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ASESORES EDUCATIVOS ZONA 6 1

MÓDULO DE DOMINIO MATEMÁTICO

Objetivo. Orientar a docentes y estudiantes de tercero de bachillerato en la aplicación de estrategias y herramientas matemáticas que permitan desarrollar dominios y capacidades para analizar, razonar y comunicar eficazmente en la formulación y resolución de problemas prácticos, demostrando actitudes de orden, perseverancia y capacidades de investigación. Introducción. Competencias Matemáticas

Tradicionalmente se han distinguido distintas fases en el proceso de resolución de problemas. Así Dewey (1933), señala las siguientes: 1. Se siente una dificultad: localización de un problema. 2. Se formula y define la dificultad: delimitar el problema en la mente del sujeto. 3. Se sugieren posibles soluciones: tentativas de solución. 4. Se obtienen consecuencias: desarrollo o ensayo de soluciones tentativas. 5. Se acepta o rechaza la hipótesis puesta a prueba. Los responsables de matemáticas en el estudio PISA/OCDE (2003) caracterizan con cinco fases la actividad de hacer matemáticas: 1. Comenzar con un problema situado en la realidad. 2. Organizarlo de acuerdo con conceptos matemáticos. 3. Despegarse progresivamente de la realidad mediante procesos tales como hacer suposiciones sobre los datos del problema, generalizar y formalizar. 4. Resolver el problema. 5. Proporcionar sentido a la solución, en términos de la situación inicial.


Los tipos de competencias seleccionados permiten establecer variables de proceso para el estudio de la matemática; estas competencias son: 1. Pensar y razonar. 2. Argumentar. 3. Comunicar. 4. Modelar. 5. Plantear y resolver problemas. 6. Representar. 7. Utilizar el lenguaje simbólico, formal y técnico y las operaciones. Las tres primeras son competencias cognitivas de carácter general, mientras que las cuatro siguientes son competencias matemáticas específicas. Pensar y Razonar Incluye las capacidades de: • Plantear cuestiones propias de las matemáticas (¿Cuántos hay? ¿Cómo encontrarlo? Si es así, …entonces etc.). • Conocer los tipos de respuestas que ofrecen las matemáticas a estas cuestiones. • Distinguir entre diferentes tipos de enunciados (definiciones, teoremas, conjeturas, hipótesis, ejemplos, afirmaciones condicionadas). • Entender y utilizar los conceptos matemáticos en su extensión y sus límites. Argumentar Incluye las capacidades de: • Conocer lo que son las pruebas matemáticas y cómo se diferencian de otros tipos de razonamiento matemático. • Seguir y valorar cadenas de argumentos matemáticos de diferentes tipos. • Disponer de sentido para la heurística (¿Qué puede (o no) ocurrir y por qué?). • Crear y expresar argumentos matemáticos.


Comunicar Incluye las capacidades de: • Expresarse en una variedad de vías, sobre temas de contenido matemático, de forma oral y también escrita, • Entender enunciados de otras personas sobre estas materias en forma oral y escrita. Modelar Incluye las capacidades de: • Estructurar el campo o situación que va a modelarse. • Traducir la realidad a una estructura matemática. • Interpretar los modelos matemáticos en términos reales. • Trabajar con un modelo matemático. • Reflexionar, analizar y ofrecer la crítica de un modelo y sus resultados. • Comunicar acerca de un modelo y de sus resultados (incluyendo sus limitaciones). • Dirigir y controlar el proceso de modelización. Plantear y resolver problemas Incluye las capacidades de: • Plantear, formular y definir diferentes tipos de problemas matemáticos (puros, aplicados, de respuesta abierta, cerrados). • Resolver diferentes tipos de problemas matemáticos mediante una diversidad de vías. Representar Incluye las capacidades de: • Decodificar, interpretar y distinguir entre diferentes tipos de representación de objetos matemáticos y situaciones, así como las interrelaciones entre las distintas representaciones. • Escoger y relacionar diferentes formas de representación de acuerdo con la situación y el propósito. Utilizar el lenguaje simbólico, formal y técnico y las operaciones Incluye las capacidades de: • Decodificar e interpretar el lenguaje simbólico y formal y entender sus relaciones con el lenguaje natural. • Traducir desde el lenguaje natural al simbólico y formal. • Manejar enunciados y expresiones que contengan símbolos y fórmulas. • Utilizar variables, resolver ecuaciones y comprender los cálculos.


Desafíos. Pregunta 1: ESTANTERÍAS Para construir una estantería un carpintero necesita lo siguiente: 4 tablas largas de madera, 6 tablas cortas de madera, 12 ganchos pequeños, 2 ganchos grandes, 14 tornillos El carpintero tiene en el almacén 26 tablas largas de madera, 33 tablas cortas de madera, 200 ganchos pequeños, 20 ganchos grandes y 510 tornillos. ¿Cuántas estanterías completas puede construir este carpintero? Respuesta: ...........................................estanterías. Pregunta 2: SELECCIÓN En una pizzería se puede elegir una pizza básica con dos ingredientes: queso y tomate. También puedes diseñar tu propia pizza con ingredientes adicionales. Se pueden seleccionar entre cuatro ingredientes adicionales diferentes: aceitunas, jamón, champiñones y salami. Jaime quiere encargar una pizza con dos ingredientes adicionales diferentes. ¿Cuántas combinaciones diferentes podría seleccionar Jaime? Respuesta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .combinaciones. Pregunta 3: CAMPEONATO DE PING-PONG

Tomás, Ricardo, Luis y David han formado un grupo de entrenamiento en un club de ping-pong. Cada jugador quiere jugar una vez contra cada uno de los otros jugadores. Han reservado dos mesas de ping-pong para estas partidas.

Completa la siguiente plantilla de partidas escribiendo los nombres de los jugadores que jugarán en cada partida.

Mesa 1 Mesa 2

1a

Ronda Tomás – Ricardo Luis - David

2a

Ronda

3a

Ronda


Pregunta 4: ESCALERA

El esquema siguiente ilustra una escalera con 14 peldaños y una altura total de 252 cm:

1.

¿Cuál es la altura de cada uno de los 14 peldaños?

Altura: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .cm.

Pregunta 5: ESQUEMA DE ESCALERA

Roberto construye un esquema de una escalera usando cuadrados. He aquí los pasos

que sigue:

Como se puede ver, utiliza un cuadrado para el Nivel 1, tres cuadrados para el Nivel 2, y

seis para el Nivel.

