Modulo de electromagnetismo y óptica

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO

INSTITUTO DE POSGRADO

MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

MENSIÓN ENSEÑANZA DE LA FÍSICA

“ELECTROMAGNETISMO Y

ÓPTICA”

COMPILADOR:

Dr. Victor Hugo Caiza Mgs.

RIOBAMBA-ECUADOR

2015

2 Dr. Victor Hugo Caiza Mgs.

CONTENIDO

Pág.

CONTENIDO ........................................................................................................................................ 2

INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................. 6

CAPÍTULO 1 ........................................................................................................................................ 7

1. ELECTRÓSTATICA Y LA LEY DE COULOMB .................................................................................. 7

1.1. INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. 7

1.2. CARGA ELÉCTRICA .............................................................................................................. 7

1.3. CUANTIZACIÓN DE LA CARGA ............................................................................................ 9

1.4. CONSERVACIÓN DE LA CARGA ......................................................................................... 10

1.5. CONDUCTORES Y AISLANTES ............................................................................................ 11

1.5.1. Conductores ............................................................................................................. 11

1.5.2. Aislantes o dieléctricos ............................................................................................. 11

1.5.3. Semiconductores ...................................................................................................... 11

1.6. FORMAS DE ELECTRIZAR (CARGAR A UN CUERPO) .......................................................... 12

1.6.1. Por contacto ............................................................................................................. 12

1.6.2. Por influencia: (inducción electrostática)................................................................. 12

1.6.3. Por rozamiento ......................................................................................................... 12

1.6.4. Por efecto termoiónico ............................................................................................ 13

1.6.5. Por efecto fotoeléctrico ........................................................................................... 13

1.6.6. Por efecto piezoeléctrico ......................................................................................... 13

1.7. LEY DE COULOMB ............................................................................................................. 13

ACTIVIDADES N° 1 ........................................................................................................................ 22

CAPÍTULO 2 ...................................................................................................................................... 25

2. CAMPO ELÉCTRICO Y POTENCIAL ELÉCTRICO .......................................................................... 25

2.1 INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 25

2.2. CAMPO ELÉCTRICO ................................................................................................................ 25

2.2.1. Definición de campo eléctrico ........................................................................................ 25

2.2.2. Líneas de campo eléctrico. ............................................................................................. 26

2.2.3. Definiciones .................................................................................................................... 29

2.2.4. Cálculo del potencial eléctrico en diferentes configuraciones ...................................... 30

2.3. CAPACITANCIA ....................................................................................................................... 32


2.3.1. Introducción .................................................................................................................. 32

2.3.2. Definición ....................................................................................................................... 33

2. 3.3. Calculo de la capacitancia en diferentes configuraciones ............................................ 34

2.4. LEY DE GAUSS ........................................................................................................................ 39

2.4.1. Flujo eléctrico ................................................................................................................. 39

ACTIVIDADES N° 2 ........................................................................................................................ 41

CAPÍTULO 3 ...................................................................................................................................... 44

3. CORRIENTE Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS .......................................................................................... 44

3.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 44

3.2 DEFINICIONES ................................................................................................................... 44

3.2.1 Corriente eléctrica .................................................................................................... 44

3.2.2 Resistencia ................................................................................................................ 45

3.2.3 Código de colores para resistores. ........................................................................... 46

3.2.4 Resistividad............................................................................................................... 47

3.2.5 Densidad de corriente .............................................................................................. 47

3.2.6 Conductividad........................................................................................................... 48

3.3 LEY DE OHM ..................................................................................................................... 48

3.4 POTENCIA ELÉCTRICA ....................................................................................................... 50

3.5 LEY DE JOULE .................................................................................................................... 52

3.5.1 La ley de Joule enuncia que:..................................................................................... 52

3.6 LEYES DE KIRCHHOFF ........................................................................................................ 53

3.6.1. Estrategia para la solución de problemas: Reglas de Kirchhoff. .................................... 55

ACTIVIDADES N° 3 ........................................................................................................................ 57

CAPÍTULO 4 ...................................................................................................................................... 64

4. MAGNETISMO Y CAMPO MAGNÉTICO..................................................................................... 64

4.1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 64

4.2. DEFINICIÓN DE CAMPO MAGNETICO .............................................................................. 65

4.3. FUERZA MAGNETICA SOBRE UNA CARGA EN MOVIMIENTO ........................................... 67

4.4. LA FUERZA MAGNETICA ENTRE CONDUCTORES .............................................................. 70

4.5. FUERZA SOBRE UN ALAMBRE POR EL CUAL CIRCULA UNA CORRIENTE. ......................... 71

4.6. LEYES DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS .................................................................................. 73

4.7. PROPIEDADES DE LOS MATERIALES MAGNÉTICOS .......................................................... 75

ACTIVIDADES N° 4 ........................................................................................................................ 78

CAPÍTULO 5 ...................................................................................................................................... 79


5. LEYES DEL ELECTROMAGNETISMO........................................................................................... 79

5.1. FLUJO ELÉCTRICO Y LA LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO MAGNETICO ............................. 79

5.1.1. FLUJO ELECTRICO ..................................................................................................... 79

5.1.2. Ley de Gauss. Calculo de E a partir de la ley de Gauss. ............................................ 80

5.2. LEY DE BIOT Y SAVART ...................................................................................................... 81

5.3. LEY DE AMPERE ................................................................................................................ 85

5.3.1. Ley de Ampere original ................................................................................................ 85

Forma integral .......................................................................................................................... 85

Forma diferencial ..................................................................................................................... 85

5.3.2. Ley de Ampere-Maxwell ............................................................................................... 85

Forma integral .......................................................................................................................... 86

Forma diferencial ..................................................................................................................... 86

5.3.3. Forma del ángulo sólido ............................................................................................... 86

5.4. LEY DE FARADAY ............................................................................................................... 87

5.5. LEY DE LENZ ...................................................................................................................... 88

ACTIVIDADES N° 6 ........................................................................................................................ 94

CAPÍTULO 6 ...................................................................................................................................... 95

6. INDUCTANCIA ........................................................................................................................... 95

6.1. VALOR DE LA INDUCTANCIA ............................................................................................. 95

6.1.1. Energía almacenada ................................................................................................. 96

6.2. FUERZA ELECTROMOTRIZ AUTOINDUCIDA ...................................................................... 96

6.3. CALCULO DE LA INDUCTANCIA ......................................................................................... 97

6.4. UN CIRCUITO LR ............................................................................................................... 97

6.5. ALMACENAMIENTO DE ENERGÍA EN UN CAMPO MAGNÉTICO ....................................... 99

6.6. OSCILACIONES ELECTROMAGNÉTICAS - CIRCUITO LC ..................................................... 99

6.7. CIRCUITO RLC- OSCILACIONES AMORTIGUADAS Y FORZADAS ...................................... 100

6.8. CAMPOS Y ONDAS ELECTROMAGNETICAS..................................................................... 101

6.9. PRINCIPIO DE LAS OEM ................................................................................................. 102

6.10. CARACTERÍSTICAS DE UNA OEM ................................................................................ 103

6.11. ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO ............................................................................... 106

6.12. RADIACIÓN VISIBLE .................................................................................................... 107

ACTIVIDADES N° 6 ...................................................................................................................... 109

CAPÍTULO 7 .................................................................................................................................... 110

7. PROPAGACIÓN, REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE LA LUZ ÓPTICA GEOMÉTRICA .......................... 110


7.1. NATURALEZA DE LA LUZ ...................................................................................................... 110

7.2. CARACTERÍSTICAS DE LA LUZ: ............................................................................................. 111

7.3. REFLEXIÓN DE LA LUZ .......................................................................................................... 112

7.3.1. Leyes de la reflexión ..................................................................................................... 112

7.3.2. Espejo plano ................................................................................................................. 113

7.3.3. Espejos esféricos .......................................................................................................... 115

7.3.4. Ecuación fundamental de los espejos .......................................................................... 117

7.4. REFRACCIÓN ........................................................................................................................ 117

7.4.1. Ecuación de la Ley de Snell: .......................................................................................... 118

7.4.2. Lentes ........................................................................................................................... 119

7.3.4. Ecuación fundamental de los lentes ............................................................................ 121

ACTIVIDADES N° 7 ...................................................................................................................... 123

BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................................. 126

BIBLIOGRAFÍA ELECTRÓNICA .......................................................................................................... 126


INTRODUCCIÓN

El presente modulo tata de reflejar el tema al que está dedicado, existe un gran apartado de física que lleva el nombre de física de los fenómenos electromagnéticos. Para principios del siglo XX parecía que estaba consumado debido a los trabajos de Faraday y Maxwell. Consumado en el sentido de que quedaron entendidas las leyes principales que regían los campos electromagnéticos, es decir estuvieron escritas las ecuaciones correspondientes. Pero paulativamente iba revelándose que ni hablar se podía de una consumación. La teoría de los fenómenos electromagnéticos, al igual que la mecánica, se vio sujeta a un sustancial desarrollo debido a la aportación a estas de ideas cuánticas.

El concepto básico de la física de los fenómenos electromagnéticos es el campo electromagnético. El campo electromagnético permanece que no depende del tiempo se descompone en dos: el campo eléctrico y el campo magnético. Estos campos son disímiles, sin embargo, un campo electromagnético dependiendo del tiempo no es sino la combinación de los campos eléctricos y magnéticos, que se ven concentrados en la onda electromagnética.

En los tres primeros capítulos se muestran las características importantes de las cargas en reposo, así como la dinámica propia de dichos fenómenos estudiando las interacciones Columbianas, además se evidencia el carácter vectorial del campo eléctrico y se lo complementa con el análisis de las cargas en movimiento, esto es , la corriente eléctrica. En los penúltimos capítulos se estudia la naturaleza magnética de la materia y propiamente la interrelación existente entre el campo eléctrico y el campo magnético, revisando las principales leyes que gobiernan los fenómenos magnéticos, de esta manera se estará en la capacidad de comprender la leyes fundamentales del electromagnetismo, Y en el último capítulo se hace referencia a la naturaleza de la luz y las leyes que rigen en la óptica geométrica.


CAPÍTULO 1

1. ELECTRÓSTATICA Y LA LEY DE COULOMB

1.1. INTRODUCCIÓN

La palabra estática significa en reposo y la electricidad puede encontrarse en reposo. Cuando se frotan ciertos materiales entre sí, la fricción causa una transferencia de electrones de un material al otro. Un material puede perder electrones en tanto otro los ganará. Alrededor de cada uno de estos materiales existirá un campo electrostático y una diferencia de potencial, entre los materiales de diferentes cargas. Un material que gana electrones se carga negativamente, y uno que entrega electrones se carga positivamente.

Una de las leyes básicas de la electricidad es:

I. Los cuerpos con cargas diferentes se atraen. II. Los cuerpos con cargas semejantes se repelen.

El campo eléctrico invisible de fuerza que existe alrededor de un cuerpo cargado, puede detectarse con un electroscopio. Por lo tanto llamaremos electricidad al movimiento de electrones.

Electrostática. Estudio de la electricidad en reposo.

Ionización. La capacidad de desprender un electrón. Cargas iguales se repelen. Cargar es ionizar.

1.2. CARGA ELÉCTRICA

Es posible llevar a cabo cierto número de experimentos para demostrar la existencia de fuerzas y cargas eléctricas. Por ejemplo, si frotamos un peine contra nuestro pelo, se observará que aquél atraerá pedacitos de papel. A menudo la fuerza de atracción es lo suficientemente fuerte como para mantener suspendidos los pedacitos de papel. El mismo efecto ocurre al frotar otros materiales, tales como vidrio o el caucho.


En una sucesión sistemática de experimentos un tanto simples, se encuentra que existen dos tipos de cargas eléctricas a las cuales Benjamín Franklin les dio el nombre de positiva y negativa.

Para demostrar este hecho, considérese que se frota una barra dura de caucho contra una piel y a continuación se suspende de un hilo no metálico, como se muestra en la fig. 1.1. Cuando una barra de vidrio frotada con una tela de seda se acerca a la barra de caucho, ésta será atraída hacia la barra de vidrio. Por otro lado, si dos barras de caucho cargadas (o bien dos barras de vidrio cargadas) se aproximan una a la otra, como se muestra en figura 1.1.b., la fuerza entre ellas será de repulsión. Esta observación demuestra que el caucho y el vidrio se encuentran en dos estados de electrificación diferentes. Con base en estas observaciones, podemos concluir que cargas iguales se repelen y cargas diferentes se atraen.

Figura 1.1. a). La barra de caucho cargada negativamente, suspendida por un hilo, es atraída hacia la barra de vidrio cargada positivamente. b). La barra de caucho cargada negativamente es repelida por otra barra de caucho cargada negativamente.

Otro aspecto importante del modelo de Franklin de la electricidad es la implicación de que la carga eléctrica siempre se conserva. Esto es, cuando se frota un cuerpo contra otro no se crea carga en el proceso. El estado de electrificación se debe a la transferencia de carga de un cuerpo a otro. Por lo tanto, un cuerpo gana cierta cantidad de carga negativa mientras que el otro gana la misma cantidad de carga positiva.

En 1909, Robert Millikan (1886-1953) demostró que la carga eléctrica siempre se presenta como algún múltiplo entero de alguna unidad fundamental de carga e. En términos modernos, se dice que la carga q está cuantizada. Esto es, la carga eléctrica existe como paquetes discretos. Entonces, podemos escribir q=Ne, Donde N es algún entero. Otros experimentos en el mismo periodo demostraron que el electrón tiene una carga de -e y que el protón una carga igual y opuesta de +e. Algunas partículas elementales, como el neutrón, no tienen


carga. Un átomo neutro debe contener el mismo número de protones que electrones.

Las fuerzas eléctricas entre objetos cargados fueron medidas por Coulomb utilizando la balanza de torsión, diseñada por él. Por medio de este aparato, Coulomb confirmó que la fuerza eléctrica entre dos pequeñas esferas cargadas es proporcional al inverso del cuadrado de la distancia que las separa, es decir:

El principio de operación de la balanza de torsión es el mismo que el del aparato usado por Cavendish para medir la constate de gravitación, remplazando masas por esferas cargadas. La fuerza eléctrica entre las esferas cargadas produce una torsión en la fibra de suspensión. Como el momento de una fuerza de restitución de la fibra es proporcional al ángulo que describe al girar, una medida de este ángulo proporciona una medida cuantitativa de la fuerza eléctrica de atracción o repulsión. Si las esferas se cargan por frotamiento, la fuerza eléctrica entre las esferas es muy grande comparada con la atracción gravitacional; por lo que se desprecia la fuerza gravitacional.

Por lo tanto, se concluye que la carga eléctrica tiene las propiedades siguientes:

Existen dos clases de cargas en la naturaleza, con la propiedad de que cargas diferentes se atraen y cargas iguales se repelen.

La fuerza entre cargas varía con el inverso del cuadrado de la distancia que las separa.

La carga se conserva. La carga está cuantizada.

1.3. CUANTIZACIÓN DE LA CARGA

La carga eléctrica siempre aparece como un número entero de cargas

electrónicas, esto es, la carga del electrón es la cantidad más pequeña de carga

negativa que se pueda encontrar en la naturaleza, En forma similar la carga del

portón es la misma que la del electrón pero con signo contrario (+e).

Las cargas en las demás partículas son cero o algún entero múltiplo de la del e-.

Esta característica de la carga eléctrica de aparecer en múltiplos de una carga

elemental se conoce como "Cuantización de la carga" y se dice que la carga

eléctrica está cuantizada.

En la actualidad, tanto los físicos teóricos como los experimentales en física de alta energía, están buscando partículas con carga fraccionaria llamadas quarks.


1.4. CONSERVACIÓN DE LA CARGA

Otra característica muy importante de la carga eléctrica es que siempre se

conserva, lo que quiere decir que en toda interacción o reacción, los valores inicial

y final de carga eléctrica total deben ser los mismos. Por tanto, la carga eléctrica

total ni se crea ni se destruye.

Se admite y los resultados experimentales lo

confirman, que la materia está formada de átomos. El

átomo comprende un núcleo muy denso formado de

protones cargados positivamente, de neutrones sin

carga y de electrones muy livianos cargados

negativamente, girando en órbitas llamadas K, L, M.....

La carga negativa del electrón es de igual magnitud

que la carga positiva del protón. Nunca se ha

observado una carga menor; este hecho se denomina

la cuantificación de la carga eléctrica. En el estado fundamental o normal de un

átomo, el número de electrones es igual al número de protones del núcleo; es el

número atómico Z.

Si un electrón en su órbita recibe un exceso de energía (debido a un choque con

otra partícula, o con un haz de luz, o por el calor), el electrón puede escaparse del

átomo; se dice, entonces, que hubo ionización.

La estructura del átomo que queda se denomina Ion positivo y el electrón solitario

o el átomo que gana este electrón es un Ion negativo.

Un cuerpo que tenga un número mayor de iones positivos que de iones negativos,

estará cargado positivamente; en el caso contrario, estará cargado

negativamente. Si el número de iones de cada signo es igual, diremos que el

cuerpo es neutro.

Tabla 1.1. Carga y masa del electrón, protón y neutrón.


1.5. CONDUCTORES Y AISLANTES

La materia se comporta de distinta manera con respecto a la carga eléctrica.

Existen 2 tipos de sustancias, las conductoras y las aislantes. Se las puede

comprender diciendo que los e se pueden mover con libertad a través de una

sustancia conductora (fluir en ella), mientras que en un aislante se mantienen

unidos a los átomos y no se mueven por todo el material. (Aunque por causas

externas puede ser posible desprender e-). A las sustancias aislantes también se

les llama Dieléctricos.

En el interior de los cuerpos, los iones pueden o no moverse. Este hecho permite

dividirlos en:

1.5.1. Conductores

En donde los iones pueden moverse libremente. En los conductores líquidos o

gaseosos, los iones de los signos pueden moverse. En los metales la experiencia

muestra que solamente se mueven los electrones. Esto se debe a que los

electrones de las órbitas externas, son poco unidos a los núcleos; pueden

desprenderse fácilmente de la órbita de un átomo e ir de órbita en órbita;

constituyen electrones libres.

Las sustancias metálicas son siempre buenos conductores (sus características de

"elevada conductividad térmica" y su "alta reflexividad óptica, están relacionadas

con la presencia de e- libres móviles en ellos).

Se pueden citar como conductores fuera de los metales, el grafito, los ácidos, las

bases, las sales, la tierra, el cuerpo humano y el agua.

1.5.2. Aislantes o dieléctricos

En donde los iones no pueden moverse, esto se debe a que todos los electrones

están fuertemente unidos a los núcleos. Se necesitan condiciones especiales,

como por ejemplo altas temperaturas, para que algunos electrones puedan

escaparse de sus órbitas y así, el aislante se vuelva conductor.

Se pueden citar como aislantes: el caucho, la madera, el vidrio y los plásticos en

general, el hule, cuero, aceites, sustancias orgánicas.

1.5.3. Semiconductores

Que poseen muy pocos electrones libres y por tanto, son cuerpos intermedios

entre los conductores y los aislantes. El cristal de germanio es un ejemplo. Un

estudio más detallado de sus propiedades se hará en el capítulo de electrónica.

Existen sustancias que tienen pocos e- libres, en comparación a las metálicas;

estas conducen electricidad, pero en menor grado y su comportamiento eléctrico

es intermedio entre las sustancias conductoras y aislantes. A este tipo de

sustancias se las conoce como semiconductoras. Por ejemplo el Germanio,

silicio, grafito.


1.6. FORMAS DE ELECTRIZAR (CARGAR A UN CUERPO)

La experiencia muestra que la cantidad de cargas positivas en un sistema cerrado

es constante. Esto se explica, a la luz de la teoría atómica, por el transporte de las

partículas elementales, específicamente los electrones de un lugar a otro.

Se deduce de esta ley de la conservación de las cargas, que si se produce una

cierta cantidad de carga de un signo, también se debe producir una cantidad igual

de cargas de signo contrario.

Para cargar un cuerpo, se puede partir, bien sea de cuerpos previamente

cargados, o produciendo la ionización de los átomos.

1.6.1. Por contacto

Sea un conductor metálico negativo (exceso de electrones libres) y otro conductor

metálico neutro. Al poner en contacto los dos conductores, los electrones libres en

exceso se reparten entre los dos conductores.

Si el primer conductor es positivo (falta de electrones libres), y el segundo neutro

al ponerlos en contacto algunos electrones libres del segundo serán atraídos por

las cargas positivas del primero; entonces los dos conductores quedaran

cargados positivamente.

1.6.2. Por influencia: (inducción electrostática).

Cuando un cuerpo cargado A, negativo por ejemplo, se aproxima a un conductor

neutro B, algunos electrones libres de este, se alejan del cuerpo A dejando iones

positivos en la parte más próxima a A. Así en el conductor B hay una separación

de carga. Si unimos B a la tierra, por un alambre metálico, los electrones libres

repelidos por A, irán a cargar la tierra. Suprimiendo el contacto, el cuerpo B

quedara cargado positivamente.

1.6.3. Por rozamiento

Es la ionización producida por los choques de los

átomos de un cuerpo, sobre los átomos del otro

cuerpo.

