Modelo Multicriterio

UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN

E.A.P. INGENIERÍA DE SISTEMAS

MODELOS CON CRITERIO MULTIPLES UTILIZANDO EL PROCESO ANALITICO DE JERARQUIAS

Asignatura: Investigación Operativa II

Huacho - Perú

2015

Es una Metodología de análisis multicriterio desarrollada por Thomas L. Saaty. Es una técnica estructurada para tratar con decisiones complejas. El PAJ ayuda

a los decisores a encontrar la solución que mejor se ajusta a sus necesidades y a su compresión del problema.

El PAJ provee un marco de referencia racional y comprensivo para estructurar un problema de decisión, para representar y cuantificar sus elementos, para relacionar esos elementos a los objetivos generales, y para evaluar alternativas de solución.

CONCEPTO:

Características Principales:

Está diseñado para resolver problemas complejos con criterio múltiple.

El proceso requiere que quien toma las decisiones proporcione evaluaciones subjetivas respecto a la importancia relativa de cada uno de los criterios y que después especifique su preferencia con respecto a cada una de las alternativas de decisión y para cada criterio.

Es parte de una metodología estructurada para tratar decisiones complejas, basada en la descomposición del problema (meta a alcanzar u objetivos).

El método PAJ se caracteriza por su flexibilidad la cual facilita el entendimiento de la situación de los problemas que permite llevar a cabo un proceso ordenado y gráfico de las etapas para la toma de decisiones.

El resultado de la aplicación del método PAJ es un conjunto de prioridades finales (totales), la cual está representada mediante una escala de razón válida para la toma de decisiones.

Axiomas Básicos:

Axioma de comparación reciproca: El decisor debe ser capaz de realizar comparaciones y establecer la fuerza de sus preferencias. La intensidad de estas preferencias debe satisfacer la condición reciproca: “Si A es x veces preferido que B, entonces B es 1/x veces preferido que A”.

Axiomas de Homogeneidad: Las preferencias se representan por medio de una escala limitada.

Axiomas de Independencia: Cuando se expresan preferencias, se asume que los criterios son independientes de las propiedades de las alternativas.

Axiomas de las expectativas: Para el propósito de la toma de una decisión, se asume que la jerarquía es completa.

Metodología del Proceso Analítico Jerárquico (PAJ) /Saaty

PRIMERA ETAPA: Representación Gráfica del problema

Para esto se requiere representar el problema mediante la construcción de un arreglo jerárquico de al menos tres niveles (modelo), llamado diagrama de árbol. La jerarquía resultante debe ser completa, representativa, no redundante. Además debe considera los aspectos más importantes del proceso (actores, escenarios, factores o elementos).

SEGUNDA ETAPA: Evaluación de los criterios de Valoración

En esta etapa se incorporan las preferencias, gustos y deseos de los actores mediante juicios incluidos en las denominadas matrices de comparación pareadas (MCP). Estas matrices cuadradas reflejan la denominación relativa de un elemento frente a otro respecto a un atributo o propiedad común.

Definir la correspondencia entre la valoración cualitativa del decisor y la asignación numérica. Utilizando la escala sugerida por SAATY.

Los valores 2.4.6.8 suelen utilizarse en situaciones intermedias y las cifras decimales en estudio de gran precisión.

En esta etapa se construye una matriz A, a partir de la comparación de los diferentes criterios con el propósito de estimar la importancia relativa entre cada uno de ellos. Estas matrices son denominadas matrices de comparación pareadas.

Sea A una matriz n x n, donde n € Z+. Sea Aij el elemento (i, j) de A, para i=1, 2,….n y j=1, 2,...n. Decimos que a es una Matriz de Comparaciones Pareadas (MCP) de n alternativas si Aij es la medida de la preferencia de la alternativa en la fila i cuando se le compara con la alternativa de la columna j. Cuando i = j, el valor de Aij será igual a 1, pues se está comparando la alternativa consigo misma.

TERCERA ETAPA: Análisis de Alternativas / Síntesis de Juicio

Comprende el análisis de las distintas opciones propuestas para valorar en qué medida éstas satisfacen cada uno de los Criterios. Este grado de satisfacción puede ser medido a partir de escalas diferentes, a saber: ordinal, cardinal, nominal, dependiendo de las particularidades del criterio. El resultado es una matriz que, una vez obtenida, se normaliza y con ella se construye el Vector de Prioridades

Sumar los valores de cada columna en la MCP. Dividir cada elemento de la MCP entre el total de su columna, creando

así una matriz resultante denominada Matriz de Comparaciones Pareadas Normalizada (MCPN).

