Modelos de administracion de inventarios

Elaborado por: Ing. Oscar Danilo Fuentes Espinoza 1

Planificación y Control de la Producción I

Modelos de Administración de Inventarios

Mba. Ing. Oscar Danilo Fuentes Espinoza


Contenidos

1. El problema de inventarios2. Definición de inventarios3. Función de los inventarios4. Propósitos del inventario5. Costos del inventario6. Demanda independiente y dependiente


Contenidos7 Sistemas de inventarios7.1 Sistema ABC7.2 Modelo básico de materia prima7.3 Modelo básico de producto terminado7.4 Modelo para materia prima con descuentos por cantidad7.5 Modelo para producto terminado múltiples7.6 Modelo de inventario de periodo único7.7 Sistema de inventario de varios periodos7.7.1 Modelo de punto fijo, revisión continua o modelo Q7.7.2 Modelo de ciclo fijo, revisión periódica o modelo P

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Tema 1. El problema de inventarios

Cual es el problema fundamental de la administración de inventarios?(Chase, 2014)

1. Cuando se debe hacer un pedido?2. Cuanto se debe pedir



Por que debemos estudiar los inventarios? (Chase, 2014)

El inventario es $$$ guardado en estantes y anaqueles, así como en camiones y aviones mientras se encuentran en transito. Esto es el

inventario: DINERO



Que modelos de inventarios deben utilizarse en tiendas minoristas o almacenes y en plantas de manufactura? (Chase, 2014)

En tiendas minoristas y almacenes: inventarios de un periodo, cantidad fija de pedido, periodo fijo

En plantas de manufactura: MRP


Tema 2. Definición de inventarios

Que es un inventario?

Son las existencias de una pieza o recurso utilizado en una organización. (Chase & Jacobs, 2014)



Que es un sistema de inventarios?

Es el conjunto de políticas y controles con los cuales se vigilan los niveles de inventario y determinan los que se van a mantener, el momento en que es necesario reabastecerlo y las dimensiones de los pedidos. (Chase & Jacobs, 2014)



Que es el inventario de manufactura?

Se refiere a las piezas que contribuyen o se vuelven parte de la producción de la empresa. (Chase & Jacobs, 2014)



Como se clasifica el inventario de manufactura?

Materia prima, productos terminados, partes componentes, suministros y trabajos en proceso. (Chase & Jacobs, 2014)



En los servicios, a que se refiere el termino inventario?

Se refiere a los bienes tangibles por vender y los suministros necesarios para administrar el servicio. (Chase & Jacobs, 2014)


Tema 3. Función de los inventario(De Holanda, 2003)

La función básica de los inventarios, sean estos de materias primas, material semi -procesado o productos terminados, es mantener relativamente independientes las siguientes actividades:

* Compra de materias primas.* Producción.* Ventas.


Tema 3. Función de los inventario. (De Holanda, 2003)

Los inventarios actúan como resortes según se muestra en la Figura siguiente



Como puede observarse, los inventarios de materias primas son necesarios para separar "Producción" de "Compras" y los inventarios de productos terminados sirven para separar "Producción" de "Ventas".



Los inventarios solo serán evitables cuando el flujo de una sola pieza sea posible, la demanda sea muy estable y el tiempo de entrega sea extremadamente corto. Esto es precisamente lo que se conoce como "entregas justo-a -tiempo"


Tema 4. Propósitos del inventario

Cuál es el propósito básico de análisis de inventario en la manufactura y los servicios?

El propósito básico es especificar:1 cuando es necesario pedir mas piezas2 las cantidades de los pedidos. (Chase & Jacobs, 2014)


Tema 4. Propósitos del inventarioCuáles son los propósitos de los inventarios?

(Chase & Jacobs, 2014), indican que los propósitos de los inventarios son:1. Mantener la independencia de las operaciones2. Cubrir la variación en la demanda3. Permitir la flexibilidad en la programación de la producción4. Protegerse contra la variación del tiempo de entrega de materias primas5. Aprovechar los descuentos basados en el tamaño del pedido.


Tema 5. Costos del inventarioCuáles son los costos de los inventarios?

(Chase & Jacobs, 2014), indican que los costos de los inventarios son:1 Costos de mantenimiento o transporte: 2 Costos de preparación (o cambio de producción). 3 Costos de pedido. Se refieren a los administrativos y de oficina por preparar la orden de compra o producción. 4 Costos de faltantes.


Tema 5. Costos del inventarioCuáles son los costos de los inventarios? (De Holanda,2003)

1. Costo de preparación2. Costo de almacenamiento3. Costo de capital4. Costo de mantener5. Costo de faltante6. Costo de compra y costo de producción



Costo de preparaciónEste es el costo correspondiente a todas las actividades relacionadas con la fabricación de un lote dado del producto ("Cp" del lote de producción) o relacionadas con la realización de un pedido al proveedor ("Cp" del pedido).



Costo de ordenarEn el caso mas pesimista, el costo de preparación del pedido (también llamado costo de "ordenar") puede incluir los costos de las siguientes actividades:* Decisión de que cantidad comprar.* Análisis de cotizaciones.* Elaboración del pedido.* Autorización del pedido.



Costo de ordenar* Seguimiento del pedido.* Transporte.* Tramites aduanales (si el material es de importación).* Tramites de recepción.* Inspección de recepción,* Actualización de registros (en el almacén),* Etc ..


Tema 5. Costos del inventarioCuáles son los costos de los inventarios?. (De Holanda,2003)

Costo de preparación de un loteEn el caso mas pesimista, el costo de preparación de un lote (también llamado "set-up" o costo de "arranque") puede incluir los costos de las siguientes actividades:



Costo de preparación de un lote * Decisión de que cantidad fabricar.* Elaboración de la orden de producción.* Programación de producción* Mano de obra y materiales de preparación de la(s) maquina (s).



