Matemática

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MEDIO1°a2°Módulo Pedagógico

Prueba de Calidad de Aprendizaje 2010

Edición: Sonia Ávila, Felipe Calderón.Diseño Gráfico: Cristián Arriola.Diagramación: María José Rivera.

Equipo Docente Módulos Pedagógicos 2010

Coordinación: Claudio Loo.

Inglés: Aura Córdova, Lucila Ramírez.

Lenguaje: Araceli Araos, María Jesús Blanco, Myriam Poblete.

Matemática: Jael del Valle, Néstor Gajardo.

Historia, Geografía y Ciencias Sociales: Marcela Campos, Luis Garcés, Rosanna Marassi.

Ciencias Naturales: Valeria Calderón, Mariela Norambuena, Felipe Ramírez.

© CEIS - Centro de Evaluación e Investigación SicoeducativaSanta Mónica Nº 2056 - Primer Piso - Santiago CentroFonos 584 7438 - 696 5331Fax 697 12 60www.ceismaristas.clcontacto@ceismaristas.cl

Presentación

Estimados/as Profesores/as, Jefes Técnicos y Equipos Directivos:

El módulo pedagógico es un componente relevante del servicio que ofrece la Prueba de Calidad de Aprendizaje (PCA). Este recurso didáctico, en la versión

impresa y digital, está presente en la PCA desde sus inicios y puede acceder a sus diferentes versiones en www.pca.cl/modulos. El módulo se concibe

como una estrategia para desarrollar en el aula, dirigido a docentes y estudiantes. Las actividades que propone, están en coherencia con la

tabla de especificaciones utilizada en la construcción del respectivo instrumento de evaluación y tiene como propósito ofrecer a cada

estudiante la oportunidad de alcanzar y evidenciar mejores niveles de aprendizaje.

El Módulo Pedagógico 2010 presenta novedades respecto de las ediciones de los años anteriores. En primer lugar, incorpora los Ajustes Curriculares en cada uno de los cursos y Sectores de Aprendizaje en que se aplica la PCA. En segundo término, el marco conceptual en que se fundamenta cada prueba, permite focalizar, con mayor precisión, el nivel de logro en los contenidos y habilidades que alcanzan los y las estudiantes evaluados/as. El texto completo donde se desarrolla en detalle este enfoque se puede obtener en el sitio www.pca.cl/marcoconceptual.

Este año, el módulo se estructura en un conjunto de al menos doce fichas de trabajo. Se sugiere que estas actividades se implementen al inicio del año escolar 2011, como una estrategia para reactivar los conocimientos previos. Las fichas se han elaborado a partir de las categorías de aprendizajes verbales y procedimentales evaluados con la PCA y en cada una de ellas se presentan

actividades específicas orientadas a reforzar y mejorar los niveles de logro en los contenidos y las habilidades que

aparecen más descendidos.

Cada año el equipo profesional que genera la PCA se propone incorporar mejoras y actualizaciones a fin de ofrecer un servicio

de calidad. Creemos que las innovaciones realizadas este año responden a ese desafío. Nos interesa recibir los comentarios y

sugerencias que contribuyan a cualificar el formato y el contenido de la información que reportamos con las PCA. Una vez más,

reiteramos nuestro agradecimiento por la confianza depositada en nuestra institución y en este servicio orientado a la mejora de la calidad

de la educación de los niños, niñas y jóvenes del Chile del Bicentenario.

Raúl Cheix Montenegro Director CEIS Maristas.

Diciembre de 2010

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DESCRIPCIÓN DE LA PCA DE MATEMÁTICA 1RO MEDIO

La construcción de la PCA de Matemática de 1ro medio se elabora tomando de referencia los objetivos fundamen-tales y contenidos mínimos obligatorios presentes en los Ajustes Curriculares.

Una característica importante de la prueba es que ella contiene únicamente preguntas de selección múltiple, por lo tanto, se debe hacer una selección de aquellos OFV y CMO que son posibles de abordar mediante este tipo de ítems.

La estructura interna de la PCA se ha conformado en torno a ejes a fin de abarcar de la mejor manera posible los aprendizajes esenciales contemplados para cada nivel educativo evaluado.

Las preguntas destinadas a medir el logro de los aprendizajes verbales se centran exclusivamente en la comprensión de los conceptos fundamentales de cada eje, requiriendo de las alumnas y los alumnos la aplicación de dichos con-ceptos a situaciones de la vida cotidiana.

