MODELO POBLACIONAL

MODELOS EXPONENCIALES

MODELO POBLACIONAL

Nos interesa estudiar como cambia el número de individuos de cierta especie en el tiempo t. En nuestro análisis se tomara en cuenta el número de nacimientos y de muertes de dicha población

Vamos a considerar que el número de nacimientos y el número de muerteses directamente proporcional al número de individuos presentes en elinstante t.

A este tipo de modelos se los conoce como Modelo de Malthus

Bajo estos supuestos definiremos la tasa de crecimiento y la tasa de muerte

MODELOS EXPONENCIALES

MODELO POBLACIONAL

𝑘1 𝑁(𝑡)

𝑘2 𝑁(𝑡)

Las constantes de proporcionalidad 𝑘1, 𝑘2 son positivas

La tasa de nacimientos será igual a:

La ecuación nos da el número de nacimientos por unidad de tiempo

La tasa de muertes será igual a:

La ecuación nos da el número de muertes por unidad de tiempo

MODELOS EXPONENCIALES

MODELO POBLACIONAL

𝑁 𝑡 es igual al número de individuos de una población en un instante t

La cantidad de individuos que se incremento en el intervalo ∆𝑡 es igual a

𝑁 𝑡 + ∆𝑡 − 𝑁 𝑡

𝑁 𝑡 + ∆𝑡 es igual al número de individuos después de un cierto Intervalo de tiempo ∆𝑡

Si:

Tenemos que:

MODELOS EXPONENCIALES

MODELO POBLACIONAL

Por otro lado tenemos que el número de nacimientos en un cierto intervalode tiempo ∆𝑡 es igual a

𝑘1 𝑁 𝑡 ∆𝑡

El número de muertes en un cierto intervalo de tiempo ∆𝑡 es igual a

𝑘2 𝑁 𝑡 ∆𝑡

MODELOS EXPONENCIALES

MODELO POBLACIONAL

Con estos resultados podemos decir que la cantidad de individuos que se Incrementaron en el intervalo ∆𝑡

𝑁 𝑡 + ∆𝑡 − 𝑁 𝑡

es igual al número de nacimientos en el Intervalo ∆𝑡 menos el número de muertes en ese mismo intervalo ∆𝑡

𝑘1 𝑁 𝑡 ∆𝑡 - 𝑘2 𝑁 𝑡 ∆𝑡

MODELOS EXPONENCIALES

MODELO POBLACIONAL

La expresión:

𝑁 𝑡 + ∆𝑡 − 𝑁 𝑡 = 𝑘1 𝑁 𝑡 ∆𝑡 - 𝑘2 𝑁 𝑡 ∆𝑡

Nos permite plantear la tasa de crecimiento poblacional para un intervalo ∆𝑡

𝑁 𝑡 + ∆𝑡 − 𝑁 𝑡

∆𝑡= 𝑘1 − 𝑘2 𝑁(𝑡)

Si ∆𝑡 → 0

MODELOS EXPONENCIALES

MODELO POBLACIONAL

Obtenemos una ecuación diferencial que modeliza la velocidad de crecimientode la población:

𝑑𝑁

𝑑𝑡= 𝑘 𝑁(𝑡)

Recordemos que la constante 𝑘 es igual a la diferencia entre las constantes De proporcionalidad para los nacimientos y las muertes

𝑘 = 𝑘1 − 𝑘2

La ecuación nos dice que la velocidad de crecimiento de la población es directamente proporcional a la población presente en un instante 𝑡

MODELOS EXPONENCIALES

MODELO POBLACIONAL

La solución de la ecuación diferencial que modeliza la velocidad de crecimiento de la población:

𝑑𝑁

𝑑𝑡= 𝑘 𝑁(𝑡)

Esta dada por:

𝑁 𝑡 = 𝐴𝑒𝑘𝑡

Donde A es la constante de integración y su valor depende de las condicionesiniciales del problema

MODELOS EXPONENCIALES

MODELO POBLACIONAL

Si 𝑘1 > 𝑘2 es decir si los nacimientos son mayores a las muertes se tiene que

𝑘 = 𝑘1 − 𝑘2 > 0

Por lo tanto la población dada por la ecuación

𝑁 𝑡 = 𝐴𝑒𝑘𝑡

Crece en forma exponencial

MODELOS EXPONENCIALES

MODELO POBLACIONAL

Si 𝑘1 < 𝑘2 es decir si el número de nacimientos son menores al número de muertes se tiene que

𝑘 = 𝑘1 − 𝑘2 < 0

Por lo tanto la población dada por la ecuación

𝑁 𝑡 = 𝐴𝑒𝑘𝑡

decrece en forma exponencial

MODELOS EXPONENCIALES

MODELO POBLACIONAL

El modelo poblacional

𝑑𝑁

𝑑𝑡= 𝑘 𝑁(𝑡)

Conocido como “Modelo de Malthus”, es valido para pequeños intervalos de Tiempo y cuando la población no es muy grande.

Pues si la población es muy grande se debe tomar en cuenta no solo los nacimientos y las muertes sino también la densidad poblacional, espacio físico, alimentos etc.

Corina Villarroel RobalinoDOCENTE