MODELOS DETERMINSTICOS DE INVENTARIOS.Una empresa o una industria suele tener un inventario razonable de bienes para asegurar su funcionamiento continuo. En forma tradicional se considera a los inventarios como un mal necesario; si son muy pocos, causan costosas interrupciones; si son demasiados equivalen a hacer un capital ocioso. El problema del inventario determina la cantidad que equilibra los dos casos extremos. Un factor importante en la formulacin y la solucin de un modelo de inventarios es que la demanda de un artculo (por unidad de tiempo) sea determinstica (que conozca con certidumbre) o probabilstica (que se pueda describir con una distribucin de probabilidad).

Modelo general de inventario.La naturaleza del problema de los inventarios (o existencias) consiste en colocar y recibir en forma repetitiva pedidos (u ordenes) de determinados tamaos a intervalos de tiempo establecidos. Desde este punto, una poltica de inventarios consta de las siguientes preguntas:a) Cunto pedir?b) Cundo pedir?La respuesta de estas preguntas se basa en minimizar el siguiente modelo de costos:(Costo total del inventario) =(costo de compra)+(costo de preparacin)+

(costo de almacenamiento) +(costo de faltante)

Todos esos costos se deben expresar en la cantidad econmica de pedido (Cunto pedir?) y el tiempo entre los pedido (Cundo pedir?).1. El costo de compra se basa en el precio por unidad del artculo. Puede ser constante o puede ofrecerse con descuentos.2. El costo de preparacin representa el costo fijo incurrido cuando se coloca un pedido. Es independiente de la cantidad pedida.3. El costo de almacenamiento o de posesin representa el costo se mantener una existencia de inventario. Comprende el inters sobre el capital y el costo de almacenamiento, mantenimiento y manejo.4. El costo de faltantes es la penalizacin en que se incurre cuando se terminan las existencias. Incluye la perdida potencial de ingresos y el costo, mas subjetivo, de perdida de la buena voluntad del cliente.Un sistema de inventario se puedo basar en la revisin peridica (por ejemplo, pedir cada semana o cada mes), cuando se reciben nuevo pedidos al iniciar cada periodo. En forma alternativa, el sistema se puede basar en revisin continua, cuando se colocan los nuevos pedidos y la cantidad de inventarios bajo hasta cierto nivel, que se llama punto de reorden. Los modelos de inventarios, pueden abarcar dos clases de modelos determinsticos y estticos.Modelos estticos de cantidad econmica de pedido (CEP, o EOQ)A continuacin de explican tres variaciones del modelo de cantidad econmica de pedido (CEP, o EOQ, del ingls economic order quantity) con demanda esttica.

Modelo clsico de cantidad econmica de pedido.El ms sencillo de los modelos de inventarios implica una tasa constante de demanda con el surtido instantneo del pedido y sin faltantes. Se definen. El nivel de inventario sigue el patrn de la figura 11.1. Cuando el inventario llega al valor cero, se coloca un pedido cuyo tamao es y unidades, y se recibe en forma instantnea. Despus la existencia se consume uniformemente a la tasa constante de demanda D. el ciclo de pedido para este comportamiento es.

El nivel promedio de inventario que resulta esNivel promedio de inventario El modelo de costo requiere de dos parmetros: K = Costo de preparacin correspondiente a la colocacin de un pedido ($/pedido) h = Costo de almacenamiento ($ por unidad en inventario por unidad de tiempo)El costo total por unidad de tiempo (TCU, del total cost per unit time) se calcula como sigue:

El valor ptimo de la cantidad de pedido y se determina minimizando TCU (y) con respecto a y. suponiendo que y sea continua, una condicin necesaria para determinar el valor ptimo de y es.

Esta condicin tambin es suficiente, porque TCU (y) es convexa. La solucin de la ecuacin da como resultado la siguiente cantidad econmica de pedido, :

As, la poltica ptima de inventario para el modelo propuesto se resume como sigue:

En realidad no necesita hacer un nuevo pedido en el instante en que se pide., como se ha descrito aqu. En lugar de ello puede trascurrir un tiempo de entrega positivo, L, entre la colocacin y la recepcin de un pedido, como se ve en la figura 11,2. En este caso, el punto de reorden se representa cuando el nivel de inventario bajo a LD unidades. En la figura 11.2 se supone que el tiempo de entrega L es menor que la longitud del ciclo lo cual en general no es el caso. Para tener en cuenta otras situaciones, se definir el tiempo efectivo de entrega como sigue:

Donde n es el entero mayor no mayor que . Este resultado se justifica, porque despus de n ciclos de cada uno, el estado del inventario es como si el inventario entre colocar el pedido y recibir otro es . As, el punto de reorden est en las unidades, y la poltica de inventario se puede renunciar como sigue:

Ejercicio.Se cambian luces de nen en el campus de la U de A a una tasa de 100 unidades diarias. Estas luces de nen se piden en forma peridica. Cuesta $100 iniciar una orden de compra. Se estima que una luz de nen en el almacn cuesta unos $0,02 diarios. El tiempo de entrega, entre la colocacin y la recepcin de un pedido es de 12 das. Determine la poltica ptima de inventario para pedir las luces de nen.De acuerdo con los datos de este problema. As.

