modelo, topologia y ecuaciones de redes

7/25/2019 modelo, topologia y ecuaciones de redes

1/22

1

Universidad del Zulia

Facultad de Ingeniera

Escuela de Elctrica

Departamento de Circuitos y Comunicaciones

Ctedra: Circuitos Elctricos

Asignatura: Circuitos Elctricos III

Proesor: Dilio !inc"n

!eali#ado por:Aguilar !o$erto CI: %&'()*')+)

,rti# Cesar CI: %%'+*('*-&

.aracai$o/ A$ril de %+-)

CAPITULO 3. Modelo de Red


2/22

2

Dibuje el modelo en el dominio de frecuencia compleja y escriba las

ecuaciones de las corrienes de mallas de la si!uiene red

2 5

10V +_

0.4 H0.5H 2 F

M =0.2 H

Circuito e0uivalente en el dominio de la recuencia comple1a'

10/s V

2 5

0.4s 0.5s

I1 I2 I3

0.5/s

Aplicando el mtodode ormato'

Ecuaci"n de la malla -

0.2s(I2-I3)V 0.2s(I1-I2) V

2 % 32 S

54I152

2

54SI2=

10

S5+/%S2 I2 I34

2 % 32 S

54I152

S

54I252

S

54I3 =

10

S 2-4

Ecuaci"n de la malla %


3/22

3

5 2

5SI132* 3

9

10S4I25 +/*SI3=+/%S2 I2 I345+/%S2 I1 I24

52 S

5

4I132* 35

10

S4I253

10

SI3=+ 2%4

Ecuaci"n de la malla &


4/22

5+/*SI23 2+/*S30,5

S4I3=+/%S2 I1 I24

52 S

54I152

3 S

104I2 3 2+/*S3

0,5

S4I3=+ 2&4

CAPITULO ". Topolo!#a de Redes

-4 En el circuito de la igura/ seleccione un r$ol y escri$a las matrices deincidencia/ de con1untos cortados undamentales y de circuitos undamentales'


5/22

6rao lineal e0uivalente

A & 7

% 8

- *

C

7uscando la mati# de incidencia aumentada y $ase

9aciendo un ;C en cada nodo suponiendo positivas las corrientes 0ue salen


6/22

Q=[1 1 1 0 01 1 0 1 1 ] / y ordenada es: Q=[1 1 0 1 01 1 1 0 1 ].atri# de circuito undamental'

A & 7

Cf1

Cf 2

% 8 Cf5

- *

C

B=

[1 0 1 1 0

0 1 1 1 10 0 0 1 1]

/ y ordenada es: B=

[1 0 0 1 1

0 1 0 1 10 0 1 0 1]

CAPITULO $.%cuaciones de Redes

%n los si!uienes problemas deermine las corrienes de mallas y los&olajes de nodos uili'ando odos los m(odos e)plicados en el capiulo

1)


7/22

6rao lineal e0uivalente

Formulaci"n matricial del anlisis de mallas

Im=Zm1 {B[Ee+1sVe ( 0 )Le ie (0 )]}


8/22

Ve(0 )=[

0

0

0

2

0] Y ie (0 )=[

0

14

0

0]

a matri# de los elementos es:

Ze=[

5 0 0 0 0

0 3 s 2 s 0 0

0 2 s 2 s 0 0

0 0 0 1/s 00 0 0 0 4

]El vector de e>citaci"n es:

Ee=[12 /s

0

4 /s0

0]

a matri# de los circuitos cortados es:

B=[1 1 0

1

1

0 0 1 1 1], entonces B

T

=

[ 1 0

1 0

0 11 11 1]Entonces

Le=

[

0 0 0 0 0

0 3 2 0 0

0 2 2 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

]as corrientes de mallas son:Im=[

s+8

s2+5s

8 s3+48s2+23s+8

2s4+14 s3+21s2+5s

] AAplicando la transormada inversa de aplace'


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L1=[L

1 [I1 ]L

1 [I2 ] ]=[ L

1[s+8s2+5 s ]L

1[ 8 s3+48 s2+23 s+8

2 s4+14 s3+21 s2+5 s ]]A

Entonces

i ( t)=[i1(t)i2(t)]=[

85+

3

5e5t

1.60.6 e5 t1.33 e0.29 t+4.33 e1.71 t]AFormulaci"n matricial del anlisis de nodos

Vn=ZnA Ze1

[Ee+

1

sVe(0)Le ie ( 0 )

]Zn=Yn1Yn=A Ze

1A

T

a matri# de incidencia $ase

A=[1 1 0 0 00 0 1 1 0

0 0 0 1 1]