Por otro lado, se evalúa dos tipos de aprendizajes procedimentales: métodos o técnicas asociadas a la aplicación de procedimientos estandarizados, relacionados con el uso de fórmulas, algoritmos y procedimientos matemáticos y destrezas intelectuales referidas a la interpretación de tablas y gráficos de uso habitual y también a la resolución de problemas. Este último proceso ha sido dividido –a su vez– en operaciones mentales más específicas, definidas como:

• Identificacióndedatosyvariables.

• Análisisdeprocedimientosderesolución.

• Verificacióny/ojustificaciónderesultados.

• Interpretacióndetablasygráficos.

En particular, los aspectos evaluados son:

APRENDIZAJES VERBALES

EJE TEMA SUBTEMANúmeros Números racionales Números racionales.

Álgebra Función lineal y afín Función lineal y afín.

GeometríaTransformaciones isométricas Transformaciones, vectores y plano cartesiano.Congruencia Congruencia de figuras y criterios.

Datos y Azar Estadística y Probabilidad Datos agrupados, probabilidad y relación media-muestra.

APRENDIZAJES PROCEDIMENTALES Aplicación de procedimientos

EJE TEMA SUBTEMA

NúmerosNúmeros racionales Aproximación, transformaciones y operaciones. Potencias Calculo de Potencias y propiedades.

ÁlgebraLenguaje algebraico y ecuaciones Productos notables, factorización y ecuaciones.

Función lineal y afín Funciones y composiciones.

GeometríaTransformaciones isométricas Transformaciones, vectores y plano cartesiano.

Congruencia Aplicación de congruencia a polígonos.

Datos y Azar Estadística y Probabilidad Medidas de tendencia central y posición. Probabilidades y combinatoria. Muestras.

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Destrezas intelectuales de Resolución de Problemas e interpretación de datos / Lectura de información

Resolución de Problemas Interpretación de tablas y gráficos

Identificación de datos y variables

Análisis de procedimientos de

solución

Verificación y/o justificación de

resultados

Capacidad que permite leer, interpretar y relacionar la información entregada a través de distintos formatos de tablas y gráficos de uso común.

Dominio que permite identificar los datos que son necesarios, pertinentes o mínimos para dar solución a un problema, o bien, las variables determinantes de la situación

Capacidad por medio de la cual el alumno discrimina procedimientos adecuados (o más adecuados) para resolver una situación problema o modela situaciones utilizando lenguaje simbólico o natural.

Habilidad que permite sustentar soluciones, respaldándolas con un pensamiento lógico-matemático. Incluye también el análisis de la pertinencia de una solución.

De acuerdo a esta organización, presentamos Fichas de Trabajo del Estudiante (descargables de www.pca.cl/modulo) cuyo propósito es que sean útiles al profesor para mediar el aprendizaje de los estudiantes, especialmente el de aquellos alumnos que no obtuvieron un nivel “LOGRADO” en la entrega de resultados individuales de la PCA aplicada.

En las siguientes páginas encontrará descripciones didácticas, sugerencias metodológicas y orientaciones generales que pueden ser de ayuda al momento de realizar la planificación de este trabajo.

Se presentan además algunas indicaciones específicas disciplinares para el trabajo de las fichas que abordan apren-dizajes verbales.

Marco metodológico para la enseñanza de TÉCNICAS y DESTREZAS INTELECTUALES

I. EL SISTEMA DE APRENDIZAJE

De acuerdo a Pozo (2002) “toda situación de aprendizaje, sea implícito o explícito, espontáneo o inducido a través de la instrucción, puede analizarse a partir de tres componentes básicos”: resultados, procesos y condiciones.

Los resultados de aprendizaje hacen referencia a “lo que se aprende” o, en otros términos, aquello que cambia en el aprendiz como producto de la situación de aprendizaje; el segundo componente del sistema son los procesos de aprendizaje o el conjunto de mecanismos cognitivos, afectivos o motores que se ponen en juego para la adquisi-ción de los resultados de los cuales hemos hablado antes.

Por último, encontramos las condiciones de aprendizaje o el tipo de escenario instruccional que se debe construir para que se generen los procesos que llevan a los resultados de aprendizaje esperados.

¿Por qué consideramos relevante esta distinción? El currículo escolar contempla diferentes resultados de apren-dizaje, los que –a su vez- requerirán procesos específicos que se activarán bajo condiciones también diversas. En palabras sencillas, lo que es útil para lograr un tipo de resultado, puede resultar ineficaz para otro; el problema es que la mayor parte de las veces no somos conscientes de esta situación y utilizamos la misma metodología para las diferentes categorías de aprendizaje.

