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Descripción de modulación por multiplexacion de división de frecuencias ortogonales

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  • Proyecto fin de carrera : Estudio de un sistema CDMA-OFDM Capitulo 2 :Modulacin OFDM

    Capitulo 2 :Modulacin OFDM 4

    CAPITULO 2 : MODULACION OFDM 2.1 Introduccin 2.1.1 Definicin

    La modulacin por divisin ortogonal de frecuencia, en ingls Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM), tambin llamada modulacin por multitono discreto, en ingls Discrete Multitone Modulation (DMT), es una modulacin que consiste en enviar la informacin modulando en QAM o en PSK un conjunto de portadoras de diferente frecuencia.

    Normalmente se realiza la modulacin OFDM tras pasar la seal por un codificador de canal con el objetivo de corregir los errores producidos en la transmisin, entonces esta modulacin se denomina COFDM, del ingls Coded OFDM.

    Debido al problema tcnico que supone la generacin y la deteccin en tiempo continuo de los cientos, o incluso miles, de portadoras equiespaciadas que forman una modulacin OFDM, los procesos de modulacin y demodulacin se realizan en tiempo discreto mediante la IDFT y la DFT respectivamente.

    La modulacin OFDM es muy robusta frente al multitrayecto, que es muy habitual en los canales de radiodifusin, frente al desvanecimiento debido a las condiciones meteorolgicas y frente a las interferencias de RF.

    Debido a la las caractersticas de esta modulacin, las distintas seales con distintos retardos y amplitudes que llegan al receptor contribuyen positivamente a la recepcin, por lo que existe la posibilidad de crear redes de radiodifusin de frecuencia nica sin que existan problemas de interferencia.

    2.1.2 Superacin de los problemas asociados a la propagacin multitrayecto: la modulacin OFDM.

    Una de las caractersticas fundamentales de las comunicaciones radio en enlaces terrestres es el de la propagacin multitrayecto. Este tipo de propagacin consiste en que entre el transmisor y receptor existe ms de un camino de propagacin, ya que la seal radio que se propaga no es un rayo estrecho que va directamente de la antena transmisora a la receptora, sino un frente de onda amplio que se va difractando y reflejando a medida que encuentra obstculos en su camino, como edificios altos o irregularidades del terreno. El estudio y modelado del fenmeno de la propagacin multitrayecto se puede resumir diciendo que al receptor llegan varias rplicas de la misma seal, con diferentes retardos entre ellas. Las primeras, tres o cuatro (dependiendo del entorno), pueden contener valores significativos de energa, mientras que las restantes suelen llegar muy atenuadas y se pueden despreciar. Se plantean dos escenarios posibles en funcin del valor mximo

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    del retardo diferencial entre las rplicas significativas (requiriendo cada escenario un receptor diferente), los cuales tienen lugar cuando:

    1. El retardo diferencial mximo no supera en dos o tres veces el periodo de

    smbolo de modulacin, que es el caso que se plantea en GSM. Con una velocidad de modulacin de 270,83 kbit/s y un periodo de smbolo de 3,7 s, el retardo entre los diferentes trayectos no suele ser superior a 10 s. Por cada smbolo transmitido, la seal temporal que se obtiene a la salida del demodulador del receptor es un pulso muy distorsionado, que interfiere de forma significativa a los pulsos adyacentes. Para devolver el pulso a su forma original en el receptor se requiere un ecualizador, tanto ms complejo cuanto mayor sea el cociente entre el retardo diferencial mximo y la anchura de smbolo. En GSM el ecualizador es un filtro FIR de siete coeficientes que se suele implementar mediante un algoritmo de Viterbi.

    2. El retardo diferencial es mucho mayor que el periodo de smbolo. En este caso, a la salida del demodulador lo que se obtiene no es un pulso, sino varios pulsos independientes, cada uno de ellos correspondiente a una rplica. Se puede considerar que la seal transmitida se ha roto en varias rplicas iguales, las cuales se encuentran bien separadas entre ellas. Este es el caso que se plantea en UMTS, donde el periodo de chip es 0,26 s, y los retardos diferenciales son de varios microsegundos. Para reconstruir la seal lo que se emplea es un receptor conocido como de tipo Rake, que alinea en el tiempo las diferentes rplicas y las suma en fase.

    A medida que se aumenta el ancho de banda de transmisin el periodo de smbolo disminuye, y llega un momento en que la complejidad del receptor Rake se vuelve excesiva, siendo ms ventajoso desde un punto de vista de implementacin utilizar otro sistema de modulacin, la multiplexacin por divisin ortogonal en frecuencia, OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing). Este sistema de modulacin consiste en enviar la informacin no sobre una nica portadora, sino sobre un mltiplex de muchas portadoras adecuadamente espaciadas en frecuencia, repartiendo la informacin entre todas ellas, de forma que aunque la velocidad de modulacin del conjunto sea muy elevada, la de cada portadora individual es pequea, simplificando el problema de propagacin multitrayecto.

    Lo que diferencia al OFDM de otros procedimientos de multiplexacin en frecuencia es la ortogonalidad, pues el espaciamiento adecuado entre portadoras es un espaciamiento ptimo. Este espaciamiento consiste en que la separacin espectral entre portadoras consecutivas es siempre la misma e igual al inverso del periodo de smbolo, de forma que la seal OFDM se puede expresar, en notacin compleja, como:

    ( ) =

    +=12/

    2/2exp

    N

    Nici tT

    ifjdts ( 2.1) donde: - fc es la frecuencia central.

    - T es el periodo de smbolo. - di es el smbolo que lleva la informacin - s(t) es la seal OFDM en el tiempo.

    En la Figura 2.1 se muestra una representacin de tres portadoras ortogonales.

    Viendo una seal OFDM en el tiempo se aprecia que en el periodo de la portadora ms baja caben varios periodos de las otras portadoras, alineadas todas en fase, mientras que

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    en la representacin espectral el mximo de cada portadora coincide con un nulo de las dems.

    Figura 2.1 : Seal OFDM

    En principio, podra parecer que modular y demodular una seal OFDM requerira tantas cadenas transmisoras y receptoras como portadoras tuviese el mltiplex. Si esto fuese as, el sistema sera inviable, pues un mltiplex de decenas o centenares de portadoras implicara equipos terminales con decenas o centenares de cadenas transceptoras. Afortunadamente, slo se requiere una cadena en cada sentido de transmisin, que modula o demodula todas las portadoras a la vez.

    Si se examina la ecuacin anterior, se comprueba que una seal OFDM es la

    transformada inversa de Fourier de los coeficientes di, y, en consecuencia, los coeficientes son la transformada directa de s(t). Por consiguiente, la accin de modular y demodular todas las portadoras a la vez de una seal OFDM consiste bsicamente en aplicar los algoritmos de la transformada rpida de Fourier, muy conocidos y fciles de implementar en los procesadores digitales.

    La ortogonalidad proporciona otra ventaja aadida: un mecanismo para

    eliminar, o reducir tanto como se quiera, el problema de la interferencia por propagacin multitrayecto. Este mecanismo consiste en ampliar la duracin correspondiente al periodo smbolo mediante un tiempo de guarda superior al mximo retardo diferencial entre los trayectos significativos. Durante la ampliacin temporal se repite, o ampla, parte del propio smbolo, por lo cual se conoce a la ampliacin como extensin cclica. La justificacin de por qu esta extensin elimina el problema de la propagacin multitrayecto, la veremos en captulos posteriores.