Así cuando frotamos el vidrio, quedando con la seda, extraemos algunos

electrones del vidrio, quedando éste cargado positivamente y los electrones

extraídos se depositan sobre la seda que por tanto queda cargada negativamente


1.6.4. Por efecto termoiónico

Es la ionización producida por el calor. A altas temperaturas, los electrones que

vibran cada vez más fuertemente pueden escapar del cuerpo; éste quedará por

tanto positivo. Este efecto es la base de la electrónica de válvulas.

1.6.5. Por efecto fotoeléctrico

Es la ionización producida por la luz. Esta, golpeando una superficie, puede

provocar la emisión de electrones.

1.6.6. Por efecto piezoeléctrico

Si se comprimen ciertos cristales (cuarzo por ejemplo), cortado de cierta manera,

aparecen, debido a la disposición de sus átomos, cargas positivas y negativas

sobre sus caras. Los signos de las cargas cambian, si en lugar de comprimir se

trata de dilatar el cristal

1.7. LEY DE COULOMB

En 1785, Coulomb estableció la ley fundamental de la fuerza eléctrica entre dos partículas cargadas estacionarias. Los experimentos muestran que la fuerza eléctrica tiene las siguientes propiedades:

La fuerza es inversamente proporcional al inverso del cuadrado de la distancia de separación r entre las dos partículas, medida a lo largo de la línea recta que las une.

La fuerza es proporcional al producto de las cargas q1 y q2 de las dos partículas.

La fuerza es atractiva si las cargas son de signos opuestos, y repulsiva si las cargas son del mismo signo. A partir de estas observaciones podemos expresar la fuerza eléctrica entre las dos cargas como:

Ley de Coulomb de las fuerzas electrostáticas:

| || |

Donde k es una constante conocida como constante de Coulomb. En sus experimentos, Coulomb, pudo demostrar que el exponente de r era 2, con sólo un pequeño porcentaje de incertidumbre. Los experimentos modernos han demostrado que el exponente es 2 con una precisión de algunas partes en 109.

La constante de coulomb k en el SI de unidades tiene un valor de:


La ley de Newton predice la fuerza mutua que existe entre dos masas separadas por una distancia r; la ley de Coulomb trata con la fuerza electrostática. Al aplicar estas leyes se encuentra que es útil desarrollar ciertas propiedades del espacio que rodea a las masas o a las cargas.

PROBLEMA 1.1:

El electrón y el protón de un átomo de hidrógeno están separados en promedio por una distancia aproximada de 5.3X10-11 m. Calcúlese la magnitud de la fuerza eléctrica y de la fuerza gravitacional entre las dos partículas.

SOLUCIÓN.

De la ley de Coulomb, se determina que la fuerza de atracción eléctrica tiene una magnitud de:

Usando la ley de la gravitación universal de Newton y la tabla 1.1 la fuerza gravitacional tiene una magnitud de:

La interacción entre dos cargas ya quedó descripta pero esta puede ser extendida

al caso de varias cargas recurriendo al llamado principio de superposición que

nos asegura que, en el caso de tener varias cargas presentes, la fuerza total

actuante sobre una carga puede ser calculada como la suma vectorial de las

fuerzas. Dado que la oración anterior es un poco compleja vamos a plantearla con

un ejemplo simple que muestra la figura 1.2


Figura 1.2. Sistema de tres cargas eléctricas puntuales

Para no complicar el ejemplo se han dibujado tres cargas, q1, q2 y q3, ubicadas en

las posiciones 1r

, 2r

y 3r

medidas con respecto a un origen de coordenadas 0.

Todas las cargas son consideradas positivas para facilitar el primer análisis.

Supóngase que el objetivo es calcular la fuerza eléctrica total actuante sobre la

carga 3. En base al principio de superposición estudiamos primero la interacción

entre la carga 1 y la 3 (sin tomar en cuenta la 2), luego para el par 2 y 3 (sin

considerar la 1) y finalmente se suman los resultados parciales para tener la

fuerza total deseada.

La tarea no parece complicada puesto que evaluar con la ley de Coulomb el

módulo de cada fuerza es simple, así que resta hacer un dibujo prolijo para hacer

la suma vectorial. No será tarea difícil pero es muy tediosa por lo que se puede

hacer algunos arreglos que permitirán simplificar el cálculo e inclusive generar un

algoritmo para programar en una computadora.

Concéntrense en la interacción entre las cargas 1 y 3. La fuerza, repulsiva por ser

cargas del mismo signo, apunta en la dirección de la recta que une dichos puntos.

Específicamente el vector 13 rr

apunta en el sentido en el que lo hace la fuerza

actuante sobre la carga 3 por la interacción con la 1. Tomar entonces el módulo

de la fuerza:


2

13

13

31

rr

qqkF

| 13 rr

|es la distancia entre ambos puntos.

Y si le agregar un vector unitario en la dirección de 13 rr

se tendrá la fuerza dada

con módulo y sentido. Para generar dicho vector unitario dividir a 13 rr

por su

módulo y se obtiene:

3

13

13

13

13

13

2

13

13

31

rr

rrqkq

rr

rr

rr

qqkF

Esta es una expresión vectorial muy útil porque contiene toda la información

necesaria; ya no se tiene que calcular el módulo por un lado y dibujar el sentido

después. La aplicación directa de esta expresión, aunque parezca más

complicada, nos reduce la cantidad de trabajo.

Si pasamos ahora a la interacción entre la carga 2 y la 3 es solo cuestión de

cambiar los subíndices:

3

23

2313

23

23

2

23

2332

rr

rrqkq

rr

rr

rr

qqkF

Solo queda sumar para tener la fuerza total sobre la carga 3:

32313 FFF

Si alguna de las cargas hubiera sido negativa, basta con poner cada carga con su

respectivo signo.

Entonces se puede generalizar la situación y pensar que se tiene un conjunto de

cargas puntuales qi (i=1...N) y se desea calcular la fuerza eléctrica actuante sobre

una carga qj cualquiera. Generalizando las expresiones anteriores obtenemos:

N

jiiij

ij

ijj

rr

rrqkqF

,13


PROBLEMA 1.2:

Con las siguientes cargas y posiciones (las cargas están en el plano z=0 para simplificar el dibujo). Calcular la fuerza total actuante sobre la carga 2.

jirq

jirq

jirq

jirq

ˆ2ˆ1,nC20

ˆ22,nC2

ˆ1ˆ0,nC5

ˆ2ˆ1,nC10

44

33

22

11

Figura 1.4. Un ejemplo con cuatro cargas puntuales

N10ˆ6.6ˆ7.14

ˆ62.31

1027

18.11

109

83.2

105.4ˆ62.31

109

18.11

1018

83.2

105.4

N62.31

ˆ3ˆ1109

ˆ21ˆ1ˆ0

ˆ2ˆ1ˆ1ˆ01020105

C

Nm109

N18.11

ˆ1ˆ2109

ˆ2ˆ2ˆ1ˆ0

ˆ2ˆ2ˆ1ˆ0102105

C

Nm109

N83.2

ˆ1ˆ1105.4

ˆ2ˆ1ˆ10

ˆ2ˆ11ˆ01010105

C

Nm109

6

565565

2

5

3

99

2

29

24

6

3

99

2

29

23

5

3

99

2

29

21

ji

jiF

ji

jiji

jijiCCF

ji

jiji

jijiCCF

ji

jiji

jijiCCF


PROBLEMA 1.3:

Dos bolitas idénticas tienen una masa m y carga q cada una. Cuando se ponen en un tazón esférico de radio R con paredes no conductoras y sin fricción, las bolitas se mueven hasta que en la posición de equilibrio están separadas por una distancia R. Determinar las cargas de las bolitas.

La fuerza normal se puede escribiré usando sus componentes rectangulares como:

(

)

La Fuerza electrostática ejercida por la bolita de la derecha sobre la bolita de la izquierda es:

Se aplica la condición de equilibrio para “x” y “y”

Fuerza en X: ∑ (

)

Fuerza en Y: ∑ (

)

Reemplazando N de la segunda ecuación en la primera y despejando q:

√


PROBLEMA 1.4:

Dos cargas +Q se mantienen fijas a una distancia d de separación. Una partícula de carga negativa –q y masa m se sitúa en el centro de ellas y luego, tras un pequeño desplazamiento perpendicular a la línea que las une, se deja en libertad. Demuestre que la partícula describe un movimiento armónico Simple y encuentre su período de oscilación.

Lo primero es calcular la fuerza resultante sobre la carga –q:

Calculo de :

Calculo de :

La fuerza resultante sobre la carga –q será:

Relacionando el largo con las distancias d/2 en función del ángulo ϴ indicado en la figura anterior por la relación trigonométrica:

Como se produce un pequeño desplazamiento


Por la primera ley de newton se tiene que . En esta situación la partícula

se mueve sobre el eje “x” y por tanto

Con esto se verifica que la carga sigue un movimiento armónico simple. La frecuencia angular será entonces:

√

El período de oscilación será entonces:

√

PROBLEMA 1.5:

Se tiene dos alambres de largo L cargados con densidades lineales uniformes

. Separados una distancia d. calcule la fuerza que se ejerce ambos alambres.

SOLUCIÓN:

Por la ley de Coulomb la fuerza eléctrica que experimenta una carga q en la posición debido a una distribución de carga es:

∫

| |

Suponer ambos alambres en el eje x, de tal forma que uno cubra de x=0 a x=L y el otro de x=L+d a x=2L+d.

Sean: ;

Con: y

La fuerza que ejerce 1 sobre un elemento dx de 2 es:


∫

| |

∫

| |

∫

|

(

)

(

)

(

)

∫ (

)

|

(

)|

(

)

Y esta es la fuerza eléctrica que se ejerce ambos alambres, pues la ley de Coulomb satisface la tercera ley de Newton.


ACTIVIDADES N° 1

1. Un electroscopio está cargado negativamente: a) Al aproximar un cuerpo electrizado, observamos que las hojas del electroscopio divergen aún más. ¿Cuál debe ser el signo de la carga del cuerpo? Explique. b) Si las hojas del electroscopio disminuyen su abertura ¿ qué se puede concluir sobre la carga del cuerpo? Explique. c) A veces se observa que aproximando gradualmente el cuerpo a la esfera del electroscopio, las hojas inicialmente se cierran y en seguida divergen nuevamente. Explique por qué ocurre esto.

2. ¿Es posible electrizar positivamente un cuerpo sin que, simultáneamente, otro cuerpo se electrice negativamente?, ¿por qué?

3. F1 es la fuerza de repulsión ejercida por q2 sobre q1 y F2 es la fuerza de q1 sobre q2. La distancia entre las cargas permanece invariable. a) Suponiendo que q1 > q2, ¿Cuál fuerza será mayor? b) Si doblamos el valor de la carga q1, ¿qué le sucederá a la fuerza F1 y a la fuerza F2? c) Responda a la pregunta anterior, suponiendo que q1 se duplicó y q2 se cuadruplicó.

4. En cada uno de los siguientes casos ¿qué alteración debe hacerse a la distancia entre dos pequeños objetos cargados, para que la fuerza eléctrica entre ellas se mantenga constante?: a) la carga en cada objeto se triplica. b) la carga en cada objeto se reduce a la mitad. c) la carga de uno de los objetos se duplica y en el otro se reduce a la mitad.

5. Considere dos cargas positivas q1 y q2, siendo q1 > q2, separadas cierta distancia con q1 a la izquierda. Para que una tercera carga q quede en equilibrio cuando se coloca entre la línea que une q1 y q2, ¿su posición deberá ser:

a) entre q1 y q2 y más próxima a q1, si q fuese positiva?, b) a la izquierda de q1, si q fuese negativa?, c) entre q1 y q2, más próxima a q2, si q fuese positiva?, d) entre q1 y q2, más próxima a q2, si q fuese negativa?, e) a la derecha de q2, si q fuese positiva?

6. El núcleo del átomo de helio tiene una carga +2e y el del neón de + 10e, siendo e=1,60x10-19 C. Hallar la fuerza de repulsión entre ambos núcleos situados en el vacío y a una distancia de 3 milimicras (1 milimicra = 1m = 10-9 m). R=

5,12x10-10 N.

7. Tres cargas puntuales, de + 2, + 3 y + 4 C, están situadas en los vértices

del triángulo equilátero, que tiene 10 cm de lado. Hallar la resultante R aplicada la carga de + 4 C. R=15,7 N

8. Sobre una mesa lisa, aislante, en los vértices de un cuadrado de diagonal igual a 20cm, están fijas esferas cargadas de 20stc, 30stc, -20stc y 40stc, respectivamente. a) Determine la fuerza resultante que actúa sobre una esfera de masa igual a 10g colocada en el centro del cuadrado, con una carga de 10stc, b) Determine la aceleración de la esfera en esa posición. R=4,1dinas; 0,41cm/s2.


9. Dos protones en una molécula están separados por 3,8x10-10 m. A) Encuentre la fuerza electrostática ejercida por un protón sobre otro. B) ¿Cómo se compara la magnitud de esta fuerza con la magnitud de la fuerza gravitacional entre los dos protones? C) ¿Cuál debe ser la razón entre la carga y la masa de una partícula si la magnitud de la fuerza gravitacional entre ella y una partícula es igual a la magnitud de la fuerza electrostática? R=a) 1,59 nN alejándose, b) 1,24x1036 veces más grande, c) 8,61x10-11 C/kg)

10. Suponga que 1 gr de hidrógeno se separa en electrones y protones. Considere también que los protones se sitúan en el polo norte terrestre y los electrones, en el polo sur. ¿Cuál es la fuerza con que comprimen (fuerza compresional) la tierra? R=514 kN

11. ¿Cuáles magnitudes iguales de carga deben colocarse sobre la Tierra y la Luna para hacer la magnitud de la fuerza eléctrica entre estos dos cuerpos igual a la fuerza gravitacional. R=57,1 TC

12. Una carga de -3x10-2 ues se encuentra en el aire a 15 cm de otra carga de -4x10-2 ues a) ¿Cuál es la fuerza eléctrica entre ellas? (5.333x10-6 dinas repulsión) b) ¿Cuál sería la fuerza eléctrica entre ellas si estuvieran sumergidas en aceite? R= 1.9x10-6 dinas repulsión

13. Una carga de 7x10-1 ues se encuentra en el aire a 10 cm de otra carga de 3x10-1 ues determinar el valor de la fuerza eléctrica entre ellas. Calcular también el valor de la fuerza eléctrica si estuvieran sumergidas en gasolina. R=2.1x10-3 dinas repulsión; 8.94x10-4 dinas

14. Una carga q1 = -9 C se encuentra a una distancia de 30 cm de otra carga

q3=-3 C si una carga q2 = 5 C se coloca en medio de las cargas q1 y q3

calcular la fuerza resultante sobre q2 así como su sentido. R=12 N a la izquierda.

15. En la siguiente figura se muestran tres cargas puntuales idénticas, cada una de masa m y carga q, que cuelgan de tres cuerdas. Determine el valor de q en términos de m, L y α.

16. En la figura se localizan tres cargas puntuales ubicadas en las esquinas de un triángulo equilátero. Calcule la fuerza eléctrica neta sobre la carga de 7 μC. R=0,873 N, 330º


17. Calcular la fuerza total actuante sobre la carga 4, con las siguientes cargas y posiciones respectivamente (las cargas ubicar en el plano z=0 para simplificar el dibujo).

jirq

jirq

jirq

jirq

ˆ5ˆ3,C30

ˆ22,C2

ˆ1ˆ3,C4

ˆ2ˆ2,C3

44

33

22

11

18. Calcular la fuerza total actuante sobre la carga 3, con las siguientes cargas y posiciones respectivamente:

cmrq

cmrq

cmrq

3,1,0,C2

0,4,1,C4

1,0,1,C5

33

22

11

19. Calcular la fuerza total actuante sobre la carga 3, con las siguientes cargas y posiciones respectivamente:

cmrq

cmrq

cmrq

2,2,4,C4

4,3,1,C3

1,1,1,C2

33

22

11


CAPÍTULO 2

2. CAMPO ELÉCTRICO Y POTENCIAL ELÉCTRICO

2.1 INTRODUCCIÓN

Una idea bastante utilizada en física es la de “partícula”, “carga puntual”, una idealización según el caso en que trabajemos.

Otra idea de mucha importancia es la de CAMPO.

“Un campo es una función o conjunto de funciones que representa por ejemplo a cada componente de un vector, definido en todos los puntos en un espacio dado de coordenadas y que asocia determinada cantidad física a cada punto de ese espacio”

Un ejemplo muy simple de campo lo proporciona la temperatura. Campo escalar representado por la función. T(t,x,y,z) en un determinado tiempo t existe una temperatura en el espacio.

Ejemplos:

Densidad: Presión: P(x.y,z). Gravitacional: A cada punto (x,y,z) se asocia la totalidad de estos

vectores definen el campo vectorial. Velocidad: en un fluido, a todo punto

2.2. CAMPO ELÉCTRICO

2.2.1. Definición de campo eléctrico

Tanto la fuerza eléctrica como la gravitacional son ejemplos de fuerza de acción a distancia que resultan extremadamente difíciles de visualizar. A fin de resolver este hecho, los físicos de antaño postularon la existencia de un material invisible llamado éter, que se suponía llenaba todo el espacio.

De este modo ellos podían explicarse la fuerza de atracción gravitacional, que rodea todas las masas. Un campo de este tipo puede decirse que existe en cualquier región del espacio donde una masa testigo o de prueba experimentará una fuerza gravitacional. La intensidad del campo en cualquier punto sería proporcional a la fuerza que experimenta cierta masa dada en dicho punto. Por ejemplo, en cualquier punto cercano a la Tierra, el campo gravitacional podría representarse cuantitativamente por:

Dónde:


g = aceleración gravitacional debida a la fuerza de gravedad F = fuerza gravitacional m = masa testigo o de prueba

El concepto de un campo también puede aplicarse a objetos cargados eléctricamente. El espacio que rodea un objeto cargado se altera por la presencia de un campo eléctrico en ese espacio.

Se dice que un campo eléctrico existe en una región del espacio en la que una carga eléctrica experimente una fuerza eléctrica.

Esta definición suministra una prueba para la existencia de un campo eléctrico. Simplemente se coloca una carga en el punto en cuestión. Si se observa una fuerza eléctrica, en ese punto existe un campo eléctrico.

De la misma manera que la fuerza por unidad de masa proporciona una definición cuantitativa de un campo gravitacional, la intensidad de un campo eléctrico puede representarse mediante la fuerza por unidad de carga. Se define la intensidad del campo eléctrico E en un punto en términos de la fuerza F experimentada por una carga positiva pequeña +q cuando se coloca en dicho punto. La magnitud de la intensidad del campo eléctrico es dada por:

2.2.2. Líneas de campo eléctrico.

Una ayuda conveniente para visualizar los patrones del campo eléctrico es trazar líneas en la misma dirección que el vector de campo eléctrico en varios puntos. Estas líneas se conocen como líneas del campo eléctrico y están relacionadas con el campo eléctrico en alguna región del espacio de la siguiente manera:

El vector campo eléctrico E es tangente a la línea de campo eléctrico en cada punto.

El número de líneas por unidad de área que pasan por una superficie perpendicular a las líneas de campo es proporcional a la magnitud del campo eléctrico en esa región. En consecuencia, E es grande cuando las líneas están muy próximas entre sí, y es pequeño cuando están separadas.

Estas propiedades se ven en la figura 2.1 La densidad de líneas a través de la superficie A es mayor que la densidad de líneas a través de la superficie B. Por lo tanto, el campo eléctrico es más intenso en la superficie A que en la superficie B. Además, el campo que se observa en la figura no es uniforme ya que las líneas en ubicaciones diferentes apuntan hacia direcciones diferentes.


Figura 2.1. Líneas de campo eléctrico que penetran dos superficies. La magnitud del campo es mayor en la superficie A que en la B.

Algunas líneas representativas del campo eléctrico para una partícula puntual positiva se aprecian en la figura 2.2a. Obsérvese que en los dibujos bidimensionales sólo se muestran las líneas del campo que están en el plano que contiene a la carga. Las líneas están dirigidas radialmente hacia afuera de la carga en todas direcciones. Dado que la carga de prueba es positiva, al ser colocada en este campo, sería repelida por la carga q, por lo que las líneas están radialmente dirigidas hacia afuera desde la carga positiva. En forma similar, las líneas de campo eléctrico de una carga negativa puntual están dirigidas hacia la carga (Figura 2.2b). En cualquiera de los casos las líneas siguen la dirección radial y se prolongan al infinito. Nótese que las líneas se juntan más cuando están más cerca de la carga, lo cual indica que la intensidad del campo se incrementa al acercarse a la carga.

Figura 2.2

Las reglas para trazar las líneas de campo eléctrico de cualquier distribución de carga son las siguientes:

Las líneas deben partir de cargas positivas y terminar en las cargas negativas, o bien en el infinito en el caso de un exceso de carga.

El número de líneas que partan dela carga positiva o lleguen a la negativa es proporcional a la magnitud de la carga.

Dos líneas de campo no puede cruzarse.


PROBLEMA 2.1 Campo eléctrico debido a dos cargas.