Costo de preparación de un lote * Producción perdida o depreciación de la (s) maquina (s) durante el tiempo de preparación,* Control de producción.* Inspección de los lotes.* Recepción en el almacén,* Etc



A continuación proporcionamos un ejemplo real de calculo del costo de preparación de los pedidos de los materiales requeridos en la fabricación de una determinada marca de cigarros (se omite el nombre de la empresa por razones de confidencialidad):


Tema 5. Costos del inventario(De Holanda,2003)

* Año de realización de los cálculos: 1991.* País: México. * Se decidió calcular un solo "Cp" para los 13 materiales.* Se considero un total de 850 pedidos realizados en el a ñ o.* Cuatro personas estaban involucradas en el proceso de realización de los pedidos: El Sub-Director de Logística, el Gerente de Control de Inventarios y 2 asistentes. La nomina relacionada directamente con la realización de los pedidos era 14/40 del salario del Sub-Director, mas 100% del salario de las otras 3 personas, mas 50% de prestaciones. Total: $20,000/mes.



* El proceso de compras para los 13 materiales se realizaba 5 veces por año. En cada ocasión, una secretaria que ganaba $2,175/mes (incluyendo prestaciones) dedicaba un día completo. Considerando 160 horas/mes y 8 horas por día, el costo correspondiente fue:

[($2,175)(8)/(160)](5)/(12) = $45.311mes.* En el departamento había 3 computadoras con un valor aproximado de $36,000 que se depreciaban en 3 años; el costo de depreciación por mes fue de: ($36,000)/(3)(12) = $1,OOO/mes



* El costo de espacio fue estimado en $30/m2 por mes. Como el departamento ocupaba 60 m2, el costo del espacio fue: $2,000/mes.* Otros costos indirectos (teléfono, luz, papel, fax, etc.) fueron estimados en $5,000/mes.* Por 10 tanto, el costo mensual total fue de $28,045. Considerando 850 pedidos por año el "Cp" fue calculado en: ($28,045)(12)/850 ≈ $400/pedido.


Tema 5. Costos del inventario

Costo de almacenamiento (Ca). De Holanda, R. (2003)

Este incluye los costos que se incurren en el almacén propiamente dicho y que dependen del numero de unidades almacenadas. El concepto es valido tanto para materias primas como para productos terminados, y en el caso mas pesimista el costo de almacenamiento incluye:



Costo de almacenamiento (Ca). De Holanda, R. (2003)* Sueldos y salarios del personal que controla y maneja el inventario.* Seguros, robos, obsolescencia y deterioro del material.* Operación y depreciación del equipo de manejo.* Luz, calefacción o refrigeración.* Espacio.* Realización de inventarios.* Etc..



Costo de almacenamiento (Ca). De Holanda, R. (2003)

El costo de almacenamiento puede expresarse en $/unid. año (que significa $ para almacenar una unidad durante un año) o %/año del valor del inventario (por ejemplo, podemos decir que el "Ca" representa un 5% al año del valor promedio del inventario).



Costo de capital (Cc). De Holanda, R. (2003)

Este representa el costo de oportunidad por tener el dinero invertido en inventarios. En la mayoría de los casos consideramos que el costo de capital es igual a su rentabilidad si este fuera invertido en otras actividades (por ejemplo, una cuenta maestra). El costo de capital también puede expresarse en %/año o $/unid.año.



Costo de mantener (Cm o Fm). De Holanda, R. (2003)

El costo de mantener es la suma (Ca+Cc). Si se expresa en $/unid.año usaremos el termino "Cm“ y si se expresa en %/año usaremos el termino "Fm".Como ejemplo, a continuación presentamos los cálculos hechos en la empresa cigarrera (mencionada anteriormente) para la determinación del "Fm":


Tema 5. Costos del inventarioCosto de mantener (Cm o Fm). De Holanda, R. (2003)

* El costo de capital fue estimado en 6.54%/año (excluyendo inflación).* El valor total promedio del inventario de materias primas, reportado por el Departamento de Contabilidad, era de $6,397,094.



* La depreciación del almacén (incluyendo costo del espacio), reportado por Contabilidad, era de $55,531/año, lo que conduce a un costo porcentual anual respecto al valor del inventario de ($55,531/$6,397,094)(100) =0.87%/año.



* Los costos de seguros reportados por Contabilidad eran de $1.5789/mes por $1,000 del valor del inventario. o sea, el costo porcentual anual era: [($1.5789)(12)/(1,000)](100)= 1.89%/año.

* La nomina del almacén era $136,688/año(incluyendo prestaciones). Por lo tanto, el costo porcentual anual era: [($136,688)/($6,397,094)](100) =2.14%/año.



* Se hacia un inventario (conteo) por año. El costo correspondiente era de $798 (incluyendo prestaciones). El costo porcentual anual era: [($798)/(6,397,094)](100) = 0.01%/año



* La depreciación anual de los montacargas era de $6,690/año. El costo porcentual anual correspondiente era:

[($6,690)/(6,397,094)](100) = 0.10%/año.* Los costos de obsolescencia, control de temperatura, humedad, etc. se consideraron despreciables.* El costo de mantener anual "Fm" era: 6.54 + 0.87 + 1.89 + 2.14 + 0.01 + 0.10 = 11.55%/año.


Tema 5. Costos del inventarioCosto de faltante (Cf). De Holanda, R. (2003)

Es el costo relativo a la falta de materias primas o productos terminados cuando estos son solicitados por Producción o por los clientes, respectivamente.

En lo que se refiere a la falta de materias primas, esto puede causar el paro de una línea (con la consecuente producción perdida) o una reprogramación de la producción, Obviamente, la falta de materias primas también puede provocar la falta de productos terminados.


Tema 5. Costos del inventarioCosto de faltante (Cf). De Holanda, R. (2003)La falta de productos terminados puede implicar ventas perdidas, perdida de prestigio, etc.. De todos los costos, el costo de faltante es el mas difícil de calcular y puede expresarse de distintas maneras: $/unid., $/unid.año, $/falta, etc.. Afortunadamente, en algunas situaciones su calculo es sencillo.

Veamos el ejemplo de la empresa cigarrera:


Tema 5. Costos del inventarioCosto de faltante (Cf). De Holanda, R. (2003)

* La producción perdida no provocaba perdida de ventas, ya que aquella se recuperaba en los fines de semana,

* El costo de mano de obra directa por unidad del producto terminado era de $0.021 (incluyendo prestaciones).