    En lo que se refiere a la modulacin de las portadoras, el smbolo di en un

    mltiplex OFDM en cada portadora se modula con una informacin diferente, aunque, por facilidad de implementacin, el sistema de modulacin suele ser el mismo para todas ellas, como QPSK o n2-QAM. Adems, se suelen reservar algunas portadoras para transmitir informacin de sincronismo y ecualizacin espectral, o bien para establecer canales de servicio.

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    2.2: Fundamentos del procesamiento de seal OFDM 2.2.1 Introduccin al procesamiento de seal OFDM

    La tecnologa a la que hacemos referencia mediante OFDM (Orthogonal

    Frequency Divisin Multiplexing) puede ser vista como una coleccin de tcnicas de transmisin. Cuando se aplican en un medio no cableado, como es el caso de la radiodifusin , son usualmente denominados OFDM. Sin embargo, en medios cableados, el trmino DMT (Discrete Multitone) es ms usual.

    La Multiplexacin por Divisin de Frecuencia Ortogonal surge para compensar las trabas que introducen los medios dispersivos procurando evitar el aumento de la complejidad del sistema en el aspecto hardware.

    El origen de OFDM es en aplicaciones de uso militar que trabaja dividiendo el espectro disponible en mltiples subportadoras. La transmisin en la que no existe visin directa sucede cuando entre el receptor y el transmisor existen reflexiones o absorciones de la seal que implica una degradacin de la seal recibida, que se manifiesta mediante efectos como pueden ser la atenuacin plana, la atenuacin selectiva en frecuencia o la interferencia intersimblica. Estos efectos se mantienen bajo control con el W-OFDM que es una tecnologa propietaria de Wi-LAN que recibi, en 1994, la patente para comunicaciones inalmbricas de dos vas y banda ancha OFDM (WOFDM). Esta patente es la base para los estndares 802.11a, 802.11g, 802.11a Los sistemas W-OFDM incorporan adems estimacin de canal, prefijos cclicos y cdigos Reed-Solomon de correccin de errores.

    En la Figura 2.2 podemos observar las notables diferencias existentes entre los espectros de una transmisin usando una tcnica multiportadora convencional y el caso en el que se utiliza una modulacin con portadoras convencionales:

    Figura 2.2: Multiportadora convencional frente a portadoras ortogonales

    OFDM es una tecnologa de modulacin digital, una forma especial de modulacin multiportadora considerada la piedra angular de la prxima generacin de productos y servicios de radio frecuencia de alta velocidad para uso tanto personal como corporativo. La tcnica de espectro disperso de OFDM distribuye los datos en un gran nmero de portadoras espaciadas entre s en distintas frecuencias precisas.

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    Ese espaciado evita que los demoduladores consideren frecuencias distintas a las suyas propias.

    OFDM tiene una alta eficiencia de espectro, resistencia a la interfaz RF y menor distorsin multitrayecto. Actualmente OFDM no slo se usa en las redes inalmbricas LAN 802.11a, sino en las 802.11g, en comunicaciones de alta velocidad por va telefnica como las ADSL y en difusin de seales de televisin digital terrestre en Europa, Japn y Australia.

    Figura 2.3: Espectro de una seal OFDM 2.2.2 Introduccin histrica

    La historia de OFDM data de mediados de los aos 60, cuando Chang public su artculo sobre la sntesis de seales limitadas en banda para transmisiones multicanal. Chang present una serie de principios para la transmisin simultnea de mensajes a travs de un canal lineal limitado en banda, evitando los perjudiciales efectos derivados de la Interferencia entre Smbolos (ISI) y entre canales (ICI). Poco despus de que Chang publicara sus estudios, Saltzberg realiz un anlisis del comportamiento de estos sistemas, concluyendo que:

    La estrategia de diseo de un sistema eficiente debe centrarse ms en reducir la diafona entre canales adyacentes que en el perfeccionamiento individual de los mismos, dado que la distorsin por diafona tiende a ser dominante.

    Una mayor contribucin a OFDM fue la realizada en 1971 por Weinstein y

    Ebert, quienes usaron la Transformada Discreta de Fourier (DFT) para desarrollar la modulacin y demodulacin en banda base. Este trabajo no se orient hacia el perfeccionamiento individual de los canales sino hacia un procesamiento eficiente , eliminando los bancos de osciladores correspondientes a las distintas subportadoras. Para combatir la ISI e ICI usaron tanto un espacio de guarda entre smbolos, como un enventanado por coseno alzado en el dominio temporal. Su sistema no consigui alcanzar una perfecta ortogonalidad entre subcanales pero es todava hoy la mayor contribucin aportada a OFDM.

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    Otro importante adelanto fue llevado a cabo por Peled y Ruiz en 1980, quienes introdujeron el uso del prefijo cclico (CP) o extensin cclica, resolviendo el problema de la ortogonalidad. En lugar de usar un espacio de guarda vacio, lo rellenaron con una extensin cclica del smbolo OFDM.

    As se puede simular el desarrollo de la convolucin cclica del canal, lo cual

    implica la ortogonalidad sobre los canales dispersivos cuando la longitud del prefijo cclico sea mayor que la respuesta impulsiva del canal.

    Actualmente se utiliza OFDM en el estndar europeo de la DAB (Digital Audio

    Broadcasting) as como en varios sistemas propuestos para Norteamrica. Durante los ltimos aos, la aceptacin del OFDM como tecnologa de base para

    el 802.16a que es un estndar de IEEE para redes de rea metropolitana inalmbrica que puede proveer extensin inalmbrica para acceso de ltima milla de banda ancha en instalaciones de cable y DSL. El mismo cubre el rango de frecuencias de 2 a 11 GHz y alcanza hasta 50 kilmetros lineales, brindando conectividad de banda ancha inalmbrica sin necesidad de que exista una lnea directa de visin a la estacin de base.

    La velocidad de transmisin de datos puede llegar a 70 Mbps. Una estacin de base tpica puede albergar hasta seis sectores. La calidad de servicio est integrada dentro del MAC, permitiendo la diferenciacin de los niveles de servicio. 2.2.3 Modelo general del sistema

    Abordaremos el modelado genrico de los sistemas OFDM de manera discreta en el tiempo, y suponiendo todas las seales en banda base. Esto nos dar una visin ms aproximada de la implementacin digital que dichos sistemas soportan en la actualidad.

    Adems se asumirn las siguientes condiciones:

    Se utiliza el CP. La respuesta impulsiva del canal es menor que la longitud del CP. El transmisor y e receptor estn perfectamente sincronizados. El ruido del canal es blanco, aditivo y gaussiano. El desvanecimiento es lo suficientemente bajo como para considerarlo

    constante durante el intervalo de un smbolo OFDM.

    Figura 2.4: Implementacin digital de un sistema OFDM en banda base

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    El anterior sistema permite la transmisin en paralelo de un conjunto de N smbolos M-arios, habindose formado previamente dichos smbolos a partir del flujo binario generado de forma aleatoria. En la prctica la entrada de nuestro sistema ser atacada por una lnea digital.

    Tras el Mapper/Modulator el flujo binario (M-PSK o M-QAM) y convertido de

    serie a paralelo, con lo que se tiene un conjunto de N nmeros complejos kx provenientes de una determinad constelacin de seales.

    As pues los datos kx son modulados sobre N portadoras mediante la aplicacin

    de la Transformada Inversa de Fourier (IDFT), generndose los valores complejos ka . Esta seal ataca a un serializador que copia las ltimas L muestras a modo de prembulo prefijo cclico (CP) y origina el smbolo OFDM, el cual ser transmitido a travs de un cana discreto en el tiempo.

