n (xs e n (xy2s e nx2s e n −+=− y )y ) s e n (xs e n (xy2s e nx2s e n −+=−

y )y )s e n ( xs e n (xy2c o sx2c o s −+−=− y )y )s e n ( xs e n (xy2c o sx2c o s −+−=−

• Por ejemplo:

a. sen23x - sen2x = sen(3x + x) sen(3x - x) = sen4x sen2x

b. cos23x - cos2x =

PROBLEMAS

NIVEL I

Reducir cada una de las siguientesexpresiones:

1. C = sen12º + sen4º

a) 2sen4º cos8ºb) 2sen8º cos4ºc) 2sen6º cos12º

2. L = sen10º20' + sen2º10'

a) 2sen6º10' cos4º10'b) 2sen6º15' cos4º15'c) 2sen6º15' cos4º5'

3. A = sen21º - sen11º


4. U = cosx + cos7x

a) 2cos7x cosxb) 2cos4x cos3xc) 2cos3x cos4x

5. D = cos7x - cos17x

a) 2sen12x sen3xb) 2sen5x sen12xc) 2sen6x sen12x

6. I = cos20º + sen10º


7. A = sen20º + cos20º

a) 2 10cos o b) 2 10sen o

c) 2 25cos o

8. Cx x

x=

+sen sensen5

3

a) 2senx b) 2cosxc) 2cos2x

9. Lx x

x=

+cos coscos3

2

27



TRIGONOMETRÍA


a) 2cosx b) 2senxc) cosx

10. Lx xx x

=++

sen sencos cos

6 26 2

a) 2tg4x b) tg4xc) ctg4x

NIVEL ll

1. Reducir:

Jx xx x

=++

sen sencos cos

55

a) tg6x b) tg2xc) tg3x

2. Reducir:

Ax x xx x x

=+ ++ +

sen sen sencos cos cos

5 35 3

a) tg5x b) tg3xc) tgx

3. Reducir:

Cx x x

x=

+ ++

cos cos coscos

7 5 32 2 1

a) cos7x b) cos5xc) 2cos5x

4. Reducir:

Ax x

x=

+sen sensen3

a) cosx b) 2cos2x

c) 4cos2x

5. Reducir:

S =− +− +

sen( ) sen

cos( ) cos

2 3 3

2 3 3

α β βα β β

a) tgα b) tg3βc) ctg3β

6. Reducir:

Fx x

x=

−sen sensen

2 234

a) senx b) sen2xc) cos2x

7. Reducir:

xsenx3sen

x3senx5senR

22

22

−

−=

a) cos4x b) 2cos4xc) 4cos4x

8. Reducir:O = cos25x - sen24x

a) sen9x senx b) cos9x cosxc) -cos9x cosx

9. Reducir:M = sen22x - cos23x

a) cos5x cosx b) -cos5x cosxc) sen5x senx

10. Si: sen3x + senx = m;cos3x + cosx = n.

Halle: ''tg2x''

a) mn b)n

mc)

m

n

NIVEL III

1. Escriba en forma de producto:P = √

_3 + √

_2

a) 2sen52º30' cos7º30'b) 4sen52º30' cos7º30'c) sen52º30' cos7º30'

2. En un ∆ABC; reducir:

B2senA2sen

BsenAsenQ

22

−−

=

28



TRIGONOMETRÍA


a) tgC b) Ctg2

1

c) Ctg2

1−

3. En un ∆ABC; pase a producto:R = sen2A + sen2B + sen2C

a) 2senA senB senCb) 4senA senB senCc) 4cosA cosB cosC

4. En un ∆ABC; pase a producto:S = 1 + cos2A + cos2B + cos2C

a) 4cosA cosB cosCb) -4cosA cosB cosCc) -4senA senB senC

5. Calcular:

75cos

73cos

7cosT

π+

π+

π=

a)2

1b)

2

1− c) -1

29



TRIGONOMETRÍA

2009 Módulo de Estudios30



Modulo Trigonom Parte II

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