“Modelo matemático para la conformación un portafolio de inversión eficiente, con títulos del I.P.yC. de la BMV”

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN:

QUE COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRÍA EN FINANZAS

PRESENTA:

FABIOLA VALVERDE MARTÍNEZ

Chihuahua, Chih., junio del 2012

Universidad Autónoma de Chihuahua

Facultad de Contaduría y Administración

Secretaría de Investigación y Posgrado

El que suscribe, Asesor del curso Opción Grado Maestría, M.A. C.P. Sergio González Bailón, hace CONSTAR que el presente Trabajo de Investigación, denominado:

“Modelo matemático para la conformación un portafolio de inversión eficiente, con títulos del I.P.yC. de la BMV”

Elaborado por el pasante de la Maestría en Finanzas:

Fabiola Valverde Martínez

Reúne los términos exigidos por el Reglamento General de Estudios de Posgrado y por el Reglamento Interior de la Facultad de Contaduría y Administración, por lo que se aprueba como requisito para la tramitación del examen de grado correspondiente.

Se extiende la presente a los quince días del mes de agosto del dos mil doce.

M.A. C.P. SERGIO GONZÁLEZ BAILÓNASESOR

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REVISOR REVISOR

M.A.R.H ROMAN FAVELA ESTRADA M.A. FRANCISCO CERVANDO VELAZQUEZ PEREZ

DEDICATORIA

A mi esposo y mis hijos, que con su apoyo lograron hacer este sueño una realidad.

A mis maestros, que compartieron sus conocimientos, su ética y su calidad humana.

A la Universidad Autónoma de Chihuahua, que me brindó el apoyo para seguir superándome.

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ÍNDICE

Tema Página Introducción 8I. Justificación 10II. Objetivo 11 A. Objetivo General 11 B. Objetivos Específicos 11III. Antecedentes 12 A. Alternativas de Inversión 12 B. Mercado de Capitales 14IV. Marco Teórico 16 A. Bolsa Mexicana de Valores 16 B. Portafolio de Inversión Eficiente u Óptimo 19 C. Modelo Propuesto: Teoría Moderna del Portafolio de Inversión. H. Markowitz, Modelo matemático

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V. Marco Conceptual 25 A. Portafolios de Inversión 25 B. Acción 26 C. Inversión 26 D. Rentabilidad 27 E. Riesgo 28 F. Mercado Eficiente 29VI. Problema Eje 31VII. Hipótesis 32VIII. Delimitación del Problema 33IX. Criterios Metodológicos 34 A. Carácter 34 B. Diseño 34 C. Población de interés 34 D. Marco Muestral 34 E. Tipo de Muestreo 34 F. Tamaño de la muestra 34 G. Indicadores 34 H. Análisis de la Información 35 I. Técnica a Utilizar 35 J. Interpretación de Resultados 35

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X Estructura del Trabajo 36 A. Criterios para la selección de títulos 36 B. Cálculo del Riesgo del Portafolio 37 C. Cálculo de la Rentabilidad esperada en el Portafolio 39 D. Localización de la Frontera Eficiente 40 E. Modelo Matemático para localizar la Frontera Eficiente 43 F. Simulación de Escenarios 43Conclusiones 45Bibliografía 47Apéndice 49ANEXO 1 Emisoras que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores 49ANEXO 2 Rendimientos diarios de Títulos Seleccionados 53ANEXO 3 Conformación de Portafolio de Inversión 60ANEXO 4 Cálculo del riesgo del Portafolio de Inversión 61

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ÍNDICE DE TABLAS

TABLA PÁGINA

1. Clasificación de Inversionistas 12

2. Características de los Mercados Financieros Nacionales e Internacionales 13

3. Emisoras integrantes de la muestra del IPyC 37

4. Rendimiento Promedio Diario de acciones o títulos seleccionados para la Investigación 35

5. Matriz de Covarianzas 38

6. Matriz de Ponderaciones 38

7. Matriz de Ponderaciones Traspuesta 39

8. Riesgo del Portafolio de Inversión 39

9. Conformación de Portafolios de Inversión Eficientes 42

10. Comparación entre Rentabilidades calculadas con Modelo Matemático vs. Rentabilidades calculadas con Solver Excel 44

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ÍNDICE DE GRÁFICAS

GRÁFICA PÁGINA

1. Estructura del Mercado Financiero Mexicano 13

2. Desempeño del IPyC (Junio 2011-junio 2012) 14

3. Estructura de la Bolsa Mexicana de Valores 16

4. Frontera Eficiente de Markowitz 20

5. Riesgo Total de un Portafolio de Inversión 29

6. Diferentes escenarios de Portafolios de Inversión 39

7. Frontera Eficiente de Portafolios de Inversión 41

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INTRODUCCIÓN

El ahorro familiar en la forma de cuentas de ahorro e instrumentos de interés fijo, como tradicionalmente se ha realizado a través de los tiempos, ha dejado de ser una alternativa aceptable hoy en día, ya que las bajas tasas de intereses en estos instrumentos no compensan la inflación anual que va reduciendo su poder adquisitivo con el paso del tiempo.

Las instituciones financieras que brindan opciones seguras para el ahorro son las instituciones de banca múltiple, mientras que la Bolsa de Valores, por medio de las sociedades de inversión y casas de bolsa representan el marco mediante el cual las personas físicas pueden acceder a instrumentos del mercado de valores con esquemas de rendimiento/riesgo propio.

Ya sea que la inversión se efectúe en acciones de rendimiento variable, instrumentos de deuda con renta fija, operaciones con derivados, etc., todas presentan cierto grado de incertidumbre en cuanto a la rentabilidad que pueden ofrecer.

La planeación financiera puede ser un tema intimidante debido al desconocimiento de los mecanismos que regulan su comportamiento, por lo que un análisis del funcionamiento de los mercados de valores y los rendimientos y riesgos asociados a ellos nos permitirán aumentar nuestra capacidad de tomar decisiones fundamentadas para administrar nuestro capital de manera eficiente.

En este trabajo de investigación, se buscará construir un modelo matemático que nos permita conformar un portafolio de inversión eficiente, a partir de valores de acciones pertenecientes a la muestra IPC en la Bolsa de Valores de México, mediante el empleo de herramientas matemáticas de investigación de operaciones que establezcan las proporciones de activos que compongan un portafolios de inversión que maximice los rendimientos con el mínimo riesgo posible asociado. Durante el estudio, se determinará si el mercado de valores de México es un mercado eficiente capaz de ser modelado por medios matemáticos.

Este estudio estará conformado por cinco apartados en los que se ofrece un análisis de los conceptos fundamentales acerca del funcionamiento del mercado de valores, sus

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principales indicadores y las estrategias matemáticas consideradas para lograr el objetivo de la investigación.

En el primer apartado, se aborda una reseña acerca del funcionamiento y mecanismos de la Bolsa de Valores en México, la conformación de su principal índice, sus regulaciones legales y su compromiso con las Empresas emisoras que suscriben las acciones y los inversionistas o personas físicas y morales que compran y venden dichos títulos por esta vía.

En el segundo apartado se describen las empresas que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores, enfatizando aquellas 35 emisoras, cuyos movimientos conforman el principal índice de la BMV: el IPC o Índice de Precios y Cotizaciones.

En el tercer apartado se analizan las herramientas matemáticas que se utilizarán para la modelación matemática del portafolio de inversión eficiente.

En el cuarto apartado se presentarán las consideraciones y el modelo matemático propuesto, que permita la configuración de los esquemas de un portafolio de inversión de acuerdo a información histórica del mercado para el período de Mayo del 2010- Mayo del 2012.

Por último, se presentará una simulación y análisis de resultados de acuerdo a la información actualizada (2012), donde se podrá concluir la idoneidad del modelo propuesto a las condiciones actuales del mercado accionario mexicano.

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I. JUSTIFICACIÓN

Las personas no piensan en sí mismas como inversionistas. Una vez que se ha creado un capital, se cuidan los gastos; tal vez se tengan cuentas de ahorros; o aún una cuenta corriente que gana interés; pero generalmente no se empiezan a invertir dichos ahorros porque no se ha cruzado mentalmente la línea de ser un ahorrador para ser un inversionista.

Las variables económicas que intervienen en el comportamiento de los instrumentos de deuda, acciones u obligaciones no resultan muy conocidas, y en muchos casos la percepción del ahorrador-inversionista promedio al pensar en la Bolsa la visualiza como una especie de casino, y la realidad no es así.

Por supuesto, que a la decisión de invertir el dinero en una empresa, se corre el riesgo de que el proyecto de dicha empresa no sea viable, con lo que el rendimiento esperado no será como lo habíamos previsto. Aunado a ese riesgo, se deberá correr un riesgo de mercado, es decir, un riesgo de que la inflación, las tasas de interés, aparición de mercados emergentes o crisis mundiales, provoquen una caída general en precios, no adjudicable a la administración de la empresa emisora de los títulos. Sin embargo, las emisoras son empresas con fines de lucro, cuyo principal fin es lograr utilidades que se repartirán entre los tenedores de sus instrumentos de deuda o acciones. Además, a mayor percepción de riesgo, estos documentos aumentan los rendimientos prometidos en un horizonte de largo plazo.

La incertidumbre de invertir en un mercado de valores, el desconocimiento de montos mínimos de inversión, disponibilidad del capital, comisiones, títulos rentables, así como la información o asesoría profesional que ofrecen entidades como sociedades de inversión o asesores de bolsa para obtener clientes, puede en muchos casos confundir al inversionista. En cambio, si se alienta una cultura de auto aprendizaje, consulta de información confiable, estudio de tendencias, comprensión de indicadores financieros, etc., podrá elevarse la percepción de confianza en el mercado accionario con la consiguiente aceptación de un riesgo medido, a través de la conformación de portafolios diversificados que minimicen la incertidumbre e incrementen el nivel de inversionistas.

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A nivel nacional, el aumento de inversión en el Mercado de Valores dentro de un esquema regulado, organizado, eficaz y transparente, además de competitivo como lo ofrece la Bolsa Mexicana de Valores, generará un flujo importante de capital para el financiamiento de la actividad industrial y de servicios en el mediano y largo plazo que a su vez mejorarán la economía de México (Banco de México)

II. OBJETIVO

A. General

Diseñar un modelo matemático para la conformación de un portafolio de inversión óptimo, con acciones que conforman el Índice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores

B. Específicos

Analizar el mercado de valores mexicano para determinar su eficiencia, de manera que su comportamiento pueda ser predicho y modelado matemáticamente.

Identificar una distribución óptima de inversión en acciones que conforman el Índice de Precios y Cotizaciones de la BMV, para optimizar el balance rendimiento-riesgo

Evaluar el modelo propuesto según datos históricos, contra los rendimientos actuales.

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III. ANTECEDENTES

A. Alternativas de Inversión

En algún momento, la gente enfrenta la decisión de decidir qué hacer con su dinero. El dinero por sí mismo no crea valor adicional. Si la decisión que se toma es no gastarlo para fines de consumo, ni ahorrarlo para hacer frente a algún gasto planeado en el futuro cercano, la opción es incrementar su valor al canalizarlo en inversiones financieras a largo plazo, de modo que no se encuentren inactivos estos recursos y puedan conservar su valor a través del tiempo. ( (Andrés Morales Alquicira, 1997). Si se toma la decisión de invertir el capital, la pregunta será ahora: qué instrumento es el más confiable, y que ofrece el mayor rendimiento por nuestro dinero?

La respuesta a esta pregunta no será la misma para dos inversionistas, debido a que cada uno de ellos considerará un horizonte de tiempo diferente y expectativas de rendimiento y de riesgo particulares.

De acuerdo a los analistas financieros, los inversionistas desean recibir un mayor rendimiento por su dinero, de acuerdo al riesgo que cada uno de ellos esté dispuesto a correr según su propio perfil (Dubova, 2005). De esa manera se pueden distinguir diferentes tipos de inversionistas:

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Tabla 1. Clasificación de Inversionistas (Morales Castro, 2002)

En la siguiente gráfica, se presenta una relación de los documentos de inversión más comunes a los que se puede acceder en el mercado financiero. Cada uno de ellos presenta diferentes características que lo harán en mayor o menor medida, atractivo a un inversionista, de acuerdo con sus expectativas futuras:

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Mercado Financiero

Mercado de Dinero (corto

plazo, rendimiento fijo y riesgo

mínimo)

Documentos gubernament

ales a descuento

(CETES, BONDES,

UIDBONOS, etc.)

