Modelos matemáticos para Optimización de Reemplazo Preventivo e Inspecciones Preventivas

Ing. Roberto Bottini

Paradigmas

•En la industria los equipos y sistemas crecen en complejidad.

•Existen mayores exigencias a la eficiencia de los costos del ciclo de vida útil de las maquinas de producción.

•Cada fabricante intenta llegar al objetivo de calidad exigido por el mercado al mínimo costo posible.

• Desde el diseño existe la necesidad de entregar equipos o sistemas que tengan las prestaciones deseadas por el cliente y que además sean Confiables, de fácil mantenimiento y con funcionamiento seguro y económico durante su vida útil.

Objetivo de Confiabilidad y Mantenibilidad

• Queremos compartir algunas herramientas de la ingeniería de la Confiabilidad que nos permiten tomar las mejores decisiones cuando se esta cumpliendo la expectativa de vida de un sistema o componente. Nuestro enfoque se limita a aquellos componentes que presentan Desgaste por uso.

• El tiempo a la falla para cualquier componente o sistema no puede ser predecido exactamente. Si es posible obtener información de la transición entre el estado OPERATIVO al de FALLA.

• La Ocurrencia de la Falla puede únicamente ser caracterizada por las propiedades Probabilísticas de la populación Total.

• Para algunos sistemas la Falla no es Tolerada, puede ser un evento catastrófico, ahí es mandatorio considerar metodologías de CONFIABILIDAD del sistema.

OtrasTácticas

Equipos redundantes

Rediseñar

MantenimientoApropiado

(ad hoc)

Tácticas basadas en la condición

Operación hasta la falla

Actividades de monitoreo de condición

Vibraciones- monitoreo- análisis

Análisis del lubricante- condición del aceite- partículas de desgaste

Eléctrico- análisis corriente- condición del motor

E.N.D- termografía- ultrasonido- radiografía industrial

Inspecciones- por operarios- por mantenimiento

(diario/semanal)

Tácticas basadas en intervalos de tiempo u otra unidad de medida

Programa de recambio de componentes

Overhaull programado

Mantenimiento preventivo

Limpieza- durante la operación- antes del mantenimiento

Lubricación- rutinaria mientras funciona- al comienzo/final del cambio

Ajustes menores

Mantenimiento Proactivo

CONFIABILIDAD• La calidad del Ciclo de Vida de una maquina o de sus

componentes debe ser evaluada con respecto a la duracion esperada, a la complejidad de las tareas de mantenimiento , a la cantidad y gravedad de fallas ocurridas.

• Partiendo del estudio de leyes de ocurrencia de fallas, la ingenieria de la confiabilidad es el conjunto de teorias y métodos matemáticos que se traducen en procedimientos de gestión orientados a la solución de problemas de estimación y optimización de las probabilidades de supervivencia, vida media y porcentaje de tiempo de buen funcionamiento de un sistema.

La Confiabilidad Incorpora la incertidumbre a la Ingeniería.

• Podríamos decir que la certeza de un hecho (en nuestro contexto Falla de Maquina), es un acontecimiento DETERMINISTA con un resultado finito.

• En cambio la incertidumbre de un hecho seria un acontecimiento INDETERMINISTA con un resultado probabilístico.

Los Criterios de Confiabilidad Cuantitativa se difunden cada vez mas en el mundo industrial debido a varias razones :

• El aumento de la complejidad de los equipos.• Las dificultades de mantenimiento de ciertas

maquinas o sistemas.• La necesidad de reducir los pesos sin afectar la

seguridad del funcionamiento.• El cambio de visión con respecto a la

responsabilidad civil vinculada a la producción y comercialización de un producto.

Teoría de las Probabilidades• La ocurrencia de Fallas a lo largo

del Ciclo de Vida de una populacion similar de componentes toma la forma Distribuciones de Probabilidades conocidas.

• Estas distribuciones pueden ser estimadas por testeo o vía el análisis de datos operativos (ej. Weibull).

•• Teniendo en cuenta siempre que

la probabilidad de que un evento ocurra (Falla de equipo) es siempre algún numero entre 0 y 1 de acuerdo a la teoría de la probabilidad.

Las distribuciones representan familias de curvas graficas que varían en forma, porque difieren las ecuaciones de las funciones a las cuales representan.

1- Mortalidad Infantil

– Inadecuada Instalación.

