MATEMTICA ASIGNATURA RAZONES Y PROPORCIONES Otra manera de interpretar las fracciones es mediante el concepto de razn. Cuando comparamos dos cantidades como el hecho de comparar el nmero de niasdeunaescuelaconlapoblacinestudiantildedichaescuelaoel compararelnmerodeinfectadosporelvirusAH1N1conlapoblacindeun pas, estamos frente a unarazn. En efecto, si enuna escuela hay 50 nias deuntotalde150estudiantes,decimosquelarazndeniasalapoblacin estudiantil es de 50 a 150 lo que se denota como

50 : 150.Sabemos queestafraccinessimplificableyesequivalentea

;asdecimosquehay una nia por cada tres estudiantes de la escuela. Una razn es una forma de comparar dos cantidades expresadas en la misma unidad de medida. Una razn se expresa de cualquiera de las siguientes formas: o ambos casos se lee: a es a b a se llama antecedente b se llama consecuente Ejemplos: 1.La razn entre 4 y 5 se puede escribir como: 4 : 5 antecedente = 4 consecuente = 5

a : b 2. La razn entre 2 m y 80 cm es: Como deben estar en las mismas unidades, 2m = 200 cm,Luego, la razn dada es:

=

, la razn es5 es a 2 Observacin: 1. Una razn se comporta en forma similar al de una fraccin, por lo tanto se puede amplificar y simplificar. 2. Una razn tiene un valor asociado k, que corresponde a la divisin entre el antecedente y el consecuente (a/b = k o a:b = k). Aplicando lo dicho en la nota anterior, se tiene que:

=

5 antecedentey2 consecuente Valor asociado 5:2 = 2,5 Elvalorasociadoqueseencontrdaaentenderqueelantecedentees2,5 veces el consecuente. Actividad 2.1 1.En un bosque habitan 6 monos por cada 60 especies animales. Exprese la razn del nmero de monos al nmero de especies. 2.Maraenunexamenobtuvo25preguntacorrectasdeuntotalde50. Expreselarazndelnmerodepreguntascorrectasaltotalde preguntas. 3.Por cada 100 personas 30 tiene automvil. Escriba la razn del nmero de personas con automvil al nmero de 100 personas. 4.Uncoleccionadordemariposasatrapa80mariposasdelascuales20 son de la especie monarca.Exprese la razn del nmero de mariposas monarcas al total de mariposas atrapadas. 5.LamortalidadperinataldePanam,en2006,fuede740casosyenla provinciadeHerrerafuede28.Encuentrelarazndelnmerode mortalidad en la provincia Herrera al nmero de mortalidad del pas. 6.Encuentre la razn entre 8 y 32 y luego el valor asociado. 7.Por amplificacin encuentre 2 razones equivalentes a: a) 2/3 b) 12/15 c) 11:18 8.Por simplificacin encuentre 2 razones equivalentes a: a) 20/16 b) 36/24 c) 48/72 Paraelconceptodeltantoporciento,esrecomendable,estudiarprimeroel concepto de proporcin, sobre todo las proporciones directas. Una proporcin es una igualdad entre 2 razones. Si se tiene que las razones a/b y c/d son equivalentes, entonces: Trminos extremosTrminos medios Ejemplos: Completar los espacios que faltan en la siguiente tabla: ProporcinTrminos ExtremosTrminos Medios 4 : 9 = 8 : 189 y 8 5 : 3 = 15 : 95 y 9 p : q = x : y m y w n y z 3 : 12 = __ : 4 2.1Propiedad Fundamental de las Proporciones. En una proporcin se cumple lo que se denomina propiedad fundamental, es lo que nosotros ya hemos conocido alguna vez como producto cruzado, pues

=

oa : b = c : d enrealidadcorrespondealaigualdadquesepresentaalmultiplicarlos trminos extremos entre s y lo mismo entre los trminos medios. Lapropiedadfundamentaldelasproporcioneses:entoda proporcin, el producto de los extremos es igual al de los medios. Ejemplos: 1. Verificar si la siguiente igualdad de razones que se propone es una proporcin o no.2 : 5 = 16 : 40 Para verificarlo se aplica la propiedad fundamental, si con ello se llega a una igualdad entonces es una proporcin, de lo contrario no lo es. (2)(40) = (5)(16) 80 = 80 Es una proporcin ! 2. Verificar si la siguiente igualdad de razones que se propone es una proporcin o no.