La longitud del ciclo correspondiente es:

Con el tiempo de entrega L = 12 das es mayor que la longitud del ciclo , se debe calcular . La cantidad de ciclos incluidos en L es.

Entonces

Entonces, el punto de reorden se presenta cuando la cantidad de inventario baja a

La poltica de inventario para pedir las luces de nen es Pedir 100 unidades cuando el inventario baja a 200 unidadesEl costo diario de inventario correspondiente a la poltica propuesta es

Cantidad econmica de pedido con discontinuidades de precio.Este modelo es el mismo que anterior, con la excepcin de que el artculo es inventario se puede comprar con descuento si el tamao del pedido y es mayor que determinado limite q; esto es, que el precio unitario de compra c es.

Por consiguiente

Las funciones TCU1 y TCU2 se grafican en la figura 11.3. Como las dos funciones solo difieren en una cantidad constante, sus mnimos se presentan en La funcin de costo TCU (y) comienza a la izquierda, con TCU1(y) y baja hasta TCU2(y) en el punto de discontinuidad de precio q. la figura 11.3 muestra que la determinacin de la cantidad econmica de pedido y depende de donde est el punto de discontinuidad de precio q con respecto a las zonas I, II, III, limitadas por (0,Ym), (Ym, Q) y (Q, ), respectivamente. El valor de Q ( se determina con la ecuacin.

Esto reduce la ecuacin de Q a

En la figura 11.4 muestra cmo se determina la cantidad ptima que se busca:

Los pasos para determinar : Paso 1.- Determinar . Si q est en la zona I, entonces ; detenerse. En caso contrario continuar en el paso 2.

Paso 2.- Determinar con la ecuacin de Q.

Definir las zonas II y III. Si q est en la zona II, entonces . En caso contrario, q est en la zona III y

Ejercicio.LubeCar se especializa en cambio rpido de aceite para motor de automvil. El servicio compra aceite para motor a granel, a $3 por galn. Si LubeCar compra ms de 100 galones, obtiene un descuento de $2,50 por galn. LubeCar guarda el aceite a granel con un costo de $0,02 por galn y por da. Tambin, el costo de colocar un pedido de aceite a granel es de $20. Hay un tiempo de 2 das para la entrega, determine la poltica ptima de inventario,

El consumo diario es

Tambin los datos son Paso 1.- Calcular.

Como q=100 es mayor que ym continuamos con el paso 2.Paso 2.- Determinar Q.

En consecuencia, la ecuacin de Q se calcula como sigue

O sea

El resultado de esto es

Como q (=1000) cae en la zona II, la cantidad optima de perdido es galones.Como el tiempo de entrega es de 2 das, el punto de reorden es galones. As, la poltica de inventario ptimo es

Cantidad econmica de pedido de varios artculos con limitaciones de almacn.Este modelo se aplica al caso con n (>1) artculos cuyo inventario flucta de acuerdo con la pauta de la figura 11.1 (no se permiten faltantes). La diferencia est en que los artculos compiten por un espacio limitado de almacenamiento.Se definira, para el artculo i, Suponiendo que no hay faltantes, el modelo matemtico que representa la situacin del inventario es

Sujeta a:

Los pasos para resolver el problema son los siguientes.Paso 1. Los pasos para resolver los valores ptimos no restringidos de las cantidades de pedido con:

Paso 2. Comprobar so los valores ptimos no restringidos de las cantidades es ptima. En caso contario seguir en el paso 3.Paso 3. Se debe satisfacer la restriccin del almacenamiento en forma de ecuacin. Usar el mtodo de los multiplicadores de Lagrange para determinar los valores restringidos ptimos de las cantidades de pedido.El paso3, la frmula de Lagrange se formula como sigue:

Donde es el multiplicador de LagrangeComo la funcin de Lagrange es convexa, los valores ptimos de se determinan con la siguiente condicin necesaria:

La segunda ecuacin indica que se debe satisfacer la restriccin en forma de ecuacin para el ptimo.De la primera ecuacin

La frmula nos indica que depende del valor de da la solucin sin restriccin.El valor dese puede determinar como sigue: como la definicin para el caso de minimizacin, se disminuye en forma sucesiva una cantidad razonablemente pequea, y se sustituye en la frmula para calcular la asociada. La deseada produce los valores de que satisfacen la restriccin de almacenamiento en forma de ecuacin.Ejercicio.Los datos describen tres artculos de inventario.Articulo iKi ($)Di (unidad por dia)hi ($)ai (ft2)

11020,31

2540,11

31540,21

rea total disponible = 25 pies2