MODULO REVISIÓN€¦ · Medidas de ángulos. Sistema sexagesimal. Sistema circular. Funciones...

INSTITUTO SANTA CECILIA

MODULO REVISIÓN

MATEMÁTICA

6to. AÑO E.S.

Año: 2015

Apellido y Nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Instituto Santa Cecilia Matemática

Página: 1

Contenidos

ALGEBRA Y FUNCIONES

Trigonometría: Introducción. Razones trigonométricas.. Medidas de ángulos. Sistema

sexagesimal. Sistema circular. Funciones trigonométrica de ángulos ubicados en un plano de

coordenadas rectangulares. Razones trigonométricas recíprocas y razones de ángulos

complementarios Gráficas de las funciones. Interpretación de las gráficas. Imagen de las

funciones. Periodicidad de las funciones. Relación fundamental de la trigonometría.

Identidades trigonométricas. Ecuaciones Trigonométricas.

NÚMERO Y OPERACIONES

Números complejos. Necesidad de su creación. Definición de unidad imaginaria. Complejos en

forma de par ordenado. Representación en ejes cartesianos. Representación vectorial de

números complejos. Concepto de módulo y argumento de números complejos. Operaciones con

números complejos.

ALGEBRA Y FUNCIONES

Límites: Aproximación intuitiva al concepto de límite. Límite de una función en un punto.

Graficación e interpretación de gráficos cartesianos. Límites laterales. Límite de una función

en el infinito. Graficación e interpretación de gráficos cartesianos. Cálculo de límites.

Propiedades de límites. Indeterminaciones. Diferentes tipos de indeterminadas. Resolución de

indeterminaciones. Limites que tienden al número e. Límite y continuidad. Continuidad.

Discontinuidades evitables y esenciales. Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas.

Interpretación de datos en gráficos cartesianos. Problemas de aplicación.

Derivada: Introducción al estudio de las derivadas. Razón de cambio. Recta tangente a una

curva C en un punto P. Derivada de una función en un punto. Función derivada. Cálculo de la

derivada. Tablas de derivadas. Reglas de derivación. Derivada de la suma de dos funciones.

Derivada del producto de dos funciones. Derivadas sucesivas. Interpretación física de la

derivada. Aplicaciones de la derivada al estudio de una función. Máximos y Mínimos.

Crecimiento y decrecimiento. Concavidad. Puntos de inflexión. Estudio completo de funciones

sencillas. Problemas de aplicación.

Integrales: Concepto de integral. Primitiva de una función, Área de una región limitada por una

curva. Propiedades de la integral definida. Integral indefinida. Tabla de primitivas. Calculo de

integrales. Reglas de integración. Integración de suma de dos funciones. Integración del

producto de una constante por una función. Integración por sustitución. Integración por

partes. Cálculo de integral definida. Regla de Barrow. Cálculo de áreas. Problemas de

aplicación.

GEOMETRÍA Y ALGEBRA

Ecuación vectorial de la recta: Puntos alineados en el plano. . Operaciones con vectores.

Dependencia e independencia de vectores .Relación entre punto y vector Coordenadas. Vector

dirección. Ecuación vectorial de la recta en el plano. Ecuación en coordenadas paramétricas.

Ecuación general o implícita. Posición de dos rectas en el plano: paralelas, secantes,

coincidentes


Página: 2

Bibliografía:

Guzmán, Miguel de, “Matemática I”; “Matemática II” COU; Ed. Anaya

Guzmán, Miguel de, “Matemática 2”, “Matemática 3” Bachillerato, Ed. Anaya

De Simone – Turner – “Matemática 5”; Ed A-Z

De Cortes, Graciela, “Matemática 5”; Ed. Stella

Carpeta de Matemática 2. Editorial Aique

Trigonometría 1) Expresar los siguientes ángulos en sistema circular e indicar en que cuadrante se

encuentran: 300º, 240º, 180º, 450º, 20º, 840º, 600º, 120º

2) completar con un ángulo que cumpla:

a) –320º y . . . . . . tienen el mismo segmento terminal

b) 5

y . . . . . . tienen el mismo segmento terminal

c) 1065º y . . . . . . tienen el mismo segmento terminal

3) Hallar todos los ángulos que tengan el mismo lado terminal que el opuesto a 250º y que

verifique que se encuentra entre –1080º y –360º

4) a) Representar un ángulo de 675º en una circunferencia trigonométrica

b) Trazar los segmentos asociados al seno, coseno y a la tangente de dicho ángulo.