Convertir la MCPN en decimal y promediar los elementos de cada fila de la MCPN, los cuales proporcionan una estimación de las prioridades relativas de los elementos que se comparan.

Promedio = vector de prioridades

CUARTA ETAPA: Análisis de Sensibilidad

Este análisis permite visualizar y analizar la sensibilidad del resultado (ordenación de alternativas) respecto de posibles cambios en la importancia de los criterios (supuestos). Las secuencias necesarias para estimar la RC son:

Dividir los elementos del vector de suma ponderada entre el correspondiente valor de prioridad.

Evaluar el promedio de los valores que se determinaron en el paso anterior.

Calcular el Índice de Consistencia (IC) Determinar la RC.

Comprobar la consistencia de los juiciosPara evaluar la consistencia del decisor se debe calcular primero la Razón de Consistencia (RC), mediante la siguiente formula:

Donde: RC: Representación de ConsistenciaIC: Representa el valor de Índice de consistenciaIA: Representa el valor del Índice Aleatorio.

Si RC = 0, la matriz es consistente. Si RC ≤ 0.10, la matriz “A” tiene una inconsistencia es admisible, lo que significa

que se considera consistente y el vector de pesos obtenido se admite como válido.

Si RC > 0.10, la inconsistencia es inadmisible, por lo que se aconseja revisar los juicios.

Para calcular el índice de consistencia (IC) de la siguiente forma:

Para calcular el valor del índice aleatorio (IA), se tendrá en cuenta el siguiente cuadro que está en función de la dimensión de la matriz (n):

El índice de consistencia aleatorio (IA) se ha obtenido mediante la simulación de 100.000 matrices reciprocas generadas aleatoriamente utilizando la escala de Saaty (1/9, 1/8,……., 1,…., 8, 9).

CASO APLICATIVO:

Un estudiante pre-universitario que se encuentra en una situación de incertidumbre, donde está considerando postular a una casa de estudios universitarios en el distrito de Huacho provincia de Huaura y ha considerado 5 criterios para este fin, los cuales son: Ambiente, Costo, Nivel Académico, Infraestructura, Cercanía. Además de 5 alternativas UAP, UNJFSC, USP, ULADECH, UCSS. Para comprobar cuál de los criterios es el más importante en comparación con los demás, al tomar una decisión se pide:

Representar una jerarquía para el caso y calcular las prioridades de cada una de las matrices.

Determinar la prioridad global e indique la decisión a tomar. Evaluar la consistencia de matriz de costos.

Primera Etapa:

El objetivo es la elección de la mejor universidad, basando no solo en gusto sino en bases a criterio que deberían ser tomados en cuenta al momento de elegir una universidad.

Segunda Etapa:

En esta etapa se determina la escala de comparaciones pareadas para las preferencias en el PAJ. Además en esta etapa se realiza alguna de las operaciones pareadas para completar cada una de las matrices que les corresponde a cada una de las alternativas en función al criterio que se evalúa.

Matriz de comparaciones pareadas para 5 criterios en términos de la Meta Global

A C NE IN CN

A 1 1/4 4 1/3 1/4

C 4 1 3 3 4

NE 1/4 1/3 1 2 1/2

IN 3 1/3 1/2 1 3

CN 4 1/4 2 1/3 1

Matriz de comparaciones pareadas para las prioridades de las 5 Alternativas en términos del Ambiente (C1)

Matriz de comparaciones pareadas para las prioridades de los 5 Alternativas en términos del costo (C2)

UAP UNJFSC USP ULADECH UCSS

UAP 1 1/4 2 3 2

UNJFSC 4 1 4 3 3

USP 1/2 1/4 1 2 3

ULADECH 1/3 1/3 1/2 1 1/2

UCSS 1/2 1/3 1/3 2 1


UAP 1 1/3 2 2 3

UNJFSC 3 1 4 3 3

USP 1/2 1/4 1 2 1/2

ULADECH 1/2 1/3 1/2 1 1/2

UCSS 1/3 1/3 2 2 1

Matriz de comparaciones pareadas para las prioridades de las 5 Alternativas en términos del Nivel Académico (C3)

Matriz de comparaciones pareadas para las prioridades de las 5 Alternativas en términos de la Infraestructura (C4)


UAP 1 3 1/3 3 3

UNJFSC 1/3 1 4 3 4

USP 3 1/4 1 4 1/3

ULADECH 1/3 1/3 1/4 1 1

UCSS 1/3 1/4 3 1 1


UAP 1 3 4 3 4

UNJFSC 1/3 1 4 4 1

USP 1/4 1/4 1 1/2 3

ULADECH 1/3 1/4 2 1 1

UCSS 1/4 1 1/3 1 1

Matriz de comparaciones pareadas as prioridades de los 5 Alternativas en términos de la Cercanía (C5)


UAP 1 2 1/3 1/2 1/3

UNJFSC 1/2 1 1/2 1/4 1/2

USP 3 2 1 2 3

ULADECH 2 4 1/2 1 1/3

UCSS 3 2 1/3 3 1

Tercera Etapa: Análisis de Alternativa / Síntesis de Juicio

Calculo del Vector de Prioridades: Para esta necesitamos representar la importancia relativa de los criterios, la cual se representara mediante matrices, cada criterio estará definido por una matriz donde se evaluara cada una de las alternativas.