Ze1=[

0.2 0 0 0 0

0 1

s

2

s 0 0

0 2

s

3s

0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0.25]Entonces

Yn=

[s5

5 s

2s

0

2s

s23

s s

0 s 4 s+1

4 ]Entonces


10/22

Vn=

[

7 s2+264 s61

s317 s223 s5

14 s374 s2+58 s+20

( s317 s223 s5 ) s

16 s2

112s+40s

317 s223 s5

]V

Aplicando la transormada de aplace'

L1 [Vn ]=

[ L

1[ 7 s2+264 s61

s317s223s5 ]

L1

[

14 s374 s2+58 s+20

(s

3

17 s

2

23s

5

)s

]L1[16 s2112s+40

s317s223s5 ]]

V

Finalmente

Vn(t)=[22.71 et+9.85 e0.27 t+19.86 e18.27 t

9 et+0.46 e0.27 t9.46 e18.27 t+412 et+5.33 e0.27t9.33 e18.27 t]V

2)

Formulaci"n matricial del anlisis de nodos

?olta1es de nodos:


11/22

7uscando las matrices a utili#ar:

Ze=

[1 0 0 0

0 3 s s 0

0 s s 0

0 0 0 9

s ]A=[

1 1 0 00 1 1 1]

V(0)=

[ 0

00

3]I(0)=[

0

43

0]L=[

0 0 0 0

0 3 1 0

0 1 1 0

0 0 0 0]E(s)=

[

0

0

15

s

12

s

]A@ora aplicando la siguiente ecuaci"n:

Yn1=[A Ze1AT]

1

!esolviendo tenemos:

Yn1=[

2 s

2 s+1 0

0 9 s

s2+9

]e aplica a@ora:

Vn=Yn1

A Ze1(E(s)+ v(0)s L i(0))

Finalmente la matri# de los volta1es nos 0ueda:

Vn=[ 8 s15

2 s2+s

9 s2+63 s+135

s ( s2+9 )]

eparando los volta1es:


12/22

VA=8 s15

2 s2+s

VB=9 s

2+63 s+135

s ( s2+9 )e sa$e 0ue:

Vc=15

s

Aplicando la transormada inversa de aplace'

VA=1519 et

2

VB=156cos3 t+21sin3 tVC=15

Formulaci"n matricial del anlisis de mallas

9allamos las corrientes de mallas

e orma el grao y se elige el r$ol seBalado

7uscando las matrices a utili#ar:

Ze=

[1 0 0 0

0 3 s s 0

0 s s 0

0 0 0 9

s ]B=[

1 1 0 10 0 1 1]

V(0)=

[ 0

00

3]I(0)=[

0

43

0]L=[

0 0 0 0

0 3 1 0

0 1 1 0

0 0 0 0]E(s)=[

0

0

15

s

12

s]

A@ora aplicando la siguiente ecuaci"n:


13/22

Zm1= [B Ze BT]

1

!esolviendo tenemos:

Zm1

=

[ 1

2 s+11

2 s+1

12 s+1

3 s2+s+92 s3+s2+18 s+9 ]e aplica a@ora:

Im=Z

m

1(B(E(s)+ v(0)s Li(0)))

Finalmente la matri# de la corriente nos 0ueda:

Im=[ 8 s15

2 s2+s

6 s3+34 s266 s+135

s ( 2 s3+s2+18 s+9)]

eparando las corrientes:

I1=8 s15

2 s2+s

I2=6 s3+34 s266 s+135

s (2 s3+s2+18 s+9 )

Aplicando la transormada de aplace'

I1=1519e

t

2

I2=15+19 e

t

27cos3 t2sin 3 t


14/22

M%TODO *RA+ICO D% MA,O-

El diagrama de $lo0ues es til para la representaci"n grica de sistemas decontrol dinmico y se utili#a e>tensamente en el anlisis y diseBo de sistemas decontrol' ,tro procedimiento alternativo para representar gricamente la dinmicadel sistema d control/ es el mtodo de los gricos de lu1o de seBal/ atri$uido a'' .ason'

Un grico de lu1o de seBal es un diagrama 0ue representa un con1unto deecuaciones alge$raicas lineales simultneas' Al aplicar el mtodo de gricos delu1o de seBal al anlisis de sistemas de control/ primero @ay 0ue transormar las

ecuaciones dierenciales lineales en ecuaciones alge$raicas en s'

Un grico de lu1o de seBal consiste en una red en la cual los nodos estnconectado por ramas con direcci"n y sentido' Cada nodo representa una varia$ledel sistema y cada rama conectada entre dos nodos/ acta como un multiplicadorde seBal' presarse en trminos de la unci"n de transerencia entre dos nodos'


15/22

Rama:Una rama es un segmento de lnea con direcci"n y sentido/ 0ue une dosnodos' a ganancia de una rama es una transmitancia'

Nodo de entrada o fuente:


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+rmula de !anancia de Mason para !r/ficos de flujo de se0al.

