Módulo de Matematica Financiera

MATEMÁTICAS

FINANCIERASMÓDULO

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS,

ECONÓMICAS Y CONTABLES

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA LUIS AMIGÓ

JENNY MOSCOSO ESCOBAR

FERNANDO JARAMILLO BETANCUR

JAIME ANDRÉS CORREA GARCÍA

Especialización en Finanzas Fundación Universitaria Luís Amigó

MEDELLÍN, 2008

TABLA DE CONTENIDO

Introducción.............................................................................................................................................................4

Unidad 1: Introducción a las Matemáticas Financieras ...................................................................................... 6

1.1 El Valor del Dinero en el Tiempo –VDT ........................................................................................................ 6

1.2 El Concepto de Equivalencia .......................................................................................................................... 7

1.3 Graficación ..................................................................................................................................................... 9

1.4 Interés simple .................................................................................................................................................. 9

1.5 Interés compuesto .......................................................................................................................................... 12

1.6 Consideraciones Finales ............................................................................................................................... 16

1.7 Ejercicios Resueltos ...................................................................................................................................... 17

Unidad 2: Relaciones Básicas ............................................................................................................................... 19

2.1 Relación de Pago Único ................................................................................................................................ 19 2.1.1 Cálculo del Valor Futuro dado un Valor Presente ................................................................................. 20 2.1.2 Cálculo del Valor Presente dado un Valor Futuro ................................................................................. 22 2.1.3 Cálculo del Número de Periodos ........................................................................................................... 23 2.1.4 Cálculo de la Tasa de Interés ................................................................................................................. 24

2.2 Series ............................................................................................................................................................. 25 2.2.1 Series Uniformes ................................................................................................................................... 25 2.2.2 Cálculo del Valor Futuro dado una Serie Uniforme ............................................................................. 25 2.2.3 Cálculo del Valor Presente dado una Serie Uniforme .......................................................................... 28 2.2.4 Cálculo de la Serie Uniforme dado el Valor Futuro ............................................................................. 29 2.2.5 Cálculo de la Serie Uniforme dado el Valor Presente .......................................................................... 30

2.3 Gradientes ..................................................................................................................................................... 32 2.3.1 Gradiente Aritmético ............................................................................................................................. 33

2.3.1.1 Cálculo de un Valor Futuro dado un Gradiente Aritmético .......................................................... 34 2.3.1.2 Cálculo de una Serie Uniforme dado un Gradiente Aritmético ................................................... 35 2.3.1.3 Cálculo de un Valor Presente dado un Gradiente Aritmético ....................................................... 36

2.3.2 Gradiente Geométrico ........................................................................................................................... 37 2.3.2.1 Cálculo de un Valor Futuro dado un Gradiente Geométrico ........................................................ 37 2.3.2.2 Cálculo de un Valor Presente dado un Gradiente Geométrico ..................................................... 38 2.3.2.3 Cálculo de una Serie Uniforme dado un Gradiente Geométrico ................................................. 38

2.4 Consideraciones Finales ............................................................................................................................... 38

2.5 Ejercicios Resueltos ...................................................................................................................................... 39

Unidad 3: Interés Efectivo ................................................................................................................................... 41

Tasa de interés nominal ..................................................................................................................................... 41

Tasa de interés efectiva ...................................................................................................................................... 42

Módulo: Matemáticas Financieras II


Fórmulas para la conversión de tasa de interés nominal y efectiva .................................................................. 42 Para capitalizaciones vencidas ....................................................................................................................... 42 Para capitalizaciones anticipadas. .................................................................................................................. 45 Conversión de tasas de interés ....................................................................................................................... 48

Tasas compuestas ............................................................................................................................................... 50 Tasa equivalente de una tasa en moneda extranjera ...................................................................................... 50 Tasa de interés real ........................................................................................................................................ 51 Tasa de interés con UVR ............................................................................................................................... 52

Consideraciones Finales .................................................................................................................................... 53

Ejercicios Resueltos ........................................................................................................................................... 53

Unidad 4: Activos Financieros ............................................................................................................................. 56

Intermediarios y Mercados Financieros. ........................................................................................................... 56

La inversión a través de la Bolsa de Valores. ................................................................................................... 59 4.2.1 Suscripción Tradicional ......................................................................................................................... 60 4.2.2 Oferta Del Mayor Esfuerzo. ................................................................................................................. 62 4.2.3 Emisiones Con Registros Sucesivos ...................................................................................................... 62

4.2.3.1 Las Bolsas de Valores .................................................................................................................... 64

4.3 Algunos cálculos de rentabilidades .............................................................................................................. 65

Bibliografía............................................................................................................................................................87

ANEXO: Fórmulas de Matemática Financiera..................................................................................................88

Módulo: Matemáticas Financieras III

Introducción

Las matemáticas financieras se constituyen en un aporte esencial en la

formación en finanzas, ya que a partir de estas nociones preliminares se

desarrollan muchos conceptos que son utilizados en las finanzas corporativas y

en los mercados de capitales. También denominadas Ingeniería Económica, las

matemáticas financieras, posibilitan la comprensión de los aspectos básicos

para quienes incursionan en el mundo de los negocios y las decisiones

empresariales

El objetivo general del módulo es desarrollar en el estudiante capacidad de

análisis y decisión basados en los conceptos de matemática financiera con el

fin de que pueda resolver los problemas personales y empresariales en el tema

financiero. Por ello es necesario que el estudiante estudie cada unidad de

manera consecutiva y resuelva los problemas planteados en el texto para que

desarrolle la habilidad de interpretación y análisis en el momento de realizar

las actividades propuestas en la guía didáctica del curso.

Las matemáticas financieras son una aplicación específica de las matemáticas

tradicionales, buscan resolver múltiples problemas de asignación y

optimización de recursos, ayuda en el análisis de riesgos y a comprender el

problema intertemporal asociado al manejo del dinero; es por ello importante

que los estudiantes de la especialización en finanzas tengan muy claro la

aplicación y análisis de los resultados calculados por medio de las matemáticas

financieras, ya que son una herramienta necesaria para incursionar de manera

óptima en los cursos específicos de finanzas.

Este módulo inicia con los dos grandes pilares de las matemáticas financieras

que son el concepto de valor del dinero en el tiempo y de equivalencia; estos

conceptos simples se constituyen en un gran soporte para el análisis de

decisiones de consumo y de inversión. Adicionalmente, estos elementos


introductorios permiten asumir una posición de indiferencia entre poseer un

dinero en el día hoy (presente) o en el mañana (futuro). Se resalta del

contenido del primer capítulo que los principales temas desarrollados tienen un

origen eminentemente económico, los cuales han sido adoptados y

desarrollados ampliamente para ser materializados de manera puntual en los

negocios personales y empresariales. También se destaca la forma como son

introducidos y explicados los conceptos, pues tienen una construcción

progresiva, es decir, en principio se esbozan de manera intuitiva para

posteriormente llegar a planteamientos mucho más estructurados y

formalizados.

En el segundo capítulo se evidencia con mayor fuerza la formalización de los

temas desarrollados inicialmente, pues con el análisis de las relaciones de

pago único, la comprensión de las series y gradientes; se incursiona en el

análisis de problemáticas mucho más complejas y estructuradas. Con el

desarrollo de estas tres temáticas el estudiante tendrá una visión mucho más

formada para el análisis y solución de casos.

En cuanto a la tercera unidad se tiene como objetivo que el estudiante maneje

la conversión de las tasas de interés nominales y efectivas con el fin de realizar

los cálculos reales a los problemas financieros planteados en el módulo. Por

último, en la cuarta unidad se muestran los activos financieros más utilizados,

así como mecanismos de financiación y de inversión que pueden utilizar las

empresas a partir de su conocimiento.

Finalmente, el estudiante contará con un resumen con las principales fórmulas

utilizadas en matemáticas financieras y que fueron aplicadas en el presente

módulo.

Módulo: Matemáticas Financieras 5


Unidad 1: Introducción a las Matemáticas Financieras

OBJETIVO GENERAL

Comprender el concepto de equivalencia y valor del dinero en el tiempo como

elementos fundamentales en el análisis, determinación y aplicación del interés

simple y compuesto en escenarios aplicados de manera específica.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Comprender los conceptos de Valor del Dinero en el Tiempo – VDT- y

Equivalencia y, reconocer su importancia para las matemáticas financieras y

las finanzas en general.

• Lograr que el estudiante aprenda a graficar los flujos que representan los

problemas enunciados.

• Reconocer el origen del interés simple y del interés compuesto.

• Analizar comparativamente los efectos financieros de los negocios basados

en interés simple e interés compuesto.

1.1El Valor del Dinero en el Tiempo –VDT

Si se considera al dinero como un bien, éste va a sufrir los vaivenes y altibajos

a que todo artículo en un mercado está sometido. Así, el dinero posee

diferentes valores de acuerdo con el período de tiempo a que se refiera, lo que

se atribuye entre otros aspectos a la variable interés, inflación, devaluación

(revaluación) y a las decisiones de consumo. Es común escuchar la siguiente

expresión “No es lo mismo un millón de pesos hoy, que un millón de pesos

dentro de un año”, por tanto, cuando un usuario racional está aplazando su



consumo presente por un consumo futuro está renunciando a un beneficio que

debe ser compensado.

1.2El Concepto de Equivalencia

La equivalencia es un concepto de gran aplicación en el campo de la

microeconomía y busca establecer relaciones de indiferencia para los

individuos entre valores presentes y futuros. En consecuencia “se dice que

dos sumas son equivalentes, aunque no iguales, cuando a la persona le es

indiferente recibir una suma de dinero hoy (P) y recibir otra diferente (F) al

cabo de un período”1

El interés se constituye en la variable que permite dimensionar y estimar la

renuncia de consumo presente por consumo futuro, en otras palabras,

representa un enlace intertemporal entre valores monetarios presentes y

futuros. Este concepto de amplia utilización en el mundo empresarial,

financiero y del común recibe múltiples acepciones. Al respecto Álvarez

Arango2 presenta las siguientes:

• Valor del dinero en el tiempo.

• Valor recibido o entregado por el uso del dinero a través del tiempo.

• Utilidad o ganancia que genera un capital.

• Precio que se paga por el uso del dinero que se tiene en préstamo durante un

período determinado.

• Rendimientos de una inversión.

En síntesis, el interés puede ser visto como un ingreso o como un costo,

dependiendo del enfoque con el cual se evalúe.

1 VÉLEZ PAREJA, Ignacio. Decisiones de inversión: enfocado a la valoración de empresas. 2 ÁLVAREZ ARANGO, Alberto. Matemáticas Financieras. Segunda edición, editorial Mc Graw Hill. Bogotá, 1999.



Para deducir fácilmente si en un negocio existieron intereses (financieros) de

por medio, observemos el siguiente ejemplo sencillo.

Ejemplo 1.1. Suponga que Eliana Jaramillo presta hoy $10.000 a Andrés

García a un plazo de 4 meses, al cabo de los cuales éste devolverá $11.000.

¿Cuál es el interés implícito en el negocio?

Solución

En primera instancia vamos a extraer las variables relevantes del enunciado.

Valor Presente= 10.000 Denotado por P

Valor Futuro = 11.000 Denotado por F

Plazo = 4 Denotado por n

Retomando el concepto VDT podemos observar los elementos que evidencian

el valor del dinero, pues Eliana recibió un valor superior al entregado

inicialmente. Esta diferencia representa el interés ganado por Eliana en el

negocio (ingreso) y el interés pagado por Andrés (costo).

Interés = Valor Futuro – Valor Presente

000.1$000.10$000.11$ =⇒−=−=

II

PFI

De esta manera se tiene una aproximación al concepto de interés. En este

caso se obtuvo en valores absolutos (pesos), pero para saber cuánto

representa de una manera sencilla en términos porcentuales tenemos que:

mesesenGanadoii

PIi

4%10000.10$000.1$

/

=⇒=

=



1.3Graficación

En el análisis de problemas financieros es vital su representación gráfica, ya

que de esta manera se logra una mayor comprensión de la situación y permite

la distinción de los elementos fundamentales para la solución del caso, los

cuales son: flujos positivos, flujos negativos, horizonte de tiempo y tasa de

interés.

Las gráficas financieras o flujos son fundamentales en la solución de los

ejercicios de matemáticas financieras. Los gráficos consisten básicamente de

dos elementos: 1) Una línea horizontal que representa el lapso total de análisis

y se divide en segmentos que representan cada uno de los períodos

constitutivos y 2) Flechas hacia abajo que representan flujos negativos (salidas

de dinero) y flechas hacia arriba que representan flujos positivos (entradas de

dinero).

El Ejemplo 1 de Eliana Jaramillo se puede graficar de la siguiente manera.

Gráfica 1

1.4Interés simple

Es el valor que se paga (o recibe) por un monto de dinero llamado principal o

capital. El interés simple es el resultado de multiplicar el valor del principal por

la tasa periódica de interés, por el número de períodos. El monto sobre el cual

se calculan los intereses no sufre modificaciones durante el período en que se

recibe el beneficio del interés.

Módulo: Matemáticas Financieras

i =10%

P = $10.000

F = $11.000

i =10%

P = $10.000

F = $11.000

9


Expresión del interés simple

Ejemplo 1.2. Bibiana Meneses le presta a un amigo $10.000 a un interés del

2.5% mensual a un plazo de 4 meses. ¿Al cabo de los 4 meses cuánto es el

interés ganado por Bibiana?

Solución

P = 10.000

i = 2.5% I = $10.000 x 2.5% x 4

n = 4 I = $1.000

Al cabo de los cuatro meses Bibiana habrá ganado $1.000.

Nótese que se trata de un caso igual al Ejemplo 1, pero aplicando la expresión

matemática para el interés simple. La solución a este problema se puede

presentar mediante la siguiente tabla:

Tabla 1

Período

Principal

Interés

Saldo acumulado

0 10.000 0 10.0001 250 10.2502 250 10.5003 250 10.7504 250 11.000

Total 1.000

La gráfica para el caso de Bibiana es como sigue:

Gráfica 2


niPI ∗∗=

Donde P = Principal (Monto)i = Tasa de interés periódica (%)n = Número de períodos (plazo)

01 2 3

$10.000

$250$250$250

4

$10.250

01 2 3

$10.000

$250$250$250

4

$10.250

10


Al analizar situaciones en las cuales se plantean la condición del interés simple,

también es pertinente conocer cuál será el valor futuro (F) que se recibirá.

Este valor futuro (F) será igual al principal o valor presente (P) más los

intereses ganados (I), de tal manera que podemos plantear la siguiente

ecuación:

F = P + I; retomando la expresión del interés simple niPI ∗∗= , tenemos

que:

)( niPPF ∗∗+= , entonces agrupando términos se tiene que:

[ ])(1 inPF ∗+=

Es claro que de la expresión anterior se puede despejar cualquiera de las

variables requeridas, de tal manera que se satisfaga la igualdad.

Ejemplo 1.3. Leidy García toma un préstamo por $30.000 durante 8 meses a

una tasa mensual del 1.5%. ¿Cuánto deberá pagar al final de los 8 meses?

Solución

P = 30.000

i = 1.5% (0.015)

n = 8

F = ?

Aplicando la fórmula anterior, tenemos que:

En consecuencia Leidy deberá pagar $33.600 al terminar los 8 meses.


F = 30.000 [1 + (0.015 x 8)] F = 33.600

11


1.5Interés compuesto

El interés compuesto es el que se paga (o recibe) por un monto de dinero

llamado principal y por los intereses que se van obteniendo y que no se retiran,

durante los períodos siguientes. Cuando se aplica el interés compuesto surge

un concepto importante en la matemática financiera y en general en las

finanzas: la capitalización.

