Módulo 4Factorización de trinomios de la

forma ax2 + bx + c con a, b, c reales, a ≠ 1

Por Prof. Federico Mejía

2x2 - 3x + 1 2x2 - 7x + 3 3x2 + 13x + 4 4x2 - 4x + 1 6x2 + 7x + 2

Factorice cada trinomio:

Pre-prueba

6x2 – 7x + 2 2x2 + 5x + 10 4y2 – 9y – 2 8y2 – 2x – 15 3x2 + x + 6

Oprime aquí para ver todas las respuestas

Soluciones a los problemas

2x2 - 3x + 12x2 - 7x + 33x2 + 13x + 44x2 - 4x + 16x2 + 7x + 2 6x2 – 7x + 22x2 + 5x + 104y2 – 9y – 28y2 – 2x – 153x2 + x + 6

Solución

(2x - 1) (x - 1)(2x - 1) (x - 3)(3x + 1) (x + 4)(2x - 1) (2x – 1)(3x + 2) (2x + 2)(3x – 2) (2x – 1)Primo(4y – 1) (y – 2)(2y – 3) (4y + 5)Primo

Problema

Introducción

• Para factorizar un trinomio de la forma ax2 + bx + c, con a, b, c números reales, a ≠ 1, utilizaremos el método de agrupación.

Procedimiento

Primer Paso

• Identificamos los coeficientes a, b, c.

Procedimiento (cont.)

Segundo Paso

• Calculamos el producto ac

Procedimiento (cont.)

Tercer Paso

• Hallamos dos enteros b1, b2 cuyo producto es ac y cuya suma es b, es decir:

b1b2 = ac

b1 + b2 = b

Procedimiento (cont.)

Cuarto Paso

• Escribimos el trinomio ax2 + bx + c en la forma ax2 + b1x + b2x + c

Procedimiento (cont.)

Quinto Paso

• Factorizamos al polinomio ax2 + b1x + b2x + c utilizando el método de agrupación (ver módulo 2)

Procedimiento (cont.)

Sexto Paso

• Comprobamos la respuesta resolviendo el producto encontrado en el quinto paso.

Ejemplo 1

Factorizar el trinomio 3x2 + 13x + 4.

Primer Paso

• Identificamos los coeficientes a, b, c.

a = 3 b = 13 c = 4

Ejemplo 1 (cont.)

Segundo Paso

• Calculamos el producto ac

ac = (3)(4) = 12

Ejemplo 1 (cont.)

Tercer Paso

• Hallamos dos enteros b1, b2 cuyo producto es ac (12) y cuya suma es b (13), es decir:

b1b2 = 12

b1 + b2 = 13

b1 = 12

b2 = 1

Ejemplo 1 (cont.)

Cuarto Paso

• Escribimos el trinomio ax2 + bx + c en la forma ax2 + b1x + b2x + c, es decir:

3x2 + 13x + 4 = 3x2 + 12x + 1x + 4

Ejemplo 1 (cont.)

Quinto Paso

• Factorizamos al polinomio ax2 + b1x + b2x + c utilizando el método de agrupación (ver módulo 2)

3x2 + 12x + 1x + 4 = (3x2 + 12x) + (1x + 4)

= 3x (x + 4) + 1(x +4)

= (x + 4)(3x + 1) Respuesta

Ejemplo 1 (cont.)

Sexto Paso

• Comprobamos la respuesta resolviendo el producto encontrado en el quinto paso.

(x + 4)(3x + 1) = 3x2 + x + 12x + 4

= 3x2 + 13x + 4 Trinomio original

Ejemplo 2

Factorizar el trinomio 2x2 + 5x - 12.

Primer Paso

• Identificamos los coeficientes a, b, c.

a = 2 b = 5 c = -12

Ejemplo 2 (cont.)

Segundo Paso

• Calculamos el producto ac

ac = (2)(-12) = -24

Ejemplo 2 (cont.)

Tercer Paso

• Hallamos dos enteros b1, b2 cuyo producto es ac (-24) y cuya suma es b (5), es decir:

b1b2 = -24

b1 + b2 = 5

b1 = +8

b2 = -3

Ejemplo 2 (cont.)