– Error armado-reparación.

– Problemas de Calidad

Tasa de Falla λ<1

EL modelamiento de las probabilidades de falla esta condicionado a la etapa de vida en que se encuentre el elemento.Con la curva de la bañera es posible modelar el comportamiento en cada una de las tres etapas de la tasa de falla a través de leyes conocidas de probabilidades.

2- Fallas Aleatorias durante la vida Útil.

– Independientes del Tiempo.– Errores de Mantenimiento.– Electrónica.– Mezcla de Errores.– Averías por contaminación

externa (aceite).

Tasa de Falla λ= cte

3- Desgaste por Envejecimiento

– Low Cicle Fatiga en TG.– Rodamientos.– Corrosión.– Correas.– Corrosión bajo Stress.– Materiales frágiles.– Materiales Cerámicos.– Algunas formas de erosión.

Tasa de Falla λ > 1

481345678752FALLAS

TOTALOCTUBRESEPTIEMBREAGOSTOJULIOJUNIOMAYOABRIL MARZO FEBRERO ENEROMES

HISTOGRAMA

024

68

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

MESES

FALL

AS

Serie1

• Comúnmente usamos un simple histograma (Falla-mes) para estudiar la ocurrencia de las Fallas y su impacto en la disponibilidad de equipos.

Sin embargo en estudios de Confiabilidad y Mantenimiento necesitamos utilizar funciones continuas, debido que la variable tiempo a la falla es continua. Entonces transformamos el Nro de fallas por mes en probabilidades. Empezamos por la función densidad de probabilidad de fallas (pdf) que indica la probabilidad de que ocurran fallas entre el intervalo t1 y t2, Dado que inevitablemente el componente analizado acabara por estropearse, el área bajo la curva de la función f (t) será igual a 1 si se sitúa el limite temporal superior en + infinito.

FUNCIÓN pdf

0

5

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

meses

f(t)

Probability Density Function pdf

Cumulative Distribucion Function cdf .En estimaciones de Confiabilidad necesitamos determinar la probabilidad de que una falla ocurra antes de un determinado tiempo t . La podemos encontrar con la Función acumulativa cdf. Que es representada por el área bajo la curva desde - ∞ a t, y nos indica la probabilidad de acumulación de fallas transcurrido t (el fracaso).

cdf =

Tiempo t

Funcion Reliability R (t).La Confiabilidad es la función complementaria a la cdf. La probabilidad de éxito, es decir que sobrevivan sin falla transcurrido el mismo tiempo t. Representando el área bajo la curva desde t a infinito.

R(t)= 1- cdf

Tiempo t

El ultimo tipo de función que tenemos derivada de las anteriores es la Función Riesgo, también llamada función tasa de falla f (λt) en determinados contextos como el de mantenimiento.

h (t) Función riesgo = pdf/1-cdf

Estas cuatro funciones pueden a su vez especificarse a través de las distribuciones estadísticas que adopten, que como vimos serán distintas en las varias etapas de la vida del componente.

Tasa de Riesgo• Supongamos como analogía que un auto tarda para

hacer 200km 4hs. El promedio de velocidad es 50km/h, sin embargo el conductor en algunos tramos fue mas ligero y en otros mas despacio La velocidad en cada instante esta indicada por el velocímetro. La velocidad instantánea leída es análoga a la tasa de Riesgo Hz mientras que el promedio de 50Km/h es la Tasa de Falla.

Las cuatro funciones que definimos pueden usarse una vez que los datos REALES de ocurrencia de falla han sido transformados en las distribuciones estadisticas que adopten.

Afortunadamente, los datos reales de fallas, generalmente modelan alguna distribucion estadistica conocida. En la figura vemos las funciones de Probabilidad, Acumulativa y Riesgo para :

– Dist. Exponencial– Dist. Normal – Dist. Lognormal – Dist. Weibull

Como ya la distribución de fallas de diferentes tipos de maquinaria no son las mismas. Aun la distribución de fallas de idénticas maquinas varia si están sujetas a diferentes solicitaciones. Hay un numero conocido de Funciones pdf diferentes, que describen las características de falla de maquinaria.

En la figura vemos las funciones de Probabilidad, Acumulativa y Riesgo para :

• Dist. Exponencial• Dist. Normal • Dist. Lognormal • Dist. Weibull

En estudios de Confiabilidad para Optimizar Reemplazo Preventivo u Overhaul son importante las siguientes premisas:

1- La tasa de falla del equipamiento debe ser creciente. Desgaste por Uso. Esta evidencia puede ser obtenida realizando una análisis de Weibull.