Tema 5. Costos del inventarioCosto de faltante (Cf). De Holanda, R. (2003)* El tiempo extra se pagaba al doble, por lo que cada unidad producida en tiempo extra provocaba un costo adicional de ($0.021)(2) = $0.042/unid.

* Por lo tanto, el costo por unidad faltante de materia prima era de $O.042/unid. (Aquí, "unidad" significa la cantidad de materia prima por producto terminado. Por ejemplo, una cajetilla por producto terminado. Cada cajetilla faltante provocaba un costo de $0.042.)


Tema 5. Costos del inventarioCosto de compra y costo de producción (k). De Holanda, R. (2003)

El costo de compra de la materia prima es su valor por unidad que llamaremos "K".Dicho costo será necesario en los modelos de inventarios con descuentos por cantidad.Análogamente, para el producto terminado, "K" es el valor de una unidad del producto.Generalmente, para productos terminados, "K" solo incluye los costos directos. Es fácil concluir que en ambos casos (materiales o productos) Cm=Fm.K.


Tema 6. Demanda dependiente e independienteQue es la demanda independiente y dependiente?

En la demanda independiente, las demandas de varias piezas no guardan relación entre si.

En la demanda dependiente, la necesidad de cualquier pieza es un resultado directo de la necesidad de otra, casi siempre un articulo de nivel superior del que forma parte.


Tema 7. Sistemas de inventarios7.1 Sistema ABC7.2 Modelo básico de materia prima7.3 Modelo básico de producto terminado7.4 Modelo para materia prima con descuentos por cantidad7.5 Modelo para producto terminado múltiples7.6 Modelo de inventario de periodo único7.7 Modelo de punto fijo, revisión continua o modelo Q7.8 Modelo de ciclo fijo, revisión periódica o modelo P


7.1 Sistema ABCMantener el inventario mediante el conteo, la elaboración de pedidos, la recepción de existencias, etc., requiere de tiempo del personal y cuesta dinero. Cuando existen límites para estos recursos, el movimiento lógico consiste en tratar de utilizar los recursos disponibles para controlar el inventario de la mejor manera.En otras palabras, enfocarse en las piezas más importante en el inventario.


7.1 Sistema ABC

Cualquier sistema de inventario debe especificar el momento de pedir una pieza y cuántas unidades ordenar. Casi todas las situaciones de control de inventarios comprenden tantas piezas que no resulta práctico crear un modelo y dar un tratamiento uniforme a cada una.

Para evitar este problema, el esquema de clasificación ABC divide las piezas de un inventario en tres grupos:


7.1 Sistema ABC

Volumen de dólares alto (A), volumen de dólares moderado ((B) y volumen de dólares bajo (C).

El volumen en dinero es una medida de la importancia; una pieza de bajo costo pero de alto volumen puede ser más Importante que una pieza cara pero de bajo volumen.


7.1 Sistema ABC

Si el uso anual de las piezas de un inventario se presenta según el volumen de dólares, por lo regular, la lista muestra que un número reducido de piezas representa un volumen de dólares alto y que muchas piezas conforman un volumen de dólares bajo


7.1 Sistema ABC. Ejemplo

Número pieza Uso anual en dólares Porcentaje valor tota22 95000 40.69%68 75000 32.13%27 25000 10.71%

3 15000 6.43%82 13000 5.57%54 7500 3.21%36 1500 0.64%19 800 0.34%23 425 0.18%41 225 0.10%

233450 100.00%



La estrategia ABC divide esta lista en tres grupos según el valor: las piezas A constituyen casi 15% más alto de las piezas, las piezas B 35% siguiente y las piezas C el último 50%.

A partir de la observación, la lista en tabla anterior se puede agrupar con A incluyendo 20% (2 de 10), B incluyendo 30% y C incluyendo 50%.


7.1 Sistema ABC. EjemploEstos puntos muestran límites muy claros entre las secciones. El resultado de esta segmentación se muestra en la siguiente

C10 425 2259500075000250001500013000 7500 1500 800Porcentaje 0.2 0.140.7 32.1 10.7 6.4 5.6 3.2 0.6 0.3

% acumulado 99.9 100.040.7 72.8 83.5 90.0 95.5 98.7 99.4 99.7

C1 4123193654823276822

250000

200000

150000

100000

50000

0

100

80

60

40

20

0

C10

Porcen

taje

Diagrama de Pareto de C1



El propósito de clasificar las piezas en grupos es establecer el grado de control apropiado sobre cada uno. En forma periódica, por ejemplo, las piezas de la clase A quizás estén más controladas con pedidos semanales, las piezas B se podrían pedir cada dos semanas y las piezas C cada uno o dos meses.



Observe que el costo unitario de las piezas no tiene ninguna relación con su clasificación. Una pieza A puede tener un volumen de dinero alto mediante una combinación de bajo costo y alto uso o de costo alto y uso bajo.De manera similar, las piezas C pueden tener un volumen de dinero bajo porque tienen una demanda o un costo bajo.



En una estación de servicio para automóviles, la gasolina sería una pieza A con resurtido diario o semanal;

las llantas, las baterías, el aceite y el líquido de la transmisión podrían ser piezas B y pedirse cada dos a cuatro semanas; y

las piezas C consistirían en válvulas, limpiaparabrisas, tapones de radiador, mangueras, bandas de ventilador, aceite y aditivos para gasolina, cera automotriz, etc. Estas piezas se podrían pedir cada dos o tres meses e incluso permitir que se agotaran antes de volver a pedirlos porque el castigo por las existencias agotadas no es muy serio



Resuelva los ejercicios 15,23 y 29 del libro de administración de operaciones de Chase, Jacobs y Aquilano, 12 edición.


7.2 Modelo básico de materia prima

En lo que se refiere a los inventarios de materias primas, el problema básico a resolver es el siguiente:* Cuando comprar la materia prima,* Que cantidad,de tal manera que se minimice la suma de todos los costos relevantes (en el modelo básico solo "Cp" y "Cm" son relevantes).