¿Cuántos cuadrados en total deberá usar para construir hasta el cuarto nivel?

Respuesta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .cuadrados.


GRUPOS TEMÁTICOS

GRUPO TEMÁTICO DESCRIPCIÓN TÓPICO

Resolución de problemas estructurados

Elección y uso de operaciones para determinar valores desconocidos en diferentes contextos de la vida cotidiana

Solución de ecuaciones

Relaciones de desigualdad

Posicionamiento espacial con aplicación de vectores

Aplicación de progresiones aritméticas y geométricas

Resolución de problemas relacionados con perímetro y área

Relación entre variables y sus representaciones

Aplicación de propiedades de las relaciones entre variables

Aplicación de las propiedades de las funciones lineales y cuadráticas

Resolución de problemas de optimización

Organización y análisis de información

Interpretación de datos para la generación de información

Problemas de dispersión, desviación estándar y varianza

Análisis de situaciones que involucren conteo

Estimación de probabilidades

Relaciones y patrones

Análisis de la información para la definición de relaciones y patrones

Descubrimiento de patrones en series alfanuméricas

Razones y proporciones

Relación entre dos o más números o cantidades

Problemas de proporcionalidad

Estimación de porcentajes


1 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ESTRUCTURADOS

1.1 Solución de ecuaciones Una ecuación es una igualdad con una o varias incógnitas que se representan con letras.

Dichas ecuaciones pueden ser fórmulas que se utilizan para encontrar una magnitud la

solución o soluciones de una ecuación son los valores que hacen que la igualdad se

cumpla.

Ecuaciones de primer grado

Ejemplo:

24x – 62 = 8x +34

24x – 8x = 62 + 34 se deja en un solo lado la variable.

16x = 96 se procede a realizar términos semejantes.

X = 96/16 se procede a dividir toda la ecuación.

X = 6

Como resolver las ecuaciones:

Recuerde que una ecuación de primer grado es una igualdad entre dos expresiones algebraicas o miembros.

Ejemplo de una ecuación de primer grado:

Las ecuaciones de primer grado tienen dos propiedades:

Si a cada lado de la igualdad le sumo un número (el mismo a ambos lados) la igualdad se mantiene.

Si a cada lado de la igualdad le multiplico un número (distinto de cero) la igualdad también se mantiene.

Si utilizamos una de estas dos propiedades podremos resolver de una forma más fácil una ecuación de primer grado.


Revise el video explicativo, en

https://www.unprofesor.com/matematicas/truco-para-resolver-una-ecuacion-de-primer-grado-322.html

https://ekuatio.com/trucos-para-resolver-ecuaciones/

1. Los términos que se repiten se pueden tachar.

Cuando algún término se repite exactamente igual en los dos términos, podemos tachar esos términos.

Por ejemplo, en esta ecuación:

Vemos que el -3x está repetido en los dos miembros:

Pues cuando esto ocurra, podemos tacharlos directamente y borrarlos de la ecuación.

Ya que cuando reordenemos términos, entre ellos, el resultado es 0:

Éste es uno de los trucos para resolver ecuaciones muy útiles, porque eliminamos

términos antes de operar con ellos y simplificamos la ecuación.

2. Los signos menos que afectan a todo el miembro se pueden tachar

Igual que en el punto anterior, si tenemos un signo menos que afecta a todo el miembro, se puede tachar.

Pero es muy importante que afecte a todo el término, en caso contrario estaríamos modificando la ecuación original. Por ejemplo, en esta ecuación tenemos un signo menos en cada miembro, que afecta a todo el miembro:




Por tanto, podemos tacharlo y los nuevos miembros se quedan como positivos:

Al despejar la x, quedaría una fracción positiva

Se puede tachar porque si pasamos el -3 al otro miembro dividiendo, los signos menos al dividirse dan un signo positivo por la regla de los signos:

Es importante resaltar que es necesario que el signo menos afecte a todo el miembro para poder utilizar este truco. Por ejemplo, en esta ecuación no sería posible tachar los signos menos:

Ya que los signos menos sólo afectan a un término. Para que afectaran a todo el miembro, necesitaríamos un paréntesis, como en este caso:

Para que afectaran a todo el miembro, necesitaríamos un paréntesis, como en este caso:

3. Se pueden tachar los denominadores que afecten a todo el miembro

Con los denominadores, tenemos el caso de que el mismo denominador divida a todo el primer miembro y a todo el segundo miembro:

Pues en este caso, también podemos tachar los denominadores para eliminarlos:


Podemos hacer esto porque si pasáramos uno de los 4 multiplicando al otro miembro, al final se anularían entre ellos al ser equivalente a multiplicar por 1 al segundo miembro y nos quedaría una ecuación sin denominadores.

No hay que olvidarse de que es absolutamente necesario que el denominador afecte a todo el miembro.

4. Podemos pasar la incógnita al otro miembro para volverla positiva Otra forma de quitar el signo menos que queda delante de la x. Vamos a verlo con este ejemplo:

En vez de pasar el -1 que multiplica a la x, podemos tratar al -x como término que está restando en el primer miembro y pasarlo sumando al segundo miembro:

Ahora, para despejar la x, pasamos el 2 al primer miembro, que está sumando y pasa restando:

Al final, podemos intercambiar los miembros de lugar:

No confundir con pasar términos. Lo que hemos hecho es cambiar un miembro por otro, pero el signo de los términos no varía. 5 El signo menos en una fracción pertenece a toda la fracción Aunque este truco no trata únicamente de ecuaciones, he considerado útil recordarlo para tenerlo más claro.


Hay veces que el signo menos no se sabe si colocarlo en el numerador o en el denominador. Pues que sepas que da exactamente igual. Aunque el signo menos pertenezca al numerador o al denominador, al final la fracción es negativa y el signo menos puede ponerse delante de la fracción:

…………………..

……………………

SOLUCIÓN DE ECUACIONES:

7x + 4 = x – 8

a. 2 b. 0 c. – 2 d. NA

13x – 8 = 8x + 2

a- 2 b. 0 c. -2 d. NA

2 – 3x * 7 = 8x + 3 – x

a. 3/5 b. 4/5 c. 0 d. NA

5y – (3y – 2) = 0

a. 1 b. – 1 c. 0 d. NA

Nelly es 16 años menor que Diego, y si se suman las dos edades, el resultado es menor

que 80. ¿Cuál es la edad que puede tener Diego?

a. < 32

b. >32

c. < 48

d. > 48

Si Juan tiene el doble de edad que Daniel y entre ambos acumulan 60 años, ¿qué

expresión ayuda a determinar la edad de ambos?