En coherencia con esta perspectiva, ofrecemos una metodología específica para favorecer el logro de aprendi-zajes procedimentales en la sala de clases que intenta poner en práctica las fases de construcción de modelos, internalización del procedimiento y automatización que se recomiendan para este tipo de resultado.

En el caso de los algoritmos básicos, propios de la Matemática, seguiremos estas tres fases de manera más o menos estricta, buscando ante todo servir como modelos al aprendizaje de los estudiantes; por lo demás, tenemos claro que se trata de una forma de intervenir en el aula bastante familiar para los profesores de la asignatura.

En consecuencia, detallaremos con mayor profundidad nuestra propuesta instruccional de la enseñanza explícita de las destrezas de la resolución de problemas, a la que dedicaremos las próximas páginas.

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II. PROPUESTA INSTRUCCIONAL

En el presente apartado proponemos una forma de estructurar el proceso instruccional de modo que pueda favo-recer la adquisición, desarrollo y consolidación de ciertas herramientas mentales. Los pasos sugeridos no pretenden convertirse en una estructura rígida, pues cada situación educativa demandará de parte del profesor la flexibilidad suficiente para adaptarse a los requerimientos del escenario que enfrenta. No obstante, el paso que nunca debe faltar es el tercero, en el cual se detallan los pasos mentales que se deben seguir para desarrollar la destreza. Si éste no se hace presente, sin duda estaremos haciendo la clásica enseñanza centrada en contenidos.

Primera fase

Despertar el interés por aprender

La finalidad de este paso es mostrar al estudiante que el proceso que van a aprender puede ser utilizado en su reali-dad concreta, aumentando la motivación por el aprendizaje. Por otra parte, da al profesor la oportunidad de incorpo-rar dentro de la sala de clases los elementos centrales de la cultura infantil o juvenil del medio en que se encuentra. Naturalmente, este es un paso que puede ser pasado por alto cuando se lleva un tiempo prolongado trabajando en torno a una misma destreza.

Idealmente, se trata de presentar una situación lo más real posible que ilustre cómo el uso de una determinada destreza resulta beneficiosa para el aprendiz o su falta de dominio le priva de participar con éxito en contextos que le interesan

Por ejemplo, para mostrar la relevancia de la IDENTIFICACIÓN DE DATOS Y VARIABLES en 4º básico, se diseñó la si-guiente situación:

Jacinto entró a trabajar en la fotocopiadora de un colegio que atiende a varones de 7° básico a 4° medio, con 4 cursos por nivel y un promedio de 30 estudiantes por curso. Su primer trabajo consistía en multicopiar una comunicación para todos los estudiantes del colegio. Cuando entregó las circulares, el inspector le dijo, “pero Jacinto, en este colegio no hay 120 estudiantes, sino 720”. Jacinto, muy avergonzado, tuvo que completar el número de fotocopias que le faltaron.

¿Cuál fue la dificultad que tuvo Jacinto?

Pues bien, Jacinto sólo consideró el número de cursos por nivel (4) y la cantidad de estudiantes por curso (40), no pensó que además debía tener presente la cantidad de niveles que había en el colegio (7°, 8°, 1° medio, etc.). La dificultad que él tuvo fue identificar los datos relevantes para hacer frente al problema matemático que le era planteado.

En ella, se quiere hacer notar que la carencia de una determinada herramienta mental impide realizar con normalidad ciertas tareas, o nos pone en desventaja para enfrentar situaciones de la vida cotidiana con éxito.

Segunda fase:

Construir una REPRESENTACIÓN MENTAL apropiada de la herramienta que se va a adquirir.

Decíamos anteriormente que el pensamiento debe ser enseñado explícitamente, es decir, indicando con claridad cuál es la destreza que se desea desarrollar en un momento determinado. A este elemento apunta el segundo paso metodológico sugerido: el profesor señala claramente –ojalá anotándolo en la pizarra para que también se transfor-me en una imagen mental- la destreza que se abordará en la sesión.

Pero no se detendrá ahí. Además, buscará alguna forma para indicar con claridad en qué consiste el proceso de pensamiento que se propone al aprendizaje. ¿Cómo?