En términos simples, se puede explicar la capitalización como el hecho de que

los intereses ganan más intereses, lo que implica que los intereses ganados y

no retirados en los períodos intermedios son adicionados al capital inicial, con

lo cual éste se va incrementando. Esto quiere decir que la base para el cálculo

del interés es cada vez mayor.

Finalmente, es necesario aclarar que cuando se trata de interés compuesto se

requiere especificar la periodicidad de las capitalizaciones, ya que éstas

pueden ser diarias, bimensuales, mensuales, bimestrales, trimestrales,

semestrales, anuales, etc.

“A mayor número de capitalizaciones, mayor será el interés final obtenido”

Ejemplo 1.4. Sandra Palacio deposita por un año $10.000 en una cuenta que

paga el 4.5% trimestral. Teniendo en cuenta que Sandra no hace retiros

parciales de intereses, ¿Cuál es valor que recibirá al final del año?

Solución

P = 10.000

i = 4.5% trimestral

n = 1 año (4 trimestres)

F1: Valor al final del primer trimestre.

F1 = P (1 + i)

F1 = 10.000 (1 + 0.045) F1 = 10.450



El interés obtenido en el primer trimestre es:

I = F1 - P I = 10450 – 10.0000 I1 = 450

F2: Valor al final del segundo trimestre.

El nuevo saldo en este caso se calculan sobre el nuevo capital F1.

F2 = F1 (1 + i)

F2 = 10.450 (1 + 0.045) F2 = 10.920,25

Los inereses obtenido en el segundo trimestre es:

I = F2 - F1 I = 10.920,25 - 10450 I2 = 470,25, que

equivale a

I = (10.000 x 4.5%) + (450 x 4.5%) I2 = 450 + 20,25

Como podemos observar, el capital inicial ganó en el segundo trimestre $450 y

que los intereses que había al final del primer trimestre (no retirados) ganaron

$20,25.

F3: Valor al final del tercer trimestre.

El saldo en este caso se calcula sobre el nuevo capital F2.

F3 = F2 (1 + i)

F3 = 10.920,25 (1 + 0.045) F3 = 11.411,66

Los intereses obtenidos en el tercer trimestre es:

I = F3 - F2 I = 11.411, 66 - 10.920,25 I3 = 491,41,

que equivale a

I = (10.000 x 4.5%) + (920,25 x 4.5%) I3 = 450 + 41,41

Según esto, el capital inicial ganó en el tercer trimestre $450 y que los

intereses que había al final del segundo trimestre (no retirados) ganaron

$41,41.



F4: Valor al final del cuarto trimestre (al final del año).

El saldo en este caso se calculan sobre el nuevo capital F3.

F4 = F3 (1 + i)

F4 = 11.411,66 (1 + 0.045) F4 = 11.925,19

Los intereses obtenidos en el cuarto trimestre es:

I = F4 - F3 I = 11925,19 - 11.411, 66 I4 = 513,53, que

equivale a

I = (10.000 x 4.5%) + (1411,66 x 4.5%) I4 = 450 + 63,53

Lo anterior quiere decir que el capital inicial ganó en el cuarto trimestre $450 y

que los intereses que había al final del tercer trimestre (no retirados) ganaron

$63,53.

Obsérvese que el ejemplo anterior consistió en desarrollar la siguiente

expresión:

F = P (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) F = P (1 + i)4

Generalizando la expresión anterior se tiene que:

niPF )1( +=

La solución a este problema se presenta mediante la siguiente tabla:

Tabla 2

Período

Principal

Interés

Saldo acumulado

0 10.000 0 10.0001 450 10.4502 470,25 10.920,253 491,41 11.411,664 513,53 11.925,19

Total 1925,



19

El ejemplo 1.4 se presenta comparativamente con interés simple y compuesto

para que el lector note el efecto de la capitalización.

Tabla 3

Período

Principal

Interés

simple

Interés compuest

o

Saldo acumulado

simple

Saldo acumulado compuesto

0 10.000 0 10.000 10.0001 450 450 10.450 10.4502 450 470,25 10.900 10.920,253 450 491,41 11.350 11.411,664 450 513,53 11.800 11.925,19

Total 1.800 1925,19

Del anterior cuadro comparativo se pueden obtener las siguientes

conclusiones:

a. El efecto de la capitalización de los intereses está representado en un

mayor interés bajo la modalidad compuesta que de manera simple. En este

caso, el efecto de la capitalización lo constituyen $125,19.

b. Nótese que al finalizar el primer período los intereses y los saldos

acumulados son iguales, esto quiere decir que cuando se trata de un solo

período no hay diferencias entre el interés simple y el interés compuesto.

c. El lector puede verificar la afirmación en el sentido de que a mayor número

de capitalizaciones, mayor será el interés obtenido. Realice paso a paso el

anterior ejemplo suponiendo que las capitalizaciones son mensuales y lo

podrá comprobar. (Respuesta F12 = 11.931,81)



La expresión sobre valor futuro presentada nos permite, despejar cualquiera de

las otras variables. Por ahora mostraremos cómo sería la expresión para el

valor presente.

nn

i

FPiPF

)1()1(

+=⇒+=

Ejemplo 1.5. Milena Álvarez recibirá en 5 años una suma de $50.000. Si se

tiene en cuenta una tasa de interés de referencia del 12% anual, ¿Cuál es el

valor presente del dinero que recibirá Milena?

Solución

F = 50.000

i = 12%

n = 5

P = ?

El valor presente del dinero que recibirá Milena es de 28.371,34. Aplicando el

concepto de equivalencia descrito al inicio del capítulo se puede decir que con

las condiciones establecidas para Milena es equivalente o indiferente recibir

esta suma hoy o $50.000 al cabo de 5 años.

1.6Consideraciones Finales

• El Valor del Dinero en el Tiempo y el concepto de Equivalencia están

soportados en fundamentos económicos que aportan a la formulación de

planteamientos financieros, lo que resalta el carácter multidisciplinar

implícito en las finanzas.


P = 50.000 P = 28.371,34 (1 + 0.12)5

16


• El análisis del interés en los negocios es vital antes de incursionar en el

estudio detallado de fenómenos financieros mucho más complejos que se

presentan en las relaciones formales e informales de los agentes del

mercado.

• El interés compuesto es de mayor aplicación en negocios formales y su

justificación se encuentra en el mayor rendimiento que genera a los

prestamistas, lo que a su vez implica un mayor costo para los prestatarios.

1.7Ejercicios Resueltos

1. Rosita Muñoz toma un préstamo con el Banco Amigable por valor de

$50.000 a una tasa del 2% mensual a un plazo de 5 meses. Responda las

siguientes preguntas:

a. Cuánto son los intereses con interés compuesto que pagará Rosita.

b. Cuánto son los intereses sin interés simple que pagará Rosita.

c. A cuánto asciende el efecto de la capitalización de los intereses.

Para responder a estas preguntas elaboramos la siguiente tabla de resumen:

PeríodoPrincipa

lInterés simple

Interés compuesto

0 50.000

1 1.000 1.000,00

2 1.000 1.020,00

3 1.000 1.040,40

4 1.000 1.061,21

5 1.000 1.082,43Total 5.000 5.204,04

Solución

a. $5.000

b. $5.204,04



c. 204,04 (5.204,04 – 5.000)

2. Carlos Pérez deposita hoy en el Banco Amigable sus ahorros que suman

$350.000, si el banco le paga un interés del 15% anual y Carlos sólo retira

el dinero al cabo de 4 años, ¿Cuál es el valor que recibirá?

Solución

P = 350.000

i = 15% anual

n = 4

F = ?

Desarrollando la fórmula de valor futuro se tiene que F= $612.152,19.

3. Mónica Rincón desea saber cuánto debe depositar en una cuenta hoy que

paga el 16% anual, si al cabo de 8 años ella desea retirar la suma de

$50.000.000.

F = 50.000.000

i = 16% anual

n = 8

P = ?

Desarrollando la fórmula de valor presente se tiene que P= $15.251.272,84.



Unidad 2: Relaciones Básicas

OBJETIVO GENERAL

Deducir e identificar todas las relaciones posibles encontradas en la matemática

financiera, con el fin de realizar las aplicaciones respectivas mediante ejercicios

enfocadas al campo financiero.


• Deducir e identificar las relaciones de pago único.

• Deducir e identificar las relaciones para la serie uniforme.

• Deducir e identificar las relaciones para las series gradiente aritmético y geométrico.

• Interpretación gráfica de la relación requerida.

2.1Relación de Pago Único

La relación de pago único se debe a que dadas unas variables en el tiempo,

específicamente interés (i) y número de periodos (n), una persona recibe capital

una sola vez, realizando un solo pago durante el periodo determinado

posteriormente.

Para hallar estas relaciones únicas, sólo se toman los parámetros de valores

presentes y futuros, cuyos valores se descuentan en el tiempo mediante la tasa

de interés. A continuación se presentan los significados de los símbolos a utilizar

en las fórmulas financieras de pagos únicos3,

P: Valor presente en pesos de algo que se recibe o que se paga en el momento

cero.

3JARAMILLO B Fernando. Matemática Financiera y su uso para las Decisiones en un Entorno Internacional. Editorial Universidad de Antioquia. Medellín. Colombia. 2006



F: Valor futuro en pesos de algo que se recibirá o se pagará al final del periodo

evaluado.

n: Número de períodos (meses, trimestres, años, entre otros) transcurridos entre

lo que se recibe y lo que se paga, o lo contrario; es decir, período de tiempo

necesario para realizar una transacción. Es de anotar, que n se puede o no

presentar en forma continua según la situación que se evaluando.

i : Tasa de interés reconocida por período, ya sea sobre la inversión o la

financiación obtenida; el interés que se considera en las relaciones de pago único

y anualidades es compuesto.

2.1.1 Cálculo del Valor Futuro dado un Valor Presente

Para el cálculo del valor futuro dado un presente, es necesario conocer 3

variables: Valor presente (P), interés (i) y número de periodos (n), con el

fin de deducir la cuarta variable, que en este caso sería el valor futuro

(F). Es decir, en la matemática financiera, para la mayoría de los casos,

es válido aseverar que conocidas los datos de tres variables podemos

determinar el valor de la cuarta. A continuación se representa el modo

gráfico para una mejor comprensión del concepto:

Gráfico 1

Se puede concluir que con el depósito hecho en el momento presente, a

medida que se va liquidando el interés se originan nuevos saldos,


0

1 2 3 4n

i = tasa de interés por periodo

P = valor presente (se conoce)

F = valor futuro (se calcula)

0

1 2 3 4n


P = valor presente (se conoce)


20


gracias a la utilización del interés compuesto en la fórmula

(capitalización de los intereses), la cual es:

niPF )1( +=

Donde, la expresión matemática ni)1( + es el factor de la cantidad

compuesta de pago único, el cual agrega valor a la cantidad P a lo largo

del periodo, como se observa en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2.1: Suponga que solicita hoy un préstamo de $500, los cuales deben

ser pagados en un periodo de 4 años, a una tasa de interés del 10% con

capitalización anual. ¿Cuánto pagará al final del periodo cuatro?

Solución

Año Pago total alfinal del año 4

1 P $ 500 iP $ 50 iP $ 550 02 $ 550 $ 55 $ 605 03 $ 605 $ 61 $ 666 04 $ 666 $ 67 $ 732 $ 732

Saldo a principio de cada año

Interés acumulado cada año

Saldo a final de cada año

3)1( iiP +

2)1( iiP +

)1( iiP +)1( iP +2)1( iP +3)1( iP +

)1( iiP +2)1( iiP +3)1( iiP +

Al final del año cuatro, el valor a pagar será de $732.

Adicionalmente, existe una expresión simbólica que representa este

factor, el cual se denota (F/P; i%, n) y cuya lectura es: “Encontrar un

valor futuro (F), dado un valor presente (P), una tasa de interés (i) y los

períodos (n)". Bajo esta connotación la fórmula de valor futuro dado un

valor presente se puede escribir simbólicamente de la siguiente manera:

)%,,/( niPFPF =

Si el ejemplo anterior se realiza directamente mediante la fórmula se plantea de

la siguiente manera:

732$

)4641.1(500$

)4%,10,/(500$

−===

F

F

PFF



2.1.2 Cálculo del Valor Presente dado un Valor Futuro

La relación que vamos a detallar es inversa a la anterior, por lo tanto, las

variables conocidas son el valor futuro (F), la tasa de interés (i) y el número de

periodos (n) y la variable a encontrar es el valor presente (P). Con el fin de tener

una mejor visión del concepto, se presenta a continuación el modo gráfico de la

relación:

Gráfico 2

La fórmula matemática de esta relación se denota de la siguiente manera:

nn

iFi

FP −+=

+= )1(

1

1

En donde, la expresión ni −+ )1( es el factor de valor presente de un pago

único el cual desagrega valor a la cantidad F a lo largo del periodo para

hallar el valor presente, para mayor ilustración realizar el siguiente

ejemplo:

Ejemplo 2.2: Suponga que al final del periodo 3 se deben pagar $1.200, la

persona sabe que la tasa de interés que le asignaron fue del 8% anual, por tanto

es necesario saber ¿Cuál es el monto a desembolsar la entidad financiera en el

momento para que la persona pueda pagar en el futuro el valor conciliado?

Solución


0

1 2 3 4n


P = valor presente (se calcula)

F = valor futuro (se conoce)

0

1 2 3 4n


P = valor presente (se calcula)

F = valor futuro (se conoce)

22


Año Saldo a principio de cada año

Interés acumulado cada año

Saldo a final de cada año

Pago totalal final delaño 4

1 $ 877 $ 76 $ 953 $ 9532 $ 1.030 $ 81 $ 1.111 03 $ 1.114 $ 86 $ 1.200 0

La expresión simbólica que representa este factor es

)%,,/( niFPFP = y su lectura es: “Encontrar un valor presente (P),

dado un valor futuro (F), una tasa de interés (i) y los períodos (n)".

Si el ejemplo anterior se realiza directamente mediante la fórmula se plantea de

la siguiente manera:

953$

)7938.0(200.1$

)3%,8,/(200.1$

=−=−=

P

P

FPP

2.1.3 Cálculo del Número de Periodos

Con la relación de los pagos únicos, se puede determinar cuál es el número de

periodos necesarios en el momento que no haya ese dato pero se debe tener las

variables de valor presente, valor futuro y la tasa de interés. La fórmula para

hallarlo, se extrae de la ecuación niPF )1( += , en donde para despejar n se

aplican logaritmos, quedando la ecuación de la siguiente manera:

)1ln(

lnln

i

PFn

+−=

Ejemplo 2.3: Felipe Sánchez le desembolsaron un préstamo de $52.000.000, el

cual debe pagar a una tasa de interés del 1.8% mensual y que al final del periodo

debe pagar $85.000.000, calcular ¿cuál es el periodo de tiempo requerido para

realizar la transacción descrita?

Solución



Teniendo los datos de F= $-85.000.000, P=$52.000.000 y una i=1.8% mensual,

se aplica la ecuación:

mesesn

n

52.27

)018.01ln(

)52000000ln()000.000.85ln(

=+

−=

2.1.4 Cálculo de la Tasa de Interés

Para hallar la tasa de interés bajo la cual se realizó una transacción, partiendo de

la ecuación: niPF )1( += y, utilizando una relación matemática que dice4:

1)(1)(

,tan

)1()1(

,)1(,

/1/1

/1

−=⇒+=

=→+=→=→+=+=

=⇔=

nn

n

n

cc

PFiiP

F

toPor

nciBFAiF

despejaseiPFecuaciónlaparaentonces

BABA

Ejemplo 2.4: A Lina Hoyos le otorgaron un préstamo por valor de $30.000.000

para comprar un vehículo, el cual debe pagar en 4 años y se conoce que al final

del periodo debe pagar $42.000.000, calcular ¿cuál es la tasa de interés

requerida para realizar la transacción descrita?