5) Dibujar un ángulo en el primer cuadrante. Hallar gráficamente un ángulo en el segundo

cuadrante, de modo que sen=sen

6) En una circunferencia trigonométrica representar dos ángulos cuyo sen sea 0,25

7) Para que ángulos que se encuentren entre [-2,3] la función sen x toma valor 0

8) Para que ángulos que se encuentren entre [-4,0] la función cos x toma valor 0

9) Indicar en grados y radianes los ángulos, positivos menores que 2 giros cuya cosecante no

exista.

10) Analizar cada afirmación e indicar si es verdadera o falsa

a) la función f(x)=sen x es creciente en

2

5;3

b) la función f(x)=cos x tiene exactamente un cero en 3;2

c) la función f(x)=tg x es decreciente en

0;

2

d) la función f(x)=sen x es negativa en ;2

e) para 4

x se cumple que sen x=cos x

f) 4

x es el único valor que verifica sen x=cos x

g) no existe ningún valor de x, para el cual sen x=1,85

h) no existe ningún valor de x, tal que tg x=1,85


Página: 3

i) en 6;0 existen sólo tres valores del dominio de f(x)=sen x, en los que la función

alcanza un máximo.

j) en 6;0 existen sólo tres valores del dominio de f(x)=sen x, en los que la función

alcanza un mínimo.

11) Si sen ,x 0 6 y x perteneciente al tercer cuadrante calcular cos x y tg x

12) Dibuja un ángulo x cuyo cos x 1

3, y su tangente sea negativa. Calcular sen x y tg x

13) Si tg ,x 0 3 y x pertenece al tercer cuadrante, calcular cos x, sec x y sen x

14) Si sen ,x 0 6 y x perteneciente al tercer cuadrante calcular sec x y tg x

15) ¿Puede la tangente de un ángulo valer 5? En caso de ser cierto cuánto vale el seno y el

coseno?

16) Siendo

20

5

1 xsenx , calcular cosx y tgx

17) Siendo

2

3 1 xtgx calcular cotgx y senx

18) Sabiendo que

xsenx

2

3

1. Calcular el valor de la expresión:

xxgxy

cos

11cos1cot

19) Sabiendo que sec α = 2, IV, calcular las restantes razones trigonométricas.

20) Dibujar dos ángulos en la circunferencia trigonométrica que el coseno sea igual a ¼. Del

ángulo que está en el primer cuadrante dibujar seno y tangente y hallar las medidas de las

razones trigonométricas

21) Comparar la imagen y el periodo de f(x) = cosx; g(x) = 3cos(x) y h(x) = cos (2x).

22) Sea el 2

3tg , y IV . Hallar el valor de la expresión:

seny

11cos1

23) Para que valores entre 4 y 9, la tangente no está definida

24) Sea el 2

1cos , y IV . Hallar el valor de la expresión:

tgec

seny 2cos

111

25) Representar en la circunferencia trigonométrica un ángulo en el cuarto cuadrante donde

43cos . Representar sen y tg . Hallar las medidas de los segmentos de sen y tg .

26) ¿Existe un ángulo cuya cosec = -3?. Si existe, hallar las restantes razones

trigonométricas, suponiendo que III.

27) Para que valores entre -2 y 4 el coseno es igual a –1. Dar los ángulos en sistema circular

y sexagesimal

28) Comparar la imagen y el periodo de las funciones: xsenxf )( xsenxg 2)(

xsenxh 2)( .