• Entregando él mismo la definición de la destreza

• Construyendo con los alumnos una definición a partir de su propia experiencia:

Este paso nos permite dirigir la atención del aprendiz hacia el objetivo de la clase y activar sus conocimientos previos, pues es posible que la misma destreza haya sido ejercitada en otros subsectores o en niveles anteriores, o haya sido puesta en juego de manera intuitiva en la vida diaria

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Por otra parte, estimula la coherencia de lenguaje al interior del Centro Educativo, por cuanto las definiciones serán compartidas por todos los docentes del establecimiento (realizando las modificaciones que la edad de los niños o la naturaleza del subsector requiera). En este sentido, es indispensable que cuando trabajemos una destreza del panel institucional utilicemos la misma terminología allí señalada; de lo contrario, crearemos confusión en los estudiantes que no entenderán por qué el análisis de textos significa una cosa para el profesor de Historia y algo totalmente distinto para el de Biología.

Evidentemente, no es necesario definir la destreza todas y cada una de las ocasiones en las que se trabaje; la expe-riencia profesional nos irá indicando cuándo ya no resulta necesario hacerlo pues los alumnos conocen suficiente-mente el proceso.

En el caso de las definiciones que aparecen en cada uno de los Módulos PCA, su elaboración ha corrido por cuenta del equipo de autores que participa en la construcción de estos materiales; en algunos casos puede ser que no co-rresponda exactamente al concepto que se maneje en un determinado centro educativo. Se recomienda, en estas situaciones, adaptar las fichas de acuerdo a la cultura de cada colegio.

Tercera fase

Detallar los pasos mentales que se deben seguir para desarrollar la destreza.

Aquí se encuentra el núcleo del proceso. Cada destreza tiene una serie de pasos mentales más o menos fijos, que es necesario identificar y explicitar para que el alumno pueda aprender el funcionamiento del proceso y transferirlo posteriormente a nuevas situaciones.

En los módulos PCA presentamos una propuesta inicial de pasos mentales, los que finalmente deberán ser adapta-dos a la realidad de cada centro; no obstante, servirán como un primer acercamiento al tema (siempre es más fácil pensar sobre una base concreta) Por ejemplo, para el análisis de procedimientos se propone:

Paso 1: Explicitar en voz alta o escrita, los procedimiento que se llevaron a cabo

Paso 3: Revisar y/o volver a realizar los cálculos en los procedimientos planteados

Paso 2: Identificar la pertinencia de los procedimientos rea-lizados, de acuerdo a la pregunta que queremos responder

Cuarta fase

Modelar la ejecución de la herramienta mental

No basta con señalar los pasos de pensamiento “en abstracto”; una vez que ya se han puesto en evidencia los pasos mentales de la destreza, es preciso acompañar a los aprendices en el proceso de pensamiento, con un ejemplo pro-pio del contenido que se está trabajando. Así, es posible identificar y precisar las dificultades de aprendizaje y alertar frente a posibles errores.

Quinta fase

Dar la oportunidad de ejercitar la destreza con un contenido de la asignatura, en forma individual o grupal.

Una vez que se han dado al estudiante las herramientas básicas, es necesario construir un escenario para que dichas herramientas sean puestas en práctica, es decir, para que puedan ejercitar la destreza aprendida de manera autónoma.

Para ello, determinamos tiempo de trabajo grupal o personal, y de acuerdo a los recursos que tengamos disponibles. Lo esencial, en todo caso, es que los alumnos vuelvan a detallar los pasos mentales que corresponden a la destreza,

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aunque se muestren reticentes a hacerlo. De esta forma estamos ayudando a que la instrucción externa en un primer momento, posteriormente se vaya haciendo interna; que la voz del profesor se transforme con el tiempo en la voz del propio pensamiento, tal como señala Vygotsky de manera teórica.

En esta fase es esencial que el profesor se pasee por la sala de clases monitoreando el trabajo y actuando como me-diador frente a las dificultades de aprendizaje que se van suscitando. Así, puede percibir con más claridad dónde se encuentras los aspectos más conflictivos e introducir cambios en su modalidad de enseñanza o sugerir vías alternativas de acción.

Sexta fase

Retroalimentar el trabajo realizado, volviendo a explicitar los pasos de pensamiento.

Terminado el trabajo personal o grupal es fundamental revisar la tarea, centrando la atención en los pasos que se han debido llevar a cabo, en las dificultades encontradas y en la forma en la cual ha sido tratado el contenido. Al realizar esto estamos contribuyendo a desarrollar en nuestros aprendices un pensamiento de tipo metacognitivo, que conoce y regula sus propios procesos intelectuales.

