XIII. PROBLEMAS ADITIVOS ARITMÉTICOS VERBALES EN EL III CICLO. COMPARACIÓN E IGUALACIÓN 1 Y 2

REFLEXIÓN DESDE LA PRÁCTICA

Lucy, una niña de 5° grado pide una aclaración a su maestra:

Profesora me salen 45 billetes de 50 soles y 62 billetes de 20 al resolver la primera parte del problema pero luego se me pregunta:

a) ¿Cuánto dinero más tengo en billetes de 50 que en billetes de 20?

b) ¿Cuántos billetes más tengo de 20 que de 50?

Si fueras la profesora, ¿podrías aclarar sus dudas a Lucy?

REFLEXIÓN TEÓRICA

Entre los problemas aditivos que se abordan en el III ciclo están:

Situaciones de comparación 1 y2

Situaciones de igualación 1 y 2

LOS PROBLEMAS DE COMPARACIÓN

La categoría de comparación presenta problemas en los que se comparan dos cantidades. Los datos del problema son precisamente esas cantidades y la diferencia que existe entre ellas.

De estas dos cantidades, una es la comparada y otra la que sirve de referente. La diferencia es la distancia que se establece entre ellas.En los problemas de COMPARACIÓN se pueden preguntar:

Por la diferencia si se conocen las dos cantidades.

Por la cantidad comparada cuando se conocen el referente y la diferencia.

O por la cantidad referente, si se conocen la comparada y la diferencia.

Cada una de estas tres posibilidades se puede enfocar desde dos puntos de vista: en el primero preguntamos por cuántos más y en el segundo, por cuántos menos.

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PAEV DE COMPARACIÓN 1José tiene 12 nuevos soles. Carlos tiene 15. ¿Cuántos soles tiene Carlos más que José?

12REFERENCIA

RE15 COMPARADA

PAEV DE COMPARACIÓN 2Luis tiene 9 canicas y Ricardo tiene 5. ¿Cuántas canicas tiene Ricardo menos que Luis?

5 COMPARADA

9 REFERENCIA

De aquí surgen los 6 tipos de problemas de COMPARACIÓN, de los cuales desarrollaremos los correspondientes al III ciclo (comparación 1 y 2)

En este caso tenemos la cantidad referida y la cantidad comparada y buscamos la diferencia en términos de “más que”

En este caso tenemos la cantidad de referencia y la cantidad comparada y buscamos la diferencia en términos de “menos que”

En los problemas de comparación no hay incremento pues en una comparación las cantidades permanecen iguales a sí mismas durante todo el proceso.

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PAEV DE IGUALACION 1Ada tiene 11 caramelos y María 6. ¿Cuantos caramelos más tiene que tener María para tener tantos como Ada?

Ada

María11 REFERENCIA

6 COMPARADA DIFERENCIA

PAEV DE IGUALACIÓN 2Teresa ha ganado 6 rompecabezas. Gisela ganó 10. ¿Cuántos rompecabezas debe regalar Gisela para tener tantos como Teresa?Gisela

Teresa

10 COMPARADA

6 REFERENCIA DIFERENCIA

En general, se tiene:

Cantidad Referencia

Cantidad Comparada

CantidadDiferencia

Aumentar Disminuir

COMPARACIÓN 1 Dato Dato Incógnita *

COMPARACIÓN 2 Dato Dato Incógnita *

LOS PROBLEMAS DE IGUALACIÓN

Se trata de problemas que contienen dos cantidades diferentes sobre una de las cuales se actúa aumentándola o disminuyéndola hasta hacerla igual a la otra. De estas dos cantidades una es la cantidad a igualar y la otra es la cantidad referente. La transformación que se produce en una de dichas cantidades es la igualación. La diferencia con la categoría de comparación está en que cuando se compara no se añade ni se quita nada, cuando se iguala necesariamente se añada o se quita algo. En los problemas de IGUALACIÓN se puede preguntar por la cantidad a igualar, por el referente o por la igualación, lo que origina 6 tipos de problemas. Para nuestro estudio correspondiente al III ciclo resolveremos igualación 1 y 2

En este caso tenemos la referencia, la cantidad a igualar (comparada) y se pregunta por el aumento de la cantidad menor para igualarla a la mayor.