La carga q1=7µ C está colocada en el origen y una segunda carga q2=-5µ C está colocada sobre el eje x a 0,3m del origen (Fig. 2.3). Determine el campo eléctrico en un punto P con coordenadas (0,4)m.

Figura 2.3. El campo eléctrico total E en P es igual la suma vectorial E1+E2, donde E1es el campo

debido a la carga positiva q1 y E2 es el campo debido a la carga negativa q2.

Solución.

Primero, encontremos las magnitudes de los campos eléctricos debidos a cada una de las cargas. El campo eléctrico E1 debido a la carga de 7 µ C y el campo eléctrico E2 debido a la carga de -5µ C en el punto P se muestran en la fig. 2.3. Sus magnitudes están dadas por

El vector E1 sólo tiene componente y. El vector E2 tiene una componente x dada por E2 cos Ø = 3/5 E2 y una componente y negativa dada por -E2 sen Ø = -4/5 E2. Por lo tanto, los vectores se pueden expresar como


El campo resultante E en P es la superposición de E1 y E2:

De este resultado, podemos encontrar que E tiene una magnitud de:

Y hace un ángulo Ø de 66° con el eje positivo de las x.

2.2.3. Definiciones

Energía de potencial eléctrico.

La energía de potencial del sistema es igual al trabajo realizado en contra de las fuerzas eléctricas al mover la carga +q desde el infinito a ese punto.

Potencial.

El potencial V en un punto a una distancia r de una carga Q es igual al trabajo por unidad de carga realizado en contra de las fuerzas eléctricas al traer una carga +q desde el infinito a dicho punto.

En otras palabras, el potencial en algún punto A, como se muestra a continuación, es igual a la energía potencial por unidad de carga. Las unidades del potencial se expresan en joules por coulomb, y se define como volt (V):

Diferencia de potencial.

La diferencia de potencial entre dos puntos es el trabajo por unidad de carga positiva realizado por fuerzas eléctricas para mover una pequeña carga de prueba desde el punto de mayor potencial hasta el punto de menor potencial.


Volt.

Como la diferencia de potencial es una medida de la energía por unidad de carga, las unidades del potencial en el SI son joules por coulomb, la cual se define como una unidad llamada volt (V):

Es decir se debe realizar 1J de trabajo para llevar a carga de 1C a través de una diferencia de potencial de 1 V.

Electrón-Volt.

Es una unidad de energía equivalente a la energía adquirida por un electrón, que se acelera a través de una diferencia de potencial de un volt.

2.2.4. Cálculo del potencial eléctrico en diferentes configuraciones

Potencial eléctrico y energía potencial debido a cargas puntuales.

PROBLEMA 2.2. Potencial debido a dos cargas puntuales.

Una carga puntual de 5µ C se coloca en el origen y una segunda carga puntual de -2µ C se localiza sobre el eje x en la posición (3,0)m, como en la figura 2.4. a) si se toma como potencial cero en el infinito, determine el potencial eléctrico total debido a estas cargas en el punto P, cuyas coordenadas son (0,4)m.

Fig. 2.4. El potencial eléctrico en el punto P debido a las dos cargas puntuales q1 y q2 es la suma algebraica de los potenciales debidos a cada carga individual.


Potencial eléctrico debido a una distribución de carga continúa.

PROBLEMA 2.3. Potencial debido a un anillo uniformemente cargado.

Encuentre el potencial eléctrico en un punto P localizado sobre el eje de un anillo uniformemente cargado de radio a y carta total Q. El plano del anillo se elige perpendicular al eje x. (Figura 2.5.)

Fig. 2.5. Un anillo uniformemente cargado de radio a, cuyo plano es perpendicular al eje x. Todos los segmentos del anillo están a la misma distancia del punto axial P.

Considere que el punto P está a una distancia x del centro del anillo, como en la

figura 2.2. El elemento de carga dq está a una distancia √ del punto P. Por lo tanto, se puede expresar V como

En este caso, cada elemento dq está a la misma distancia del punto P. Por lo que

el término √ puede sacarse de la integral y V se reduce a

En esta expresión V sólo varía con x. Esto no es de extrañarse, ya que nuestro cálculo sólo es válido para puntos sobre el eje x, donde "y" y "z" son cero. De la simetría de la situación, se ve que a lo largo del eje x, E sólo puede tener componente en x. Por lo tanto, podemos utilizar la expresión Ex=-dV/dx.


Este resultado es igual al obtenido por integración directa. Note que Ex=0 (el centro del anillo).

2.3. CAPACITANCIA

2.3.1. Introducción

Además de los resistores, los capacitores y los inductores son otros dos elementos importantes que se encuentran en los circuitos eléctricos y electrónicos. Estos dispositivos, son conocidos como elementos pasivos. Solo son capaces de absorber energía eléctrica.

A diferencia de un resistor que disipa energía, los capacitores y los inductores, la almacenan y la regresan al circuito al que están conectados.

Como elementos activos en circuitos electrónicos tenemos a los dispositivos semiconductores (diodos, transistores, circuitos integrados, microprocesadores, memorias, etc).

Capacitor :

Construcción: Un capacitor se compone básicamente de 2 placas conductoras paralelas, separadas por un aislante denominado dieléctrico.

Limitaciones a la carga de un conductor

Puede decirse que el incremento en potencial V es directamente proporcional a la carga Q colocada en el conductor. Por consiguiente, la razón de la cantidad de carga Q al potencial V producido, será una constante para un conductor dado, Esta razón refleja la capacidad del conductor para almacenar carga y se llama capacidad C.

La unidad de capacitancia es el coulomb por volt o farad (F). Por tanto, si un conductor tiene una capacitancia de un farad, una transferencia de carga de un coulomb al conductor elevará su potencial en un volt.

Cualquier conductor tiene una capacitancia C para almacenar carga. La cantidad de carga que puede colocarse en un conductor está limitada por la rigidez dieléctrica del medio circundante.


Rigidez dieléctrica

Es la intensidad del campo eléctrico para el cual el material deja de ser un aislador para convertirse en un material conductor.

Hay un límite para la intensidad del campo que puede existir en un conductor sin que se ionice el aire circundante. Cuando ello ocurre, el aire se convierte en un conductor.

El valor límite de la intensidad del campo eléctrico en el cual un material pierde su propiedad aisladora, se llama rigidez dieléctrica del material.

2.3.2. Definición

Consideremos dos conductores que tienen una diferencia de potencial V entre ellos, y supongamos que los dos conductores tienen cargas iguales y de signo opuesto. Esto se puede lograr conectando los dos conductores descargados a las terminales de una batería. Una combinación de conductores así cargados es un dispositivo conocido como condensador. Se encuentra que la diferencia de potencial V es proporcional a la carga Q en el condensador.

Capacitancia.

La capacitancia entre dos conductores que tienen cargas de igual magnitud y de signo contrario es la razón de la magnitud de la carga en uno u otro conductor con la diferencia de potencial resultante entre ambos conductores.

Obsérvese que por definición la capacitancia es siempre una cantidad positiva. Además, como la diferencia de potencial aumenta al aumentar la carga almacenada en el condensador, la razón Q/V es una constante para un condensador dado. Por lo tanto, la capacitancia de un dispositivo es la medida de su capacidad de almacenar carga y energía potencial eléctrica.

Las unidades de la capacitancia en el SI son el Coulomb por Volt. La unidad en el SI para la capacitancia es el faradio (F), en honor a Michael Faraday.

Rigidez dieléctrica, aire.

La rigidez dieléctrica es aquel valor de E para el cual un material dado deja de ser aislante para convertirse en conductor. Para el aire este valor es:


Constante dieléctrica.

La constante dieléctrica K para un material particular se define como la razón de la capacitancia C de un capacitor con el material entre sus placas a la capacitancia C0 en el vacío.

2. 3.3. Calculo de la capacitancia en diferentes configuraciones

La capacitancia de un par de conductores cargados con cargas opuestas puede ser calculada de la siguiente manera. Se supone una carga de magnitud Q. Así entonces simplemente se utiliza C=Q/V para evaluar la capacitancia. Como podría esperarse, el cálculo de la capacitancia es relativamente fácil si la geometría del condensador es simple.

Condensador de placas paralelas.

Dos placas paralelas de igual área A están separadas una distancia d como en la figura 2.6. Una placa tiene carga +Q, y la otra, carga -Q.

Fig. 2.6. Un condensador de placas paralelas consta de dos placas paralelas cada una de área A, separadas una distancia d. Las placas tienen cargas iguales y opuestas.

La carga por unidad de área en cada placa es ô = Q/A. Si las placas están muy cercanas una de la otra, podemos despreciar los efectos de los extremos y suponer que el campo eléctrico es uniforme entre las placas y cero en cualquier otro lugar. El campo eléctrico entre las placas está dado por:

La diferencia de potencial entre las placas es igual a Ed ; por lo tanto,


Sustituyendo este resultado, encontramos que la capacitancia está dada por:

Esto significa que la capacitancia de un condensador de placas paralelas es proporcional al área de éstas e inversamente proporcional a la separación entre ellas. PROBLEMA 2.4. Condensador de placas paralelas.

Un condensador de placas paralelas tiene un área A=2cm²=2X10-4m² y una separación entre las placas d=1mm = 10¯³m. Encuentre su capacitancia.

Solución:

Capacitores en Serie y Paralelo

Con frecuencia los circuitos eléctricos contienen dos o más capacitores agrupados entre sí. Al considerar el efecto de tal agrupamiento conviene recurrir al diagrama del circuito, en el cual los dispositivos eléctricos se representan por símbolos. En la figura 2.7. Se definen los símbolos de cuatro capacitores de uso común. El lado de mayor potencial de una batería se denota por una línea más larga. El lado de mayor potencial de un capacitor puede representarse mediante una línea recta en tanto que la línea curva representará el lado de menor potencial. Una flecha indica un capacitor variable. Una tierra es una conexión eléctrica entre el alambrado de un aparato y su chasis metálico o cualquier otro reservorio grande de cargas positivas y negativas.

Fig. 2.7. Definición de los símbolos que se usan con frecuencia con capacitores.


Considérese primero el efecto de un grupo de capacitores conectados a lo largo de una sola trayectoria, Una conexión de este tipo, en donde la placa positiva de un capacitor se conecta a la placa negativa de otro, se llama conexión en serie. La batería mantiene una diferencia de potencial V entre la placa positiva C1 y la placa negativa C3, con una transferencia de electrones de una a otra. La carga no puede pasar entre las placas del capacitor; en consecuencia, toda la carga contenida dentro del paralelogramo punteado, Fig. 2.8., es carga inducida. Por esta razón, la carga en cada capacitor es idéntica. Se escribe:

Q=Q1=Q2=Q3

donde Q es la carga eficaz transferida por la batería.

Fig. 2.8. Cálculo de la capacitancia equivalente de un grupo de capacitores conectados en serie.

Los tres capacitores pueden reemplazarse por una capacitancia equivalente C, sin que varíe el efecto externo. A continuación se deduce una expresión que sirve para calcular la capacitancia equivalente para esta conexión en serie. Puesto que la diferencia de potencial entre A y B es independiente de la trayectoria, el voltaje de la batería debe ser igual a la suma de las caídas de potencial a través de cada capacitor.

V=V1+V2+V3

Si se recuerda que la capacitancia C se define por la razón Q/V, la ecuación se convierte en

Para una conexión en serie, Q=Q1=Q2=Q3 así, que si se divide entre la carga, se obtiene:


La capacitancia eficaz total para dos capacitores en serie es:

Ahora bien, considérese un grupo de capacitores conectados de tal modo que la carga pueda distribuirse entre dos o más conductores. Cuando varios capacitores están conectados directamente a la misma fuente de potencial, como en la figura 2.9, se dice que ellos están conectados en paralelo.

Fig. 2.9. Capacitancia equivalente de un grupo de capacitores conectados en paralelo

De la definición de capacitancia, la carga en un capacitor conectado en paralelo es:

Q1=C1V1 Q2=C2V2 Q3=C3V3

La carga total Q es igual a la suma de las cargas individuales

Q=Q1 +Q2+Q3

La capacitancia equivalente a todo el circuito es Q=CV, así que la ecuación se transforma en

CV= C1V1 + C2V2 + C3V3

Para una conexión en paralelo: V =V1=V2=V3

Ya que todos los capacitores están conectados a la misma diferencia de potencial. Por tanto, al dividir ambos miembros de la ecuación

CV= C1V1 + C2V2 + C3V3 entre el voltaje se obtiene

C = C1 +C2 +C3 Conexión en paralelo


PROBLEMA 2.5.

a) Encuéntrese la capacitancia equivalente del circuito mostrado en la fig. 2.9.

b) Determínese la carga en cada capacitor. c) Cuál es la diferencia de potencial entre las placas del capacitor de 4µF.

Fig. 2.9. Ejemplificación de un problema al sustituir sus valores equivalentes de la capacitancia.

Solución a).

Los capacitores de 4 y 2 están conectados en serie; su capacitancia combinada se encuentra en la siguiente ecuación.

Estos dos capacitores pueden reemplazarse por su equivalente, como se ve en la figura 2.9.b. Los dos capacitores restantes están conectados en paralelo. Por tanto la capacitancia equivalente es

Ce = C3+C2,4 = 3µF + 1.33µF = 4.33µF

Solución b).

La carga total en la red es Q = Ce V=(4.33µF)(120V) = 520µC

La carga Q3 en el capacitor de 3µF es Q3= C3V= (3µF)(120V) = 360µC

El resto de la carga, Q-Q3 = 520µC - 360µC = 160µC

Debe almacenarse en los capacitores en serie. Por lo tanto, Q2 = Q4 = 160µC

Solución c).


La caída de voltaje a través del capacitor de 4µF es

2.4. LEY DE GAUSS

2.4.1. Flujo eléctrico

Es la medida del número de líneas de campo que atraviesan cierta superficie. Cuando la superficie que está siendo atravesada encierra alguna carga neta, el número total de líneas que pasan a través de tal superficie es proporcional a la carga neta que está en el interior de ella. El número de líneas que se cuenten es independiente de la forma de la superficie que encierre a la carga. Esencialmente, éste es un enunciado de la ley de Gauss.

La relación general entre el flujo eléctrico neto a través de una superficie cerrada (conocida también como superficie gaussiana) y la carga neta encerrada por esa superficie, es conocida como ley de Gauss, es de fundamental importancia en el estudio de los campos eléctricos.

La ley de Gauss establece que el flujo eléctrico neto a través de cualquier superficie gaussiana cerrada es igual a la carga neta que se encuentra dentro de ella, dividida por E0.

La selección de Eo como la constante de proporcionalidad ha dado por resultado que el número total de líneas que cruzan normalmente a través de una superficie cerrada de Gauss es numéricamente igual a la carga contenida dentro de la misma.

PROBLEMA 2.6.

Calcule la intensidad del campo eléctrico a una distancia r de una placa infinita de carga positiva, como se muestra en la figura 2.10.

Fig. 2.10. Cálculo del campo fuera de una lámina o placa delgada cargada positivamente


Solución.

La resolución de problemas en donde se aplica la ley de Gauss suele requerir la construcción de una superficie imaginaria de forma geométrica simple, por ejemplo, una esfera o un cilindro. A estas superficies se les llama superficies gaussianas. En este ejemplo, se imagina una superficie cilíndrica cerrada que penetra en la placa de carga positiva de tal modo que se proyecta a una distancia r sobre cada lado de la placa delgada. El área A en cada extremo del cilindro es la misma que el área corta sobre la placa de carga. Por tanto, la carga total contenida dentro del cilindro es

donde representa la densidad superficial de carga. Debido a la simetría, la intensidad del campo E resultante debe estar dirigida perpendicularmente a la placa de carga en cualquier punto cerca de la misma. Esto significa que las líneas del campo no penetrarán la superficie lateral del cilindro, y los dos extremos de área A representarán el área total por las que penetran las líneas del campo. De la ley de Gauss,

Nótese que la intensidad del campo E es independiente de la distancia r de la placa. Antes de que se suponga que el ejemplo de una placa infinita de carga es impráctico, debe señalarse que el sentido práctico, infinito implica solamente que las dimensiones de la placa están más allá del punto de interacción eléctrica.


ACTIVIDADES N° 2

1. Una carga de prueba de 3 x 10-7 C recibe una fuerza horizontal hacia la

derecha de 2 x 10-4 N. ¿Cuál es el valor de la intensidad del campo eléctrico

en el punto donde está colocada la carga de prueba? R=666.666 N/C

2. Una carga de prueba de 2 C se sitúa en un punto donde la intensidad del

campo eléctrico es de 5 x 102 N/C ¿Cuál es el valor de la fuerza que actúa

sobre ella? R=1x10-3 N

3. Calcular la intensidad del campo eléctrico a una distancia de 50 cm de una

carga de 4 C . R=144000 N/C

4. La intensidad del campo eléctrico producido por una carga de 3 C en un

punto determinado es de 6 x 106 N/C ¿A qué distancia del punto considerado

se encuentra la carga? R=0,06708 m

5. Calcular la intensidad del campo eléctrico en el punto medio entre dos cargas

puntuales cuyos valores son: q1 = 6 C y q2 = 4 C separadas a una

distancia de 12cm. como se muestra a continuación: R=5x106 N/C a la

derecha

q1 PM q2

6. Determinar la intensidad del campo eléctrico en el punto medio entre dos

cargas puntuales de q1 = 8 nC y q2 = -3 nC separadas por una distancia de 14

cm. R=20204,08 N/C a la derecha

7. Determine el valor de la intensidad del campo eléctrico en un punto donde se

coloca una carga de prueba de 7 C , la cual recibe una fuerza eléctrica

vertical hacia arriba de 5 x 10-3 N. R=714,28 N/C

8. Determinar el valor de la fuerza que actúa sobre una carga de prueba de 2x

10-7 C al situarse en un punto en el que la intensidad del campo eléctrico tiene

un valor de 6 x 104 N/C. R=0.012 N.

9. Calcular la intensidad del campo eléctrico a una distancia de 40 cm de una

carga de 9 C . R=506250 N/C.

10. La intensidad del campo eléctrico producido por una carga es de 4 x 105 N/C

a 50 cm de distancia de ésta ¿Cuál es el valor de la carga eléctrica?

R=1,11x10-5 C.

11. La intensidad del campo eléctrico producido por una carga de 7 C en un

punto determinado es de 5 x 105 N/C ¿A qué distancia del punto considerado

se encuentra la carga? R=0,355 m.

12. Determinar la intensidad de campo eléctrico en el punto medio entre las dos

cargas puntuales iguales de 5 C , cada una separadas 15 cm. R=0

13. Una carga de se localiza en el origen y una carga se

localiza en (0,3)m; determine a) El potencial eléctrico total debido a estas


cargas en el punto P, cuyas coordenadas son (4,0)m, b)El cambio en energía

potencial del sistema de dos cargas, además de una carga

conforme la última carga se mueve desde el infinito hacia el punto P.

R=

14. En la figura la carga ; , y , Calcular el

campo resultante en el punto P. R=

15. El campo eléctrico entre dos placas paralelas vale . La

distancia entre ellas es de . Si un electrón parte del reposo de la

placa negativa a la positiva. Calcular a) la aceleración del electrón. b) La

velocidad del electrón al llegar a la placa positiva. R=

s.

16. Tres cargas puntuales, q, 2q y 3q, están colgadas sobre los vértices de un

triángulo equilátero. Determine la magnitud del campo eléctrico en el centro

geométrico del triángulo. 17. Se tienen 3 condensadores: C1 = 4μF, C2 = 8μF y C3 = 16μF. Determine la

capacidad equivalente si se conectan: a) en serie, b) en paralelo y c) C1 y C2

en paralelo conectados en serie con C3.

18. La combinación en serie de los dos capacitores mostrados en la figura están

conectados a una diferencia de potencial de 1.000 V. Encuentre a) la

capacidad equivalente de la combinación, b) la magnitud de las cargas en

cada condensador, c) la diferencia de potencial a través de cada

condensador, d) la energía almacenada en los condensadores. R=a) 2 pF, b)

2 nC, c) 667 V; 333 V; d) 0,67 μJ; 0,33 μJ; 1 μJ.

19. La combinación de condensadores en paralelo mostrada en la figura está conectada a una fuente que suministra una diferencia de potencial de 120 V.

+ -

q1 q

2

r1 r

2 P


Calcular la capacidad equivalente, la carga de cada condensador y la carga en la combinación. R=8 pF; 240 pC; 720 pC; 960 pC.

20. Para tres condensadores de 2 μF, dibuje el arreglo que produce: a) la capacidad equivalente más grande, b) la capacidad equivalente más pequeña, c) una capacidad equivalente a 3 Μf

21. Un condensador, cuyo dieléctrico entre sus placas es aire, tiene una capacidad de 8 F. Calcular la capacidad que tendría si se introdujera vidrio

entre sus armaduras. El coeficiente dieléctrico relativo del vidrio es K = 6. (48 F).

22. La capacidad de un condensador es 300 pF (300 X 10-12 F) y la diferencia de potencial entre sus armaduras es de 1000 V. Hallar la carga de cada placa. R=3x10-7 C.

23. Cierto conductor se encuentra a un potencial de 200 V y tiene una carga de 6 x 10-9 C. Hallar la capacidad del condensador formado por el conductor y el medio en que se encuentra (capacidad de un conductor aislado). R=3 x 10-11 F.

