Modelo M/M/s/k

Teoria de Colas

Teoría modelo M/M/s/k

Teoria de modelo M/M/s/k

Se deben asignar muchas colas, cada una de un cierto tamaño límite.

Cuando una cola es demasiado larga, un modelo de cola infinito entrega un resultado exacto, aun quede todas formas la cola debe ser limitada.

Cuando una cola es demasiado pequeña, se debe estimar un límite para la fila en el modelo.

Características del sistema M/M/s/k

- La llegada de los clientes obedece a una distribución Poisson

con una esperanza .l

- Existen s servidores, para cada uno el tiempo de atención se

distribuye exponencialmente, con esperanza .m

- El número máximo de clientes que puede estar presente en el sistema en un tiempo dado es “k”.

- Los clientes son rechazados si el sistema se encuentra completo.

Tasa de llegada efectiva.

- Un cliente es rechazado si el sistema se encuentra completo.

- La probabilidad de que el sistema se complete es Pk.

- La tasa efectiva de llegada = la tasa de abandono de clientes

en el sistema (le).

le

= l(1 - Pk)

variación de cola finita (M/M/s/K)

No se permite que el número de clientes supere una cantidad específica, digamos K, por lo tanto, la modificación que debe hacerse al modelo (M/M/s) es cambiar los parámetros ln como se indica a continuación:

Knpara0

K,....,2,1nparan

variación de cola finita (M/M/s/K)

Para s 1 y s K tenemos:

Knpara0

K,...1s,snparas!s

)/(

1s,...,2,1npara!n

)/(

Csn

n

n

n

variación de cola finita (M/M/s/K)

Por lo cual

Knpara0

K,...,1s,snparaPs!s

)/(

1sn0paraP!n

)/(

P0sn

n

0

n

n

variación de cola finita (M/M/s/K)

donde

s

0n

K

1sn

snsn0

s!s)/(

!n)/(

1P

Proceso de Nacimiento y Muerte

Por otra parte, con r = l/(sm) (que no necesita ser menor que 1)

1s

0nn

1s

0nqn

sKsK

2

s

0q

P1sLnPL

)1()sK(1)1(!s

)/(PL

variación de cola finita (M/M/s/K)

finalmente

)P1(P

donde

LW

LW

K0n

nn

q

q

Teoría modelo M/M/s/k CASO ESPECIAL

COMPAÑÍA DE TECHADOS RYAN

Ryan atiende a sus clientes, los cuales llaman ordenan su servicio.

Datos

- Una secretaria recibe las llamadas desde 3 líneas telefónicas.

- Cada llamada telefónica toma tres minutos en promedio

- En promedio, diez clientes llaman a la compañía cada hora.

Cuando una línea telefónica esta disponible, pero la secretaria esta ocupada atendiendo otra llamada,el cliente debe esperar en línea hasta que la secretaria este disponible.

Cuando todas las líneas están ocupadas los clientes optan por llamar a la competencia.

El proceso de llegada de clientes tiene una distribución Poisson, y el proceso de atención se distribuye exponencialmente.

La gerencia desea diseñar el siguiente sistema con:

- La menor cantidad de líneas necesarias.

- A lo más el 2% de las llamadas encuentren las líneas ocupadas.

La gerencia esta interesada en la siguiente información:

El porcentaje de tiempo en que la secretaria esta ocupada.

EL número promedio de clientes que están es espera.

El tiempo promedio que los clientes permanecen en línea esperando ser atendidos.

El porcentaje actual de llamadas que encuentran las líneas ocupadas.

SOLUCION

Se trata de un sistema M / M / 1 / 3

Datos de entrada

l = 10 por hora.

m = 20 por hora (1/ 3 por minuto).

– WINQSB entrega:

P0

= 0.533, P1

= 0.133, P3

= 0.06

6.7% de los clientes encuentran las líneas

ocupadas.

Esto es alrededor de la meta del 2%.

sistema M / M / 1 / 4

P0

= 0.516, P1

= 0.258, P2

= 0.129, P3

= 0.065, P4

= 0.032

3.2% de los clntes. encuentran las líneas ocupadas

Aún se puede alcanzar la meta del 2%

sistema M / M / 1 / 5

P0

= 0.508, P1

= 0.254, P2

= 0.127, P3

= 0.063, P4

= 0.032

P5

= 0.016

1.6% de los cltes. encuentran las linea ocupadas

La meta del 2% puede ser alcanzada.

Datos de entrada para WINQSB Datos de entrada para WINQSB

Otros resultados de WINQSB

Con 5 líneas telefónicas

4 clientes pueden esperar

en línea