Sumar los valores de cada columna en la MCP. Dividir cada elemento de la MCP entre el total de su columna, creando así

una matriz resultante denominada Matriz de Comparaciones Pareadas Normalizada (MCPN).

Convertir la MCPN en decimal y promediar (Vector de Prioridades) los elementos de cada fila de la MCPN, los cuales proporcionan una estimación de las prioridades relativas de los elementos que se comparan.

Las prioridades de los 5 criterios en términos de la Meta Global

A C NE IN CN

A 1 1/4 4 1/3 1/4

C 4 1 3 3 4

NE 1/4 1/3 1 2 1/2

IN 3 1/3 1/2 1 3

CN 4 1/4 2 1/3 1

SUMA 49/4 13/6 21/2 20/3 35/4

A C NE IN CN

A 4/49 3/26 8/21 1/20 1/35

C 16/49 6/13 2/7 9/20 16/35

NE 1/49 2/13 2/21 3/10 2/35

IN 12/49 2/13 1/21 3/20 12/35

CN 16/49 3/26 4/21 1/20 4/35

SUMA 1 1 1 1 1

A C NE IN CNVP

A 0.082 0.115 0.381 0.05 0.0290.131

C 0.326 0.462 0.286 0.45 0.4570.396

NE 0.020 0.154 0.095 0.3 0.0570.125

IN 0.245 0.154 0.048 0.15 0.3430.188

CN 0.326 0.115 0.190 0.05 0.114 0.159

Las prioridades de los 5 Alternativas en términos del Ambiente (C1)


UAP 1 1/4 2 3 2

UNJFSC 4 1 4 3 3

USP 1/2 1/4 1 2 3

ULADECH 1/3 1/3 1/2 1 1/2

UCSS 1/2 1/3 1/3 2 1

SUMA 19/3 13/6 47/6 11 19/2

UAP UNJFSC USP ULADECH UCSS VP

UAP 0.158 0.115 0.255 0.272 0.210 0.202

UNJFSC 0.632 0.462 0.510 0.272 0.316 0.438

USP 0.079 0.115 0.128 0.182 0.316 0.164

ULADECH 0.053 0.154 0.064 0.091 0.053 0.083

UCSS 0.078 0.154 0.043 0.182 0.105 0.112

Las prioridades de los 5 Alternativas en términos de Costo (C2)


UAP 1 1/3 2 2 3

UNJFSC 3 1 4 3 3

USP 1/2 1/4 1 2 1/2

ULADECH 1/2 1/3 1/2 1 1/2

UCSS 1/3 1/3 2 2 1

SUMA 16/3 9/4 19/2 10 8

UAP UNJFSC USP ULADECH UCSSVP

UAP 0.187 0.148 0.210 0.2 0.375 0.224

UNJFSC 0.562 0.444 0.421 0.3 0.3750.420

USP 0.094 0.111 0.105 0.2 0.062 0.114

ULADECH 0.094 0.148 0.053 0.1 0.0620.091

UCSS 0.063 0.148 0.210 0.2 0.125 0.149

SUMA 1 1 1 1 1

Las prioridades de los 5 Alternativas en términos del Nivel Académico (C3)


UAP 1 3 1/3 3 3

UNJFSC 1/3 1 4 3 4

USP 3 1/4 1 4 1/3

ULADECH 1/3 1/3 1/4 1 1

UCSS 1/3 1/4 3 1 1

SUMA 5 29/6 103/12 12 28/3


UAP 0.2 0.621 0.038 0.25 0.321 0.286

UNJFSC 0.06 0.207 0.466 0.25 0.4290.282

USP 0.60 0.052 0.116 0.333 0.036 0.227

ULADECH 0.06 0.068 0.029 0.083 0.1070.069

UCSS 0.06 0.052 0.349 0.083 0.107 0.130

SUMA 1 1 1 1 1

Las prioridades de los 5 Alternativas en términos de la Infraestructura (C4)