Solución

Teniendo los datos de F= $-42.000.000, P=$30.000.000 y una n=4 años, se

aplica la ecuación:

anuali

i

%78.8

1)000.000.30000.000.42( 4/1

=

−=

4JARAMILLO B. Fernando. Matemática Financiera y su uso para las Decisiones en un Entorno Internacional. Editorial Universidad de Antioquia. Medellín. Colombia. 2006



2.2Series

2.2.1 Series Uniformes

Conocidas las relaciones de pago único en el presente y futuro, se introduce en

este apartado el concepto de serie uniforme que se denota con la letra A. Esta

función acoge también del valor del dinero en el tiempo y hace referencia a una

serie de flujos de efectivo que tienen las siguientes consideraciones5:

• Los flujos deben ser uniformes o iguales en cuanto al

desembolso/reembolso, es decir, todos los valores deben de ser iguales.

• Los periodos de desembolso/reembolso deben de ser iguales (ej, mensual,

trimestral, anual, entre otros).

• Todos los flujos deben de ser del mismo tipo: desembolso o reembolso.

Estas series uniformes se pueden calcular de manera anticipada o vencida, en

donde la diferencia radica en cuándo se desembolsa/reembolsa el flujo de

efectivo; es decir, la serie uniforme es vencida si el desembolso/reembolso se da

al final del periodo y anticipada cuando es al principio del periodo.

Adicionalmente, la serie uniforme (A) permite establecer relaciones entre el valor

futuro y el valor presente.

2.2.2 Cálculo del Valor Futuro dado una Serie Uniforme

Para el cálculo del valor futuro relacionada con la serie uniforme, es necesario

tener tres variables conocidas (serie uniforme (A); la tasa de interés (i) y el

números de periodos (n)) con el fin de encontrar el valor futuro, ya que se maneja

el mismo concepto de tener valores equivalentes entre la serie uniforme y el

valor futuro mediante el descuento de dinero en el tiempo por medio de la tasa

de interés.

5 OCHOA S. Guadalupe A. Administración Financiera. Primera Edición. McGraw-Hill. México 2003.



La expresión simbólica en este caso es )%,,/( niAFAF = , el cual se lee:

Encontrar un valor futuro F dado una serie uniforme A, con una tasa de interés i

% y periodos n.

Ahora, de acuerdo a las características que tiene una serie uniforme y sabiendo

que es necesario encontrar un valor futuro al final de n-periodos a una tasa de

interés determinado, a continuación se muestra la construcción de la fórmula6:

Paso 1: La relación de la serie uniforme con el valor futuro, se obtiene de sumar

los valores equivalentes futuros de cada uno de los flujos de efectivo:

[ ]0121 )1()1(...)1()1(

)0%,,/()1%,,/(...2%,,/()1%,,/(

iiiiAF

iPFAiPFAniPFAniPFAFnn ++++++++=

+++−+−=−−

Paso 2: Los términos entre corchetes constituyen una secuencia geométrica que

tiene una razón común (1+i)-1, por tanto la suma de los primeros n términos de

una secuencia geométrica es:

11

1 ≠−−

= bdondeenb

baaS n

n

Si a1 es el primer elemento de la secuencia, an es el último y b es la razón común,

entonces se tiene

+−

+−+

=

−

)1(

11

)1(

1)1( 1

i

ii

AF

n

Paso 3: Al simplificar queda la fórmula definitiva de )%,,/( niAFAF =

−+=i

iAF

n 1)1(

La representación gráfica de esta relación es la siguiente:

6 SULLIVAN, William; WICKS, Elin, LUXHOJ, James. Ingeniería Económica de DeGarmo. Duodécima Edición. Editorial Pearson. México 2004.



Gráfico 3

Para entender mejor el concepto, a continuación se presenta dos ejemplos con

sus respectivos gráficos que muestran una serie uniforme vencida y otra

anticipada.

Ejemplo 2.5: Maria Rico desea ahorrar $800 al final de cada trimestre a partir de

enero hasta diciembre del mismo año, sabiendo que el banco le paga una tasa de

interés del 1.5% trimestre sobre lo ahorrado.

Solución

72,272.3$

)09.4(800$

)4%,5.1,/(800$

=−=−=

F

F

APF

Gráfico 4

Ahora, tomemos los mismos datos, pero los desembolsos se realizan a principio

de periodo, teniendo en cuenta que al ser anticipado el cálculo del valor futuro


0 1 2 3 4 n


A = Serie Uniforme Vencida (se conoce)


0 1 2 3 4 n




1 2 3 4 n




01 2 3 4

i = 1.5% Trimestral

F = $ 3.272,72

-$800 -$800 -$800 -$8000

1 2 3 4

i = 1.5% Trimestral

F = $ 3.272,72

-$800 -$800 -$800 -$800

27


inicial quedaría en el periodo 3, por tanto es necesario tomar el valor F del

ejercicio y aplicar una relación única de pago F=P(F/P; i%, n) en donde el valor

real del futuro en el periodo 4 es el resultado F1.

81,321.3$

)015.1(72,272.3$

)1%,5.1,/(72,272.3$

72.272.3$,

,

72.272.3$

)09.4(800$

)4%,5.1,/(800$

1

1

1

1

=−=−=

==

=−=−=

F

F

PFF

PFdondeen

FcalculaseAhora

F

F

APF

Gráfico 5

2.2.3 Cálculo del Valor Presente dado una Serie Uniforme

El cálculo de esta relación se puede deducir a partir de la relación anterior, en

donde se tiene la fórmula

−+=i

iAF

n 1)1(, en donde niPF )1( += , si

reemplazamos la F de la primera fórmula, entonces:

+

−+=

−+=+

n

n

nn

ii

iAP

Pdespejase

i

iAiP

)1(

1)1(

,1)1(

)1(


0 1 2 34

i = 1.5% Trimestral

F1 = $ 3.321,81

-$800 -$800 -$800-$800

F= $ 3.272,72

0 1 2 34

i = 1.5% Trimestral

F1 = $ 3.321,81

-$800 -$800 -$800-$800

F= $ 3.272,72

28


Con lo anterior, se deduce que el factor del valor presente de una serie

uniforme es

+

−+n

n

ii

i

)1(

1)1(, en donde la expresión simbólica es (P/A, i%, n);

por tanto, la fórmula se puede escribir simbólicamente

)%,,/( niAFAP =

Ejemplo 2.6: consideremos que existe una cuota de $200 anuales y se genera durante 3 años, a una tasa de interés del 8.5% anual. Se desea conocer ¿cuánto debe desembolsar hoy para obtener esas cuotas?

Solución

8.510$

)55.2(200$

)3%,5.8,/(200$

−===

P

P

APP

Gráfico 6

2.2.4 Cálculo de

la Serie Uniforme dado el Valor Futuro

Con el fin de deducir la fórmula de la relación en cuestión, se toma como

referencia nuevamente lo siguiente

−+=i

iAF

n 1)1(, en donde al despejar A

se obtiene:

−+

=1)1( ni

iFA


01 2 3

i = 8.5% anualP= -$510.8

$200$200$200

01 2 3

i = 8.5% anualP= -$510.8

$200$200$200

29


En esta fórmula, el factor es llamado fondo de amortización y es

−+ 1)1( ni

i, cuya notación o expresión simbólica es (A/F, i%, n). Por

tanto, se puede la representación de la fórmula es )%,,/( niFAFA =

y su lectura es: “Encontrar la serie uniforme (A), dado un valor futuro

(F), una tasa de interés (i) y los períodos (n)".

Ejemplo 2.7: Una persona necesita para viajar en un año al exterior $4.500.000,

sabe que el banco actualmente está dando un interés del 1.2% mensual; por

tanto necesita saber ¿cuánto debe ahorrar mensualmente para tener el dinero

necesario del viaje?

45.889.350$

)077.0(000.500.4$

)12%,2.1,/(000.500.4$

−===

A

A

FAA

Gráfico 7

2.2.5 Cálculo de la Serie Uniforme dado el Valor Presente

Para deducir la fórmula de esta relación, es necesario despejar A en la siguiente:


0 1 2 3 4 12

i = 1.2% mensual

A =$ -350.889,45

F = $4.500.000

0 1 2 3 4 12

i = 1.2% mensual

A =$ -350.889,45

F = $4.500.000

30


−+

+=

+

−+=

1)1(

)1(

)1(

1)1(

n

n

n

n

i

iiPA

ii

iAP

, despejando

El factor es llamado recuperación de capital y es

−+

+1)1(

)1(n

n

i

ii, cuya

notación o expresión simbólica es (A/P, i%, n). Por tanto, se puede la

representación de la fórmula es )%,,/( niPAPA = y su lectura es:

“Encontrar la serie uniforme (A), dado un valor presente (P), una tasa de

interés (i) y los períodos (n)".

Ejemplo 2.8: El banco otorga un préstamo hoy de $10.000.000 para mejorar una

vivienda, a una tasa de interés del 2.1% mensual, pagadero a 2 años. Se desea

saber ¿cuál es la cuota uniforme mensual que se debe pagar en este periodo?

Solución

2,719.534$

)053.0(000.000.10$

)24%,1.2,/(000.000.10$

−===

A

A

PAA

Gráfico 8


0 1 2 3 4 24

i = 2.1% mensual

A =$ -534.719,2

P = $10.000.000

0 1 2 3 4 24

i = 2.1% mensual

A =$ -534.719,2

P = $10.000.000

31


2.3Gradientes

Las series gradientes (G), manejan el mismo procedimiento de equivalencia de

dinero en el tiempo visto anteriormente; sin embargo se diferencia por que sus

flujos de caja no son uniformes sino que se comportan de una manera creciente o

decreciente, ya sea mediante un valor fijo o un incremento porcentual durante el

periodo de evaluación. Por ejemplo, se realiza un préstamo de $1.500 que es

pagadera en 5 cuotas mensuales, pero la cuota mensual aumenta $500 cada

periodo, la cual no genera interés. Por tanto, el primer periodo tiene la una cuota

que A=$1.500, la cual permanece todo el periodo como una base de serie

uniforme y el aumento G=$500 a partir del segundo periodo en adelante, es

decir:

Meses

A G Cuota Total

1 $1.500 A1 $1.5002 $1.500 $500 A1+G $2.0003 $1.500 2 *$500 A1+2G $2.5004 $1.500 3 *$500 A1+3G $3.0005 $1.500 4* $500 A1+4G $3.500

La persona debe pagar al final del quinto mes un valor de $3.500.

Ahora, si se plantea un préstamo de $1.500 que es pagadera en 5 cuotas

mensuales, pero la cuota mensual aumenta en un 2% cada periodo, sin generar

interés; se dice que el primer periodo tiene una cuota que es A=$1.500, la cual

permanece todo el periodo como una base de serie uniforme y el aumento

porcentual de G=$2% a partir del segundo periodo en adelante, es decir:

Meses

A G Cuota Total

1 $1.500 A1 $1.500

2 $1.500 (1+2%) A1*(1+G) $1.5303 $1.500 (1+2%)2 A1*(1+ G)2 $1.560,64 $1.500 (1+2%)3 A1*(1+ G)3 $1.591,85 $1.500 (1+2%)4 A1*(1+ G)4 $1.623,

65



La persona debe pagar al final del quinto mes un valor de $1.623,65.

2.3.1 Gradiente Aritmético

La serie gradiente aritmético, se identifica cuando los flujos de caja crecen o

decrecen de una manera fija durante el periodo de tiempo, en este caso la G se

conoce como la cantidad en forma de gradiente uniforme; en donde, si la

cantidad crece a la serie uniforme se le suma el gradiente (A+G), pero si la

cantidad decrece a la serie uniforme se le resta el valor del gradiente (A-G). Con

el fin de tener claridad sobre los conceptos expuestos hasta el momento en el

capítulo, se presenta a continuación dos gráficas que muestran las dos

situaciones.

Representación gráfica para un valor presente o valor futuro equivalente a una

serie gradiente aritmético creciente de este flujo es el siguiente:

Gráfico 9

Representación gráfica para un valor presente o valor futuro equivalente a una

serie gradiente aritmético decreciente un flujo:

Gráfico 10


0 1 2 3 4n


A1

A1+G

A1+2G

A1+3G

A1+(n-1)G

0 1 2 3 4n


A1

A1+G

A1+2G

A1+3G

A1+(n-1)G


0 1 2 3 4n

A1-G

A1-2G

A1-3G

A1

A1-(n-1)G


0 1 2 3 4n

A1-G

A1-2G

A1-3G

A1

A1-(n-1)G

33


2.3.1.1Cálculo de un Valor Futuro dado un Gradiente Aritmético

El valor futuro equivalente, de la secuencia aritmética de los flujos de efectivo, se

representa de la siguiente manera7:

[ ]

( )i

NGniAF

i

GF

i

NGi

i

GF

i

NGiiii

i

GF

i

i

i

i

i

i

i

iGF

bieno

iAFGiAFGniAFGniAFGF

g

n

K

kg

nng

nn

g

g

−=

−

+=

−+++++++++=

−++−+++−++−+=

+++−+−=

∑−

=

−−

−−

%,,/

)1(

1)1()1(....)1()1(

1)1(1)1(....

1)1(1)1(

,

)1%,,/()2%,,/(...2%,,/()1%,,/(

1

0

1221

1221

Dado que la expresión de Fg de nota solamente el valor del gradiente en el

tiempo, entonces si se quiere conocer el valor futuro de todo el flujo de caja, es

necesario sumar el futuro correspondiente a la serie uniforme

)%,,/( niAFAF = , por tanto el Futuro Total (Fg) = ±)%,,/( niAFA Fg,

dependiendo si el gradiente crece o decrece.

Ejemplo 2.9: Juan Rúa espera tener el siguiente flujo de efectivo, con una tasa

de interés del 9% anual, en donde se requiere saber cuál es el valor futuro total y

del gradiente:

Años Flujo1 $8002 $1.0003 $1.200




4 $1.400

Solución

( )

5,3658$

)573.4(800$

)4%,9,/(800$

62,273.1$09.0

200*4573.4

09.0

200

===

=

−=

F

F

AFF

F

F

g

g

12,932.4$

62,273.1$5,3658$

,

=+=

+=

t

t

gt

F

F

FFF

dondeen

2.3.1.2Cálculo de una Serie Uniforme dado un Gradiente Aritmético

La expresión simbólica de esta relación se representa )%,,/( niGAGA = , la

cual tiene la siguiente lectura: encontrar una serie uniforme (A), dado una tasa de

interés (i%) y un periodo (n).

La fórmula para encontrar la relación es:

−+

−=1)1(

1ng i

n

iGA

En donde, el factor

−+

−1)1(

1ni

n

i representa la conversión de un gradiente en

serie uniforme. Es por ello, que es necesario tener en cuenta que para hallar la

serie uniforme total (At), se debe sumar o restar la serie uniforme con el Ag

encontrado ( gt AAA ±= ) dependiendo si el gradiente es creciente o decreciente.

Ejemplo 2.10: Suponiendo que Juan Rúa, desea conocer cuál seria la cuota

uniforme que debería tener con el flujo de caja mostrado en el ejemplo 2.7.

Bajo éste parámetro es sabido que A = $800, entonces se debe proceder a volver

el valor de G en una serie uniforme.



Solución

50.278$

)3925,1(200$

)9%,9,/(200$

===

A

A

GAA

50,078.1$

50,278$800$

,

=+=

t

t

A

A

dondeen

2.3.1.3Cálculo de un Valor Presente dado un Gradiente Aritmético

La expresión simbólica de la relación es )%,,/( niGPGP = , cuya lectura es la

siguiente: encontrar un valor presente, dado una tasa de interés y un periodo.