Del mismo modo, estamos recogiendo valiosa información respecto a la forma en la cuál hemos diseñado el proceso de enseñanza y cuáles son los mecanismos de aprendizaje específicos de ese grupo de alumnos en particular.

Recuerden que nos interesa tanto el producto como el proceso. Nos importan tanto los resultados sin los pasos seguidos para llegar a él.

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Marco metodológico para la enseñanza de CONOCIMIENTO DECLARATIVO

En coherencia con el marco teórico que sustenta la enseñanza de destrezas intelectuales, ofrecemos también una metodología específica para favorecer el logro de aprendizajes verbales o construcción del conocimiento de-clarativo en la sala de clases.

PROPUESTA INSTRUCCIONAL

En términos generales, consideramos que la construcción del conocimiento declarativo en la sala de clases debe tener al menos las siguientes etapas:

Conectar con la ESTRUCTURA DE ACOGIDA del alumno

Proporcionar una ESTRUCTURA LÓGICA para favorecer inclusión

Construcción de CONCEPTOS y adquisición de INFORMACIÓN

SÍNTESIS DEL CONOCIMIENTO

•Descubrirsusrepresentacionesimplícitassobreelcontenido(situaciones que impliquen USO del conocimiento).

•Dejarplanteadaunapreguntaquedesequilibre

•PresentarREDCONCEPTUAL

•Explicarelsentidodelaunidad(porquéestudiarlaunidadensu conjunto; relación entre cada componente)

•Desarrolloclaroyprecisodelosconceptosfundamentalesdela unidad, con los debidos EJEMPLOS y CONTRAEJEMPLOS

•Recogerlofundamentaldelmóduloenunaestructuragráficaque ayuda a crear una representación mental

Actividades de PROFUNDIZACIÓN y TRANSFERENCIA

Primera fase

Conectar con la ESTRUCTURA DE ACOGIDA del alumno

Como nos enseña la psicología cognitiva en la actualidad, los alumnos no llegan a la sala de clases con la mente en blanco, sino que poseen ciertos conocimientos previos sobre el tema que se abordará, determinadas herramien-tas mentales para abordar la tarea de aprendizaje y una actitud particular frente a los objetivos propuestos o la disciplina académica de estudio.

Si bien, esta estructura de acogida debe ser tenida en cuenta a lo largo de toda la intervención docente, nos parece oportuno comenzar la clase buscando alguna forma de conocer qué es lo que los alumnos saben sobre un determinado tema y cómo han estructurado el conocimiento del cual disponen.

En este sentido, estimamos que la lluvia de ideas no es la mejor alternativa posible, ya que sabemos que cada persona construye verdaderas estructuras de conocimiento organizado –aunque muchas veces implícitas- y no sólo almacenan información aislada.

De este modo, recomendamos presentar diversas situaciones problemáticas que exijan al estudiante USAR su co-nocimiento. Al verlos en acción, podremos inferir cuáles son sus concepciones implícitas respecto a un determinado concepto; también,es conveniente plantear una pregunta que desestabilice lo que el alumno cree saber, generan-do un mayor interés por aprender.

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Segunda fase:

Proporcionar una ESTRUCTURA LÓGICA para favorecer la inclusión

Una de las condiciones que David Ausubel establece para favorecer el aprendizaje significativo de los conocimientos escolares es que éstos deben tener sentido lógico. En esta perspectiva, sugerimos el uso de recursos gráficos que entreguen una visión panorámica de lo que se estudiará en clases y permitan al estudiante ir conectando la nueva información con este marco general.

No se trata, sin embargo, de “mostrar” un esquema. Ante todo, el profesor debe invertir tiempo explicando las relacio-nes existentes entre los diferentes conceptos y cómo todo lo que se aprenderá puede vincularse con esta estructura. A ella deberá referirse varias veces a lo largo del proceso instruccional.

Instrucciones: Observa con atención las imágenes que aparecen a continuación y explica cómo interpretas el número que en ellas aparece.

Imagen 1:Imagen 1: ¿Cómo interpretas el número que aparece en la imagen?