1- El Costo total del reemplazo debe ser mayor DESPUES de la falla que ANTES. Debería tener como causal una gran perdida de Producción o efecto domino sobre otros equipamientos.

Para tasa de falla menor o igual a 1 no es conveniente Reemplazo preventivo u Overhaul. Por lo tanto el Mantenimiento preventivo de propósitos generales que no retorna el equipamiento a nuevo sigue siendo apropiado para componentes sujeto a tasa de falla constante. (Ej. Inspecciones menores).

Figura 12. Predecibilidad estadística

Distribución de fallas

f(t)

Tiempo

Caja reductora(buena predecibilidadi.e.pequeña incerteza)

Motor eléctrico(pobre predecibilidadi.e. gran incerteza)

• Vemos entonces que la Ingeniería de la confiabilidad nos da herramientas para iniciar la batalla contra la incertidumbre de las fallas en las plantas complejas.

• Podemos describir varias distribuciones de fallas y ver qué podemos aprender de ellas para gestionar los recursos de mantenimiento. Convirtiendo el conocimiento ganado de ellas en acciones proactivas.

• Prediciendo cuando las fallas probablemente ocurrannosotros podemos determinar el mejor momento para el mantenimiento Preventivo (Reemplazo Preventivo) y las políticas de mantenimiento relacionadas con el periodo optimo para operar hasta la falla o inspección

Como Incorporar estas Características de Confiabilidad ?

• Realizando un análisis Cualitativo– Que indicara el tipo y clase de fallas que van

a presentarse en los componentes del sistemas. (Camino del RCM).

• O Bien ampliarse a un campo Cuantitativo– Proporcionando las probabilidades

numéricas correspondientes.

• El objetivo es entender el problema, pronosticar fallas y analizar riesgos para tomar mejores decisiones de mantenimiento.

• Estas decisiones impactan el momento elegido para reemplazo, reparación o Overhaul de Maquinaria, como así también optimizar cualquier otra tarea de gestión del mantenimiento principalmente las inspecciones y gestión de repuestos.

• En Síntesis:

– Utilizar datos históricos de fallas.

– Utilizar la función apropiada que representa nuestra situación.

– Construir un modelo matemático que represente el problema en estudio.

– Con los datos históricos analizamos los resultados gráficos del modelo matemático empleado.

– Con éste análisis tomamos las decisiones de mantenimiento óptimas.

Modelos Matemáticos• Una de las principales herramientas en este

avance científico hacia la optimización de las decisiones de Gestión son los modelos matemáticos como simple representación del problema en estudio.

• En la aplicación de técnicas cuantitativas de Optimización del Mantenimiento, el tipo de modelo usado es frecuentemente un modelo simbólico donde los componentes del sistema están representados por símbolos y la relación de estos componentes esta representada por ecuaciones matemáticas.

Reemplazo Preventivo Optimo de un ítem sujeto rotura

• Construcción del Modelo Decimos que el costo total de reemplazo es

C(tp)=Costo Total esperado del Reemplazo por ciclo

Tiempo Esperado del ciclo.

Modelo Matemático utilizado

• Cp: costo del Reemplazo Preventivo.• R(tp): es la confiabilidad. Multiplicamos aquí el costo del

éxito por la probabilidad de lograrlo.• Cf: costo total del Reemplazo por Falla. • 1- R(tp): Es la Inconfiabilidad. Multiplicamos aquí el costo

del fracaso por la probabilidad de fracasar.• tp: tiempo medio del Reemplazo Preventivo.

• es el tiempo medio a la falla MTTF (para el intervalo de reemplazo).

• f(t): es la función pdf para la distribución normal o distribución de Weibull para beta >1

Aplicación Optimización Rebobinado de Motores Eléctricos de 1500HP.

Tabla 3.2. Fallas en bobinados de grandes motores: datos de falla y cálculos de riesgo

7.6916.0325.12

36.2348.7363.01

7.698.339.09

11.1112.5814.29

888888

1011a

12a

13a

1315a

16a

17a

171718b

181818

2019181716151413121110987654321

C-70C-71AC-71BP-70AP-70BP-71C-25C-11C-52C-13C-31C-53C-41C-91

C-32AC-32BC-01C-30C-50C-51

Riesgo acumuladoRiesgoAñosRangoMotor

a Fallas en bobinadosb Remplazo preventivo de los bobinados

6 fallas ocurridas antesde la expectativa de vidade 18 años.