    Figura 2.5: Creacin del smbolo OFDM con CP

    En el receptor la extensin cclica es extrada y la seal resultante se demodula mediante la aplicacin de un bloque DFT. La insercin del prefijo cclico es comnmente aceptada como la forma de evitar la ISI y preservar la ortogonalidad entre los tonos. Existe otra posibilidad que se basa en que en el proceso de creacin del smbolo OFDM, stos no se originan aadiendo las ltimas muestras del smbolo a las primeras, sino que se aade una cola de ceros de la misma longitud L que el prefijo cclico. A esta tcnica se le denomina Zero-Padding (ZP) y ser analizado pormenorizadamente en captulos posteriores.

    2.2.4 Modelo del sistema en tiempo continuo

    El sistema OFDM continuo en el tiempo que se representa en la figura 2.6 puede considerarse como el sistema OFDM ideal que se sintetiza en la prctica.

    Figura 2.6: Modelo de un sistema OFDM en tiempo continuo.

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    Transmisor Supongamos un sistema OFDM con N subportadoras, un ancho de banda de W

    Hz y una longitud de smbolo de T segundos, de los cuales cpT segundos son la longitud del prefijo cclico, en ese caso, el transmisor usa las siguientes formas de onda:

    ( )( ) [ ]

    =

    ...0

    ,012

    coe

    TtsieTTt

    cpTtkNWj

    cpk

    ( 2.2)

    donde cpTWNT += / . Por otra parte ( )tk es un pulso rectangular modulado en una frecuencia de

    potadora kW/N, y la interpretacin ms usual de OFDM es que se estn utilizando N subportadoras, cada una de las cuales transporta una baja tasa de bits.

    Las seales ( )tk se utilizan en la modulacin de forma que la seal en banda base transmitida para el l-simo smbolo OFDM es:

    ( ) ( )=

    =1

    0,

    N

    kklkl lTtxts ( 2.3)

    donde ,,...,, ,1,2,1,0 lNlll xxxx son nmeros complejo de una cierta constelacin de seales. Cuando se transmite una secuencia infinita de smbolos OFDM, la salida del transmisor no es ms que la yuxtaposicin de smbolos OFDM individuales:

    ( ) ( ) ( ) =

    =

    ==

    l l

    N

    kklkl lTtxtsts

    1

    0, ( 2.4)

    Canal

    Asumiremos que la respuesta del canal ( )tg ; est restringida al intervalo [ ]cpT,0 es decir a la longitud del prefijo cclico. La seal recibida ser:

    ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )tndtstgtsgtr cpT ~;*0

    +== ( 2.5) donde ( )tn~ ser el ruido blanco, aditivo y gaussiano introducido por el canal

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    Receptor

    El receptor OFDM consiste en un banco de filtros adaptados a la ltima parte [ ]TTcp , de la forma de onda del transmisor k , es decir:

    ( ) ( ) [ ] =

    coeTTtsitT

    t cpkk ..0,0* ( 2.6)

    Como podemos comprobar el prefijo cclico se elimina en la receptor .Como el

    CP contiene toda la informacin acerca de la ISI del smbolo anterior, la muestra de salida procedente del banco de filtros del receptor no contiene interferencia. A partir de ahora no tendremos en cuenta el ndice temporal l cuando calculamos la muestra de salida en el k-simo filtro adaptado. As y utilizando las ecuaciones anteriores del canal y el transmisor podemos llegar a:

    ( )( ) ( ) ( ) ===

    = dttTtrtry kTtkk

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +

    =

    =

    T

    Tkk

    T

    T

    T N

    kkk

    cpcp

    cp

    dtttTndttdtxtg **0

    1

    0

    ~;'

    '' ( 2.7)

    Si consideramos el canal constante en todo el intervalo de un smbolo OFDM y lo denotamos como ( )g podemos escribir:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +

    =

    T

    T

    T

    Tkk

    T

    k

    N

    kkk

    cp cp

    cp

    dtttTndtttgxy **0

    1 ~'

    '' ( 2.8)

    Teniendo en cuenta que los intervalos de integracin son TtTcp

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    Con lo que podemos simplificar la ecuacin anterior, dando como resultado:

    kkkk nxhy += ( 2.11) donde kn es el ruido aditivo gaussiano. 2.2.5 Modelado del sistema en tiempo discreto

    Un modelo frecuencial de un sistema OFDM se puede observar el la figura 2.7. Comparando con el modelo en tiempo continuo, el modulador y el demodulador son remplazados por mdulos de IFFT y de FFT respectivamente, y el canal es una convolucin en tiempo discreto. As pues la principal diferencia radica en que las integrales sern sustituidas por sumatorios ya que el tratamiento que se le hace al CP es idntico en ambos casos.

    Figura 2.7: Sistema OFDM en tiempo discreto

    Desde el punto de vista del receptor, el uso de un CP con una longitud mayor que la del canal, implica la transformacin de la convolucin lineal en una convolucin circular. Si denotamos esta convolucin circular por podemos expresar el sistema OFDM completo como: ( )( ) ( )( ) lllllll ngxIDFTDFTngxIDFTDFTy +=+= ~ ( 2.12)

    donde ly contiene los N datos recibidos, lx los N puntos pertenecientes a la constelacin en el transmisor, g es la respuesta impulsiva del canal (rellenada de ceros hasta obtener la longitud N), y ln~ es el ruido introducido por el canal. Como el ruido lo consideramos blanco y gaussiano, entonces el trmino ( )ll nDFTn ~= representa ruido gaussiano incorrelado. As la DFT de la convolucin circular de dos seales es equivalente al producto de las transformadas de cada una de las seales de forma individual. Denotando al producto elemento a elemento como podemos escribir: ( ) lllllll nhxngDFTxy +=+= ( 2.13)

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    donde lh =DFT( lg ) es la respuesta en frecuencia del canal. As hemos encontrado el mismo tipo de sistema que en el caso frecuencial con la nica diferencia que la atenuacin del canal lh viene dada por la DFT de N puntos del canal discreto, en lugar

    de la respuesta en el campo de la frecuencia dada por

    =NWkGhl

    ' , es decir la

    Transformada de Fourier de ( )g . 2.2.6 Propiedades y Caratersticas de los sistemas OFDM

    En general los sistemas OFDM presentan las siguientes propiedades:

    Realizan un uso eficiente del espectro Al dividir el canal en subcanales de banda estrecha, el sistema se hace ms

    robusto ante cadas selectivas en frecuencia. Eliminan el efecto de la ICI e ISI gracias a la insercin del CP o del ZP Usando una determinada codificacin de canal y entrelazado el sistema puede

    responder ante prdidas de datos durante la transmisin La ecualizacin es ms sencilla que en los sistemas de portadora nica Es computacionalmente eficiente debido al uso de la FFT. Utilizando OFDM junto a tcnicas de modulacin diferencial, desaparece la

    necesidad de realizar una estimacin de canal.

    Una vez enunciadas las principales ventajas de estos sistemas procederemos a realizar un anlisis de ciertos aspectos en concreto. 2.2.6.1 La importancia de la ortogonalidad

    El principal concepto de las seales OFDM es la ortogonalidad de las sub-portadoras. Si usamos como portadoras una seal senosoidal, el rea de un periodo es cero ya que la parte positiva de la seal se cancela con la negativa. Esta afirmacin se comprueba fcilmente en la figura 2.8:

    Figura 2.8: Seales sinusoidales de rea nula.

