Estudios Matemticos Argentera

El olvido de las Matemticas perjudica a todo el conocimiento, ya que el que las ignora no puede conocer las otras ciencias ni las cosas de este mundo. (Roger Bacn)

Mdulo 2

Johann Carl Friedrich Gauss (30 de abril de

1777 23 de febrero de 1855). Matemtico,

astrnomo y fsico alemn. Trabaj en la teora

de nmeros, el anlisis matemtico, la geometra

diferencial, la geodesia, el magnetismo y la

ptica. Considerado "el prncipe de las

matemticas" y "el matemtico ms grande

desde la antigedad", tuvo influencia notable en

muchos campos de la matemtica y de la ciencia,

y es considerado uno de los matemticos que

ms influencia ha tenido en la historia. Fue un

prodigio desde nio. Su tesis doctoral (1799)

vers sobre el teorema fundamental del lgebra

(que establece que toda ecuacin algebraica de

coeficientes complejos tiene soluciones

igualmente complejas). Trabaj en la geometra

no euclidiana, No public sus conclusiones, pero

se adelant en ms de treinta aos a los trabajos

posteriores de Lobachewski y Bolyai.

Ao luz

Un ao luz es la distancia que recorre la luz en un ao. Equivale aproximadamente a 9,46 1012km = 9.460.000.000.000 km, o sea, algo menos de

10 billones de kilmetros. Especficamente, un ao luz es la distancia que recorrera un fotn en un ao Juliano (365,25 das de 86.400 s) a la velocidad de la luz en el vaco (299.792,458 km/s), a una distancia infinita de cualquier campo gravitacional o campo magntico. Por lo tanto el Valor De Un ao luz equivale

exactamente 9.460.730.472.580.8 km, aproximadamente 5,88 1012millas

1

FACTORIZACIN

Importancia de la factorizacin

La factorizacin es un proceso base, pilar y fundamental para el desarrollo

de las matemticas ms complejas y amplias como el clculo y el algebra

superior. Es un proceso abstracto que est en medio de nuestro aprendizaje

para abrirnos paso a otros temas matemticos

Factorizacin:

Es un proceso que consiste en escribir una expresin por el producto

indicado de sus factores. Es muy til para simplificar expresiones y

encontrar sus equivalentes, especialmente para resolver ecuaciones.

Existen diferentes casos de factorizacin entre los cuales podemos encontrar

Factor comn, Diferencia de Cuadrados, Trinomio Cuadrado Perfecto,

Trinomio de la forma ax2 bxc;a=1, Factorizacin del trinomio ax2

bxc; a 1, Suma y diferencia de cubos, Casos combinados.

Factor Comn

Este es el primer caso y se emplea para factorizar una expresin en la cual

todos los trminos tienen algo en comn (un nmero, una letra). Sacar el

factor comn es extraer la literal comn de un monomio o polinomio con el

menor exponente y el divisor comn de sus coeficientes por eso debemos

abrir un parntesis y dividir cada trmino entre el factor comn.

Ejemplo: Factorizar la siguientes expresiones.

( )1) ax bx cx x a b c

( ) ( ) ( )) ( )2 x m n y m nmx nx my ny m n x y

3) 6ax 18b 6x )x (a 3b

2

Diferencia de Cuadrados

Para factorizar alguna diferencia de cuadrados basta con sacarle la raz

cuadrada exacta a ambos trminos de la expresin y alternar los signos

dentro de dos pares de parntesis.

Ejemplo. Factorice las expresiones:

2 16 ( 4)( 4) x x x

4x2 9y2 = (2x + 3y) (2x 3y) x2 - a2 = (x + a)(x - a)

Trinomio Cuadrado Perfecto: Un trinomio ser cuadrado perfecto cuando podamos expresarlo como el

cuadrado de otra cantidad. Si este tiene la forma de una ecuacin de

segundo grado entonces el trmino lineal ser igual al doble del producto de las races cuadradas del trmino cuadrtico y el independiente.

Para factorizarlo el primer y el tercer trmino no sern negativos, mientras

que el segundo no importa pues este se pondr en el cuadrado del binomio. Si un trinomio es T.C.P entonces es factorizable.

2

22 2

2

2

2

4 2 ^ 25 5 2(2 )(5) 20 es un tcp.

a) Verificar que el polinomio 4y 20 25 es un T.c.p.

b) 10 25

) 36 2

5 5 5

6 2 6 2 64 24

y y

c

y

y

y

Trinomio de la forma ax2 bx c;a=1

Este tiene la forma 2x + bx + c para factorizarlo debemos abrir dos pares

de parntesis, colocar la raz cuadrada del primero en cada parntesis; en el

primer parntesis poner el signo del segundo trmino y en el segundo

parntesis poner la multiplicacin de los signos de segundo y tercer trmino.

Si los signos de los parntesis son iguales, buscar dos nmeros que

3

sumados den el segundo y multiplicado den el tercer trmino. Si los signos

de los parntesis son opuestos, buscar dos nmeros que restados den el

segundo y multiplicados den el tercer trmino. El nmero mayor se anota en

el primer parntesis.

Factorizacin del trinomio ax2 bxc; a 1

Tiene la forma a 2x + bx + c pero el coeficiente del trmino cuadrtico es

diferente de uno.

Para factorizarlo debemos seguir estos pasos:

1. Multiplicar el trinomio completo por el coeficiente del trmino

cuadrtico.