A) 2D = 60


B) 2D + D = 60

C) j + j/2 + 60 = 60

d) j + j/2 - 60 = 60

Hace 6 años la edad de José era el cuádruplo que la de su hijo y después de 4 años será

el triple. Actualmente, ¿cuál es la edad de José y de su hijo?

A) 72 y 24

B) 80 y 20

C) 86 y 26

D) 90 y 30

La distancia x, en metros, que recorre un balón de fútbol en el primer minuto de juego

se representa por la expresión:

((x-48)1/2)2 =x0

Julio tiene cierta cantidad de libros en casa. Si la mitad de dicha cantidad es aumentada

en 12, nos resulta 2 decenas. ¿Cuántos libros tiene Julio en casa?

A) 30 libros

B) 14 libros

C) 40 libros

D) 16 libros

La suma de dos números consecutivos es 35. ¿Cuál es el mayor de dichos números?

A) 14

B) 22

C) 18

D) 16

Resuelva la ecuación:

Encuentra el valor de x en la ecuación exponencial:

5x = 625

A) x=4

B) x=3

C) x=5

D) x = 2


Ecuaciones fraccionaras:

Una ecuación es una igualdad donde aparece al menos una variable y en dependencia

del exponente de la variable se plantea el grado de la ecuación, por ejemplo, si el mayor

exponente de la variable es 1 se dice que es una ecuación de primer grado, si es 2 el

exponente mayor se dice que es una ecuación de segundo grado y así sucesivamente

para el valor del exponente en las ecuaciones. Las ecuaciones pueden ser: simples,

exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, con radicales etc.

Recomendaciones:

a. Explique a los estudiantes ¿qué es una ecuación?; ¿cómo se resuelve una ecuación? y

¿cómo determinar el conjunto solución de la ecuación fraccionaria? en cuestión.

b. Muestre a los estudiantes, mediante ejemplos sencillos, que para resolver una

ecuación fraccionaria se procede de forma fácil pues ellos ya conocen la adición y

sustracción de los racionales y en este caso de las fracciones por lo que le será mucho

más fácil de resolver.

c. Socialice los términos de las ecuaciones fraccionarias con los estudiantes para que

puedan reconocer la incógnita y despejarla tanto como sea posible para calcular el valor

que satisfaga la igualdad planteada en la ecuación o sea que el miembro derecho de la

ecuación sea igual al miembro izquierdo

Ejemplos.

Un cartero dejo 1/3 de las cartas que lleva en una oficina, los 2/5 en un banco, si aún le

quedan 32 cartas por distribuís. ¿Cuántas cartas tenía para distribuir?

a. 130 b. 90 c. 110 d.120

Al perder 3/5 de mi dinero y luego los 2/3 del resto me quedan 60 dólares. ¿Cuánto

tenía?

a. 360 b. 450 c. 480 d. 600

Dispongo de $ 80 y gasto 3/5 de lo que no gasto ¿Cuánto gasto?

Ecuaciones cuadráticas. El volumen de una caja cuadrada es 3 cm más largo que el otro cuadrado. Las áreas de

los cuadrados difieren en 63 cm cuadrados. Entonces el lado del cuadrado más pequeño

es.

a. (x+ 4) = 2x b. 2(x + 4) = x c. (x + 4)² = 2x d. (x +4)² = 2x²

Si Fernanda cambia su alfombra antigua por una nueva en su habitación de 6 m de largo

por 6 m de ancho. ¿Cuántos metros cuadrados de alfombra debe comprar?


a. 12 b. 24 c. 72 d. 36

El volumen de una caja de madera es 240cm³. Encontrará su altura si el largo es 20 cm.,

y su ancho es 12 cm.

a. 1 b. 4 c. 4,1 d. 5

El área de un cuadrado es 36cm². Si un triángulo tiene el mismo perímetro que el

cuadrado; entonces el lado del triángulo mide.

a. 4 b. 6 c. 8 d. 9

Un rectángulo tiene 20 metros más de largo que de ancho. Si el largo tuviese 100 metros

más y el ancho 40 metros menos el área seria la misma. Hallar las dimensiones del

rectángulo primitivo.

a. 60 y 40 b. 70 y 50 c. 100 y 80 d. 80 y 60

El área de un triángulo es de 200

En un laboratorio se lleva un registro del número de bacterias, en millones, que crecen

en función del tiempo para dos muestras diferentes. Si la primera muestra se

encuentra expresada por 95t y la segunda mediante 3 6t (275 - 5t ), donde t representa

el tiempo en minutos, determine el tiempo en el que las muestras son iguales.

A- 5/14

B- 15/31

C- 11/15

D- 15/19

Una cocina solar de forma parabólica se fabrica siguiendo la ecuación: y = x² - 18x +

80, y está montada sobre un mesón, cuyo borde coincide con el eje de las abscisas. Si

todas las medidas están dadas en metros, determine la profundidad que deberá tener

el mesón para que la cocina quepa perfectamente.

a. 0,1

b. 0,8

c. 0,9

d. 1,0

Un banco ofrece un plan de inversión en el cual las ganancias están definidas por la ecuación: C(t) = Co.kt-1 ; t ≥ 0, donde: (Co) es la inversión inicial

la tasa de rendimiento (k) es igual a 3/2 el tiempo (t) está dado en meses


Si una persona decide invertir USD 4 096, ¿cuánto dinero, en dólares, habrá ganado

dentro de 4 meses.

A) 3456

B) 5184

C) 13824

D) 20736

En un examen de 50 preguntas se otorgan 3 puntos por cada respuesta correcta, 0

puntos por cada pregunta no contestada y se resta 1 punto por cada respuesta

incorrecta. Un estudiante obtuvo 117 puntos y se sabe que la cantidad de preguntas

que no contestó es menor que la cantidad de preguntas que contestó

incorrectamente. ¿Cuántas preguntas contestó en total el estudiante?

A) 47

B) 39

C) 50

D) 43

Sistemas de ecuaciones y otras

1. En un surtidor de combustible, un usuario no logra observar las dos última cifras del valor a pagar, pero tiene esta información:

Al sumar estas dos cifras (x , y) se obtiene 12

El número que se obtiene al invertir las cifras excede en 15 al doble del número original

Con base en el problema, identifica el planteamiento de las ecuaciones.