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    Consideremos una onda senoidal de frecuencia m y la multiplicaremos por otra

    de frecuencia n, siendo n y m enteros. La integral del rea bajo este producto viene dada por ( ) tntmtf sinsin= .

    Figura 2.9 : El producto de una seal senoidal por un armnico suyo es cero Basndonos en una sencilla regla trigonomtrica podemos escribir:

    ( ) ( ) ( )nmnmtntmtf +== cos21cos

    21sinsin ( 2.14)

    Cada una de estas dos componentes es tambin una sinusoide, por lo que la integral bajo su rea es cero. Podemos concluir pues que en general para todos los nmeros enteros n y m las seales senosoidales de frecuencias n y m son ortogonales entre s. Este concepto de ortogonalidad es clave en OFDM ya que nos permite la transmisin simultnea en un estrecho rango de frecuencias y sin que se produzcan interferencias entre ellas. 2.2.6.2 Espectro de una seal OFDM

    Las seales QPSK producen un espectro cuyo ancho de banda se puede expresar como ( ) sRBW += 1 . En OFDM, las portadoras adyacentes a la de informacin, pueden solaparse tal y como se ve en la figura 2.10

    La suma de dos portadoras, permite ahora transmitir 3 sR sobre un ancho de

    banda de [ ]ss RR 2,2 . Esto produce una eficiencia espectral de 4/3 Hz por smbolo para tres portadoras o una de 6/5 para 5 portadoras.

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    Como regla general se cumple que si aadimos N portadoras, la eficiencia espectral vendr dada por (N+1)/N Hz por smbolo.

    As, cuanto mayor sea el nmero de portadoras, mayor eficiencia. En la figura

    2.10 se nos muestra el espectro de una seal OFDM .Cabe destacar que el rango de la seal que no nos interesa disminuye rpidamente 50 dB y si comparamos ese espectro con el de la figura 2.11 , comprobamos como sta tiene mucha menor varianza y adems las bandas laterales no disminuyen tan sbitamente.

    Figura 2.10: Espectro de una seal OFDM frente al espectro de una seal QPSK

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    Figura 2.11: Espectro de una seal OFDM con 1024 portadoras

    Figura 2.12: Espectro de una seal QPSK 2.2.6.3 PAPR (Peak to Average Power Ratio)

    Si una seal procede de la suma de N seales cuya amplitud mxima es 1 voltio, no es descabellado pensar que en un determinado instante esta seal pueda alcanzar una amplitud mxima de N en el caso de que las N seales se encuentren sumando sus mximos simultneamente.

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    La PAPR se define como:

    ( )avgPtx

    R2

    = ( 2.15) donde avgP representa la potencia media.

    Para una seal OFDM con 128 sub-portadoras, cada una con una potencia normalizada de 1 w, el mximo PAPR que se puede producir es de 21 dB. Este ser el caso en el que las 128 portadoras se combinen en su punto mximo. El valor medio de PAPR rondar los 10-12 dB.

    La variacin de la amplitud que se puede observar en la Figura 2.12 produce un aumento del nivel del ruido en la banda de inters y un incremento de la tasa de error de bit cuando una seal OFDM atraviesa un amplificador no lineal. Este efecto impide el uso de seales OFDM en aplicaciones que requieran estos amplificadores como puede ser un enlace satlite. Para mitigar la PAPR existen varias posibilidades:

    1. Mantener el nivel de potencia Podemos mantener la potencia de la seal en un cierto nivel deseado .Esto reduce la

    PAPR pero introduce otras distorsiones y la ICI. 2. Mapeo Selectivo

    Se trata de multiplicar la seal de datos por un conjunto de cdigos, calcular la IFFT de cada uno y escoger aquel que presente menor PAPR. 3. IFFT parcial

    Consiste en dividir la seal en celdas, calcular la IFFT de cada una y combinarlas .De esta forma, si subdividimos 128 subportadoras en cuatro grupos de 32, la mxima PAPR ser de 12 dB en lugar de 21 dB del conjunto completo. Posteriormente se combinan las cuatro secuencias para formar la seal transmitida. 2.2.6.4 Sincronizacin

    Otro de los grandes problemas de la modulacin OFDM es la exacta sincronizacin que necesita. Se suelen utilizar tonos pilotos entre subportadoras para poder mantener la sintonizacin. En captulos posteriores analizaremos exhaustivamente el problema de la sincronizacin en OFDM.

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    2.2.6.5 Codificacin

    Las subportadoras suelen codificarse con un cdigo convolucional antes de realizar la antitransformada discreta de fourier. La versin codificada de OFDM se llama COFDM o Coded OFDM. 2.2.6.6 Parmetros de una seal OFDM

    Se vern los parmetros reales de los sistemas OFDM en cualquiera de las aplicaciones tpicas de este tipo de modulacin, como puede ser por ejemplo la DVB o ADSL.

    Los parmetros con sus correspondientes valores son:

    - Tasa de datos: De 6 Mbps a 48 Mbps - Tipo de modulacin: BPSK , QPSK , 16 QAM y 64 QAM

    - Codificacin: Convolucional concatenado con Reed Solomon.

    - Periodo de la FFT : Tambin denominado periodo de smbolo , su valor tpico es

    de 1/ =3.2 seg

    - Tamao de la FFT : 64 de los cuales se suelen usar slo 58 , 48 para datos y 4 para seales piloto

    - Separacin de frecuencia entre subportadoras: 20 Mhz divididos en 64

    portadoras de 0.3125 Mhz.

    - Duracin del periodo de guarda: Un cuarto de smbolo, es decir, 0.8 seg.

    - Tiempo de smbolo: 4 seg.

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    Capitulo 2 :Modulacin OFDM 20

    2.3 Sincronizacin 2.3.1 Introduccin

    El principal argumento en contra de OFDM es sin duda su alta sensibilidad a errores de sincronizacin, en particular al offset frecuencial. En lo que sigue veremos los tres niveles en los que podemos situar el problema de la sincrona: sincronizacin de smbolo, de frecuencia de portadora y de frecuencia de muestreo. 2.3.2 Sicronizacin de smbolo

    En los sistemas OFDM se presta una gran atencin a la sincronizacin de smbolo por su gran importancia, sin embargo los requerimientos de temporizacin se relajan gracias a la inclusin del CP.

    Un offset de temporizacin provoca una rotacin de las subportadoras dentro de la constelacin de seales usada, mayor cuanto ms cerca se encuentren de los extremos de la banda de frecuencia. Realizaremos un anlisis de este fenmeno.

    Supongamos que la seal en recepcin lleva un retraso de n muestras no corregidas, es decir estamos la siguiente situacin:

    ( ) ( )[ ] ( ) NnnkjNk

    Nkijk eeaihN

    nnr /21

    0

    /21 =

    = ( 2.16) Los puntos de la constelacin que toma el demodulador en recepcin sufren un doble efecto:

    ( ) NknjNkijkk eeihaZ 22

    = ( 2.17)

    Por un lado ka toma el efecto del canal mediante el producto con la funcin de

    transferencia H(k):

    ( ) ( ) = NkijeihkH 2 ( 2.18)

    Por el otro ka tambin sufre una rotacin que viene determinada por el trmino

    de Nknj

    e2

    .

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    Capitulo 2 :Modulacin OFDM 21

    Podemos como dicho efecto es ms intenso a medida que incrementamos la

    frecuencia, o lo que es lo mismo cuanto ms nos acerquemos al extremo de la banda. Comprobamos el efecto particularizando para una constelacin QPSK:

    Figura 2.13 : Efecto de canal y error de sincrona de smbolo sobre una constelacin QPSK.