En este caso se tiene la referencia, la cantidad a igualar y se pregunta por la disminución de la cantidad mayor para igualarla a la menor.

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Beatriz tiene 9 soles. José tiene 4. ¿Cuántos soles más tiene Beatriz?

Sara tiene 9 figuras. Pilar tiene 4. ¿Cuántas figuras menos tiene Pilar?

Pedro tiene 18 canicas. Yanira tiene 12. ¿Cuántas canicas tiene que ganar Yanira para tener tantas como Pedro?

Así, se tiene en general:

Cantidad Referencia

Cantidad Comparada

CantidadDiferencia

Aumentar Disminuir

IGUALACIÓN 1 Dato Dato Incógnita *

IGUALACIÓN 2 Dato Dato Incógnita *

EJEMPLOS

A continuación presentamos ejemplos de tipos de problemas de comparación e igualación. Resuélvelos haciendo uso de algunas estrategias heurísticas para el III ciclo en la p. 50 de Rutas del aprendizaje, fascículo 1 Número y Operaciones Cambio y relaciones ciclo III.

Problemas de comparación

Problemas de igualación

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Martha y Gisella trabajan juntas. Martha pesa 58 kg. Gisela 72 kg. ¿Cuántas kilogramos debe bajar Gisela si desea tener el mismo peso que Martha?

USO DE LOS MATERIALES DIDÁCTICOS.

Debemos considerar que los saberes previos del estudiante de los primeros grados son limitados respecto al manejo de estrategias heurísticas, por lo que desde el aula debemos darle la oportunidad de apropiarse de estrategias variadas.

Para tal efecto se propone las siguientes estrategias:

a) Uso del material concreto

El docente utilizará diferentes recursos manipulables (ábacos, regletas, bloques lógicos, etc.) para trabajar estos conceptos, de manera que los niños realicen la descomposición de todos los números una y dos cifras de todas las maneras posibles.

Los materiales concretos son herramientas prácticas que ayudan a los estudiantes a descubrir problemas matemáticos simples o complejos.

A través de la ayuda de material concreto, los maestros pueden demostrar cómo funciona el concepto. Estos materiales pueden ser estructurados o no estructurados. Así podemos usar para el caso de problemas aditivos el ábaco, las regletas de colores, tapitas y semillas, entre otros.

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Lee y comenta el Fascículo-Matemática III ciclo.

A partir de lo leído, crea dos problemas aritméticos verbales en el contexto de tu comunidad local de:

Combinación Cambio Comparación Igualación

b) Representaciones apoyados en la recta numérica

Una recta numérica es una herramienta de enseñanza, asequible e increíblemente valiosa. Cuando los estudiantes comienzan a aprender matemáticas deben ante todo desarrollar el sentido numérico. El sentido numérico es la comprensión de cuáles son los usos de los números y cómo se relacionan entre sí.

Un estudiante que sabe que seis es un número mayor que cuatro porque lo visualiza en la recta tiene un concepto básico del sentido numérico. Las rectas numéricas proporcionan a los estudiantes una representación concreta del sistema numérico. Cuando los estudiantes empiezan a contar o a aprender las operaciones básicas de suma y resta por primera vez, las líneas de números pueden ayudarles a comparar los valores de los números, así como a recordar el orden de los dígitos.

c) Uso de técnicas de graficación

Los niños enfrentan problemas desde pequeños y tienen que acostumbrarse a usar organizadores visuales que les ayuden a relacionar los datos y la incógnita de un problema.

Mediante la técnica de graficación se enseña a los niños a realizar representaciones geométricas, diagramas de flechas, tablas, pictogramas, cuadros de doble entrada, diagramas de Venn, diagramas de complemento, uso de la recta numérica, figuras o cualquier otro tipo de representación pictórica o gráfica en la que quede reflejada la estructura del problema, y tanto la información que se ofrece en el enunciado como la información que nos demanda, de modo que sea posible el establecimiento de una relación lógica entre datos e incógnita Estas imágenes esquemáticas o relacionales son claves para una solución exitosa.