En muc@os casos prcticos se desea determinar la relaci"n entre una varia$le deentrada y una varia$le de salida en el grico de lu1o de seBal' a ganancia entreun nodo de entrada y un nodo de salida es la ganancia total/ entre esos dosnodos'

a "rmula de ganancia de .ason/ 0ue es aplica$le a la ganancia total/ est dadapor

P=1

k

Pkk


17/22

Donde:P

k ganancia de la GHsima trayectoria directa

determinante del grico -H2suma de todos los la#os de ganancias individuales4 3 2suma de losproductos de ganancia de todas las com$inaciones posi$les de dos la#osdis1untos4 H 2suma de los productos de ganancia de todas las com$inacionesposi$les de tres la#os dis1untos4 3

1a

La+b , c

LbLcd ,e ,f

LdLeLf+

k coactor del determinante de la GHsima trayectoria directa del grico con

los la#os 0ue tocan la GHsima trayectoria directa eliminados/ el coactor k se

o$tiene a partir de / 0uitando los la#os 0ue tocan la trayectoria Pk '

E1emplo:

,$tener la unci"n de transerencia C2s4 !2s4 del siguiente diagrama de $lo0ues/utili#ando la ormula de .ason'

El grico de lu1o de seBal de este diagrama de $lo0ues es

En este sistema @ay una sola trayectoria directa entre la entrada !2s4 y la salidaC2s4' a ganancia de trayectoria directa es'

P1=G1G2 G3


18/22

E>isten tres la#os/ cuyas ganancias son

L1=G1G2H1L2=G2 G3H2L

3=G

1

G2

G3

Para ser la#os dis1untos estos la#os no de$en de tener ni ramas ni nodos encomn/ por lo 0ue no e>isten la#os dis1untos'

El determinante es

=1(L1+L2+L3 )=1G1 G2H1+G2 G3H2+G1G2 G3El nmero de coactores del determinante es el nmero de trayectorias directasentre la entrada y la salida/ como en este sistema solo @ay una trayectoria directa/solo e>iste un coactor del determinante'

e o$tiene el coactor del determinante a lo largo del trayecto directo 0ue conectael nodo de entrada con el nodo de salida/ retirando los la#os 0ue tocan estetrayecto' Como el trayecto P- toca los tres la#os/ se o$tiene

1=1

Por tanto/ la ganancia total entre la entrada !2s4 y la salida C2s4 o unci"n detranserencia de la#o cerrado/ est dada por

C(s)

(s )=

!1 1

=

G1 G2G3

1G1 G2H1+G2 G3H2+G1G2G3


19/22

EE!CICI,:

!esolver el siguiente diagrama de $lo0ues de orma graica y mediante la tcnicade lu1o gramas'

!esolviendo primero gricamente:

En primer lugar se @a ordenado el diagrama de $lo0ues de orma tpica:

A@ora los $lo0ues de 6* y 6% se mueven delante del punto de $iurcaci"n:


20/22

e agrupan los $lo0ues de realimentaci"n interna:

Agrupando en un nico $lo0ue la realimentaci"n interna:


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Agrupando inalmente los elementos restantes:

Aplicando la tcnica de los Flu1ogramas:

e construye en primer lugar el 1u1ograma correspondiente al sistema:

e resuelve aplicando la regla de .ason:a relaci"n de entre la salida C2s4 y la entrada !2s4/ viene dada por:

C(s) (s )

="(s)=

k

Tkk

iendo:

2Determinante del lu1ograma4 # i$k+

1# i+ #i$

rayectos directos: Ja0uellos 0ue partieron de un nodo uente llegan a un nodoinal sin pasar dos veces por el mismo nodoK'

#i : 6anancia de cada la#o

# i Igual a la suma de ganancias de los $ucles 0ue tienen algn nodo comncon cual0uier trayecto directo'


22/22

# i$ Igual a la suma de los productos de las ganancias de todas lascom$inaciones posi$les de dos $ucles dis1untos'

Tk Es la ganancia de GHsimo trayecto directo'

k e calcula igual 0ue / pero eliminando los $ucles 0ue tienen algn nodo

comn con el GHsimo trayecto directo'

rayectos directos:

T1=G

3G

8G

2G

5G

1

a#os:

#1=G3 G8 G2 G5G1#

2=G

8G

7G

6

#3=G

8G

2G

5G

4G

6

# i=#1+#2+#3=G3G8G2G5G1G8G7G6G8G2G5G4G6

E>isten la#os dis1untos:

=1 #i=1#1+#2+#3=1+G3G8 G2G5 G1+G8G7 G6+G8 G2 G5G 4G6

1=1

C(s) (s )

="( s)=k Tkk

= G3 G8G2 G5G1

1+G3G8 G2G5 G1+G8G7 G6+G8 G2 G5G 4G 6

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