    Si el error de sicronizacin es lo suficientemente pequeo como para mantener la respuesta impulsiva del canal constante dentro del CP, entonces la ortogonalidad se mantiene. En este caso el offset se puede considerar como un desplazamiento de fase introducido por el canal, de manera que las rotaciones de fase introducidas pueden estimarse mediante un estimador de canal, sin embargo si el desplazamiento es mayor que la longitud del CP, entonces la ISI s afectar nuestro sistema.

    Describiremos dos posibles alternativas para minimizar las consecuencias de este negativo efecto: una primera opcin basada en pilotos y otra en el prefijo cclico.

    Fueron Warner y Leung los que propusieron una solucin del primer tipo. Utilizaron un esquema donde la seal OFDM se transmita en FM, y el transmisor codificaba un cierto nmero de subcanales reservados con fases y amplitudes conocidas. El algoritmo est compuesto por tres fases. En la primera (deteccin de potencia) se detecta si hay presencia de seal OFDM midiendo el nivel de potencia y comparndolo con un cierto umbral .En la segunda fase (deteccin gruesa) se adquiere un alineamiento de sincronizacin con un error mximo de 0.5 muestras. Este grado de alineamiento no es aceptable, sino que se usa para simplificar el posterior proceso de captura, ya que ste supone que el error de temporizacin es pequeo. Esta sincronizacin gruesa se obtiene correlando la seal recibida con una copia retrasada de la misma. Para poder detectar el pico de correlacin con suficiente precisin, se usa un filtro digital que interpola los datos a una velocidad cuatro veces superior a la original. Por ltimo en la ltima fase (sincronizacin fina), los subcanales reservados se ecualizan con la estimacin de canal obtenida a partir de los pilotos. Dado que la sincronizacin gruesa garantiza que el error de temporizacin es menor que 0.5 muestras, la respuesta impulsiva del canal se encuentra dentro del CP.

    Por otra parte existen otros algoritmos basados en el empleo del prefijo cclico. La diferencia entre dos muestras espaciadas N posiciones se puede representar como ( ) ( )Nkrkr + . Cuando una muestra pertenece al prefijo cclico y la otra al smbolo

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    Capitulo 2 :Modulacin OFDM 22

    OFDM del cual se ha copiado, dicha diferencia es pequea .Si se enventana con una ventana rectangular de la misma longitud que el CP obtendremos una serie de mnimos, cada uno de los cuales se encontrar al comienzo de los smbolos OFDM.

    Esta idea se formaliza matemticamente mediante la funcin de verosimilitud, la

    cual se maximiza para obtener de manera simultnea los offsets temporal y frecuencial. Veamosla para el caso de offset frecuencial nulo y offset temporal :

    ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )+=

    ++++=1

    2*

    1Re

    12L

    kNkrkr

    SNRSNRNkrkr

    SNR

    ( 2.19)

    2.3.3 Sicronizacin de frecuencia de muestreo

    La seal continua recibida debe ser muestreada en instantes de tiempo dados por el reloj de recepcin. Existen dos tipos de mtodos que tratan con el error en la frecuencia de muestreo.

    En sistemas de muestreo sincronizado un algoritmo de temporizacin controla un oscilador de cristal controlado por tensin con objeto de alinear los relojes de transmisin y recepcin. El otro mtodo es el de muestreo no sincronizado, en el cual la tasa de muestreo permanece fija y se realiza un post-procesado digital.

    El efecto de un offset en la frecuencia es doble: la componente til de la seal se ve rotada y atenuada, y por otro lado se introduce ICI en el sistema.

    A partir de los estudios publicados hasta la fecha se desprende que los sistemas de muestreo no sincronizados son mucho ms sensibles al offset de reloj que los de muestreo sincronizado. 2.3.4 Sicronizacin de frecuencia de subportadora 2.3.4.1 Errores frecuenciales

    El offset frecuencial se produce como consecuencia de diferencias en los osciladores de transmisor y receptor, desplazamientos Doppler o desfases introducidos por canales no lineales. Hay dos efectos destructivos provocados por el offset en la frecuencia de portadora: uno es la reduccin en la amplitud de la seal como consecuencia de que las senoides no se muestrean en su mximo, el otro es la aparicin de ICI en el sistema. Este ltimo es provocado por la prdida de de ortogonalidad entre los subcanales.

    Pollet evalu analticamente la degradacin en la BER provocada por la

    presencia de offset frecuencial de portadora para un canal AWGN .Denotemos el offset frecuencial relativo, normalizado por el espacio entre subcanales como:

    NWFf/

    = ( 2.20)

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    Capitulo 2 :Modulacin OFDM 23

    donde F es el offset frecuencial, N es el nmero de subportadoras y W el ancho de banda de la seal OFDM. La degradacin D que sufre la SNR (en dB) puede ser aproximada por:

    ( ) ( )0

    2

    0

    2

    10ln310

    10ln310

    NE

    WfN

    NEfdBD ss

    = ( 2.21)

    Vemos como D aumenta con el cuadrado del nmero de canales F y W son constantes. 2.3.4.2 Estimadores de frecuencia

    Al igual que en el caso de la sincronizacin de smbolo, los distintos esquemas

    de sincronizacin de portadora se basan en el uso de pilotos o en el aprovechamiento de las caractersticas del CP.

    En los algoritmos basados en pilotos, algunas subportadoras se usan para la transmisin de smbolos conocidos. Este conocimiento permite la estimacin de las rotaciones de fase, las cuales tiene una correspondencia directa con el offset frecuencial.

    Las tcnicas basadas en el CP utilizan la redundancia introducida por ste de dos maneras: creando una funcin que alcanza su mximo en al instante de offset nulo y hallando dicho mximo, o bien usando estimacin de mxima verosimilitud.

    Es interesante resaltar la relacin entre la sincronizacin temporal y frecuencial .Si deseamos facilitar sta ltima , lo podemos hacer rebajando el nmero de subportadoras, lo cual hace aumentar el espaciado entre ellas , sin embargo esto dificultara la sincronizacin temporal debido a que la disminucin en N reducira la longitud de los smbolos. Esta relacin se puede representar con la siguiente ecuacin:

    1=WNfc , donde fc es el espaciado frecuencial entre subportadoras, N el nmero de

    subportadoras y W el ancho de banda de la seal OFDM. 2.3.5 El problema del Multitrayecto

    Aunque hasta ahora slo hayamos hecho un anlisis del sincronismo considerando un canal perfecto, ahora se considerar un canal real en el cual se produce el fenmeno del multitrayecto.

    Supondremos que la longitud del CP es mayor que la de la respuesta impulsiva del canal multitrayecto, evitando as ISI e ICI debida a posibles errores en el sincronismo de smbolo.

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    Capitulo 2 :Modulacin OFDM 24

    La parte de la seal transmitida sin el prefijo es:

    ( ) ( )=

    =1

    0,

    2exp2expN

    kikc T

    ltjatfjtx para ( ) iTTTli

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    Capitulo 2 :Modulacin OFDM 25

    pmlc , es el peso para calcular la ICI sobre la subportadora m introducida por la subportadora l y Pf es el cambio de frecuencia que introduce el eco p. La ICI total viene dada por:

    =osca

    N

    mlPml

    oscaP

    c

    c

    ICImediapotenciadeseadaseallademediapotencia

    min

    1 2,

    min

    2,0

    ( 2.26)

    Si no consideramos el CP, entonces aparece ISI e ICI debido a que cada eco

    llega con un retardo p. Este fenmeno se estudia igual que si no existiera sincronismo en el receptor .Entonces si pimz ,, es el smbolo recibido en la subportadora m en el smbolo i debido al eco con retraso p se tiene:

    =osca

    pimim zzmin

    ,,, (

    2.27)

    Para cada camino, cada pimz .. tiene una ICI que se calcula igual que calculamos la ICI debida a un error de duracin p en el sincronismo.

