Imagen nocturna satelital

En esta imagen podemos visualizar los niveles depoblacin de las ciudades del planeta Tierra por lacantidad de luz que stas irradian de noche.

Parece ser uno de los rasgos fundamentales de la naturalezael que las leyes fsicas se describan en trminos de una teoramatemtica de gran belleza y poder, necesitndose unasmatemticas enormemente elevadas para entenderlas. Se puedeuno preguntar: por qu la naturaleza est construda a lo largode estas lneas? Solamente se puede responder que nuestroconocimiento presente parece mostrar que la naturaleza estconstruda de esta forma. Lo nico que podemos hacer essimplemente aceptarlo.

Paul A. M. DiracFsico britnico(1902-1984)Premio Nobelde Fsica en 1933.

Estos fascculos estn disponibles en lnea, visitando lapgina web: http://www.fpolar.org.ve/matematica2

Modelos matemticos

Fundacin Polar ltimas Noticias El mundo de la matemtica Modelos matemticos 17130

El proceso de calcular el volumen de una naranja, suponerla de forma esfrica oconsiderarla seccionada y cada seccin inscrita en un cilindro, se correspondecon una simplificacin y abstraccin de la realidad. Este es un ejemplo de modeloesttico.

De igual forma, el grafo creado por Euler, presentado antes paraesquematizar el problema de los 7 puentes, es un ejemplo de modelomatemtico: es una abstraccin de la ciudad y de los puentes y unasimplificacin del fenmeno real. El modelo refleja, sin embargo, losaspectos sustanciales que son relevantes a la situacin en estudio.

Ro Pregel

Una definicin de modelo matemtico es la siguiente: un modelo matemtico es unaconstruccin matemtica abstracta y simplificada relacionada con una parte de larealidad y creada para un propsito particular. As, por ejemplo, un grfico, una funcino una ecuacin pueden ser modelos matemticos de una situacin especfica.

Las bondades de un modelo dependern de la situacin a sermodelada y del problema planteado. Diferentes modelos de unamisma situacin producirn diferentes simplificaciones de la realidady, en consecuencia, dan lugar a distintos resultados. Tambin, unmismo modelo puede servir para distintas situaciones. Por ejemplo,la funcin f(t)= Kert puede modelar tanto el crecimiento durante eltiempo t de una poblacin que posea inicialmente K individuos conuna tasa instantnea relativa de crecimiento r; as como puedemodelar la capitalizacin continua de una suma de dinero K colocadaal r% durante el tiempo t, para lo cual basta reinterpretar lasconstantes y variables de acuerdo al contexto especfico.

Interesante

Una caracterstica resaltante del proceso de modelado matemtico, la cual lo distingue de otros procesos matemticos,es que las ms de las veces la persona que debe desarrollar un modelo posee informacin incompleta y an las preguntasa ser respondidas pueden ser vagas.

Existen diferentes tipos de modelos matemticos: discretos, continuos, dinmicos, estticos,

Un esquema que representa bastante bien el proceso de modelado matemtico es el siguiente:

Especificacin delproblema (puede ser en

lenguaje natural)

Modelo matemticoResultados

Situacin real

Matematizacin

Uso de herramientasmatemticas (definiciones,

propiedades, teoremas,algoritmos,...)

InterpretacinContrastacin

Evaluacin

Si los resultados noson satisfactorios

afinamos el modelo

Modelo de la poblacin en Espaa.Ao 2002.

Diagrama de barrasPoblacin mundial 1950-90

6 000

5 000

4 000

3 000

2 000

1 000

aos

t

PMillones dehabitantes

Fundacin Polar ltimas Noticias El mundo de la matemtica Modelos matemticos 17 131

Si hemos recopilado datos sobre lapoblacin mundial qu podemoshacer con ellos para construir unmodelo que describa el comporta-miento del crecimiento de lapoblacin y que permita, entre otrascosas, hacer predicciones?

Poblacin Mundial Ao Poblacin1950 2 555 360 9721960 3 039 669 3301970 3 708 067 1051980 4 454 389 5191990 5 284 679 123

Fuente: U.S. Bureau of the Census,International Data Base.