Instrumentos a

precio nominal (bonos, pagarés

bancarios, CPO, CPI,

etc.)

Mercado de Capitales. Alto

riesgo y rendimiento

Obligacio- nes, Bonos

(su valor varía según la tasa de

descuento)

Acciones (su precio

varía según oferta-

demanda)

Mercado de Divisas

Compra de moneda

extranjera (tipo de cambio

variable según economía del

país)

Mercado de Metales

Compra de metales

preciosos (precio varía

oferta-demanda, economía

globalizada)

Mercado de Derivados

Opciones Futuros Swaps

Gráfica 1. ESTRUCTURA DEL MERCADO FINANCIERO MEXICANO. Fuente: Elaboración propia

Los factores que describen las características de cada uno de estos mercados, se muestran en la siguiente tabla:

Tabla 2. Características de los mercados financieros (José Antonio Morales Castro,2005)

B. Mercado de Capitales

Dentro del Mercado Financiero, el Mercado de Capitales es el que posee instrumentos que muestran a la vez la probabilidad del más elevado rendimiento, alineado con el riesgo más alto para una inversión: las acciones.

Aún cuando los instrumentos de este mercado no cuentan con una liquidez inmediata, la perspectiva de un rendimiento superior al de cualquier otro instrumento en una economía estacionaria, o con tendencias a la alta o a la baja, los ha hecho los instrumentos preferidos por especuladores e inversionistas agresivos que desean aprovechar coyunturas del mercado para acrecentar su capital en corto tiempo. Al mismo tiempo inversionistas cautelosos, compran acciones subvaluadas para que en el transcurso de un largo plazo, la eficiencia del mercado les proporcione ganancias por su capital.

Las fluctuaciones del precio de cada instrumento transado, así como su oferta y demanda, son resumidas en el Índice de Precios y Cotizaciones de la BMV. Dicho índice, se considera un barómetro de la actividad económica de nuestro país. (AndrésMorales Alquicira, 1997)

El índice está compuesto por 35 Emisoras, seleccionando a la serie accionaria más bursátil de cada una de ellas. Solo será incluida una serie accionaria por Emisora. El número puede variar en virtud de eventos corporativos.

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A continuación, se presenta el comportamiento del IPyC durante el período de junio de 2011 a junio de 2012:

Gráfica 2. Desempeño del IPyC (Junio 2011-Junio 2012)FUENTE: Bolsa Mexicana de Valores

Como podemos ver en la gráfica, la volatilidad o variación del índice es un indicativo del riesgo de variaciones súbitas en los rendimientos de cada instrumento transado, por lo que se hace necesario identificar herramientas matemáticas para diversificar el riesgo en la conformación de carteras de inversiones financieras.

Esta inestabilidad del mercado financiero hace necesario un análisis cuantitativo del riesgo asociado a la conformación de portafolios de inversión con riesgo diversificado, de manera que una disminución de precios y rendimientos de un activo sea compensado en mayor proporción por los valores que tengan movimientos a la alza. Es decir, se requieren activos con un rendimiento positivo, mayor que los rendimientos medios del mercado (inversión sin riesgo cuantificable) para hacer atractivo un plan de inversiones.

Para encontrar la combinación óptima de títulos a incluir en un portafolios de inversión rentable con un riesgo cuantificable, se utilizará el modelo matemático desarrollado por Markowitz (1979) basado en el análisis de la media-varianza, utilizando herramientas matemáticas para representar la función de maximización de rendimientos con la minimización de riesgo asociado. (Araceli Rendón Trejo, 1995)

El gran aporte de Markowitz fue averiguar que combinando dos o más valores es posible conseguir una mejor relación rentabilidad-riesgo, medido éste por la desviación típica. El punto de partida es la aversión natural del inversor hacia el riesgo, es decir, entre dos inversiones con la misma rentabilidad se preferirá aquel con menor riesgo y por una inversión con más riesgo el inversor exigirá también una mayor rentabilidad. (Alvarez García, 2004)

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IV. MARCO TEÓRICO

A. BOLSA MEXICANA DE VALORES

La Bolsa Mexicana de Valores, S.A.B. de C.V. es una entidad financiera privada autorregulada, que opera por concesión de la Secretaría de Hacienda y Crédito Público, cuyos accionistas son exclusivamente las casas de bolsa autorizadas, las cuales poseen una acción cada una y que opera con el marco regulatorio de la Ley del Mercado de Valores. (VALORES, 2012)

Entre sus funciones, podemos mencionar el facilitar las instalaciones necesarias para las transacciones del mercado de valores organizado, oferta y demanda de valores, títulos de crédito y demás documentos del Registro Nacional de Valores, proteger los intereses del público en forma óptima, inspeccionar y vigilar a los emisores de valores, ordenar la suspensión de las cotizaciones de los valores cuando en su mercado existan condiciones desordenadas, además de la prestación de servicios para procesos de emisión de nuevos títulos.

Los organismos que coadyuvan en el funcionamiento de la Bolsa Mexicana de Valores se enlistan a continuación:

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Gráfica 3. Estructura de la bolsa Mexicana de Valores. (García, 2008)Este organismo proporciona información actualizada de los valores inscritos, transados, además de información sobre la regulación necesaria para su funcionamiento. Estas operaciones deberán además ser realizadas bajo esquemas operativos de manera libre, eficiente, competitiva, equitativa y transparente, que aseguren tanto al emisor de valores como al inversionista que demanda dichos títulos, una igualdad de oportunidades para todos los participantes. La CNBV opera en los términos de su propia ley, la cual está en vigor desde del 1 de mayo de 1995.

El Índice de Precios y Cotizaciones (IPyC), el principal indicador de Mercado Mexicano de Valores, expresa el rendimiento del mercado accionario en función de las variaciones de precios de una muestra balanceada, ponderada y representativa del conjunto de Emisoras cotizadas en la Bolsa, basados en las mejores prácticas internacionales. El Índice de Precios y Cotizaciones (IPyC), con base octubre de 1978, tiene como principal objetivo, constituirse como un indicador representativo del Mercado Mexicano para servir como referencia y subyacente de productos financieros.

En caso de presentarse alguna situación especial por algún evento corporativo o de mercado, se harán las modificaciones necesarias de acuerdo al evento, y se informará al mercado con oportunidad. El número de Emisoras podrá variar en la muestra en caso de presentarse una escisión de alguna Emisora, de tal forma que tanto la Emisora que escinde, como la Emisora escindida, permanecerán en el índice hasta la próxima revisión de la muestra.

El IPyC refleja los cambios de precios ocurridos en la sesión de remate; se ajusta por todos los tipos de derechos y cambios en la capitalización de las emisoras que integran la muestra, la cual está sujeta a revisiones periódicas que tienen la finalidad de evitar que se vuelva obsoleta.

La revisión de las Emisoras que forman parte de la muestra del IPC se realizará una vez al año en el mes de agosto con datos al cierre del mes de julio y entrará en vigor el

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primer día hábil del mes de septiembre. Si bien, las emisoras más conocidas y más comercializadas son las que conforman el índice IPyC , que son solo 35; de las 163 empresas que existen que también ofrecen sus títulos. (ANEXO 1)

METODOLOGÍA PARA EL CÁLCULO DEL IPyCLa Metodología diaria de cálculo del índice es la siguiente:

donde:It = Índice en el día tPit = Precio de la serie accionaria i el día tQit = Acciones inscritas de la serie accionaria i el día tFAFi = Factor de ajuste por Acciones Flotantes de la serie accionaria i fi = Factor de ajuste por ex-derechos de la serie accionaria i el día ti = 1, 2, 3,..., nBase: 0.78 = 30 de octubre de 1978.

Esta fórmula lo que indica es que su factor de variación lo determina la sumatoria del valor de capitalización (que se calcula multiplicando las acciones en circulación por el precio del cierre) de todas las emisiones incluidas en las muestra el día de hoy (t), divididas entre la sumatoria de la misma muestra mencionada pero del día anterior (t-1) , ajustada según sea el caso para que el índice no pierda comparabilidad, así la fórmula considera el hecho de que la emisora decrete algún derecho o lleve a cabo cambios en su estructura de capital que afecten el precio de la acción.Para monitorear la actividad diaria, Vigilancia de Mercado es el área de la Bolsa Mexicana de Valores, encargada de vigilar el cumplimiento de las obligaciones a cargo de las emisoras, los intermediarios y sus operadores establecidas en el Reglamento Interior de la Institución, investigando, documentando y presentando ante los distintos órganos disciplinarios de la Bolsa, cualquier acto o hecho que presuntamente constituya un incumplimiento a la normatividad vigente.

A su vez, La Bolsa Mexicana de Valores en su función autorregulatoria y con el fin de proveer al mercado de información clara, veraz y suficiente para una adecuada toma de decisiones difunde en tiempo real Eventos Relevantes, relativos a la suspensión o levantamiento de suspensión sobre los valores listados, dando oportunidad e igualdad de condiciones a todos los inversionistas del mercado.

A continuación se presenta la manera en que un inversor puede adentrarse a las operaciones en la Bolsa Mexicana de Valores:

OPERACIÓN BURSÁTIL:

   Cualquier persona física o moral de nacionalidad mexicana o extranjera puede invertir en los valores (de capitales o deuda) listados en la Bolsa.

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El proceso comienza cuando un inversionista está interesado en comprar o vender algún valor listado en la Bolsa. En primera instancia, dicho inversionista deberá suscribir un contrato de intermediación con alguna de las casas de bolsa mexicanas. 

A continuación se esquematiza el proceso de compraventa de acciones en la Bolsa Mexicana: Juan decide analizar la posibilidad de invertir en el mercado accionario de la Bolsa Mexicana.

Andrea decide vender 5,000 acciones de la empresa XYZ que adquirió hace algunos años. 

 

 Juan consulta a un promotor de una casa de bolsa, y analizan distintas opciones de inversión, con base en la amplia información financiera y de mercado disponible. Después de analizar distintas alternativas, Juan solicita a su promotor que le proporcione la cotización de mercado para adquirir acciones de la empresa XYZ, y establece una relación contractual con la casa de bolsa (contrato de intermediación).

Andrea llama a su promotor para solicitar cotización para la venta de las 5,000 acciones que desea vender.

Utilizando los sistemas electrónicos de difusión de información bursátil de la BMV, los ejecutivos de cuenta obtienen la información sobre los mejores precios de compra y venta para las acciones XYZ, e informan a Andrea y Juan.

Tomando en cuenta lo que ya conoce sobre la empresa XYZ, y después de la conversación con el promotor, Juan instruye a la casa de bolsa, a través de su promotor, para adquirir 5,000 acciones de la empresa XYZ, a precio de mercado.Andrea instruye a su promotor para vender, en la BMV, 5,000 acciones de la empresa XYZ, a precio de mercado.

Los promotores ingresan en los sistemas de sus casas de bolsa respectivas, las características de las órdenes de Andrea y Juan. Las órdenes de compra y de venta son entonces ingresadas por los operadores de las casas de bolsa en al Sistema Electrónico de Negociación, Transacción, Registro y Asignación del Mercado de Capitales (BMV-SENTRA Capitales)

Una vez perfeccionada o "cerrada" la operación en la BMV, Andrea y Juan son notificados, y la Bolsa informa a todos los participantes en el mercado sobre las características de la operación, a través de los medios electrónicos e impresos dispuestos para tal efecto.

Tres días hábiles después de haberse concretado la transacción, el depósito central de valores de México (S.D. Indeval), previa instrucción de la casa de bolsa vendedora, transfiere los valores accionarios de la cuenta de la casa de bolsa vendedora a la cuenta de la casa de bolsa compradora; y el importe correspondiente a la transacción es transferido de la casa de bolsa compradora a la casa de bolsa vendedora.

Juan liquida a su casa de bolsa el importe correspondiente a la operación de compra, incluyendo una comisión previamente pactada. 

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Andrea recibe de su casa de bolsa el importe correspondiente a la operación de venta, menos una comisión previamente pactada. Las personas interesadas en invertir en la BMV deberán contactar a cualquier casa de bolsa

Una bolsa de valores eficiente constituye para un país un elemento clave para lograr que tanto empresas como gobierno puedan financiar proyectos productivos y de desarrollo que generen empleos y riqueza, mientras que los inversionistas la aprovechan como una opción para tratar de proteger y acrecentar su ahorro financiero.