24. Un condensador de un circuito de televisión tiene una capacidad de 1,2 F y

la diferencia de potencial entre sus bornes vale 3 000 V. Calcular la energía almacenada en él. (5,4 J.)

25. Dos condensadores de capacidades C1 = 3 pF y C2 = 6 pF están conectados en serie y el conjunto se conecta a una fuente de tensión de 1000 V. Hallar: a) la capacidad C equivalente del sistema b) la carga total del conjunto y la de cada condensador, c) la diferencia de potencial en bornes de cada condensador, d) la energía almacenada en el sistema. R=a) 2pF. B)2 x 10-9 C. c) 667 V; 333 V. d)10-6 J.

26. Dos condensadores de capacidades C1 = 200 pF y C2 = 600 pF, están conectados en paralelo y se cargan con una diferencia de potencial de 120 V. Hallar la carga que adquiere cada uno de ellos y la correspondiente al sistema. R=qT= 9,6 x 10-8 C.


CAPÍTULO 3

3. CORRIENTE Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS

3.1 INTRODUCCIÓN

El término corriente eléctrica o simplemente corriente se utiliza para describir la rapidez de flujo de la carga por alguna región del espacio. La mayor parte de las aplicaciones prácticas de la electricidad se refieren a las corrientes eléctricas. Por ejemplo, la batería de una lámpara suministra corriente al filamento de la bombilla (foco) cuando el interruptor se coloca en la posición de encendido. Una gran variedad de aparatos domésticos funcionan con corriente alterna. En estos casos comunes, el flujo de carga se lleva a cabo en un conductor, como un alambre de cobre. Sin embargo, es posible que existan corrientes fuera del conductor. Por ejemplo, el haz de electrones en un cinescopio de TV constituye una corriente.

3.2 DEFINICIONES

3.2.1 Corriente eléctrica

Figura 4.1. Cargas en movimiento a través de un área A. La dirección de la corriente es en la dirección en la cual fluirían las cargas positiva.

Siempre que cargas eléctricas del mismo signo están en movimiento, se dice que existe una corriente. Para definir la corriente con más precisión, supongamos que las cargas se mueven perpendicularmente a un área superficial A como en la figura 4.1. Por ejemplo, esta área podría ser la sección trasversal de un alambre. La corriente es la rapidez con la cual fluye la carga a través de esta superficie. Si Q es la cantidad de carga que pasa a través de esta área en un tiempo t, la corriente promedio, Ip, es igual a la razón de la carga en el intervalo de tiempo:


Si la rapidez con que fluye la carga varía con el tiempo, la corriente también varía en el tiempo y se define la corriente instantánea, I, en el límite diferencial de la expresión anterior:

La unidad de corriente en el SI es el ampere (A), donde: 1A = 1 C/s

Es decir, 1 A de corriente equivale a que 1 coulomb de carga que pase a través de la superficie en 1 s. En la práctica con frecuencia se utilizan unidades más pequeñas de corriente, tales como el miliampere (1mA=10-3A) y el microampere (1µA=10-6A).

Cuando las cargas fluyen a través de la superficie en la figura 4.1, pueden ser positivas, negativas o ambas. Por convención se escoge la dirección de la corriente como la dirección en la cual fluyen las cargas positivas. En un conductor como el cobre, la corriente se debe al movimiento de los electrones cargados negativamente. Por lo tanto, cuando hablamos de corriente en un conductor ordinario, como el alambre de cobre, la dirección de la corriente será opuesta a la dirección del flujo de electrones. Por otro lado, si uno considera un haz de protones cargados positivamente en un acelerador, la corriente está en la dirección del movimiento de los protones. En algunos casos, la corriente es el resultado del flujo de ambas cargas positiva y negativa. Esto ocurre, por ejemplo, en los semiconductores y electrólitos. Es común referirse al movimiento de cargas (positivas o negativas) como el movimiento de portadores de carga. Por ejemplo, los portadores de carga en un metal son los electrones.

3.2.2 Resistencia

Es la oposición de un material al flujo de electrones. La resistencia R del conductor está dada por:

De este resultado se ve que la resistencia tiene unidades en el SI de volts por ampere. Un volt por un ampere se define como un ohm (Ω):

Es decir, si una diferencia de potencial de 1 volt a través de un conductor produce una corriente de 1A, la resistencia del conductor es 1Ω. Por ejemplo, si un aparato eléctrico conectado a 120 V lleva corriente de 6A, su resistencia es de 20Ω.

Las bandas de colores en un resistor representan un código que representa el valor de la resistencia. Los primeros dos colores dan los dos primeros dígitos del


valor de la resistencia el tercer color es el exponente en potencias de diez de multiplicar el valor de la resistencia. El último color es la tolerancia del valor de la resistencia. Por ejemplo, si los colores son naranja, azul, amarillo y oro, el valor de la resistencia es 36X104Ω o bien 360KΩ, con una tolerancia de 18KΩ (5%). Figura. 4.2.

Figura 4.2. Las bandas de colores en un resistor representan un código que representa el valor de

la resistencia.

3.2.3 Código de colores para resistores.


3.2.4 Resistividad

El inverso de la conductividad de un material se le llama resistividad :

Resistividades y coeficientes de temperatura para varios materiales.

3.2.5 Densidad de corriente

Considérese un conductor con área de sección trasversal A que lleva una corriente I. La densidad de corriente J en el conductor se define como la corriente por unidad de área. Como I = nqvdA, la densidad de corriente está dada por:

Donde J tiene unidades en el SI de A/m2. En general la densidad de corriente es una cantidad vectorial. Esto es,

J= nqvd

Con base en la definición, se ve también que la densidad de corriente está en la dirección del movimiento de las cargas para los portadores de cargas positivos y en dirección opuesta a la del movimiento de los portadores de carga negativos.


Una densidad de corriente J y un campo eléctrico E se establecen en un conductor cuando una diferencia de potencial se mantiene a través del conductor. Si la diferencia de potencial es constante, la corriente en el conductor será también constante.

3.2.6 Conductividad

Con mucha frecuencia, la densidad de corriente en un conductor es proporcional al campo eléctrico en el conductor. Es decir,

J=ôE

donde la constante de proporcionalidad ô se llama la conductividad del conductor. Los materiales cuyo comportamiento se ajustan a la ecuación anterior se dice que siguen la ley de Ohm, su nombre se puso en honor a George Simón Ohm.

3.3 LEY DE OHM

La ley de Ohm afirma que para muchos materiales (incluyendo la mayor parte de los metales), la razón de la densidad de corriente al campo eléctrico es una constante, ô, la cuales independiente del campo eléctrico que produce la corriente.

Materiales que obedecen la ley de Ohm, y por tanto demuestran este comportamiento lineal entre E y J, se dice que son óhmicos. El comportamiento eléctrico de los muchos materiales es casi lineal con muy pequeños cambios en la corriente. Experimentalmente se encuentra que no todos los materiales tienen esta propiedad. Materiales que no obedecen la ley de Ohm se dicen ser no óhmicos. La ley de Ohm no es una ley fundamental de la naturaleza, sino una relación empírica válida sólo para ciertos materiales.

Una forma de la ley de Ohm que se utiliza de modo más directo en las aplicaciones prácticas puede ser obtenida al considerar un segmento de un alambre recto de área en la sección trasversal A y longitud l. Una diferencia de potencial Va - Vb mantenida a través del alambre, crea un campo eléctrico en el alambre y una corriente. Si se supone que el campo eléctrico en el alambre es uniforme, la diferencia de potencial V = Va - Vb se relaciona con el campo eléctrico a través de la relación:

V = El

El inverso de la conductividad de un material se le llama resistividad p.

p = 1 ô

Fórmula para la resistencia R de un conductor


Fórmula para la aplicación de la Ley de Ohm.

PROBLEMA 3.1. La resistencia de un conductor

Calcúlese la resistencia de una pieza de aluminio de 10cm. de longitud que tiene un área de sección trasversal de 10-4 m². Repítase el cálculo para una pieza de vidrio de resistencia 10¹º Ω. m.

Solución

Resistividad del aluminio = 2,82X10-8 Resistividad del vidrio = 10¹º - 10-4 La resistencia de la barra de aluminio es:

Del mismo modo, para el vidrio se encuentra que:

Como era de esperarse, el aluminio tiene una resistencia mucho menor que el vidrio. Por esta razón el aluminio es buen conductor y el vidrio es muy mal conductor.

PROBLEMA 3.2. La diferencia de potencial entre las terminales de un calentador eléctrico es de 80V. Cuando la corriente es de 6 Amperios. ¿Cuál será la corriente si el voltaje se incrementa a 120V?

V1 =80V. I1= 6A. V2 =120V I2 = ?


Solución

3.4 POTENCIA ELÉCTRICA

Si una batería se utiliza para establecer una corriente eléctrica en un conductor, existe una transformación continua de energía química almacenada en la batería a energía cinética de los portadores de carga. Esta energía cinética se pierde rápido como resultado de las colisiones de los portadores de carga con el arreglo de iones, ocasionando un aumento en la temperatura del conductor. Por lo tanto, se ve que la energía química almacenada en la batería es continuamente transformada en energía térmica.

Considérese un circuito simple que consista de una batería cuyas terminales estén conectadas a una resistencia R, como en la figura 4.3. La terminal positiva de la batería está al mayor potencial. Ahora imagínese que se sigue una cantidad de carga positiva Q moviéndose alrededor del circuito desde el punto a, a través de la batería y de la resistencia, y de regreso hasta el punto a.

El punto a es el punto de referencia que está aterrizado y su potencial se ha tomado a cero. Como la carga se mueve desde a hasta b a través de la batería su energía potencial eléctrica aumenta en una cantidad V Q (donde V es el potencial en b) mientras que la energía potencial química en la batería disminuye por la misma cantidad.

Sin embargo, como la carga se mueve desde c hasta d a través de la resistencia, pierde esta energía potencial eléctrica por las colisiones con los átomos en la resistencia, lo que produce energía térmica. Obsérvese que si se desprecia la resistencia de los alambres interconectores no existe pérdida en la energía en las trayectorias bc y da. Cuando la carga regresa al punto a, debe tener la misma energía potencial (cero) que tenía al empezar.

Figura 4.3. Un circuito consta de una batería o fem E y de una resistencia R. La carga positiva fluye en la dirección de las manecillas del reloj, desde la terminal negativa hasta la positiva de la

batería. Los puntos a y d están aterrizados.


La rapidez con la cual la carga ΔQ pierde energía potencial cuando pasa a través de la resistencia está dada por:

Donde I es la corriente en el circuito. Es cierto que la carga vuelve a ganar esta energía cuando pasa a través de la batería. Como la rapidez con la cual la carga pierde la energía es igual a la potencia perdida en la resistencia, tenemos:

En este caso, la potencia se suministra a la resistencia por la batería. Sin embargo, la ecuación anterior puede ser utilizada para determinar la potencia transferida a cualquier dispositivo que lleve una corriente I, y tenga una diferencia de potencial V entre sus terminales. Utilizando la ecuación anterior y el hecho de que V=IR para una resistencia, se puede expresar la potencia disipada en las formas alternativas:

Cuando I está en amperes, V en volts, y R en ohms, la unidad de potencia en el SI es el watt (W). La potencia perdida como calor en un conductor de resistencia R se llama calor joule; sin embargo, es frecuentemente referido como una perdida I²R. Una batería o cualquier dispositivo que produzca energía eléctrica se llama fuerza electromotriz, por lo general referida como fem.

PROBLEMA 3.3. Potencia en un calentador eléctrico

Se construye un calentador eléctrico aplicando una diferencia de potencial de 110V a un alambre de nicromo cuya resistencia total es de 8Ω. Encuéntrese la corriente en el alambre y la potencia nominal del calentador.

Solución

Como V=IR, se tiene:

Se puede encontrar la potencia nominal utilizando P=I²R:

P = I²R = (13.8 A)² (8Ω) = 1.52 kW

Si se duplicaran el voltaje aplicado, la corriente se duplicaría pero la potencia se cuadruplicaría.


3.5 LEY DE JOULE

Podemos describir el movimiento de los electrones en un conductor como una serie de movimientos acelerados, cada uno de los cuales termina con un choque contra alguna de las partículas fijas del conductor.

Los electrones ganan energía cinética durante las trayectorias libres entre choques, y ceden a las partículas fijas, en cada choque, la misma cantidad de energía que habían ganado. La energía adquirida por las partículas fijas (que son fijas solo en el sentido de que su posición media no cambia) aumenta la amplitud de su vibración o sea, se convierte en calor.

Para deducir la cantidad de calor desarrollada en un conductor por unidad de tiempo, hallaremos primero la expresión general de la potencia suministrada a una parte cualquiera de un circuito eléctrico.

Cuando una corriente eléctrica atraviesa un conductor, éste experimenta un aumento de temperatura. Este efecto se denomina efecto Joule.

Es posible calcular la cantidad de calor que puede producir una corriente eléctrica en cierto tiempo, por medio de la ley de Joule.

Supongamos, como en un calentador eléctrico, que todo el trabajo realizado por la energía eléctrica es transformado en calor. Si el calentador funciona con un voltaje V y una intensidad I durante un tiempo t, el trabajo realizado es:

W=VIt

y como cada J equivale a 0,24 cal, la cantidad de calor obtenido será :

Q=0,24 VIt

V debe medirse en volts, I en amperes y t en segundos, para que el resultado esté expresado en calorías.

3.5.1 La ley de Joule enuncia que:

"El calor que desarrolla una corriente eléctrica al pasar por un conductor es directamente proporcional a la resistencia, al cuadrado de la intensidad de la corriente y el tiempo que dura la corriente".

PROBLEMA 3.4.

Un fabricante de un calentador eléctrico portátil por inmersión, de 110V garantiza que si el calentador se sumerge en un recipiente lleno de agua ésta hervirá y en un minuto estará listo para hacer té. Calcule la potencia de salida del calentador. ¿Qué corriente fluirá por él? ¿Cuál es su resistencia?

Suponga que el recipiente contiene 200 cm³ o sea 0,200kg de agua. Si la temperatura del agua disponible en el casa es de 10°C la diferencia de


temperatura para que hierva será pT=90K. El suministro de energía calorífica que debe darse al agua está dado por:

Donde c es la capacidad calorífica del agua expresada en joules y no kilocalorías. Como esta energía calorífica se transfiere al agua en un tiempo pt, la potencia de salida del calentador es:

Solución

El flujo de corriente por el calentador se puede determinar por la ecuación P=Vi. Así tenemos:

Mediante la ley de Ohm calculamos la resistencia, que es:

3.6 LEYES DE KIRCHHOFF

El análisis de algunos circuitos simples cuyos elementos incluyen baterías, resistencias y condensadores en varias combinaciones, se simplifica utilizando las reglas de Kirchhoff.

Estas reglas se siguen de las leyes de conservación de la energía y de la carga. Un circuito simple puede analizarse utilizando la ley de Ohm y las reglas de combinaciones en serie y paralelo de resistencias. Muchas veces no es posible reducirlo a un circuito de un simple lazo. El procedimiento para analizar un circuito más complejo se simplifica enormemente al utilizar dos sencillas reglas llamadas reglas de Kirchhoff:

I. La suma de las corrientes que entren en una unión debe ser igual a la suma de las corrientes que salen de la unión. (una unión es cualquier punto del circuito donde la corriente se puede dividir).

II. La suma algebraica de los cambios de potencial a través de todos los elementos alrededor de cualquier trayectoria cerrada en el circuito debe ser cero.


La primera regla se establece de la conservación de la carga. Es decir, cuanto corriente entre en un punto dado del circuito debe salir de ese punto, ya que la carga no puede perderse en ese punto. Si se aplica esta regla a la unión que se ve en la figura siguiente se obtiene.

I1=I2+I3 La segunda regla se deduce de la conservación de la energía. Es decir, cualquier carga que se mueve en torno a cualquier circuito cerrado (sale de un punto y llega al mismo punto) debe ganar tanta energía como la que pierde.

Su energía puede decrecer en forma de caída potencial -IR, a través de una resistencia o bien como resultado de tener una carga en dirección inversa a través de una fuente de fem. En una aplicación práctica de este último caso, la energía eléctrica se convierte en energía química al cargar una batería; de manera similar, la energía eléctrica puede convertirse en energía mecánica al hacer funcionar un motor.

Existen limitaciones sobre el número de veces que pueden utilizarse la regla de nodos y la de mallas. La regla de nodos puede utilizarse siempre que sea necesario pero considerando que, al escribir una ecuación, se incluya una corriente que no haya sido utilizada previamente en alguna ecuación de la regla de nodos.

En general, el número de veces que puede ser utilizada la regla de nodos es uno menos que el número de uniones (nodos) que tenga el circuito. La regla de la malla puede ser utilizada siempre que sea necesario en tanto que un nuevo elemento de circuito (resistencia o batería) o una nueva corriente aparezca en cada nueva ecuación.

En general, el número de ecuaciones independientes que se necesiten debe ser al menos igual al número de incógnitas para tener una solución al problema de un circuito particular.

Circuitos complejos con varias mallas y uniones generan un gran número de ecuaciones linealmente independientes que corresponden a un gran número de incógnitas. Tales situaciones deben ser manejadas formalmente utilizando álgebra matricial. Se pueden hacer programas en computadora para determinar los valores de las incógnitas.


3.6.1. Estrategia para la solución de problemas: Reglas de Kirchhoff.

PROBLEMA 3.5

En el circuito de la figura adjunta, calcular: a) la intensidad de corriente por la resistencia de 2Ω, b) la d.d.p. en los bornes ab, fc y ed.

1

•Dibújese el diagrama del circuito y asígnense etiquetas y símbolos a todas las cantidades conocidas y desconocidas. Se debe asignar una dirección a la corriente en cada parte del circuito.

2 •Aplíquese la regla de nodos (primera regla de Kirchhoff) a todas las uniones en el circuito en las cuales se obtengan relaciones entre varias corrientes.

3

•Ahora aplíquese la segunda regla de Kirchhoff a tantas mallas en el circuito como sean necesarias para determinar las incógnitas. Al aplicar esta regla, deben identificarse correctamente los cambios de potencial de cada elemento al recorrer la malla (ya sea en sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario). ! Cuidado con los signos!

4

•Por último, deben resolverse las ecuaciones simultáneamente para las cantidades desconocidas. Es necesario ser cuidadoso en los pasos algebraicos y verificar que las respuestas numéricas sean congruentes.

5Ω

2Ω

2Ω

2Ω

E1=4V

E2=5V

I1

a b

c

d e

f I2

I3


a) El sentido de la intensidad por la resistencia de 4Ω no se conoce, ya que ε1

tiende a que la corriente circule de a a b y ε2 tiende a lo contrario. Por

consiguiente, se ha de suponer un sentido arbitrario y se elige el que se represente en la propia figura del circuito.

Según la primera ley de Kirchhoff:

(1) I2=I1+I3

Según la segunda ley de Kirchhoff:

Malla fcbaf, (2) 5 – 2I2 – 5I2 – 2I3 = 0

Malla fcdef, (3) 5 – 2I2 – 5I2 + 4 – 2I1 = 0

Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene:

I1 =0,892A, I2 =0,753A, I3 = -0,139A

b) Las diferencias de potencial o caídas de tensión en ab, fc, y ed han de ser iguales.

D.d.p. en bornes de ab = 4Ω x 0,282A = 1,13V

D.d.p. en bornes de ab = - 3 V + (2 + 5)Ω x 0,590A = 1,13V

D.d.p. en bornes de ab = 2V – (1Ω x 0,872A) = 1,13V


ACTIVIDADES N° 3

1. Hallar el número de electrones que atraviesan por segundo una sección recta de un alambre por el que circula una corriente de 1 A de intensidad.

2. Un cargador de baterías suministra 10A para cargar un acumulador que tiene un voltaje a circuito abierto de 5,6 V. Si un voltímetro se conecta a través del cargador y marca una lectura de 6,8 V, ¿cuál es la resistencia interna del acumulador en ese momento? R=0,12 Ω

3. La corriente domiciliaria es de 6 A. Si una ampolleta, por la que permite una intensidad de sólo 1,2 A, está encendida las 24 horas del día. ¿Cuánta carga circulará? Exprese el resultado en C y en nº de electrones.

4. Encuéntrese la diferencia de potencial entre los puntos A y B en la figura siguiente si R es de 0,7 Ω. ¿Cuál es el punto que está a mayor potencial? R= -5,1V, el punto A

5. Tres resistencias de 8Ω, 12 Ω y 24 Ω están en paralelo y la combinación drena una corriente de 20 A. Determine: a) la diferencia de potencial de la combinación, b) la intensidad en cada resistencia. R=a) 80V; b) 10; 6,7; 3,3ª.

6. Tres resistencias de 5, 8 y 10 ohmios se aplican una diferencia de potencial de 100V .Deducir la expresión de la resistencia equivalente en cada caso cuando se asocian a) en serie, b) en paralelo.

7. Dos resistencias de 12 y 5 Ω, respectivamente, se asocian en serie y el conjunto se alimenta con una batería de 18 V. de Fem. y 1 Ω de resistencia interna. Hallar a) la intensidad de corriente que circula por el circuito. B) las caídas de tensión en bornes de las dos resistencias, c) la d.d.p. en los bornes de la batería cuando entrega la corriente del aparato. R=a)1 A; b) 12 V; 5 V; c) 17 V.