En primer lugar se puede observar que en los datos estn presentesdos variables: el tiempo t y el nmero de habitantes (poblacin,que denotamos por P). Como la poblacin vara al transcurrir eltiempo, el modelo es dinmico: P = P(t).

Inicialmente podemos representar en forma grfica los datos paradeterminar si tienen algn comportamiento especial que ayude a darrespuesta a la pregunta formulada.

Poblacin mundial 1950-90

6 000

5 000

4 000

3 000

2 000

1 000

19

50

19

60

19

70

19

80

19

90 aos

t

PMillones dehabitantes

19

50

19

60

19

70

19

80

19

90

Observamos que la poblacin se ha incrementado en los perodos considerados. Sin embargo, estosgrficos no permiten hacer predicciones sobre la poblacin en aos posteriores a 1990.

Para determinar si existe un patrn en los datos, podemos calcular, por ejemplo, las diferencias (variacinabsoluta de la poblacin entre perodos consecutivos), el crecimiento promedio cada 10 aos (crecimientointeranual) y luego hacer el clculo relativo porcentual respecto de la poblacin al inicio del periodo, as comoel cociente entre datos consecutivos.

Ao Poblacin1950 2 555 360 9721960 3 039 669 3301970 3 708 067 1051980 4 454 389 5191990 5 284 679 123

484 308 358 48 430 835,8 1,90 1,189 526 40668 397 775 66 839 777,5 2,20 1,219 891 61746 322 414 74 632 241,4 2,01 1,201 269 93830 289 604 83 028 960,4 1,86 1,186 398 07

Variacinabsoluta en el

perodoP(t+10) -P(t)

Tasa media decrecimiento por ao

en el perodo

P(t+10)-P(t)10

Tasa media decrecimiento relativo

por ao

P(t+10)-P(t)10P(t) 100%

Cocientesen el perodo

P(t+10)P(t)

En principio no se observa ningn patrn en los resultados obtenidos: Sin embargo notamos, por ejemplo,que las variaciones absolutas oscilan entre 484 y 831 millones de habitantes.

Situacin D

Fundacin Polar ltimas Noticias El mundo de la matemtica Modelos matemticos 17132

En el cuadro de poblacin mundial anterior tambin podemosobservar que el crecimiento promedio relativo est entre 1,86%y 2,2 %; y los cocientes entre 1,18 y 1,22. Tambin con estosdatos podemos calcular promedios de los resultados obtenidos,por ejemplo:

Promedio tasa de crecimientorelativa 1950-1990

1,9 + 2,2 + 2,01 + 1,86

4

Esto significa un crecimientopromedio del 1,99% anual

1,99

Promedio crecimiento anual 1950-1990

48 430 835,8 + 66 839 777,5 + 74 632 241,4 + 83 028 960,4

4 68 232 954

El modelo que queremos construir debe poseer dos caractersticasesenciales. Por una parte, permitir la posibilidad de calcular las poblacionesen aos intermedios, es decir interpolar; y por otra parte, hacerpredicciones sobre poblaciones futuras: extrapolar.

Para interpolar podemos usar algunos promedios calculados. Por ejemplo, para el ao 1961 consideremoscomo valor aproximado la poblacin del ao 1960 agregndole el promedio interanual entre los aos 60y 70 (66 839 777,5 habitantes):

Poblacin ao 1961 3 039 669 330 + 66 839 777,5 = 3 106 509 107,5 habitantes.La poblacin mundial real para el ao 1961 era de 3 080 461 502 habitantes. De esta manera el errorabsoluto cometido es:

3 106 509 107,5 - 3 080 461 502 = 26 047 605,5 habitantes.

Y el error porcentual es 100 0,85%, lo cual es bastante aceptable.26 047 605,53 080 461 502

RetoCalcula la poblacin del ao 1961 usando la tasa decrecimiento relativa del perodo 1960-1970 de 2,2%.Determina el error y el porcentaje del error.

Retomemos el primer grfico.

