Modulaciones  Angulares  

Luca  Mar1no  luca@tsc.uc3m.es  

Introducción  

•  En  las  modulaciones  de  amplitud,  la  amplitud  de  la  portadora  seguía  las  variaciones  de  la  señal  moduladora  en  banda  base.  

•  En  el  caso  de  las  modulaciones  angulares,  es  el  ángulo  de  la  señal  portadora  que  sigue  las  variaciones  de  la  señal  en  banda  base,  mientras  la  amplitud  de  la  portadora  se  man1ene  constante.        

€

c(t) = Ac cos(2πfct + φc ) = Ac cos(ϑ(t))

Variará  según  la  señal  moduladora    

Tipos  de  modulaciones  angulares    

•  Hay  dos  1pos:  modulación  en  frecuencia  (FM),  y  modulación  en  fase  (PM).  Son  muy  similares  y  1enen  una  relación  estricta  entre  si.  

•  Las  modulaciones  angulares    poseen  caracterís1cas    mejores  frente  al  ruido  respecto  a  las  modulaciones  de  amplitud.    

Frecuencia  instantánea    

•   dada  la  señal  modulada  (vamos  a  considerar  funciones  de  este  1po):  

•  La  rela1va  frecuencia  instantánea  es:    

•  Por  ejemplo  si                                                      :  

€

s(t) = Ac cos ϑ(t)[ ] = Ac cos 2πfct + φ(t)[ ]

€

fi(t) =12π

dϑdt

= fc +12π

dφdt

€

ϑ(t) = 2πfct + φc

€

fi(t) = fc

Dependerá  de  m(t)  

Modulación  PM  

•   en  este  caso  el  ángulo  es  (relación  lineal  con                    ):  

•  Así  que  la  señal  modulada  PM  es:    

•  y  la  frecuencia  instantánea  resulta  ser:  €

s(t) = Ac cos 2πfct + kpm(t)[ ]

€

fi(t) =12π

dϑdt

= fc +kp2π

dm(t)dt

€

ϑ(t) = 2πfct + φ(t) = 2πfct + kpm(t)

€

kp:  Sensibilidad  en  fase  

€

m(t)

Modulación  FM  

•   en  este  caso  el  ángulo  es:  

•  Así  que  la  señal  modulada  FM  es:    

•  y  la  frecuencia  instantánea  resulta  ser    (relación  lineal  con                    ):  €

s(t) = Ac cos 2πfct + 2πk f m(τ)dτ−∞

t∫[ ]

€

fi(t) =12π

dϑdt

= fc + k f m(t)

€

ϑ(t) = 2πfct + φ(t) = 2πfct + 2πk f m(τ)dτ−∞

t∫

€

k f :  Sensibilidad  en  frecuencia  

€

m(t)

El  integral  es  definido  solo  para  no  dejar  constantes  no  determinadas.    

Modulación  PM-­‐FM  

•   la  relación  entre  los  1pos  de  modulaciones  es  muy  estrecha.  

Modulación  FM    

€

s(t)

€

m(t)

Modulación  PM    

€

s(t)

€

m(t)Integrador    

Es  equivalente  a:    

Modulación  PM    

€

s(t)

€

m(t)

Modulación  FM    

€

s(t)

€

m(t)diferenciador    

Es  equivalente  a:    

Modulación  PM-­‐FM  

Modulación  PM-­‐FM  Señal  moduladora  que  lleva  el  mensaje  m(t)  

Integral  de  la  señal  moduladora    

Índice  de  modulación    

•  Para  modulación  PM:  

•   Para  modulación  FM:  

•   donde  W    es  el  ancho  de  banda  de  la  señal  moduladora.    

€

βp = Δφmax = kpmax m(t)[ ]

€

βf =ΔfmaxW

=k f max m(t)[ ]

W

Ejemplo:  Tono  simple    

•  Consideremos  la  moduladora:  

€

m(t) = acos(2πfmt)

€

fm << fc

€

φ(t) = kpm(t) = kpacos(2πfmt)

€

φ(t) = 2πk f m(τ)dτ =k f afmsin(2πfmt)−∞

t∫

€

βp = kpa

€

βf =k f afm

€

s(t) = cos(2πfct + βp cos(2πfmt))

€

s(t) = cos(2πfct + βf sin(2πfmt))

Modulación  PM   Modulación  FM  

PM-­‐FM  de  banda  estrecha  

•   La  señal  modulada  se  puede  expresar:  

•  Si  la  señal  moduladora  permite  escribir:    

€

φ(t) <<1€

s(t) = Ac cos 2πfct + φ(t)[ ] = Ac cos(2πfct)cos(φ(t)) − Ac sin(2πfct)sin(φ(t))

€

s(t) = Ac cos(2πfct)cos(φ(t)) − Ac sin(2πfct)sin(φ(t))≈ Ac cos(2πfct) − Ac sin(2πfct)φ(t)€

cos(φ(t)) ≈1sin(φ(t)) ≈ φ(t)

PM-­‐FM  de  banda  larga  

•  Dada  la  equivalencia  entre  los  dos  1pos  de  modulaciones,  nos  concentraremos  sobre  FM.    

•  El  estudio  de  las  propiedades  espectrales  de  la  modulación  angular  es  matemá1camente  intratable.    

•  por  esta  razón  vamos  primero  (y  ul1mo  ;)  )  a  tratar  el  caso  de  una  señal  moduladora  de  tono  simple:    

€

m(t) = acos(2πfmt)

€

fm << fc

FM-­‐tono  simple  

•  Hemos  visto  que  la  señal  modulada  resulta  ser:  

€

s(t) = cos(2πfct + βf sin(2πfmt))

€

s(t) = Re Acej 2πfc te jβ f sin(2πfmt )( )

Podemos  expresarlo  así  en  términos  de  exponenciales  complejos.  

