Modelos estadísticos aplicados en administración de negocios que generan ventajas competitivas

Universidad del Valle de México. Campus Guadalajara Sur. México

Porfirio Pérez

1

Videoconferencias semana de estadística Universidad Latina, Campus Heredia Costa Rica

Modelo Matemático

Modelo matemático es una representación mental de la realidad, utilizando conceptos e ideas que definen un evento físico.

En la administración de los negocios, el uso de estosmodelos debe de ser herramienta común, pero faltamayor aplicación.

Como ejemplo de la gran utilidad de los modelosmatemáticos planteamos lo siguiente:

Requerimos pintar una superficie de 3m base por 8 m dealtura. ¿ Si un bote de pintura cubre 4 m2, cuantos botesde pintura compramos?

2

Seguro que contestaríamos casi en forma reactiva que compramos6 botes de pintura.Usted ya tomo una decisión que puede ser acertada o no para suempresa.

Analizamos mas de cerca:Para tomar la decisión, se tomo un modelo matemáticodenominado RECTANGULO , que solo es un concepto mentalcreado para representar la realidad, y usted lo adaptó al problema,sin revisar si cumplía o no con los requisitos de este concepto.

Un rectángulo es un polígono de 4 lados (una figura plana de ladosrectos) en donde cada ángulo es un ángulo recto (90°).También los lados opuestos son paralelos y de igual longitud.

3

Conclusión:

Se usa un modelo matemático y se da por asentado su idoneidad a la realidad. Pero realmente se adapta al problema real? Suponemos que si y lo usamos

Por lo que concluimos que requerimos el uso de modelos matemáticos y verificación de su aplicación

Si el problema es mas complicado, y generalmente en la administración de negocios lo es , QUE HACER?

4

Objetivo de la sesión

La estadística para este tipo de situaciones esuniversal y robusta solo hay que conocer suaplicación y validación de los Modelos estadísticosexistentes y aplicarla a la administración de losnegocios, este es el objetivo de esta sesión, exponerlos principios sobre los que se basan los modelosestadísticos y como se interpretan y adecuan a larealidad, utilizando modelos de uso comúndemostrando la universalidad de la estadística parala administración de los negocios

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Modelos estadísticos

Se presentaran , aplican e interpretaran 2 modelos estadísticos que por su gran aplicación en la administración de los negocios son muy importantes

1. Modelo Lineal y no lineal aplicado a correlación de dos o mas variables aplicado a publicidad

2. Modelo suavizamiento exponencial aplicado a pronósticos

6

• Modelo de correlación lineal y no lineal

7

Modelo Lineal aplicado a correlación de dos o mas variables

Aplicación: PUBLICIDADCuando en la administración de los negocios existen dos o mas variables que

pueden estar relacionadas entre si como pudiera ser la publicidad y las ventas nos interesa conocer si se relacionan( correlación), como se relacionan (métrica), y como en base a este modelo se puede pronosticar el efecto de la publicidad sobre las ventas( pronóstico)

Iniciemos la idea:Considerar que puede existir relación entre la inversión en publicidad de un

producto y los beneficios de las ventas de este, si se puede determinar como se relacionan, podemos entonces decidir si aumentamos los costos de publicidad , los reducimos o los eliminamos.

Se parte del siguiente modelo: Y = f(x)= ax + b

8

MODELO LINEAL y=f(x)=ax +b y correlación

Esta relación entre f(x) y x se conoce como relación lineal o como función de primer grado. Ejemplo: Y = 2 X + 4

9

0

2

4

6

8

10

12

14

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Y

X

Grafica de primer orden

Y = 2 X + 4

Donde:

b= intersección eje y

a= pendiente de la recta. Si a= 1 Angulo =45º

Al modificar “a” la inclinación de la recta disminuye o aumenta

Al modificar “b” el cruce con el eje “y” disminuye o aumenta

..\Ing. Porfirio\PRINCIPAL\ESTADISTICA\GRAFICA Primer Grado.xls

10

Aplicación del modelo

Si suponemos que este modelo se aplica a los gastos en publicidad y el total de ventas, entonces :b= Ventas que se realizan, con o sin publicidada= Si es Positiva aumenta publicidad, aumenta ventas

Si es Negativa aumenta publicidad, disminuye ventas

Entonces todo se resume a preguntarnos:1) Se relacionan publicidad y ventas?2) Cuanto vale “a” y “b” ?3) Como pronosticar ventas con gasto de publicidad