Podemos unir los puntos del grfico con segmentosde recta y hallar las ecuaciones de cada segmento.Por ejemplo:Ecuacin del segmento BC es:

P = 66 839 777,5 (t-1960) + 3 039 669 330 1960 t 1970

Ecuacin del ltimo segmento DE es:P = 83 028 960,4 (t-1980) + 4 454 389 519

1980 t 1990

Si prolongamos indefinidamente el segmento DE podramos extrapolar la poblacin para aos posterioresa 1990, con valores aproximados. Por ejemplo, la poblacin para el ao 2000:

Poblacin ao 2000: P 83 028 960,4 (2000 - 1980) + 4 454 389 519 6 114 968 727

Como la poblacin mundial real para el ao 2000 era de 6 085 478 778, entonces el error absolutocometido es 29 489 949 y el error porcentual es 0,48%, que es bastante pequeo.

Poblacin mundial 1950-90

6 000

5 000

4 000

3 000

2 000

1 000

19

50

19

60

19

70

19

80

19

90 aos

t

PMillones dehabitantes

AB

CD

E

Fundacin Polar ltimas Noticias El mundo de la matemtica Modelos matemticos 17 133

Poblacin mundial 1950-90Los puntos rojos son los datos reales

y los azules son los obtenidos por la progresin

6 000

5 000

4 000

3 000

2 000

1 000

19

50

19

60

19

70

19

80

19

90 aos

t

PMillones dehabitantes

AB

CD

E

Otra manera de proceder es considerar que el crecimientoanual de la poblacin es constante en todo el lapso1950-1990.

Por ejemplo podemos fijar como constante al promediode crecimiento anual r = 68 232 954.Al tomar como P(t) la poblacin en el ao t:

P(1950)=2 555 360 972

P(1951)= P(1950+1) = 2 555 360 972 + 68 232 954

= 2 623 593 926

P(1952)= P(1952+2) = 2 555 360 972 + 2 68 232 954

= 2 691 826 880

P(1950 + n) = 2 555 360 972 + n 68 232 954

Progresin AritmticaPn = P0+ nr

Poblacin inicial P0 = 2 555 360 972Razn r = 68 232 954

Un Modelo Discreto Lineal delcrecimiento de la poblacin mundial

Si en lugar de tomar la variable discreta n, queslo toma valores enteros no negativos, lasuponemos variando en el conjunto de losnmeros reales, obtenemos el modelo linealcontinuo:

P(t) = 68 232 954 (t-1950) + 2 555 360 972

t 1950,

cuya grfica es una semirrecta.

Ao Valor segn Estimacin % Errorfuente* con Pn

1955 2 779 968 031 2 896 525 742 4,19

1961 3 080 461 502 3 305 923 466 7,32

1972 3 862 348 766 4 056 485 960 5,03

1987 5 022 989 632 5 079 980 270 1,13

2000 6 085 478 778 5 967 008 672 1,95

2020 7 510 699 958 7 331 667 752 2,38

2040 8 623 136 543 8 696 326 832 0,85

2050 9 050 494 208 9 378 656 372 3,63* Fuente: U.S. Bureau of the Census, International Data Base.

Cuando interpolamos con Pn los errores cometidos estn en promedio por el orden del 4,42 %. Sin embargo,en el ao 1987 el error es del orden 1,13%. Cuando extrapolamos con Pn los errores cometidos estn enpromedio por el orden del 2,20%.

6 000

5 000

4 000

3 000

2 000

1 000

19

50

19

60

19

70

19

80

19

90 aos

t

PMillones dehabitantes

RegresinLineal

Interesante

Hay varias rectas que pasan muy cerca de los puntos A, B,C, D y E. Pero existe una que se obtiene por un mtodoconocido con el nombre de mnimos cuadrados llamada rectade regresin lineal.Esta recta es usada frecuentemente para ajustar un conjuntode puntos (nube de puntos) y sirve para interpolar y extrapolar.

Inte

rpo

laci

n

Ext

rap

ola

ci

n

n = 0, 1, 2, ...

Comparacin de resultados

AB

C

DE

Fundacin Polar ltimas Noticias El mundo de la matemtica Modelos matemticos 17134

Otra manera de proceder es considerar que la tasa media decrecimiento relativo es constante en todo el perodo 1950-1990.

Podemos fijar como constante al promedio de las tasas crecimiento r = 1,99%. De esta manera

P(1950) = 2 555 360 972

P(1951) = P(1950) + P(1950) = P(1950) 1,0199

P(1952) = P(1950) (1,0199)2

P(1950 + n) = 2 555 360 972 (1,0199)n , n =1 ,2, ...