7.2 Modelo básico de materia primaObviamente, estas decisiones están relacionadas porque si compramos cantidades grandes, estas serán compradas con poca frecuencia, y vice-versa.La política de la figura (a) conduce a altos costos de mantener y bajos costos de preparación, mientras la política de la figura (b) conduce a bajos costos de mantener pero a altos costos de preparación.

Aparentemente, el problema no tiene solución, sin embargo, la suma de ambos tipos de costos si pasa por un mínimo, como veremos a continuación.


EI modelo básico (también llamado modelo "clásico") de inventarios de materias primas requiere los siguientes supuestos:

* La tasa de demanda (consumo) de la materia prima es constante.* Siempre se pide la misma cantidad "Q".* La cantidad "Q" se entrega de una sola vez.* EI tiempo de entrega del proveedor es conocido y constante.


• No hay faltantes ni sobrantes.

• No hay descuentos por cantidad.

• Independencia: la política de compras de un material no depende de las políticas de los otros.

* No hay limitación de recursos (por ejemplo, dinero, espacio, etc.).


Estos supuestos no son totalmente independientes. Por ejemplo, para que no haya faltantes ni sobrantes es necesario que la demanda sea constante y que el tiempo de entrega sea conocido y constante; la limitación de recursos en general provoca dependencia; etc..

Si todos estos supuestos se cumplen, las afirmaciones a continuación son verdaderas:


El inventario en el modelo clásico se comporta como en la siguiente figura:


EI costo de preparación anual (CPA), el costo de mantener anual (CMA) y el costo total anual (CTA) se comportan como se ilustra en la Figura siguiente


La política optima de compras puede determinarse simplemente encontrando el valor "Qo" que minimiza el costo total anual e ignorando los demás materiales.

CTA = CPA + CMA = (numero de pedidos)(Cp) + (inventario medio)(Cm)CTA =(N)(Cp) + (Q/2)(Cm)CTA = (D/Q)(Cp) + (Q/2)(Cm)

donde: D =demanda anual.Cm = costo de mantener =$/unid.año.Cp =costo de preparación = $/pedido.


El valor de "Q" que minimiza "CTA" se obtiene por derivación y lo llamaremos "Qo“ (cantidad optima):


Ejemplo

Considerando que D=2,500 unid./año, Cm=$0.50/unid.año y Cp=$10/pedido, determinar los parámetros del modelo clásico de materias primas.


7.3 Modelo de inventario de producto terminado

EI modelo básico de materias primas puede ser fácilmente adaptado para reflejar el comportamiento del inventario de un producto terminado. De hecho, la única diferencia consiste en que, cuando se fabrica el lote "Q", el inventario no se incrementa instantáneamente, sino que crece gradualmente de cero a un nivel máximo "Imax" en un tiempo de producción "Tp" con una tasa de crecimiento (P-D), donde "P" es tasa de producción y "D" es tasa de demanda (ambas en unid./unid. de tiempo).


Esta situación se ilustra en la siguiente figura


La consecuencia de que el inventario máximo sea "Imax" en vez de "Q", como en el modelo básico de materias primas, es una pequeña modificación en las formulas del modelo, que quedan así:


Considerando que P=20,000 unid./año, D=5,000 unid./año, Cm=$0.20/unid.año y cp=$10/lote, determinar los parámetros del modelo básico de productos terminados.


Debe resaltarse que en muchas situaciones "P" es mucho mayor que "D", por lo que (1-D/P) ~ 1. Esto implica que, como aproximación, los modelos de materias primas pueden utilizarse también para productos terminados.


7.4 Modelos para materias primas con descuentos por cantidad

Cuando el precio de la unidad de materia prima cambia según la cantidad comprada, el modelo de inventarios se complica un poco. Por simplicidad, consideremos inicialmente un solo cambio de precio a partir de una cantidad comprada "B" (usaremos la letra "B“ de "price break" en vez de "C" de "cambio de precio", debido a que esta ultima letra la estamos usando para "costo").

Tenemos básicamente 3 situaciones:



a) Si Q >= B el precio de todas las unidades compradas disminuye de "K1" a "K2" y el costo de mantener Cm1=Fm.K1 baja a Cm2=Fm.K2.

En otras palabras, el costo de mantener una unidad es directamente proporcional al precio.

Esta suposición será la mas realista cuando el costo del capital sea muy grande en comparación con los demás rubros del costo de mantener.



b) Si Q >= B, el precio de todas las unidades compradas disminuye de "K1" a "K2", pero el costo de mantener permanece constante.

Esta suposición será la mas realista cuando el costo del capital sea relativamente bajo.



Si Q>= B solo el precio de las unidades extras Q-B disminuye. Este modelo también se llama "progresivo" y puede manejarse con "Cm“ proporcional a "K" como en "a" o con "Cm“ constante como en "b".


7.4.1 Modelo con costo de mantener proporcional al precio

Para analizar esta situación, lo primero que tenemos que hacer es agregar a la formula de "CTA" un costo mas, que es el "costo de comprar anual" (este costo no se considero antes porque no afectaba el valor optimo de "Q"):

CCA = (demanda anual)(precio unitario) = (D)*(K)



El costo total anual queda así:CTA = CPA + CMA + CCA = (D/Q)(Cp) + (Q/2)(Cm) + (D)(K)

Como Cm= (Fm)(K),escribimos:

CTA = (D/Q)(Cp) + (Q/2)(Fm)(K) + (D)(K).



En este modelo, "Q" es la única variable independiente y "K" depende de "Q", cambiando bruscamente de "K1" a "K2" cuando Q>=B. Las 4 situaciones posibles se presentan en las Figuras (a), (b), (c) y (d). A continuación, dependiendo de las 4 posiciones diferentes de "B". En estas, la curva de arriba es:

CTAl = (D/Q)(Cp) + (Q/2)(Fm)(Kl) + (D)(Kl)

y la curva de abajo es:

CTA2= (D/Q)(Cp) + (Q/2)(Fm)(K2) + (D)(K2).



Ambas tienen la misma forma que la curva de "CTA" del modelo básico, pero están ubicadas (D.K) mas arriba.

Es importante, antes de seguir adelante, que el lector verifique por su cuenta que "CTA1“ siempre esta por arriba de "CTA2" y que el mínimo de "CTA1" esta a la izquierda del mínimo de "CTA2".