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    Capitulo 2 :Modulacin OFDM 26

    2.4 Ecualizacin de sistemas OFDM 2.4.1 Estimacin de canal

    Las tcnicas de modulacin pueden clasificarse en coherentes o diferenciales. Cuando se usan modulacin diferencial no se necesita la estimacin de canal, ya que la informacin est codificada en la diferencia entre dos smbolos consecutivos .Esta es una tcnica comn en sistemas inalmbricos, en los que si no se necesita implementar el estimador de canal se reduce la complejidad del receptor. La modulacin diferencial se usa por ejemplo en el estndar europeo DAB.

    Los inconvenientes de la modulacin diferencial son una prdida de 3-4 dB en la

    SNR y la imposibilidad de aumentar la eficiencia espectral con constelaciones multiamplitud. Una interesante alternativa a la modulacin coherente es la modulacin DAPSK, es decir PSK con amplitud diferencial, donde la eficiencia espectral es mayor que en DPSK, y es alcanzada con una codificacin diferencial tambin de la amplitud. Esto requiere una distribucin de amplitudes no uniforme.

    Atendiendo a otros aspectos, podemos comentar que la modulacin coherente permite usar constelaciones de seal arbitrarias y es una eleccin obvia en los sistemas cableados, donde el canal es prcticamente constante en el tiempo. En sistemas inalmbricos la eficiencia de la modulacin coherente la hace interesante cuando la tasa binaria a transmitir es elevada.

    Estos esquemas de modulacin coherentes presentan el problema de la necesidad

    de ecualizacin, lo cual hace necesario el desarrollo de algoritmos de estimacin de canal.

    Aunque existe una variada gama de algoritmos de estimacin de canal, todos

    proceden de los esquemas que presentamos a continuacin 2.4.2 Estimacin de canal basado en la DFT Consideremos el siguiente esquema general:

    Figura 2.14 : Modelo OFDM continuo

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    Capitulo 2 :Modulacin OFDM 27

    La respuesta impulsiva del canal la podemos modelar usando la siguiente expresin: ( ) ( ) =

    msmm Tttg ( 2.28)

    donde las amplitudes m son valores complejos y la duracin de g(t) es inferior a la del espacio de guarda. El sistema se modela en funcin a una DFT de N puntos como:

    ( )

    += nNgXIDFTDFTY NN ( 2.29)

    donde denota la convolucin cclica, n un vector de ruido complejo y g se determina por el equivalente cclico de funciones sampling.

    ( )( ) ( )

    ( )

    = +

    kN

    eN

    Gm

    m

    m

    NkN

    j

    mkm

    sin

    sin1 1 ( 2.30)

    La validez del anterior modelo depende de cmo de bien el espacio de guarda elimine la ISI, y puede ser reescrito en base a un conjunto de N canales gaussianos independientes:

    1...0 =+= NknXHY kkkk ( 2.31)

    donde kH es la atenuacin compleja del canal dada por ( )gDFTH N= y ( )nDFTn N = es un vector de ruido gaussiano complejo. Si lo expresamos de manera matricial aparece de forma ms compacta: nXFgY += ( 2.32)

    Basndonos en el anterior desarrollo matemtico nos planteamos la posibilidad de obtener una expresin que proporcione una estimacin de la respuesta impulsiva del canal lo ms exacta posible. Para ello estableceremos dos criterios estadsticos diferentes, los cuales darn lugar a las estimaciones conocidas como MMSE (Minimum Mean Square Error) y LSE (Least Sqare Error). A continuacin se muestran los resultados obtenidos para cada uno de los dos criterios:

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    Capitulo 2 :Modulacin OFDM 28

    MMSE:

    yRRg yygyMMSE1 = ( 2.33)

    donde ( ) HHggHgy XFRgyER == ( 2.34) ( ) NnHHggHyy IXFXFRyyER 2+== ( 2.35) son matrices de varianza cruzada

    LSE

    yXg LSE1 = ( 2.36)

    2.4.3 Ecualizacin

    Partamos del modelo discreto de sistema OFDM representado en la figura 2.6, donde a partir de este punto se denominar mX a cada uno de los N smbolos que sern modulados mediante la IDFT. Las muestras de la seal OFDM resultante se puede expresar como:

    NneXN

    xN

    m

    Nnmj

    mn = =

    011

    0

    2 ( 2.37)

    donde nx representa la n-sima muestra de salida del bloque IDFT.

    Consideremos el canal discreto constituido por L muestras, la seal recibida se puede expresar como:

    Nmwxhxhxhwxhy nLnLnnnnnnlnL

    ilnn ++++=+= +

    = 0.... 11,11,0,1

    0, ( 2.38)

    donde lnh , representa la l-sima muestra compleja de la respuesta impulsiva del canal y

    nw es el ruido AWGN en el instante temporal n.

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    Capitulo 2 :Modulacin OFDM 29

    Por simplicidad se ha obviado en las ecuaciones al prefijo cclico correspondiente a las N muestras del smbolo OFDM .La seal demodulada en el dominio frecuencial se obtiene mediante la DFT de ny como:

    101

    0

    1

    0

    2

    += =

    =

    NmWeHXYN

    km

    L

    l

    Nlkjkm

    lkm

    ( 2.39)

    donde mW denota la DFT de wn y

    kmlH

    , representa la DFT de la respuesta impulsiva del canal como:

    ( )=

    =1

    0,

    N

    n

    Nkmnj

    lnkm

    l ehH

    ( 2.40)

    Si expresamos el anterior desarrollo de manera matricial obtendremos una

    expresin compacta del tipo:

    WHXY += ( 2.41)

    donde cada uno de los elementos de la matriz H puede ser reescrito como:

    ( )1,0...

    12

    1

    2

    10, +++=

    NkmeHeHHa N

    LkjkmL

    Nkjkmkm

    km

    ( 2.42)

    Dada la anterior expresin matricial el problema de la ecualizacin se centra en estimar la matriz H y calcular su inversa, lo cual requiere algoritmos encaminados hacia la reduccin de la carga computacional que las operaciones matriciales requieren. 2.4.4 Tasa de error de bit para canales AWGN

    Asumiendo que el receptor conoce con exactitud el tiempo de enventanado de la DFT, la salida del proceso de la DFT para la n-sima subportadora en [ ]sss tiTiT +, es:

    ( ) ( )dtetrt

    rss

    s

    sn

    tiT

    iT

    iTtfj

    sni

    += 21 ( 2.43)

    La ecuacin anterior muestra que la seal recibida es integrada sobre el periodo

    de smbolo completo considerado. Por consiguiente, en un canal AWGN, es preciso tener en cuenta la prdida de potencia debida a la insercin del intervalo de guarda ya que esta potencia no es utilizada para la deteccin.