La fórmula para encontrar la relación es:

+

−+

−+=nn

n

g i

n

ii

i

i

GP

)1()1(

1)1(

El factor i

1

+

−+

−+nn

n

i

n

ii

i

)1()1(

1)1( representa la conversión de un gradiente a su

valor presente equivalente8. Para hallar el valor presente total, es necesario

sumar el valor presente de una serie uniforme con el valor presente del

gradiente, es decir, gt PniAPAP ±= )%,,/( .

Ejemplo 2.11: Ahora, analicemos si Juan Rúa, desea conocer cuál seria el valor

presente que debería tener con el flujo de caja mostrado en el ejemplo 2.7.

Bajo éste parámetro es necesario conocer )%,,/( niGPGP = y

)%,,/( niAFAP = .

Solución

591.2$

)239,3(800$

,

26,902$

)511,4(200$

==

=

=

P

P

dondeen

P

P

g

g

26.493.3$

26,902$591.2$

=+=

+=

t

t

gt

P

P

PPP




2.3.2 Gradiente Geométrico

A diferencia del gradiente aritmético, los flujos de caja crecen o decrecen de una

manera porcentual. Estas variaciones porcentuales se identifican en las fórmulas

mediante ig, ya que la tasa de interés comúnmente se referencia por medio de la

i.

Como manera de ilustración se muestra cuál es el diseño gráfico de estos flujos

de caja crecientes, en donde se representa un valor presente o valor futuro

equivalente a una serie gradiente geométrica.

Gráfico 11

2.3.2.1Cálculo de un Valor Futuro dado un Gradiente Geométrico

El valor futuro equivalente, de la secuencia geométrica de los flujos de efectivo,

se representa por medio de la siguiente fórmula, en donde si la serie es creciente

se aplica iig − y si es decreciente la serie se aplica iig + :

±

+++=

ii

iiAF

g

ng

n )1()1(1

Al aplicar ésta fórmula, se calcula directamente el futuro del flujo de caja, es

decir, no hay necesidad de encontrar un futuro total como en el gradiente

aritmético.


1 2 3 4n


A1

A1*(1+ig)

A1*(1+ig)2

A1*(1+ig)3

A1*(1+ig)N-1

1 2 3 4n


A1

A1*(1+ig)

A1*(1+ig)2

A1*(1+ig)3

A1*(1+ig)N-1

37


2.3.2.2Cálculo de un Valor Presente dado un Gradiente Geométrico

El valor presente total equivalente a una serie geométrica de flujos de efectivo, se

calcula por medio de la siguiente fórmula

ii

i

iA

Pg

n

ng

±

−

++

=

1)1(

)1(1

En donde, si se quiere calcular un gradiente creciente, debe tener el denominador

con signo negativo y, si el cálculo es para un gradiente decreciente el signo debe

ser positivo.

2.3.2.3Cálculo de una Serie Uniforme dado un Gradiente Geométrico

La manera de volver una serie gradiente geométrica en una serie uniforme, se

realiza mediante la siguiente fórmula, en donde se sigue las mismas

especificaciones de signo en el denominador del primer corchete cuando la serie

es creciente o decreciente.

−+

−

−−+=

1)1(

)1()1(1 n

g

ng

n

i

i

ii

iiAA

2.4Consideraciones Finales

• Mediante la aplicación de los conceptos de equivalencia y valor del dinero en

el tiempo, se estructuraron las relaciones de pago más comunes basados en el

interés compuesto.

• Se determinaron las relaciones de pago único entre los valores presente y

futuro, así como las consideraciones se las series uniformes con las posibles

combinaciones de variables y las series gradientes planteadas desde lo

aritmético y geométrico. Adicionalmente, para cada una de las relaciones se

especificaron los factores y la expresión simbólica respectiva.



2.5Ejercicios Resueltos

1. Se sabe que por medio de un documento, María Escobar, se comprometió a

cancelar después de año y medio un valor de $2.650.000, a una tasa de

interés del 11,00% semestral. Hallar el valor inicial de la obligación de Maria.

Solución

Al realizar la lectura del ejercicio, podemos deducir el valor de las variables dadas

con el fin de aplicar la fórmula de calcular un Valor Presente dado un valor futuro,

en donde F=$-2.650.000, i=11% semestral y n= 3 semestres.

16.657.937.1$

)10,73119138(200.1$

)3%,11,/(000.650.2$

=−=−=

P

P

FPP

A María Escobar le han desembolsado en el periodo cero un valor equivalente a

$1.937.657.16. La representación gráfica de este ejercicio es el siguiente:

2. Sandra Betancur compra una casa por valor de $95 millones esperando

venderlo dentro de un año en $130 millones, se pide conocer, ¿cuál es la tasa

de interés mensual que rinde el dinero invertido?

Solución

Las variables contempladas en este ejercicio son F=$130.000.000, P=-$95.000.000 y n= 1 año, con lo anterior podemos calcular la tasa de interés así:

%37

1)000.000.95$000.000.130$(

1)(

1/1

/1

=

−=

−=

i

i

PFi n


0

1 2 3

i = 11% semestral

P = $1.937.657,16

F = -$2.650.000

0

1 2 3

i = 11% semestral

P = $1.937.657,16

F = -$2.650.000

39


La tasa de interés que se obtuvo en un año fue del 37%.

3. Juan Carlos Sánchez tiene dos cuentas por cobrar, la primera dentro de 2

meses por valor de $1.000.000 y la segunda por $2.000.000 dentro de 5

meses. Simultáneamente, tiene que cancelar una deuda con 3 pagos de

$500.000 cada una en los meses 4 y 6. Hallar el valor del saldo dentro de 7

meses, si la tasa de interés es del 1,30% mensual.

Solución

Dado que los flujos de caja no son uniformes, al igual que los periodos, se debe

trasladar cada valor hacia el futuro con una tasa de interés del 1.30%, para que

en el final del mes 7 se pueda conocer el saldo neto del Sr. Sánchez.

338.052.2$

)013.1(000.000.2$

11,712.066.1$

)013.1(000.000.1$

2

22

1

51

==

==

F

F

F

F

500.506$

)013.1(000.500$

6,754.519$

)013.1(000.500$

4

14

3

33

−=−=

−=−=

F

F

F

F

Para hallar el futuro total se realiza la sumatoria de los valores calculados en cada

una de las F.

51,795.092.2$

)500.506$()6,754.519$(338.052.2$11,712.066.1$4321

=−+−++=

+++=

Ft

Ft

FFFFFt

El Sr. Sánchez tendrá un saldo a favor en el mes 7 de $2.092.795,51.

Gráficamente el ejercicio se representa así:


0 1 2 3 4

i = 1.3% mensual

Ft = $ 2.092.795,51

$1.000.000

-$500.000

$2.000.000

56

-$500.000

0 1 2 3 4

i = 1.3% mensual

Ft = $ 2.092.795,51

$1.000.000

-$500.000

$2.000.000

56

-$500.000

40


Unidad 3: Interés Efectivo

OBJETIVO GENERAL

Reconocer la importancia y aplicación del interés efectivo en la toma de

decisiones financieras.


• Comprender los conceptos de interés nominal e interés efectivo.

• Aplicar las fórmulas y procedimientos para la conversión de tasas de interés

efectivo en nominal y viceversa, cuando las capitalizaciones son vencidas y

anticipadas.

• Identificar los elementos de tasas de interés compuestas.

Tasa de interés nominal

Esta tasa de interés se expresa generalmente anual e indica el número de

períodos de capitalización que se van a aplicar en el negocio referido, esto

quiere decir que la liquidación de los intereses es fraccionada. Los períodos de

liquidación pueden ser diarios, bimensuales, mensuales, bimestrales,

trimestrales, semestrales, anuales. La tasa de interés nominal tiene cierta

relación con el interés simple, en la medida que no recoge el efecto de las

capitalizaciones.

Ejemplos de la expresión de la tasa de interés nominal:

• 18% A SV (Anual Semestre Vencido)

• 18% A MV (Anual Mes Vencido)

• 18% A TA (Anual Trimestre Anticipado)

Si se conoce la tasa de interés nominal se puede conocer cuál es la tasa

periódica. Para el primer ejemplo se puede decir que la tasa de interés



periódica (semestral) es del 9% (18% / 2). Adicionalmente si se conoce la tasa

periódica se puede calcular la tasa nominal anual, por ejemplo si la tasa

mensual es del 1.5% la tasa nominal anual mes vencido será del 18% A MV

(1.5% x 12).

De la anterior aclaración surge una observación importante: las tasas

nominales se pueden multiplicar y dividir. Esto es importante porque

comparativamente con las tasas efectivas podemos adelantar lo siguiente: las

tasas efectivas se pueden multiplicar, pero no se pueden dividir.

Tasa de interés efectiva

Esta tasa de interés recoge el efecto de las capitalizaciones de intereses

cuando estos no son retirados. La tasa de interés efectiva tiene relación con el

interés compuesto, ya que éste como se había definido anteriormente es el

que resulta de ganar intereses sobre el capital inicial y sobre los intereses

ganados y no retirados; se puede decir en consecuencia que la tasa de interés

efectiva es la expresión en términos de la rentabilidad o costo asociado a

negocios que presenta esta característica.

El análisis comparativo del interés simple y el interés compuesto presentado en

la tabla 3, sirve de base para decir que análogamente la tasa de interés

nominal (asociada en cierta medida el interés simple) es inferior a la tasa de

interés nominal (asociada el interés compuesto).

Fórmulas para la conversión de tasa de interés nominal y efectiva

Para capitalizaciones vencidas

11ief −

+=

mnom

m

i

Donde:

ief: Tasa de interés efectiva

inom: Tasa de interés nominal

m: Es el número de período de capitalización o composición del interés



Ejemplo 3.1. Retomando el ejemplo 1.4 donde Sandra Palacio deposita por

un año $10.000 en una cuenta que paga el 18% anual capitalizado

trimestralmente de manera vencida. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva que le

pagaron a Sandra?

Solución

inom: 18% A TV

m: 4

ief: ?

Reemplazando en la fórmula de tasa efectiva tenemos que:

14

18.01i

4

ef −

+= %25,191925,0 ==efi

El anterior ejemplo se puede leer de la siguiente manera: una tasa del 18% A

TV es equivalente a una tasa efectiva anual de 19.25%.

Cuando se ilustró el interés compuesto se planteó que a mayor número de

capitalizaciones mayor sería el interés obtenido, consecuentemente podemos

afirmar que a mayor número de capitalizaciones mayor será la tasa de interés

efectiva. Veamos la siguiente tabla la cual reafirma esta idea.

Tabla 1

Tasa nominal anual

Tasa efectiva anual

m = 1 m = 2 m = 3 m = 4 m = 6 m = 12m = 365

12% 12,00% 12,36% 12,49% 12,55% 12,62% 12,68% 12,75%

18% 18,00% 18,81% 19,10% 19,25% 19,41% 19,56% 19,72%

24% 24,00% 25,44% 25,97% 26,25% 26,53% 26,82% 27,11%

30% 30,00% 32,25% 33,10% 33,55% 34,01% 34,49% 34,97%

36% 36,00% 39,24% 40,49% 41,16% 41,85% 42,58% 43,31%

Nótese también en la tabla 4 que cuando m = 1 la tasa nominal anual es igual

a la tasa efectiva, en general podemos afirmar que una tasa nominal es igual a

una tasa efectiva cuando el período de capitalización es igual a 1.

La anterior afirmación se puede demostrar de la siguiente manera:



Así como se pasa de una tasa nominal a una tasa efectiva se puede hacer en

sentido inverso, es decir, a partir de una tasa efectiva hallar la tasa nominal.

Para esto debemos encontrar una expresión a partir de la presentada para el

interés efectivo.

11ief −

+=

mnom

m

i

( )[ ]11 /1 −+= mefnom imi

La anterior fórmula también se puede expresar de la siguiente manera:

( )1)1( −+= m efnom imi

Ejemplo 3.2. Si se tiene una tasa de interés efectiva anual del 21.5506%

capitalizada trimestralmente, ¿Cuál es la tasa de interés nominal equivalente?

Solución

ief: 21.5506% EA (Efectivo Anual)

m: 4

inom: ?

Reemplazando en la fórmula de tasa nominal tenemos que:

Lo anterior quiere decir que una tasa nominal anual del 20% capitalizada

trimestralmente es equivalente a una tasa efectiva del 21.5506%.

Ejemplo 3.3. Se tiene una tasa efectiva anual de 26.8242% que fue

capitalizada mensualmente. ¿Cuál es la tasa mensual implícita?


ief = 1 + inom 1

1 -1 ief = 1 + inom - 1

ief =

inom

inom = 4 [(0.215506 +1)0.25 –

1]

inom = 20% A TV

44


Solución

ief: 26.8242% EA (Efectivo Anual)

m: 12

inom: ? para un mes.

Se reemplaza en la fórmula de tasa nominal y luego se obtiene la tasa

periódica:

El exponente 0.08333 es (1/12). Como ya se tiene la tasa nominal anual mes

vencida esta tasa si se puede dividir y encontramos que la tasa periódica

mensual es 2% (24% / 12).

Para capitalizaciones anticipadas.

Cuando las capitalizaciones son anticipadas el interés efectivo es mayor, esto

ocurre porque el tenedor de los intereses los tendría más tiempo para

capitalizarlos lo que hace que la tasa sea mayor.

Si la capitalización es anticipada la fórmula del interés efectivo es la siguiente:

11ief −

−=

−mnom

m

i

Donde:

ief: Tasa de interés efectiva

inom: Tasa de interés nominal

m: Es el número de período de capitalización o composición del interés

Ejemplo 3.4. Retomando el Ejemplo 1.4 donde Sandra Palacio deposita por

un año $10.000 en una cuenta que paga el 18% anual capitalizado

trimestralmente de manera anticipada. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva

que le pagaron a Sandra?


inom = 12 [(0.268242 +1)0.08333 –

1]

inom = 24% A MV

45


Solución

inom: 18% A TA

m: 4

ief: ?

Reemplazando en la fórmula de tasa efectiva tenemos que:

Se puede ver claramente como la tasa efectiva es mayor en este caso a la

encontrada en el Ejemplo 3.1 donde con capitalizaciones vencidas se había

obtenido una tasa efectiva de 19.25%.

Análogamente como se hizo con la tabla 1, se presentan a continuación

distintas tasas nominales y su equivalente tasa efectiva, con lo cual el lector

podrá comprobar una vez que es mayor cuando es anticipada.

Tabla 2

Tasa nominal anual

Tasa efectiva anual

m = 1 m = 2 m = 3 m = 4 m = 6 m = 12m = 365

12% 13,64% 13,17% 13,03% 12,96% 12,89% 12,82% 12,75%

18% 21,95% 20,76% 20,40% 20,22% 20,05% 19,89% 19,73%

24% 31,58% 29,13% 28,42% 28,08% 27,75% 27,43% 27,13%

30% 42,86% 38,41% 37,17% 36,59% 36,04% 35,50% 35,00%

36% 56,25% 48,72% 46,74% 45,83% 44,95% 44,12% 43,36%

Nótese que en este caso cuando m = 1, las tasas son diferentes y no se da el

mismo fenómeno de las capitalizaciones vencidas, además en este caso

sucede lo contrario a lo reflejado en la tabla 1, a medida que m aumenta la

tasa efectiva se va haciendo menor; para finalizar se nota que cuando m es

muy grande (m=365) la tasa efectiva por las dos formas de capitalización se

hace muy similar.


ief = 1 - 0.18 -4

4 -1 ief = 0.2022 = 20.22%

46


Una manera alternativa para hallar la tasa efectiva con capitalización

anticipada es calcular la tasa periódica equivalente anticipada y luego calcular

la tasa efectiva anual.