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Cualquier respuesta a estas útiles preguntas tiene un origen en común, DATOS ESTADISTICOSEstos datos son información disponible en el ámbito de la administración de las empresas, por lo que no hay problema para obtenerlas. Ejemplos de datos estadísticos:

n es el número de pares de datos = 6

12

Publicidad Ventas

X Y

65 75

71 84

79 85

85 90

93 94

100 102

Con solo datos estadísticos se elabora la gráfica de dispersión :

13

70

75

80

85

90

95

100

105

110

60 70 80 90 100 110

$

VE

NTA

S

$ PUBLICIDAD

Gráfica de Dispersión

Agregando línea de tendencia:

14

70

75

80

85

90

95

100

105

110

60 70 80 90 100 110

$

VE

NTA

S

$ PUBLICIDAD

Gráfica de Dispersión

En el contexto del análisis matemático se desprende lo siguiente:

Coeficiente de correlación

r = SC(xy) / √ SC(x).SC(y)

Si se correlacionan r tiene valor cercano a +/- 1.

Si NO se correlacionan r tiene valor cercano a 0.

a = SC(xy) / SC(x)

b = (∑Y- (m.∑ X ))/n

15

Pasando a los cálculos con los datos:

Publicidad Ventas

X Y X2 Y2X.Y

65 75 4225 5625 4875

71 84 5041 7056 5964

79 85 6241 7225 6715

85 90 7225 8100 7650

93 94 8649 8836 8742

100 102 10000 10404 10200

0 0 0

493.0 530.0 41381.0 47246.0 44146.0

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∑x2 ∑y2∑ x ∑ y ∑ xy

Calculo de sumas de cuadrados

Para realizar cálculos con estos datos , definimos las suma de cuadrados de x , y , x2, y2, xy como:

SC(x) = ∑x2- ((∑ x )2/ n )SC(y) = ∑y2- ((∑ y )2/ n )SC( x.y ) = ∑ ( x.y )- ((∑ x )(∑ xy)/ n )

Sustituyendo los valores obtenidos tenemos:

SC(x) = 872.83SC(y) =429.33SC( x.y ) =597.67

17

SC(x) = 872.83 SC(y) = 429.33 SC(xy) = 597.67

Estos resultados estadísticos nos sirven para calcular :

r = SC(xy) / √ SC(x).SC(y)

a = SC(xy) / SC(x)

b = (∑Y- (m.∑ X ))/n

Resultados:

r = 0.9763 R2 = 0.953

a = 0.68

b = 32.07

18

Significado de los cálculos

Porcentaje de datos que siguen el modelo lineal:r = 0.9763 97.63 % por lo que si hay correlaciónPorcentaje de ajuste del pronóstico:R2 = 0.953 95.3 %Cambio en la publicidad por cambio en las ventas 0.68 , espositivo por lo que al incrementar la publicidad seincrementa las ventasa = 0.68 Intersección de la recta con el eje de las ventas a publicidad Cero, es decir ventas sin publicidadb = 32.07 $32.07 (miles)

19

Ajuste del modelo

Ventas = 0.68 . Publicidad + 32.07En base a esta información estadística concluimos:Si hay una correlación positiva entre publicidad y ventasSi no realizamos publicidad tendíamos ventas por $32.07Se puede realizar pronósticos o evaluar errores del modelo. Ejemplo de pronostico:Si gastamos de publicidad $90.00 esperamos ventas pronosticadas de $ 93.70 ( seguros en un 95.3% )

20

Errores del modelo

Si gastamos de publicidad $85.00 esperamos ventas pronosticadas de:Ŷ = $ 90.2734 ( valor pronosticado)De acuerdo a la información:

Error del modelo: 0.2734

21

Publicidad Ventas

X Y

65 75

71 84

79 85

85 90

93 94

100 102

Cálculo de los errores del modelo

De forma similar:

22

Ŷ e e2

ei-ei-1 ( ei-ei-1 )2

76.58 1.5786 2.4919

80.69 -3.3130 10.9757 -4.892 23.927

86.16 1.1650 1.3572 4.478 20.052

90.27 0.2734 0.0748 -0.892 0.795

95.75 1.7514 3.0673 1.478 2.184

100.54 -1.4554 2.1182 -3.207 10.284

530.0 0.0 20.1 -3.0 57.2

Evaluación de MAD y MSE

• Si Error de pronostico = Valor real- Valor pronosticadoSe definen:

MAD que es promedio de la desviación absoluta:

MSE promedio del cuadrado del error:

Cuando se tienen resultados de MAD y MSE de dos o mas pronósticos se elige el que tenga el menor valor del parámetro.