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    Capitulo 2 :Modulacin OFDM 30

    A muestra de ejemplo, cuando se usa BPSK y QPSK en las subportadoras la BER es:

    ( )',,,, 21 bcoherenteQAWGNbcoherenteBAWGNb erfcPP == ( 2.44)

    donde erfc(*) es la funcin de error complementario dada por:

    ( ) dtexerfcx

    t = 22 ( 2.45) y 'b es la SNR efectiva por bit. Definiendo la SNR por bit como b se puede hacer:

    ( ) bGbs

    sb T

    t == 1' ( 2.46)

    Si se usa un sistema basado en DPSK se tiene la ventaja de poder eliminar el proceso el laborioso de recuperar las subportadoras que las tcnicas de deteccin coherente requieren, aunque sus prestaciones disminuyan. En este caso

    '

    21,

    ,beP ldiferenciaBAWGNb

    = ( 2.47) y empleando QPSK la BER es:

    ( ) ( ) ( )22210,, 21,

    baldiferenciaQAWGNb eabIbaQP

    += ( 2.48)

    ( )22222

    '

    += ba ( 2.49)

    ( )22222

    '

    ++= bb ( 2.50) Donde la funcin Q(*) queda definida como:

    ( ) ( ) ( )abIbabaebaQ j

    j

    j=

    +=0

    2221

    , ( 2.51)

    donde ( )*jI es la funcin de Bessel modificada de primera especie y orden j-simo.

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    Capitulo 2 :Modulacin OFDM 31

    2.5 ZP-OFDM 2.5.1 Introduccin

    Como ya comentamos en al apartado anterior de anlisis de un sistema OFDM, en general la trama generada por una sucesin binaria aleatoria alimenta a un bloque que realiza el mapeo de los bits segn una modulacin determinada.

    En el caso particular de ZP-OFDM (Zero Padding OFDM) los datos, una vez

    mapeados, son sometidos al proceso de Zero Padding y posteriormente se calcula su IFFT de M puntos.

    El Zero Padding no es ms que un proceso mediante el cual se aaden a los datos originales una secuencia de ceros que producen una versin sobremuestrada de la seal de informacin. Realmente lo que se hace es aadir un intervalo de guardia a la seal OFDM para que, tal y como sucede en CP-OFDM, se proteja a las seales de los efectos tan nocivos para la transmisin de las mismas como son las interferencias ICI e ISI.

    Por el contrario en los sistemas CP-OFDM, en lugar de tener ceros en el intervalo entre dos smbolos consecutivos de OFDM, se utiliza como intervalo de guarda una copia de las ltimas muestras del prximo smbolo OFDM. 2.5.2 Anlisis de un sistema ZP-OFDM

    Conceptualmente un sistema ZP-OFDM se puede representar segn la figura 2.15. La nica diferencia con los sistemas CP-OFDM estriba en el CP es reemplazado por una cola de ceros que se aaden a cada bloque ( )mX N .As pues deduciremos una relacin de entrada-salida que intente modelar matemticamente el sistema.

    Figura 2.15: Sistema ZP-OFDM

    La trama de datos de entrada ( )mxN del m-simo bloque de entrada al procesador de IFFT no es ms que un vector de N elementos que se puede representar como:

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    Capitulo 2 :Modulacin OFDM 32

    ( )

    ( )( )( )

    ( )( )( )

    =

    mxmxmx

    mxmxmx

    mx

    N

    N

    N

    N

    1

    2

    3

    3

    1

    0

    .

    .

    . ( 2.52)

    El vector de salida del bloque IFFT ( )mX N puede expresarse de forma parecida:

    ( )

    ( )( )( )

    ( )( )( )

    =

    mXmXmX

    mXmXmX

    mX

    N

    N

    N

    N

    1

    2

    3

    3

    1

    0

    .

    .

    . ( 2.53)

    Por otra parte es bien conocido que la matriz IFFT no es ms que la matriz hermtica de la matriz FFT. Denotaremos la matriz IFFT como HNF donde el superndice H denota matriz hermtica y NF es la matriz de Fourier de orden NxN. La matriz de FFT se puede escribir como:

    =

    )1)(1()1)(2()2(21

    )1)(2()2)(2()2(22

    )1(3)2(363

    )1(2)2(242

    122

    11

    111

    11111

    NNNNNN

    NNNNNN

    NN

    NN

    NN

    N

    WWWWWWWW

    WWWWWWWWWWWW

    F

    LLLL

    MMMMMMMOOOOOOMMMMMMMM

    LLLLLLLL

    ( 2.54)

  • Proyecto fin de carrera : Estudio de un sistema CDMA-OFDM Capitulo 2 :Modulacin OFDM

    Capitulo 2 :Modulacin OFDM 33

    As pues la matriz HNF ser de la forma:

    =

    )1)(1()1)(2()2(2)1(

    )1)(2()2)(2()2(2)2(

    )1(3)2(363

    )1(2)2(242

    )1()2(21

    11

    111

    11111

    NNNNNN

    NNNNNN

    NN

    NN

    NN

    HN

    WWWWWWWW

    WWWWWWWWWWWW

    F

    LLLL

    MMMMMMMOOOOOOMMMMMMMM

    LLLLLLLL

    ( 2.55)

    Los dos vectores ( ) ( )mxymX NN estn relacionados mediante la siguiente expresin: ( ) ( )mxFmX NHNN = ( 2.56) es decir: ( 2.57) ( )

    ( )( )

    ( )( )( )

    ( )( )( )

    ( )( )( )

    =

    mxmxmx

    mxmxmx

    WWWWWWWW

    WWWWWWWWWWWW

    mXmXmX

    mXmXmX

    N

    N

    N

    NNNNNN

    NNNNNN

    NN

    NN

    NN

    N

    N

    N

    1

    2

    3

    3

    1

    0

    )1)(1()1)(2()2(2)1(

    )1)(2()2)(2()2(2)2(

    )1(3)2(363

    )1(2)2(242

    )1()2(21

    1

    2

    3

    3

    1

    0

    .

    .

    .

    11

    111

    11111

    .

    .

    .

    LLLL

    MMMMMMMOOOOOOMMMMMMMM

    LLLLLLLL

    En ZP-OFDM, el Zero Padding se obtiene aadiendo una ristra de G ceros al smbolo ( )mX N , matemticamente el smbolo adquiere la forma de la ecuacin 2.58.Entonces segn la ecuacin 2.58 podemos escribir la relacin dada por la ecuacin 2.59:

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    Capitulo 2 :Modulacin OFDM 34

    ( )

    ( )( )( )( )( )( )( )( )

    ( )( )( )( )

    =

    =

    +

    +

    +

    0

    0001

    2

    1

    0

    1

    2

    1

    1

    2

    1

    0

    M

    M

    M

    MmXmX

    mXmX

    mXmX

    mXmXmX

    mXmXmX

    mX NN

    gGN

    gGN

    gN

    gN

    gN

    g

    g

    g

    gN ( 2.58)

    ( )

    ( )( )( )( )( )

    ( )( )( )( )( )( )

    =

    mxmx

    mxmxmxmx

    WWWWWW

    WWWWWWWWW

    mm

    mmmm

    N

    N

    NNNN

    NNNN

    N

    N

    N

    1

    2

    3

    2

    1

    0

    )1)(1()1(2)1(

    )1)(2()2(2)2(

    )1(363

    )1(242

    )1(21

    1-N

    2-N

    4

    3

    1

    0

    0000

    000000000000

    11

    111

    1111

    0

    000

    XX

    XXXX

    M

    LLMMMMMM

    LLLLLLLLLL

    MOOOOMLLLLLLLL

    M

    M

    ( 2.59)

    O lo que es lo mismo, podemos reescribir la misma ecuacin anterior de una

    forma simplificada: ( ) ( )mxFmX NgHNgN ,= (2.60) donde gHNF

    , es la matriz de dimensiones (N+G)xN obtenida al aadir G filas de ceros a la matriz HNF tal y como representamos en la siguiente ecuacin:

  • Proyecto fin de carrera : Estudio de un sistema CDMA-OFDM Capitulo 2 :Modulacin OFDM

    Capitulo 2 :Modulacin OFDM 35

    ( )

    =

    =

    =

    0

    0000

    000000000000

    11

    111

    1111

    )1)(1()1(2)1()1)(2()2(2)2(

    )1(363

    )1(242

    )1(21

    ,H

    Ng

    ZP

    HN

    NNNN

    NNNN

    N

    N

    N

    gHN

    FmF

    FWWWWWW

    WWWWWWWWW

    F

    LLMMMMMM

    LLLLLLLLLL

    MOOOOMLLLLLLLL

    ( 2.61)

    Donde gHNF, es la matriz de ceros de dimensiones GxN y HNF es la matriz de

    fourier inversa.