Solo las partes gruesas de las curvas son validas, ya que "CTA2" no existe para Q<B y "CTA1" no existe para Q>=B. El punto mas bajo de la línea gruesa indicara, en cada situación, la solución optima.



En el caso de la Figura (a), podemos observar claramente que la cantidad optima corresponde al punto mínimo de la curva "CTA2" y esta dada por:

Lo mismo ocurre en la Figura (b): " Qo,2 " sigue siendo optima. En otras palabras, si " Qo,2 " esta a la derecha de "B" siempre será optima.



Veamos ahora las Figura (c) y (d). En (c) la solución optima es "B" y en (d) la solución optima es "Qo,1" dada por:



Es decir, cuando "Qo,2" esta a la izquierda de "B", la solución optima puede ser "Qo,1" o "B". La única manera de conocer la solución optima es comparando los costos correspondientes a estas dos cantidades:



Dicho procedimiento puede ser fácilmente generalizado para "n" cambios de precio (B1, B2, ... , Bn) con sus correspondientes (n+1) precios diferentes (K1, K2, ... , Kn+1). Analicemos las Figuras (a), (b), (c) y (d).Empecemos con la Figura (a). Si hay "n" cambios de precio, habrá (n+1) precios diferentes, de modo que la ultima curva tendrá que ser la "CTAn+1".Si "Bn" es menor que "Qo,n+1", esta ultima será sin duda la cantidad optima, ya que ningún otro punto de las (n+1) curvas podrá estar mas abajo que el punto mínimo de la curva "CTAn+1"



Es importante observar que, en el caso de la Figura (a), si compramos una cantidad "Qo,n+1",el proveedor nos cobrara el precio "Kn+1" (!los índices coinciden!) y debido a esto diremos que la cantidad "Qo,n+1" es compatible. Si a una cantidad cualquiera "Qo,i" no corresponde el precio "Ki", diremos entonces que esta cantidad no es compatible.

Observemos, por ejemplo, la cantidad "Qo,n-1“ en la Figura (a). Si compramos esta cantidad, el proveedor nos cobrara el precio "Kn" y por lo tanto la cantidad "Qo,n-1“ no es compatible.



Analicemos ahora la Figura (b). Si "B," es mayor que "Qo,n+1",como se muestra en esta Figura, entonces dicha cantidad no seria compatible y al mismo tiempo no podríamos decir cual seria la cantidad optima, ya que los costos "CTABn" y "CTAo,n" están compitiendo; consecuentemente, tenemos que compararlos para determinar si la cantidad optima es "Bn" o "Qo,n".



Por otro lado, debemos observar que "Qo,n“ si es compatible y por lo tanto cuando "Qo,n+l“ resulta no compatible y "Qo,n“ resulta compatible, tenemos que comparar los costos "CTABn"y "CTAo,n“ para poder llegar a una decisión final.



Observemos ahora la Figura (c). "Qo,n+1"y "Qo,n“ no son compatibles y "Qo,n-1“ si es compatible. La grafica muestra que los costos "CTAo,n-1","CTABn-1"y "CTABn“ están compitiendo y que es indispensable compararlos para poder determinar la cantidad oóptima.



Finalmente, observemos la Figura (d). La única cantidad compatible es "Qo,n-2“ y puede observarse también que para resolver el problema debemos comparar "CTAo,n-2", "CTABn-2","CTABn-1"y "CTABn".


7.4.1 Modelo con costo de mantener proporcional al precio De lo expuesto anteriormente, podemos entonces afirmar que un procedimiento general para resolver problemas con "n" cambios de precio, es el siguiente:

a) Calcular "Qo,n+1"y verificar si es compatible. Si es compatible, esta será la cantidad optima. Si "Qo,n+1"no es compatible, pasar al inciso "b".

b) Calcular "Qo,n"y verificar si es compatible. Si es compatible, comparar "CTAo,n“ con "CTABn"; el menor costa indicara cual es la cantidad optima. Si "Qo,n" no es compatible, pasar al inciso "c".



c) Calcular "Qo,n-1"y verificar si es compatible. Si es compatible, comparar "CTAo,n-1", "CTABn-1"y "CTABn" (debe observarse que se compara "CTAo,n-1"con los costos correspondientes a todas las "Bi" que están a la derecha y que la primera "B," tiene exactamente el mismo sub-indice que "CTAo,n-1",es decir, el sub-indice (n-1)). Comoen el inciso "b", el menor de estos tres costos indicara cual es la cantidad optima. Si "Qo,n-1"no es compatible, pasar al inciso "d".



d) Seguir calculando las demás cantidades "Qo,n-2","Qo,n-3",etc., hasta que se encuentre una cantidad compatible "Qo,i". Comparar entonces "CTAo,i“ con los costos "CTABi", "CTABi+1", ... , "CTABn".El menor costa indicara la cantidad optima.



EjemploUn proveedor tiene la siguiente política de descuentos para una determinada materia prima:Q < 500 unid. K1 = $10.00/unid.500<=Q < 1,000 unid. K2= $9.00/unid.1,000 <= Q <2,000 unid. K3= $8.00/unid.Q >= 2,000 unid. K4= $7.50/unid.Determinar el tamaño optimo de pedido suponiendo que Cp=$300/pedido, Fm=25%/año y D=5,000 unid/año, Considerar que el costo de mantener es proporcional al precio.


7.4.1 Modelo con costo de mantener constante

Cuando el costo de mantener "Cm“ es constante las curvas correspondientes a los "CTAi" serán "concéntricas", es decir, todas pasaran por el mínimo en una misma cantidad "Qo,i" dada por (véase la siguiente Figura.



No habrá ninguna otra diferencia, por lo que podemos seguir aplicando el mismo procedimiento. Debemos recordar, sin embargo, que para todos los "CTAi" el costo de mantener "Cm“ será el mismo.