8. Para el circuito de la figura, encuéntrense: a) su resistencia equivalente, b) la corriente entregada por la fuente de poder, c) la diferencia de potencial entre ab, cd y de; d) la corriente en cada resistencia. R=a) 15Ω, b) 20 A, c) 80V, 120V, 100V, d) i4 = 20A, i10 = 12A, i15 = 8A, i9 = 11,1 A, i18 = 5,56 A, i30 = 3,3 A)


9. Se sabe que la diferencia de potencial a través de la resistencia de 6 Ω de la figura es de 48 V. Determínese: a) la corriente i que entra, b) la diferencia de potencial en la resistencia de 8Ω, c) la diferencia de potencial en la resistencia de 10 Ω, d) la diferencia de potencial de a a b. R=a) 12 A, b) 96 V; c) 60V; d) 204V)

10. Calcule la intensidad en cada resistencia del circuito de la figura.

11. En el circuito, encuentre a) la corriente en la resistencia de 20Ω y, b) la diferencia de potencial entre los puntos a y b.

12. Hallar la resistencia equivalente R de a) una resistencia de 0,6 Ω y otra de 0,2Ω en paralelo, b) tres solenoides de 45 Ω cada uno en paralelo. R=a) 0,15Ω b) 15Ω.

13. En cada uno de los circuitos representados en la figuras Hallar la intensidad de corriente. R= a)4 A b) 1,35 A c)2 A.


14. Tres bobinas de 2, 5 y 8 Ω de resistencia se asocian en paralelo y al conjunto se aplica una d.d.p de 40 V. Hallar la corriente en cada bobina y la total del circuito. R= IT = 33A

15. Una batería de 27 V de Fem. y una resistencia interna de 1Ω, alimenta el circuito resistivo que se representa en el diagrama, Calcular: a) Las Intensidades de corriente I1, I2, e I3 en las ramas ab, cd, gh, respectivamente, b) La intensidad de corriente y la d.d.p en bornes para las resistencias de la rama cd. R= a) 3 A;1 A; 2 A, b) 24 V

16. Resuelva el problema anterior aplicando las leyes de kirchhoft.

17. Hallar la intensidad total de los circuitos siguientes:

5Ω

7Ω 3Ω 30 V

0.4Ω

2Ω 7Ω

8Ω 10Ω

1Ω 6Ω

20V

0,3Ω

15Ω 19Ω

8Ω 9Ω 17 V

0,2Ω

2Ω

5Ω

a) b) c)

12

6

4

8

5

20

22

I1

I2

I3

a b

c d

g h

12

6

4

8

5

20

22


18. En el circuito de la figura, Calcular: a) la intensidad de corriente por la resistencia de 4Ω, b la d.d.p. en bornes de ab, fc y ed. R=a) 0,282 A b) 1,13 V en cada borne.

19. Determine la intensidad de corriente en cada rama del siguiente circuito:

20. En el circuito siguiente encuentre la intensidad en cada resistencia y el voltaje en la resistencia de 200 Ω:

5Ω

4Ω

2Ω

1Ω

E1=2V

E2=3V

I1

a b

c

d e

f I2

I3


21. Calcule la intensidad de corriente en cada rama del siguiente circuito:

22. En el siguiente circuito, encuentre las intensidades de corriente en cada rama y el voltaje entre los puntos c y f.

23. Encuentre la intensidad en cada rama del siguiente circuito:


24. Determine la corriente en cada rama. (11/13 A; 6/13 A; 17/13 A)

25. En el circuito encuentre la corriente en cada resistencia y el voltaje a través de la resistencia de 200Ω.

26. Para la red mostrada en la figura, demuestre que la resistencia entre a y b es 27/17Ω.


27. Calcule I1, I2 e I3 en el siguiente circuito. R=3,5 A; 2,5 A; 1 A


CAPÍTULO 4

4. MAGNETISMO Y CAMPO MAGNÉTICO

4.1. INTRODUCCIÓN

El fenómeno del magnetismo fue conocido por los griegos desde el año 800 A.C. Ellos descubrieron que ciertas piedras, ahora llamadas magnetita (Fe3O4), atraían piezas de hierro. La leyenda adjudica el nombre de magnetita en honor al pastor Magnes, los clavos de sus zapatos y el casquillo (o punta) de su bastón quedaron fuertemente sujetos a un campo magnético cuando se encontraba pastoreando su rebaño.

En 1269 Pierre de Maricourt, mediante un imán natural esférico, elaboró un mapa de las direcciones tomadas por una aguja al colocarla en diversos puntos de la superficie de la esfera. Encontró que las direcciones formaban líneas que rodeaban a la esfera pasando a través de dos puntos diametralmente opuestos uno del otro, a los cuales llamo polos del imán.

Experimentos subsecuentes demostraron que cualquier imán, sin importar su forma, tiene dos polos, llamados polo norte y polo sur, los cuales presentan fuerzas que actúan entre sí de manera análoga a las cargas eléctricas. Es decir, polos iguales se repelen y polos diferentes se atraen.

En 1600 William Gilbert extendió estos experimentos a una variedad de materiales. Utilizando el hecho de que una aguja magnética (brújula) se orienta en direcciones preferidas, sugiere que la misma Tierra es un gran imán permanente.

En 1750, John Michell (1724-1793) usó la balanza de torsión para demostrar que los polos magnéticos ejercen fuerzas de atracción y repulsión entre sí, y que estas fuerzas varían como el inverso del cuadrado de la distancia de separación. Aun cuando la fuerza entre dos polos magnéticos es similar a la fuerza entre dos cargas eléctricas, existe una importante diferencia.

Las cargas eléctricas se pueden aislar (lo que se manifiesta en la existencia del protón y el electrón), mientras que los polos magnéticos no se pueden separar. Esto es, los polos magnéticos siempre están en pares. Todos los intentos por detectar un polo aislado han fracasado. No importa cuántas veces se divida un imán permanente, cada trozo siempre tendrá un polo norte y un polo sur.

La relación entre el magnetismo y la electricidad fue descubierta en 1819 cuando, en la demostración de una clase, el científico danés Hans Oersted encontró que la corriente eléctrica que circula por un alambre desvía la aguja de una brújula cercana. Poco tiempo después, André Ampere (1775-1836) obtuvo las leyes cuantitativas de la fuerza magnética entre conductores que llevan corrientes eléctricas.


También sugirió que órbitas de corriente eléctrica de magnitud molecular son las responsables de todos los fenómenos magnéticos. Esta idea es la base de la teoría moderna del magnetismo.

En la década de 1820, se demostraron varias conexiones entre la electricidad y el magnetismo por Faraday e independientemente por Joseph Henry (1797-1878). Ellos comprobaron que se podía producir una corriente eléctrica en un circuito al mover un imán cercano al circuito o bien variando la corriente de un circuito cercano al primero.

Estas observaciones demuestran que un cambio en el campo magnético produce un campo eléctrico. Años después, el trabajo teórico realizado por Maxwell mostró que un campo eléctrico variable da lugar a un campo magnético.

4.2. DEFINICIÓN DE CAMPO MAGNETICO

El campo eléctrico E en un punto del espacio se ha definido como la fuerza por unidad de carga que actúa sobre una carga de prueba colocada en ese punto. Similarmente, el campo gravitacional g en un punto dado del espacio es la fuerza de gravedad por unidad de masa que actúa sobre una masa de prueba.

Ahora se definirá el vector de campo magnético B (algunas veces llamado inducción magnética o densidad de flujo magnético) en un punto dado del espacio en términos de la magnitud de la fuerza que sería ejercida sobre un objeto de velocidad v . Por el momento, supongamos que no están presentes el campo eléctrico ni el gravitacional en la región de la carga.

Los experimentos realizados sobre el movimiento de diversas partículas cargadas que se desplazan en un campo magnético han proporcionado los siguientes resultados:

I. La fuerza magnética es proporcional a la carga q y a la velocidad v de la partícula.

II. La magnitud y la dirección de la fuerza magnética dependen de la velocidad de la partícula y de la magnitud y dirección del campo magnético.

III. Cuando una partícula se mueve en dirección paralela al vector campo magnético, la fuerza magnética F sobre la carga es cero.

IV. Cuando la velocidad hace un ángulo con el campo magnético, la fuerza magnética actúa en una dirección perpendicular tanto a v como a B; es decir, F es perpendicular al plano formado por v y B. (Fig. 5.1a)

V. La fuerza magnética sobre una carga positiva tiene sentido opuesto a la fuerza que actúa sobre una carga negativa que se mueva en la misma dirección. (Fig. 4.1b)

VI. Si el vector velocidad hace un ángulo ϴ con el campo magnético, la magnitud de la fuerza magnética es proporcional al sen ϴ.

Estas observaciones se pueden resumir escribiendo la fuerza magnética en la forma:


Donde la dirección de la fuerza magnética está en la dirección de v X B, la cual por definición del producto vectorial, es perpendicular tanto a v como a B.

La fuerza magnética es siempre perpendicular al desplazamiento. Es decir,

F * ds = (F * v)dt = 0

Ya que la fuerza magnética es un vector perpendicular a v. De esta propiedad y del teorema de trabajo y energía, se concluye que la energía cinética de la partícula cargada no puede ser alterada sólo por el campo magnético. en otras palabras

"Cuando una carga se mueve con una velocidad v, el campo magnético aplicado sólo puede alterar la dirección del vector velocidad, pero no puede cambiar la rapidez de la partícula".

Fig. 4.1. Dirección de la fuerza magnética sobre una partícula cargada que se mueve con velocidad v en presencia de un campo magnético. a). Cuando v forma un ángulo ϴ con B, la

fuerza magnética es perpendicular a ambos, v y B. b). En presencia de un campo magnético, las partículas cargadas en movimiento se desvían como se indica por medio de las líneas punteadas.

PROBLEMA 4.1. Un protón que se mueve en un campo magnético.

Un protón se mueve con una rapidez de 8X10 elevado a 6 m/s a lo largo del eje x. Entra a una región donde existe un campo de 2.5 T de magnitud, dirigido de tal forma que hace un ángulo de 60° con el eje de las x y está en el plano xy (Fig. 4.2.). Calcúlese la fuerza magnética y la aceleración inicial del protón


Solución.

De la ecuación F = qvB senϴ se obtiene

F = (1,6X10-19C) (8X106 m/s) (2,5T) (sen 60°)

F = 2,77X10-12N

Como vXB está en la dirección z positiva y ya que la carga es positiva, la fuerza F está en la dirección z positiva. Dado que la masa del protón es 1.67X10-27kg, su aceleración inicial es

En la dirección z positiva.

Fig. 4.2. La fuerza magnética F sobre un protón está en la dirección positiva del eje z cuando v y B se encuentra en el plano xy.

4.3. FUERZA MAGNETICA SOBRE UNA CARGA EN

MOVIMIENTO

Cuando una partícula cargada se encuentra quieta dentro de un campo magnético, no experimenta ninguna fuerza.


Figura 4.3. Campo magnético

Fuente: http://eltamiz.com/2011/09/28/las-ecuaciones-de-maxwell-ley-de-gauss-para-el-campo-magnetico/

Pero si está en movimiento en una dirección distinta de las líneas de campo magnético, sufre una fuerza magnética que la desviará de su curso. Esta fuerza ejercida por un campo magnético sobre una carga (que pertenece a un grupo de cargas) en movimiento, es proporcional a la carga q y a la componente de la velocidad de la carga en la dirección perpendicular a la dirección del campo magnético. La expresión vectorial es:

El sentido de esta fuerza para una carga positiva, se puede determinar mediante la aplicación de la “regla de la mano izquierda”, ubicando el dedo índice en el

sentido de y el dedo del medio en el sentido de . La posición en que queda el

dedo pulgar ubicado perpendicularmente a los otros dos, señala el sentido de . Si la carga es negativa, se invierte el sentido de la fuerza.

La dirección de la fuerza magnética es perpendicular tanto al campo magnético como a la velocidad de la partícula. Su intensidad se puede calcular mediante la siguiente relación escalar:


En ella, ϴ es el ángulo formado por los vectores velocidad de la partícula y campo magnético.

“La regla de la mano izquierda” de Fleming indica la relación entre el sentido y la

dirección de la velocidad de la partícula positiva v, del campo y de la fuerza

magnética .

Al examinar la relación anterior, podemos ver que la fuerza es máxima cuando los vectores velocidad y campo magnético son perpendiculares entre sí, mientras que es nula si ambos vectores son paralelos.

Como la fuerza magnética es perpendicular a la velocidad, su trabajo al mover la carga es nulo. Por tanto, la fuerza magnética no produce cambio ni en la magnitud de la velocidad ni en la energía cinética de la partícula; solo cambia la dirección de la velocidad.

Cuando la partícula se mueve en una región en la que hay un campo magnético y un campo eléctrico, la fuerza total sobre ella es la suma de la fuerza eléctrica y la fuerza magnética.

Esto es:

( )

La expresión anterior se conoce como fuerza de Lorentz, llamada así debido a que fue identificada por primera vez por Hendrik Lorentz.

PROBLEMA 4.2.

Un electrón entra a un campo magnético uniforme perpendicular a la velocidad. Si el radio de la trayectoria que describe el electrón es de 10 cm, calcula la velocidad v del electrón si el campo magnético es 5 x 10–4 T. Encuentra también, el período del movimiento circular del electrón.

La fuerza magnética es la que causa la trayectoria circular y corresponde a la fuerza centrípeta, por tanto:


Para calcular el período:

4.4. LA FUERZA MAGNETICA ENTRE CONDUCTORES

Como una corriente en un conductor crea su propio campo magnético, es fácil entender que dos conductores que lleven corriente ejercerán fuerzas magnéticas uno sobre el otro. Como se verá, dichas fuerzas pueden ser utilizadas como base para la definición del ampere y del coulomb. Considérese dos alambres largos, rectos y paralelos separados una distancia a y que llevan corriente I1 e I2 en la misma dirección, como se muestra en la figura 5.5. Se puede determinar fácilmente la fuerza sobre uno de los alambres debida al campo magnético producido por el otro alambre.

Fig. 4.4. Dos alambres paralelos que llevan cada uno una corriente estable ejercen una fuerza uno sobre el otro. El campo B2 en el alambre 1 debido al alambre 2 produce una fuerza sobre el

alambre 1 dada por F1= I1l B2. La fuerza es atractiva si las corrientes son paralelas como se muestra y repulsiva si las corrientes son antiparalelas.

El alambre 2, el cual lleva una corriente I2, genera un campo magnético B, en la posición del alambre 1. La dirección de B2 es perpendicular al alambre, como se muestra en la figura. De acuerdo con la ecuación F = I l x B, la fuerza magnética sobre una longitud l del alambre 1 es F1 = I1 l xB2. Puesto que l es perpendicular a B2, la magnitud de F1 está dada por F1 = I1 l xB2. Como el campo debido al alambre 2 está dado por la ecuación


Esto se puede reescribir en términos de la fuerza por unidad de longitud como:

La dirección de F1 es hacia abajo, hacia el alambre 2, ya que l XB2 es hacia abajo. Si se considera el campo sobre el alambre 2 debido al alambre 1, la fuerza F2 sobre el alambre 2 se encuentra que es igual y opuesta a F1. Esto es lo que se esperaba ya que la tercera ley de Newton de la acción-reacción debe cumplirse. Cuando las corrientes están en direcciones opuestas, las fuerzas son inversas y los alambres se repelen uno al otro. Por ello, se determina que:

"Conductores paralelos que lleven corrientes en la misma dirección se atraen uno al otro, mientras que conductores paralelos que lleven corrientes en direcciones opuestas se repelen uno al otro".

La fuerza entre dos alambres paralelos que lleven corriente se utiliza para definir el ampere como sigue:

"Si dos largos alambres paralelos separados una distancia de 1 m llevan la misma corriente y la fuerza por unidad de longitud en cada alambre es de 2x10-7N/m, entonces la corriente que llevan se define como 1 A".

El valor numérico de 2 X 10-7 N/m se obtiene de la ecuación anterior, con I1=I2=1A y a=1m. Por lo tanto, se puede emplear una medición mecánica para normalizar el ampere.

Por ejemplo, en la National Burea of Standars (Oficina Nacional de Normas) se utiliza un instrumento llamado balanza de corriente para normalizar otros instrumentos más convencionales, como el amperímetro.

La unidad de carga en él SI, el coulomb, puede ahora ser definido en términos de ampere como sigue:

"Si un conductor transporta una corriente estable de 1 A, entonces la cantidad de carga que fluye a través de una sección trasversal del conductor en 1s es 1 C".

4.5. FUERZA SOBRE UN ALAMBRE POR EL CUAL CIRCULA

UNA CORRIENTE.

Cuando una corriente eléctrica circula a través de un conductor que a su vez se encuentra en un campo magnético, cada carga q que fluye por el conductor experimenta una fuerza magnética. Estas fuerzas se transmiten al conductor como un todo, y hacen que cada unidad de longitud del mismo experimente una


fuerza. Si una cantidad total de carga Q pasa por la longitud l del alambre con

una velocidad media promedio perpendicular a un campo magnético B, la fuerza neta sobre dicho segmento de alambre es

La velocidad media para cada carga que pasa por la longitud l en el tiempo t es l/t. Por ende, la fuerza neta sobre toda la longitud es

Si sé re-arregla y simplifica, se obtiene

Dónde: I representa la corriente en el alambre.

Del mismo modo que la magnitud de la fuerza sobre una carga en movimiento varía con la dirección de la velocidad, la fuerza sobre un conductor por el cual circula una corriente depende del ángulo que la corriente hace con la densidad de flujo. En general si el alambre de longitud l hace un ángulo ϴ con el campo B, el alambre experimentará una fuerza dada por

PROBLEMA 4.3.

El alambre de la figura 4.5. forma un ángulo de 30° con respecto al campo B de 0,2. Si la longitud del alambre es 8 cm y la corriente que pasa por él es de 4A, determínese la magnitud y dirección de la fuerza resultante sobre el alambre.

Fig. 4.5.

Solución

Al sustituir directamente en la ecuación se obtiene:


La dirección de la fuerza es hacia arriba como se indica en la figura. Si se invirtiera el sentido de la corriente, la fuerza actuaría hacia abajo.

4.6. LEYES DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS

Por lo común se cree que el magnetismo de la materia es el resultado del movimiento de los electrones en los átomos de las sustancias. Si esto es cierto, el magnetismo es una propiedad de la carga en movimiento y está estrechamente relacionado con fenómenos eléctricos. De acuerdo con la teoría clásica, los átomos individuales de una sustancia magnética son, de hecho, pequeños imanes con polos norte y sur. La polaridad magnética de los átomos se basa principalmente en el espín de los electrones y se debe sólo parcialmente a sus movimientos orbitales alrededor del núcleo.

Los átomos en un material magnético se agrupan en regiones magnéticas microscópicas llamadas dominios. Se considera que todos los átomos dentro de un dominio están magnéticamente polarizados a lo largo del eje cristalino.

El magnetismo inducido suele ser solo temporal, y cuando el campo se suprime, paulatinamente los dominios se vuelven a desorientar. Si los dominios permanecen alineados en cierto grado después de que el campo ha sido retirado, se dice que el material ha sido magnetizado permanentemente. Se llama retentividad a la capacidad para retener el magnetismo.

Otra propiedad de los materiales magnéticos que puede explicarse fácilmente mediante la teoría de los dominios es la saturación magnética. Parece que hay un límite para el grado de magnetización que un material puede experimentar. Una vez que se llega a este límite ningún campo externo de mayor intensidad puede incrementar la magnetización. Se considera que todos los dominios han sido alineados.

Cada línea de inducción es una curva cerrada. Aunque no hay nada que fluya a lo largo de estas líneas, es útil establecer una analogía entre las trayectorias cerradas de las líneas de flujo y un circuito cerrado conductor por el cual circula una corriente. La región ocupada por el flujo magnético se denomina circuito magnético, del cual el ejemplo más sencillo es el anillo de Rowland.


Fig. 4.6. Anillo de Rowland.

Se ha visto que las líneas de flujo magnético son más para un solenoide con núcleo de hierro que para un solenoide en aire. La densidad de flujo está relacionada con la permeabilidad µ del material que sirve como núcleo para el solenoide. La intensidad del campo H y la densidad e flujo B están relacionadas entre sí según la ecuación:

B = µH

Al hacer una comparación de esta relación se demuestra que para un solenoide:

Nótese que la intensidad del campo magnético es independiente de la permeabilidad del núcleo; sólo es función del número de vueltas N, la corriente I y la longitud L del solenoide. La intensidad magnética se expresa en amperes por metro.

El campo magnético que se establece por una corriente en el devanado magnetizante se confina por completo al toroide. Este dispositivo es llamado frecuentemente anillo de Rowland debido a J.H.Rowland, quien lo utilizó para estudiar las propiedades de muchos materiales.