Nos  vamos  a  concentrar  sobre  este  termino  (que  es  periódico  con  frecuencia          ).  

€

fm

FM-­‐tono  simple  

•  Vamos  a  expresar  este  termino  en  serie  (es  periódico)  de  Fourier;  los  coeficientes  son:  

•   este  ul1mo  integral  es  muy  conocido  como  función  de  Bessel  de  primer  3po  y  de  orden  n  indicada  como:      €

cn = fm e jβ f sin(2πfmt )e− jn2πfmtdt0

1/ fm∫ =

=u=2πfmt 1

2πe j(β f sin(u)−nu)du

0

2π∫ Esta  cambio  de  va  

variable  …  es  muy  sencillo,  verdad  ?!!  

€

Jn (βf ) = cnLo  coeficientes  coinciden  con  las  funciones  de  Bessel    

Funciones  de  Bessel  

•  Las  funciones  de  Bessel  de  primer  1po  son  las  soluciones  de  la  ecuación  diferencial    (                                    )  :    

•   se  puede  intentar  resolverla  con  el  método  de  Frobenius  que  consiste  en  buscar  soluciones  expresada  por  una  serie:    

•   y  luego  subs1tuir  en  la  ecuación  para  buscar  relaciones  entre  los  coeficientes            .  

€

x 2 d2ydx 2

+dydx

+ (x 2 + n2)y = 0

€

y = f (x) = Jn (x)€

y = f (x)

soluciones  

€

y = akxk

k=0

∞

∑

€

ak

FM-­‐tono  simple  

•  Entonces  podemos  expresar  aquel  termino  en  serie  de  Fourier  en  esta  forma:  

•   y  podemos  subs1tuir  en  la  señal  modulada:  

€

e jβ f sin(2πfmt ) = Jn (βf )ejnβ f 2πfmt

n=−∞

+∞

∑

€

s(t) = Re Acej 2πfc te jβ f sin(2πfmt )( ) = Re Ace

j 2πfc t Jn (βf )ejnβ f 2πfmt

n=−∞

+∞

∑⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ =

s(t) = AcJn (β f )cos(2π ( fc + nfm )t)n=−∞

+∞

∑

Funciones  de  Bessel    

En  este  caso  nuestra  x  es    

€

βf

Solo  n=0  es  relevante  

€

βf fijo  

Existen  también  por  n  no  entero,  por  ejemplo:  

€

J1/ 2(x) =2πxsin(x)

J−1/ 2(x) =2πxcos(x)

FM-­‐tono  simple  

•  La  formula:  

•  muestra  como  ya  para  una  señal  sencilla  de  tono  simple,    la  señal  modulada  FM  con1ene  todas  las  frecuencias  de  la  forma:  

•  Es  decir,  el  ancho  de  banda,  en  realidad,  es  infinito  (dado  que  en  general  los  coeficientes                          no  son  nulos).    

€

s(t) = AcJn (β f )cos(2π ( fc + nfm )t)n=−∞

+∞

∑

€

fc + nfm

€

n = 0,±1,±2....

€

Jn (βf )

FM-­‐tono  simple  

•  Pero  vamos  a  ver  que  por  n  grande  la  amplitud                        asociada  a  la  frecuencia                              es  muy  pequeña.    

•  Queremos,  entonces,    definir  un  ancho  de  banda  efec3vo  para  la  señal  modulada.  Por  esta  razón,  vamos  a  estudiar  los  coeficientes:    

•   para            pequeño  se  puede  cortar  cortar  la  serie  al  termino  k=0:  

€

fc + nfm

€

Jn (βf )

€

Jn (βf ) =(−1)k β f

2( )n+2k

k!(k + n)!k=0

∞

∑

€

Jn (βf ) ≈βf

n

2n n!€

βf

€

J−n (β f ) = (−1)n Jn (β f )Vale  esta  relación  por  n  entero  

Ancho  de  banda  efec1vo  

•  Se  define  como  ancho  de  banda  efec1vo  en  una  modulación  angular,  las  frecuencias  que  con1enen  más  del  98%  de  la  potencia  de  la  señal.    

€

BC = 2(β+1) fm

€

BC = 2(β+1)WEn  general  Caso  tono  simple  

€

β =

βp = kpmax m(t)[ ]

β f =k f max m(t)[ ]

W

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

€

β =

βp = kpa

β f =k f afm

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

€

m(t) = acos(2πfmt)

Regla  de  Carson  

PM  

FM  

PM  

FM  

Ancho  de  banda  efec1vo  

•  Analizando  solo  el  caso  de  tono  simple,  es  interesante  estudiar  los  efectos  de  la  amplitud  y  la  frecuencia  de  la  señal  moduladora  sobre  el  ancho  de  banda  efec1vo:    

•   Un  aumento  de  amplitud  genera  un  aumento  del  ancho  de  banda  en  ambos  casos  de  la  misma  manera,  mientras  la  frecuencia  afecta  mayormente  la  modulación  PM  (siendo  un  factor  mul1plica1vo)  que  la  modulación  FM  (solo  factor  adi1vo).  En  ambos  casos,  también  un  aumento  de  la  frecuencia            genera  un  aumento  del  ancho  de  banda.    

€

m(t) = acos(2πfmt)

€

Bc =(kpa +1) fmk f a + fm

⎧ ⎨ ⎩

PM  

FM  

€

fm