Página: 4

29) Verificar las siguientes identidades trigonométricas:

a) cos sen cos4 4 22 1x x x

b) cos sen

sec coscot

ecx x

x xg x

3

c) 1

1

1

12 2

cos coscos

x xec x

d) tg cot sec .cosx gx x ecx

e) sentgec )cos1(cot)1(seccos

30) Resolver las siguientes ecuaciones en [0,2] a) tg x 3

b) sen x 1

4

c) cos cos2 4 4 0x x

d) sen x 2

2

e) sec x 4 f) cosecx 1

g) cosecx 1

3

h) cot gx 2

i) sen21

9x

j) tg cosx x 0

k) sen cos2 2 1 0x x l) sec(5 )x 30 2

m) cot g x33

2

3

3

n) 3 2tg cosx x

31) Verificar las siguientes igualdades:

a)sec x tag x

cos x cotg xsec x . tag x

b)cos

cot tgcos

ecx

gx xx

c) xsenxtgxtgxsen 2222

32) Verificar si son ciertas las siguientes igualdades:

a) cos

cos

cos

sen

sen cot tg22

211

x

x

x

x

x gx x

b)

cos sen

cos sencos sen

2 2

2 2

2 2x x

x xx x

33) Determinar los valores de x, positivos y menor que un giro, que satisfacen

a) xsenxsen 22 5,0 c) tgxtgxtgx 2)3)(1(

b) 22

2

xtg

d)

2

1cos 22 xxsen

34) Determinar todos los ángulos que cumplen

a) xx sec322cos2 b) 16

cos

x c) 1sec3 22 xxtg


Página: 5

Números Complejos 1) Calcular el valor de:

a) 753 iii c) 5940 iiii

b) 100010010 iii d) 604120 iii

2) Verificar que la unidad imaginaria i es solución de la ecuación 02 ziz

3) Verificar que el número imaginario iz 2 es solución de la ecuación 062 izz

4) Realizar las siguientes sumas y restas

a) ( 4 + 2i ) + ( 2 + 3i ) e) ( 3 + 4i ) - ( 1 + 3i )

b) ( -1 + i ) + ( 2 - i ) f) - 1/3i - ( 1/2 - 3/5i)

c) ( 1 - 2 i ) + ( - 2 + 3 2 i) g) ( 1/5 + 3/2i ) - ( 9 - 3i )

d) ( 2/5 - 3i ) + ( 7/10 - 3i ) h) ( - 1/3 + 2/3i ) - ( 5/6 - i )

5) Resolver las siguientes multiplicaciones:

a) ( 4 + 1/3i ) . ( 5 + 3/2i ) c) ( - 1/3 - 1/2i ) . ( 2 - 4/5i )

b) ( 7 - 5 i ) . ( 7 + 5 i) d) ( 1/2 - i ) . ( 1/2 + i )

6) Con los siguientes números complejos efectuar analíticamente: iz 521

262 z 123 iz iz 524 iz 25 2

6 iz iz 47 iz 18

a) 23 zz e) 572 zzz i)

81

34

zz

zz

b) 78 zz f) 123 : zzz j) 572 zzz

c) 2

5z g) 478 :1 zzz

d) 8

4

z

z h) )(: 68

2

5 zzz

7) Dividir: a) i

i

66

33

b)

i

i

32

22

1

c)

ii

5

1

2

1:

5

1

2

1

8) Considerar los números complejos iz 211 iz 322 iz 53 , determinar

a) 21 zz d) 21 52 zz g) 21 zz

b) 31 zz e) 1z h) 13 zz

c) 1.6 z f) 2z i) 12 zz

9) Representar gráficamente i43 , el opuesto y el conjugado, en un mismo sistema

cartesiano y hallar el módulo de cada uno.


Página: 6

10) Calcular a)

i

ii

22

2433

b)

i

ii

3

924

c) i

i

i

i

31

23

2

1

11) Escribir una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean i22 y su conjugado

12) Hallar el valor de k para que el producto xii 623 sea, a) Imaginario puro, b) Real

13) Calcular x e y para que se verifique 11

2

yi

i

ix

14) ¿Cuál debe ser el valor de x para que el número 22 xi sea imaginario puro?; ¿y para que

sea real?

15) Calcular x e y de modo que se satisfagan las siguientes igualdades:

a) iyix 623 b) iyix

213

2

2 c)

5

12812

4

73

yixyix

16) La suma de dos complejos conjugados es 18 y la diferencia es 4.i, ¿cuáles son dichos

complejos?

17) Dados iz 311 iz 22 .