Un proveedor tiene la siguiente política de descuentos:

Q<200unid. K1 = $20.00/unid.200 <=Q < 800 unid. K2= $15.00/unid800 <=Q < 1,500 unid. K3= $12.00/unid.Q >= 1,500 unid. K4 = $10.00/unid.Considerando un costo de mantener constante, determinar el tamaño optimo de pedido suponiendo que Cp=$400/pedido, Cm=$8 unid/año y D=10,000 unid/año.


7.4.1 Modelo con descuentos progresivos

Como mencionamos anteriormente, en el modelo progresivo tenemos un precio "K1" para las primeras "B1-1" unidades; las siguientes "B2-B1" unidades cuestan "K2"; y así sucesivamente. Por ejemplo, supongamos que B1=100, B2=200, B3=300 y compramos Q=250. Las primeras 99 serán cobradas a "K1"; las siguientes 100 serán cobradas a "K2“ y las siguientes 51 serán cobradas a "K3".



El comportamiento de los costos se ilustra en la Figura a continuación. Observando la siguiente Figura el lector debe recordar que la línea "CTA1" es valida solo de cero a "B1"; la línea "CTA2" es valida solo de "B1" a "B2"; etc.. Por lo tanto, algunas "Qo,i" serán compatibles y otras no. La "Qo,i" compatible que conduzca al costa total anual mínimo es optima.


7.4.1 Modelo con descuentos progresivosFig a. Modelo con descuento progresivo



Analizaremos el modelo con costo de mantener constante por ser mucho mas sencillo, proporcionando la ecuación matemática de las líneas "CTAi", el punto mínimo de estas y la condición de optimalidad.

Si hay 3 "Bi" (cambios de precio), como en la Figura anterior, hay 4 rangos de precio diferentes:



Resumiendo, el procedimiento para el modelo progresivo es el siguiente:

a) Calcular todas las "Qo,i" .b) Verificar cuales "Qo,i" son compatibles.c) Calcular los "CTAo,i" solo de las "Qo,i" compatibles.d) EI minimo "CTAo,i" identificara la "Qo,i" optima



EjemploSupongamos que el proveedor tiene la siguiente política de descuentos:Las primeras 499 unidades, a K1=$10.00.Las siguientes 500 unidades, a K2 = $9.00.Las siguientes 4,000 unidades, a K3 = $8.00.Las siguientes, a K4= $7.50.En otras palabras, tenemos B1=500, B2=1,000, B3=5,000. Además tenemos que D=5,000 unid/año, Cp=$300/pedido y Cm=$2.50/unid/año.Determinar la cantidad optima a comprar.



Solución

Para empezar recordemos que B‘1=499, B'2=999 y B'3=4,999. Las cantidades "Qo,i" son las siguientes:


7.5 Modelo para productos terminados múltiples

Cuando una empresa utiliza el mismo equipo (o grupo de equipos) para la fabricación de varios productos terminados, no siempre es posible calcular los lotes óptimos usándose la formula:



Esto se debe al hecho de que obtendríamos lotes óptimos Qo,1 Qo,2, ... Qo,n

que no necesariamente serian factibles de fabricarse sin que se agotaran las existencias de uno o mas de ellos. En otras palabras, podría darse el caso de que los productos fueran fabricándose en forma secuencial y el inventario del producto "i" se agotara antes de que se completara un ciclo y se volviera a fabricarlo. En este caso, será necesario fabricar lotes diferentes de los lotes "óptimos" calculados con la formula que se encuentra arriba (la palabra “óptimos" esta entre comillas porque si no son factibles dejan de ser optimos).



Cuando hay problemas de agotamiento de existencias antes de que se complete un ciclo, el procedimiento alternativo es determinar un numero de ciclos al año único para todos los productos y con base en este determinar nuevas cantidades. Si el numero de ciclos es optimo (No) las nuevas cantidades también serán optimas.

A continuación deducimos la formula que nos proporciona "No":



EjemploDeterminar las cantidades optimas factibles de tres productos terminados con base en la siguiente información:


7.6 Modelo de inventario de periodo únicoQue es un Modelo de inventario de periodo único?Es un modelo que se basa en decisiones de compra única diseñada para cubrir un periodo fijo y la pieza no se va a volver a pedir.Explique en que situaciones se puede aplicar el modelo de inventario de periodo único?1. Reservaciones adicionales para vuelos. Es común que los clientes cancelen las reservaciones de un vuelo por diversas razones. En este caso, el costo de subestimar (Cu) es una perdida de ganancias debido a un asiento vacio en un vuelo.


7.6 Modelo de inventario de periodo únicoExplique en que situaciones se puede aplicar el modelo de inventario de periodo único?El costo de sobrestimar (Co) las cancelaciones es la compensación con vuelos gratis o pagos en efectivo a los clientes cuando no pueden abordar el avión.2 Pedidos de artículos de moda. Un problema para un minorista que vende artículos de moda es que a menudo solo es posible hacer un pedido para toda la temporada. El Cu es la ganancia perdida debido a las no ventas realizadas. El Co es el costo que resulta cuando se vende con descuento.


7.6 Modelo de inventario de periodo únicoExplique en que situaciones se puede aplicar el modelo de inventario de periodo único?3. Todo tipo de pedido único. Dos ejemplos son pedir camisetas para un acto deportivo e imprimir mapas que se vuelven obsoletos después de cierto tiempo.


7.6 Modelo de inventario de periodo únicoEjemplo 1.Una persona que vende periódicos en un puesto determinado recopilo información durante algunos meses y se dio cuenta de que, en promedio, cada martes se venden 85 periódicos con una desviación estándar de 8. Si el voceador paga 5 C$/periódico y lo vende a C$8. Calcule el nivel de inventario optimo, mediante un análisis marginal


7.6 Modelo de inventario de periodo únicoEjemplo 2.Cuando un hotel está totalmente reservado, el número de cancelaciones de último momento tiene una media de 6 y una desviación estándar de 2. La tarifa por habitación promedio es de $80. Cuando el hotel tiene un exceso de reservaciones y se presenta un cliente con reservación la política es buscarle una habitación en un hotel cercano y pagar la habitación, por lo general, esto le cuesta al hotel, más o menos $200, pues la habitaciones contratadas de último momento son costosas. Cuantas habitaciones debe reservar en exceso el hotel?