B. PORTAFOLIO DE INVERSION EFICIENTE U ÓPTIMO

Un portafolio o una cartera de inversión eficiente, es una selección cuidadosa de acciones o títulos, o instrumentos que coticen o se comercialicen en la Bolsa Mexicana de Valores.

Cualquier combinación de títulos puede conformar un portafolios de inversión; sin embargo, la particularidad que lo hace denominarse eficiente, es que la combinación de títulos escogida ofrece el mayor rendimiento para cada nivel de riesgo dado. (Dubova,2005)

La asesoría profesional en el mercado de capitales es indispensable, ya que los expertos tienen los elementos de análisis para evaluar los factores que podrían afectar el precio de una acción, tanto del entorno económico nacional e internacional (análisis técnico) como de la propia empresa (análisis fundamental: situación financiera, administración, valoración del sector donde se desarrolla, etcétera).

Como el objetivo de un inversionista, es obtener el rendimiento más alto posible, dado un esquema de riesgo permitido según su percepción, la cartera deberá elegirse no sólo en atención a los rendimientos individuales de cada título escogido y a su volatilidad o nivel de riesgo, sino a la relación de covarianza que existe entre ellos; generalmente escogiendo una combinación de títulos de diferentes sectores de la economía. Una combinación de títulos cuyas covarianzas sean cercanas al cero, estará sentando las bases para una cartera de riesgo diversificado, que puede llevar a la conformación de una cartera de inversión que muestre una relación no lineal, con mayor nivel de rentabilidad para cada nivel de riesgo definido.

Para la selección de esta cartera o portafolio de inversión, se tomarán en cuenta los planteamientos del Dr. Harry Markowitz (1952), Premio Nobel en economía en 1990, por su trabajo que se conoce hoy en día como la Teoría Moderna de Portafolios, que habla sobre la diversificación del riesgo de un portafolio, y su correlación de rendimientos en retornos de capital. El Dr. Markowitz mostró que al escoger títulos cuyos retornos no tengan una correlación positiva perfecta, el riesgo de un portafolio puede descender. Dicho portafolio puede mantener o aumentar inclusive la tasa de

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retorno esperada, hasta ubicarse matemáticamente en la zona que denominó una Frontera Eficiente, punto donde se ubicaría una selección del portafolio con el mayor rendimiento para cada nivel de varianza o riesgo permitido. (García, 2008)

Gráfica 4. Frontera Eficiente de Markowitz

Ahora bien, los rendimientos de cada título en la Bolsa Mexicana de Valores se evalúan mediante las diferencias en su precio o cotización a lo largo del tiempo para cada una de las empresas Emisoras. Se calculan como la diferencia entre precios de compra y venta, y dichos precios pueden consultarse diariamente en las páginas de la Bolsa Mexicana de Valores, o en páginas financieras especializadas.

Sin embargo, las inversiones en acciones de bolsa, pueden ofrecer tres tipos de ganancias o rentabilidades:

A) Por Plusvalías o ganancias de capital: Comprar barato y vender caro. La ganancia será el diferencial entre precio de compra y venta. El accionista puede optar por este esquema cuando las variables macroeconómicas son favorables, el PIB presenta tendencias positivas, existe estabilidad política. Bajo este esquema, hay gran probabilidad de que la bolsa subirá su índice, y con ello, posiblemente genere plusvalías para nuestra inversión. Sin embargo, no hay que perder de vista los esquemas de comisión que la casa de bolsa cargará a nuestra cuenta por cada transacción realizada. Además, no debemos olvidar que las tendencias pueden cambiar súbitamente, cambiando el panorama debido a riesgos fuera del control del sistema, lo que se conoce como riesgo no diversificable (recesión, devaluación, percepción de peligro, etc.)

B) Por dividendos. Si nuestra inversión incluye títulos de empresas cuyos resultados no resultan muy afectadas en tiempos de crisis, y que generan utilidades, las políticas de reparto de dividendos, trimestrales o anuales, pueden resultar muy atractivas. Aun

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Zona de portafolios imposibles

Zona de portafolios ineficientes (mucho riesgo y poco rendimiento

cuando un dividendo no aumenta sustancialmente el valor de la acción, ya que en ocasiones se pagan dividendos solo una vez al año, desde el punto de vista del inversionista, le añade un beneficio en la forma de ganancias por dividendos aunados a las ganancias por el diferencial de precios.

C) Derecho de Suscripción Preferente. Al ocurrir una ampliación de capital con la emisión de nuevas acciones, los actuales accionistas tienen derecho preferente sobre la adquisición de nuevas acciones a valor nominal, que al revenderse obsequian una prima por el diferencial de precios.

C. MODELO PROPUESTO: TEORIA MODERNA DEL PORTAFOLIO DE INVERSIÓN, H. MARKOWITZ

La Teoría Moderna del Portafolio, propuesta en 1952 por Harry Markowitz, junto con William Sharpe y Merton Miller, que les valió el Premio Nobel de Economía en 1990, es la que sustenta hoy en día el análisis de las inversiones. Esta teoría explica las numerosas ventajas que un inversionista tiene al diversificar sus inversiones para reducir el riesgo de su cartera. (El Modelo de Markowitz en la gestión de carteras).

Markowitz desarrolla su modelo sobre la base del comportamiento racional del inversionista, quien desea rentabilidad y rechaza el riesgo. Para él, una cartera será eficiente si proporciona la máxima rentabilidad posible para un riesgo dado, o de manera equivalente, si presenta el menor riesgo para un nivel determinado de rentabilidad.

Este conjunto de carteras eficientes puede calcularse mediante una técnica matemática denominada programación cuadrática, resolviendo la siguiente función objetivo: (Irina Dubova, 2005)

TEORIA MODERNA DEL PORTAFOLIO DE INVERSIÓN

Maximización de la función objetivo: RENDIMIENTO DEL PORTAFOLIO DE INVERSIÓN

Con las siguientes restricciones:

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∑i=1

n

wi=100% El total de capital se reparte o pondera en “n” acciones diferentes

Riesgo cartera ≤ Nivel de riesgo permitido

Wi ≠negativa Las ponderaciones de los diferentes títulos no podrán ser negativas, y deberán totalizar el 100%

Considerando que:Rp = Rendimiento Esperado del Portafolio

Wi = proporción del monto de la inversión destinada al instrumento i (el total invertido se reparte entre los diferentes títulos seleccionados)

Ri = Rendimiento promedio del instrumento i

n= número de instrumentos de inversión que se analizan (número de diferentes acciones consideradas para conformar el portafolio)

Riesgo cartera: expresa el riesgo que el inversionista está dispuesto a asumir en su inversión

RIESGO DEL PORTAFOLIO

Para calcular el riesgo del portafolio se considera la variación que existe entre cada uno de los rendimientos reales del portafolio, y el rendimiento promedio del portafolio. Mientras los rendimientos se encuentren más alejados de la media, se tendrá mayor desviación o variabilidad, lo que supone un mayor riesgo.

Como el sumar las variaciones no nos ayudaría, ya que las variaciones positivas anulan las negativas, se elevan estas diferencias al cuadrado, calculando pues la varianza.

Al analizar el riesgo de una cartera, no puede dejar de mencionarse a la covarianza, el cual es un punto muy importante del instrumento de inversión. La covarianza es el producto de dos desviaciones, y representa una forma de saber cómo se comportan los rendimientos de dos instrumentos de inversión, es decir, si los dos aumentan, si los dos disminuyen o si uno aumenta y el otro disminuye o viceversa. Cuando la covarianza tiende a ser cero, quiere decir que los rendimientos de dos instrumentos no guardan

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relación alguna. Los que tienen una covarianza negativa son aquellos que varían de forma inversa, compensando las pérdidas y ganancias.

Cálculo de la Covarianza:

La covarianza permite obtener el coeficiente de correlación entre dos instrumentos.

El coeficiente de correlación permite interpretar el resultado de la covarianza, éste se encuentra en una escala de entre -1 y +1, con lo que generalmente se reconoce una fuerte relación lineal. Una covarianza de cero indica una relación independiente, un valor negativo indica una relación inversa y uno positivo indica una correlación positiva perfecta. Cuando la correlación es cero, es indicativo de un nivel de riesgo en el portafolio menor a los riesgos individuales de los instrumentos por separado.

Cuando se requiere calcular la varianza de un portafolio de “n” títulos, el análisis se hace por medio de matrices:

Que puede rescribirse como:

La varianza del portafolio tiende a estar dada por el promedio de la covarianza de los instrumentos que lo conforman. De manera que el riesgo del portafolio, es precisamente la raíz cuadrada de la varianza, también conocida como Desviación Estándar (σ).

Con lo que el Riesgo del Portafolios, quedaría representado como:

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Esta teoría explica que en la mayoría de los casos, existe un rango de posibles combinaciones de títulos para obtener un rendimiento máximo con un nivel específico de riesgo. El Dr. Markowitz propone la combinación de instrumentos de inversión que tengan poca relación entre sí en un portafolio, de tal forma que se reduzca a lo mínimo el nivel de riesgo sin alterar el rendimiento que el inversionista espera. Este comportamiento de la cartera puede modelarse matemáticamente cuando el mercado es eficiente.

Nota: Este modelo supone un rendimiento estrictamente en función de la combinación de títulos seleccionados mediante las covarianzas, y no toma en cuenta las comisiones por apertura, mantenimiento de cuentas o tarifas por operación de compra-venta que son aplicadas por las Casas de Bolsa. Además, los rendimientos considerados, son únicamente los que provienen de ganancias de capital por diferencial de precios, ya que las entregas de dividendos no son ni constantes o no se presentan en todos los títulos, y al ocurrir cada evento, los precios de los títulos lo reflejan en su cotización posterior.

V. MARCO CONCEPTUAL

Cuando se habla de un portafolio de inversión, es muy frecuente escuchar las palabras acción, inversión, rendimiento, riesgo, diversificación, etc.

El cabal entendimiento de cada uno de estos términos, y la comprensión de la manera como éstos se evalúan es de suma importancia.

A. PORTAFOLIOS DE INVERSIÓN

Un portafolio de inversión es una combinación de activos o títulos individuales. Entre ellos se consideran las acciones, de modo tal que una combinación de títulos individuales casi siempre será menos arriesgada que cualquier título individual. Es posible eliminar el riesgo porque las rentabilidades de los títulos individuales, por lo general, no están perfectamente correlacionadas entre sí, por lo que cierto porcentaje del riesgo se puede eliminar con la diversificación.

Con objeto de establecer una base razonablemente amplia de liquidez y operatividad para los títulos seleccionados en el portafolio, se dará prioridad a aquellas series accionarias que formen parte de la muestra IPyC.

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Para la selección de esta muestra, la BMV tiene distintos requisitos o filtros, (Metodología de la Bolsa Mexicana de Valores, abril 11, 2012) los cuales son:

Serán elegibles las Emisoras con al menos 3 meses calendarios de operación continua anterior a la revisión de la muestra.

Emisoras cuyos porcentajes de acciones flotantes (*) sea igual o mayor al 12% o su valor de capitalización flotado sea igual o mayor a 10 mil millones de pesos en la fecha de selección de muestra.

Mayor Factor de Rotación Calificación conjunta de los siguientes indicadores para cada una de las 45

series accionarias de las Emisoras que pasaron los filtros anteriores:o Factor de Rotación

o Valor de Capitalización Flotado

o Mediana mensual del importe operado en Bolsa de los últimos doce

meses

*Las acciones flotantes son aquellas que resulten de restar, al total de acciones listadas en la Bolsa, las acciones que sean propiedad de accionistas en control de la compañía, familiares, fideicomisos en control o cualquier tenedor con derecho a inmovilizar acciones de la compañía debido a algún ato jurídico o contrato referido a acciones de la compañía, o que tengan entre 10-30% de las acciones y revelen intenciones de tener alguna influencia significativa en la compañía.

B. ACCIÓN

Una acción representa una fuente de financiamiento a largo plazo para las empresas. Son emitidas por sociedades mercantiles, inscritas en los mercados de capitales. El valor de la acción es variable, dependiendo de la empresa emisora, y su precio refleja el desempeño financiero de la compañía, sus expectativas de crecimiento o desarrollo a corto, mediano y largo plazo.

La cotización de un título se puede ver afectada por factores internos o externos, que se evalúan con coeficientes de riesgo como el coeficiente Beta, que muestra la sensibilidad en el precio de una acción con respecto a variación del índice del mercado;

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puede incrementar debido al crecimiento de la empresa, o puede reflejar el desempeño de la emisora con respecto a otras compañías del mismo sector.