Calcular : a) 21 zz b) 2

1z c) 21.zz d) 21 / zz

18) Hallar el módulo de los siguientes complejos: ii

iiz

11

2121 2

2 12 iiz

19) Resolver la ecuación de segundo grado 01722 xx . Tiene dos raíces complejas, ¿cómo

son entre sí?

20) Calcular los número reales x y para que se verifique

iyi

xi2

32

4

21) Calcular “a” para que iai 2 sea un número real

22) Dados los números complejos biz 21 xiz 32 determinar los valores que han de

tener b y x para que izz 4821

23) Calcular “x” para que el cociente i

ix

23

3

a) sea un imaginario puro b) un número real

24) Calcular una ecuación de segundo grado, cuyas raíces sean ix 311 y su conjugado

25) Determinar un número complejo, tal que su cuadrado sea igual a su conjugado

26) Calcular el módulo de ii

ii

223

2332


Página: 7

LÍMITES 1) a) Dibujar los gráficos de las siguientes funciones:

i) f(x) = 3 iv)

2 2

2 )(

3

xsi

xsixxf vii) xxf 2)(

ii) f(x) = x + 6 v) xxf )( viii) xxf 2log)(

iii) 2)( xxf vi)

2 4

2 1

)( 2

xsi

xsixxf

b) Estimar, si existe, en cada caso, el valor de )(2

xflímx

2) Dibujar, en cada caso, una función que verifique las condiciones indicadas:

a) 3)(1

xflímx

5)(1

xflímx

f(1) = 3

b) 3)(1

xflímx

3)(1

xflímx

f(1) = 5

c) 3)(1

xflímx

3)(1

xflímx

f(1) = 3

d) f (x) = 1 si -2 ≤ x ≤ 1 3)(1

xflímx

1)(2

xflímx

) f (0) = 1 2)(0

xflímx

3)(0

xflímx

3) Graficar f, en cada uno de los siguientes casos, e indicar el lím señalado, si es que existe

a)

5 1

52

2 3

)(

xsix

xsix

xsix

xf )(0

xflímx

)(0

xflímx

)(0

xflímx

)(2

xflímx

)(2

xflímx

)(2

xflímx

)(5

xflímx

)(5

xflímx

)(5

xflímx

b)

1 2

11- 1

1 1-

)( 2

2

xsix

xsix

xsix

xf )(1

xflímx

)(1

xflímx

)(1

xflímx

)(1

xflímx

)(1

xflímx

)(1

xflímx

4) Calcular:

a) 62 23

1

xxlím

x d)

2

42

2

x

xlímx

g)

xxlím

x

14

1

b) x

xlímx 3

22

1

e)

2

62

3

x

xxlímx

h) xxlímx

23

8

c) 624

xxlímx

f) x

xxlím 23

0


Página: 8

5) En cada caso calcular, si existe, el )(1

xflímx

a)

1 2

1 1)(

3

xsix

xsixxf b)

1 23

1 2)(

2

xsix

xsixxf

6) Si Axflímx

)(2

y Bxglímx

)(2

(B 0) , indicar el valor de cada límite:

a) )(

)(2

2 xg

xflímx

c) )()(22

xgxflímx

b) 2

)().(

2

xgxflímx

d) )(

5)(

2 xg

xflímx

7) Graficar la función y calcular los límites:

)(1

xflímx

)(1

xflímx

)(1

xflímx

)(2

xflímx

)(2

xflímx

)(2

xflímx

)(0

xflímx

)(0

xflímx

)(0

xflímx

8) Hallar una expresión para A(x) de modo que exista el )(2

xflímx

en la siguiente

función:

2 12

2 )()(

xsix

xsixAxf

9) Graficar una función que cumpla: 0)(

2

xflímx

2)(2

xflímx

1)(0

xflímx

0)2( f

10) Hallar los siguientes límites:

a)

x

xlímx

92

4 b)

2

354xlím

x c)

13

4xlím

x d)

102

2

7 x

xlímx

11) Teniendo en cuenta la siguiente gráfica de f(x), hallar

)(0

xflímx

)(0

xflímx

)(0

xflímx

)0(f

)(1

xflímx

)(1

xflímx

)(1

xflímx

)1(f

)(3

xflímx

)(3

xflímx

)(3

xflímx

)3(f

12) Calcular los siguientes límites:

a) x

límx

5

0 b)