En el uso de las técnicas de graficación distinguimos tres tipos de procesos:

1. Aplicación de estrategias ya conocidas en nuevos contextos, como por ejemplo la recta numérica o los diagramas de Venn y Euler.

2. Diseño de estrategias que supone la creación de nuevos esquemas sobre la base de los ya conocidos.

3. Evaluación de estrategias, que supone contrastar las propias con aquelllas elaboradas por los compañeros para perfeccionar el propio trabajo.

HERRAMIENTAS PARA LA NUEVA PRÁCTICA

Ten en cuenta que en la resolución de problemas productivos el estudiante imita lo visto en otras situaciones, descubre nuevas formas de plantear la situación, analiza su procedimiento, opina sobre las formas de resolver de otros y a través de esta contrastación de su proceso con los de sus compañeros va desarrollando su pensamiento matemático. Por lo tanto, es importante preparar un material adecuado a fin de lograr desencadenar este clima de participación y debate.

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Superando la fase de problemas aritméticos verbales ensaya otros formatos de presentación de problemas:

La historieta La imagen para formular el problema El texto del problema sin pregunta El pictograma o el diagrama de barras El texto verbal con datos complementarios en

imágenes El póster publicitario El cuadro de doble entrada

Regletas de Cuisenaire: Es un conjunto de 10 regletas de diferentes tamaños y colores que representan a los números del 1 al 10 y que se usan para desarrollar el sentido numérico de los niños en los primeros grados puesto que permiten establecer descomposiciones y equivalencias entre los primeros cardinales.

Ábaco: Es un material para desarrollar el valor posicional de los sistemas numéricos y está compuesto por un soporte con varillas paralelas donde cada una representa un orden posicional y unas fichas que se insertan para representar las cantidades.

Problemas del campo aditivo: Situaciones problemáticas que se pueden resolver aplicando la adición o sustracción. Se habla de campo aditivo porque se asume que ambas operaciones están vinculadas por la reversibilidad, dado que una operación es la inversa de la otra.

Problema de cambio: Problema del campo aditivo donde se observa situaciones en las que hay aumento o disminución de una cantidad en una secuencia de tiempo y que considera tres momentos, el estado inicial o entrada, el cambio, que es el operador que indica la transformación y el estado final o la salida. La incógnita puede estar en cualquiera de ellos.

Problema de combinación: Situaciones problémicas en las que se consideran las relaciones de inclusión entre una clase total y dos o más subclases. Se pueden combinar cantidades pertenecientes a una misma clase aunque a diferentes subclases. Por ejemplo juguetes (muñecas, peluches, títeres), flores (rosas, claveles, margaritas), etc... La incógnita puede estar en la búsqueda de la clase total o alguna de las subclases.

Problemas de comparación: Situaciones problémicas en las que se compara dos cantidades y se consideran tres elementos, la cantidad que se compara, la que actúa como referencia y la diferencia entre ambas. La incógnita puede estar en cualquiera de ellas.

Problemas de igualación: Situaciones problémicas en las que se requiere igualar una cantidad con otra, aumentando a una o disminuyendo a la otra. Se considera la cantidad que se pretende igualar, la que sirve de referencia y la diferencia entre ambas. La incógnita puede estar en cualquiera de éstas.

GLOSARIO

Ensaya el uso del “formato imagen” para formular 3 problemas de cambio, dos problemas de combinación y dos problemas de comparación en cada caso:

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Textos Complementarios

ESTRATEGIAS DE INTERVENCIÓN EDUCATIVA

A la pregunta: ¿cómo se puede mejorar la capacidad de resolver problemas de todos los alumnos? o lo que es lo mismo: ¿qué se puede hacer para enseñar a resolver problemas? en principio se puede responder que se aprende a resolver problemas trabajándolos mediante un proceso de aprendizaje activo, donde el alumno sea el protagonista.