2. Transformar el polinomio resultante en funcin de una base.

3. Nombrar esa base con algo que la represente mientras se opera.

4. Factorizar el polinomio con la nueva base.

5. Igualar nuevamente a la base original

6. Descomponer el coeficiente en 2 cantidades por las cuales se pueda

dividir el paso 5

7. Solucin

4

2

2

2

2

Eje

1) 10x 3x 4 .

2) 10x 3 10x 40

3) w 10x

4) w w 40 w 8 w 5

5) 10 8 10x 5

10x 8

mplos : Factorizar las

1

siguientes expresiones

10x 3

0x 5 6)

(1

x 4

0) (10) (1 )

5

0

2

.

x

5x

7) 4 2x 1

Suma y diferencia de cubos

Son dos trminos sumados o restados que tienen raz cbica.

La regla es la siguiente tanto para la suma como para la resta:

Suma: 3 3 2 2( )a b a b a ab b Resta: 3 3 2 2( )a b a b a ab b

Ejemplo: Factoriza las siguientes expresiones

a) 3 227 3 ( 3 9)a a a a

b) 3 3 2 28 64 2 4 (2 ) (2 )(4) (4)x y xy xy xy

2 22 4 (4 8 16)xy x y xy

Caso de factorizacin complexin de cuadrados

Para completar el cuadrado hace falta agregar un tercer trmino (n)o un

segundo trmino x que seran los trmino que nos falta en nuestra

expresin., para ello partiremos del concepto de trinomio cuadrado

perfecto.

En caso de que no falte ningn termino lo llevaremos a la

forma ( )a x h k , siendo a un coeficiente y h un nmero y k puede ser una expresin cualquiera.

2

2

2

2

O

10x 3

tro mtodo de

x

factoriz

4 = x

arlos es el sigu

(10)

iente.

Factorizar 1

3x 4

= x 3x 40 = 8 5

x 8 x 5 5x

104 2x

10

2 5

0 3x 4.

1

x

x x

5

Caso 1: Cuando falte el trmino lineal.

Ejemplo: 36x + 81

Agregamos el Termino (k) 36x +nx+81

n = 236 * 81

n = 2(6) (9)

n = 108

Sustituyendo a n por su valor, ser 36x + 108x + 81, para no alterar la

operacin restamos el termino encontrado a el resultado.

(6x+9) 108x

Caso 2: Cuando falte el trmino independiente

Ejemplo: 2 6x x

2 6x x , buscamos termino n para completar un trinomio cuadrado perfecto

para luego factorizar 2 6x x n , por definicin 2 2

263 9

2 2

bn

,

significa que 2 26 9 ( 3)( 3) ( 3)x x x x x

2( 3) 9x

Caso 3: Cuando no falte ningn trmino.

Ejemplo3: 2 8 17x x

2 28 17 8 16 1x x x x 2

4 1x

Ejemplo 4: Haga una complexin de cuadrado en 22 6 15x x

6

2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 6 15 2 6 15 2( 3 ) 15

9 182( 3 ) 15 2( 3 ) 15

4 4

3 78 3 22( ) 2( ) 19

2 4 2 4

x x x x x x

x x n x x

x x

Casos Combinados de factorizacin: Hay expresiones que para ser factorizable necesitan pasar por distintas

Tcnicas las cuales pueden variar segn la expresin que se vaya a usar:

2 2

3

3 2

3 2

3 ( 4 )

Ejemplos : Factorizar los polinomi

3 2 2

( 64)= 4 4 1

os.

) 3 12

) +64m 6

x x y x x y x y

m n m n n

x

n

a xy

b mn

7

Actividades

Factorizar las siguientes expresiones.

2 2

2 5 5 8 6 9 2

2

a) bx-cx+4x= f )

b) 4x 16

)

20 g) x 3 2

) 100

Resolver los siguientes

ejerc

ic s

zar

i :

:

o

w

y x y w x

I Fac

y

tor

v x

c

i

2

33 2

3 2

h) 12

) x ) 6 11 41000

) 8 27 j

) Realizar la siguente complexin de cu

) 2 11

adra

12

i

e

I

wd

I

2 2

2 2

dos

a) 7 ) 5 8

) 3y 9

:

) 2 3

c

b y d

Debe entenderse que todos somos educadores

Cada acto de nuestra vida cotidiana tiene implicancia,

a veces significativas. Procuremos entonces

ensear con el ejemplo.

Ren Gernimo Favaroro.

8

Bibliografa

Morel Roberto, Ventura Eduardo (2008); Matemtica Superior I. Santo

Domingo Rep. Dom: Universidad Catlica de santo Domingo.

Sobel Max; Lerner Norbert, (2006). Preclculo. 6ta edicin, Mxico: editora Pearson Educacin.

Baldor Aurelio, (1994). Algebra. Undcima edicin, Mxico: editora Codice

Amrica, S.A.

Santillana I. serie umbral, (educacin media). (2001), 1ra edicin, Rep.Dom: Editora Santillana

Demana; Waits; Foley; Kennedy y Blitzer. Matemticas universitarias

introductorias con nivelador mathlab. (2009), 1ra edicin, Mxico: Editora Pearson Educacin.

448 pg.

Pea Geraldino, Rafael. Matemtica Bsica Superior, (2005), 4ta edicin,

Repblica Dominicana. Editorial Antillanas.

Significado e importancia de la factorizacin algebraica en la escuela.

http://grupos.emagister.com/debate/colegas_docentes_de_matematicas.

Ao Luz en http://es.wikepedia.org/wiki/luz

Biografa de Frederick Gauss en http://es.wikepedia.org/wiki/car_fridrich_gauss

Revisado el 24 de abril 2012.

Prof.Wilton Oltmanns