2

3

2 x

xlímx

c) x

límx

3

0

d)

42

1

2

x

xlímx

2 1

21

1 1

)( 2

xsix

xsix

xsix

xf


Página: 9

13) Averiguar los límites cuando x y cuando x -, de las siguientes funciones:

a) xxf )( h) 29)( xxf ñ) 2

52)(

x

xxf

b) 2)( xxf i) 1)( 3 xxf o) 1

42)(

2

2

x

xxf

c) 23)( xxxf j) x

xf1

)( p) xxf 2)(

d) 33)( xxf k) 3

1)(

2

xxf q)

2

53)(

xxf

e) 32)( 2 xxf l) x

xxf

3)(

r)

x

xf

3

1)(

f) 5)( xxf m) x

xxf

52)(

g) 5)( 2 xxf n) 1

3)(

2

x

xxf

14) El aumento producido por la lupa viene dado por la expresión 5

5)(

ddA , donde d es

la distancia, en dm, a que se pone el objeto de la lupa.

a) ¿Qué ocurre al disminuir la distancia tanto como se pueda?

b) ¿Qué ocurre al aumentar la distancia?

c) ¿Qué ocurre cuando se pone, exactamente a 5 dm?

15) Calcular el límite cuando x y cuando x -, de las siguientes funciones:

a) 5.23

2.3)(

2

2

xx

xxxxf c)

3

3

1)(

2

2

3

x

x

x

xxf

b) 34

43

3

3)(

xx

xxxf

d)

xx

xxxf

2

2)(


a) 4

222

x

xlímx

c) 34

12

2

1

xx

xlímx

b) 9

323

x

xlímx

d) xxx

xxlímx 127

4523

2

4

17) Calcular:

a) 1

12

1

x

xlímx

d)

158

10

3

523 xxx

límx

g) 24

235

0 63

27

xx

xxxlímx

b) 5

1072

5

x

xxlímx

e)

1

7

45

2121 xxx

límx

h) xxxx

xxxlímx

234

23

1

35

c) 209

525

xx

xlímx

f)

128

4

2

122 xxx

límx


Página: 10

18) Salvar la indeterminada y calcular:

a) 222

32

3

x

xxlímx

c) 4

73 2

4

x

xlímx

b) 107

4125

xx

xlímx

d) 1

3423

1

x

xxlímx

19) Calcular los siguientes límites, aplicando la regla del número e:

a) 53

2

3

x

x x

xlím c)

x

x x

xlím

5

5

5

b) 23

2

32

x

x x

xlím d)

x

x

x x

xxlím

1

3

23

2

14

64


a) 1

3

1 52

43

x

x x

xlím c) x

xxlím

2

01

b) 4

5

4 24

102

x

x

x x

xlím d) 3

1

32

x

x

xxlím

21) Esbozar el gráfico de una función f (x), de la que se conocen los siguientes límites:

2)(

xflímx

)(1

xflímx

)(1

xflímx

3)(0

xflímx

0)(3

xflímx

2)(

xflímx


a) xxx

límx 23

134

d) 382 2

xxlímx

b) 123 4

xxlímx

e) 23

x

xlím

c) 652

xxlímx

f) 23

x

xlím

23) La población de una provincia viene dada, en millones de habitantes, por la función:

40

14

120)(

2

t

ttP , donde t es el tiempo en años.

Calcular la población máxima de manera aproximada y el límite cuando t tiende a infinito.

24) ¿Para qué valores de a y b R se verifica que:

a) 13

1242

2

bxax

xlímx

b) 23

154

xbx

xaxlímx


Página: 11

25) Gráfica una función que tenga los siguientes límites:

a) 2)(

xflímx

2)(

xflímx

)(2

xflímx

1)(3

xflímx

)(2

xflímx

1)(0

xflímx

b)

)(xflímx

1)(

xflímx

3)(0

xflímx

)(3

xflímx

)(3

xflímx

26) Hallar los siguientes límites

a)

2

4

4 xx

xlímx

b)

xx

xlímx 3

5162

2

3 c)

2

232

3

1 xx

xxlímx

d)