Poblacin mundial 1950-90Los puntos rojos son los datos

reales y los azules losobtenidos por la progresin

6 000

5 000

4 000

3 000

2 000

1 000

19

50

19

60

19

70

19

80

19

90 aos

t

PMillones dehabitantes

Progresin GeomtricaPn = P0 (1,0199 )n

Poblacin inicialP0 = 2 555 360 972

Un Modelo ExponencialDiscreto del crecimientode la poblacin mundial

Si en lugar de tomar la variable discreta n,que slo toma valores enteros no negativos,la suponemos variando en el conjunto delos nmeros reales, obtenemos el modeloexponencial continuo:

P(t) = 2 555 360 972 (1,0199)t-1950, t1950

Ao Valor segn Estimacin % Errorfuente* con Pn

1955 2 779 968 031 2 819 942 263 1,44

1961 3 080 461 502 3 173 845 393 5,15

1972 3 862 348 766 4 800 596 395 24,29

1987 5 022 989 632 5 297 648 673 5,47

2000 6 085 478 778 7 261 136 853 19,32

2020 7 510 699 958 10 150 412 281 35,15

2040 8 623 136 543 15 053 431 758 74,57

2050 9 050 494 208 18 332 067 005 102,55* Fuente: U.S. Bureau of the Census, International Data Base.

Cuando interpolamos con Pn los errorescometidos estn, en promedio, por el ordendel 3,53 %.

Cuando extrapolamos con Pn los erroresestn por encima del 19%, llegando a msdel 100% en el ao 2050.

Inte

rpo

laci

n

Ext

rap

ola

ci

n

1 000

PMillones dehabitantes

2 000

3 000

4 000

5 000

Ale

jan

dro

Mag

no

Gu

erra

s P

n

icas

Imp

erio

Ro

man

o

Ati

la

Exp

ansi

n

del

isla

m

Las

Cru

zad

as

Mar

co P

olo

Des

cub

rim

ien

to d

e A

mr

ica

Rev

olu

ci

n in

du

stri

al

hoy

t

-500 -250 0 250 500 750 1000 1250 1500 1750

Evolucin de la poblacin humana

n = 0, 1, 2, ...

Comparacin de resultados

6 000

1,99100

Fundacin Polar ltimas Noticias El mundo de la matemtica Modelos matemticos 17 135

En Venezuela hay diversos institutos de investigacin como el InstitutoVenezolano de Investigaciones Cientficas -IVIC-, Instituto de EstudiosSuperiores de Administracin -IESA-, Instituto de Mecnica de Fluidos dela Universidad Central de Venezuela (IMF-UCV) y de otras universidades,los cuales llevan a cabo la elaboracin y aplicacin de modelos en distintoscampos, como son: la ingeniera, la medicina, la biologa, la economa, entreotros.

A continuacin se presenta un modelo realizado por el Instituto de Mecnicade Fluidos de la Facultad de Ingeniera de la Universidad Central de Venezuela, en el que se estudianprincipalmente fenmenos hidrulicos sedimentarios, como: flujo y sedimentacin en grandes ros,transporte de sedimentos por chorros, variacin del ancho y pendiente de ros al cambiarle su caudalmedio anual, propagacin de ondas y dispersin de manchas de petrleo en grandes cuerpos de aguay diseo de barreras neumticas.

Estos estudios conllevan a formular modelos.

Transporte de arena por chorro de agua (2004)Realizado por Noem Gonzlez, Francisco Marques y Marco Falcn.

Actualmente se investiga el fenmeno en el cual un chorro de agua consedimento es descargado verticalmente hacia arriba (contra la gravedad) ohacia abajo. Este problema tendr aplicacin en la evolucin de descargasdesde las dragas que profundizan el lecho del ro Orinoco para mejorar lascondiciones de navegacin fluvial. Tambin es mencionado en la literaturacomo la explicacin de la topografa circundante a volcanes.

En este modelo se utilizan herramientas matemticas avanzadas de clculoque conducen a la solucin de una gran cantidad de ecuaciones lineales simultneas (un sistema deecuaciones lineales), el cual es un problema sencillo para una computadora.