Los lineamientos de los organismos reguladores obligan a los emisores de títulos a proporcionar a los inversionistas que financian a la empresa, información precisa y veraz del desempeño financiero (cada trimestre) así como sus expectativas futuras. Esta información se encuentra disponible para el público en general, así como en la página oficial de la Bolsa y periódicos y revistas especializadas en temas económicos.

El inversionista es considerado como socio de la empresa, y cuenta con derechos. Se puede considerar que el tenedor de una acción, posee parte de la empresa hasta el momento en que decida venderla para capitalizar ganancias, lo cual generalmente toma un largo plazo.

C. INVERSIÓN

Una inversión, en el sentido económico, es una colocación de capital que no tiene un destino específico, en algún papel o título de valor para obtener una ganancia futura mayor a la que recibiría con un instrumento libre de riesgo. En otras palabras, se sacrifica un beneficio inmediato por uno futuro, que conlleva cierto riesgo. El riesgo se percibe como la no obtención de la ganancia futura que se esperaba recibir.

El ahorro, en cambio, es una cantidad de dinero guardada, usualmente, para un uso posterior. Aún cuando el ahorrador desea conservar el valor de su dinero, utiliza las cuentas de ahorro o instrumentos que no tengan riesgo, que tengan liquidez, aunque sea mínimo el rendimiento, y que garanticen la disposición del capital para el momento en que se requiera.

Una inversión contempla tres variables: el rendimiento esperado (lo que se espera obtener al hacer la inversión), el riesgo aceptado (la probabilidad de obtener o no la ganancia esperada) y el horizonte de tiempo (en cuánto tiempo se obtendrá la ganancia).

Además de estas tres variables principales, un inversionista debe contemplar la liquidez de su inversión, esto es, qué tan fácil será transformar en dinero líquido un activo financiero, ¿será fácil vender una acción o título cuando se desee?

Al tomar la decisión de invertir en acciones o títulos de valor, se agrega otro requerimiento. Al escoger invertir en dos títulos, ¿las inversiones serán independientes?, ¿serán complementarias (si invirtiendo en una incrementa la rentabilidad de la otra o reduce su riesgo)?, o, ¿serán incompatibles (resta parte de su rentabilidad una de la otra)?

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D. RENTABILIDAD

La rentabilidad o rendimiento se percibe como la ganancia que se espera recibir. En un portafolio de inversión, la compra de acciones tiene el propósito de vender a un precio más alto del que pagamos por ellas. El cálculo del rendimiento de una acción será pues:

R¿=Pit−Pit−1+d¿

P¿−1

R¿=Pit−Pit−1

P¿−1

Siendo: Pit = Precio de cotización del título al final del periodo tPit-1= Precio de cotización al comienzo del periodoDit = Ganancias que ha obtenido el título a lo largo del periodo, como dividendos, cupones por derecho de suscripción preferente, etc. (Para objeto de este estudio, ya que no todas las acciones pagan dividendos o no lo hacen en las mismas fechas, no se tomarán en cuenta los dividendos pagados, sólo se calculará la ganancia por diferencial de precio)Rit= Rendimiento del título una vez transcurrido el período de tenencia. Este parámetro solo puede estimarse realmente al momento de la venta de la acción. Antes de ese momento, solo puede ser estimado de acuerdo a la probabilidad de una distribución Normal, según el Teorema del Límite Central, conociendo la rentabilidad media del título y su varianza o desviación estándar como medida del riesgo asociado al título.

En estos estudios, se considera un análisis del comportamiento histórico para estimar dichos parámetros, los cuales se supone, se mantendrán en el futuro. ( (AlaitzMendizábal Zubeldia, 2002).

La medida de la rentabilidad o rendimiento esperado, nos permite obtener una medida de la calidad de carteras conformadas por títulos financieros, tomando en cuenta su riesgo inherente. Algunos analistas (Richard O. Michaud, 2005) consideran que al emplear comportamientos históricos se introducen sesgos importantes, obteniéndose carteras con pocos títulos, reducida varianza y baja correlación entre ellos, lo cuál puede ser poco atractivo para un inversionista precavido. Sin embargo, una restricción en cuanto al porcentaje de ponderación asignado a cada título en especial, puede solucionar este problema.

El rendimiento esperado de una cartera o un portafolio de inversión, es el promedio ponderado de los rendimientos que se esperan sobre las acciones individuales que se mantienen en una cartera.

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E. RIESGO

En finanzas, el riesgo es un término que se utiliza para designar la probabilidad de no obtener los rendimientos esperados. También se le denomina coeficiente beta, variabilidad, volatilidad, varianza o desviación estándar.

Como habíamos visto, la inversión en títulos financieros conlleva un riesgo. En el mercado de capitales, hay dos tipos de riesgo: Riesgo Diversificable, y Riesgo No diversificable. (Álvarez García, Ortega Oliveros, Sánchez Ospina, & Herrera Madrid,2004)

El riesgo no diversificable o sistemático, se entiende como el riesgo de mercado, que no depende de las características individuales del título, sino de coyunturas económicas del país, variaciones en tipos de cambio o del sector en que se enclava la emisora, inflación, recesión, etc. Este tipo de riesgo no será posible eliminarlo mediante la diversificación de un portafolio de inversión.

El riesgo diversificable o riesgo no sistemático es el riesgo propio del título, y depende de las características de la empresa emisora, su actividad productiva, su tipo de administración, solvencia financiera, etc. Este tipo de riesgo es posible minimizarlo a través de una buena selección de títulos, basada en el análisis de la varianza y covarianza de sus rendimientos pasados.

Gráfica 5. Riesgo Total de un Portafolio de Inversión

RIESGO DE UNA ACCIÓN (COEFICIENTE BETA): El nivel de riesgo sistemático de una acción en el mercado puede calcularse mediante el coeficiente Beta (β), que indica su volatilidad o el grado en el cual los rendimientos de una acción determinada se desplazan con las fluctuaciones del mercado de acciones (cuyo beta=1).

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VARIANZA O DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE UNA ACCIÓN (σ): Representa la medida del riesgo no sistemático en una acción, y puede calcularse con métodos estadísticos (la varianza, desviación estándar). (B., 2006)

BETA DE UN PORTAFOLIO DE INVERSIÓN: Para calcular el riesgo sistemático de un portafolio, se calcula la beta del portafolio. Este parámetro define la sensibilidad del comportamiento del portafolio con el desempeño del índice representativo del mercado, evaluando portafolios defensivos o agresivos. La Beta del portafolio, se calcula de manera muy similar al rendimiento del portafolio, tomando como base la sumatoria de la beta individual de cada título, multiplicada por su ponderación en la cartera de inversión.

RIESGO DE UN PORTAFOLIO DE INVERSIÓN: Contrario al rendimiento esperado de una cartera, el riesgo NO sistemático de cartera no es el promedio ponderado de las desviaciones estándar de los valores individuales que componen la cartera. Este es mucho más pequeño, ya que se pueden combinar valores, y así cuando los rendimientos de un título suben, los de otro bajan, y al combinarse quedan libres de riesgo. El análisis de riesgo incluye el análisis de los coeficientes de correlación, varianza y covarianza, que miden el grado de relación entre los riesgos individuales de las diferentes acciones o títulos financieros, y se evalúa por medio de la desviación estándar o “σ”. El grado de riesgo de una cartera se puede reducir a medida que aumenta el número de acciones, tratando de diversificar entre varias industrias.

“σ” o DESVIACIÓN ESTÁNDAR: Parámetro de la distribución de la probabilidad normal estandarizada, que mide los niveles de rendimiento esperado (nivel mínimo y nivel máximo) con respecto a la media.

COVARIANZA: El riesgo de una cartera, como vimos, no solo depende del riesgo de los valores que forman la cartera, sino también de la relación que existe entre los mismos. Esta relación se puede medir mediante la covarianza de los posibles rendimientos de los valores implicados. Una covarianza de cero, indica que el desempeño de los títulos no está correlacionado, y que la combinación de dichos títulos reduce el riesgo del portafolio.

RIESGO TOTAL DE UNA INVERSIÓN:

Riesgo Sistemático (Riesgo de Mercado) + Riesgo no Sistemático (Riesgo del título)

F. MERCADO EFICIENTE

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Se dice que un mercado es eficiente cuando los precios de mercado de los títulos reflejan total e instantáneamente la información disponible de la emisora de dichos títulos. Esto implica que los precios del mercado revelarán los valores justos de los títulos, o con una mínima diferencia, de modo que los mercados de títulos estarán en un equilibrio estocástico continuo, o sea que su comportamiento es intrínsecamente no determinista, en la medida que el siguiente estado del sistema esté determinado por las acciones predecibles del proceso y por elementos aleatorios y que pueda ser estudiado en términos probabilísticos.

En un mercado eficiente, cualquier cambio en la situación económica de una empresa emisora provocará una variación en el precio de su acción, y la información que llega a los inversores deberá ser oportuna y precisa, lo cual ocasionará movimientos de compra o venta súbita (a lo que se denomina arbitraje), tendiendo a un ajuste final de precios, ya que a mayor compra el precio aumenta, y a mayor venta, el precio disminuye.

VI. PROBLEMA EJE

¿Es posible encontrar un modelo matemático que arroje una óptima selección de títulos o acciones (que pertenezcan a la muestra IPC), para la conformación de un portafolio de inversión que maximice su rendimiento, en el mercado de valores de México para un nivel de riesgo permitido por un inversionista?

¿Representa el mercado accionario mexicano un mercado eficiente, en el que pueda ser posible predecir su comportamiento?

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VII. HIPÓTESIS

“Con la ayuda de herramientas matemáticas, es posible construir un modelo matemático que conforme un portafolio de inversión eficiente con una selección de acciones que cotizan en la muestra del IPC de la Bolsa Mexicana de Valores, que maximice rendimientos para niveles de riesgo de 0 a 2 desviaciones estándar”

HIPÓTESIS ESPECÍFICAS

“El mercado accionario mexicano es un mercado eficiente, donde los precios de las acciones que lo conforman constituyen una buena estimación de su valor intrínseco, por lo cual hay un equilibrio entre los rendimientos y los riesgos de cada título o portafolio, que puede modelarse matemáticamente”

“En un portafolio de inversión eficiente, la combinación de títulos seleccionados definirán el máximo rendimiento para cada nivel de riesgo aceptado por el inversionista”

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VIII. DELIMITACIÓN DEL PROBLEMA

Determinación de modelo matemático para la conformación de portafolios de inversión eficientes, con títulos accionarios de empresas mexicanas que formen parte de la muestra representativa del I.P.y C. en el primer semestre de 2012, que reporten una rentabilidad mayor o igual que los instrumentos sin riesgo (CETES 28 días), y para un bajo riesgo asociado de entre 0 y 2 desviaciones estándar”

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IX. CRITERIOS METODOLÓGICOS

A. CARÁCTER

La investigación será de carácter No Experimental, correlacional causal, ya que no se manipularán variables de estudio, sino que se recabará información del comportamiento de los precios de las acciones que conforman la muestra del IPC de la BMV, y se establecerán correlaciones entre las diferentes acciones a considerar dentro del portafolio.

B. DISEÑO

El diseño de la investigación será No Experimental Transeccional descriptivo, ya que las variables consultadas dentro de un horizonte de tiempo definido en fuentes electrónicas y escritas no se manipularán, sino que se considerarán para integrar el modelo de portafolio que se desea diseñar.

C. POBLACIÓN DE INTERÉS

Los elementos que se estudiarán son los precios de los títulos o acciones incluidos en el cálculo del IPC de la BMV de México, durante el período del 1 de mayo del 2010 al 4 de mayo del 2012, con objeto de conformar las diferentes alternativas de portafolios de inversión.

D. MARCO MUESTRAL

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El marco muestral será la base de datos de la Bolsa Mexicana de Valores, sus listas de títulos incluidos en la muestra IPC, su metodología, lineamientos y regulaciones, así como las páginas de Internet que muestran información financiera de títulos accionarios.

E. TIPO DE MUESTREO

La técnica de investigación será la recopilación y análisis de datos escritos, privilegiando los títulos o acciones que presentan mayores rendimientos durante el período histórico analizado, los cuales serán seleccionados para conformar la cartera de inversión.

F. TAMAÑO DE LA MUESTRA

Se analizarán las 35 acciones consideradas en la muestra IPC/BMV, y se escogerán las acciones o títulos que presenten las mayores rentabilidades, sobre las que se trabajará más ampliamente como posibles opciones de nuestro portafolios de inversión.