23

12222 xx

xxlímx

e) 1

1

1 2

12

x

x x

xlím f)

43

25

4

524 xxx

límx

g) 332 8

2

x

xlímx

h)

x

x x

xlím

81

Continuidad y Asintotas

27) Hallar el valor de k para que la función g sea continua en x = k

kxsikx

kxsikxxg

13

)(

2

2

28) Determinar los valores de a y b, reales, para los cuales las funciones son continuas en R.

a)

2 3

21

1 1

)(

xx

xbax

xx

xf b)

bxxa

bx ax

axx

xf

2

)(

2

2

2

29) Encontrar una recta para que las siguientes funciones sean continuas:

a)

3 2

2 1

)(

2 xsix

xsix

xf b)

4 12

0 23

)(

xsix

xsix

xf

30) Dadas las siguientes funciones indica cuáles de ellas presentan en sus gráficos asíntotas

(verticales, horizontales u oblicuas) y escribe la ecuación respectiva en cada caso:

a) 9

3)(

2

x

xxf b)

21

1)(

xxf c)

23

2)(

2

2

xx

xxxf

d) xx

xxxf

3

12)(

2

3

e)

22

1)(

23

3

xxx

xxf f)

65

44)(

2

2

xx

xxxf

g) 2

1)(

x

xxf h)

4

1)(

2

xxf i)

1

23)(

2

3

x

xxxf


Página: 12

31) Graficar una función cuyo dominio sea R-{ 0 , 2} y que verifique las siguientes condiciones:

Discontinua esencial en x = 0 Asíntota en y=1 Discontinuidad

evitable en x = 2

32) Encontrar la fórmula de la función que tenga como asíntota vertical a x = 3 y como

asíntota horizontal a y=1.

33) Estudiar la continuidad de la función:

1 2

12 1

2 5

)( 2

xsix

xsix

xsix

xf

34) Calcular el valor de a para que las siguientes funciones seas continuas:

a)

1 3

1 1)(

2 xsiax

xsixxf b)

2 6

2 65

2

)( 2

xsi

xsixx

xax

xf

35) Dadas las siguientes funciones, especificar su dominio, calcular las asíntotas y realizar un

gráfico aproximado

a)

3

3)(

2

x

xxf b)

1222

1)(

2

2

xx

xxf

DERIVADAS

1) Calcular la derivada de las siguientes funciones, en los puntos indicados:

a) 2

2

1)( xxf x0 = 3/2

b) 432)( xxxxf x0 = -1/2

2) Calcular la pendiente y la inclinación de la tangente a cada una de las siguientes parábolas

en el punto de abscisa x = 2. Representar gráficamente

a) xxxf 42)( 2

b) 4

1)( 2 xxxf

3) Dadas las siguientes funciones, determinar su función derivada, empleando propiedades y

técnicas de derivación.

a) 432)( 23 xxxf i) 1

2)(

x

xxf

b) 42

4

1

2

1)( xxxf j)

8

346 762)(

x

xxxxf

c) xxxxxf cos24

33)( 45 k) 33 xay


Página: 13

d) 4

283

12)( xx

xxf l) 52 64 xxy

e) 1253)( xxxf m) 3 31 xy

f) 21)( 22 xxxxf n) x

x

ex

exf

)(

g) 2

2

1

1)(

x

xxf

ñ)

23

1)(

ttth

h) dcx

baxxf

)( o) xey x 3cos5

4) Dada 2

2

12)( xxxf hallar las ecuaciones de las rectas tangentes y normal a la curva en

x0 = 3. Graficar.

5) Hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal al grafico de la función xy en el

punto x=1. Comprobar gráficamente el resultado.

6) Hallar el punto de la curva xxy 42

1 2 en el cual la inclinación de la tangente es de 45º

7) Hallar la ecuación de la recta R que pasa por el origen y es paralela a la recta T, siendo T la

tangente a 2)( 3 xxf en x0 = -1

8) Calcular para que valores de x la derivada de x

xxf

1)(

es igual a –4

9) Dada 3)( xxf calcular el área del triángulo determinado por el eje x y las rectas

tangente y normal a la curva en x0 = 1. Graficar

10) Dada 24 6)( xxxf , calcular para que valores de x se anula la derivada segunda de f

11) Hallar la tasa de variación media de la función xxxf 32)( 2 en el intervalo [1, 2] .