La tasa efectiva periódica se calcula de la siguiente manera:

ant

antef

i

ii

−=

1

Ejemplo 3.5. Diego López recibe un préstamo de $10.000 a una tasa de

interés del 42% anual, pagadero mes anticipado. Si el préstamo lo paga en un

año, ¿Cuál es la tasa de interés efectiva del préstamo?

Solución

inom: 42% A MA

m: 12

ief: ?

Primero calculamos la tasa periódica que es 3.5% mes (42% / 12), luego con

esta tasa (nominal) calculamos la tasa periódica anticipada efectiva.

Con la tasa mensual encontramos la tasa nominal anual mes vencida: 3.627%

x 12 = 43.523% A MV. Con esta nueva tasa hallamos la tasa efectiva

utilizando la fórmula para las capitalizaciones vencidas.


iant (ef) = 0.035 1 – 0.035

iant (ef) = 0.03627 = 3.627% mes

ief = 1 + 0.43523 12

12 -1 ief = 0.5335 = 53.35%

47


Conversión de tasas de interés

En este espacio se desarrollan ejemplos adicionales que refuerzan los

conceptos hasta aquí tratados sobre tasas efectivas y nominales.

Ejemplo 3.6. ¿Cuál es la tasa efectiva trimestral equivalente a una tasa

trimestral anticipada del 3,85%?

Solución

Para resolver este caso utilizamos la fórmula para la tasa efectiva periódica.

ant

antef

i

ii

−=

1

iant = 3,85%

ief =?

%40385,01

0385,0 ==−

efi Esta tasa es efectiva trimestral.

Ejemplo 3.7. Hallar la tasa anticipada de un bimestre equivalente a una tasa

bimestre vencida de 2,5%.

Solución

Partimos de la anterior ecuación y planteamos la siguiente:

ant

antef

i

ii

−=

1 Desarrollando la fórmula para ief tenemos que

ef

efant

i

ii

+=

1

ief = 2,5%

iant = ?

%44,2025,01

025,0 ==+

anti Esta tasa es anticipada para el subperíodo “bimestral”.



Con los ejemplos 3.6 y 3.7 se reafirma lo planteado anteriormente, que

cuando la capitalización es anticipada la tasa efectiva es superior a la tasa del

subperíodo.

Ejemplo 3.8. Juan García toma un préstamo por $800.000 a una tasa del 24%

A TA. Juan está interesado en saber cuál es la tasa efectiva mensual que

equivalente en este negocio.

Solución

inom: 24% A TA

m: 4

ief-mes: ?

Para resolver este problema obtenemos en primera instancia la tasa efectiva

anual y luego la tasa anual mes vencida con lo cual podemos saber la tasa

periódica para un mes.

Cálculo de la tasa efectiva anual

11ief −

−=

−mnom

m

i Tenemos

EA%0821,2814

24,01i

4

ef =−

−=

−

Cálculo de la Tasa nominal mes vencida

( )1)1( −+= m efnom imi Tenemos ( ) AMVnomi %251280821,0112 12 )( =−= +

Con lo que la tasa mensual es 25% / 12 = 2,084%.

Ejemplo 3.9. Adriana Gómez invertirá $5.000.000 en un negocio que pagará

una tasa efectiva anual de 28%; ¿Cuál es la tasa efectiva semestral que

Adriana obtendrá por su inversión, si se sabe que la capitalización es

anticipada?



Solución

ief: 28% EA

m: 2

ief-semestre: ?

Este problema también se resuelve por pasos.

Cálculo de la tasa nominal semestre anticipada

11ief −

−=

−mnom

m

i

Desarrollando para inom tenemos

+−=

m

ef

nom

imi

/1

1

11

SAAinom %22,2328,01

112

2/1

=

+−=

La tasa periódica (semestral) en este caso es 11,61% (23,22% / 2)

Luego la tasa efectiva semestral que obtendrá Adriana es:

%14,131161,01

1161,0 =−

=efi

Tasas compuestas

Tasa equivalente de una tasa en moneda extranjera

Cuando se tiene una inversión o una deuda en divisas la rentabilidad o el costo

financiero están dados por una “combinación” de la rentabilidad (costo) en el

negocio y la devaluación (o revaluación) de la divisa.

En este caso se componen (combinan) la tasa por rentabilidad (costo) y la tasa

de variación de la divisa y se expresa de la siguiente manera:

1)1)(1( −++= devef iii



Donde:

efi : Tasa de rendimiento (costo) expresado en términos de la divisa

devi : Tasa de devaluación (revaluación) de la moneda local frente a la

divisa.

Ejemplo 3.10. ¿Cuál es la tasa equivalente en pesos de una inversión que

renta el 10% anual en dólares, si se espera que la devaluación del peso frente

al dólar sea del 18% anual?

Solución

efi : 10%

devi : 18%

%8,291)18.01)(1.01( =−++=i

Nótese que la rentabilidad total obtenida es del 29,8% lo cual es superior a

decir que el rendimiento es 28% (10% + 18%). Esta alternativa de

composición es más ágil, pero imprecisa.

Tasa de interés real

La tasa de interés real, es la tasa de interés a la cual se le ha descontado el

efecto de la inflación.

La fórmula para la tasa de interés real es:

11

1 −++=

fl

efr

i

ii

Donde:

efi : Tasa de interés que se gana o paga

fi : Tasa de inflación

Ejemplo 3.11. ¿Cuál es la tasa de interés real de un CDT que paga un 10%

anual de interés y la inflación prevista es del 5,5% anual?



Solución

efi = 10%

fi = 5,5%

ri = ?

%27,41055,01

1,01 =−++=ri Tasa de interés real ganada en esta inversión

Tasa de interés con UVR

“La unidad de valor real es el cambio que se ocasiona del sistema UPAC a la

UVR. La Ley 546 de 1999 creó la Unidad de Valor Real (UVR) que mantiene

constante el poder adquisitivo de la moneda, actualizando su valor en pesos

con la inflación. La Junta Directiva del Banco de la República divulga

mensualmente el valor de la unidad para cada uno de los días del período. El

cambio fundamental que se origina es en el reconocimiento de la pérdida del

poder adquisitivo y el manejo del interés. Nuevamente la pérdida del poder

adquisitivo va a estar representada por la tasa de inflación y se aplicará al mes

siguiente de su ocurrencia”9.

Cuando una inversión o un crédito son pactados en UVR, la rentabilidad o costo

asociado debe determinarse mediante una tasa compuesta que considere la

tasa de interés y las variaciones en la UVR.

La tasa de interés en estos casos se determina de manera análoga a como se

realizó para negocios en divisas.

1)1)(1( −++= vuu iii

Donde:

ui : Tasa de interés en UVR

vui : Tasa de crecimiento (incremento) de la UVR.

9 CARDONA, Raúl Armando, Elementos sobre matemáticas financieras. Universidad Eafit. 2000 (Citado por JARAMILLO Betancur, Fernando. En: Matemáticas Financieras y su uso en un entorno internacional. Libro en edición. Medellín, 2006).



Ejemplo 3.12. ¿Cuál es la tasa de interés mensual de un préstamo por el cual

se paga una tasa del 1,5% en UVR, si se espera que la UVR incremente su

precio a razón de 0,7% mensual?

Solución

ui : 1,5%

vui : 0,7%

%21,21)007,01)(015,01( =−++=i Tasa mensual.

Consideraciones Finales

• Se evidencia con los análisis presentados que la tasa de interés efectiva, en

la práctica, es la tasa que posibilita la evaluación del verdadero rendimiento

(o costo) asociado a decisiones financieras de inversión o financiación.

• Es necesario conocer dos de los elementos fundamentales en un caso

financiero: período de pago y períodos de capitalización para lograr

establecer de manera adecuada el interés efectivo asociado.

• La tasa efectiva es utilizada en distintos escenarios y se constituye en una

variable para la toma de decisiones financieras, ya que cuando se tienen

tasas nominales con diferentes períodos de capitalización no se puede

seleccionar la mejor alternativa hasta tanto no se conviertan en tasas

efectivas.

Ejercicios Resueltos

1. Jorge Palacio tomó un crédito con el Banco Amigable por $400.000,

pagando una tasa del 21% A MA. ¿Cuál es la tasa trimestral efectiva del

préstamo?

Solución

inom: 21% A MA

m: 4



ief-trimestre: ?

11ief −

−=

−mnom

m

i Tenemos

EA%597,23112

21,01i

12

ef =−

−=

−

Cálculo de la tasa nominal trimestre vencida

( )1)1( −+= m efnom imi Tenemos ( ) ATVnomi %757,21123597,014 4 )( =−= +

Con lo que la tasa trimestral es 21,757% / 4 = 5,439%.

2. Lina Suárez va a financiar un vehículo de $30.000.000 y le ofrecen las

siguientes tasas de interés: 20% A MV y 19% A MA. ¿Cuál opción le

recomendaría usted a Lina y por qué?

Solución

Las tasas referenciadas no son comparables por ser diferentes en valor y en

períodos de capitalización, por lo tanto debemos calcular las tasas efectivas

equivalentes las cuales si se pueden comparar y el criterio de selección será la

menor tasa efectiva (por tratarse de un caso que genera un costo financiero)

Tasa efectiva equivalente para 20% A MV

EA%94,21112

20.01i

12

ef =−

+=

Tasa efectiva equivalente para 19% A MA

EA%11,21112

19,01i

12

ef =−

−=

−



En consecuencia se recomienda a Lina aceptar la segunda alternativa, pues la

tasa efectiva es menor, lo que le implica un menor costo financiero en la

financiación de su vehículo.

3. Si se espera que la devaluación del peso frente al Euro será de 5,78% y la

rentabilidad de un título en Euros es de 8% A SV, ¿Cuál es la rentabilidad en

pesos que se espera obtener en esta inversión?

Solución

efi : ?

devi : 5,78%

Primero se debe calcular la tasa efectiva y luego la tasa compuesta.

EA%16,812

08.01i

2

ef =−

+=

EAi %41,141)0578,01)(0816,01( =−++= Tasa de rentabilidad en pesos.



Unidad 410: Activos Financieros

OBJETIVO GENERAL

Identificar los activos financieros más comunes que se encuentran en el

mercado público de valores de Colombia y su uso como mecanismos de

financiación e inversión, verificando la manera de calcular su rentabilidad y el

precio o el costo que se originan en cada uno de ellos.


• Conocer las características de los activos financieros que se ofrecen en el

mercado de valores de Colombia.

• Clasificar bajo diferentes criterios los activos financieros.

• Evaluar las técnicas para tomar decisiones sobre activos financieros.

• Conocer aspectos prácticos de los activos financieros.

• Identificar algunos rasgos generales del comportamiento del mercado de

capitales de Colombia.

• Conocer los aspectos generales acerca de cómo hacer inversión a través

de la Bolsa de Valores.

Intermediarios y Mercados Financieros.

Mediante el estudio del mercado de capitales, se evalúa como las unidades del

sector real no se encuentran en equilibrio y por lo tanto, unas unidades tienen

superávit y otras operan con déficit. Es precisamente, en este aspecto donde la

intermediación contribuye a trasladar recursos de las unidades con superávit a

aquellas que lo requieran.

Vamos a centrarnos entonces en las instituciones, que de una u otra manera

participan en la intermediación financiera. Una corporación financiera no actúa

como una isla. Por el contrario, se mueve en estrecho contacto con los diversos

mercados e intermediarios financieros. Esta relación permite a la empresa

10 JARAMILLO , Betancur, Fernando. Matemática financiera en un entorno internacional. Editorial Universidad de Antioquia. Medellín. Colombia. 2006



obtener el financiamiento necesario, al igual que la inversión de fondos ociosos

realizada en diversos activos financieros.

Para las empresas resulta indispensable tener acceso frecuente al ambiente

financiero, aspecto que las grandes empresas cumplen a cabalidad, sin

embargo, las medianas y pequeñas, lo hacen con menor frecuencia.

Independientemente del tamaño de una compañía, ellas continuamente se ven

enfrentadas a la necesidad de evaluar cuándo invertir en un título, cuánto

pagar por un título, cuándo adquirir el título, cuándo emitir títulos, cuándo

recurrir a una línea de crédito o préstamo directo. Todo lo anterior es para

comprender con facilidad que se hace en el sistema financiero y cuáles son los

títulos que más se negocian.

La estructura del sistema financiero colombiano lo podemos identificar por tres

grandes componentes. Un primer grupo está constituido por los

establecimientos de crédito. Un segundo grupo por los inversionistas

institucionales y un tercer grupo integrado por las entidades de servicios

financieros.

Los establecimientos de crédito, se caracterizan por captar y colocar recursos

en forma masiva y habitual; estos están integrados por bancos, corporaciones

financieras, bancos hipotecarios y compañías de financiamiento comercial.

Los inversionistas institucionales, se relacionan con las entidades que pueden

captar y colocar recursos, pero que no pueden hacerlo ni en forma masiva ni

habitual. Entre las instituciones que integran este grupo se encuentran:

compañías de seguro de vida general e individual, las sociedades de

capitalización, los fondos de inversión, los fondos de cesantías, los fondos de

pensiones, las sociedades administradoras de inversiones, entre otras.

Las entidades de servicios financieros, corresponden a aquellas entidades que

no pueden captar ni colocar dinero. Su papel está restringido a facilitar la

intermediación financiera, o sea, a un crecimiento del mercado de capitales.

Entre estos ubicamos a las firmas comisionistas de bolsa, los comisionistas

independientes, la Bolsa de Valores de Colombia, entre otras. Sin embargo, en



los últimos años se han presentado modificaciones a las reglamentaciones para

flexibilizar un poco las actividades de estas entidades.

Los mercados financieros se encuentran integrados por otros mercados. Estos

principalmente se distinguen como mercados de dinero, mercados de capitales

y mercados derivados. Los mercados de dinero se distinguen por motivar la

negociación de instrumentos financieros de corto plazo y, particularmente, de

renta fija. Los mercados derivados se identifican por incentivar el desarrollo del

negocio de instrumentos de cobertura y un nivel más alto de riesgo. Los

mercados de capitales, como lo veremos, tratan de títulos de renta fija de largo

plazo (todo tipo de bonos y papeles comerciales) y títulos de renta variable

(acciones ordinarias o comunes, acciones privilegiadas y acciones con

dividendo preferencial sin derecho de voto).

Además, en ese mercado existe tanto un mercado primario como secundario.

Un mercado primario es un mercado de “emisiones nuevas”. Es aquí donde los

fondos obtenidos mediante la venta de nuevos valores fluyen de los

compradores de valores (el sector del ahorro) a los emisores de valores (el

sector de captación). En un mercado secundario, son comprados y vendidos los

valores existentes.

Gráfica 1: Mercado de Capital para los Valores Corporativos

Los símbolos y flechas

utilizados corresponden

a los siguientes:


Suscripción privilegiada EMISIÓN PÚBLICA

INVERSIÓN

BANCA DE INVERSIÓN

MERCADO SECUNDARIO BOLSA DE VALORES

MERCADO OTC

AHORROS

BANCOS COMERCIALES CORPORACIONES FINANCIERAS BANCOS HIPOTECARIOS COMPAÑÍAS DE FINANCIAMIENTO COMERCIAL

58


Indica la posible presencia de un “acuerdo

provisional”;

Las flechas indican la dirección del flujo de dinero (los valores

fluyen en la dirección opuesta);

La línea discontinua se utiliza para indicar que los

valores de los intermediarios (por ejemplo, cuentas de ahorro, o políticas de

seguros) fluyen hacia las unidades de ahorros.