7.6 Modelo de inventario de periodo únicoEjemplo 3.Para los datos del problema anterior, considere que se recopilo información y que la distribución de los clientes que no llegaron es la siguiente:

Cantidad de cancelaciones

probabilidad Probabilidad acumulada

0 0.05

1 0.08

2 0.1

3 0.15


Cantidad de cancelaciones probabilidad Probabilidad acumulada

4 0.2

5 0.15

6 0.11

7 0.06

8 0.05

9 0.04

10 0.01

Calcule el número de habitaciones que debe reservar en exceso el hotel, utilizando el método de la distribución de probabilidad discreta


7.7 Sistema de inventarios de varios periodosCuales son los dos tipos generales de sistemas de inventarios de varios periodos?1. Los modelos de cantidad de pedido fija (EOQ o modelo Q)2. Los modelos de periodo fijo (sistema periódico, sistema de revisión periódica,

sistema de intervalo fijo y modelo P)


7.7 Sistema de inventarios de varios periodosPara que se diseñan los sistemas de inventarios de varios periodos?Para garantizar la disponibilidad de una pieza todo el año. Por lo general, la pieza se pide varias veces en el año, la lógica del sistema indica la cantidad real pedida y el momento del pedido.


7.7 Sistema de inventarios de varios periodosCual es la distinción fundamental entre el modelo Q y el modelo P?El modelo Q se basa en sucesos, este inicia un pedido cuando ocurre el acto de llegar a un nivel especifico en el que es necesario volver a hacer un pedido. Este acontecimiento puede presentarse en cualquier momento, según la demanda de las piezas consideradas.

El modelo P se limita a hacer pedidos al final de un periodo determinado, el modelo se basa solo en el paso del tiempo.


7.7 Sistema de inventarios de varios periodosCuales son algunas diferencias adicionales que tienden a influir en la elección de entre el modelo Q y el modelo P?El modelo p tiene un inventario promedio mas numeroso porque también debe ofrecer una protección contra faltantes durante el periodo de revisión, T ; el modelo Q no tiene periodo de revisión.

El modelo Q favorece las piezas mas caras porque el inventario promedio es mas bajo.


7.7 Sistema de inventarios de varios periodosCuales son algunas diferencias adicionales que tienden a influir en la elección de entre el modelo Q y el modelo P?El modelo q es mas apropiado para las piezas importantes o indispensables, pues hay una supervisión mas estrecha y por tanto una respuesta mas rápida ante la posibilidad de carecer de unidades.El modelo Q requiere mas tiempo para su mantenimiento porque se registra cada adición y retiro.


7.7 Sistema de inventarios de varios periodosCuales son las características del modelo Q y del modelo P?

Característica Modelo Q Modelo P

Cantidad de pedido Q, constante (siempre se pide la misma cantidad Q, variable (varia cada vez que se hace un pedido)

Donde hacerlo R, cuando la posición del inventario baja al nivel de volver a pedir

T, cuando llega el periodo de revisión

Registros Cada vez que se realiza un retiro o una adición Solo se cuenta en el periodo de revisión

Tamaño del inventario Menos que el modelo de periodo fijo Mas grande que el modelo Q

Tiempo para mantenerlo Mas alto debido a los registros perpetuos

Tipo de pieza Piezas de precio mas alto, críticos o importante


7.7.1 Modelo Q o cantidad de pedido fija

Cual es el objetivo del modelo Q?Determinar el punto especifico R en que se hará un pedido, así como su tamaño Q. el punto de pedido R siempre es un numero especifico de unidades. Se hace un pedido de tamaño Q cuando el inventario disponible llega al punto R.

Como se define la posición del inventario? Como la cantidad disponible mas la pedida menos los pedidos acumulados.


7.7.1 Modelo Q o cantidad de pedido fijaCuales son las características del modelo básico Q? La demanda del producto es constante y uniforme durante todo el periodo El tiempo de entrega (tiempo para recibir el periodo) es constante El precio por unidad es constante El costo por mantener el inventario se basa en el inventario promedio Los costos de pedido o preparación son constantes Se van a cubrir todas las demandas del producto (no se permiten pedidos

acumulados)



Cual es la ecuación de costo del modelo Q?

Costo anual total= costo de compra anual + costo de pedidos anual + costo de mantener anual.TC=DC+(D/Q)S+(Q/2)HTc = costo total anual Q = cantidad por pedir (la cantidad optima se conoce como EOQ o Qopt)D= demanda anual S= costo de preparación o costo de hacer un pedidoC = costo por unidad H= costo anual de mantenimiento, a menudo H=ic, donde i es

el porcentaje del costo de manejo)



Cual es la ecuación de Qopt y de R?Qopt =

R= dL, donded = demanda diaria promedio (constante)L = tiempo de entrega en días (constante)



Encuentre el EOQ y R, dadosDemanda anual (D) = 1000 unidadesDemanda promedio diaria (d) = 1000/365Costo de pedido (s) = 5 dólares por pedidoCosto de mantenimiento (H)= 1.25 dólares por unidad al anoTiempo de entrega (L) = 5 díasCosto por unidad (c) = 12.5 dólares


7.7.1 Modelo Q o cantidad de pedido fijaSolución √8000= 89.4 unidadesR= 1000/365 * (5) = 13. 7 unidadesTc= (1000*12.5)+(1000/89.4)*5+(89.4/2)*1.25= $12611.81Política de inventarioCuando la posición del inventario baja a 14 unidades se debe hacer un pedido de 89 piezas mas.



Que es el inventario de seguridad?Se define como las existencias que manejan además de la demanda esperada.

En que consiste el enfoque de probabilidad?Consiste en calcular la probabilidad de quedarse sin inventario, no la cantidad de unidades faltantes.


7.7.1 Modelo Q o cantidad de pedido fija con inventarios de seguridad

Un sistema de cantidad de pedido fija vigila en forma constante el nivel del inventario y hace un pedido nuevo cuando las existencias alcanzan cierto nivel, R.