A. {𝑥 + 𝑦 = 12

𝑦𝑥 = 2𝑥𝑦 + 15

B.{𝑥 + 𝑦 = 12

𝑦𝑥 + 15 = 2𝑥𝑦

C. {𝑥 + 𝑦 = 12

10𝑦 + 𝑥 = 2(10𝑥 + 𝑦) + 15

D. 𝑥 + 𝑦 = 12

(10𝑦 + 𝑥) + 15 = 2(10𝑥 + 𝑦)

2. Si Nathaly tiene el triple de edad que Sebastián y entre ambos acumulan 96 años, ¿cuál expresión ayuda a determinar la edad de ambos? 3(x+ x) = 96 x -3x= 96 3x + x = 96


3. Un arquitecto ofrece a una familia realizar un hermoso diseño en el jardín de la parte posterior de su casa, que cubrirá un área en forma de L de 45 m2, como se ve en la imagen. Determine la longitud del lado más largo del jardín si se sabe que el terreno tiene un ancho uniforme. Todas las longitudes se hallan en metros.

9 10

11 12 4. Encuentra el valor de x en la ecuación exponencial 2𝑥 = 32

3 4 5 6

5. En la ecuación 3𝑥 = (9𝑥+1)(271−2𝑥). ¿Cuál es el valor de x? 2/5 1 5/2 4

6. A un encuentro deportivo asisten 1200 personas entre general y tribuna, el costo

en general es USD 5 y a tribuna de USD 8. ¿Cuál es el número de personas que

asistieron a tribuna?

a) 580 b) 620 c) 663 d) 1820

Esta competencia se refiere al conocimiento que usted posee sobre la representación,

resolución y análisis de los sistemas de inecuaciones lineales y no lineales. El capítulo de

consulta en el referido texto es el número 5.

A continuación se muestra el ejemplo de una pregunta relacionada a esta competencia:

Dado el sistema de ecuaciones 𝑥2 −𝑦 = 1𝑥 −𝑦 = 1

una posible solución del sistema es:

a) (0,0)

b) 1 0 ,

c) 1 1 ,

d) 1 0 ,

e) 2 3 ,


Solución:

El aspirante deberá marcar la opción d) como respuesta correcta, puesto que al

reemplazar el par ordenado de esta opción (x=1, y=0) en las dos ecuaciones, se

satisfacen ambas ecuaciones.

1.2 Relaciones de desigualdad. Desigualdad.

Expresión en las que aparece un signo de desigualdad.

Numéricos Comparables

Operadores

<, >, <=, >=. (≠)

Vemos que hay desigualdades en las que solamente aparecen números y otras en las que

además aparecen otras letras.

Inecuación.

Son desigualdades en las que aparecen letras y números con las operaciones usuales. Las

letras son las variables o incógnitas de las inecuaciones.

Las inecuaciones se clasifican atendiendo al número de incógnitas y al grado de la expresión

algebraica que aparece en ella.

1. En el intervalo 0° ≤ 𝑥 ≤ 180° , determina la solución de sin2 𝑥 − cos2 𝑥 −1

2= 0

(30° y 60°) (60° y 120°) (60° y 150°) (120° y 30°)

2. Micaela es 18 años menor que Víctor Hugo y si se suman las dos edades el resultado es menor que 74. ¿Cuál es la edad que puede tener Víctor Hugo? > 46 < 46 < 45 > 45

3. ¿Cuál es el conjunto solución del sistema de inecuaciones? [- 1, 3) [- 1, + ∞) [- 1, 3] [- 1, + 3)

4. Con base en la desigualdad, determina el conjunto solución 4 (𝑥 + 1)2 > (2𝑥 + 3)2 + 𝑥

x < -5 x < - 1 x > - 5


x > -1 5. Determina el sistema de desigualdades representado en el gráfico.

6. Juan ha recibido USD 20 000 y desea invertirlos, puede escoger entre el banco P que ofrece un interés anual del 6%, y el banco B, que ofrece un interés anual del 8%. Si decide invertir todo el dinero y distribuirlo en los dos bancos, ¿cuál es la cantidad mínima a invertir en el banco B, para que Juan obtenga una rentabilidad total anual de por lo menos USD 1300?

x ≤ 5 000 x ≥ 5 000 x ≤ 15 000 x ≥ 15 000

7. El gerente de operaciones de una empresa de seguridad estableció que su negocio opera mediante el uso de dos restricciones: casetas (1) e implementos varios (2). Si x representa a los turnos diarios y los turnos rotativos se expresan con y, ¿qué gráfica expresa la solución de este sistema de inecuaciones? (1): 2𝑥 − 5 ≥ 𝑦 (2): 𝑦 ≥ 𝑥 − 3

a) b)

{𝑥 − 3 > 0𝑦 − 2 ≥ 0

{𝑥 + 3 > 0𝑦 − 2 ≥ 0

{𝑥 − 3 > 0𝑦 + 2 ≥ 0

{𝑥 − 3 > 0𝑦 − 2 > 0


c) d)

8. Con base a la desigualdad, determine el conjunto solución

4(𝑥 + 1)2 > (2𝑥 + 3)2 + 𝑥

a) X<5 b) X<-1 c) X>-5 d) X>-1

Inecuaciones de segundo grado con una incógnita Considera la inecuación con una incógnita 9x + x2 > 3x - 2. Esta inecuación es equivalente a x2 + 6x + 2> 0, en la que sólo aparece un polinomio de segundo grado. a cualquier inecuación equivalente a ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c > 0 o ax2 + bx + c ≥ 0, donde a, b, c R, a ≠ 0. Veamos mediante un ejemplo cómo se resuelve este tipo de inecuaciones. Considera la inecuación x2 - 5x + 6 > 0. En primer lugar factorizamos x 2 - 5x + 6 en polinomios de primer grado. Para ello hallamos las soluciones de la ecuación x 2 - 5x + 6 = 0: Llamamos inecuación de segundo grado con una incógnita Luego resolver x 2 - 5x + 6 > 0 equivale a resolver (x - 3) (x - 2) > 0. Para que el producto de dos factores sea positivo ha de suceder que ambos sean positivos o que ambos sean negativos. Es decir:

𝑥 − 3 > 0, 𝑥 − 2 > 0 𝑦 𝑥 − 3 < 0, 𝑥 − 2 < 0

El problema se reduce, entonces, a resolver dos sistemas lineales de inecuaciones con una incógnita. Por tanto, el conjunto solución será: S= (-oo, 2) U (3, +oo)

1.3 Posicionamiento espacial con aplicación de vectores


Vectores en R2 y en R3

Esta competencia se refiere al conocimiento que usted posee en cuanto a notación,

propiedades, aritmética, álgebra y geometría de vectores en el plano y en el espacio. El

capítulo de consulta en el referido texto es el número 9.