¿Crece o decrece la función en ese intervalo

12) Hallar la función derivada de: a) 3

1)(

2

x

xxf b) )ln(.)( xxxf

13) Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva 122 xxy en el punto de

abscisa x = 1. Graficar

14) Determinar los puntos en donde la recta tangente de la función 2

)(3

x

xxf sea

horizontal

15) Dada la curva de ecuación 132)( 2 xxxf , hallar las coordenadas de los puntos de

dicha curva en los que la tangente forma con el eje X un ángulo de 45°.


Página: 14

INTEGRALES

1) Calcular

a) dxx512 j) dxxsenx 1cos7

b) dxx 2

3

4 k) dxxx 124

c) dxxxx 6104 l) dxx 2

d) dxxxx 51324 36 m)

dx

x1

2

e) dxxxxx 32673 325 n)

dxx

xxx 42 23

f) 4 73x ñ) dxx

234

g) dxx 2

3

1 o)

dx

x

x

2

122

h) dxx3

1 p) dxxxx 432

i) dxx4 5

1 r)

dx

x

x 3

3

2) Calcular las siguientes integrales definidas

a)

1

0

32 dxx f)

4

0

2

21 dxx

b)

5

1

12 dxx g)

2

0

senxdx

c)

2

1

3

5dx

x

x h)

3

0

2 1 dxxx

d)

a

dxxa0

2

i)

1

2

2

23

1dxx

e)

0

2

12 dxxx

3) Calcular el área limitada por 2xy y las rectas 0y 2x 6x e interpretar

gráficamente:


Página: 15

4) Calcular el área del recinto imitado por la parábola de ecuación 29 xy y el eje de las

abscisas

5) Calcular el área del recinto imitado por la parábola 24 xxy y el eje de las abscisas

en el intervalo [ 0 , 6 ]

6) Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje X y las rectas x = 2 y

x = 8

7) Calcular el área limitada por la curva 32 36 xxy y el eje de abscisas

8) Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva

xxxy 86 23 y el eje X.

9) Calcular el área limitada por las siguientes funciones e interpretar gráficamente:

a) 2

1

xy 2xy 1x 2x

b) 2xy xy

c) 62 xy 032 xy

d) 6 xy 03 xy 02 xy

10) Hallar el área comprendida entre las parábolas 28 xy 2xy

11) Calcular el área limitada por la curva 652 xxy y la recta xy 2

12) Hallar el área del recinto limitado por la parábola de ecuación 2xy y la recta de

ecuación 2 xy y el eje x

13) Calcular el área del recinto limitado por xy 2 y la recta xy

14) Hallar el área de de la región limitada por las funciones: senxy xy cos x = 0

15) Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).

16) Calcular el área del recinto limitado por la parábola 22 xy y la recta que pasa por los

puntos ( −1 , 0 ) y ( 1 , 4 )

17) Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola 24 xxy y las tangentes a la

curva en los puntos de intersección con el eje X.

18) Calcular el área de la región limitada por las curvas xxy 73 2 62 xxy


Página: 16

19) Calcular las siguientes integrales

a)

dxx

x2

53 b) dxx

2

1 c) dxx

xx

2

2

5 33

20) Sea 1072)( 23 xxxxf , sabiendo que x – 2 es un factor de la función:

a) Realizar un gráfico aproximado

b) Calcular

2

1

)( dxxf ; 5,2

2

)( dxxf ;

5,2

1

)( dxxf

21) Calcular el área que encierra con el eje x la gráfica de la función xxxxf 107)( 23


Página: 17

EVALUACIÓN DE MATEMÁTICA – 6to. ES –Abril 2013

Apellido y Nombre(s): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CURSO: 6to. “ . . . . ” PROFESOR: Patricia Ruiz. . Fecha: . . . ./. . . . /. . . .