G. INDICADORES

Los indicadores que se recopilarán son los precios históricos de las acciones, que nos servirán de base para calcular índices de rentabilidad, varianza, desviación estándar, covarianzas, correlación y riesgo de cartera.

H. ANALISIS DE LA INFORMACIÓN

Una vez recopilada la información de fuentes electrónicas en Internet, se utilizarán el paquete de Microsoft Office, Word y Excel para aplicar técnicas matemáticas y estadísticas que nos permitan lograr el objetivo. Se utilizarán herramientas de Excel avanzado como operaciones matriciales, y el SOLVER para resolver problemas de investigación de operaciones, como optimización y maximización.

I. TÉCNICA A UTILIZAR

La herramienta metodológica a utilizar será la Teoría Moderna de Portafolios de Inversión de Harry Markowitz, la cual se resolverá mediante el uso del programa Excel Microsoft.

J. INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS

Al final de la investigación, se conformarán una serie de combinaciones de acciones o cartera de acciones que muestre la ponderación de cada título dentro de una inversión total, que maximice el rendimiento esperado de acuerdo al índice de riesgo aceptado

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por el inversionista. Dichas carteras se encontrarán en la zona óptima de una combinación rendimiento/riesgo.

X. ESTRUCTURA DEL TRABAJO

A. CRITERIO DE SELECCIÓN DE TÍTULOS

Para efectos de esta investigación, la selección de títulos para la conformación del portafolio, se hará sobre acciones que integren la muestra para el IPyC, que garantizará un volumen constante de comercialización, que integre liquidez al portafolio.

La muestra que conforma el IPyC está formada por las siguientes Emisoras: (VALORES, 2012)

04 May 2012

Emisora Serie Precio Anterior Ultimo PPP

AC * 67.00 67.01 67.30

ALFA A 190.63 192.95 192.40

ALSEA * 17.74 17.85 17.85

AMX L 17.88 17.81 17.79

ARA * 4.11 4.12 4.13

ASUR B 105.18 104.22 104.37

AXTEL CPO 3.61 3.60 3.60

AZTECA CPO 8.65 8.70 8.69

BIMBO A 30.56 30.70 30.69

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BOLSA A 26.73 27.05 27.03

CEMEX CPO 8.91 8.82 8.83

CHDRAUI B 34.39 34.83 34.87

COMERCI UBC 27.09 26.54 26.64

COMPARC * 15.53 15.50 15.55

ELEKTRA * 784.64 755.40 767.44

FEMSA UBD 106.91 106.95 107.24

GAP B 49.76 49.75 49.75

GEO B 16.44 15.80 15.83

GFNORTE O 61.90 61.65 61.69

GMEXICO B 40.82 40.75 40.71

GMODELO C 91.93 95.72 95.65

GRUMA B 34.37 34.05 34.16

HOMEX * 37.49 35.34 35.37

ICA * 24.16 23.95 23.87

KIMBER A 26.38 26.33 26.39

LAB B 25.91 26.18 26.21

LIVEPOL C-1 103.98 103.45 103.52

MEXCHEM * 49.47 50.05 50.02

MFRISCO A-1 56.90 56.31 56.28

OHLMEX * 20.37 20.10 20.09

PE&OLES * 605.55 602.00 604.69

SORIANA B 35.71 35.85 35.84

TLEVISA CPO 56.43 56.26 56.28

URBI * 14.57 13.92 13.88

WALMEX V 36.04 35.30 35.26Tabla 3. Acciones integrantes de la muestra del Índice IPC

Para establecer los títulos accionarios que conformarían los portafolios óptimos, se hicieron cálculos de las rentabilidades diarias obtenidas por los instrumentos que forman parte de la muestra para el cálculo del IPC, en un período de dos años (Anexo 2). La selección fue hecha en orden descendente al rendimiento diario promedio observado de las acciones que presentaron mayores rendimientos, eligiéndose 11 claves: (FINANZAS, 2012)

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ASUR ALSEA FEMSA ALFA GRUMA PEÑOLES ICH BIMBO GMEXICO TELEVISA AMX

0.09% 0.07% 0.10% 0.14% 0.10% 0.12% 0.04% 0.05% 0.06% 0.03% 0.02%

Tabla 4. Rendimiento promedio diario de Acciones seleccionadas

B. CÁLCULO DEL RIESGO DE PORTAFOLIO

Para calcular el riesgo del portafolio, se calculan las covarianzas entre los 11 títulos seleccionados, para evaluar el tipo de relación de comportamiento entre ellos. Esto se logra en Excel con arreglos matriciales que nos permiten calcular la desviación estándar o riesgo de cualquier combinación de títulos.

LA VARIANZA O EL RIESGO ASOCIADO AL PORTAFOLIO SE CALCULA MEDIANTE LA SIGUIENTE OPERACIÓN MATRICIAL:Se multiplica la traspuesta de la matriz de ponderaciones, por la matriz de covarianzas por la matriz de ponderaciones. Al resultado se le saca la raíz cuadrada para obtener la desviación estándar o riesgo del portafolio

𝜎_𝑃=√([𝑃]^𝑇 [𝑆][𝑃] )Con la ayuda del programa Excel, se elaboró la matriz de covarianzas: (Ver anexo 4 para operaciones de covarianzas y matrices en Excel y cálculo del riesgo del portafolio)

MATRIZ DE COVARIANZAS (MATRIZ S)

ASUR ALSEA FEMSA ALFA GRUMA PEÑOLES ICH BIMBO GMEXICO TELEVISA1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ASUR 1 0.000268622 4.085909E-05 6.101876E-05 -1.38453E-07 8.109058E-05 -0.0015315 8.997593E-05 3.23956E-06 0.000110397 1.195206E-05ALSEA 2 4.085909E-05 0.000315577 4.876565E-05 1.240431E-05 6.042768E-05 -0.0008172 5.58626E-05 3.13095E-05 0.000101031 -4.22546E-06FEMSA 3 6.101876E-05 4.876565E-05 0.000259756 9.46878E-06 5.991502E-05 -0.0013351 4.933273E-05 1.9439E-05 7.601587E-05 -2.22631E-05ALFA 4 -1.38453E-07 1.240431E-05 9.46878E-06 0.000387641 4.41939E-05 0.0018451 -4.03075E-06 2.55002E-05 1.663445E-05 7.098734E-05GRUMA 5 8.109058E-05 6.042768E-05 5.991502E-05 4.41939E-05 0.00047574 -0.0021192 7.908508E-05 2.22643E-05 0.00013153 -1.78853E-06PEÑOLES 6 -0.001531455 -0.000817238 -0.001335064 0.001845099 -0.002119156 0.20787609 -0.00108587 0.001551094 -0.001202258 0.001107666ICH 7 8.997593E-05 5.58626E-05 4.933273E-05 -4.03075E-06 7.908508E-05 -0.0010859 0.000328847 1.14231E-05 0.000140371 2.101319E-06BIMBO 8 3.23956E-06 3.13095E-05 1.943901E-05 2.550019E-05 2.226432E-05 0.00155109 1.142313E-05 0.000287372 4.664353E-05 4.205893E-06GMEXICO 9 0.000110397 0.000101031 7.601587E-05 1.663445E-05 0.00013153 -0.0012023 0.000140371 4.66435E-05 0.000383038 2.285083E-06TV 10 1.195206E-05 -4.22546E-06 -2.22631E-05 7.098734E-05 -1.78853E-06 0.00110767 2.101319E-06 4.20589E-06 2.285083E-06 0.000251326AMX 11 -2.37081E-05 3.338689E-05 -2.30016E-05 1.378059E-05 8.109058E-05 0.0008722 -2.54154E-05 1.31024E-05 -5.73673E-06 9.134026E-06

Tabla 5. Matriz de Covarianzas

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Acto seguido, se elaboraron las matrices de las ponderaciones, y la de ponderación transpuesta, y se hizo una primera asignación de w (participación en % de cada activo), para poder calcular el riesgo de la cartera:

MATRIZ DE PONDERACIONES (P*)Rent. Esp.

ASUR W1 0.00088 0.00

ALSEA W2 0.00072 0.00FEMSA W3 0.00102 0.00ALFA W4 0.00142 100.00GRUMA W5 0.00100 0.00PEÑOLES W6 0.00000 0.00ICH W7 0.00042 0.00BIMBO W8 0.00045 0.00GMEXICO W9 0.00056 0.00TELEVISA W10 0.00028 0.00AMX W11 0.00016 0.00

100.00Riesgo 1.97Rentabilidad 0.142285133

W

Tabla 6. Matriz de Ponderaciones

4.933273E-05 -4.03075E-06 7.908508E-05 -0.0010859 0.000328847 1.14231E-05 0.000140371 2.101319E-06 -2.54154E-051.943901E-05 2.550019E-05 2.226432E-05 0.00155109 1.142313E-05 0.000287372 4.664353E-05 4.205893E-06 1.310238E-057.601587E-05 1.663445E-05 0.00013153 -0.0012023 0.000140371 4.66435E-05 0.000383038 2.285083E-06 -5.73673E-06-2.22631E-05 7.098734E-05 -1.78853E-06 0.00110767 2.101319E-06 4.20589E-06 2.285083E-06 0.000251326 9.134026E-06-2.30016E-05 1.378059E-05 8.109058E-05 0.0008722 -2.54154E-05 1.31024E-05 -5.73673E-06 9.134026E-06 0.000295037

Tabla 7. Matriz de Ponderaciones Traspuesta

Al realizar la multiplicación de estas tres matrices, se obtuvo una matriz de 1x1 que nos indica la varianza de la cartera o portafolios de inversión, cuya raíz se conoce como riesgo o desviación estándar.

GMEXICO 9 0.000110397 0.000101031ICHB 10 1.195206E-05 -4.22546E-06AMX 11 -2.37081E-05 3.338689E-05IPC (MERCADO)

Tabla 8. Riesgo Portafolio

C. CÁLCULO DE LA RENTABILIDAD ESPERADA EN EL PORTAFOLIO

Para encontrar el rendimiento/riesgo de una combinación de títulos o portafolio, se empezaron a plantear diferentes escenarios para la conformación de portafolios, variando las ponderaciones wi, de cada título, y obteniendo las diferentes evaluaciones en cuanto a su riesgo y su rendimiento. Se plantearon alrededor de 60 diferentes escenarios, y se encontraron las siguientes alternativas de conformación de portafolios de inversión con su riesgo/rendimiento asociado. (ANEXO 3)

39

Como se puede observar, se tienen muchas alternativas de portafolios que tienen el mismo riesgo, pero diferente rendimiento.

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

PORTAFOLIOS INVERSIONEscenarios con diferentes combinaciones de ac-

tivos

Riesgo %

Rend

imie

nto

diar

io %

Gráfica 6. Diferentes escenarios de Portafolios de Inversión

El rendimiento del portafolio se calcula con la sumatoria de los productos de la ponderación de cada título por su rentabilidad diaria esperada.

Sin embargo, el objetivo de este estudio, es encontrar la conformación de portafolios que presente el máximo rendimiento para cada nivel asociado de riesgo y que se localicen exactamente en la frontera eficiente.