Aplicación Optimización Overhaull para caso de Motores Eléctricos de 1500HP.

Tabla 3.2. Fallas en bobinados de grandes motores: datos de falla y cálculos de riesgo

7.6916.0325.12

36.2348.7363.01

7.698.339.09

11.1112.5814.29

888888

1011a

12a

13a

1315a

16a

17a

171718b

181818

2019181716151413121110987654321

C-70C-71AC-71BP-70AP-70BP-71C-25C-11C-52C-13C-31C-53C-41C-91

C-32AC-32BC-01C-30C-50C-51

Riesgo acum uladoRiesgoAñosRangoM otor

a Fallas en bobinadosb Remplazo preventivo de los bobinados

Ploteo de Weibull para determinar parámetros de la distribución de fallas.

• El procedimiento es plotear en Weibull los datos representativos de la falla contra la función cdf. Obteniendo un factor de forma beta de 4.3.

• Demostrando que las ocurrencias de falla se suceden dentro de la distribución normal de desgaste por uso y en consecuencia es consistente el uso de modelos matemáticos para optimizar el tiempo de rebobinado.

Factor Beta 4.3

Distribución de Weibull (cuanto más chica la dispersión mayor el factor de forma y mejor la estimación).

Resultado de cálculos utilizando modelo matemático

(. )pt f t dt∫pt ( )pR t 1 ( )pR t− ( )pC t ( )ph t

2,5395,0618,141,000,0025

2,0495,0218,121,000,0024

1,6394,7618,001,000,0023

1,2793,5817,600,980,0222

0,9890,1116,600,930,0721

0,7382,9214,750,850,1520

0,5471,6812,090,710,2919

0,3857,719,000,550,4518

0,2643,296,020,380,6217

0,1730,553,590,240,7616

0,1020,761,890,130,8715

0,0514,260,860,060,9414

0,0310,680,320,020,9813

0,019,280,090,000,9912

0,009,270,020,001,0011

0,0010,010,000,001,0010

0,0011,110,000,001,009

0,0012,500,000,001,008

0,0014,290,000,001,007

0,0016,670,000,001,006

0,0020,000,000,001,005

0,0025,000,000,001,004

0,0033,330,000,001,003

0,0050,000,000,001,002

0,00100,000,000,001,001

0Cálculo términos modelo matemático

Gráfico Resultante

Gráfico Resultante

0102030405060708090

100

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

Edad,t (Años)

C(tp

) K$

Curva de Costo Total

Gráfico Resultante

0102030405060708090

100

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

Edad,t (Años)

C(tp

) K$

Curva de Costo Total

Gráfico Resultante

0102030405060708090

100

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

Edad,t (Años)

C(tp

) K$

Curva de Costo Total

Gráfico Resultante

0102030405060708090

100

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

Edad,t (Años)

C(tp

) K$

Curva de Costo Total

Costo Mínimo Reemplazo Óptimo

Tiempo Óptimode rebobinado11 /12 años

Costos esperados de reemplazo en función del tiempo para Motor Eléctrico Falla Bobinado

Costo del mantenimiento preventivo por downtime

Costo del recurso de mantenimiento preventivo

Costo del mantenimiento correctivo por downtime (paradas imprevistas)

Costo del recurso de mantenimiento correctivo

Curva de costo total

=) Tp

Costo

Reemplazo Óptimo

Ctp MINIMO

Tp óptimo Rebobinado =12 /13 años

Modelos Matemáticos para el intervalo Optimo de Inspección y sus Beneficios

• El propósito básico es determinar el estado del equipo, obteniendo el máximo beneficio y las mínimas perdidas.

1. FRECUENCIA DE INSPECCION: Para equipamiento que es en operación continua y sujeto a falla.

2. INTERVALOS DE INSPECCION: Para equipamiento usado solamente en condiciones de emergencia.

3. MONITOREO DE CONDICION.

1. Mientras que con el reemplazo preventivo u overhaul nos situamos en la última parte de la curva de la bañera, con las inspecciones estamos actuando en la parte de Vida Útil, donde las fallas son aleatorias y responden a la Distribución exponencial negativa.