No hay vínculo directo entre las unidades de inversión y el mercado

secundario; en consecuencia, los valores emitidos antes que sean vendidos en

el mercado secundario no proporcionan fondos nuevos a los emisores de

valores.

Las operaciones sobre estos valores ya existentes nos proporcionan fondos

adicionales para financiar la inversión de capital. En este capítulo nos

concentramos de manera primordial en las actividades del mercado primario

dentro del mercado de capital. Usted puede utilizar la gráfica 1 como un mapa

que sigue el análisis de este aparte.

Esta gráfica ilustra el mercado de capital tanto para instrumentos de renta fija

como variable. A partir de la misma, podemos observar como ciertas

instituciones financieras tienen la posibilidad de traspasar recursos del sector

de ahorro al sector de inversión, a través de tres medios principales: una oferta

pública de valores, derechos de tanto y una colocación privada. La banca de

inversión, los intermediarios financieros y el mercado secundario son las

instituciones clave que realizan dicho movimiento de recursos.

La inversión a través de la Bolsa de Valores.

Por lo común, una empresa obtiene recursos tanto en el mercado público como

en forma privada. Con la oferta pública, los valores se venden a muchos

inversionistas bajo un contrato formal controlado por las autoridades

reguladoras del Estado, en el caso colombiano, por la Superintendencia

Financiera. Por otra parte, la oferta privada se hace a un número limitado de

inversionistas, y en ocasiones a uno solo, con muchas menos regulaciones. Un



ejemplo sería el préstamo realizado por un grupo de corporaciones financieras

a una empresa. Por tanto, los dos tipos de emisiones de valores difieren

primordialmente en el número de inversionistas que participan y las

regulaciones que controlan la emisión.

Cuando una empresa emite valores al público, con frecuencia obtiene los

servicios de una entidad especializada denominada banca de inversión. La

banca de inversión, actúa como un intermediario al reunir los grupos que

necesitan fondos con aquellos que disponen de ahorros. Una de las funciones

de la banca de inversión es la compra de valores de las empresas, por ejemplo

al mayoreo, y después revenderlo a los inversionistas, por ejemplo al menudeo.

Por este servicio los banqueros inversionistas reciben la diferencia, o

diferencial, entre el precio que pagan por el valor y el precio al que se

revenden los valores al público. Debido a que la mayor parte de las empresas

sólo acuden ocasionalmente al mercado de capitales, no son especialistas en la

distribución de valores, mientras que las empresas de banca de inversión

tienen todos los conocimientos, los contactos y la organización de ventas

necesarios para realizar un trabajo eficiente en la comercialización de activos

financieros con los inversionistas, se requiere un acompañamiento de la banca

de inversión y, además por un precedente, puesto que pueden realizar este

servicio a un costo menor que la empresa individual.

Hay tres principales medios a través de los cuales las empresas ofrecen

valores al público: la suscripción tradicional (o compromiso de las empresas),

una oferta del mejor esfuerzo y las emisiones sucesivas. En años recientes esta

última forma ha dominado, al menos en el caso de las empresas. Veamos tres

métodos para ofrecer activos financieros a los inversionistas.

4.2.1 Suscripción Tradicional

Una entidad experta en banca de inversión o un sindicato, se responsabilizan

de comprar una emisión de valores. Suscriben la venta de la emisión

entregándole a la empresa el precio al cual se compra la emisión. En ese



momento la empresa queda liberada del riesgo de no colocar la emisión al

precio establecido. Si la emisión no se vende, debido a circunstancias no

previstas en el mercado o porque su precio es exagerado, el suscriptor, no la

empresa, absorbe la pérdida. Por tanto, el banquero inversionista asegura, o

suscribe el riesgo de fluctuaciones adversas en el precio del mercado durante

el período de distribución.

La empresa de banca de inversión acuerda con la empresa la oferta de la

emisión, para no manejar sola la suscripción. Además, para distribuir el riesgo

y obtener una mejor distribución invita a otros banqueros inversionistas a

participar en la oferta. Por lo común, el banco original es el administrador y

tiene la participación mayor. Otros banqueros inversionistas son invitados a la

conformación de un sindicato de inversión o de financiación y sus

participaciones se determinan fundamentalmente sobre la base de su

capacidad de vender valores.

Una suscripción tradicional puede hacerse bajo dos formas: sobre una base de

oferta competitiva y, sobre una base negociada. En la oferta competitiva la

empresa emisora especifica las fechas en que se recibirán ofertas selladas. Las

firmas comisionistas competidoras entregan las ofertas en el momento y el

lugar especificados. La firma que hace la oferta más alta gana la emisión de

valores. En el caso de la oferta negociada, la empresa que emite los valores

selecciona una empresa de banca de inversión y trabaja directamente con esa

empresa para determinar las características esenciales de la emisión. Juntos

discuten y negocian un precio para el valor y el momento de hacer la emisión.

Dependiendo del tamaño de la emisión, el banquero inversionista puede invitar

a otras empresas a participar compartiendo el riesgo y vendiendo la emisión.

En cualquiera de los casos, los comisionistas de bolsa o los banqueros de

inversión reciben como compensación de la función de absorber el riesgo una

utilidad en la suscripción objetivo. Por lo general, el método de la oferta

competitiva es utilizado por las empresas y algunas entidades públicas,

mientras que el método negociado es utilizado fundamentalmente por las

organizaciones expertas en la colocación de acciones y bonos.



Como resultado de lo anterior en algunas ocasiones el suscriptor creará un

mercado para un valor después de que se haya emitido. La primera oferta

pública de acciones comunes para crear el mercado es importante para los

inversionistas. En la creación de un mercado el suscriptor mantiene una

posición en las acciones, cotiza precios de oferta y demanda y está listo para

comprar y vender a esos precios. Estas cotizaciones se basan en las

condiciones fundamentales de la oferta y la demanda. En un mercado

secundario el valor tiene mayor liquidez para los inversionistas, este atractivo

refuerza el éxito de la oferta original.

4.2.2 Oferta Del Mayor Esfuerzo.

En lugar de suscribir una emisión de valores, los banqueros inversionistas o los

comisionistas de bolsa pueden vender la emisión sobre una base en el mayor

esfuerzo. Bajo ese convenio, los banqueros inversionistas o los comisionistas

de bolsa aceptan vender sólo el número de valores que logren colocar a un

precio establecido, sin incurrir en responsabilidad alguna por los valores que no

se vendan, en otras palabras, no absorben riesgo de colocación de los títulos.

4.2.3 Emisiones Con Registros Sucesivos

Las emisiones con registros sucesivos tienen una característica distintiva de la

suscripción tradicional, que consiste en que en el proceso de registro ante el

ente que la vigile, como es el caso de la Securities and Exchange Commission

(SEC) en los Estados Unidos, o en la Superintendencia Financiera en el caso de

Colombia, se requieren por lo menos varias semanas para terminarse. Con

frecuencia pasan dos o más meses desde el momento en que la empresa

decide financiar y el momento en que en realidad se lleva a cabo la oferta de

valores. Como resultado de este tiempo transcurrido, así como de los costos

fijos relacionados con el registro, existe un incentivo para tener una oferta de

valores grande en lugar de una pequeña.

Las empresas cuyos valores están inscritos en bolsa están en posibilidad de

abreviar el proceso de registro presentando una breve declaración. En el caso



de los Estados Unidos, esto se cumple con la regla 415, la cual entró en vigor

en 1982 y permite la emisión conocida como emisiones con registros

sucesivos.

Las emisiones con registros sucesivos, autorizan a una empresa a registrar

algunos valores, “ponerlos en el mostrador” (OTC), y luego venderlos en

emisiones sucesivas hasta por dos años. Cuando los valores no se venden en el

mostrador, se requiere poco papeleo adicional. Al utilizar las emisiones con

registros sucesivos la empresa está en posibilidad de acudir al mercado con

una nueva emisión en unos pocos días, en lugar de semanas o meses. Como

resultado de ello, tiene la flexibilidad de adaptar las emisiones a las

condiciones del mercado y no es necesario que las propias emisiones sean

grandes. Esta operación la hizo Bavaria S.A. de Colombia en el año 2004, con

una emisión de bonos por un billón de pesos colombianos.

Las organizaciones que aún tienen valores en el mostrador pueden requerir

que una firma responsable en banca de inversión sea la responsable de colocar

esos títulos. La empresa seleccionará el mejor postor en términos de costos o

de precios. Lo que es importante tener presente es que los costos de las

emisiones sucesivas son menores cuando se llevan a cabo con una emisión de

registros sucesivos que con una serie de registros tradicionales. Por lo tanto,

no es sorprendente que las empresas prefieran las emisiones con registros

sucesivos.

En otros países, distintos de Colombia, la pequeña empresa y aquellas que no

son muy conocidas, cuando acuden a la suscripción tradicional, el uso

difundido de las emisiones con registros sucesivos puede representar una

desventaja. A medida que empeoran los negocios lucrativos de las

suscripciones, los bancos inversionistas y los comisionistas de bolsa han ido

recortando los servicios sin costo que ofrecían antes. Entonces, en general, las

emisiones con registros sucesivos han tenido un efecto profundo sobre cómo

se distribuyen los valores, sobre el número de suscripciones tradicionales,

sobre la futura factibilidad de este método y sobre la función de los bancos de

inversión. Aquí es donde entran en juego, las bolsas de valores.



4.2.3.1Las Bolsas de Valores

Son las instituciones del mercado de capitales que ofrecen la mayor variedad

de alternativas de inversión. Debido a esto, el inversionista que acude por

primera vez a ellas indaga sobre cuál es el título que ofrece el mayor

rendimiento. El comisionista de bolsa podría responder que el título de mayor

rendimiento no es necesariamente el más atractivo, y presentar algunas

consideraciones a tenerse en cuenta en el momento de efectuar una inversión.

Un primer aspecto es el de la liquidez, cuyo concepto puede enfocarse ya sea

hacia el plazo durante el cual el dinero va estar representado en un título valor,

o como posibilidad que tiene el mismo título de ser convertido en dinero, antes

de su plazo de vencimiento. Se dice que una inversión tiene alta liquidez

cuando el período de vencimiento hasta convertirla nuevamente en efectivo es

corto, o cuando es fácilmente negociable a través de la bolsa en el mercado

secundario. La inversión es de baja liquidez, cuando el título tiene un plazo de

duración bastante largo y es imposible o muy difícil negociarlo. Generalmente,

la rentabilidad es mayor cuando el papel tiene menor liquidez y plazo más

largo. Una segunda variable a tener en cuenta es aquella que hace referencia a

la certeza que se tiene de recibir, durante el plazo de la inversión, el capital

invertido y sus rendimientos. Generalmente, a mayor incertidumbre sobre el

desempeño de la entidad emisora, el rendimiento debe ser superior al ofrecido

por alternativas en las que el riesgo sea menor.

Por último, debe considerarse la rentabilidad. Concepto que se refiere a la

retribución económica que tiene el inversionista mientras tiene su dinero

invertido en un título. Debe tenerse en cuenta que no todos los títulos que se

negocian en el mercado de valores se adquieren para percibir un rendimiento

futuro, sino muchas veces por necesidades específicas de cada inversionista.

Por ejemplo: para pagar impuestos, efectuar inversiones forzosas, pagar cuotas

hipotecarias, protegerse contra la devaluación, colocar excesos transitorios de

liquidez, capitalizar ganancias ocasionales o ahorros, obtener incentivos

tributarios y otros.



Quizás la complejidad de la información para la toma de decisiones puede

hacer desistir al inversionista de utilizar la bolsa como medio para colocar su

dinero; sin embargo, en este punto surge la importancia del corredor o

comisionista de bolsa como intérprete de la misma y asesor de inversionistas,

para facilitar su comprensión y la respectiva decisión.

4.3 Algunos cálculos de rentabilidades

Se presentan a continuación situaciones en las cuales se manejan

rentabilidades, para posteriormente, aplicar estos elementos en activos

financieros específicos. Esto implica el uso de algunas ecuaciones para

determinar el valor de las variables requeridas:

Cuando la variable es el precio: PO = i x (P/A, i, n) + Pn x (P/F, i, n) y el

resultado se compara con el real.

Compradeecio

CompradeecioVentadeeciontabilidad

Pr

PrPrRe

−=

También se expresa de la siguiente manera:

Pc

Pv

Pc

PcPvi

1−=−=

Donde,

PV = Precio de venta.

PC = Precio de compra.

i = Interés

Tasa de Registro = Tasa de cesión - tasa de comisión de venta

Precio de Registro = Precio de venta + comisión de venta

Ejemplo 4.1: Título De Carácter General. ¿A qué precio o con qué descuento

debe adquirir Gloria Flórez un título que se redime a los cinco años, si al final

de cada año recibe intereses del 24,00% con respecto al valor del documento

mencionado y aspira a obtener un rendimiento anual equivalente al 30,00%

efectivo?



Solución

Se empieza con expresar las transacciones de Gloria Flórez en la gráfica 2.

Gráfica 2: Determinación Del Precio De Un Activo Financiero

Aquí se puede suponer cualquier valor final el activo financiero, o sea $1, $10,

$100, $1.000, etcétera, puesto que el resultado que se obtendrá será siempre

el mismo. Asumamos entonces, que el título tendrá un valor de $1.000 y con

base en ello construimos el respectivo esquema de pagos que aparece en la

gráfica 2.

Utilizando el criterio del valor presente neto, con una tasa de interés de

oportunidad o costo de capital del 30,00%, se tiene: PO = 240 x (P /A,

30,00%, 5) + 1.000 x (P /F, 30,00%, 5) = $584,54 + 269,33 = $853,86. En

consecuencia, para el título que tiene un valor nominal de $1.000, Gloria Flórez

deberá pagar ahora el 85,40% de dicho valor, es decir $854, dada la tasa de

oportunidad del 30,00%.

Ejemplo 4.2: El Caso de un Título en General ¿Qué rentabilidad efectiva anual,

obtiene Eliana Jaramillo en un título emitido a 180 días si lo adquiere a un

85,00% de su valor nominal?

Solución

Para la solución del problema se recurre a la siguiente ecuación:


01 2 3

P=?

$240

$1.000

4 5i= 30%

01 2 3

P=?

$240

$1.000

4 5i= 30%

66


Compradeecio

CompradeecioVentadeecioi

Pr

PrPr −=

Pc

Pv

Pc

PcPvi

1−=−=

Donde,

PV = Precio de venta.

PC = Precio de compra.

i = Interés

Como de la ecuación resulta una tasa de interés para un subperíodo, que es el

semestre, luego se procede a convertir la tasa a una efectiva anual

equivalente, utilizando la ecuación deducida en capítulos anteriores. La cual es

expresada de la siguiente manera:

11 −

+=

t

pe t

tii

ip = interés del subperíodo

t = Número de períodos del período

Es decir, dado que ip es el interés del subperíodo implica entonces, que el

interés nominal del período será r = ip x t, donde t es el número de

liquidaciones del interés que se hacen en el período y por tanto el número de

capitalizaciones. Luego, la ecuación queda expresada así:

ie = (1 + ip)t - 1. Procediendo entonces, ip = 100/85 - 1 = 0,17647

ie = (1,17647)2 - 1 = 0,3841 = 38,41%. Esta es la rentabilidad efectiva

anual que Eliana Jaramillo recibe por el título.

Ejemplo 4.3: Título con Descuento. ¿A qué precio debe emitir la empresa

Jaramillo Osorio, unos títulos con descuento. Si desea que su vencimiento



ocurra a los 90 días y que el rendimiento para un inversionistas sea del 31,00%

anual, T.V.?