Supóngase que se inicia el estudio de las propiedades magnéticas de un material con un anillo de Rowland no magnetizado moldeado con la misma sustancia. Inicialmente, B=0 y H=0. El interruptor se cierra y la corriente magnetizante I se incrementa en forma gradual, de tal modo que se produce una intensidad de campo magnética expresada por:

Dónde: L es la longitud de la circunferencia del anillo.

A medida que el material se somete a una intensidad de campo magnético H en aumente, la densidad de flujo B también crece hasta que el material se satura. Observe la curva AB de la figura 4.7. Ahora bien, si gradualmente la corriente se


reduce a 0, la densidad de flujo B a lo largo del núcleo no regresa a 0 sino que retiene cierta intensidad magnética, como muestra la curva BC. La pérdida de la restitución magnética se conoce como histéresis.

Histéresis es el retraso de la magnetización con respecto a la intensidad del campo magnético.

La única forma de regresar a cero la densidad de flujo B en el anillo consiste en invertir el sentido de la corriente que fluye por el devanado. Este procedimiento origina la intensidad magnética H en sentido opuesto, como indica la curva CD. Si la magnetización continúa incrementándose en sentido negativo, el material finalmente se satura de nuevo con una polaridad invertida. Véase la curva DE. Si se reduce otra vez la corriente a cero y luego se aumenta en el sentido positivo, se obtendrá la curva EFB. La curva completa se llama ciclo de histéresis.

El área encerrada por el ciclo de histéresis es una indicación de la cantidad de energía que se pierde al someter un material dado a través de un ciclo completo de magnetización. El rendimiento de muchos dispositivos electromagnéticos depende de la selección de materiales magnéticos con baja histéresis. Por otro lado, los materiales que se requiere que permanezcan bien magnetizados deberán presentar una gran histéresis.

Fig. 4.7. Ciclo de histéresis.

4.7. PROPIEDADES DE LOS MATERIALES MAGNÉTICOS

Densidad de Flujo y Permeabilidad.

El número de líneas N dibujadas a través de la unidad de área A es directamente proporcional a la intensidad del campo eléctrico E.


La constante de proporcionalidad ϵ, que determina el número de líneas dibujadas, es la permisividad del medio por el cual pasan las líneas.

Puede presentarse una descripción semejante para un campo magnético si se

considera el flujo magnético que pasa perpendicularmente a través de una unidad de área A. Esta razón B se llama densidad de flujo magnético.

"La densidad de flujo magnético en una región de un campo magnético es el número de líneas de flujo que atraviesan perpendicularmente la unidad de área en dicha región".

En él SI la unidad de flujo magnético es el weber (Wb). Por tanto, la unidad de densidad de flujo será webers por metro cuadrado, y se redefine como el tesla (T). Una unidad antigua que aún se usa es el gauss (G). En resumen,

PROBLEMA 4.4. Cálculo del flujo magnético en una espira rectangular.

Una espira rectangular de 19cm de ancho y 20cm de largo forma un ángulo de 30° con respecto al flujo magnético. Si la densidad de flujo es 0,3 T, calcúlese el flujo magnético que penetra en la espira.

Solución

El área efectiva que el flujo penetra es aquella componente del área perpendicular al flujo. Así pues, de la ecuación

Se obtiene


La densidad de flujo en cualquier punto de un campo magnético se ve muy afectada por la naturaleza del medio o por la naturaleza de algún material que se coloque entre el polo y el objeto. Por esta razón conviene definir un nuevo vector de campo magnético, la intensidad del campo magnético H, que no depende de la naturaleza del medio. En cualquier caso, el número de líneas establecidas por unidad de área es directamente proporcional a la intensidad del campo magnético H. Puede escribirse

Donde la constante de proporcionalidad µ es la permeabilidad del medio a través del cual pasan las líneas de flujo. La ecuación anterior es análoga a la ecuación para campos eléctricos.

Así pues, la permeabilidad de un medio puede definirse como la medida de la capacidad para establecer líneas de flujo magnético. Cuanto más grande sea la permeabilidad del medio, mayor será el número de líneas de flujo que pasarán por la unidad de área.

La permeabilidad del espacio libre (el vacío) se denota mediante µ0. Los materiales magnéticos se clasifican conforme a sus permeabilidades comparadas con la del espacio vacío. La razón de la permeabilidad de un material con la correspondiente para el vacío se llama permeabilidad relativa y está expresada por:

Materiales con una permeabilidad relativa ligeramente menor que la unidad tienen la propiedad de poder ser repelidos débilmente por un imán potente. Este tipo de materiales se denominan diamagnéticos y la propiedad correspondiente, diamagnetismo.

Por otro lado, a los materiales que presentan una permeabilidad ligeramente mayor que la del vacío se denominan paramagnéticos. Dichos materiales son atraídos débilmente por un imán poderoso.

Pocos materiales, como el hierro, cobalto, níquel, acero y aleaciones de estos elementos prestan permeabilidades extremadamente altas, comprendidas desde pocos cientos a miles de veces la del vacío. Estos materiales son atraídos fuertemente por un imán y se dice que son ferromagnéticos.


ACTIVIDADES N° 4

1. Una carga q=3x10-8C, entra en un campo magnético constante B= 0,2Wb/m2 con una velocidad de v= 4x105 m/s. a) Calcular la fuerza magnética que actúa

sobre la carga, si el ángulo entre y es de: 0°, 60°, 90°, 180°. b) ¿En qué dirección debe entrar la carga para que la fuerza magnética que actúa sobre ésta sea máxima? R=a)0N; 2,07x10-3N; 2,4x10-3N;0N; b) 90°

2. Un conductor recto de gran longitud transporta una corriente eléctrica de intensidad. Si el conductor se encuentra contenido en el eje Z de un sistema

de coordenadas (x,y,z), determine el vector inducción magnético en el punto “p” cuyas coordenadas son (0,20,0) cm; Considere I=10ª en la dirección –Z y

que el medio alrededor del conductor es el aire. R= .

3. Un solenoide tiene 0,30m de longitud, con 300 vueltas, y pasa por él una corriente de 5A. ¿Cuál es la magnitud del campo magnético en el centro del solenoide? R=6,3mT.

4. Dos conductores largos y paralelos tienen corrientes en la misma dirección, si por cada conductor pasa la corriente de 5A y tienen longitudes de 50cm y la distancia entre ellos es 3mm. Calcular la magnitud de la fuerza sobre cada conductor. R= 8,3x10-4 N.

5. Un protón se mueve en órbita circular, con un radio de 14cm, en un campo magnético uniforme de valor 0,35T perpendicular a la velocidad del protón. Determinar la velocidad lineal del protón. R= 4,7x106 m/s.

6. Dos conductores rectilíneos, paralelos y muy largos, están separados por una distancia de 12 cm. Por los conductores pasan corrientes eléctricas en el mismo sentido y de intensidades I1 = 12 A e I2 = 18 A. Calcula el campo magnético en los dos puntos situados sobre una recta perpendicular a los conductores y que está a 6 cm del conductor I1. R=2x10-5T.

7. Calcula la fuerza que un campo magnético de 2x104 T ejerce sobre una carga eléctrica de + 1C que se mueve perpendicularmente al campo con una velocidad de 104 m/s. R=2x10-6N

8. Un electrón penetra en un campo magnético uniforme de 103 T con una velocidad de 3x107 m/s perpendicular al campo. Calcula: a) la fuerza que actúa sobre el electrón; b) el radio de la órbita circular que describe. Carga y masa del electrón: qe = 1,6x1019 C, me = 9,1x1031 kg. R=4.8x10-15N; 0,17m.


CAPÍTULO 5

5. LEYES DEL ELECTROMAGNETISMO

5.1. FLUJO ELÉCTRICO Y LA LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO

MAGNETICO

5.1.1. FLUJO ELECTRICO

El flujo eléctrico se define como el número de líneas de campo eléctrico que cruza

una superficie. Si la superficie encierra alguna carga neta, el número de líneas

que atraviesan la superficie es proporcional a la carga neta dentro de la superficie.

| |

Las unidades del flujo el´ectrico en el sistema internacional de unidades:

[ ]

Figura 5.1: Esquema para el cálculo de la contribución del elemento de flujo

La contribucion al flujo electrico total ΔΦE es:

∑

∫

El flujo neto a través de una superficie cerrada es proporcional al número neto de

líneas que abandonan la superficie:

∮

=ΔAi

ΔAi


5.1.2. Ley de Gauss. Calculo de E a partir de la ley de Gauss.

Si existen varias cargas q1, q2,... en el interior de una superficie arbitraria ∂Ω, el

flujo eléctrico total será la suma de los flujos producidos por cada carga. La ley de

Gauss establece:

El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada que encierra las cargas q1,

q2,…..es:

∮

∑

Donde ∑ es la carga total en el interior de la superficie.

Si una carga tal como q´ o q´´ está fuera de la superficie cerrada, el flujo electrico

neto a través de es cero.

Problema 5.1: Distribución de carga esférica.

Una esfera aislante de radio a tiene una densidad de carga uniforme ρ, y una

carga positiva total Q. Calcular la magnitud del campo eléctrico en los puntos: (a)

Fuera de la esfera. (b) Dentro de la esfera.

Solución:

(a) E(r) = KQ/r2 Ur.

(b) Para r < a, se utiliza la ley de Gauss:

∫

Pero:

(r < a)


5.2. LEY DE BIOT Y SAVART

Poco tiempo después del descubrimiento de Oersted en 1819, donde la aguja de la brújula se desviaba a causa de la presencia de un conductor portador de corriente, Jean Baptiste Biot y Felix Savart informaron que un conductor de corriente estable produce fuerzas sobre un imán. De sus resultados experimentales, Biot y Savart fueron capaces de llegar a una expresión de la que se obtiene el campo magnético en un punto dado del espacio en términos de la corriente que produce el campo.

Fig. 5.1. El campo magnético dB en el punto P debido a un elemento de corriente ds está dado por la ley de Biot-Savart.

La ley de Biot-Savart establece que si un alambre conduce una corriente constante I, el campo magnético dB en un punto P debido a un elemento ds (Figura. 5.3.) tiene las siguientes propiedades:

I. El vector dB es perpendicular tanto a ds (el cual tiene la dirección de la corriente) como al vector unitario ê dirigido desde el elemento hasta el punto P.

II. La magnitud dB es inversamente proporcional a r², donde r es la distancia desde el elemento hasta el punto p.

III. La magnitud de dB es proporcional a la corriente y la longitud ds del elemento.

IV. La magnitud de dB es proporcional a sen ϴ, donde ϴ es el ángulo entre el vector ds y ê.

La ley de Biot-Savart puede ser resumida en la siguiente fórmula:


Donde Km es una constante que en SI de unidades es exactamente 10-7 Wb/A*m. La constante Km es por lo general escrita como µ0/4π, donde µ0 es otra constante, llamada permeabilidad del espacio libre. Es decir,

µ0 = 4πKm = 4π x 10-7 Wb/A*m

Por lo que la ley de Biot-Savart, también puede escribirse como:

Es importante hacer notar que la ley de Biot-Savart proporciona el campo magnético en un punto dado para un pequeño elemento del conductor. Para encontrar el campo magnético total B en algún punto debido a un conductor para tamaño finito, se deben sumar las contribuciones de todos los elementos de corriente que constituyen el conductor. Esto es, se debe evaluarse B por la integración de la ecuación anterior:

Donde la integral se evalúa sobre todo el conductor, Esta expresión debe ser manejada con especial cuidado desde el momento que el integrando es una cantidad vectorial.

Se presentan rasgos similares entre la ley de Biot-Savart del magnetismo y la ley de Coulomb de la electrostática. Es decir, el elemento de corriente I ds produce un campo magnético, mientras que una carga puntual q produce un campo eléctrico. Además, la magnitud del campo magnético es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde el elemento de la corriente, como lo hace el campo eléctrico debido a una carga puntual.

Sin embargo, las direcciones de los dos campos son muy diferentes. El campo eléctrico debido a una carga puntual es radial. En el caso de una carga puntual positiva, E está dirigido desde la carga hacia el punto del campo. Por otro lado, el campo magnético debido a un elemento de corriente es perpendicular tanto al elemento de corriente como al vector. Por lo que, si el conductor se encuentra en el plano del papel, como en la figura 5.3, dB está dirigido hacia afuera del papel en el punto P y hacia adentro del papel en el punto P.


PROBLEMA 5.2. Campo magnético de un conductor delgado rectilíneo.

Considérese un alambre conductor recto, muy delgado, que lleva una corriente I colocado a lo largo del eje x como en la figura 5.2. Se calculará el campo magnético en el punto P localizado a una distancia a del alambre.

Solución. El elemento ds está a un a distancia r de P. La dirección del campo en P debida a este elemento es hacia afuera del papel, ya que ds X r está hacia afuera del papel. De hecho, todos los elementos dan una contribución dirigida hacia afuera del papel en P.

Fig.5.2. a). Un segmento de alambre recto lleva una corriente I. El campo magnético en P debido a cada elemento ds está dirigido hacia afuera del papel, y por lo tanto el campo total también está

dirigido hacia afuera del papel. b). Los ángulos límite ϴ1 y ϴ2 para esta geometría.

Por lo tanto, se tiene que determinar sólo la magnitud del campo en P. Ahora, si se considera O como el origen y P situado sobre el eje y positivo, con k siendo el vector unitario dirigido hacia afuera del papel, se ve que

Sustituyendo, dado que dB=kdB, con

Para integrar esta expresión, se deben relacionar de alguna manera las variables ϴ, x y r. Una forma de lograrlo es expresar x y r en términos de ϴ.

De la geometría en la figura 5.4a y una simple diferenciación, se obtiene la siguiente relación:


Ya que tan ϴ= -a/x del triángulo rectángulo de la figura 5.2a,

Por consiguiente, se ha logrado reducir la expresión a una que implica sólo a la varible ϴ. Ahora se puede obtener el campo magnético total en el punto P integrando sobre todos los elementos que subtienden ángulos comprendidos entre ϴ1 y ϴ2 definidos como en la figura 5.2b. Esto da

Puede aplicarse este resultado para determinar el campo magnético de cualquier alambre recto si se conoce su geometría y también los ángulos ϴ1 y ϴ2.

Considérese el caso especial de un alambre conductor delgado, infinitamente largo. En este caso, ϴ1= 0 y ϴ2=π, como puede verse en la figura 5.2b, para segmentos que van desde

x = - hasta x = + . Como (cos ϴ1 – cos ϴ2) = (cos 0 - cosπ) = 2,

la ecuación se convierte en


5.3. LEY DE AMPERE

En física del magnetismo, la ley de Ampere relaciona un campo magnético estático con las causa que la produce, es decir, una corriente eléctrica estacionaria. Es análoga a ley de Gauss.

5.3.1. Ley de Ampere original

Forma integral

La forma original de la ley de Ampere para medios materiales es:

donde

es el campo magnético,

es la corriente encerrada en la curva C,

Un caso particular de interés es cuando el medio es el vacío ( ):

Dónde:

es la densidad de flujo magnético,

μ0 es la permeabilidad magnética del vacío.

Forma diferencial

A partir del teorema de Stokes, esta ley también se puede expresar de forma diferencial:

5.3.2. Ley de Ampere-Maxwell

La ley de Ampere-Maxwell o ley de Ampere generalizada es la misma ley corregida por James Clerk Maxwell debido a la corriente de desplazamiento y creó una versión generalizada de la ley, incorporándola a las ecuaciones de

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica_del_magnetismo

http://es.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9-Marie_Amp%C3%A8re

http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico

http://es.wikipedia.org/wiki/Corriente_el%C3%A9ctrica

http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Gauss

http://es.wikipedia.org/wiki/Densidad_de_flujo_magn%C3%A9tico

http://es.wikipedia.org/wiki/Permeabilidad_magn%C3%A9tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Stokes

http://es.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwell

http://es.wikipedia.org/wiki/Corriente_de_desplazamiento

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Maxwell


Maxwell. Este término introducido por Maxwell del campo eléctrico en la superficie.

Forma integral

Siendo el último término la corriente de desplazamiento.

Forma diferencial

Esta ley también se puede expresar de forma diferencial, para el vacío:

o para medios materiales:

5.3.3. Forma del ángulo sólido

Si c es un lazo cerrado por el cual circula una corriente i, y Ω es el ángulo sólido formado por el circuito y el punto en el que se calcula el campo, entonces la intensidad de campo magnético está dada por:


http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_el%C3%A9ctrico


5.4. LEY DE FARADAY

La Ley de inducción electromagnética de Faraday (o simplemente Ley de Faraday) se basa en los experimentos que Michael Faraday realizó en 1831 y establece que el voltaje inducido en un circuito cerrado es directamente proporcional a la rapidez con que cambia en el tiempo el flujo magnético que atraviesa una superficie cualquiera con el circuito como borde:

donde es el campo eléctrico, es el elemento infinitesimal del contorno C, es la densidad de campo magnético y S es una superficie arbitraria, cuyo borde

es C. Las direcciones del contorno C y de están dadas por la regla de la mano derecha.

La permutación de la integral de superficie y la derivada temporal se puede hacer siempre y cuando la superficie de integración no cambie con el tiempo.

Por medio del teorema de Stokes puede obtenerse una forma diferencial de esta ley:

Ésta es una de las ecuaciones de Maxwell, las cuales conforman las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo. La ley de Faraday, junto con las otras leyes del electromagnetismo, fue incorporada en las ecuaciones de Maxwell, unificando así al electromagnetismo.

En el caso de un inductor con N vueltas de alambre, la fórmula anterior se transforma en:

Donde Vε es el voltaje inducido

dΦ/dt es la tasa de variación temporal del flujo magnético Φ.

La dirección voltaje inducido (el signo negativo en la fórmula) se debe a la ley de Lenz.

http://es.wikipedia.org/wiki/Michael_Faraday

http://es.wikipedia.org/wiki/1831

http://es.wikipedia.org/wiki/Voltaje_inducido

http://es.wikipedia.org/wiki/Circuito_el%C3%A9ctrico

http://es.wikipedia.org/wiki/Tiempo

http://es.wikipedia.org/wiki/Flujo_magn%C3%A9tico

http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_%28matem%C3%A1tica%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Densidad_de_campo_magn%C3%A9tico

http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_la_mano_derecha

http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_la_mano_derecha

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Stokes


http://es.wikipedia.org/wiki/Electromagnetismo

http://es.wikipedia.org/wiki/Inductor


http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Lenz



5.5. LEY DE LENZ

La Ley de Lenz nos dice que los voltajes inducidos serán de un sentido tal, que se opongan a la variación del flujo magnético que las produjo. Esta ley es una consecuencia del principio de conservación de la energía.

La polaridad de un voltaje inducido es tal, que tiende a producir una corriente, cuyo campo magnético se opone siempre a las variaciones del campo existente producido por la corriente original.

El flujo de un campo magnético uniforme a través de un circuito plano viene dado por:

∫

Dónde:

Φ = Flujo magnético. La unidad en el SI es el weber (Wb). B = Inducción electromagnética. La unidad en el SI es el tesla (T). S = Superficie del conductor. ϴ = Ángulo que forman el conductor y la dirección del campo.

Si el conductor está en movimiento el valor del flujo será:

En este caso la Ley de Faraday afirma que el Vε inducido en cada instante tiene por valor:

El valor negativo de la expresión anterior indica que el Vε se opone a la variación del flujo que la produce. Este signo corresponde a la ley de Lenz.

Esta ley se llama así en honor del físico germano-báltico Heinrich Lenz, quien la formuló en el año 1834.

PROBLEMA 6.1.

Una bobina de 60 espiras emplea 0.04 segundos en pasar entre los polos de un imán en forma de herradura desde un lugar donde el flujo magnético es de 2x10-4 webers a otro en el que éste es igual a 5x10-4 webers. ¿Cuál es el valor de la fem media inducida?

Datos N=60



http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades

http://es.wikipedia.org/wiki/Weber_%28unidad%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Inducci%C3%B3n_electromagn%C3%A9tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Tesla_%28unidad%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_%28matem%C3%A1tica%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Conductor_el%C3%A9ctrico

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo

http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_electromagn%C3%A9tico

http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Faraday


http://es.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Lenz



t=0.04 seg Φi=2x10-4 wb Φf=5x10-4 wb ε=?

Fórmula

ε=-NΦf-Φi

t

Sustitución

ε=-60(5x10-4 wb-4 wb) 2x10-4 /0,04 seg

ε=-0.45 Volts

PROBLEMA 6.2.

Una espira circular de 20 cm de diámetro gira en un campo magnético uniforme de 5 T de intensidad a razón de 120 vueltas por minuto. Determinar: a) El flujo magnético que atraviesa la espira cuando su plano es perpendicular al campo y cuando forma un ángulo de 30º con la dirección del campo magnético. b) El valor de la f.e.m. media inducida en la espira cuando pasa de la primera a la segunda posición.

a) La expresión del flujo que atraviesa una espira circular en un campo magnético uniforme viene dada por.

Siendo B la intensidad del campo magnético, S el área limitada por la espira, R su radio y el ángulo que forma la perpendicular al plano de la espira con la dirección del campo.

En la primera posición el ángulo 1 = 0º y por lo tanto:

En la segunda posición el ángulo 2 = 90º - 30º = 60º y entonces:

b) De acuerdo con la ley de Faraday-Henry, la f.e.m. media inducida en una

espira en un intervalo de tiempo t viene dada por:


Siendo t el intervalo de tiempo que transcurre entre una y otra posición.