MTTF = 1/λ2. Tiempo de reparación 1/µ Nº reparaciones

/unidad de tiempo3. Política de Inspección 1/i Nº inspecciones/unidad

de tiempo4. Expresamos con B al valor del beneficio si no hay

paradas.5. Costo promedio de la Inspección por unidad de

tiempo I.6. Costo promedio de reparación por unidad de tiempo

no interrumpido R.

Construimos ahora un modelo para Optimizar la frecuencia de las inspecciones

Frecuencia Óptima de Inspección

Beneficio / unidad de tiempo

Pérdidas de beneficio debidas a inspecciones

Costo de Inspecciones

Pérdidas de beneficio debidas a reparaciones

Costos de Reparaciones

Frecuencia de Inspección, n

Cos

to /

Uni

dad

de T

iem

po

•B: Beneficio de la operación no interrumpida por unidad de tiempo.• Perdida de Beneficio por Reparaciones, donde λ(n) es el Nº de Reparaciones y µ el tiempo medio de reparaciones MTTR.• Perdida de Beneficio por inspecciones, donde n es el Nº de Inspecciones e i el tiempo medio para las inspecciones.•R es el costo promedio de reparaciones.•I es el costo promedio de inspecciones.

P(n)= - B -B -R -IB

P(n): Valor del Beneficio con operación interrumpida por reparaciones en la unidad de tiempo.

= B - --

Debemos hallar el n (Nº de Inspecciones) que resuelva esta ecuación.Decimos que:

K es la tasa de falla, cuando realizamos una inspección por unidad de tiempo.Asumimos que n es inversamente proporcional a λ (es cierto, al aumentar el número de inspecciones disminuye la tasa de falla)

2( ) Knn

λ −′ =

0=

Despejando: ( ) B InB R i

μλ +′ = − ×+

Derivando

• Igualando:

con2( ) Kn

nλ −′ =

Obtenemos:

De donde despejando n, resulta:

n ES EL NÚMERO ÓPTIMO DEINSPECCIONES A REALIZAR

( ) B InB R i

μλ +′ = − ×+

Resolviendo la anterior ecuación y despejando despejando n, resulta:

n ES EL NÚMERO ÓPTIMO DEINSPECCIONES A REALIZAR

• La premisa fundamental sobre la que se basa el Mantenimiento Planificado es muy sencilla, no basta con reparar la avería una vez ocurrida, sino que es necesario prevenirla. Con este objetivo nosotros realizamos inspecciones periódicas de los equipos y rectificamos cualquier menor defecto. Lógicamente estas inspecciones tienen costo en términos de M.O. , insumos, materiales y Hs de Producción.

• El Objetivo es determinar la política de Inspección que dé el balance correcto entre el número de inspecciones y los beneficios resultantes de su aplicación.

PRECISIÓNPRECISIÓN INCREMENTAR

TAREAS

PROACTIVAS y SU

PLANIFICACION.

INCREMENTAR

TAREAS

PROACTIVAS y SU

PLANIFICACION.

WEIBULL y

Modelos

matemáticos

de

Optimización.

WEIBULL y

Modelos

matemáticos

de

Optimización.

BUENA PRÁCTICA GENERAL DE MANTENIMIENTO!!!

La importancia de la confiabilidad también depende del alcance que demos a nuestra probabilidad de éxito, a veces llamado Factor de Servicio F= 1- R(t). Pensemos que tener un factor de servicio del 99 % seria bastante bueno ….Sin embargo en EEUU ocasionaría :

• Una hora de agua no potable por mes.• Dos aterrizajes peligrosos por día en JFK. • 10.000 piezas de correo perdidas por hora.• 20.000 prescripciones incorrectas de

medicamentos por año.• 22.000 cheques deducidos de la cuenta

equivocada por hora.

Fuentes consultadas para el presente trabajo:

• Andrew Jardine, Universidad de Toronto, Canada

• Albert Tsang, Hong Kong Politechnic University• Adolfo Arata, Universidad Santa Maria, Chile.• John Campbell, PriceWaterhouseCoopers,

Canada • Heinz Bloch, Machinary Reliability Assesment.• Luciano Furlaneto, Politecnico de Milan.

Preguntas ?

MUCHAS GRACIAS !!

Ing. Roberto Bottiniroberto.bottini@fi.austral.edu.ar