D. LOCALIZACIÓN DE LA FRONTERA EFICIENTE

Para poder determinar la combinación de activos precisa, esto es, los portafolios cuya conformación se encuentre en la frontera eficiente, mejor conocida como zona donde se localiza la selección óptima de activos que reporten el rendimiento máximo para cada nivel de riesgo aceptado, se utiliza la herramienta SOLVER de Excel, la cual se alimenta con la función objetivo de maximización, sujeta a ciertas restricciones:

40

HERRAMIENTA SOLVER EXCEL

FUNCION OBJETIVO

Maximizar el rendimiento del Portafolio

Sujeto a las siguientes restricciones: CETES 28 DIASRentab mayor o igual a rentabilidad sin riesgo (Rentabilidad sin riesgo= 4.34% Mayo 8/2012)

(Riesgo cero) Se ajusta a rentabilidad diaria: 0.01722Suma ponderaciones igual a 1 ó 100% Σw=100

Riesgo mayor a un valor X Riesgo P mayor a 0

Con esta herramienta, se le pide al programa calcular las ponderaciones exactas para lograr cierto nivel máximo de riesgo, consiguiéndose así la conformación de diferentes portafolios ubicados en lo que se denomina la frontera eficiente:

41

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.20

0.020.040.060.08

0.10.120.140.16

f(x) = − 0.0522605278546542 x² + 0.192476918265983 x − 0.0369467368696106R² = 0.944812307005828

Frontera Eficiente Portafolio Inversión

Series2Polynomial (Series2)

Riesgo o Desviación Estándar del Portafolio

Rent

abili

dad

diar

ia d

el P

orta

folio

(%)

Gráfica 7. Frontera Eficiente de Portafolios de Inversión

Que conformaría los siguientes portafolios que cumplen con las restricciones antes mencionadas:

42

Coordenadas encontradas con Herramienta Solver

PORTAFOLIOS CONFORMADOS EN LA FRONTERA EFICIENTE: MAYOR RENTABILIDAD PARA CADA NIVEL DE RIESGO

ASUR ALSEA FEMSA ALFA GRUMA PEÑOLES ICH BIMBO GMEXICO TELEVISA AMX RIESGO1 13.73 9.68 10.21 10.87 10.3 0.2 9.15 9.08 9.48 8.75 8.54 0.8 0.0706931 17.81466042 18.64 10.19 22.94 27.3 7.48 0.08 7.23 2.25 3.89 0.9 0.09791891 24.67556613 23.41 8.49 16.29 36.32 8.81 0.08 0.75 4.72 0 1.13 1 0.10639931 26.81262694 17.05 3.11 28.72 41.91 9.22 1.1 0.11529165 29.05349485 12.04 29.03 50.77 8.16 1.2 0.1205132 30.36932566 7.28 27.12 58.89 6.72 1.3 0.12448143 31.36932017 27.53 65.11 6.75 1.4 0.1279135 32.2342028 23.9 72.31 1.5 0.1309652 33.00322969 20.1 78.94 1.6 0.1337014 33.6927528

10 99.98 0.02 1.97 0.14228513 35.855852811 95.66 4.34 3 0.13610635 34.298799412 92.98 7.02 4 0.13229858 33.339242213 90.53 9.47 5 0.12880498 32.458855714 88.16 11.84 6 0.12544022 31.610934915 85.84 14.16 7 0.12214272 30.779964916 83.55 16.456 8 0.11888522 29.9590754

Portafolios de Inversión Eficientes

calculados con Modelo

Matemático

Wi =Porcentaje de participación en PortafolioRENTABILIDAD DIARIA

RENTABILIDAD ANUALIZADA

Tabla 9. Conformación de Portafolios de Inversión Eficientes

La interpretación de esta tabla sería la siguiente:

El portafolio eficiente, asociado a un:

Riesgo bajo de 0.8 σ, tendría un

Rendimiento anual de 17.81% (0.072303575% diario, anualizado por 252 días hábiles)

Y estaría conformado por una combinación de acciones:13.73%ASUR+9.68%ALSEA+10.21%ALFA+10.3%GRUMA+0.20%PEÑOLES+9.15%ICH+9.08%BIMBO+9.48%GMEXICO+8.75%TELEVISA+8.54%AMX= 100% de Inversión

E. MODELO MATEMÁTICO PARA LOCALIZAR FRONTERA EFICIENTE

43

La ecuación de la línea de tendencia que dibuja la frontera eficiente, resulta ser el modelo que nos permite calcular o predecir la rentabilidad máxima de un portafolios, en función del riesgo o desviación estándar de la cartera de títulos, con lo que no necesitaríamos estar utilizando el solver.

y = - 0.0523x2 + 0.1925x - 0.0369R² = 0.9448*

Esta frontera define la línea del mercado bursátil, en la cual solo se pueden negociar activos riesgosos y el 100% de nuestro capital de inversión.

*Nota. La R2 nos indica que el rendimiento del portafolio es explicado en un 94.48% por el nivel de riesgo asociado al portafolio en este modelo.

F. SIMULACIÓN DE ESCENARIOS CON EL MODELO MATEMÁTICO

Utilizando el modelo matemático encontrado, se calculan los rendimientos esperados para niveles de riesgo de entre 0 - 2 desviaciones estándar, los cuales se comparan con los encontrados con el solver, encontrándose una correlación del orden del 97% entre los dos métodos.

44

Y= Rendimiento esperado de un portafolio de inversión.

X=Riesgo o desviación estándar asociado al portafolio

MODELO RIESGO RIESGO

0.8 0.083628 0.8 0.072303570.85 0.08893825 0.85 0.09212010.87 0.09098913 0.87 0.0945619

0.9 0.093987 0.9 0.097918911 0.1033 1 0.10639931

1.1 0.111567 1.1 0.115291651.2 0.118788 1.2 0.12051321.3 0.124963 1.3 0.124481431.4 0.130092 1.4 0.12791351.5 0.134175 1.5 0.13096521.6 0.137212 1.6 0.1337014

1.97 0.13935393 1.97 0.142285132 0.1389 2 0.141798623 0.0699 3 0.136106354 -0.1037 4 0.132298585 -0.3819 5 0.128804986 -0.7647 6 0.125440227 -1.2521 7 0.122142728 -1.8441 8 0.11888522

RENTABILIDAD DIARIA

CALCULADA CON EL MODELO

RENTABILIDAD DIARIA CALCULADA SOLVER

y = -0.0523x2 + 0.1925x - 0.0369

Tabla 10. Comparación entre rentabilidad calculada con el modelo matemático encontrado vs. rentabilidad calculada con Solver de Excel

Esta correlación, nos comprueba que el rendimiento máximo del portafolio (variable dependiente) es función del riesgo asociado a la cartera de inversión (variable independiente), en una investigación de maximización de rendimiento.

Por el contrario, una investigación de minimización de riesgo, nos sirve para poder encontrar también el riesgo mínimo que se debe asumir para logar un rendimiento deseado. Así, si yo quiero logar un rendimiento del 14% sobre mi inversión, encuentro que debo asumir un riesgo mínimo de 2 σ (dos desviaciones estándar).

45

CONCLUSIONES

La teoría del Portafolio Eficiente de Markowitz provee las herramientas matemáticas para modelar la selección de un portafolio de inversión eficiente, que ayude a un inversionista en la selección de títulos para un una cartera de entre las emisoras que conforman la muestra del IPC, de la Bolsa Mexicana de Valores, de acuerdo con la hipótesis planteada.

El modelo matemático encontrado, de acuerdo al objetivo de esta investigación, se adecúa al comportamiento observado en el Mercado de Capitales de México en época de estabilidad, mostrándolo como un mercado eficiente en el que los títulos reflejan en buena medida su valor intrínseco durante el período estudiado. En niveles de riesgo del portafolio mayores de 2σ, los valores de rendimiento/riesgo asociado tienen una divergencia importante, debido a que el modelo de la ecuación polinómica de segundo grado se ajusta a una parábola negativa, en la que a mayores valores del riesgo, el rendimiento tiende a decrecer, lo que no necesariamente ocurre en el comportamiento de una cartera de inversiones.

Esto significa, que a niveles de riesgo mayores de 2 σ, el mercado mexicano no puede ser proyectado a través de este modelo. (Ver Tabla 10)

A mayor nivel de riesgo, las opciones para la conformación de portafolios eficientes integran una combinación de solo uno o dos títulos, lo cual efectivamente eleva el rendimiento, pero incrementando la incertidumbre de lograrlo debido a la pobre diversificación de títulos, lo cual no es atractivo al inversionista, ya que un aumento desproporcionado en el rendimiento de un título puede ser coyuntural y no necesariamente corresponde a un aumento en el valor intrínseco o real de dicha empresa emisora.

Por este motivo, si aparte de repartir el 100% del patrimonio en un número “n” de títulos, el inversionista decidiera aparte considerar que el portafolio considerara, por ejemplo, conformar su cartera con 5 títulos diferentes para no apostar la cartera a una sola acción emisora, entonces la conformación de su portafolio, y el nivel de riesgo que dicho inversionista estaría dispuesto a asumir sería de: (Ver Tabla 9)

Coordenadas encontradas con Herramienta Solver

Coordenadas encontradas con Herramienta Solver

CARTERA:17.05% acciones de ASUR

46

3.11% acciones de ALSEA28.73% acciones de FEMSA41.91% acciones de ALFA9.22% acciones de GRUMA100% de la inversión,

Con un riesgo de 1.1σ y una rentabilidad diaria esperada de 0.1152% (anualizada del 29% por 252 días hábiles en la BMV)

Habiendo determinando con el modelo matemático la correspondencia entre riesgo/rendimiento, no debemos perder de vista que el comportamiento de los títulos está sometido al riesgo de eventualidades del mercado, que no son previsibles (riesgo no diversificable), por lo que en tiempos de turbulencia financiera, se recomienda a los inversionistas una espera prudente para esperar que la calma vuelva al mercado y que los títulos retomen su verdadero valor, ya que al vender en tiempos de crisis, se estará incurriendo en pérdida de capital, al vender los títulos a menor precio de lo que se pagó por ellos. Para saber el momento en que se recomienda vender uno o varios títulos, se requiere un seguimiento muy cercano del comportamiento de los diferentes instrumentos, y determinar por métodos matemáticos, gráficos, y de tendencias, el momento más conveniente para deshacerse de ciertos valores y realizar la compra de otros. Estos análisis técnicos, agregarían restricciones a nuestro modelo predictivo, de manera que el portafolio incluya o no determinados títulos, que aún cuando presenten rendimientos excelentes, el mercado los esté señalando como poco recomendables.

Para complementar este análisis, sería interesante considerar como tema futuro de investigación, el medir la sensibilidad del portafolio sugerido, con las variaciones del índice de mercado (IPyC) mediante el cálculo de la beta del portafolio. El seguimiento diario de los rendimientos diarios, podrá alimentarse al modelo para predecir el comportamiento de la inversión en cuanto al riesgo no sistemático o diversificable; mientras que el análisis de la beta del portafolio, nos ayudará a controlar el riesgo sistemático o no diversificable.

47

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48

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49

APENDICE

ANEXO I EMISORAS INSCRITAS EN LA BOLSA MEXICANA DE VALORES

Clave de la emisora

Razón social

AC ARCA CONTINENTAL, S.A.B. DE C.V.ACCELSA ACCEL, S.A.B. DE C.V.ACTINVR CORPORACION ACTINVER, S.A.B. DE C.V.AEROMEX GRUPO AEROMÉXICO, S.A.B. DE C.V.AGRIEXP AGRO INDUSTRIAL EXPORTADORA, S.A. DE C.V.AHMSA ALTOS HORNOS DE MEXICO, S.A. DE C.V.ALFA ALFA, S.A.B. DE C.V.ALPEK ALPEK,S.A. DE C.V.ALSEA ALSEA, S.A.B. DE C.V.AMX AMERICA MOVIL, S.A.B. DE C.V.ARA CONSORCIO ARA, S.A.B. DE C.V.ARISTOS CONSORCIO ARISTOS, S.A. DE C.V.ASUR GRUPO AEROPORTUARIO DEL SURESTE, S.A.B. DE C.V.AUTLAN COMPAÑIA MINERA AUTLAN, S.A.B. DE C. V.AXTEL AXTEL, S.A.B. DE C.V.AZTECA TV AZTECA, S.A.B. DE C.V.BACHOCO INDUSTRIAS BACHOCO, S.A.B. DE C.V.BAFAR GRUPO BAFAR, S.A. DE C.V.BBVA BANCO BILBAO VIZCAYA ARGENTARIA, S.A.BEVIDES FARMACIAS BENAVIDES, S.A.B. DE C.V.BIMBO GRUPO BIMBO, S.A.B. DE C.V.BOLSA BOLSA MEXICANA DE VALORES, S.A.B. DE C.V.C CITIGROUP INC.CABLE EMPRESAS CABLEVISION, S.A. DE C.V.CEMEX CEMEX, S.A.B. DE C.V.CERAMIC INTERNACIONAL DE CERAMICA, S.A.B. DE C.V.CHDRAUI GRUPO COMERCIAL CHEDRAUI, S.A.B. DE C.V.CICSA CARSO INFRAESTRUCTURA Y CONSTRUCCIÓN, S.A.B. DE C.V.CIDMEGA GRUPE, S.A.B. DE C.V.

CIECORPORACION INTERAMERICANA DE ENTRETENIMIENTO, S.A.B. DE C.V.

CMOCTEZ CORPORACION MOCTEZUMA, S.A.B. DE C.V.CMR CMR, S.A.B. DE C.V.COLLADO G COLLADO, S.A.B. DE C.V.COMERCI CONTROLADORA COMERCIAL MEXICANA, S.A.B. DE C.V.COMPARC COMPARTAMOS, S.A.B. DE C.V.