UAP 1 3 4 3 4

UNJFSC 1/3 1 4 4 1

USP 1/4 1/4 1 1/2 3

ULADECH 1/3 1/4 2 1 1

UCSS 1/4 1 1/3 1 1

SUMA 13/6 11/2 34/3 19/2 10


UAP 0.462 0.545 0.353 0.316 0.4 0.415

UNJFSC 0.154 0.182 0.353 0.421 0.10.242

USP 0.115 0.045 0.088 0.053 0.3 0.120

ULADECH 0.154 0.045 0.176 0.105 0.10.116

UCSS 0.115 0.182 0.029 0.105 0.1 0.106

SUMA 1 1 1 1 1

Las prioridades de los 5 Alternativas en términos de la Cercanía (C5)


UAP 0.105 0.182 0.125 0.074 0.065 0.110

UNJFSC 0.052 0.090 0.187 0.037 0.0960.092

USP 0.316 0.182 0.375 0.296 0.580 0.350

ULADECH 0.211 0.363 0.187 0.148 0.0650.195

UCSS 0.316 0.182 0.125 0.444 0.194 0.252

SUMA 1 1 1 1 1


UAP 1 2 1/3 1/2 1/3

UNJFSC 1/2 1 1/2 1/4 1/2

USP 3 2 1 2 3

ULADECH 2 4 1/2 1| 1/3

UCSS 3 2 1/3 3 1

SUMA 19/2 11 8/3 27/4 31/6

Calculo de prioridad global

UAP (0,202)(0,131) (0,224)(0,396) (0,286)(0,125) (0,415)(0,188) (0,110)(0,159) 0,246

UNJFSC (0,438)(0,131) (0,420)(0,396) (0,282)(0,125) (0,242)(0,188) (0,092)(0,159) 0,319

USP (0,164)(0,131) (0,114)(0,396) (0,237)(0,125) (0,120)(0,188) (0,350)(0,159) 0,174

ULADECH (0,083)(0,131) (0,091)(0,396) (0,069)(0,125) (0,116)(0,188) 0,195)(0,159) 0,108

UCSS (0,112)(0,131) (0,149)(0,396) (0,130)(0,125) (0,106)(0,188) (0,252)(0,159) 0,149

El criterio que se evaluara es la que tiene mayor valor al final de la operación de entre los 5 criterios, tal y como se muestra en la tabla anterior, se elegirá al criterio de “Costos” = 0.319.

Cuarta Etapa: Análisis de Sensibilidad

Prueba de Consistencia: para la matriz del criterio de costos.

1. Multiplicar cada valor de la primera columna de la MCP por la prioridad relativa del primer elemento que se considera y así sucesivamente. Se deben sumar los valores sobre las filas para obtener un vector de valores, denominado Suma Ponderada:

0.224

1

0.420

1/3

0.114

2

0.091

2

0.149

3 1.221

3 1 4 3 3 2.268

1/2 1/4 1 2 1/2 0.5875

1/2 1/3 1/2 1 1/2 0.4745

1/3 1/3 2 2 1 0.773

2. Dividir los elementos del vector de suma ponderada entre el vector de prioridad:

1.221 0.224

=

5.451

2.268 0.420 5.4

0.588 0.114 5.158

0.475 0.091 5.220

0.773 0.149 5.188

3. Evaluar el promedio de los valores que se determinaron en el paso anterior, el cual se denota como

= (5.451 + 5.4 + 5.158 + 5.220 + 5.188) / 5 = 5.2834

4. Calcular el Índice de Consistencia (IC): Donde n es el número de criterios que se comparan, en este caso son 5. IC = (5.2834 – 5) / (5 – 1) = 0.07085

5. Determinar la Relación de Consistencia (RC): Donde IA es el Índice Aleatorio de una Matriz de Comparaciones Pareadas.El IA depende del número de elementos que se comparan y asume los siguientes valores:

En el presente caso, teniendo en cuenta que n = 5, el IA = 1.115 y el valor de la RC es: RC = IC / IA = (0.07085/ 1.115) = 0.064 (Si RC 0.10; se considera un nivel de inconsistencia aceptable.)

Por lo tanto:

Como 0,064 <= 0.10, se tiene que la comparación realizada fue exitosa y además que el criterio de costos es aceptable para la decisión acerca de la elección de la mejor casa de estudios.

Conclusión:

En cuanto al caso aplicativo, se ha mostrado que a través de la aplicación del Proceso Analítico de Jerarquía, el mejor criterio a tener en cuenta para realizar la elección de la Universidad a la cual postular, según nuestros resultados nos arroja que el criterio de mayor valor es el de “Costo”, esto se interpreta para el decisor como el criterio de mayor relevancia para tomar en cuenta en su decisión.

! GRACIAS POR SU ATENCIÓN !

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