23

MAD = |Error| /n

MSE = (Error)2 /n

Correlación no-lineal

Pero, ¿Como trabajar cuando consideramos mas de una variable ?Para hacerlo mas interesante en base a los datos suponemos que la relación no es relación lineal, y que sigue el modelo matemático: Y = f(x)= a x1

2 + b x1+ cA este modelo se le conoce como modelo no lineal o modelo de segundo orden. Los nuevos datos son:

Elaborando el diagrama de dispersión : 24

Yi Xi

2 3

3 10

8 30

7 50

9 40

8 20

4 55

DATOS

Diagrama de Dispersión

25

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0

$ de Publicidad

Datos reales

Con línea de tendencia

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0

$ de Publicidad

Datos reales

26

MODELO NO LINEAL y=f(x)=ax2 +bx + c correlación

Ejemplo: y = f(x) = -2 X 2 + 9 X 1 + 1

Gráficamente:

27

0, 1

0.5, 5

1.0, 8

1.5, 10

2.0, 11 2.5, 11

3.0, 10

3.5, 8

4.0, 5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5

Aplicación del modelo

Si consideramos , basándonos en el diagrama de dispersión de

los datos reales, que las ventas son función de la publicidad al cuadrado, es decir, una función de segundo grado, que representa una curva.

• Tendríamos:

• MODELO y=f(x)= β0 + β1 x1 + β2 x12

Interpretación de los parámetros:

β0 = Intersección con eje “y” de la curva

β1 = Intersección con eje horizontal en β0

β2 = Positivo la curva tiene un mínimo, negativo máximo

28

MODELO y=f(x)= β0 + β1 x1 + β2 x12

Ejemplo: y = f(x) = 1 X 2 + 3 X 1 + 5

29

0

5

10

15

20

25

30

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

• El modelo es entonces:

• Y = β0 + β1 x1 + β2 x12

• Cambio a lineal :

• Y = β0 + β1 x1 + β2 x2

• Donde: x2 = x12

30

MODELO

• Y = β0 + β1 x1 + β2 x2

Nos queda un sistema de 3 x 3 con 3 incógnitas

• β0 n + β1 ∑x1 + β2 ∑x2 = ∑y

• β0 ∑x1 + β1 ∑x21 + β2 ∑x1 .x2 = ∑x1 .y

• β0 ∑x2 + β1 ∑x1 .x2 + β2 ∑x22 = ∑x2 .y

31

Usando información estadística

Sustituyendo sumas de datos• β0 7 + β1 208 + β2 8534 = 41

• β0 208 + β1 8534 + β2 391402 = 1366

• β0 8534 + β1 391402 + β2 18940706 = 54718

32

Yi Xi x1 x2 x22 x1

2 y. x1 y. x2 x1 x2

2 3 3 9 81 9 6 18 27

3 10 10 100 10,000 100 30 300 1,000

8 30 30 900 810,000 900 240 7,200 27,000

7 50 50 2,500 6,250,000 2,500 350 17,500 125,000

9 40 40 1,600 2,560,000 1,600 360 14,400 64,000

8 20 20 400 160,000 400 160 3,200 8,000

4 55 55 3,025 9,150,625 3,025 220 12,100 166,375

Σ 41 208 208 8,534 18,940,706 8,534 1,366 54,718 391,402

Ỹ 5.8571 29.714

Número datos: 7

DATOS

Resolviendo el sistema

33

Calculo de Determinante

7 208 8534 7 208

Δ = 208 8534 391402 208 8534 = 7669956000

8534 391402 18940706 8534 391402

Calculo de Determinante Δ β0

41 208 8534 41 208

Δ β0 = 1366 8534 391402 1366 8534 = -3000136200 β0 = -0.391

54718 391402 18940706 54718 391402

Calculo de Determinante Δ β1

7 41 8534 7 41

Δ β1 = 208 1366 391402 208 1366 = 4260521540 β1 = 0.555

8534 54718 18940706 8534 54718

Calculo de Determinante Δ β2

7 208 41 7 208

Δ β2 = 208 8534 1366 208 8534 = -64532380 β2 = -0.008

8534 391402 54718 8534 391402

Los resultados son:

β0 = -0.3912

β1 = 0.5555

β2 = -0.0084

Por lo que el modelo estadístico que representa estos datos es:

Ŷ = -0.391 + 0.555 x1 + -0.008 x2

Donde: x2 = x12

34

Calculo de la bondad de ajuste

35

SCR SCE SC total

Yi Xi Ỹ Ŷ ( Ŷ-Ỹ )2 ( Yi-Ŷ)2

2.0 3.0 5.9 1.20 21.7 0.64

3.0 10.0 5.9 4.32 2.4 1.75

8.0 30.0 5.9 8.70 8.1 0.49

7.0 50.0 5.9 6.35 0.2 0.42

9.0 40.0 5.9 8.37 6.3 0.40

8.0 20.0 5.9 7.35 2.2 0.42

4.0 55.0 5.9 4.71 1.3 0.50

Σ 42.2 4.63 46.9

Calculo del coeficiente de determinación multiple( R ): 0.90124076

% de datos que se ajustan a este modelo matemático: 90.12%

Conclusiones del modelo matemático

En base a los análisis presentados se puede afirmar que:

• Este modelo es un modelo fácil de usar, interpretar y aplicar a problemas reales

• Visualizar el comportamiento de la variable es fácil y por tanto el pronosticar sus valores también

• Es una herramienta estadística muy práctica y poderosa y se puede aplicar a cualquier disciplina por lo que es universal

Conocer el comportamiento de los modelos lineales y no lineales son fundamentales para los problemas aplicados en administración de negocios, mejorando notablemente el entendimiento del comportamiento de las variables, generando ventajas competitivas para quien los usa.

36

•Modelo suavizamiento exponencial

37

Modelo suavizamiento exponencial

Aplicación: PRONOSTICOSCuando en la administración de los negocios existe necesidad de realizar pronósticos de variables un método muy utilizado es el de suavizamiento exponencial .

Iniciemos la idea:Considerar que el valor de un periodo en una serie de tiempo

depende del valor anterior y de un factor . Se parte del siguiente modelo:

y1 = Y1 ( Valor inicial pronosticado es el valor inicial de serie)

yi+1 = Yi+1 . α + ( 1- α)yi ( siguiente valor pronosticado )

38

Modelo yi+1 = Yi+1 . α + ( 1- α)yi

• Como ejemplo, consideramos la siguiente serie de tiempo:

39

t Yt

1 71

2 70

3 69

4 68

5 64

6 65

7 72

8 78

9 75

10 75

11 75

12 70

13 75

14 75

15 74

16 78

17 86

18 82

19 75

20 73

21 72

22 73

23 72

24 77

25 83

26 81

27 81

28 85

29 85

30 84

Gráfica de los datos contra el tiempo

40

MODELO: y1 = Y1 yi+1 = Yi+1 . α + ( 1- α)yi

Suavizamiento exponencial

Constante de suavizamiento:α Constante de suavizamiento:α

t Yt St 0.1 St 0.5

1 71 71.0 71

2 70 70.9 70.5

3 69 70.7 69.8

4 68 70.4 68.9

5 64 69.8 66.4

6 65 69.3 65.7

7 72 69.6 68.9

8 78 70.4 73.4

9 75 70.9 74.2

10 75 71.3 74.6

11 75 71.7 74.8

12 70 71.5 72.4

13 75 71.8 73.7

14 75 72.2 74.4

15 74 72.3 74.2

16 78 72.9 76.1

17 86 74.2 81.0

18 82 75.0 81.5

19 75 75.0 78.3

20 73 74.8 75.6

21 72 74.5 73.8

22 73 74.4 73.4

23 72 74.1 72.7

24 77 74.4 74.9

25 83 75.3 78.9

26 81 75.8 80.0

27 81 76.4 80.5

28 85 77.2 82.7

29 85 78.0 83.9

30 84 78.6 83.9

41

MODELO: y1 = Y1 yi+1 = Yi+1 . α + ( 1- α)yi

42

MODELO: y1 = Y1 yi+1 = Yi+1 . α + ( 1- α)yi

43

Conclusiones del modelo matemático

• Se observa que con el coeficiente de 0.5 da una aproximación mejor a los datos reales, por lo que se utiliza para realizar el pronostico del siguiente periodo

• Si queremos una mejor aproximación, se tendrá que utilizar un modelo que incluya varios factores mas, y de acuerdo a la curva podría ser comportamientos senoidales, cosenoidales y alguna otra función.

• Esto nos lleva a modelos estadísticos econométricos

44

Modelos econométricos

Son modelos estadísticos de la forma:

Y= a0+a1X1+a2X2+………………………..….akXk

Donde cada a k coeficiente se debe de especificar de acuerdo al comportamiento de la variable y cada Xk

es una función que caracteriza la gráfica de datos reales, pudiendo ser graficas lineales, no lineales, exponenciales, senoidales, etc.