50

Clave de la emisora

Razón social

CONVER CONVERTIDORA INDUSTRIAL, S.A.B. DE C.V.CYDSASA CYDSA, S.A.B. DE C.V.DINE DINE, S.A.B. DE C.V.EDOARDO EDOARDOS MARTIN, S.A.B. DE C.V.ELEKTRA GRUPO ELEKTRA, S.A. DE C.V.FEMSA FOMENTO ECONÓMICO MEXICANO, S.A.B. DE C.V.FINAMEX CASA DE BOLSA FINAMEX, S.A.B. DE C.V.FINDEP FINANCIERA INDEPENDENCIA, S.A.B. DE C.V. SOFOM, E.N.R.FRAGUA CORPORATIVO FRAGUA, S.A.B. DE C.V.FRES FRESNILLO PLC

FUNODEUTSCHE BANK MEXICO, S.A. INSTITUCION DE BANCA MULTIPLE, FIDEICOMISO F/1401

GAM GRUPO AZUCARERO MÉXICO, S.A.B. DE C.V.GAP GRUPO AEROPORTUARIO DEL PACIFICO, S.A.B. DE C.V.GBM CORPORATIVO GBM, S.A.B. DE C. V.GCARSO GRUPO CARSO, S.A.B. DE C.V.GCC GRUPO CEMENTOS DE CHIHUAHUA, S.A.B. DE C.V.GENSEG GENERAL DE SEGUROS, S.A.B.GEO CORPORACION GEO, S.A.B. DE C.V.GEUPEC GRUPO EMBOTELLADORAS UNIDAS, S.A.B. DE CVGFAMSA GRUPO FAMSA, S.A.B. DE C.V.GFINBUR GRUPO FINANCIERO INBURSA, S.A.B. DE C.V.GFINTER GRUPO FINANCIERO INTERACCIONES, S.A. DE C.V.GFMULTI GRUPO FINANCIERO MULTIVA S.A.B.GFNORTE GRUPO FINANCIERO BANORTE, S.A.B DE C.V.GFREGIO BANREGIO GRUPO FINANCIERO, S.A.B. DE C.V.GIGANTE GRUPO GIGANTE, S.A.B. DE C.V.GISSA GRUPO INDUSTRIAL SALTILLO, S.A.B. DE C.V.GMACMA GRUPO MAC MA, S.A.B. DE C.V.GMARTI GRUPO MARTI, S.A.B. DE C.V.GMD GRUPO MEXICANO DE DESARROLLO, S.A.B.GMDR GMD RESORTS, S.A.B.GMEXICO GRUPO MEXICO, S.A.B. DE C.V.GMODELO GRUPO MODELO, S.A.B. DE C.V.GNP GRUPO NACIONAL PROVINCIAL, S.A.B.GOMO GRUPO COMERCIAL GOMO, S.A. DE C.V.GPH GRUPO PALACIO DE HIERRO, S.A.B. DE C.V.GPROFUT GRUPO PROFUTURO, S.A.B. DE C.V.GRUMA GRUMA, S.A.B. DE C.V.HERDEZ GRUPO HERDEZ, S.A.B. DE C.V.

51

Clave de la emisora

Razón social

HILASAL HILASAL MEXICANA S.A.B. DE C.V.HOGAR CONSORCIO HOGAR, S.A.B. DE C.V.HOMEX DESARROLLADORA HOMEX, S.A.B. DE C.V.IASASA INDUSTRIA AUTOMOTRIZ, S.A. DE C.V.ICA EMPRESAS ICA, S.A.B. DE C.V.ICH INDUSTRIAS CH, S.A.B. DE C.V.

IDEALIMPULSORA DEL DESARROLLO Y EL EMPLEO EN AMERICA LATINA, S.A.B. DE C.V.

INCARSO Inmuebles Carso, S.A.B. de C.V.INVEX INVEX CONTROLADORA, S.A.B. DE C.V.KIMBER KIMBERLY - CLARK DE MEXICO S.A.B. DE C.V.KOF COCA-COLA FEMSA, S.A.B. DE C.V.KUO GRUPO KUO, S.A.B. DE C.V.LAB GENOMMA LAB INTERNACIONAL, S.A.B. DE C.V.LAMOSA GRUPO LAMOSA, S.A.B. DE C.V.LASEG LA LATINOAMERICANA SEGUROS, S.A.LIVEPOL EL PUERTO DE LIVERPOOL, S.A.B. DE C.V.MASECA GRUPO INDUSTRIAL MASECA, S.A.B. DE C.V.MAXCOM MAXCOM TELECOMUNICACIONES, S.A.B. DE C.V.MEDICA MEDICA SUR, S.A.B. DE C.V.MEGA MEGACABLE HOLDINGS, S.A.B. DE C.V.MEXCHEM MEXICHEM, S.A.B. DE C.V.MFRISCO MINERA FRISCO, S.A.B. DE C.V.MINSA GRUPO MINSA, S.A.B. DE C.V.MONEX HOLDING MONEX, S.A.P.I.B. DE C.V.NUTRISA GRUPO NUTRISA, S.A.B. DE C. V.OHLMEX OHL MEXICO, S.A.B. DE C.V.OMA GRUPO AEROPORTUARIO DEL CENTRO NORTE, S.A.B. DE C.V.PAPPEL BIO PAPPEL, S.A.B. DE C.V.PASA PROMOTORA AMBIENTAL, S.A.B. DE C.V.PATRIA REASEGURADORA PATRIA, S.A.PE&OLES INDUSTRIAS PEÑOLES, S. A.B. DE C. V.

PINFRAPROMOTORA Y OPERADORA DE INFRAESTRUCTURA, S.A.B. DE C.V.

POCHTEC GRUPO POCHTECA, S.A.B. DE C.V.POSADAS GRUPO POSADAS, S.A.B. DE C.V.

PROCORPPROCORP, S.A. DE C.V., SOCIEDAD DE INV. DE CAPITAL DE RIESGO

Q QUALITAS COMPAÑIA DE SEGUROS, S.A. DE C.V.QBINDUS Q.B. INDUSTRIAS, S.A. DE C.V.

52

Clave de la emisora

Razón social

QUMMA GRUPO QUMMA, S.A. DE C.V.RCENTRO GRUPO RADIO CENTRO, S.A.B. DE C.V.REALTUR REAL TURISMO S.A. DE C.V.SAB GRUPO CASA SABA, S.A.B. DE C.V.SAN BANCO SANTANDER, S.A.SANLUIS SANLUIS CORPORACION, S.A.B. DE C. V.SANMEX GRUPO FINANCIERO SANTANDER, S.A.B. DE C.V.SARE SARE HOLDING, S.A.B. DE C.V.SAVIA SAVIA, S.A. DE C.V.SIMEC GRUPO SIMEC, S.A.B. DE C.V.SORIANA ORGANIZACION SORIANA, S.A.B. DE C.V.SPORT GRUPO SPORTS WORLD, S.A.B. DE C.V.TEAK PROTEAK UNO, S.A.P.I.B. DE C.V.TEKCHEM TEKCHEM, S.A.B. DE C.V.TELMEX TELEFONOS DE MEXICO, S.A.B. DE C.V.TLEVISA GRUPO TELEVISA, S.A.B.TMM GRUPO TMM, S.A.TS TENARIS S.A.URBI URBI DESARROLLOS URBANOS, S.A.B. DE C.V.VALUEGF VALUE GRUPO FINANCIERO, S.A.B. DE C.V.VASCONI GRUPO VASCONIA S.A.B.VITRO VITRO, S.A.B. DE C.V.WALMEX WAL - MART DE MEXICO, S.A.B. DE C.V.

Emisoras que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores y su clave de Pizarra (Fuente Bolsa Mexicana de Valores)

53

ANEXO 2 RENDIMIENTO DIARIO DE ACCIONES SELECCIONADAS PARA ESTUDIO

RENDIMNIENTOSASUR ALSEA FEMSA ALFA GRUMA PEÑOLES ICH BIMBO GMEXICO ICHB AMX

IPC (MERCADO)

12 -0.93% 0.28% 0.55% 0.86% -0.61% -0.78% 0.31% 0.62% 0.54% -1.32% -1.47% -0.72%3 -0.63% 0.45% -0.71% -0.37% -2.62% -0.13% 0.42% -1.30% -0.59% -0.03% 1.17% 0.12%4 -1.02% -1.01% 0.91% 2.99% -1.44% -0.10% 1.48% -0.55% 1.53% 1.48% 2.39% -0.23%5 0.86% -0.28% 0.16% 2.50% 3.07% -3.21% 1.98% 0.90% 0.62% 4.13% -0.64% -2.10%6 3.28% -0.11% -1.50% -2.30% -3.41% -0.48% -1.20% -3.10% -0.50% 1.30% 1.89% 1.60%7 0.73% 1.51% -0.44% -1.53% -8.56% 0.59% -0.27% -0.85% -0.37% -0.41% 3.90% -0.43%8 0.40% 0.57% 1.89% 2.05% 4.89% 0.82% 0.58% -0.65% -0.62% -0.09% 0.04% -0.04%9 1.43% -1.19% 0.17% -2.56% 0.95% -0.93% -1.38% 0.81% 0.12% 0.47% -0.08% 0.35%

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54

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55

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56

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57

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58

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1.49% -2.30% 2.15% -0.23% 1.65% -0.83% 0.70% -0.62%