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TRIANGULOS

DESIGUALDAD TRIANGULAR

Medida de lados

Medida de ángulos

Teorema de Pitágoras

ELEMENTOSCLASIFICACION

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Tercera fase

Construcción de conceptos y adquisición de información

Corresponde al momento de trabajo con los nuevos contenidos, que deberá evitar el riesgo de la simple entrega oral de datos. Algunas estrategias propuestas por Marzano son:

PAUSA DE TRES MINUTOS

1. Detener la clase cada 10 ó 15 minutos después de que los alumnos leen, escuchan o vivencian la información.

En 3 minutos

2. Resumir lo que los alumnos acaban de leer y/o escuchar.

3. Identificar aquello que les resultó más interesante.

4. Identificar aquellos aspectos que están más confusos y tratar de aclararlos.

Justificación Estrategia

• Trabaja con un tiempo adecuado, es decir, aprovechando la curva motivacional propia de la Atención.

• Organiza la información, resumiendo “lo vivenciado” y procesando nuevamente la información.

• Facilita el movimiento físico: estaticidad-psicomotricidad.

• Aclara los aspectos confusos que entorpecen el “andamiaje” de nuevas estructuras cognitivas.

• Tres minutos condicionan un trabajo concentrado.

• Permite discutir –en plenario– lo interesante y lo confuso, reconstruyendo una “nueva plataforma” desde donde construir 15 minutos de un contenido.

TÉCNICAS DE ENSEÑANZA RECÍPROCA

La enseñanza recíproca, una estrategia didáctica desarrollada por Annemarie Palincsar y Ann Brown, se usa funda-mentalmente en los casos de adquisición de información mediante la lectura (ver A. Palincsar y A. Brown, “Reciprocal Teaching of Comprehension Fostering and Comprehensión Monitoring Activities”, Cognition and Instruction 1, 1984; 117 – 175). Es una técnica que obliga tanto al maestro como al alumno al uso del conocimiento de nivel superior. A continuación se presenta una adaptación de la estrategia de enseñanza recíproca:

a. Síntesis. Después que los estudiantes han leído un pequeño párrafo en voz alta o en silencio, uno de ellos toma el papel de maestro –un estudiante líder– y sintetiza lo que acaba de leer. Otros alumnos, con orientación del maestro, pueden agregar algunas ideas a la síntesis anterior. Si los estudiantes tienen difi-cultad para resumir, el maestro puede proporcionar algunas claves (ej.: Lista de términos importantes, frases que obviamente están relacionadas con el tema) para ayudar a la construcción de un buen resumen.

b. Preguntas. Otro estudiante líder formula entonces algunas preguntas y la clase las contesta. Él diseño de las preguntas está orientado a ayudar a los alumnos a identificar información importante del párrafo. Por ejemplo, el alumno debe revisar el resumen y hacer preguntas sobre partes específicas de la información. Los otros estudiantes tratan de responder a las preguntas basándose en la información recopilada.

c. Clarificación. El estudiante trata ahora de esclarecer los puntos confusos del párrafo. Él podría seña-larlos o pedir a un compañero que lo haga. Por ejemplo, el estudiante líder podría decir: “La parte que dice que el perro subió corriendo al automóvil me resultó confusa. ¿Puede alguien explicarla?” o puede pedir a sus compañeros que pregunten acerca de las dudas que tienen. El grupo trata entonces de esclarecer las partes confusas. Esto puede abarcar una relectura del párrafo.

d. Predicción. El estudiante líder solicita ahora que predigan lo que se va a decir en el párrafo siguiente. El líder puede escribir las predicciones en el pizarrón o en el datashow o todos los alumnos pueden escribirlas en sus cuadernos. A continuación, las leen en silencio o en voz alta y el maestro selecciona un nuevo líder quien resume lo que acaban de leer usando las preguntas de la predicción como una ayuda. El estudiante que está guiando la actividad formula preguntas acerca de la lectura y genera clarificaciones y predicciones.

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Cuarta fase

Síntesis del conocimiento

La idea en esta fase de la enseñanza es ayudar al alumno a organizar el conocimiento que ha adquirido en la sesión, a través de la elaboración de algún tipo de organizador gráfico, mapa conceptual, diagrama o esquema. En el caso del material que ponemos a su disposición, en muchos casos se ofrece algún tipo de síntesis, que podrá servir como base al trabajo posterior del estudiante.

Quinta fase

Actividades de profundización y transferencia

Finalmente, se proponen algunas instancias de profundización de los principales conceptos que se han trabajado en el módulo, procurando que éstos impliquen aplicar el conocimiento y no sólo reproducirlo. En muchos casos, se retoman ejercicios indicados al comienzo de la ficha, para tomar conciencia de cómo los conocimientos previos se han visto modificados a partir de la experiencia de aprendizaje.