Dado que el movimiento de rotación es uniforme, se cumple la relación:

Que permite el cálculo de t.

Resulta:

Sustituyendo el valor de y de t en la ley de Faraday-Henry resulta finalmente:

PROBLEMA 6.3.

Se dispone de una bobina de 2 200 vueltas y se desea construir en ella un reductor que permita conectar a la red de 220 V un motor que funcione con 125 V. Determinar el número de espiras que ha de tener el secundario para que efectúe la transformación deseada. Si la intensidad que circula por el primario una vez conectado es de 2 A, ¿cuál será la intensidad de la corriente inducida en el secundario?

En todo transformador las tensiones V1 y V2 en los bornes del primario y del secundario respectivamente, son proporcionales a su número de espiras, es decir:

En este caso:


Además, cuando se desprecia la dispersión del flujo magnético entre el primario y el secundario, la potencia eléctrica en una y otra bobina es la misma, por tanto:

220 · 2 = 125 · I2

PROBLEMA 6.4.

Se ha determinado que una corriente continua de 3 amperes en una bobina de 200 vueltas establece un flujo de 8 000 marxells (líneas) en la bobina. Determinar, (a) la fuerza contra electromotriz inducida en la bobina, si la corriente se interrumpe en 1/25 seg; (b) la inductancia de la bobina, y (c) la energía acumulada en el campo magnético.

SOLUCIÓN. (a) La fuerza contra electromotriz inducida en la bobina es

o, dado que la fem

(c) Energía acumulada en el campo magnético

Alternativamente, energía = fem media x corriente media x tiempo


PROBLEMA 6.5.

Un anillo de hierro dulce con una sección de 25 cm2, una circunferencia media de 125 cm y una permeabilidad de 2000, está bobinado con 500 vueltas de alambre. ¿Cuál es la inductancia del solenoide en anillo?

PROBLEMA. Una bobina con núcleo de aire está devanada sobre un cilindro de cartón con un radio medio de 1,2 cm y una longitud de 5 cm. Inicialmente se bobina una sola capa de 80 espiras. ¿Cuál es la inductancia de la bobina? El bobinado se aumenta luego a 2400 espiras (30 capas), hasta que su espesor es de 0,6 cm. ¿Cuál es la inductancia final?

SOLUCIÓN. Para la bobina de una sola capa:

Para la bobina de varias capas:

PROBLEMA 6.6.

Una bobina de 0,5 henrios de inductancia y cuyo bobinado posee una resistencia de 10 ohms, se conecta a una fuente de 28 volts de CC. Calcular- (a) la velocidad con que aumenta la corriente en el instante en que se conecta la bobina a la fuente; (b) la corriente final (máxima) en la bobina; (c) el tiempo necesario para que la corriente alcance el 63,2 % y el 95 % de su valor final; y (d) la velocidad con que aumenta la corriente en el instante en que alcanza el 95 % de su valor final.

SOLUCIÓN. (a) En cualquier momento voltaje aplicado = caída de voltaje en la resistencia + fuerza contra electromotriz (fcem) en la bobina


En el instante en que la bobina se conecta, i = 0, y por lo tanto iR = 0. Entonces,

Es decir, al comienzo la corriente aumenta a una velocidad de 56 amps/seg.

(b) La corriente final se alcanza cuando di/dt = 0, y por lo tanto la fcem es cero. Entonces E = iR + 0, y por lo tanto

La corriente final es 2,8 amperes (máximo).

(c) El tiempo necesario para que la corriente aumente hasta el 63,2 % de su valor final es igual a una constante de tiempo, o sea

la corriente alcanza el 95 % de su valor final en tres constantes de tiempo

3 CT = 3 X 0,05 seg = 0,15 segundo

(d) Cuando la corriente alcanza el 95 % (ó 0,95) del valor final

28 volts = 26,6 volts + 0,5 henrio di/dt

Por lo tanto di/dt = (28-26,6)volts/0,5 henrio = 1,4 volts/0,5 henrio = 2,8 amp/seg.

PROBLEMA 6.7.

Dos bobinas de 6 y 12 henrios respectivamente, se conectan primero en serie y luego en paralelo. ¿Cuál es la inductancia en cada caso, si las bobinas no están acopladas mutuamente una a otra?

SOLUCIÓN. En serie: L = L1 + L2 = (6 + 12) henrios = 18 henrios.

En paralelo:


ACTIVIDADES N° 6

1. Calcúlese el campo magnético de un alambre recto que lleva una corriente de 5A, a una distancia de 4cm del alambre. R= 2.5X10-5 T.

2. Calcula la intensidad de la corriente que circula por un hilo semicircular de 40 cm de radio si en su centro existe un campo magnético de 2 . 10 6 T. R=2,54A.

3. Una bobina consta de 200 vueltas de alambre y tiene una resistencia total de 2 Ω. Cada vuelta es un cuadrado de 18 cm de lado y se activa un campo magnético uniforme perpendicular al plano de la bobina. Si el campo cambia linealmente de 0 a 0,5 tesla en 0,8 seg. ¿Cuál es la magnitud de la fem inducida en la bobina mientras está cambiando el campo? R= 4,05 voltios.

4. Una bobina rectangular de 50 vueltas y dimensiones de 5 cm * 10 cm se deja caer desde una posición donde B = 0 hasta una nueva posición donde B = 0,5 T y se dirige perpendicularmente al plano de la bobina. Calcule la magnitud de la fem promedio inducida en la bobina si el desplazamiento ocurre en 0,250 seg. R= 0,5 voltios

5. Una espira plana de alambre que consta de una sola vuelta de área de

sección transversal igual a 8 cm2

es perpendicular a un campo magnético cuya magnitud aumenta uniformemente de o,5 T a 2,5 T en 1 seg. ¿Cuál es la corriente inducida resultante si la carga tiene una resistencia de 2 Ω? R= 8x10-4Amp.

6. Una espira rectangular de área A se pone en una región donde el campo magnético es perpendicular al plano de la espira. Se deja que la magnitud del campo magnético varíe en el tiempo de acuerdo con la expresión

⁄ donde Bmax

y son constantes. El campo tiene un valor constante

Bmax

para t<0. a) Emplee la ley de Faraday para mostrar que la fem inducida en

la espira está dada por:

⁄ . b) Obtenga un valor numérico para ε en t

= 4 seg. Cuando A = 0,16 m2 ;

Bmax

= 0,35 T : . c) Para los valores de A,

Bmax

, y . Dados en el inciso b) ¿Cual es el valor máximo de ε? R=

b)3,7893x10-3 voltios; c) 0,028 voltios.

7. Un poderoso electroimán produce un campo uniforme de 1,6 T sobre un área

de sección transversal de 0,2 m2

. Alrededor del electroimán se coloca una bobina que tiene 200 vueltas y una resistencia total de 20 Ω. Luego la corriente en el electroimán disminuye suavemente hasta que alcanza cero en 20 mseg. ¿Cuál es la corriente inducida en la bobina? R= 160Amp.

8. Una bobina de 20 espiras encadena un flujo de 20.000 líneas de fuerza (maxwells). Si el campo magnético varía en 0,01 seg, ¿cuál es la fem inducida en la bobina? R=-0,4V

9. Una bobina giratoria corta 80 webers de flujo magnético por segundo. ¿Cuál es el voltaje inducido en la bobina? R=-80V.


CAPÍTULO 6

6. INDUCTANCIA

En un Inductor o bobina, se denomina inductancia, L, a la relación entre la

cantidad de flujo magnético, que lo atraviesa y la corriente, I, que circula por ella:

De acuerdo con el Sistema Internacional de Medidas, si el flujo se expresa en webers y la intensidad en amperios, el valor de la inductancia vendrá en henrios (H).

El término "inductancia" fue empleado por primera vez por Oliver Heaviside en febrero de 1886, mientras que el símbolo L se utiliza en honor al físico Heinrich Lenz.

6.1. VALOR DE LA INDUCTANCIA

El valor de la inductancia viene determinado exclusivamente por las características de la bobina y por la permeabilidad magnética del espacio donde se encuentra. Así, para un solenoide, la inductancia, de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell, viene determinada por:

Dónde:

μ es la permeabilidad absoluta del núcleo.

N es el número de espiras.

A es el área de la sección transversal del bobinado

l la longitud de las líneas de flujo.

El cálculo de l es bastante complicado a no ser que la bobina sea toroidal y aun así, resulta difícil si el núcleo presenta distintas permeabilidades en función de la intensidad que circule por la misma. En este caso, la determinación de l se realiza a partir de las curvas de imantación.

http://es.wikipedia.org/wiki/Inductor


http://es.wikipedia.org/wiki/Corriente_el%C3%A9ctrica

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades

http://es.wikipedia.org/wiki/Weber

http://es.wikipedia.org/wiki/Amperio

http://es.wikipedia.org/wiki/Henrio

http://es.wikipedia.org/wiki/Oliver_Heaviside


http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Heinrich_Lenz&action=edit

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Heinrich_Lenz&action=edit


http://es.wikipedia.org/wiki/Solenoide



http://es.wikipedia.org/wiki/Toro_%28matem%C3%A1ticas%29

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Curva_de_Imantaci%C3%B3n&action=edit


6.1.1. Energía almacenada

Figura 7.1. Circuito con inductancia.

La bobina ideal es un elemento pasivo que almacena energía eléctrica en forma de campo magnético cuando aumenta la intensidad, devolviéndola cuando la corriente disminuye. Su ecuación de definición es (figura 7.1):

Matemáticamente se puede demostrar que la energía, , almacenada por una bobina con inductacia L que es recorrida por una corriente I, viene dada por:

6.2. FUERZA ELECTROMOTRIZ AUTOINDUCIDA

Un cambio en la intensidad de la corriente (ΔI / Δt) dará como resultado un cambio en el campo magnético y, por lo mismo, un cambio en el flujo que está atravesando el circuito. Esto, a su vez, dará lugar a la generación de una fuerza electromotriz autoinducida de acuerdo con la Ley de Faraday. La fuerza electromotriz originará una corriente eléctrica que se opondrá al cambio inicial de intensidad (véase la Ley de Lenz). El valor de la fuerza electromotriz autoinducida viene dado por:

Donde el signo menos indica que se opone a la causa que lo origina, por eso también se la suele denominar fuerza contraelectromotriz.

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Inductancia.png







http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Elemento_pasivo&action=edit

http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_el%C3%A9ctrica

http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico

http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_electromotriz


http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Faraday









6.3. CALCULO DE LA INDUCTANCIA

El cálculo de la inductancia L de un elemento de un circuito (como una bobina o solenoide) se define mediante la relación (considerando todas las

variables como magnitudes): dt

diLL

Si la corriente que circula en una bobina cambia, se modifica el flujo magnético

( ) que atraviesa la bobina, por tanto aparece una fem inducida en la propia

bobina (autoinducción).

dt

Nd B

Si no hay materiales ferromagnéticos, se cumple que LiN B

L- depende sólo de la geometría del sistema

dt

diL

dt

Nd B

dt

diL

(inductancia)

Para calcular la inductancia de un elemento usamos:

i

NL B

Unidad de inductancia en SI henry (H): A

sVoltHenry

.11

6.4. UN CIRCUITO LR

Al pasar el interruptor S a posición a, la ecuación del circuito es 0dt

diLiR

Cuya solución vale

L

tt

L

R

eR

eR

ti

11)(


La corriente no alcanza su valor máximo instantáneamente, sino que tarda

determinado tiempo. R

LL es la constante de tiempo inductiva.

Para 0t el inductor se opone al paso de corriente; Para t el inductor se

comporta como un conductor (cable).

Si luego que un tiempo largo, paso el interruptor S a posición b:

0dt

diLiR

L

tt

L

R

eR

eR

ti

)(

Al pasar el interruptor S a posición a, la ecuación del circuito es 0dt

diLiR

Cuya solución vale

L

tt

L

R

eR

eR

ti

11)(

la corriente no alcanza su valor máximo instantáneamente, sino que tarda

determinado tiempo. R

LL es la constante de tiempo inductiva.

Para 0t el inductor se opone al paso de corriente; Para t el inductor se

comporta como un conductor (cable).

Si luego que un tiempo largo, paso el interruptor S a posición b: 0dt

diLiR

L

tt

L

R

eR

eR

ti

)(


6.5. ALMACENAMIENTO DE ENERGÍA EN UN CAMPO

MAGNÉTICO

Al igual que el campo eléctrico, el campo magnético puede almacenar energía. Así un inductor almacena energía magnética (UB) como un capacitor almacena energía eléctrica.

2

2LIU B

Densidad de energía magnética: 0

2

2

BuB

6.6. OSCILACIONES ELECTROMAGNÉTICAS - CIRCUITO LC

Cuando un condensador C cargado (con QMAX) conectado en serie con un inductor L, y se cierra el interruptor, se producen oscilaciones en la corriente y en la carga del condensador.

El sistema conserva la energía, en forma análoga a un sistema masa-resorte. Inicialmente la energía en el circuito está almacenada en el capacitor y se va transfiriendo al inductor.

C

qLiUUU EB

22

12

2

01

2

2

qCdt

qdL qq

LCdt

qd 2

2

21

Soluciones: tQtq MAX cos)(

tQti MAX sin)(

Con la frecuencia angular dada por LC

1

)(cos22

1 222

tC

Q

C

qU MAX

E

)(sin22

2222

tQLLi

U MAXB


6.7. CIRCUITO RLC- OSCILACIONES AMORTIGUADAS Y

FORZADAS

En cualquier circuito LC real siempre hay presente una cierta resistencia R. Por tal razón, la energía U no es constante sino que disminuye debido a que se va disipando en la resistencia:

2iRdt

dU

dt

dU

dt

dU EB

Resultando: 2iR

dt

dq

C

q

dt

diLi

01

2

2

qCdt

dqR

dt

qdL

Ecuación del circuito RLC sin fuente de tensión, que describe las oscilaciones LC amortiguadas. La solución general de la ecuación diferencial anterior (cuando R es razonablemente pequeña) puede escribirse como

teqtq LRt

m 'cos)( 2 con

222

2

1

2'

L

R

LCL

R

Esta ecuación diferencial y su solución general es análoga a la del oscilador armónico amortiguado.

Cuando C

LR

4

aproximadamente igual al del oscilador no

amortiguado LC

1

Cuanto mayor sea R, más rápidamente se amortigua la oscilación, existiendo un valor crítico de R,


C

LRc

4 por arriba del cual no ocurren oscilaciones. Si R=Rc, se dice que el

sistema está críticamente amortiguado, y si es superior, sobreamortiguado.

6.8. CAMPOS Y ONDAS ELECTROMAGNETICAS

Las ondas electromagnéticas (OEM) están presentes en diferentes fenómenos que observamos a diario. Los rayos del Sol, las ondas de radio y TV, los rayos X y los rayos láser son ejemplos de ondas electromagnéticas. Las OEM tienen una presencia importante en nuestras vidas.

Una onda electromagnética es la forma de propagación de la radiación electromagnética a través del espacio, y sus aspectos teóricos están relacionados con la solución en forma de onda que admiten las ecuaciones de Maxwell.

A diferencia de las ondas mecánicas, las ondas electromagnéticas no necesitan de un medio material para propagarse

James Clerk Maxwell fue el primero en hacer la observación teórica de que un campo electromagnético variable admite una solución cuya ecuación de movimiento se corresponde a la de una onda. Eso sugería que el campo electromagnético era susceptible de propagarse en forma de ondas, tanto en un medio material como en el vacío. Esta última posibilidad de propagación en el vacío suscitó ciertas dudas en su momento, ya que la idea de que una onda se propagara de forma auto sostenida en el vacío resultaba extraña. Además las ecuaciones de Maxwell sugerían que la velocidad de propagación en el vacío era constante, para todos los observadores. Eso llevo a interpretar la velocidad de propagación constante de las ondas electromagnéticas como la velocidad a la que se propagaban las ondas respecto a un supuesto éter inmóvil que sería un medio material muy sutil que invadiría todo el universo. Sin embargo, el famoso experimento de Michelson y Morley descartó la existencia del éter y quedó inexplicado hasta que Albert Einstein daría con la solución para la constancia de la

velocidad de la luz en su teoría especial de la relatividad.

Por otro lado los primeros experimentos para detectar físicamente las ondas electromagnéticas fueron llevados a cabo por Heinrich Hertz en 1888, gracias a que fue el primero en construir un aparato que emitía y detectaba ondas electromagnéticas VHF y UHF.


http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_movimiento

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_movimiento

http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_(f%C3%ADsica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Vac%C3%ADo_(f%C3%ADsica)


http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%89ter_(f%C3%ADsica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Experimento_de_Michelson_y_Morley

http://es.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein

http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_de_la_luz

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_especial_de_la_relatividad

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_especial_de_la_relatividad


http://es.wikipedia.org/wiki/VHF

http://es.wikipedia.org/wiki/UHF


E

B

6.9. PRINCIPIO DE LAS OEM

Se tiene una espira conductora en un campo magnético B uniforme pero variable en el tiempo. Supongamos que la magnitud del campo aumenta, entonces, según las leyes de Faraday y Lenz, en la espira habrá una fem inducida y, ya que la espira es conductora, también habrá una corriente inducida en el sentido horario.

a) b)

La fem implica la existencia de un campo eléctrico E a lo largo del conductor. Además el sentido de la corriente es el sentido de las líneas de fuerza del campo eléctrico. Entonces las líneas de fuerza del campo E estarán dispuestas como se muestra en la figura b.

Se comprueba que si la espira es no conductora, no hay corriente inducida pero sí hay fuerza electromotriz inducida y, por ende, campo eléctrico. Por tanto, la existencia del campo eléctrico no depende del tipo de material de la espira.

Ya que la existencia del campo eléctrico no depende del material de la espira sino solamente del campo magnético, entonces si no hubiese espira, existiría igualmente el campo eléctrico E en dicho espacio.

Ley de Faraday- Henry:

“Un campo B variable en el tiempo genera un campo E”

E

B


E

Campo E creciente

B

Ley de Ampere-Maxwell:

“Un campo E variable en el tiempo genera un campo B”

6.10. CARACTERÍSTICAS DE UNA OEM

Una onda electromagnética es la propagación del campo electromagnético a través de un medio material o del vacío.

Las OEM son producidas por cargas aceleradas.

E es perpendicular a B.

La dirección de propagación está dada por el vector de onda k, que tiene la dirección del producto vectorial (E x B). El módulo del vector de onda se llama número de onda y es igual a:

2k (donde es longitud de onda)

K = (E x B).

E

B k

E

B


Son ondas transversales, puesto que en cada punto del espacio, E y B oscilan perpendicularmente a la dirección de propagación.

Se propagan en el vacío con una velocidad:

oo

1

c

Donde o : permitividad eléctrica del vacío

o : permeabilidad magnética del vacío

La frecuencia depende sólo de la fuente y no cambia al pasar la OEM de un medio a otro. En cambio la longitud de onda cambia cuando la OEM pasa de un medio a otro. El valor de la longitud de onda en un medio determinado se puede obtener sabiendo que la velocidad de propagación en ese medio se encuentra por la fórmula:

n

cv

n : índice de refracción del medio.

Como para toda onda v = v , entonces: = v

v =

v

n

c

= nv

c

= n

0

o : = n

0 entendiendo por 0 la longitud de onda en el vacío.

Las magnitudes de los campos eléctrico y magnético se relacionan por

B


EB

c

2 220

E B 0

0

E Bu u u E

2 2

Las OEM transportan energía.

Densidad de energía (u):

Es la energía por unidad de volumen

Intensidad (I):

Es la energía que atraviesa una superficie por unidad de área y por unidad de tiempo.

I = cu = c o E 2

La función de onda para el caso particular de ondas armónicas es:

E = E0sen (kx ωt )

B = B0sen (kx ωt )


Entonces la densidad de energía y la intensidad de la OEM en función del tiempo serían respectivamente:

u = oEo2sen2 (kx t)

I = coEo2sen2(kx - t)

La densidad de energía y la intensidad son variables en el tiempo. Entonces podemos hablar del valor medio:

Densidad media de energía : < u > = oEo2/2

Intensidad media : < I > = coEo2/2

6.11. ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO

Es la gama de frecuencias o de longitudes de onda donde se puede generar OEM .Cada tipo de OEM es generada de diferente modo y tiene diferentes características

A continuación se muestra el espectro en términos de la longitud de onda (). La

correspondiente gama de frecuencias () se puede obtener, considerando que en

el vacío = c/ , donde c es la velocidad de la luz.

1. Ondas de radio frecuencia (unidades de km > > 0,3 m)

2. Microondas ó UHF (0,3 m > > 103 m)

3. Espectro infrarrojo (103 m > > 7,8 107 m)

4. Espectro visible (luz) (7,8107 m > > 3,8 107 m)

5. Rayos ultravioletas (3,8107 m > > 61010 m)

6. Rayos X (109 m > > 61012 m)

7. Rayos Gamma (1010 m > > 1014 m)


6.12. RADIACIÓN VISIBLE

Es la radiación que puede ser detectada por el ojo humano. El ojo tiene una membrana llamada retina, que es sensible a esta radiación.