Sean los vectores V1 = (2, 1, 3) y V2 = (1, 2, 4), la proyección del vector V1 en la

dirección

del vector V2 es:

a) 𝟏𝟐√𝟐𝟏

𝟐𝟏

b) 𝟏𝟐√𝟏𝟒

𝟏𝟒

c) 𝟏𝟐√𝟐𝟎

𝟐𝟎

d) 𝟏𝟏√𝟐𝟏

𝟐𝟏

e) 𝟏𝟏√𝟐𝟎

𝟐𝟎

Solución:

El aspirante deberá marcar la opción a) como respuesta correcta, porque al aplicar la

fórmula para calcular la proyección escalar de V1sobre V2, se obtiene el valor de 𝟏𝟐√𝟐𝟏

𝟐𝟏

1.4 Aplicación de progresiones aritméticas y geométricas


1. Un móvil recorre 0,3m durante el primer segundo, durante el segundo 0,9 m durante el tercero 2,7 m y asi sucesivamente. ¿Qué distancia recorre en los primeros 5 segundo?

2. Tatiana debe pagar su préstamo en 8 cuotas que aumenta a razón de USD 6 cada mes. Si la cuota inicial es de USD 6, ¿Cuánto pagará en total?

1.4.1 156 1.4.2 180 1.4.3 216 1.4.4 432

1.5 Resolución de problemas relacionados con perímetro y área

1. Calcula el lado mayor de un rectángulo sabiendo que su área es 242m2 y su lado menor es la mitad de su lado menor.

a) 11 b) 22 c) 242/3 d) 484/3

2. Dado el triángulo rectángulo, determine el valor del cateto a

√25

√43

2√3

√34

2


3. ¿Qué valores satisfacen la ecuación 2 cos 𝑥 = cot 𝑥 en el intervalo (0, 2𝜋)? 15° y 75° 30° y 150° 30° y 210° 60° y 300°

2. RELACIÓN ENTRE VARIABLES Y SUS REPRESENTACIONES Aplicación de propiedades de las relaciones entre variables:

2.1 Aplicación de las propiedades de las funciones lineales y cuadráticas Una cocina solar de forma parabólica se fabrica siguiendo la ecuación

𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟖

Identifique la ecuación que corresponde a la gráfica.

𝒂) 𝒚𝟐 − 𝟏𝟔𝒚 − 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟐𝟖 = 𝟎

𝒃) 𝒚𝟐 − 𝟏𝟔𝒚 − 𝟖𝒙 + 𝟗𝟔 = 𝟎

𝒄) 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔𝒚 − 𝟏𝟏𝟐 = 𝟎

𝒂) 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟏𝟔𝒚 + 𝟏𝟒𝟒 = 𝟎

La ecuación de la hipérbola que tiene por vértices V1(3,0) y V2(-3,0), y por focos

F1(4,0) y F2(-4,0) es:

𝒂) 𝒚𝟐

𝟗+

𝒙𝟐

𝟕= 𝟏

𝒃) 𝒚𝟐

𝟗−

𝒙𝟐

𝟕= 𝟏

𝒄) 𝒙𝟐

𝟗+

𝒚𝟐

𝟕= 𝟏

𝒅) 𝒙𝟐

𝟗−

𝒚𝟐

𝟕= 𝟏

2.2 Resolución de problemas de optimización

1. Con base en el texto, complete el enunciado. Una empresa que fabrica mesas y sillas ha estimado los costos de producción en función del número de elementos producidos de estos dos productos, sus restricciones en los recursos utilizados para la producción han generado la región factible (región sombreada) que se muestra en la figura, donde la recta Z representa la función de costos que se debe minimizar y esta crece cuando crece el número de elementos producidos.


Por tanto, se deben fabricar ___ mesas y ___ sillas para minimizar los costos. 10, 25 10,15 20,10 40,15

2. Una empresa fabrica dos productos similares x y y a partir de una misma materia prima, cuya región de posibles combinaciones de producción se muestra en el gráfico. Determine la utilidad máxima que podría obtener la empresa, si se conoce que la misma está representada en miles de dólares por U(x, y) = x + 5y – 5.

a) 22 b) 23 c) 24 d) 25

3. Un centro de nivelación realiza una oferta a un colegio para preparar a sus estudiantes previos a las pruebas de ingreso a la universidad. Por cada uno de los 30 estudiantes del curso se cobrará USD 150, pero si no se inscriben todos, por cada


vacante existente, los estudiantes que sí asistan deberán pagar USD 15 adicionales. La tabla muestra los cálculos aplicados para varios casos.

Determine el número de vacantes que maximizará la ganancia del centro de nivelación. 9 10 11 12

4. La lavadora de Marina se dañó y ella no desea gastar más de USD 125 en el arreglo.

El servicio de reparación a domicilio tiene una tarifa fija de USD 25 por visita, más un adicional de USD 15 por hora. Si no existen cargos adicionales, determine el número máximo de horas que el servicio de reparación puede trabajar, sin exceder el costo máximo que Marina está dispuesta a pagar.

a) 5,67 b) 6,67 c) 7,67 d) 8,67

3. ORGANIZACIÓN Y ANÁLISIS DE INFORMACIÓN Interpretación de datos para la generación de información:

3.1 Problemas de dispersión, desviación estándar y varianza

1. ¿Qué se entiende por estadística?

La estadística, en general, es la ciencia que trata de la recopilación, organización,

presentación, análisis e interpretación de datos numéricos con el fin de realizar una

toma de decisiones más efectiva.

2. ¿En qué consiste una muestra?

Es un subconjunto limitado extraído de una población con el objeto de reducir el campo de

experiencias. Las propiedades que obtengamos se harán extensivas a toda la población.

3. ¿Qué se entiende por probabilidad?

La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de

resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los


resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa

extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para

sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de

sistemas complejos.

4. ¿En qué consiste una característica cualitativa?

Los datos de características cualitativas son aquellos que no se pueden expresar numé

ricamente. Estos datos se deben convertir a valores numéricos antes de que se trabaje

con ellos.

5. ¿Qué se entiende por una variable?

Una variable es un elemento de una fórmula, proposición o algoritmo que puede adquirir o ser

sustituido por un valor cualquiera (siempre dentro de su universo). Una variable es un símbolo

que representa un elemento no especificado de un conjunto dado. Dicho conjunto es llamado

conjunto universal de la variable, universo o dominio de la variable, y cada elemento del conjunto

es un valor de la variable.