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Comentarios a las fichas de Aprendizajes Verbales

FICHA: NÚMEROS RACIONALES

Caracterización de los números Racionales. Ampliación del conjunto de los números racionales. Recta numérica. Neutro aditivo e inverso.

Indicación: Se hace referencia introductoria al conjunto de los números racionales. Se relaciona este conjunto Q con el conjunto de los números enteros y se hace énfasis en el objetivo de la guía. Como profesor hacer comentarios alu-sivos a los números racionales a través de ejemplos que motiven al estudiante a desarrollar las actividades venideras

En la primera actividad se muestra la imagen de una bandeja con quesos particionada. La idea es que a través de la imagen el estudiante interprete la sentencia “falta 1/8 de queso en la bandeja”. Se puede guiar al estudiante y se pueden elaborar otros ejemplos similares. Lo importante es dejar en claro que falta 1/8 de queso y no adentrarse aun en los conceptos de números decimales que serán vistos más adelante.

En la imagen se notan los precios de los distintos tipos de frutas y se hace este alcance para relacionar estos números con el conjunto de números racionales (Los enteros también pertenecen al conjunto y se puede dejar en claro eso). En un segundo plano esta la sentencia “El cuarto de manzanas está a 250”. Entonces como profesor hacer la interpre-tación respectiva dejando a los estudiantes la respuesta de ¿cuánto costará el kilo de manzanas? Por medio de este ejemplo se pueden dar otros a través de respuestas grupales o a nivel individual.

Con el ejemplo de la botella de Coca Cola se espera que el estudiante relacione aún más aspectos cotidianos de la vida con la utilización de las matemáticas. El caso de la bebida es asociado a volumen, pero en este caso se espera re-presentar un número entero con fracciones. Dar otros ejemplos que lo hagan relacionar este número con el conjunto de los racionales. Hacer la pregunta ¿qué significa particionar un litro de bebida? Dejar que los alumnos entreguen sus respuestas y retroalimentar

La red conceptual se entrega como un resumen hacia los posteriores contenidos que vendrán a continuación. Los números racionales en este caso se componen de 4 subtemas (Uso e interpretación, positivos y negativos, recta numérica, números decimales). Se hacen estos alcances para dar pie al comentario que es un conjunto que es más completo que el conjunto de los números enteros. Se hace referencia que podemos encontrar dentro de los nú-meros decimales a los números racionales exactos, periódicos, etc. Se hace mención a eso como introducción a los conceptos que serán definidos a continuación

A lo largo del tratamiento de los contenidos se recomienda dar pie a los estudiantes para que ellos también planteen ejemplos en la medida de que vayan internalizando los números racionales como parte de un todo. Que se haga la distinción que los números enteros también forman parte de un número racional. Hacer la pregunta si ¿pueden dar casos de ejemplos de algún racional con números negativos? Dejar en ellos la experimentación de esa inquietud, puede ser a nivel individual o a nivel grupal

A través de las actividades se pretende que el alumno aplique los contenidos enseñados y los ponga en práctica. En un inicio se ponen ejemplos sencillos de números racionales en el sentido cotidiano y lo importante es que el estudiante extraiga el número. En la segunda actividad se le pide al alumno que contenga la información y la interprete en la recta numérica. Poner atención si el alumno hace o no la transformación respectiva en el caso de los números periódicos. En caso de presentar problemas hacer los alcances a nivel grupal. Si aún persisten, hacer alcances individuales.

En la tercera actividad se pide que relacionen los contenidos aprendidos con las imágenes a las que se enfrentaron antes. En un primer caso poner atención al sentido de pedir el inverso en los ejemplos. Es sabido que la interpretación de un racional negativo en el caso de los quesos no es bien llevado, pero el alumno debe llegar al sentido de que en algunos casos podemos ocuparlos y en otros casos no. Guiar como profesor a ese criterio es de suma importancia

Lo mismo en segundo y tercer caso. Poner atención en las respuestas de los estudiantes y dirigir la retroalimentación final

Guía Función lineal y afín

Caracterización de la función lineal y afín. Representación algebraica, gráfica y tablas. Relación con la proporcionali-dad directa

Al comenzar la ficha, se hace una referencia a nivel introductorio del concepto de función. Luego se hace una general de los conceptos a estudiar. Otorgar al estudiante la interrogante ¿dónde observamos estos fenómenos en la vida cotidiana?