45

Función Seno y coseno

Tenemos las gráficas Y = A Seno [ ( 2π / B ) ( x - C ) ] + D

:..\Ing. Porfirio\PRINCIPAL\FUNCIONES\FUNCION SENO.xls

46

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

-15 -10 -5 0 5 10 15

Modelos econométricos• Como ejemplo:

• y las funciones:

• Siendo el modelo:

Ŷt =68.85 + 0.43 t + 8 Cos ( 2 π t / 10 ) + -3.2 Sen ( 2 π t / 10 ) + -0.2 t Cos ( 2 π t / 10 ) + 0.01 t Sen ( 2 π t / 10 )

47

Modelo SenoidalPeriodo de ciclo = 10

Término independiente = 68.85

Coeficiente variable X1 = 0.43

Coeficiente variable X2 = 8

Coeficiente variable X3 = -3.23

Coeficiente variable X4 = -0.21

Coeficiente variable X5 = 0.01

Valor de π = 3.142

X1 = t

X2 = Cos ( 2 π t / 10 )

X3 = Sen ( 2 π t / 10 )

X4 = t Cos ( 2 π t / 10 )

X5 = t Sen ( 2 π t / 10 )

Cálculos para el modelo

Tiempo Valor Valores del ciclo Valor Error de Error de

observado predicción predicción predicción 2

t Yt Cos Sen t Cos t Sen Ŷt Yt-Ŷt (Yt-Ŷt)2

1 71 0.81 0.59 0.81 0.59 73.69 -2.69 7.23

2 70 0.31 0.95 0.62 1.90 69.00 1.00 1.00

3 69 -0.31 0.95 -0.93 2.85 64.82 4.18 17.48

4 68 -0.81 0.59 -3.24 2.35 62.90 5.10 25.99

5 64 -1.00 0.00 -5.00 0.00 64.05 -0.05 0.0025

6 65 -0.81 -0.59 -4.85 -3.53 67.84 -2.84 8.07

7 72 -0.31 -0.95 -2.16 -6.66 72.85 -0.85 0.72

8 78 0.31 -0.95 2.47 -7.61 77.24 0.76 0.58

9 75 0.81 -0.59 7.28 -5.29 79.51 -4.51 20.33

10 75 1.00 0.00 10.00 0.00 79.05 -4.05 16.40

11 75 0.81 0.59 8.90 6.47 76.35 -1.35 1.82

12 70 0.31 0.95 3.71 11.41 72.75 -2.75 7.54

13 75 -0.31 0.95 -4.02 12.36 69.86 5.14 26.39

14 75 -0.81 0.59 -11.33 8.23 68.96 6.04 36.48

15 74 -1.00 0.00 -15.00 0.00 70.45 3.55 12.60

16 78 -0.81 -0.59 -12.94 -9.40 73.78 4.22 17.80

17 86 -0.31 -0.95 -5.25 -16.17 77.70 8.30 68.87

18 82 0.31 -0.95 5.56 -17.12 80.79 1.21 1.45

19 75 0.81 -0.59 15.37 -11.17 82.05 -7.05 49.72

20 73 1.00 0.00 20.00 0.00 81.25 -8.25 68.06

21 72 0.81 0.59 16.99 12.34 79.01 -7.01 49.13

22 73 0.31 0.95 6.80 20.92 76.49 -3.49 12.19

23 72 -0.31 0.95 -7.11 21.87 74.91 -2.91 8.45

24 77 -0.81 0.59 -19.42 14.11 75.02 1.98 3.93

25 83 -1.00 0.00 -25.00 0.00 76.85 6.15 37.82

26 81 -0.81 -0.59 -21.03 -15.28 79.72 1.28 1.64

27 81 -0.31 -0.95 -8.34 -25.68 82.56 -1.56 2.42

28 85 0.31 -0.95 8.65 -26.63 84.35 0.65 0.42

29 85 0.81 -0.59 23.46 -17.05 84.59 0.41 0.17

30 84 1.00 0.00 30.00 0.00 83.45 0.55 0.30

FIN SCE = 505.00

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Gráfica del modelo

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Conclusiones del modelo matemático

En base a los análisis presentados se puede afirmar que:

• Este modelo es un modelo que requiere definir el coeficiente de suaviza miento pero es fácil de usar y aplicar a problemas reales

• Es un modelo aproximado por lo que el comportamiento de la variable es algo diferente a la real, pero se usa con excelentes resultados en pronosticar sus valores

• Es una herramienta estadística muy práctica y poderosa y se puede aplicar a cualquier disciplina por lo que es universal

Los modelos estadísticos aplicados en administración de negocios, mejoran notablemente el entendimiento del comportamiento de las variables, generando ventajas competitivas para quien los usa.

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Gracias por su atención

Sesión de preguntas y respuestas

Universidad del Valle de México. Campus Guadalajara Sur. México

Porfirio Pérez

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