Cuarto Paso

• Escribimos el trinomio ax2 + bx + c en la forma ax2 + b1x + b2x + c, es decir:

2x2 + 5x - 12 = 2x2 + 8x - 3x - 12

Ejemplo 2 (cont.)

Quinto Paso

• Factorizamos al polinomio ax2 + b1x + b2x + c utilizando el método de agrupación (ver módulo 2) 2x2 + 8x - 3x - 12 = (2x2 + 8x) + (-3x - 12)

= 2x (x + 4) - 3(x + 4)= (x + 4)(2x - 3)

Respuesta

Ejemplo 2 (cont.)

Sexto Paso

• Comprobamos la respuesta resolviendo el producto encontrado en el quinto paso.

(x + 4)(2x - 3) = 2x2 - 3x + 8x - 12

= 2x2 + 5x - 12 Trinomio original

Ejemplo 3

Factorizar el trinomio 2x2 + 5x + 10.

Primer Paso

• Identificamos los coeficientes a, b, c.

a = 2 b = 5 c = 10

Ejemplo 3 (cont.)

Segundo Paso

• Calculamos el producto ac

ac = (2)(10) = 20

Ejemplo 3 (cont.)

Tercer Paso

• Hallamos dos enteros b1, b2 cuyo producto es ac (20) y cuya suma es b (5).

Después de buscar todas las posibles combinaciones de enteros concluimos que no existen dos enteros b1, b2 cuyo producto es (20) y cuya suma es (5).

Por esta razón el polinomio 2x2 + 5x + 10 no se puede factorizar y decimos que es un polinomio primo.

Ejemplo 4

Factorizar el trinomio 6x2 - 7x + 2.

Primer Paso

• Identificamos los coeficientes a, b, c.

a = 6 b = -7 c = 2

Ejemplo 4 (cont.)

Segundo Paso

• Calculamos el producto ac

ac = (6)(2) = 12

Ejemplo 4 (cont.)

Tercer Paso

• Hallamos dos enteros b1, b2 cuyo producto es ac (12) y cuya suma es b (-7), es decir:

b1b2 = +12

b1 + b2 = -7

b1 = -4

b2 = -3

Ejemplo 4 (cont.)

Cuarto Paso

• Escribimos el trinomio ax2 + bx + c en la forma ax2 + b1x + b2x + c, es decir:

6x2 - 7x + 2 = 6x2 - 4x - 3x + 2

Ejemplo 4 (cont.)

Quinto Paso

• Factorizamos al polinomio ax2 + b1x + b2x + c utilizando el método de agrupación (ver módulo 2)

6x2 - 4x - 3x + 2 = (6x2 - 4x) + (-3x + 2)= 2x (3x - 2) - 1(3x - 2)= (3x - 2)(2x - 1)

Respuesta

Ejemplo 4 (cont.)

Sexto Paso

• Comprobamos la respuesta resolviendo el producto encontrado en el quinto paso.

(3x - 2)(2x - 1) = 6x2 - 3x - 4x + 2

= 6x2 - 7x + 2 Trinomio original

2x2 - 3x + 1 2x2 - 7x + 3 3x2 + 13x + 4 4x2 - 4x + 1 6x2 + 7x + 2

Factorice cada trinomio:

Post-prueba

6x2 – 7x + 2 2x2 + 5x + 10 4y2 – 9y – 2 8y2 – 2x – 15 3x2 + x + 6

Oprime aquí para ver todas las respuestas

Soluciones a los problemas

2x2 - 3x + 12x2 - 7x + 33x2 + 13x + 44x2 - 4x + 16x2 + 7x + 2 6x2 – 7x + 22x2 + 5x + 104y2 – 9y – 28y2 – 2x – 153x2 + x + 6

Solución

(2x - 1) (x - 1)(2x - 1) (x - 3)(3x + 1) (x + 4)(2x - 1) (2x – 1)(3x + 2) (2x + 2)(3x – 2) (2x – 1)Primo(4y – 1) (y – 2)(2y – 3) (4y + 5)Primo

Problema