Solución

El análisis de la ilustración se inicia con hallar el interés trimestral de la

siguiente forma: ip = 0,31/4 = 0,0775 = 7,75% trimestral

Suponiendo un valor igual a $100 entonces; PO = PV/(1 + ip) = $100/1,0775

= 92,807. Por lo tanto, la entidad emisora deberá colocar los títulos al

92,807% de su valor nominal y, con ello se garantiza la tasa de rentabilidad del

inversionista.

Ejemplo 4.4: Título Valor. Carolina Jaramillo adquiere un activo financiero por

$20.000.000 que le genera un rendimiento equivalente al 34,00% efectivo

anual. ¿Cuánto deberá retirar durante diez años, si desea recibir al final de

cada año una cuota que se incremente en un 20,00% anual?

Solución

De acuerdo con el esquema de pagos que aparece en la gráfica No.3, es

requisito hallar el valor de la primera cuota e irla incrementando en un 20,00%.

Gráfica 3: El Caso de Carolina Jaramillo


01 2 3

10

i = 34% anual

A1

A1*(1.20)

A1 *(1.20)2

A1*(1.20)9

P=$20.000.000

01 2 3

10

i = 34% anual

A1

A1*(1.20)

A1 *(1.20)2

A1*(1.20)9

P=$20.000.000

68


Entonces, por lo planteado en el segundo capítulo:

P = A1 x (P/A1, i, ig, n) y reemplazando los valores tenemos que: 20.000.000

= A1 x (P/A1, 34,00%, 20,00%, 10) y despejando A1, nos encontramos que: A1

= 20.000.000 x 0,20949 = $4.189.826. Este será el valor del primer retiro

que realiza Carolina. Luego, el segundo retiro y los demás serán:

A2 = 4.189.826 x 1,20 = $5.027.791

A3 = 5.027.791 x 1,20 = $6.033.350

A4 = 6.033.350 x 1,20 = $7.240.020

…

A10 = 18.015.485 x 1,20 = $21.618.582

Ejemplo 4.5: Aceptación Bancaria. El señor Juan Carlos Pérez obtiene una

aceptación bancaria emitida con plazo de 90 días como resultado del pago

de una mercancía despachada a su cliente, el señor Pablo Gallo. Como, Juan

Carlos Pérez necesita dinero, decide venderla o descontarla en el mercado

bursátil, a través de un comisionista de bolsa. Con el conocimiento del

mercado y de las tasas de interés efectivas vigentes en el descuento de

documentos, el comisionista le debe suministrar al vendedor la tasa a la cual

cede el título y por consiguiente el precio que puede recibir por su aceptación.

Dada una tasa de cesión del 26,00% efectiva anual y una comisión de 0,50%

por rentabilidad. Dado que usted es el comisionista, determine la información

que debe suministrar al vendedor.

Solución

En la Gráfica 4 se presenta la situación.


0

1 2 3 90 días

ie = 26% anual (1)

P = ?

F = $100 (2)

(1) Tasa a la cuál estaría dispuesto para ceder la aceptación. (2) Asumimos un precio final de la aceptación por $100

0

1 2 3 90 días

ie = 26% anual (1)

P = ?

F = $100 (2)

(1) Tasa a la cuál estaría dispuesto para ceder la aceptación. (2) Asumimos un precio final de la aceptación por $100

69


El comisionista debe suministrar al señor Juan Carlos Pérez los siguientes

datos:

a) Precio De Venta. La tasa anual la convertimos a días: r/360 = (1,26)1/360

- 1 = 0,0642%. Luego, P = 100 x (P/ F, 0,0642%, 90) = 0,94386. Por lo

tanto, el precio de venta es 94,386% (es de $94,386).

b) Algunos autores sugieren otra forma de calcular el valor presente y se

puede expresar de la siguiente manera:

PO = F/(1 + ie)días/360

Reemplazando las variables; PO = 100/(1 + 0,26)90/360 = $94.386. El resultado

que obtenemos es el mismo. Simplemente, son cambios en el procedimiento.

c) Tasa De Registro. El comisionista le señala al señor Juan Carlos Pérez que

ha inscrito el título en el sistema electrónico de negociación, con una tasa de

registro del 25,50% (puesto que incluye una comisión de 0,50% de

rentabilidad) que, calculado en la misma forma del precio de venta, equivale a

un precio de registro del 94,480%. Ahora el esquema se presenta en la gráfica

3.

Como observamos los resultados, es que la razón para inscribirlo a una tasa y

precio de registro diferente al de venta, es el cobro de la comisión de venta

que debe hacer el comisionista de bolsa, la cual en este caso se calcula por la

diferencia entre el precio de registro y el precio de venta.

Tasa de cesión - tasa de comisión de venta

Tasa de registro = 26,00% - 0,50% = 25,50%

Precio de venta + comisión de venta



Precio de registro = 94,386 + 0,094 = $94.480

Los activos financieros que se negocian en la Bolsa de Valores de Colombia

(BVC) pueden clasificarse de acuerdo con diferentes criterios, ya sea por sus

características propias, la entidad emisora, la función que cumplen en la

economía, el rendimiento esperado, su forma de pago, entre otras.

Es importante explicar algunas clasificaciones de los activos financieros. Una

primera corresponde al momento en que se otorga el derecho. En este caso se

habla de títulos al portador, a la orden y nominativos. Un título es al portador,

cuando con la simple entrega del título se otorga el derecho al poseedor del

título, por ejemplo, un cheque. Un título es a la orden, cuando con el endoso y

entrega del título se otorga el derecho a su poseedor, por ejemplo, el

certificado de depósito a término fijo (CDT). Un título será nominativo cuando

el derecho se otorga con endoso, se hace un registro en un libro especial y se

entrega el título, por ejemplo, la acción común.

Otra de las clasificaciones de los activos financieros es agrupar los títulos

según la rentabilidad que otorgan y en el riesgo que se asume. En este caso,

en una escala de menor riesgo a mayor riesgo en el mercado de valores

encontramos los instrumentos de renta fija, de renta variable e instrumentos

derivados. Los instrumentos de renta fija, la probabilidad de recibir el capital y

la rentabilidad tiende a ser alta. En los de renta variable, la posibilidad de

recibir la rentabilidad y el capital invertido, es completamente estimada y, en

el caso de los instrumentos derivados son para recurrir la cobertura en riesgo o

para especular en el mercado.

Una tercera clasificación, según la rentabilidad que se ofrece en el propio

título, los activos financieros se clasifican en títulos con descuento, en títulos

con tasa de interés, o títulos con renta mixta. Ahora, esto ocurre

especialmente con los títulos de rendimiento fijo, puesto como ellos son

aquellos cuya rentabilidad puede ser determinada desde el momento de su

emisión o adquisición, de acuerdo con el plazo, la probabilidad de recibir (el



capital y los intereses) y las condiciones preestablecidas. Generalmente

equivalen a un préstamo otorgado a la entidad que los emite. Dentro de este

tipo se distinguen los títulos que pagan una rentabilidad fija mediante un

descuento, aquellos que lo hacen mediante intereses periódicos y, finalmente,

los que son adquiridos con descuento y además pagan intereses periódicos.

En el caso de títulos con descuento, es que el título se ofrece a un precio por

debajo de su valor nominal. Tal como ocurre con la gráfica No.4, donde de

muestra que un título es ofrecido a una tasa del 67% sobre el valor nominal de

$100.000 y se liquida a su valor nominal después de 4 años. Entonces, se

podría determinar la tasa de rentabilidad anual.

Una expresión de este tipo de títulos, es como la que se representa en las

gráficas 4, 5 y 6. En la gráfica 4, se muestra un título en el cual se hizo una

inversión en el día de hoy con descuento. Se espera recibir la totalidad al final

del cuarto período y se requiere conocer la tasa de rentabilidad que ofrece el

activo financiero. En la gráfica 5, se presenta un esquema que refleja una

inversión de $100 en el día de hoy, $3 de rendimiento durante cada uno de los

cuatro meses y se requiere conocer la tasa de rendimiento. Indudablemente, la

tasa de rendimiento es del 3,00% mensual.

Gráfica 5: Con Descuento

En la gráfica No.5, se El gráfico muestra las características del título: el valor

nominal del título de $100, los intereses mensuales de $3 (3% mensual), el

período de tiempo equivalente a 4 meses, y un precio igual al valor a la par (es

el valor nominal en este caso de $100).


0

1 2 3 4

ie = ?

P = $67.000

F = $100.000

0

1 2 3 4

ie = ?

P = $67.000

F = $100.000

72


Gráfica 6: Con Intereses Periódicos

Finalmente, en la gráfica 6, se explica un activo financiero que tiene

características mixtas, puesto que, se ofrece con descuento, a un plazo de

cuatro meses y se regresa el valor nominal del título al final del período de

maduración.

Gráfica 7: Con Descuentos E Intereses Periódicos (Mixto)

Existen además, títulos cuya probabilidad de los rendimientos y la

recuperación de capital se deben estimar, generando posiblemente un mayor

nivel de riesgo. A estos activos financieros se les denomina de renta variable.

Entre ellos se encuentran: las acciones ordinarias o comunes, las acciones

privilegiadas y las acciones con dividendo preferencial sin derecho de voto. Lo

más importante de los activos financieros es que identifiquemos sus principales

características y la forma de operar con ellos.


01 2 3

P=$100

A=$3

F= $100

4meses

01 2 3

P=$100

A=$3

F= $100

4meses

01 2 3

P=$98

$2

F= $100

4meses

01 2 3

P=$98

$2

F= $100

4meses

73


Además, se encuentran los instrumentos derivados, que involucran un mayor

nivel de riesgo, pero permiten realizar coberturas financieras11. Este es el caso

de futuros, forwards, opciones y operaciones de swaps. Hagamos un

tratamiento más amplio de estos instrumentos.

Instrumentos de Renta Fija. Tal como lo expresamos anteriormente, los

activos financieros tienen diferentes modalidades de comportarse. Estas

formas corresponden a: títulos con descuento, títulos con intereses, títulos en

divisas distintas al peso colombiano. Vamos a presentarlos con cierto grado de

detalle.

Títulos Con Descuento. Generalmente no devengan intereses y su

rendimiento está determinado por la diferencia entre el valor de compra o de

adquisición y el valor de venta o de vencimiento (valor nominal o valor facial).

El precio de adquisición de estos títulos a la entidad emisora (mercado

primario) es fijo y establecido de antemano. Algunos títulos con descuento que

se ofrecen en el mercado de valores colombiano son: aceptaciones financieras,

certificados eléctricos valorizables, títulos de tesorería clase B, papeles

comerciales, títulos de participación, bonos ordinarios en pesos, bonos

ordinarios en dólares (bonos ley 55 de 1985 - primera serie -, bonos ley 55 de

1985 - segunda serie -), certificados de depósito a término - CDT -, títulos de

apoyo cafetero (TAC), títulos energéticos de rentabilidad creciente (TER).

La rentabilidad se calcula mediante la siguiente ecuación: i = (F/P)1/n - 1.

También, como lo habíamos señalado en páginas anteriores:

Compradeecio

CompradeecioVentadeecioPeriódicoienton

Pr

PrPrdimRe

−=

La rentabilidad nominal anual se determina teniendo en cuenta el rendimiento

periódico y la relación entre el plazo de la inversión y el período anual. Por lo

tanto, si el plazo se expresa en días, es necesario dividir el número total de

días del año por el número que media entre los momentos de compra y venta,

11 Los instrumentos derivados se tratan en un próximo capítulo.



para luego, multiplicar tal resultado con el rendimiento periódico. En

consecuencia:

díasenvigenteplazoii periódicoalno

360*min =

días

alno

alno

Pc

Pvi

Pc

Pvi

360

min

min

1

1

−=

−=

Donde,

PV = Precio de venta o de redención (valor nominal).

PC = Precio de adquisición o de compra.

n = Número de períodos durante el año en que se puede repetir la misma

inversión o lo que es lo mismo 360 dividido por el número de días que hay en

el período de inversión.

En la mayoría de los casos se utiliza PO como indicador del precio al día de hoy.

Ya sea, de manera indiferente, para compra o venta. Si se expresa la tasa de

interés como porcentaje, se debe multiplicar la expresión anterior por cien

(100). Ahora, el interés efectivo anual se calcula mediante una de las

ecuaciones siguientes:

1)1(1 −+=

+= t

pe

t

e iiót

ri

A continuación se describe cada una de las alternativas con descuento

transadas en el mercado de valores colombiano y se presentan algunos

ejemplos sobre la manera cómo se calculan sus rendimientos o precios.

Por ello, se presentan inicialmente los títulos originados básicamente en el

sector privado y luego los del sector público.



Aceptación Financiera. Por recomendación de la misión Kemmerer en la ley

45 de 1923, fue previsto la creación de este título. Luego, fue reglamentado

por medio de la resolución No.29 del 5 de marzo de 1986, de la junta

monetaria2, y por los decretos 2041 y 2517 de 1987.

La aceptación no es otra cosa que una letra o documento a cargo de un

comprador de bienes, generalmente comerciantes e intermediarios, que un

banco comercial o compañía de financiamiento comercial avala. Es decir,

garantiza y se obliga a pagar al productor (vendedor) o poseedor, a su

vencimiento. El objeto de este instrumento es por lo tanto servir como fuente

alterna de financiamiento del sector productivo.

Este título se origina en transacciones de importación y exportación de bienes,

o compraventa de bienes inmuebles en el interior del país. Gráficamente, se

representan de la siguiente manera:

Gráfica 8: La Aceptación Bancaria

Algunas de las características de los títulos son:

El rendimiento se expresa por la diferencia entre su valor de compra en

bolsa y el valor nominal o de redención ante la entidad aceptante. Más

adelante se representa gráficamente.

2 En Colombia fue reemplazada por la Junta del Banco de la República, de acuerdo con la reforma constitucional de 1991.


Ofrece Entrega Acuerdan

PROVEEDOR

CLIENTE INTERMEDIARIO FINANCIERO

76


Son aceptados por un banco comercial o por una compañía de

financiamiento comercial y, otorgados por el comprador o comerciante al

productor, quien puede convertirlos inmediatamente en efectivo en el

mercado de valores, con un descuento sobre su valor nominal.

Certificado de Depósito a Término (CDT). Estos títulos, son instrumentos

de captación de ahorro de los Bancos Comerciales, las Corporaciones

Financieras, los bancos hipotecarios y las compañías de financiamiento

comercial, con el propósito de otorgar créditos a las empresas y diferentes

sectores de la economía nacional para cubrir sus necesidades de capital de

trabajo.

Características generales de los certificados de depósito a término:

Son emitidos por los bancos comerciales, las corporaciones financieras,

bancos hipotecarios y las compañías de financiamiento comercial; se

pueden adquirir también en el mercado primario a través de los

comisionistas de bolsa.

La tasa de interés que reconocen los CDT se pacta con la entidad

emisora dependiendo de las condiciones del mercado de capitales, el

monto y el plazo del depósito.

La tasa de interés está sujeta a un 7,00% de retención en la fuente

sobre los intereses devengados. Para los contribuyentes no obligados a

efectuar ajustes por inflación, el componente inflacionario de los

intereses obtenidos es exento.

Papel Comercial. De acuerdo a las reglamentaciones vigentes, el papel

comercial es un título valor expedido por sociedades anónimas, inscritas en el

Registro Nacional de valores, aprobado por la superintendencia de valores y

negociable a través del sistema bursátil colombiano. Las compañías que los

emiten casi siempre destinan los recursos provenientes de estos títulos para la

financiación del capital de trabajo.



Características de los papeles comerciales:

Recompra. Las entidades emisoras no recompran o redimen los títulos sino

hasta su vencimiento; sin embargo, pueden negociarse en cualquier

momento en el mercado secundario de la Bolsa de Valores de Colombia.