6. ¿Cuáles elementos se deben tomar en cuenta para construir una distribución de

frecuencias?

RANGO. Es una medida de dispersión que se obtiene como la diferencia entre el número mayor

y el número menor de los datos. AMPLITUD TOTAL. Simplemente se obtiene sumándole 1 al

rango. EL NÚMERO DE CLASES. Se determina a través de la fórmula de stuger, la cual es

válida cuando el No de observaciones sea menor o igual a 500.

Formula.

VALOR DEL INTERVALO O AMPLITUD Se Obtiene por medio de la ecuación de dicta Vi =

AT / Nc

7. ¿Qué se entiende por frecuencia absoluta y por frecuencia relativa en una distribución?

Frecuencias absolutas: Es el número de veces que aparece en la muestra dicho valor de la

variable y se representa por f.

Frecuencias relativas: Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra. La

denotaremos por fri.

8. ¿Qué se entiende por azar aleatorio o estocástico?

Dependiendo del ámbito al que se aplique.

El ordenamiento estadístico es una forma de tratar matemáticamente la naturaleza y el hombre,

como si fuesen datos aleatorios pero sin que lo sean necesariamente.

9. De cinco ejemplos concretos de uso de los porcentajes en su profesión.

Cálculo de promedio de asistencia de los estudiantes, calcular notas, calcular inasistencia, mostrar

el cálculo porcentual a una variable, determinar el porcentaje final semestral final, etc.


10. ¿Qué importancia tiene medir variabilidad para el análisis estadístico?

Variabilidad o dispersión nos indican si esas puntuaciones o valores están próximas entre sí o si

por el contrario están o muy dispersas.

Una medida razonable de la variabilidad podría ser la amplitud o rango, que se obtiene restando

el valor más bajo de un conjunto de observaciones del valor más alto.

Estadística descriptiva

Esta competencia se refiere al conocimiento que usted posee sobre términos y cálculos de

estadísticos a nivel descriptivo, en forma tabular y gráfica. El capítulo de consulta en el

referido texto es el número 11.


Dados los siguientes datos “2, 6, 7, 9, 9, 10”, el valor de la media es:

a) 7

b) 7.167 c) 7.1

d) 8

e) 6

Solución:

El aspirante deberá marcar la opción b) como respuesta correcta, porque esta es la

opción que contiene la media (valor promedio) de los seis datos dados.

Ejemplo.

Moda Mo = 67

Mediana 100/2 = 50 Me = 67

Media

�� = 6747

100= 67,47

Desviación media

𝐷 �� = 226,5

100= 2,265

Rango r = 73 - 61 = 12

Varianza


σ2 = 455803

100− 67,452 = 8,53

Desviación típica

σ = √8.53 = 2.92

3.2 Análisis de situaciones que involucren conteo

Las técnicas de conteo, se refieren a un conjunto de métodos utilizados para calcular

sin necesidad de contar en forma directa, el número de posibles arreglos u

ordenaciones de un conjunto determinado de elementos. Para solucionar un problema

de probabilidad en muchas ocasiones es fundamental llevar a cabo algún tipo de

conteo, lo cual garantiza el éxito en la solución. Las técnicas de conteo, se fundamentan

en dos principios importantes como son el 57 “principio de la multiplicación y el

“principio de la adición”, que se analizarán a continuación (Giraldo, 2009, pág. 70).

Principio de adición: Si un evento E puede ocurrir en m formas y un segundo evento F puede

ocurrir en n formas y ambos eventos no pueden ocurrir en forma simultánea entonces E o F

pueden ocurrir en 𝑚 + 𝑛 formas

Por ejemplo, Si tengo un billete de $50, uno de $100, uno de $200 y un billete de $1000,

¿Cuál es el número total de precios que puedo pagar usando algún o todos mis billetes? Este

es un buen ejemplo de una situación en la que se necesita un listado sistemático. Como

tenemos 4 billetes de denominación diferente, debemos considerar 4 casos. Éstos son, los

precios que podemos cubrir con un billete, con 2 billetes, con 3 billetes y con 4 billetes. Se

debe de examinar cada uno de estos casos y luego aplicar el principio de adición.

Con 1 billete podemos tener 4 precios:

$50, $100, $200 𝑦 $1000.

Con 2 billetes, podemos listar sistemáticamente las combinaciones:

I. Las que tienen $50 son:

$50 + $100 = $150, $50 + $200 = $250, $50 + $1000 = $1050

II. Las que tienen $100 y no hemos listado aún:

$100 + $200 = $300, $100 + $1000 = $1100

III. Y las que tienen $200 y tampoco hemos listado:

$200 + $1000 = $1200

Con 3 billetes, las combinaciones son(una para cada billete que falta):

I. $50 + $100 + $200 = $350 (𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒 $1000)

II. $100 + $200 + $1000 = $1300 (𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒 $50)

III. $50 + $200 + $1000 = $1250 (𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒 $100)

IV. $50 + $100 + $1000 = $1150 (𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒 $200)

Con las cuatro billetes:

$ 50 + $100 + $200 + $1000 = $1350. Tomado de (Tecnológico de Monterrey, 2008, pág. 6)

Principio de multiplicación:

Si un evento puede efectuarse de 𝑛1 formas diferentes y si continuando el procedimiento, un

segundo evento puede realizarse de 𝑛2 formas diferentes y si después de efectuados, un tercer


59 elemento puede realizarse de 𝑛3 formas diferentes, entonces el número de formas en que

los eventos puede realizarse será 𝑛1 ∙ 𝑛2 ∙ 𝑛3 maneras diferentes

Si una situación puede ocurrir de 𝑚 maneras y otra de 𝑘 maneras, entonces ambas situaciones

pueden ocurrir de 𝑚 ∗ 𝑘 maneras.

Por ejemplo, una persona tiene 2 formas de ir de una ciudad A a otra ciudad B; y una vez llegada

a B, tiene 3 maneras de llegar a otra ciudad C, ¿De cuántas maneras podrá realizar el viaje de A

a C pasando por B?

Si empezó a pie, podrá tomar luego avión, carro o trasatlántico, y si empezó en bicicleta, también

podrá tomar avión, carro o trasatlántico. La persona tuvo 6 formas diferentes de realizar el viaje

que son: (iniciales) 𝑝𝑎, 𝑝𝑐, 𝑝𝑡, 𝑏𝑎, 𝑏𝑐, 𝑏𝑡. (2 𝑥 3 = 6).