    El vector de salida del canal ( )mR gN (de dimensiones N+G puesto que los ceros aadidos no se ha eliminado todava y posteriormente a la inclusin de ruido de canal) se puede expresar como: ( ) ( ) ( ) ( )4342144 344 21

    Ruido

    GN

    IBI

    gNIBI

    gN

    gN mnmXHmHXmR +++= 1 ( 2.62)

    Las matrices del canal H y HIBI (ambas de dimensiones (N+G)x(N+G) ) vienen

    dadas por:

    =

    0121

    0121

    01221

    01221

    0132

    012

    01

    0

    00000

    0000000000000000000000000000

    hhhhhhhh

    hhhhhhhhhh

    hhhh

    hhhhh

    h

    H

    LL

    LL

    LL

    LL

    LL

    LLLLLLL

    MMMMMMMMMMMMMMMMMMMM

    LMLMMLMMM

    LMMMMMMLLLLLL

    ( 2.63)

  • Proyecto fin de carrera : Estudio de un sistema CDMA-OFDM Capitulo 2 :Modulacin OFDM

    Capitulo 2 :Modulacin OFDM 36

    =

    000000

    000000000

    0000

    0000

    1

    21

    231

    1221

    LLLMMMMMML

    LLLLLLLLL

    MMMMMMLLLLLL

    L

    LL

    L

    LL

    IBI hhh

    hhhhhhh

    H ( 2.64)

    Como sucede que LG podemos comprobar que el trmino de interferencia se

    eliminar ya que:

    ( )

    ( )( )( )( )( )( )( )

    0

    0

    00

    11

    11111

    000000

    000000000

    0000

    0000

    1

    1

    2

    4

    3

    2

    1

    0

    1

    21

    231

    1221

    =

    =

    M

    M

    LLLMMMMMML

    LLLLLLLLL

    MMMMMMLLLLLL

    mXmX

    mXmXmXmXmX

    hhh

    hhhhhhh

    mXH

    N

    NL

    LL

    L

    LL

    gNIBI ( 2.65)

    Teniendo en cuenta este ltimo resultado podemos reescribir la ecuacin de la salida del canal como: ( ) ( ) ( )43421

    Ruido

    GNgN

    gN mnmHXmR ++= ( 2.66)

    donde el producto gNHX lo podemos representar matricialmente de la siguiente forma:

  • Proyecto fin de carrera : Estudio de un sistema CDMA-OFDM Capitulo 2 :Modulacin OFDM

    Capitulo 2 :Modulacin OFDM 37

    ( )

    ( )( )( )( )( )( )( )

    =

    0

    000

    000000000000000000000000

    000

    0000000000000000000000000000000

    1

    2

    3

    3

    2

    1

    0

    0121

    01221

    01221

    0132

    012

    01

    0

    M

    M

    LLLLLLLLL

    MMMMMMMMMMMMMMMMMMMM

    LLLLLL

    LMMMMMMLLLLLL

    mXmXmX

    mXmXmXmX

    hhhh

    hhhhhhhhhh

    hhhh

    hhhhh

    h

    mHX

    N

    N

    N

    LL

    LL

    LL

    LL

    gN ( 2.67)

    Eliminar los bits de guarda en ZP-OFDM equivale bsicamente cortar las

    LG filas de la matriz ( )mHX gN para conseguir la matriz H0 de dimensiones (N+G)xN.

    As podemos expresar la salida del canal (omitiremos el ruido por

    simplificacin) tras la eliminacin de los bits de guarda mediante la siguiente ecuacin:

    ( )

    ( )( )( )( )( )( )( )

    ==

    0

    000

    000000000000000000000000

    000

    0000000000000000000000000000000

    1

    2

    3

    3

    2

    1

    0

    0121

    01221

    01221

    0132

    012

    01

    0

    0

    M

    M

    LLLLLLLLL

    MMMMMMMMMMMMMMMMMMMM

    LLLLLL

    LMMMMMMLLLLLL

    mXmXmX

    mXmXmXmX

    hhhh

    hhhhhhhhhh

    hhhh

    hhhhh

    h

    HmR

    N

    N

    N

    LL

    LL

    LL

    LL

    N ( 2.68)

  • Proyecto fin de carrera : Estudio de un sistema CDMA-OFDM Capitulo 2 :Modulacin OFDM

    Capitulo 2 :Modulacin OFDM 38

    En el caso particular de L=G, obtenemos:

    ( )

    ( )( )( )( )( )( )( )

    =

    0

    000

    111

    1111

    000000000000000000000000

    000

    000000

    1

    2

    3

    3

    2

    1

    0

    0121

    0121

    0121

    M

    M

    LLLLLLLLL

    MMMMMMMMMMLLLLLL

    mXmXmX

    mXmXmXmX

    hhhh

    hhhhhhhh

    mR

    N

    N

    N

    LL

    L

    LL

    N ( 2.69)

    Para el caso general de L>G la ecuacin anterior pasa a ser un caso especial:

    ( )

    ( )( )( )( )( )( )( )

    =

    0

    000

    111

    1111

    0000000000000000

    000

    00000000

    1

    2

    3

    3

    2

    1

    0

    0121

    012

    011

    M

    M

    LLLLLLL

    MMMMMMMMMMMMMMMMMMMM

    LLLLLL

    mXmXmX

    mXmXmXmX

    hhhh

    hhhhhh

    mR

    N

    N

    N

    LL

    L

    N ( 2.70)

  • Proyecto fin de carrera : Estudio de un sistema CDMA-OFDM Capitulo 2 :Modulacin OFDM

    Capitulo 2 :Modulacin OFDM 39

    Gracias a los ceros presentes en el vector columna podramos escribir una versin simplificada la cual sera una matriz circulante que podramos representar de esta forma: ( 2.71)

    ( )

    ( )( )( )( )( )( )( )

    =

    0

    000

    111

    1111

    00000

    000000

    000000

    00000

    1

    2

    3

    3

    2

    1

    0

    01321

    04321

    01321

    10432

    45123

    34012

    23101

    12210

    M

    M

    LLLLL

    MMMMMMMMMMLLLL

    MMMMMMMMMMLLLLLLLLL

    mXmXmX

    mXmXmXmX

    hhhhhhhhhh

    hhhhhhhhhh

    hhhhhhhhhhhhhhhhhhhh

    mR

    N

    N

    N

    LLL

    LLLL

    LLL

    LLLL

    L

    LL

    N

    Es decir: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )321

    Ruido

    NNH

    NNNNNN mnmxFhCmnmXhCmR +=+= ( 2.72)