Rendimiento. Los intereses casi siempre son fijos y pagados

trimestralmente, ya sea anticipados, o vencidos, o indexados con base en el

DTF más algún porcentaje.

Situación Impuestal. Los rendimientos son gravables y están sujetos a la

tarifa efectiva del 7,00% de retención en la fuente.

Bono Ordinario En Pesos. Un bono es un título valor, emitido por una

empresa debidamente autorizada, en el cual se debe constar: Fecha de

emisión y de vencimiento, fecha de pago y de intereses; la tasa de interés

(tasa cupón) y el valor nominal del bono.

Se puede decir que es una alícuota de un crédito muy grande cuya

consecución no es fácil con una sola persona o entidad y entonces se acude al

crédito de varios y así con el concurso de todos los inversionistas se reúne fácil

y rápidamente la suma requerida.

Los bonos pueden ser emitidos por entidades del sector público como del

sector privado. Ejemplos de Bonos públicos son los bonos de Empresas

Públicas de Medellín, Tesoro Distrital, los Bonos de ISA, los bonos emitidos por

el municipio de Cali, entre otros.

Algunos ejemplos de bonos emitidos por el sector privado son los Bonos

Ordinarios: Smurfit Cartón de Colombia, los Bonos Ordinarios Bavaria y los

bonos Bancolombia. Los recursos captados por estos bonos se destinan a

financiar nuevos proyectos de inversión, ampliaciones de planta, sustitución de

pasivos, atención de necesidades de capital de trabajo, etcétera. Las

características generales de los bonos son las siguientes:



Aprobación. Su emisión se aprueba en la Asamblea general de accionistas

de la compañía; pero la superintendencia de valores aprueba su oferta

pública.

Emisor. Son emitidos por las sociedades anónimas.

Situación Impuestal. Los intereses percibidos están sujetos a un 7,00%

de retención en la fuente. Para los contribuyentes no obligados a efectuar

ajustes por inflación, el componente inflacionario de los mismos es exento.

Rendimiento. Estos bonos devengan intereses periódicos establecidos por

el emisor en el respectivo reglamento de emisión. El rendimiento pactado

en el mercado secundario dependerá de las condiciones imperantes en el

momento. La mayoría tienen su rendimiento indexado con base en un

indicador, ya sea el DTF o el TCC, más algún tipo de interés, el cual es

pagado en diferentes plazos y modalidades anticipadas o vencidas.

Forma De Pago. El pago de intereses se acondiciona mediante cupones

impresos y que van unidos al texto de cada bono. El valor de cada cupón se

determina tomando el valor nominal del bono y la tasa que figura en el

contrato de emisión del mismo.

Representante legal. Requieren la contratación de un representante legal

de los tenedores de bonos. Representa a los tenedores de bonos en todo lo

concerniente a su interés legal o colectivo:

Interviene con voz y voto en las reuniones del ente máximo

administrativo..

Exige a la entidad emisora que deposite oportunamente los fondos

indispensables para el pago de los intereses.

Garantía. Requieren aval, seguro de crédito o calificación. Las sociedades

que pueden captar recursos a través de bonos: sociedades por acciones,

patrimonios autónomos, sociedades limitadas, *cooperativas, *entidades sin

ánimo de lucro.

*Requieren aval o estar vigiladas por la Superintendencia bancaria.



Bono Ordinario En Dólares. Los bonos pueden ser emitidos en moneda

extranjera, tanto por entidades del sector público como del sector privado. Un

ejemplo de estos bonos del sector público en dólares son los Bonos Colombia y

los Bonos Ley 55, tanto de la primera como de la segunda serie, los cuales

tienen intereses fijos. En cuanto al sector privado el ejemplo es el de los Bonos

ordinarios 1994 de la serie B, emitidos por cartón de Colombia S.A., los cuales

son indexados con base en la tasa Prime.

De estos bonos se han emitido en Colombia en el período 1990 – 1996, varias

modalidades, entre las cuales se destacan: Bonos Colombia, Bonos Ley 55 de

1985, primera serie, Bonos Ley 55 de 1985, segunda serie.

Bonos Obligatoriamente Convertibles En Acciones. Es un título en la cual

el poseedor del bono tiene el derecho de intercambiar éste por una cantidad

específica de acciones comunes o de otro tipo de la misma sociedad.

El producto de la colocación de los bonos es destinado por la compañía

emisora a financiar sus necesidades de capital de trabajo o a realizar los

proyectos de ampliación de planta, mediante la transformación en el mediano

y largo plazo de pasivos de terceros en capital propio. Entre las características

generales de estos títulos se encuentran:

Valor De La Emisión. El valor nominal es diferente para cada emisión. La

sociedad emisora lo determina en el respectivo reglamento de colocación y

suscripción.

Rendimiento. Devengan hasta la fecha de su vencimiento una tasa de

interés cuya forma de pago y cuantía es determinada por la compañía

emisora de los bonos en el correspondiente reglamento de emisión.

Situación Impuestal. Se aplica retención en la fuente del 7,00% a los

intereses percibidos. Para los contribuyentes no obligados a efectuar

ajustes por inflación, el componente inflacionario de los intereses obtenidos

es exento.



Como complemento a la característica de rentabilidad, su verdadero

rendimiento está determinado. Además, de los intereses que paga

periódicamente debe involucrarse el factor de conversión que determine la

entidad emisora. Así por ejemplo, si se estipula que el factor de conversión

será una fracción del precio promedio de los últimos seis meses, y en el

momento de la conversión la cotización vigente es mayor que el precio de

convertibilidad, entonces el inversionista está recibiendo un mayor número de

acciones, las cuales pueden salir a vender y obtener la rentabilidad de su

inversión.

Ejemplo 4.9: Certificado Eléctrico. ¿Cuál es la rentabilidad efectiva anual

descontando el porcentaje de retención en la fuente del 7,00%, para el

inversionista, señor Pablo Gallo, que adquiere un certificado eléctrico emitido a

180 días, cuya colocación se realiza al 85,068%?

Solución

El porcentaje de retención en la fuente se descuenta en el momento de la

expedición del título, sobre la diferencia entre el valor de redención y el de

adquisición; por esto, se debe sumar al precio inicial de compra:

PC = (100 - 85,068) x 0,07 + 85,068 = 86,1132%. Por lo tanto, i (180

días) = 100/86,1132 - 1 = 0,16126 = 16,126%. De esta forma, ie =

(1,16126)2 - 1 = 0,3485 = 34,85%. Esta es la rentabilidad anual obtenida

por Pablo Gallo.

Ejemplo 4.10: Certificado Eléctrico ¿Qué rentabilidad nominal y efectiva

anual obtendrá el mismo Pablo Gallo, quien adquiere igual certificado eléctrico

de 180 días al 85,068%, y lo vende o cede faltándole 56 días para su

vencimiento a un precio neto vendedor del 93,391%?

Solución



El período correspondiente a la inversión será por lo tanto la diferencia entre el

plazo de maduración y el lapso faltante a su vencimiento. Es decir 124 días.

Gráficamente la situación es la siguiente;

Gráfica 9: El Certificado De Pablo Gallo

Para calcular el monto de la retención en la fuente, se debe descontar lo que

se cobra en el momento de la emisión y con respecto al rendimiento que se

genera durante el plazo de 180 días que dura el certificado. Retención = (100

– 85,068) x 0,07 = 1,0452. Con este dato, determinamos la rentabilidad para

el período específico. Así, se puede aplicar:

%451,810452,1068,85

391,93)124( =−

+=díasi

La rentabilidad anual nominal es, entonces:

%54,242454,0124

360*08451,0 ===anualr

Ahora, el rendimiento efectivo equivalente anual será: ie = (1,08451)360/124 - 1

= 0,2656 = 26,56%. Es claro que el rendimiento de Pablo Gallo disminuye,

debido a que redimió el título antes de su vencimiento.

Ejemplo 4.11: Papel Comercial. ¿Cuál es el precio de colocación para

sociedad Jaramillo Osorio S.A. al emitir un papel comercial a 270 días, si el

emisor paga un equivalente al 25,00% anual, T.A.?

Solución

Gráficamente la situación es la siguiente:


01 2 3

Po=85,068+retención

124días

Pv= 93,391

01 2 3

Po=85,068+retención

124días

Pv= 93,391

82


Gráfica 10: Papel Comercial

Para elaborar el flujo de caja es indispensable conocer la tasa del trimestre, la

cual equivale a: 25,00%/4 = 6,25%, T.A. Por lo tanto. El precio de colocación

se da en el momento cero, por la diferencia entre el valor nominal del título y

los intereses trimestrales anticipados. Precio de colocación: 100 - 6,25 =

93,75%

Ejemplo 4.12: Papel Comercial. ¿Cuál debe ser el precio neto que puede

pagar Ana María Manjarréz por un papel comercial emitido a 360 días y al que

le faltan 60 días para su vencimiento, si se desea obtener una rentabilidad

efectiva anual del 36,00% después de la comisión? Considere una comisión del

0,30% de rentabilidad. Además, determine el precio y la tasa de registro.

Solución

Se sabe que:

660

360*

%258,505258,01*6

61)36,1(

1)1(1

=

==−=

−+=

r

it

r te

Gráficamente la situación es representada en el esquema 12.

Gráfica 11: El Activo Financiero De Ana María Manjarréz


0 1 2 3 4

r= ? Trimestral

100

6,25 6,25 -$8006,25

100

0 1 2 3 4

r= ? Trimestral

100

6,25 6,25 -$8006,25

100

83


A partir de este dato se puede calcular el precio de compra con el que se podrá

obtener un rendimiento equivalente al 36,00% efectivo anual:

%0044,95950044,0)05258,01(

100 ==+

=oP

Puesto que la operación anterior se efectúa en el mercado secundario, para

determinar el precio de registro en la bolsa, se parte de la tasa comprador, se

determina la tasa de registro y finalmente se llega al precio de transacción.

Tasa comprador + tasa comisión compra

Tasa de registro = 36,00% + 0,30% =

36,30%

El precio de registro se calcula utilizando la fórmula siguiente:

%969,9494969,0)0363,01(

100RePr

)1(RePr

36060

360

==

+=

+=

gistroecio

registrodetasa

Fgistroecio

t

La comisión de compra cobrada en este negocio se determina por la diferencia

entre el precio de compra y el precio de registro: Comisión de compra =

95,0044 – 94,9695 = 0,0349.

Ejemplo 4.13: Bono Ordinario En Pesos. ¿A qué precio podría, Rodrigo

Botero, adquirir un bono ordinario en pesos emitido en abril 21 de 2004 con


0

1 2 3 4 60 días

Pc=?

100

0

1 2 3 4 60 días

Pc=?

100

84


plazo de dos años, al que le faltan 371 días al vencimiento, si el bono liquida

intereses mensualmente vencidos el último día de cada mes, a la tasa del

29,02% anual y al inversionista desea una rentabilidad equivalente al 34,00%

efectiva anual?

Solución

Para poder representar gráficamente el flujo de caja es necesario determinar el

valor tanto de los intereses periódicos como de los cancelados al vencimiento

del bono ordinario.

693.1$360

21*2902,0*100

418.2$360

30*2902,0*100cos

==

==

oVencimientalIntereses

PeriódiIntereses

Por lo tanto; el último pago de intereses se hace proporcionalmente a los 21

días de abril de 2004.

Trayendo a valor presente todos los pagos futuros, a la tasa esperada, se tiene:

4590,99%)34(

)34,1(

693.101

)34,1(

418.2

)34,1(

418.2%)34(

360380

36030

36030

=

++=

o

o

P

P

Gráfica 12: Bono Ordinario

Ejemplo 4.14: Bono Ordinario En Pesos. ¿Cuál es el rendimiento efectivo

anual de un bono ordinario en pesos con plazo de tres años, adquirido por Juan


01 2 3

P=?

$2.418

100+1.693

4 21Marzo 30/03

Abril 21/02

01 2 3

P=?

$2.418

100+1.693

4 21Marzo 30/03

Abril 21/02

85


Esteban Rojas en el momento de su emisión, y que le liquida una tasa de

30,50% anual, T.A?

Solución

Para determinar el rendimiento efectivo que obtendría Juan Esteban, primero

se debe transformar el interés anticipado a vencido.

ATAhora .0725.04

305.0 = %254.808254.007625.01

07625.0. ==

−=VT

%33.373733.01)08254.1( 4 ==−=eiAsí



Bibliografía

ÁLVAREZ ARANGO, Alberto. Matemáticas Financieras. Segunda edición,

editorial Mc Graw Hill. Bogotá, 1999.

JARAMILLO BETANCUR, Fernando. Matemática Financiera y su uso para las

Decisiones en un Entorno Internacional. Libro en Edición. Medellín, 2006.

MOYER, Charles R, McGUIGAN, James R y KRETLOW, William J. Administración

financiera contemporánea. Séptima edición.

OCHOA SETZER, Guadalupe. Administración Financiera. Primera Edición.

McGraw-Hill. México 2003.

SANTANDREU, Pol. Matemática Financieras con ejercicios. Gestión 2000.

Barcelona 2002.

SULLIVAN, William G. WICKS, Elin M. LUXHOJ, James T. Ingeniería Económica

de DeGarmo. Duodécima Edición. Editorial Pearson. México 2004.

VÉLEZ PAREJA, Ignacio. Decisiones de inversión: enfocado a la valoración de

empresas. Bogota : Centro Editorial Javeriano (Ceja), 2001



ANEXO: Fórmulas de Matemática Financiera

Tasa de interés efectiva con capitalizaciones vencidas

11efi −

+=

mnom

m

i

Tasa de interés nominal a partir de una efectiva con capitalizaciones vencidas

( )1)1( −+= m efnom imi

Tasa de interés efectiva con capitalizaciones anticipadas

11ief −

−=

−mnom

m

i

Tasa de interés nominal a partir de una efectiva con capitalizaciones anticipadas

+−=

m

ef

nom

imi

/1

1

11

Tasa efectiva periódica (cuando la capitalización es anticipada)

ant

antef

i

ii

−=

1

Tasa anticipada periódica a partir de una tasa vencida

ef

efant

i

ii

+=

1

Tasa equivalente de una tasa en moneda extranjera

1)1)(1( −++= devef iii

Tasa de interés real

11

1 −++=

fl

efr

i

ii

Valor Presente de un Pago Único

n

iFP

+=

1

1

Valor Futuro de un Pago Único

niPF )1( +=

Valor Presente de una Serie Uniforme

+

−+=n

n

ii

iAP

)1(

1)1(

Valor Futuro de una Serie Uniforme

−+=i

iAF

n 1)1(

Valor Presente de un Gradiente Aritmético

+

−+

−+=nn

n

g i

n

ii

i

i

GP

)1()1(

1)1(

Valor Futuro de un Gradiente Aritmético

i

NG

i

i

i

GF

n

g −

−+= 1)1(



Serie Uniforme de un Gradiente Aritmético

−+

−=1)1(

1ng i

n

iGA

Valor Futuro de un Gradiente Geométrico

±

+++=

ii

iiAF

g

ng

n )1()1(1

Valor Presente de un Gradiente Geométrico

ii

i

iA

Pg

n

ng

−

−

++

=

1)1(

)1(1

Valor Presente de un Gradiente Geométrico

ii

i

iA

Pg

n

ng

−

−

++

=

1)1(

)1(1

Serie Uniforme de un Gradiente Geométrico

−+

−

−−+=

1)1(

)1()1(1 n

g

ng

n

i

i

ii

iiAA

Cálculo del Número de Periodos

)1ln(

lnln

i

PFn

+−=

Cálculo de la Tasa de Interés

1)( /1 −= n

PFi


Módulo de Matematica Financiera

Documents

Transcript of Módulo de Matematica Financiera