Como ya se ha indicado arriba, su longitud de onda está en el intervalo

3,8107 m > > 7,8 107 m. Sin embargo los límites no son precisos, dependen generalmente de la forma en que se generan las ondas. Algunos experimentadores, haciendo una aproximación gruesa, señalan como límites 3800 o

A y 7800 o

A .

Al incidir en el ojo producen diferentes sensaciones, que son los colores, los mismos que dependen de la longitud de onda (o de la frecuencia).


La sensibilidad del ojo humano depende de .

COLOR ( nm )

Rojo 780 - 622

Naranja 622 - 597

Amarillo 597 - 577

Verde 577 - 492

Azul 492 - 466

Violeta 455 - 380


ACTIVIDADES N° 6

1. Calcula la inducción magnética en el centro de una espira de 32 cm de radio si la corriente es de 2 A. R=3,9x10-6T.

2. A una distancia de 30 cm de un hilo conductor muy largo se ha medido un

campo magnético de 4,2 . 106 T. Si no existe ninguna otra fuente de campo magnético, calcula la intensidad de la corriente que circula por el hilo. R=6,3A.

3. Dos hilos conductores rectilíneos, paralelos e indefinidos, por los que circulan corrientes de 2 A y 4 A en el mismo sentido, están separados 60 cm. Calcula el valor de la inducción magnética en un punto P situado entre los dos hilos, en el plano definido por ambos y a 20 cm del primero. 2x10-6T

4. Un protón, tras ser acelerado por una diferencia de potencial de 25000 V, penetra perpendicularmente en un campo magnético y describe una trayectoria circular de 40 cm de radio. Determina: a) la inducción magnética; b) el radio de la trayectoria para un valor doble de la inducción magnética.

R=a) 5,7 . 10 2 T; b) 20 cm.

5. Un anillo de hierro dulce con una sección de 25 cm2, una circunferencia media de 125 cm y una permeabilidad de 2000, está bobinado con 500 vueltas de alambre. ¿Cuál es la inductancia del solenoide en anillo?


CAPÍTULO 7

7. PROPAGACIÓN, REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE LA LUZ ÓPTICA GEOMÉTRICA.

7.1. NATURALEZA DE LA LUZ

Según el diccionario la palabra luz proviene del latín lux – lucius y significa la radiación electromagnética en el espectro visible. La luz se define como la superposición de un gran número de ondas cuya vibración eléctrica está orientada al azar.

Teorías asociadas a la Luz, a través de la historia, los físicos han ido evaluando y aceptando diferentes teorías acerca de la luz, comenzando en el siglo XVII con el físico Isaac Newton.

I. Newton: la luz es un haz de partículas, trabajo que desarrollo entre 1670 y 1672. Newton demostró que la luz blanca estaba formada por una banda de colores que podían separarse por medio de un prisma. (Ver figura)

II. Huygens: La luz es una onda. El principio de Huygens es un método de análisis aplicado a los problemas de propagación de ondas. Afirma que todo punto de un frente de onda inicial puede considerarse como una fuente de ondas esféricas secundarias que se extienden en todas las direcciones con la misma velocidad, frecuencia y longitud de onda que el frente de onda del que proceden. Este principio fue formulado alrededor de 1673 por el físico holandés.

http://es.wikipedia.org/wiki/Huygens

http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_(f%C3%ADsica)


III. Planck: La luz como quantum (paquetes compactos de Energía). Esta teoría fue formulada por el físico polaco cerca de 1905, cuando publica sus estudios acerca de la mecánica cuántica.

IV. Broglie: La luz como una dualidad onda-corpúsculo. Este trabajo fue desarrollado en 1923, y habla acerca de cómo la luz puede cumplir ambos roles, vale decir, puede comportarse como una onda, y a su vez como corpúsculo.

7.2. CARACTERÍSTICAS DE LA LUZ:

• Velocidad finita: Actualmente el valor exacto aceptado para la velocidad de la luz en el vacío es de 299.792.458 m/s.

• La velocidad de la luz al propagarse a través de la materia es menor que a través del vacío y depende de las propiedades dieléctricas del medio y de la energía de la luz.


7.3. REFLEXIÓN DE LA LUZ

Este fenómeno se puede explicar en un modelo de partículas, una partícula que choca contra una pared se refleja, lo mismo ocurre con algunas ondas, en la cuales se cumple que el ángulo de incidencia = ángulo de reflexión. La reflexión de la luz nos indica su naturaleza.

Existen dos tipos de reflexiones: en superficies rugosas y en superficies suaves.

a) Reflexión Regular: es aquella en que la luz incide con un ángulo de incidencia sobre una superficie de separación, reflejándose con un ángulo de reflexión, que es igual al de incidencia. Se conoce como Ley de la reflexión.

b) Reflexión difusa: La luz incide sobre una superficie, no pulimentada, y el ángulo de incidencia, no es igual al ángulo de reflexión, no cumpliéndose la ley de la reflexión.

7.3.1. Leyes de la reflexión

1ª ley: El rayo incidente, la normal y el rayo reflejado están en el mismo plano.

2ª ley: El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. (En la reflexión especular)

En este fenómeno está basada la formación de imágenes en los ESPEJOS.


Tipos de imágenes:

Imagen real, es cuando está formada sobre los propios rayos. Estas imágenes se pueden recoger sobre una pantalla.

Imagen virtual, es cuando está formada por la prolongación de los rayos, y no se puede recoger sobre una pantalla.

7.3.2. Espejo plano

Imágenes en los espejos planos.

- La imagen obtenida es virtual.

- Es simétrica del objeto con respecto al espejo.

- Es derecha.

- El tamaño del objeto y su imagen son iguales.

ESPEJOS

PLANOS

ESFERICOS

CÓNCAVOS. La superficie reflectante

es la cara interna

CONVEXOS. La superficie reflectante

es la cara externa.


Si situamos dos espejos planos uno junto al otro, la imagen de uno se puede reflejar en el otro produciendo una repetición del objeto inicial. El número de imágenes formadas dependerá del ángulo entre los espejos

En la imagen (izquierda) puede verse como dos espejos que forman un ángulo de 90° (E1 y E2) se reflejan mutuamente dando las correspondiente imágenes (E'1 y E'2). El objeto inicial situado entre ambos se refleja en E1 obteniéndose la correspondiente imagen IE1 , y en E2 obteniéndose IE2 . Tanto IE1 como IE2 sirven a su vez de objetos para la reflexión en los espejos E'2 y E'1 dando la imagen común I.

Como resultado de las reflexiones se obtienen tres imágenes.


Se muestra un esquema de la reflexión de un objeto en dos espejos que forman un ángulo de 600 (E1 y E2). Los espejos se reflejan dando imágenes situadas en idéntica posición que los originales (ángulo de 600). De manera similar al caso anterior las imágenes formadas sirven como objeto para el siguiente espejo. Se obtienen cinco imágenes.

De forma general el número de imágenes formadas (N) depende del ángulo formado por los espejos:

7.3.3. Espejos esféricos

Elementos de los espejos esféricos

Centro de curvatura, es el centro de la esfera teórica a la que pertenece el casquete esférico.

Radio de curvatura, es el radio de la esfera teórica a la que pertenece el casquete dónde está realizado el espejo. (Espejo cóncavo: r < 0; Espejo convexo: r > 0)

Vértice, es el centro del casquete esférico.

Eje principal, es la línea imaginaria que pasa por el centro de curvatura y el vértice.

Foco, Es el punto situado sobre el eje principal, por dónde pasan todos los rayos reflejados procedentes de los rayos paralelos que llegan al espejo.

Distancia focal, es la distancia entre el foco y el vértice del espejo.

Se cumple que:


Imágenes en los espejos esféricos.

La construcción de imágenes en los espejos esféricos, se realizan aplicando las dos propiedades siguientes:

I. Todo rayo paralelo al eje principal, se refleja pasando por el foco (y viceversa).

II. Todo rayo que pasa por el centro de curvatura, se refleja sobre sí mismo.

Siendo:

s = distancia del objeto al vértice del espejo. Por convenio le tomamos siempre<0

s' = distancia de la imagen al vértice del espejo

f = distancia focal. (-) en espejos cóncavos y (+) en los convexos.


7.3.4. Ecuación fundamental de los espejos

7.4. REFRACCIÓN

Es el cambio brusco de dirección que sufre la luz al cambiar de medio. Este fenómeno se debe al hecho de que la luz se propaga a diferentes velocidades según el medio por el que viaja. El cambio de dirección es mayor, cuanto mayor es el cambio de velocidad, ya que la luz prefiere recorrer las mayores distancias en su desplazamiento por el medio que vaya más rápido.

Observaciones:

En el fenómeno de la refracción, la velocidad y el ángulo de refracción de la onda varía al cambiar esta de medio. Este cambio va a depender del índice de refracción del medio.

La relación que permite determinar este cambio de rapidez es la división entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en el medio, se denomina índice de refracción.

Su ecuación es:

n= Índice de refracción

C= Velocidad de la luz en el vacío

V= Velocidad de la luz en el medio


PROBLEMA 7.1

El índice de refracción del agua es 4/3 determinar la velocidad de la luz en el agua.

Datos:

n = 1,33 = 4/3

C= 3x108 m/s

Sabiendo que: n= c/v, despejando la velocidad de la luz, nos queda la siguiente ecuación:

V = 2,26x108 m/s

Lo que nos indica que la velocidad al pasar de un índice menor n = 1 (aire) a un medio con un índice mayor n agua = 1,33 disminuye su valor.

7.4.1. Ecuación de la Ley de Snell:

En el fenómeno de la refracción el cambio de dirección de la luz queda determinado por la Ley de Snell, la cual hace referencia a una relación entre los índices de refracción de los medios y los senos de los ángulos incidentes y refractados.

Esta ecuación nos deja en claro, que el índice de incidencia y el seno del ángulo incidente son inversamente proporcionales, lo que quiere decir que si el índice de incidencia es muy grande, el seno del ángulo será muy pequeño. La explicación es la misma para el índice de refracción y su seno del ángulo correspondiente.


7.4.2. Lentes

Es un medio transparente y homogéneo, limitado por dos superficies, una de ellas por lo menos, curva. Al ser atravesados por un rayo luminoso, éste se refracta.

Lentes divergentes. Son más delgadas en el centro que en los bordes.

Lentes convergentes. Son de mayor espesor en el centro que en los bordes.

ELEMENTOS DE UNA LENTE

Centros de curvatura C, C', son los centros geométricos de las superficies curvas que limitan el medio transparente.

Eje principal, es la línea imaginaria que une los centros de curvatura.

Centro óptico O, Es el punto de intersección de la lente con el eje principal.

Foco F y F', es el punto del eje principal por dónde pasan los rayos refractados en la lente, que provienen de rayos paralelos al eje principal.

Distancia focal f y f', es la distancia entre el foco y el centro óptico.


Imágenes producidas por las lentes.

La construcción de imágenes en las lentes, se realizan aplicando las tres propiedades siguientes:

I. Todo rayo paralelo al eje principal, se refracta pasando por el foco. II. Todo rayo que pasa por el centro óptico, no se desvía.

III. Todo rayo que pasa por el foco, se refracta paralelo al eje principal.

Siendo: s = distancia del objeto a la lente. Por convenio le tomamos siempre < 0

s' = distancia de la imagen a la lente

f' = distancia focal imagen

· Si la lente es convergente, F’ es un foco real y f’ > 0

· Si la lente es divergente, F’ es virtual y f’ < 0


7.3.4. Ecuación fundamental de los lentes

Si una lente está situada en el aire (n=1) y su índice de refracción es n, se cumple la siguiente relación de curvatura R1, R2, n y f.

(

)

Aumento (A): En los espejos y en las lentes es la relación entre el tamaño de la imagen (y´) y el tamaño del objeto (y). Se cumple que:


PROBLEMA 7.2.

Encontrar mediante un diagrama de rayos la imagen creada por a) Una lente convergente de 2cm de distancia focal de un objeto situado a 4cm. b) Un espejo plano de un objeto situado a 2cm.

Solución

a)

La imagen situada a la derecha, real (s´positiva), invertida (y´negativa), e igual que el objeto.

b) Un espejo plano forma siempre una imagen virtual, derecha y del mismo tamaño que el objeto que se encuentra a la misma distancia del espejo.


ACTIVIDADES N° 7

1. Investigar los métodos empleados para determinar la velocidad de la Luz.(puedes usar internet)

2. Explica de manera resumida apoyándote en los esquemas de los correspondientes experimentos, el método empleado por los siguientes científicos. Foucault, Fizeau, Michelson y Morley

3. La longitud de onda de luz roja láser helio-neón en el aire es de 632,8· 10-9 m. ¿Cuál es su frecuencia? b) ¿Cuál es su longitud de onda en un vidrio que posee un índice de refracción de 1,5? c) ¿Cuál es su velocidad en el vidrio? R=4,74x1014hz; 4,22x10-7m/s; 2x108 m/s.

4. Una radiación de frecuencia f=5x1014 (hz) se propaga en el agua. Calcular la velocidad de propagación y la longitud de onda de dicha radiación. R=2,26x108m/s; 4,51x10-7m.

5. Considérese un haz de luz monocromática con longitud de onda en el vacío de 590 10-9m Calcular la longitud de onda de este haz en un vidrio con índice de refracción n=1,5.R:3,93x10-7m/s.

6. La velocidad de la luz en el plástico es de 2x108 m/s. ¿Cuál es el índice de refracción del plástico? R: 1,5

7. ¿Cuál es la frecuencia de la luz que tiene una longitud de onda en el aire de 550 nm? ¿Cuál es su frecuencia en el agua? ¿Y su velocidad en el agua? ¿Y su longitud de onda en el agua? R= 5,45x1014hz; 2,26x108m/s; 4,77x10-

7m/s

8. Un rayo de luz amarilla, emitido por una lámpara de sodio, tiene una longitud de onda en el vacío de 690x10-9m. Determinar: Su frecuencia. Su velocidad de propagación y su longitud de onda en el interior de una fibra de cuarzo, cuyo índice de refracción es n = 1,45. R= 4,35x1014hz; 2,07x108m/s; 4,76x10-

7m/s

9. Una fuente luminosa emite luz monocromática de longitud de onda en el vacío λ0 = 6 x 10-7m (luz roja) que se propaga en el agua de índice de refracción n = 1,34 Determine: La velocidad de propagación de la luz en el agua. La frecuencia y la longitud de onda de la luz en el agua. (velocidad de la luz en el vacío: c = 3 x 108 m/s) R= 2,24x108m/s; 5x1014hz; 4,48x10-7m/s

10. La distancia de la luna puede encontrarse con la ayuda de espejos y dejados allá por los astronautas. Se envía un pulso de luz a la Luna y regresa a la Tierra en 2,562 s. Empleando la velocidad definida de la luz, calcule la distancia a la Luna. R=3,84x108 m/s

11. El índice de refracción del prisma es 1,57. Calcule la velocidad de la luz en el prisma. R= 1,91x108 m/s

12. Encuentre la velocidad de la luz en: a) Etanol (n = 1,36) b) cuarzo (n = 1,54) c) vidrio pedernal (n = 1,61) R= 2,21x108m/s; 1,95x108m/s; 1,86x108m/s.


13. Dos espejos planos están colocados perpendicularmente entre sí. Un rayo que se desplaza en un plano perpendicular a ambos es reflejado primero en uno y luego en el otro. ¿Cuál es la dirección final del rayo respecto a su dirección original? R= (r2=90°-i1)

14. Una persona de 1,80 m. de altura y que tiene los ojos a 1,70 m., del suelo quiere verse de pies a cabeza en un espejo plano vertical. Halla las dimensiones que debe tener el espejo y cómo debe estar colocado para conseguirlo. R= 0,85 m; 0,9 m.

15. Un objeto de 10 cm., de altura está situado a 75 cm, de un espejo cóncavo de 50 cm, de Radio. Halla la posición, naturaleza y tamaño de la imagen. R= Real e invertida, - 37,5 cm; -5 cm.

16. Un objeto de 3 cm, de alto está situado a 12 cm., de un espejo convexo, de r = 12 cm. Determinar: posición y altura de la imagen. R= Virtual, derecha, más pequeña ,4 cm; 3,33 cm.

17. Un espejo cóncavo tiene un radio de 120 cm ¿A qué distancia del espejo debe colocarse un rostro para que la imagen aparezca derecha y su tamaño sea el doble del natural? ¿La imagen es real o virtual? R= - 30 cm; Virtual.

18. Un sistema óptico está formado por dos lentes; la primera es convergente y con distancia focal de 10 cm; la segunda, a 50 cm de distancia de la primera, es divergente y con 15 cm de distancia focal. Un objeto se coloca a 20 cm delante de la lente convergente. a) Obtener gráficamente mediante trazado de rayos la imagen que produce el sistema. b) Calcular la posición de la imagen producida por la primera lente. c) Calcular la posición de la imagen producida por el sistema. d) ¿Cuál es el tamaño y la naturaleza de la imagen final formada por el sistema óptico?

19. Un objeto de 1,5 cm de alto se coloca a 20 cm de un espejo cóncavo cuyo radio de curvatura es 30cm. Determine: a) La posición de la imagen y su tamaño. b) Efectúe la construcción geométrica de la imagen.

20. Dos lentes convergentes de distancias focales 20 cm la primera de ellas y 25 cm la segunda, están separadas 80 cm. Un objeto se coloca a 60 cm delante de la primera lente: a) Determinar la posición y el aumento lateral de la imagen final formada por la combinación de ambas lentes. b) Realizar el trazado de rayos. ¿Cuál es la naturaleza de la imagen formada?

21. Un espejo esférico cóncavo, forma una imagen invertida de un objeto de 1 cm de altura, sobre una pantalla situada a 400 cm del espejo. La imagen debe tener una altura de 25 cm. Calcular: a) La distancia del espejo a la que debe situarse el objeto y el radio de curvatura del espejo. b) Efectuar la construcción geométrica de la imagen.

22. Un espejo esférico, cóncavo, ha de formar una imagen invertida de un objeto en forma de flecha, sobre una pantalla situada a una distancia de 420 cm delante del espejo. El objeto mide 5 mm y la imagen ha de tener una altura de 30 cm. Determinar: a) A qué distancia del espejo debe colocarse el objeto. b) El radio de curvatura del espejo. Efectuar la construcción geométrica de la citada imagen. R=a)-7cm; b)-13,76cm.


23. Una lente convergente con radios de curvatura de sus caras iguales, y que suponemos delgada, tiene una distancia focal de 50 cm. Proyecta sobre una pantalla la imagen de un objeto de tamaño 5 cm. a) Calcule la distancia de la pantalla a la lente para que la imagen sea de tamaño 40 cm. b) Si el índice de refracción de la lente es igual a 1,5. ¿Qué valor tienen los radios de la lente y cuál es la potencia de la misma? R= a) 450cm; b) 50cm; -50cm; 2Dioptrías.

24. Un objeto de 10 mm de altura, colocado perpendicularmente al eje óptico de una lente esférica delgada, está situado a una distancia de 30 cm delante de la misma. Si el valor absoluto de la distancia focal de la lente es 10 cm, calcular la posición, el tamaño y la naturaleza de la imagen formada en los siguientes casos: a) La lente es convergente. b) La lente es divergente. Efectuar las construcciones geométricas en los dos casos. R= a) 15 cm; -5 cm; real invertida y menor b) –7,5 cm; 2,5 cm; virtual, derecha y menor

25. Una lente convergente tiene una distancia focal de 10 cm. Determinar para dos objetos situados delante de la lente, a las distancias de 30 cm y de 5 cm respectivamente: a) La posición de la imagen, b) El aumento lateral. c) Si la imagen es real o virtual. d) Si la imagen es derecha o invertida. Efectuar la

construcción geométrica en ambos casos. R=Para s = – 30 cm a) 15 cm; b)

- 0,5; c) Real; d) Invertida. Para s = – 5 cm a) –10 cm; b) 2 ; c) Virtual; d) Derecha


BIBLIOGRAFÍA

Gettys, Keller, Skove. Física clásica y moderna. McGraw – Hill. 1991. Madrid

Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3ª ed.). Prentice Hall. ISBN 013805326X.

McKELVEY, John, GROTCH, Howard, Física para Ciencias e Ingeniería, Tomo II, California, Ed. Harla, Primera edición 1980.

Paul A. Tipler, Física, Edit. Reverté, S. A.

Resnick, Halliday, Krane. Física. 1ra parte. Compañía Editorial Continental. 1999. México.

Sears, Zemansky, Young, Freedman. Física universitaria. Volumen 2. Addison Wesley Longman.1998. México

Sears/Zemansky, Addison Wesley, Física General,

Serway, Raymond A, Física, Mc Graw-Hill, Tercera Edición, Tomo II.

Tipler, Mosca. Física para la Ciencia y la Tecnología. Volumen 2A Electricidad y Magnetismo. Editorial Reverté. 2005. Barcelona.

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BIBLIOGRAFÍA ELECTRÓNICA

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http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/ELVINAF2B8fb2/document/PAU_Fis_Es/PAUElectromagnetismoEs.pdf

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http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Booksources&isbn=013805326X

http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Amp%C3%A8re

Modulo de electromagnetismo y óptica

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