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En la primera actividad poner atención en el sentido creciente de la función. Hacer preguntas en torno a las interpre-taciones y a través de ellas (a nivel grupal) establecer algunos conceptos para los contenidos venideros.

En la red conceptual se hace un resumen de los contenidos estudiados a modo general. Se distribuyen los conteni-dos en dos grandes ejes. La función afín y la función lineal. Notar que aún no se establecen los criterios de cada cual, solo se hace un alcance en términos de la función lineal relacionándola con el contenido proporción directa. Esto puede ayudar a los estudiantes a interpretar de mejor forma los gráficos presentados en un inicio. Hacer la inquietud a los alumnos.

En la sección de profundización se pretende que el alumno incorpore los conceptos estudiados con anterioridad y que logre desarrollar los gráficos y responder a los problemas planteados. Solo se hace el grafico de acuerdo a la información entregada (grafico intuitivo). Responder las consultas en caso de dudas. Dar tiempo a la elaboración de cada gráfico y el desarrollo de las preguntas. Se pone como objetivo el desarrollo propio como internalización del contenido. Hacer referencias grupales y establecer (dado un tiempo) los gráficos y las respuestas.

FICHA: GEOMETRÍA DE PROPORCIÓN

En la primera parte se entrega información acerca de lo que es un triángulo en forma general. Se hace referencia al objetivo de la guía y se otorgan alcances en torno a las actividades. La idea es distribuir la guía en unidades. La prime-ra está enfocada al análisis de elementos básicos de los triángulos. Se le pide al alumno que conteste de acuerdo a lo que se le pide. Se puede atender las consultas a modo general y particular. En esta parte es de suma importancia dejar como interrogante el criterio básico para la construcción de un triángulo, de modo que el estudiante se enfren-te a la duda o imposibilidad en su elaboración. Es el primer acercamiento hacia el teorema general de los triángulos

Se entrega la primera red conceptual subdividiendo Geometría de Proporción en 4 subtemas. Hacer breves referen-cias y ejemplos y pasar a las preguntas relacionadas con el esquema entregado. Ver si los alumnos intuyen algunas propiedades en torno a los enseñado. Preguntar si algo de eso han visto hasta ahora; retroalimentamos de esta manera el conocimiento entregado.

Comienza la parte definiciones. Se hacen hincapié en las propiedades fundamentales de triángulos, Congruencia, Equivalencia y Semejanza. Leer de manera pausada y preguntar a los estudiantes si han contestado acorde a las propiedades que no conocen o si acaso han presentado algunas equivocaciones. Comparar resultados de acuerdo a lo visto.

FICHA: ESTADÍSTICA

A modo de actividad introductoria, se pide a los alumnos la interpretación de los datos que aparecen en el gráfico. En la primera imagen se le pide a los alumnos de acuerdo a los datos entregados que relacionen la información con el término “muestra” (noción breve e introductoria de la estadística). En la segunda imagen se pide que a través del juego de dados relacionar los objetos con el término Probabilidad. (se pueden hacer mención a algunas preguntas en caso que los estudiantes no lo comprendan, como por ej.: ¿cuál sería la probabilidad de obtener un 7 si estoy jugando a los dados? . En la tercera imagen se hace relación a los juegos de azar y la probabilidad. La idea es que el estudiante vaya captando estos conceptos como inicio para dar la posterior definición.

La red conceptual se estructura en base a dos ejes principales y que en esta guía se trabajan por separado. Uno es el eje Probabilidad y el otro eje Estadística. Se puede hacer mención que estos términos pueden estar mezclados pero en este caso para dar un mayor entendimiento a los problemas posteriores se puede hacer esta segmentación. Bajo probabilidad se da Frecuencia relativa como una manera que el alumno vaya notando que cuando ejerce un ejercicio o problema matemático hay un hecho repetitivo o una secuencia que conlleva la probabilidad en sí. Bajo el eje estadística se encuentra el análisis de datos y la representatividad de una muestra, pues el análisis de los ejercicios están enfocados a ello.

Finalmente, se le pide al alumno que ahora con los conceptos y términos adquiridos los ocupe en relación a las imágenes que se le mostraron en un inicio. Compruebe sus respuestas y pida retroalimentación de ellas para otorgar validación a las respuestas. Puede ser visto como una actividad individual o grupal.

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¿Cuánto saben nuestros alumnos?