3.3 Estimación de probabilidades

Teoría de probabilidades

Esta competencia se refiere al conocimiento que usted posee sobre cálculos de

probabilidades. El capítulo de consulta en el referido texto es el número 11.


Ejemplo.

Si en una urna se tienen ocho bolas, de las cuales dos son blancas, tres son rojas y

tres son amarillas, entonces la probabilidad de sacar una bola blanca al primer intento

es:

a) 3/4

b) 5/16

c) 1/8

d) 1/4

e) 3/8

Solución:

El aspirante deberá marcar la opción d) como respuesta correcta, porque al aplicar

la fórmula de probabilidad de eventos simultáneos se obtiene ¼.

1. En el curso de Julián todos los alumnos escribieron el nombre de cada abuelo y su

edad en un papel y lo colocaron en una caja; los números registrados fueron:

70-81-81-80-65-70-81-67-65-80


Determina la probabilidad, en porcentaje, de que al sacar un papel, la edad del

abuelo sea mayor que 65 años y menor que 80 años.

3.2.1 80% 3.2.2 70% 3.2.3 50% 3.2.4 30%

Teoría combinatoria.

El análisis combinatorio también estudia las distintas formas de agrupar y ordenar los elementos

de un conjunto, sin tener en cuenta la naturaleza de estos elementos.

4. RELACIONES Y PATRONES

Análisis de la información para la definición de relaciones y patrones:

4.1 Descubrimiento de patrones en series alfanuméricas

1. El concurso de una feria consiste en predecir el siguiente número que aparecerá en

la ruleta. Si x es el próximo número en aparecer ¿Cuál es su valor?

a) 1 b) 2 c) 13 d) 49

2. Identifica el número que completa la secuencia:

12

3,12

3,24

3,72

3,288

3, ___

Permutación.

“variar la disposición u orden en que estaban dos o más cosas”. Una permutación es un

arreglo u ordenación de los “𝑛” elementos que conforman un conjunto tomados todos a

la vez o tomados parte a la vez; de tal manera que el orden interesa. Es decir, aunque

varios arreglos u ordenaciones contengan los mismos elementos, por el solo hecho de

tener un orden diferente, tales arreglos u ordenaciones se consideran diferentes.

Tener presente: intervienen todos los elementos e importa el orden

Permutación ordinaria o simple. Todos los elementos e importa el orden. Este

producto se denota por 𝑛!, que se lee: “𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑛”. Se define, Factorial de un numero

𝑃 = 𝑛!

Una madre decide organizar los textos de su hijo en una estantería. Posee 4 libros de

matemática 3 de física y un libro de química. ¿Cuál es el número de formas en la que se

pueden ordenar los libros sin considerar la posición que ocupe cada uno.


Proceso.

¿Intervienen todos los elementos? Si porque no debe quedar ningún libro sin ser

ubicado.

¿Importa el orden. La respuesta es sí, porque si se ubica Matemática, Física, Quimica…

no es lo mismo que ubicar Física, M, Q…

Resolución.

𝑃 = 𝑛!

𝑃 = (4 + 3 + 1)! = 40320

Permutación con repetición. Intervienen todos los elementos y se repiten

𝑃 =𝑛!

𝑥! 𝑦! 𝑧!

La fundación amor por Medellín desea saber, ¿cuántas palabras se pueden forman con las letras

de la palabra VIVIR? Para este ejercicio debemos tener en cuenta que las letras V e I se repiten

y no tienen distinción de orden por lo tanto se debe tomar el grupo total de 5 letras y dos

subgrupos de 2 letras que son las que se repiten. De este análisis tenemos: 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 =

120 𝑝𝑎𝑙𝑎𝑏𝑟𝑎𝑠 𝑠𝑖 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑖𝑡𝑖𝑒𝑟𝑎

Pero como se tienen dos subgrupos de 2 letras cada uno se plantea, 2! × 2! = 2 ∙ 1 × 2 ∙ 1 = 4

𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑛𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠.

Ahora realizamos el cociente de total de palabras sin repetición entre las maneras de no

distinciones entre letras. 120 /4 = 30 𝑝𝑎𝑙𝑎𝑏𝑟𝑎𝑠.

Con la fórmula tenemos:

Permutación cíclica (sin repetición). Ubicación circular de los elementos, de tal

manera que en cada grupo entren los n elementos y que un grupo se diferencie de los demás en

la posición relativa de los elementos unos respecto a los otros

𝑷 ⊙= (𝒏 − 𝟏)!

Ejemplo.

En el circo “Reír es mejor” tienen la rueda de fortuna que consta de 5 cabinas, si en cada

cabina cabe una sola persona, ¿de cuántas maneras distintas se pueden ubicar 5 personas?


Haciendo uso de la expresión matemática, 𝑃𝐶𝑛 = (𝑛 − 1)! para una permutación circular

tenemos:

𝑛 = 5

𝑃𝐶5 = (5 − 1)! = 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 𝑚𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜𝑠.

5. RAZONES Y PROPORCIONES

Relación entre dos o más números o cantidades:

5.1 Problemas de proporcionalidad

1- Razón

Una razón es una comparación entre dos o más cantidades. Puede expresarse mediante

una fracción. Si las cantidades a comparar son a y b, la razón entre ellas se escribe como:

Ejemplo:

En una sala de clases hay 10 mujeres y 18 hombres. ¿Qué relación numérica existe entre

el número de mujeres y el número de hombres?

La relación entre el número de mujeres y el número de hombres es de "10 es a 18", otra

forma de leerlo es "10 de 18"

El término a es el antecedente de la razón y el b, el consecuente.

El resultado de la división o cociente entre el antecedente y el consecuente se

denomina valor de la razón

Dos o más razones son equivalentes cuando tienen igual valor.

1.1- Resolución de problemas:

Veamos cómo resolver problemas de razones:


Ejemplo 1:

Las edades de 2 personas están en la relación de 5 a 9 y la suma de ellas es 84. Hallar las

edades.

Solución:

Si las edades son a y b

Cuando nos hablan de relación o razón entre dos cantidades sabemos que nos están

hablando de una comparación entre dos cantidades. Por lo tanto, expresamos los datos

como una razón:

Ahora volvemos a los datos del problema:

Nos indican que la suma de los 2 números nos tiene que dar 84. Esto se expresa así:

Ahora lo que debemos hacer es trabajar con una constante, que en este caso será " X".