Cuando ocurre el peligro de tener un faltante en el modelo q con inventarios de seguridad?Ocurre solo durante el tiempo de entrega, entre el momento de hacer un pedido y su recepción



Como se muestra en la figura anterior se hace un pedido cuando la posición del inventario baja al punto de volver a pedir, R. Durante este tiempo de entrega, L, es posible que haya gran variedad de demandas. Esta variedad se determina a partir de un análisis de los datos sobre la demanda pasada o de un estimado (en caso de no contar con información sobre el pasado).



El inventario de seguridad depende del nivel de servicio deseado, como ya se vio. La cantidad que se va a pedir, Q, se calcula de la manera normal considerando la demanda, el costo de faltantes, el costo de pedido, el costo de mantenimiento, etc.



Cual es la diferencia básica entre un modelo q en el que se conoce la demanda y otro en el que la demanda es incierta? Radica en el calculo del punto de reorden.Modelo q demanda conocida, R= dLModelo q demanda incierta, R=dL+zσR = punto de reorden en unidadesd = demada diaria promedioL = tiempo de entrega en dias (tiempo transcurrido entre hacer y recibir el pedido)



Cual es la diferencia básica entre un modelo q en el que se conoce la demanda y otro en el que la demanda es incierta? Como se calcula R en cada casoRadica en el calculo del punto de reorden.Modelo q demanda conocida, R= dLModelo q demanda incierta, R=dL+zσZ = numero de desviaciones estandar para una probabilidad de servicio especificaσ = desviacion estandar del uso durante el tiempo de entrega

La cantidad de pedido es la misma en ambos casos.



Como se representa el inventario de seguridad? zσ

Ejemplo punto de reorden Considere un caso de cantidad económica de pedido en el que la demanda anual =1000 unidades, EOQ = 200 unidades, probabilidad deseada de que el inventario no se agote p = 0.95, desviación estándar de la demanda durante el tiempo de entrega σL=25 unidades y tiempo de entrega L=15 días. Determine el punto de reorden. Suponga que la demanda es sobre un ano de 250 días hábiles.


7.7.1 Modelo Q o cantidad de pedido fija con inventarios de seguridadSolución d = 1000/250 = 4 y L = 5 díasR = dL+zσLR = 4*5 + (1.64*25)R = 101Esto indica que, cuando el inventario disponible baje a 101 unidades, es necesario pedir 200 mas.



Ejemplo La demanda diaria de cierto producto tiene una distribución normal con una media de 60 y una desviación estándar de 7. la fuente de suministro es confiable y mantiene un tiempo de entrega constante de seis días. El costo de hacer el pedido es de $10 y los costos de mantenimiento anuales son de $0.5 por unidad. No hay costos por faltantes y los pedidos no cubiertos se cubren tan pronto como llega el pedido. Suponga que las ventas ocurren durante los 365 días del año. Encuentre la cantidad de pedido y el punto de reorden para satisfacer una probabilidad de 95% de que el inventario no se agote durante el tiempo de entrega.


7.7.2 Modelo P

En un sistema de periodo fijo, el inventario se cuenta sólo en algunos momentos, como cada semana o cada mes.

Es recomendable contar el inventario y hacer pedidos en forma periódica en situaciones como cuando los proveedores hacen visitas de rutina a los clientes y levantan pedidos para toda la línea de productos o cuando los compradores quieren combinar los pedidos para ahorrar en costos de transporte.


7.7.2 Modelo P

Los modelos de periodo fijo generan cantidades de pedidos que varían de un periodo a otro, dependiendo de los índices de uso.

Por lo general, para esto es necesario un nivel más alto de inventario de seguridad que en el sistema de cantidad de pedido fija


7.7.2 Modelo P

El sistema de cantidad de pedido fija supone el rastreo continuo del inventario disponible y que se hará un pedido al llegar al punto correspondiente. En contraste, los modelos de periodo fijo estándar suponen que el inventario sólo se cuenta en el momento específico de la revisión.


7.7.2 Modelo P

Es posible que una demanda alta haga que el inventario llegue a cero justo después de hacer el pedido. Esta condición pasará inadvertida hasta el siguiente periodo de revisión; además, el nuevo pedido tardará en llegar. Por lo tanto, es probable que el inventario se agote durante todo el periodo de revisión, T, y el tiempo de entrega, L.


7.7.2 Modelo P

Por consiguiente, el inventario de seguridad debe ofrecer una protección contra las existencias agotadas en el periodo de revisión mismo, así como durante el tiempo de entrega desde el momento en que se hace el pedido hasta que se recibe.


7.7.2 Modelo P


7.7.2 Modelo Periodo fijo con inventarios de seguridadEn un sistema de periodo fijo, los pedidos se vuelven a hacer en el momento de la revisión (T), y el inventario de seguridad que es necesario volver a pedir es

Inventario de seguridad = zσT + L


7.7.2 Modelo Periodo fijo con inventarios de seguridad

La cantidad a pedir, q, es


7.7.2 Modelo Periodo fijo con inventarios de seguridad

dondeq = Cantidad a pedirT = El número de días entre revisionesL = Tiempo de entrega en días (tiempo entre el momento de hacer un pedido y recibirlo)d= Demanda diaria promedio pronosticadaz = Número de desviaciones estándar para una probabilidad de servicio específicaσT + L = Desviación estándar de la demanda durante el periodo de revisión y entregaI = Nivel de inventario actual (incluye las piezas pedidas)


7.7.2 Modelo Periodo fijo con inventarios de seguridadEjemplo

La demanda diaria de un producto es de 10 unidades con una desviación estándar de 3 unidades. El periodo de revisión es de 30 días y el tiempo de entrega de 14 días. La gerencia estableció la política de cubrir 98% de la demanda con las existencias. Al principio de este periodo de revisión, hay 150 unidades en el inventario.¿Cuántas unidades se deben pedir?


Referencias Bibliográficas

Chase, R; Jacobs, F.R. & Aquilano, N. (2009). Administracion de operaciones, producción y cadena de suministro. McGrawHill, México.

Chase, R & Jacobs, F.R. (2014). Administracion de Operaciones, producción y cadena de suministro. McGrawHill, México.

De Holanda, R. (2003). Administracion de Operaciones. Temas selectos, Aplicaciones y un caso de estudio. ITESM, México.

Modelos de administracion de inventarios

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