=

Aplicando la propiedad fundamental. (3)(15) = (4)(12) 45 48 No es una proporcin ! Actividad 2.2 Verificar si las siguiente igualdades de razones que se proponen son proporciones o no. a)21 : 7 = 63 : 21 b) 10 : 8 = 5 : 3

=

a.d = b.c c)

= 16 d)

=

e)

=

1.2Clculo de un valor desconocido de una proporcin: Sea la proporcinx : b = c : d. Si las letras b, c y d representan valores conocidos, faltara saber el valor de x para conocer la proporcin. Para conocer el valor de x, se tienen las siguientes alternativas: amplificacin, simplificacin o aplicacin de propiedades. Vemoslo en un caso numrico: Supongamos que los valores de b, c y d, son 8, 30 y 24, respectivamente.Siendo as, la proporcin sera:

=

i)Si simplificamos por 3 la segunda razn, se tendr que:

=

de esto se puede concluir que x = 10 ii)Si amplificamos la primera razn por 3, se tendr que:

=

de lo anterior,se desprende que 3x = 30, por lo tanto, al dividir por 3 se tendr que x = 10. Nota:cualquieradelosdoscasosanterioresesrecomendablecuandopor mediodelaamplificacinosimplificacinseobtienealgunaigualdadentre antecedentes o consecuentes. iii)Aplicando propiedades. Se trata de aplicar la propiedad fundamental de las proporciones y luego la propiedad inverso multiplicativo.

=

,aplicando la propiedad fundamental se tendr que 24. x = (8)(30) 24. x = 240,de donde se obtiene x =

= 10. Actividad 2.3 Hallar x en las siguientes proporciones: a)x:5 = 12 : 20b)2:x = 16 : 24c)32 : 18 = x : 9 d)1 / 2 = 4 / xe) : x = :5 f)0,1:2 = x : 0,5 1.3 Proporcionalidad directa e inversa: Dos magnitudes son directamenteproporcionales cuando al multiplicar o dividirunadeellasporunnmero,laotraquedamultiplicadaodividida respectivamente por el mismo nmero Ejemplos: 1. Un automvil viaja con tal velocidad que en cada hora recorre 60 km. Determine la razn entre la distancia que recorre y el tiempo que emplea para ello, en los siguientes tiempos transcurridos, completar la tabla siguiente: magnitud Adistancia d (km) 60 120180240453015 magnitud B:tiempo t (hr) 1 2340,750,50,25 razn entre magnitudes: d:t60606060606060 Observacin importante: d y t son magnitudes directamente proporcionales, se verificqueamedidaqueibancambiandolosvaloresdeunalosdelaotra tambin cambiaban, sin embargo, la razn entre ellas se mantena constante. 2. Si la cuota de cada alumno, en un curso de 30 alumnos, es de $ 500. nmero de alumnos $ de aporte 1500 30x + Conesesigno(+)sealaremosque laproporcionalidadentrelas magnitudes,queincidenenel problema, son directamente proporcionales. Cunto dinero se recibe si todos los alumnos la cancelan? De acuerdo a lo anterior, formamos la siguiente proporcin:

=

= Donde tenemos quex = (30)(150) x = $ 15.000 3.En un almacn, un da se venden 200 chocolates en $ 10.000,-. Si otro dasevenden70chocolates,cuntodineroserecaudarporesa venta? Complete los espacios que faltan! Razonamiento:Siasumimosqueloschocolatesmantienenelprecioy disminuyelaventa,entoncestambindisminuirelingreso,porlotantolas magnitudes(nde______________y____________recaudado)son _______________ proporcionales. El signo + es porque lasmagnitudes son _______ La proporcin que se forma es:

= Al resolver la proporcin se tiene x = $ _______ nmero de __________ $ ___________ 200 ________ _________x + Doscantidadesayb sonDirectamente Proporcionalessial aumentarodisminuir unadeellas,laotra aumentaodisminuye elmismonmerode veces. 4.En 50 litros de agua de mar hay 1 300 gramos de sal. Cuntos litros de agua de mar contendrn 5 200 gramos de sal? Si representamos por x el nmero de litros que contendr 5200 gramos de sal, y formamos la siguiente tabla: Litros de agua gramos de sal 501300X5 200 La proporcin es:

=

X = (50)(5200) / 1300 X = 200 5.Un automvilgasta 5 litros de bencina cada 100 km. Si quedan en el depsito 6 litros, cuntos kilmetros podr recorrer el automvil? Luego, con 6 litros el automvil recorrer 120 km Actividad 2.4 1.En un da de invierno durante una hora llueve en forma constante, de manera que cada 5 minutos caen 8 mm de agua. Cuntos mm de agua caern en tres cuarto de hora? 2. Uncuadernotiene,enpromedio,unamasade150gramos.Sienun cursode35alumnos,cadaunolleva8cuadernosensumochila. Cuntos kilogramos de cuaderno lleva en conjunto, todos los alumnos? 3. En un negocio se recaudan $ 9.000,-en la venta de 60 helados. Si un damuybuenorecaudan$15.000,-yotromuymaloslo$3.000,-. Cuntos helados se venden en cada da? 4.Uncaminrecorreunaciertadistanciaviajandoa80km/hen7h.a) encuntotiemporecorreresecaminosiviajasea70km/h?;b)a qu velocidad debera viajar si la quiere recorrer en 5 hs? Ejemplos: 1. Una persona desea comprar un terreno rectangular cuya rea sea de 800m2.Slocompraruncuyoanchoylargo,seannmerosnaturales mayores que 6. Cules son todas las posibilidades que tendra? Complete el siguiente cuadro? 2.Un vehculo es capaz de viajar a 200 km/hr durante 2 horas para cubrir ladistanciaentredosciudades.Cuntotiempotardara,encubrirla misma distancia, viajando a la mxima rapidez permitida en la carretera? Razonamiento:Comosabemos,lamximarapidezencarreteraesde100 km/hr,entonces,aldisminuirlarapidezdemorarmsenllegarasudestino. Por lo tanto, como una magnitud aumenta y la otra disminuye, se tiene que las magnitudes son inversamente _______________. ancho (m) a largo (m) l rea (m2) A = a l 1008800 10 50800 20 32 8800 80 16 40800 Doscantidades,ayb,sonInversamenteProporcionalescuando hacindosemayoromenorlaprimeracantidad,lasegundasehace menor o mayor el mismo nmero de veces.

=

Como es inversamente proporcional:

=

100x = 400 x =

x = 4 horas Otra forma de resolverlo es formando una proporcin donde los valores de una magnitudformanunaraznylaotraseformaconlaotramagnitudperode forma inversa. Esto queda as:

=

Resolvindola se tiene que: 100. x = 200. 2 x = 400/100 x = 4 hora Actividad 2.5 1. Juan tiene dinero suficiente para comprar 20 dulces de $ 40,- cada uno.Si los dulces suben a $ 50.- Cuntos podr comprar? 2. Para hacer un trabajo, 4 personas demoran 5 das, cunto demorarn 10 personas en el mismo trabajo, al mismo ritmo que los primeros? rapidez km/hr v tiempo t 2002 100x - Dos cantidades, a y b, son Inversamente Proporcionalescuando hacindosemayoro menor la primera cantidad, la segunda se hace menor omayorelmismonmero de veces. 3. Con una mquina se fabrican 2.000 tornillos en 8 horas. Cuntas mquinas del mismo tipo seran necesarias para demorarse slo 2 horas? Actividad 2,6 Resuelvelossiguientesproblemas.Debesidentificarsilosproblemasson proporcin Directa e Inversa. 1.Si con 275 ladrillos se construyen 212 mde muro. Cuntos 2mse construirn con475 , 2ladrillos?2.Unapersonacompracon00 . 453 . Bl unacantidadde45radios.Cuntoshubiese podido comprar con00 . 057 , 1 . Bl ? 3.Tresmecangrafaspasanunatesisen24das.Cuntasmecangrafasse hubiesen necesitado para pasar la tesis en 18 das. 4.Ungrupode22personastienenalimentopara35das,sialgruposele aumentan 6 personas. Para cuntos das tendrn alimentos?. 5.Un automvil ha recorrido 240 Km en 9 horas a una velocidad de 80 Km/h, si la velocidadhubiesesido de60Km/h.Qutiempohubiesetardadoenrecorrer la misma distancia? 6.Una persona en 18 horas trabajo corta 2375 mde csped. Cuntos 2mhubiese cortado en 12 horas?7.Una procesadora de alimentos en 72 horas procesa 243 quintales de caf. En 8 horas de trabajo cuntos quintales procesar. 8.Enunaplaza1,600hombresprovistosdevverespara6meses.cuantos hombres habr que despedir para que los vveres duren2 meses ms, dando a cada hombre la misma racin. 9.Un auto recorre el camino entre dos ciudades a una velocidad de 64 Km/h, en 8 horas, que tiempo tardar si avanza a una velocidad de 80 km/h. 10. La rueda de un molino mide 2.46 m de dimetro, para llenar un tanque da 963 vueltas, cuntas vueltas dar una rueda de 3.69 m de dimetro. 11. Unapiletadeaguasellenacon96tanquesde5galonesc/u,concuntos tanques se llenar si fueran de 8 galones c/u. 12. Un zapatero clava en 27 minutos 297 clavos, Cunto clavar en 45 minutos. 13. Una rueda de una bicicleta, cuyo dimetro es de 60 cm. da 3,600 vueltas para irdeunaciudadaotra, sieldimetrodelarueda fue72cm.cuntasvueltas dara la rueda en hacer el mismo recorrido. 14. Si15personasconsumen39kilosdealimentosenunaexcursin,cuntas personas se necesitar para consumir 65 kilos de alimentos. 15. Unbarcocon40personasabordotienevverespara140dasperoenel momentodesalirseembarcaron16personasms,Paracuantosdas alcanzar ahora los vveres. 16. Una mecangrafa copia 250 copias 250 pginas de un libro en 5 das cuntos das necesitara para copiar todo el libro si este tiene 650 paginas. 17. La hlice de un abanico da 1,800 vueltas en 9 minutos .Cunto vueltas dar en 15 minutos. 18. Si cuatro libros cuestan B/20.00 cunto costarn 3 docenas de libros. 19. Siunavarade215mdelongituddarunasombrade6.45mCulserla altura de una torres cuya sombra a la misma de 51 m. 20. Si media docena de una mercanca cuesta B/14.50Cunto costar 5 docenas de la misma. 21. Unaexpedicinformadapor28personas tienenalimentospara162dassial partir faltan 7 personaspara cuntos das alcanza ahora los alimentos. 22. Unacuadrilladeobrerosemplean14dastrabajando8horasdiariaspara realizar cierta obra.Si hubiesen trabajado una hora menos al daen cuantos das hubieran terminado la obra. 23. SiconB/72.00sepuedencomprar12metrosdetelas.Cuantossepueden comprar con B/300.00 Respuestas 1. 2108 m2.1053.4 4.27.5 das. 5.12 horas 6.250 2m7.27 quintales 8.400 hombres 9.6.4 h 10. 642 11. 60 12. 495 clavos 13. 3,00014. 2515. 100 das 16. 13 das 17. 3,000 18. B/180.0019. 17 20. 145 21. 216 das 22. 16 23. B/50.00 TANTO POR CIENTO Tantoporcientooporcentaje esunaexpresinque indicauna partedeuntodo,consideradoestecomosifuera100.Se representa con el smbolo % que se lee por ciento. Losproblemasdetantoporcientosonproblemasdeaplicacinde proporciones. 1.Si el 20 % de la poblacin estudiantil de una escuela va a participar de los desfiles patrios y la escuela tiene una poblacin de 250 estudiantes, nos interesa saber cuntos estudiantes van al desfile. Denominemosxlacantidaddeestudiantes quevanaldesfile.Como 20%=

, es decir, van 20 estudiantes de cada 100 y x estudiantes de los 250. Planteamos el problema de la siguiente manera:

=

Por lo tanto tenemos que: 100x = 250 x 2 x =

x = 50 , o sea irn al desfile 50 estudiantes. Se acostumbra utilizar la regla de tres directa para el clculo de tanto por ciento. Esta regla de tres en realidad es el uso del principio fundamental de las proporciones. La regla de tres se establece as: Estudiantes que desfilanpoblacin 20100 x250 De donde se obtiene. 100x = 250 x 20 X = 5000/100 = 50 2.Unapruebade25puntosaungrupodeestudiantesylamayor puntuacin obtenida es de 23 puntos.Una estudiante desea saber qu porcentaje representa la mayor puntuacin. a-Escriba la razn de la puntuacin obtenida a la puntuacin total. b-Amplifiquelafraccinobtenidamultiplicandoporcuatro(4)tantoel numerador como denominador. c-Deduzca el porcentaje de b d-Calcule el porcentaje ahora utilizando la regla de tres. Puntaje de la pruebaporcentaje 100 Actividad 2.6 Resuelva los siguientes problemas de tanto por ciento. 1.Unbancoofrece3.5%deintersanual,Cuntoserecibirde inters al ao, si una cuenta tiene B/. 50 000. 2.Un empleado que gana B/. 300 recibe un aumento mensual de B/ 24 Qu porcentaje del salario representa ese aumento? 3.Un nio de seis aos necesita en promedio 1 500 caloras diarias, de lascualesel30%debecorresponderdeldesayuno.Cuntas caloras debe contener el desayuno. 4. Un almacn anuncia descuentos del 15%.Usted compra una blusa que le cuesta b/. 15,30. cunto cuesta la blusa sin el descuento? 5.Unhombredebeperder8kilosenunmes.Sloperdi6,5kilos. quporcentajerepresentalaprdidadeltotaldekilosquedebe perder. 6.Delos800alumnosdeuncolegio,hanidodeviaje600.Qu porcentaje de alumnos ha ido de viaje? I.Calcular el trmino desconocido de las siguientes proporciones: A.14 B. 7/2 C. 63/18 A.8/15B. 30/4C.15/8 Trabajo grupal 9718 x452 3x A.4B. 2C. 1 Problemas de razones-proporciones y tanto porciento: 1.Una zapatera cuya existencia promedio de mercanca es de B/ 30 000, obtuvo una utilidad de B/ 36 000, sobre una venta total de B/ 150 000. La razn de utilidad a la venta total es: A)5 : 1 B)6 : 5 C)6 : 25 D)6 : 1 2.Enunaferiadeanimalespor6lorossecanjean3docenasde codornices.Cuntascodornicessenecesitanparacanjearlospor5 loros? A) 30 B) 28 C) 25 D) 30 3.Enunpuestodefrutaslasnaranjassevendena3porB/.0,25Cuntos B/. se pagar por 2 docenas de naranjas?A) B/. 2,25 B) B/. 4,00 C) B/. 2,00 D) B/. 2,50 4.Para alimentar a 8 ovejas se necesitan 44 kg. de pasto. A cuntas ovejas se podr alimentar con 110kg. de pasto al da? A) 15 B) 18 C) 20 D) 25 5.Si 6 kg. de carne cuestan B/. 75, Cuntos B/. se pagar por 8kg de carne? A) B/.80 B) B/.90 C) B/.100 D) B/.120 x21328 6.En un circo, para alimentar a 3 tigres se necesitan 40 kg. de carne por da. Cuntos kg. de carne diaria se necesitarn para alimentar a 12 tigres? A) 180 B) 120 C) 150 D) 160 7.8albailestardanenhacerunaobra15das,cuntotardaran10 albailes en hacer la misma obra? A)12 das B) 20 das C) 5 das D) 18 das. 8.En una caja hay 200 caramelos de dos sabores: limn y naranja. Si por cadacaramelodelimnhay3denaranja,Cuntoscaramelosde naranja hay en la caja? A) 120 B) 80 C) 150 D) 100 9.Para preparar el men de un batalln de 136 soldados se necesitan 34 kg.dearroz.Acuntossoldadosselespuedeprepararelmencon 7kg. de arroz? A) 30 B) 28 C) 25 D) 35 10. Paraexcavarseocuparontresmquinasigualestrabajando160horas cada una. Cunto tiempo se hubieran tardado 10 mquinas? A) 48 h B) 30 h C) 26 h D) 16 h 11. Un ciclista que corre a una velocidad de 16 Km./h tarda 5 horas en llegar al prximo pueblo. Cunto tardara si llevase una velocidad de 20 Km./h? A) 6 h B) 9 h C) 2 h D) 4 h 12. Unbalndefutbolcost15,00ytenael25%dedescuentocunto costaba originalmente? A) B/. 25 B) B/. 20 C) B/. 18.75 D) B/. 60 13. En una clase de 30 alumnos, 8 practican la natacin y 22 juegan al ftbol. Hallar el porcentaje de alumnos que practica cada deporte.A) 26,6 y 73,3 B) 30 y 22 C) 22 y 8 D) 8 y 22 14. Un estudiante contest 60 preguntas correctas de un total de 80. Qu por ciento de preguntas contest correctamente? A)15% B) 30 % C)75% D) 80 % 15.Al comprar un monitor que cuesta B/. 450nos hacen un descuento del 8%. Cunto tenemos que pagar? A) B/. 486 B) B/. 400 C) B/.414 D) B/.432