Por lo tanto:

Reemplazando los datos en la ecuación tenemos:

Ahora que tenemos el valor de x podemos reemplazar para obtener los valores de a y b:


Respuesta: Por lo tanto, podemos decir que las edades son 30 y 54.

Ejemplo 2:

El perímetro de un rectángulo mide 128 cm, y la razón entre las medidas de sus lados es

5: 3. Calcula el área del rectángulo.

Solución:

Siguiendo el procedimiento del problema anterior planteamos el problema en una

ecuación. Sabemos que el perímetro de un rectángulo es igual a la suma de todos sus

lados:

Si expresamos las variables dadas en el problema:

Ahora reemplazamos y resolvemos:

Con este resultado reemplazamos:


Ahora no nos debemos olvidar que nos están pidiendo el área del rectángulo. Sabemos

que el área del rectángulo se calcula: A = a • b

Por lo tanto, la respuesta sería:

A = 40 • 24 = 960

Respuesta: El área del rectángulo es 960 cm2

Otra forma de resolver razones es siguiendo los siguientes pasos:

Ejemplo 3:

Si hay 33 vehículos entre automóviles y camionetas y la razón entre ellos es 4:7 ¿cuántos

automóviles hay?

En este caso se está comparando la cantidad de automóviles con el de camionetas. Para

conocer la cantidad de automóviles que hay podemos seguir los siguientes pasos:

1° se considera el total de vehículos: 33

2° Se divide 33 por la suma entre el numerador y el denominador de nuestra razón (4+7=

11). Con esto se obtienen 11 partes con 3 unidades cada una (ya que 33:11 = 3).

3° Se consideran 4 partes para los automóviles y 7 para las camionetas.

Respuesta: Hay 12 automóviles

Ahora resuelve los siguientes problemas, siguiendo los pasos anteriores:

a) Si la razón entre dos números es 2:3 y ambos suman 10 ¿Cuáles son los números?

Respuesta: Los números son 4 y 6

b) Martín tiene cinco fichas rojas por cada dos azules. Si tiene 21 fichas en total, entre

rojas y azules, ¿Cuántas fichas tiene de cada color?

Respuesta: 6 azules y 15 rojas

c) A un taller de guitarra asisten 30 estudiantes. Si por cada 8 niñas hay 7 niños, ¿cuántos

niños y niñas conforman el taller?

Respuesta: En el taller de guitarra hay 14 niños y 16 niñas.


2- PROPORCIONES:

Una proporción es la igualdad de dos razones.

2.1- Propiedad fundamental

En toda proporción, el producto de los términos medios es igual al producto de los términos extremos (Teorema fundamental de las proporciones). Es decir:

Ejemplo:

Si tenemos la proporción:

Y le aplicamos la propiedad fundamental señalada queda: 3 • 20 = 4 • 15, es decir, 60 = 60 Esta es la propiedad que nos permite detectar si dos cantidades presentadas como proporción lo son verdaderamente. Ejemplo:

La suma de las edades de cuatro personas es: 108 años, y las relaciones de las edades

están en 2, 3, 5 y 8. Hallar las edades respectivas.

r₁ = total

Ʃ razones

r₁ = 108 = 108 =6

2+3+5+8 18

A: 2(r₁ ) = 2 (6) = 12 años.

B: 3(r₁ ) = 3 (6) = 18 años.

C: 5(r₁ ) = 5 (6) = 30 años

D: 8(r₁ ) = 8 (6) = 48 años.

Ejercicios:


Para un terreno de 0,6 Km de largo y 200 m de ancho, la razón entre el largo y el ancho

es:

a. 3 1000 b. 3 1 c. 3 100 d. 1 3

Entre Julio y Juan, tienen juntos $ 72. Lo que tienen ambos, son directamente

proporcionales a 5 y 3 respectivamente. ¿Cuántos dólares más que Juan, tiene Julio?

a. 45 b. 27 c. 9 d. 15 e. 18

La edad de dos personas está en relación de 3 a 5, si la suma de las dos edades es 72 años.

¿Qué edad tiene el de menos años?

a. 27 b. 30 c. 24 d. 45 e. 21

Las camisas en una tienda se vendían a 60 dólares cada una, y ahora se venden a 648

dólares la docena. ¿Cuál es la razón entre el precio antiguo y el actual?

a. 9/5 b. 10/9 c. 5/9 d. 9/10 e. 3/5

La relación de los caballos y vacas de una granja es de 5 a 7, si entre caballos y vacas hay

600 animales. ¿Cuántas vacas hay en la granja?

a. 50 b. 250 c. 350 d. 120 e. 84

Lógica proposicional

Esta competencia se refiere al conocimiento que usted posee sobre el lenguaje de las

proposiciones y los conceptos asociados a éstas. El capítulo de consulta en el referido

textos el número 1.

A continuación se muestran ejemplos de preguntas relacionadas a esta competencia.

1) Identifique cuál de las siguientes expresiones es una proposición:

a) ¡Socorro!

b) Juan José Flores fue el segundo Presidente del Ecuador.

c) Felicidades por tu triunfo.

d) x + =1 3

e) ¿Dónde vives?

Solución:

El aspirante deberá marcar la opción b) como respuesta correcta, puesto que una

Proposición es cualquier afirmación que puede calificarse como verdadera o falsa, pero

no ambas cosas a la vez.


2) Si p y q son dos formas proposicionales tautológicas, entonces es VERDAD que:

a) p q → no es una forma proposicional tautológica

b) p p ∨ ¬ es una contradicción.

c) q p → ¬ es una contingencia.

d) p q ∧ es una forma proposicional tautológica.

e) q p → ¬ no es una contradicción.

Solución:

El aspirante deberá marcar la opción d) como respuesta correcta, puesto que la

conjunción de dos tautologías es también una tautología.

5.2 Estimación de porcentajes

6. BIBLIOGRAFÍA

1. Libro “Fundamentos de Matemáticas para Bachillerato”, Instituto de Ciencias

Matemáticas de la Escuela Superior Politécnica del Litoral, edición de mayo de

2006, 946 p.

2. Guía curricular del Libro “Fundamentos de Matemáticas para Bachillerato”,

disponible en el sitio http://www.icm.espol.edu.ec

Conteo, permutaciones, combinaciones…

http://www.bdigital.unal.edu.co/39451/1/98652900.2014.pdf

7. ANEXOS

http://www.bdigital.unal.edu.co/39451/1/98652900.2014.pdf

MÓDULO DE DOMINIO MATEMÁTICO - comilcue.edu.ec · • Utilizar variables, resolver ecuaciones y...

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