Criterios de Evaluación

- Interpretación correcta de las consignas - Aplicación adecuada y rigurosa de los conceptos vistos durante el año - Resolución coherente de las situaciones problemáticas. - Claridad, completitud y precisión de los desarrollos solicitados y en las respuestas - Traducir situaciones problemáticas a lenguaje simbólico - Graficar e interpretar las funciones homográficas - Resolver adecuadamente, ecuaciones e identidades trigonométricas - Comprender el concepto intuitivo de límites de una función - Determinar la continuidad de funciones, junto con sus asíntotas - Interpretar el concepto de derivada en un punto - Hallar áreas bajo la curva, utilizando el concepto de integrales

Ejercicio 1 (1 pto.) Teniendo en cuenta dominio, imagen, asíntotas, ordenada al origen y raíz, graficar la siguiente

función. Indicar conjunto de positividad y negatividad 12

23)(

x

xxf

Ejercicio 2 (2 ptos.)

Dar todas las soluciones de: a) 22

2

xtg

b) xx sec322cos2

Ejercicio 3 (1,5 ptos.)

Verificar la siguiente iguald xsenxtgxtgxsen 2222

Ejercicio 4 (1,5 ptos.) Calcular los siguientes límites:

a) limx x x

xx

3 2

2

4

1 b) lim

x x

xx

2

2

2

3 7 2

4 c)

4

7322

x

xlímx

d) limxx

x

1

12 1

Ejercicio 5 (1 pto.) Hallar el valor de h, con el concepto de límite, para que las siguientes funciones sean continuas:

a)

4 5x

4 2)(

xsi

xsihxxf b)

2 h

2 2

2352

)(

23

xsi

xsix

xxx

xf


Hallar la ecuación de la tangente a la curva 43)( 2 xxxf paralela a la recta y = 3x – 2

Ejercicio 7 (1 pto.)

Calcular el área que encierra con el eje x la gráfica de la función xxxxf 34)( 23


Dados los vectores 1,3,2 u

y 2,2,1v

, representarlos gráficamente y hallar sus

módulos

NOTA


Página: 18

EVALUACIÓN DE MATEMÁTICA – 6to. ES – Agosto 2015

Apellido y Nombre(s): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CURSO: 6to. “ . . . . ” DNI: . . . . . . . . . . . . . . . Fecha: . . . ./. . . . /. . . .

Criterios de Evaluación

- Interpretación correcta de las consignas - Aplicación adecuada y rigurosa de los conceptos vistos durante el año - Resolución coherente de las situaciones problemáticas. - Claridad, completitud y precisión de los desarrollos solicitados y en las

respuestas - Traducir situaciones problemáticas a lenguaje simbólico - Resolver adecuadamente, ecuaciones e identidades trigonométricas - Comprender el concepto intuitivo de límites de una función - Determinar la continuidad de funciones, junto con sus asíntotas - Interpretar el concepto de derivada en un punto - Hallar integrales indefinidas - Operar con número complejos

Ejercicio 1 (1 pto.) En la circunferencia trigonométrica dibujar un ángulo cuyo coseno sea igual a -0,75. ¿Hay, en el primer giro otro ángulo que tenga el mismo valor del coseno? Si hay dibujarlo. Hallar las medidas de las restantes razones trigonométricas Ejercicio 2 (2 ptos.) Determinar los valores de x, positivos y menor que un giro, que satisfacen

a) 01cot32 gxtgx b) 34

2

xsen

Ejercicio 3 (2 ptos.)

Hallar el módulo de los siguientes complejos: ii

iiz

11

2121 2

2 12 iiz

Ejercicio 4 (1,5 ptos.) Hallar:

a) 3

332

3

x

xxlímx

b) 2

2

1 1

12

x

xxlímx

c)

2/

42

21x

x x

xlím

Ejercicio 5 (1,5 ptos.) Realizar el dibujo de una función que cumpla: x = 2 x = -2 y = -1 asíntotas, y en x = -3 y en x = 3 discontinua evitable Ejercicio 6 (1,5 ptos.)

Hallar la recta tangente y la recta normal a la curva xexxf .2)( en el punto en que corta al

eje x. Ejercicio 7 (1,5 ptos.) Calcular las siguientes integrales indefinidas

a) dxx

xxx

2

24 523 b) dxx

x

5

34

dx

x

21

2

NOTA

MODULO REVISIÓN€¦ · Medidas de ángulos. Sistema sexagesimal. Sistema circular. Funciones...

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