A mediados de la dcada 1830-1840 el biomatemtico belga Verhulst trabaj en laconstruccin de un modelo que describiera el comportamiento del crecimiento delas poblaciones de Francia y Blgica, concluyendo que dicho comportamiento lomodela una curva, que toma en cuenta las tasas de natalidad y mortalidad de lapoblacin y conocida como curva logstica, cuya expresin es de la forma:

P(t) =

donde P0 es la poblacin inicial, t0 el momento donde comenzamos a estimar lapoblacin, a y b son constante positivas relacionadas con las tasas de natalidad ymortalidad y la influencia del medio ambiente.Este tipo de modelo continuo es bastante bueno para estudiar el comportamientodel crecimiento de poblaciones de bacterias, moscas, pulgas, etc, que crecen hastacierto lmite.En 1920 R. Pearl y L. Reed, aplicaron este modelo a la poblacin de Estados Unidos,obteniendo la ecuacin logstica:

P(t) =

Con esta ecuacin los errores que se cometen al comparar con los censos cada 10aos entre 1790 y 1950 estn por el orden mximo del 3,8 %.Los modelos discretos que miden la evolucin de poblaciones parecen ser msexactos que los continuos. Estos modelos fueron introducidos por el biomatemticoRobert M. May (1936- ) en 1975, para el estudio de poblaciones de insectos,obteniendo una frmula dada por recurrencia: Pn+1= Pn (Pn).

aP0bP0 + (a-bP0 )e

-a(t-t0)

19 727 3001+e-0,031 34 (t - 1 913,25)

200

400

600

800

Crecimientoen millones

17

50

18

00

19

00

18

50

19

50

19

88

20

50

0

2

4

6

8

Poblacinen milesde millones

Crecimientode la poblacin

Poblacintotal mundial

10

Pierre Franois Verhulst(1804-1849)

P

tP0

ab

Grfica de una curva detipo logstico

a2b

t0=0

Modelos en VenezuelaEntrada al Lago deMaracaibo tomada

por satlite de laNASA.

La matemtica aplicada y los modelosmatemticos: Una breve historia.

Tiempo remotoLa matemtica nace en relacin directa conel mundo de nuestra experiencia sensible.El origen de sus ideas es el resultado de unproceso que busc entender y explicarhechos y fenmenos de la realidad.Inicialmente fue el nmero con los babiloniosy sumerios, y a esto se aadi el estudio dela forma con los egipcios y los griegos. Deall surgi la antigua definicin de matemticacomo la ciencia que estudiaba los nmeros,las magnitudes y las formas. Ese estudiose organiz en la geometra y la aritmtica,a lo cual se agreg, posteriormente, ellgebra como estudio de las ecuacionesalgebraicas, cuyo origen est relacionadocon la matemtica recreativa.

Fue con los griegos que la matemtica dej de seruna coleccin de tcnicas de conteo y de medidasy ellos la consideraron como una actividad intelectual,con sus elementos estticos y mstico-religiosos, yle dieron una organizacin que tuvo su expresin enLos Elementos de Euclides (s. III a.C.) con laincorporacin de la deduccin, esto es, que losenunciados matemticos podan ser demostradoslgicamente con argumentos formales, lo que originlos teoremas y las pruebas. Esa matemtica creciy se expandi en el mundo islmico, hind y en lasriberas del Mediterrneo. Se desarroll vinculada conla astronoma, la geografa, la cartografa, lanavegacin, las construcciones civiles y la guerra.La msica tambin formaba parte de esa matemticacomo lo atestigua la clasificacin dada en elquadrivium.

El milagro de la adecuacin dellenguaje de las matemticas parala formulacin de las leyes fsicases un don maravilloso que nientendemos ni merecemos.Deberamos mostrarnosagradecidos por l y esperar quesiga siendo vlido en lainvestigacin futura y que seextienda, para bien o para mal,para nuestro placer, aunquetambin tal vez para nuestraperplejidad, a ramas msamplias del saber.

Eugene P. WignerHngaro, (1902-1995).Premio Nobel de fsica en 1963.

Discusin del teorema de Pitgorasextrada de un manuscrito rabe. Lademostracin es la continuacin de

la de Euclides; la figura caractersticaen forma de molino de viento

proporciona una ilustracin geomtricade la demostracin.