Es necesario, por tanto, dedicar una parte apreciable en el horario escolar a la resolución de problemas.

Por otro lado, se recomienda seguir las siguientes indicaciones didácticas:

Se debe utilizar como recursos habituales los juegos y pasatiempos matemáticos así como materiales manipulativos e informáticos, cuyo uso puede potenciarse con el trabajo en el taller o laboratorio de matemáticas.

Se debe pasar de situaciones y problemas sencillos en los dos primeros ciclos, relacionados con el entorno inmediato, a situaciones y problemas más complejos en el tercer ciclo.

Se deben graduar los problemas pasando de una etapa a dos y tres etapas, teniendo en cuenta las diferentes categorías semánticas en función de su dificultad.

Recomendaciones a las cuales añadimos las siguientes consideraciones generales:

Se debe procurar que los aprendizajes sean significativos a partir de la acción y la reflexión en experiencias matemáticas estimulantes y adecuadas a cada nivel de desarrollo.

Crear un ambiente de trabajo que favorezca el proceso de enseñanza y aprendizaje, que sea intelectualmente estimulante y que promueva la investigación, la experimentación, el diálogo y el planteamiento de dudas. De este modo transformaremos el aula en un laboratorio de matemáticas.

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Asimismo consideramos algunas orientaciones específicas:

Facilitar la adquisición de estrategias, modelos, técnicas y hábitos mentales adecuados para la adecuada resolución de problemas.

Centrar la atención en el proceso y no en el resultado y fomentar una actitud positiva ante la resolución y una progresiva confianza en el propio pensamiento.

Enseñar y trabajar las estrategias y herramientas heurísticas.

Enseñar y practicar los pasos o fases de resolución.

Proponer problemas sobre situaciones que tengan significado para los alumnos, es decir, relacionados con su entorno y su vida en la comunidad o que despierten su interés. Ello se consigue combinando las tipologías analizadas con la modelización de problemas del entorno, con juegos estimulantes, y con el uso de recursos y materiales manipulativos..

Recordar que el alumno debe ser el protagonista y colaborador con sus compañeros. Al comienzo, se trabajará de manera oral y por parejas o en pequeño grupo fomentando la comunicación y la expresión. Poco a poco se irá dando entrada al trabajo individual y a la lectura y escritura utilizando fichas.

Considerar que el rol del profesor es proponer problemas interesantes y productivos, permitir elegir e inventar problemas, ayudar en el análisis, auxiliar en la superación del miedo, proponer desafíos, animar a colaborar y comunicar, motivar y reconocer méritos, favorecer el análisis previo, la reflexión, mirar atrás, animar al autocontrol y la autoevaluación, evitar estereotipos (la respuesta es lo importante, se aprende memorizando y practicando técnicas, etc.).

Tener en cuenta en la evaluación, la lectura comprensiva del enunciado, la formulación e interpretación de los datos, la estrategia n a seguir, la ejecución del plan y la realización de las operaciones tanto como la validación de los resultados y la claridad de las explicaciones.

Salir de los problemas puramente verbales para presentar nuevos tipos de formatos como historietas, láminas con situaciones problémicas abiertas donde el niño pueda formular el problema verbal, textos sin pregunta donde el niño pueda cerrar el problema con una pregunta adecuada, posters con datos en forma de problema, cuadros de doble entrada, diagrama de barras y otros cuadros para aprender a procesar y seleccionar la información pertinente.

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Como ejemplo te presentamos una historieta de la Evaluación censal 2004 de la UMC:

Pregunta: _______________________

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MINEDU (2013). Rutas del aprendizaje. Matemática Fascículo 1 número y operaciones cambio y relaciones III ciclo. Lima, Perú: Ministerio de Educación.http://

De Ferro, A. (2008). Estrategias didácticas para una enseñanza de la matemática centrada en la resolución de problemas. Lima, Perú: Selecta E.I.R.L

Bibliografía yreferencias electrónicas

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