59

451 -0.23% 0.31% 1.31% 1.13% 0.10% 1.14% 0.41% -2.45% 0.72% -0.46% -0.14% -0.09%452 -0.15% 0.93% -1.61% -1.34% 1.41% -0.35% -0.87% -0.41% 1.82% -0.17% 4.59% -0.80%453 0.74% 0.39% -0.37% 0.31% 0.25% 0.33% -0.23% 0.61% -0.99% -1.67% -0.12% 0.46%454 -0.31% -0.24% -1.67% 1.65% -1.62% -3.16% -2.25% -0.20% -2.85% 0.54% 1.56% 0.26%455 -0.77% -1.25% -0.43% -1.60% -3.35% 3.14% -1.32% -1.06% 3.43% 0.71% 0.50% 1.89%456 2.46% -0.23% 1.53% 0.57% -3.05% 0.57% -0.22% -1.32% -0.80% -1.12% -3.26% 0.26%457 0.90% 0.15% -0.02% -1.94% 1.37% -4.30% 0.11% -0.19% 1.44% 0.19% -0.46% 0.56%458 0.43% 1.01% 0.15% 0.83% 0.24% -2.07% -2.91% 0.19% -3.57% 0.75% 0.34% 0.20%459 0.85% -1.47% 2.23% -0.17% 1.68% 2.35% 2.59% 1.03% 0.03% -0.02% 2.18% -1.86%460 1.89% 0.23% -1.14% 0.26% 0.24% 1.41% 2.88% -0.53% 1.31% 1.09% -1.65% 0.23%461 2.14% 1.56% -1.41% 0.38% 1.32% 2.09% 1.13% 0.34% 2.10% 0.59% 0.00% 0.37%462 0.42% 4.16% 5.09% 0.53% 1.99% 1.55% 2.32% -2.36% 2.41% 0.64% -0.57% 0.98%463 1.31% -0.49% -0.35% 0.10% 0.71% 0.45% -0.26% -2.05% 0.50% 2.16% 2.82% -0.42%464 -0.03% 1.56% 1.77% -0.79% 1.48% 0.24% 0.19% 1.95% 0.50% 1.32% 1.15% 0.14%465 -0.78% -0.41% 0.86% 0.79% -0.62% 0.73% -1.20% 0.66% -2.14% -1.10% 0.02% -0.23%466 -0.24% 0.58% -0.21% 0.01% -3.27% -1.81% -0.60% 2.37% -0.33% -1.04% 0.48% 1.58%467 -5.46% -0.91% -3.91% 1.55% -4.69% -3.82% -5.98% -2.11% -5.00% 0.83% -2.12% 0.45%468 -0.05% -2.43% 1.25% -1.56% 0.90% 6.58% 1.19% 0.92% -0.19% 0.61% -4.77% 0.04%469 0.96% -1.90% -1.33% 2.58% 0.72% -3.88% 0.96% 3.76% 0.25% -2.11% -0.63% 0.58%470 -2.87% 1.66% 0.32% 2.71% 0.10% 4.28% -0.09% 1.07% -2.20% -0.75% 1.83% 0.13%471 0.31% -1.35% -1.75% -0.54% -0.34% -12.93% -2.49% 1.08% -0.21% -1.69% -1.60% -1.01%472 -1.21% -0.39% 0.05% 0.00% 0.82% -0.57% -3.70% 1.70% -0.93% -0.23% 1.94% -3.42%473 1.08% -1.25% -3.16% -0.22% 0.14% -1.01% 1.18% -2.78% 2.70% 0.67% -1.29% -0.12%474 -0.05% 0.70% 0.09% 1.64% 1.26% -0.76% 2.52% -1.60% 0.52% -0.17% 0.32% 0.91%475 -0.03% 1.02% -0.21% -1.85% -0.20% -1.51% 1.25% -2.46% -0.22% -0.40% -0.34% -1.08%476 -0.77% -0.24% 0.65% -0.63% -2.75% 0.85% 0.26% -0.55% 1.33% 0.74% 0.37% 0.59%477 -0.75% -1.25% -0.62% -1.50% 3.19% 0.34% 1.98% 0.40% 1.51% -0.19% 0.57% -1.26%478 0.23% 2.68% -0.15% 0.56% -0.29% 0.34% -1.95% -0.73% -1.35% -0.13% 2.93% 0.21%479 1.45% -1.43% 0.54% -0.67% -2.37% -0.35% 1.51% 0.51% 0.44% 2.99% -0.57% 0.12%480 4.87% 2.39% 3.77% 3.20% 4.69% 0.33% 0.66% -1.93% 6.82% 1.93% -0.45% -0.09%481 2.05% 0.08% 0.39% 0.44% 0.40% -3.16% 0.02% -0.93% 0.71% -0.75% 2.30% 0.37%482 -1.27% -0.48% -1.16% 2.77% 0.05% 3.14% 3.14% 0.74% 5.28% -2.58% -0.27% 1.38%483 -0.75% -1.04% -2.49% 1.24% 1.67% 0.57% -0.91% 0.28% -3.44% -2.22% 1.88% 0.35%484 -4.35% 0.00% -1.32% -1.28% -3.17% -4.30% -3.04% 1.02% -2.79% -0.23% -0.04% 0.67%485 -1.46% -1.89% 0.68% 0.15% 0.55% -2.07% -0.53% 0.73% -1.43% -0.64% -2.21% 2.22%486 -1.39% 0.70% 0.80% -2.10% 2.52% 2.35% 3.34% 1.86% 0.80% -0.37% -0.29% 0.48%487 -3.85% -0.70% -6.94% 1.65% 0.20% 1.41% -0.23% 1.48% -3.31% -0.35% 2.41% 1.04%488 0.53% -0.16% 7.62% -2.32% -5.28% 2.09% -4.97% 1.18% -0.90% 2.19% 0.36% -0.82%489 4.16% -0.31% 1.55% 0.99% 3.21% 1.55% 3.17% 2.01% 4.08% 1.31% -2.21% -1.09%490 1.01% 1.56% 1.34% 2.73% 2.03% 0.45% 2.02% -0.50% 4.25% -0.70% 4.03% -0.26%491 1.76% 2.39% -0.72% 0.52% -2.23% 0.24% -2.04% -0.04% 1.82% -0.74% 0.69% 0.53%492 0.14% 0.00% 1.14% -0.35% -1.05% 0.73% -0.86% -1.18% -0.14% 0.53% -0.80% -2.51%493 3.15% 0.89% 0.40% 1.90% 6.02% -1.81% 1.51% 1.14% 1.89% -0.15% 0.06% 1.54%494 -6.59% 3.98% -1.50% -0.98% -2.44% -3.82% -2.80% 2.81% -3.05% 0.11% 1.67% -1.60%495 -0.55% -2.01% -0.37% -2.04% -2.18% 6.58% 0.20% -3.15% -2.21% -0.84% -4.20% 2.30%496 0.77% -1.16% -1.97% -1.12% -5.04% -3.88% -1.69% -3.98% -1.39% -0.50% -1.06% 2.24%497 0.26% -0.08% 2.21% -4.35% -0.71% 4.28% -3.56% 0.00% -4.61% -0.73% -1.48% -0.41%498 -2.96% -3.23% -0.63% 0.64% -0.33% -12.93% -3.31% 0.41% -0.96% 0.00% -0.61% 0.42%499 1.70% 0.48% 0.65% -2.21% -5.92% -0.57% 0.20% 3.79% 1.09% 1.69% -2.07% 0.86%500 -0.90% 0.32% -0.20% -0.05% -1.72% -1.01% -0.10% 1.98% 0.19% -1.11% -1.09% -2.04%501 -0.47% 2.84% 0.62% 1.00% 1.45% -0.76% -0.06% -1.82% -0.32% 1.83% 1.61% -0.46%502 4.61% -3.48% 3.65% -0.92% 2.97% -1.51% 4.46% 1.04% 2.90% -1.07% -0.96% -1.42%503 -3.95% 4.72% -1.00% 1.86% 1.66% 0.85% -0.75% -2.49% 2.38% -1.73% 5.14% -0.73%504 -0.65% -3.20% -0.60% 0.75% 0.98% 0.34% -2.72% -1.65% -2.51% -1.37% 0.38% -1.65%505 -0.98% -0.32% -0.34% -1.27% 3.54% 0.00% 0.97% -3.39% -1.38% 0.39% -4.02% -0.11%

Rendimiento medio 0.09% 0.07% 0.10% 0.14% 0.10% 0.12% 0.04% 0.05% 0.06% 0.03% 0.0002 0.04%Rendimiento anualizado 22.20% 18.09% 25.60% 35.86% 25.25% 30.97% 10.46% 11.38% 14.21% 7.05% 4.12% 9.45%

Rendimientos diarios Títulos seleccionados, de mayo 2010 a mayo 2012 (FINANZAS, 2012)

60

ANEXO 3 EJEMPLOS DE CONFORMACIÓN DE PORTAFOLIOS DE INVERSIÓN

DIFERENTES ESCENARIOS ASUR ALSEA FEMSA ALFA GRUMA PEÑOLES ICH BIMBO GMEXICO TELEVISA AMX

Sumatoria ponderaciones RIESGO RENDIMIENTO

1 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 50.00 100.00 2.52 0.048065382 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 0.00 100.00 4.55 0.082153363 3.00 1.00 20.00 40.00 1.00 30.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 100.00 13.80 0.120333624 6.00 6.00 6.00 26.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 20.00 6.00 100.00 2.93 0.081228185 15.00 15.00 10.00 15.00 5.00 15.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 100.00 6.82 0.088300396 0.00 0.00 20.00 50.00 0.00 30.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 100.00 13.86 0.128327147 8.00 8.00 8.00 8.00 8.00 8.00 8.00 8.00 8.00 8.00 20.00 100.00 3.69 0.067100928 10.00 9.00 9.00 9.00 9.00 9.00 9.00 9.00 9.00 9.00 9.00 100.00 4.11 0.074163769 20.00 10.00 10.00 0.00 0.00 0.00 10.00 10.00 0.00 30.00 10.00 100.00 0.78 0.05365531

10 10.00 0.00 30.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 60.00 0.00 100.00 1.07 0.0560710411 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 100.00 0.00 100.00 1.59 0.0279715412 30.00 0.00 30.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 40.00 0.00 100.00 0.98 0.0680978813 15.00 15.00 15.00 0.00 0.00 0.00 15.00 15.00 15.00 15.00 15.00 120.00 0.96 0.0673331214 20.00 0.00 20.00 0.00 0.00 0.00 0.00 20.00 0.00 20.00 20.00 100.00 0.77 0.0558347415 25.00 0.00 25.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 25.00 25.00 100.00 0.83 0.0585021416 33.00 0.00 33.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 34.00 0.00 100.00 0.99 0.0721105117 10.00 10.00 10.00 10.00 0.00 0.00 8.00 8.00 8.00 26.00 10.00 100.00 0.76 0.060731218 25.00 0.00 25.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 40.00 10.00 100.00 0.9 0.0602469519 0.00 30.00 0.00 30.00 10.00 0.00 0.00 0.00 30.00 0.00 0.00 100.00 1.18 0.0911608120 0.00 30.00 10.00 30.00 0.00 0.00 30.00 0.00 0.00 0.00 0.00 100.00 1.07 0.0868439121 0.00 4.00 12.00 12.00 12.00 0.00 12.00 12.00 12.00 12.00 12.00 100.00 0.81 0.0666468122 10.00 10.00 10.00 10.00 20.00 0.00 0.00 10.00 0.00 30.00 0.00 100.00 0.87 0.0733250723 10.00 10.00 10.00 0.00 0.00 0.00 10.00 20.00 10.00 20.00 10.00 100.00 0.77 0.0522024224 20.00 0.00 40.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 40.00 0.00 100.00 0.99 0.0694464925 0.00 10.00 0.00 30.00 0.00 0.00 30.00 0.00 30.00 0.00 0.00 100.00 1.18 0.0792389326 0.00 20.00 0.00 20.00 0.00 0.00 20.00 0.00 20.00 0.00 20.00 100.00 0.98 0.0656676727 0.00 0.00 0.00 30.00 0.00 0.00 30.00 0.00 40.00 0.00 0.00 100.00 1.28 0.0776968728 10.00 15.00 15.00 20.00 10.00 0.00 10.00 0.00 10.00 0.00 10.00 100.00 0.89 0.0847211129 0.00 0.00 0.00 20.00 30.00 0.00 0.00 0.00 20.00 20.00 10.00 100.00 1.08 0.0770195930 0.00 20.00 0.00 20.00 20.00 0.00 20.00 0.00 20.00 0.00 0.00 100.00 1.13 0.0824382331 0.00 0.00 0.00 20.00 30.00 30.00 0.00 0.00 20.00 0.00 0.00 100.00 13.6 0.1066575432 2.00 2.00 2.00 20.00 20.00 8.00 20.00 2.00 20.00 2.00 2.00 100.00 3.68 0.08492833 0.00 33.00 0.00 34.00 0.00 0.00 0.00 0.00 33.00 0.00 0.00 100.00 1.01 0.1007957334 0.00 33.00 0.00 34.00 0.00 0.00 0.00 0.00 33.00 0.00 0.00 100.00 1.22 0.0906785935 5.00 5.00 5.00 10.00 5.00 30.00 10.00 5.00 10.00 10.00 5.00 100.00 13.67 0.0479765836 0.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 100.00 4.59 0.0603259237 0.00 15.00 15.00 15.00 15.00 20.00 15.00 0.00 5.00 0.00 0.00 100.00 9.03 0.0714291438 5.00 5.00 5.00 10.00 5.00 30.00 10.00 5.00 10.00 5.00 10.00 100.00 13.67 0.0473949839 0.00 0.00 0.00 20.00 20.00 20.00 20.00 0.00 20.00 0.00 0.00 100.00 9.06 0.0680774940 20.00 10.00 20.00 5.00 0.00 0.00 5.00 10.00 0.00 20.00 10.00 100.00 0.75 0.0660552541 20.00 0.00 20.00 0.00 0.00 0.00 0.00 20.00 0.00 20.00 20.00 100.00 0.77 0.0558347442 0.00 0.00 0.00 30.00 30.00 0.00 10.00 0.00 30.00 0.00 0.00 100.00 1.28 0.0938108543 0.00 10.00 0.00 20.00 30.00 0.00 10.00 0.00 30.00 0.00 0.00 100.00 1.27 0.0867627144 0.00 10.00 0.00 20.00 20.00 0.00 30.00 0.00 20.00 0.00 0.00 100.00 1.16 0.0794105645 0.00 0.00 0.00 30.00 40.00 0.00 10.00 0.00 20.00 0.00 0.00 100.00 1.32 0.0981917746 0.00 0.00 0.00 25.00 50.00 0.00 0.00 0.00 25.00 0.00 0.00 100.00 1.46 0.099763247 0.00 0.00 0.00 45.00 50.00 0.00 0.00 0.00 5.00 0.00 0.00 100.00 1.5 0.1169436148 0.00 0.00 0.00 50.00 50.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 100.00 1.54 0.1212387249 0.00 0.00 0.00 40.00 60.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 100.00 1.6 0.1170294250 0.00 0.00 0.00 40.00 40.00 20.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 100.00 9.18 0.0969909751 0.00 0.00 0.00 40.00 40.00 10.00 0.00 0.00 10.00 0.00 0.00 100.00 4.69 0.10262928

0.00 0.00 0.00 30.00 30.00 20.00 0.00 0.00 10.00 0.00 0.00 90.00 9.13 0.078381530.00 10.00 10.00 20.00 30.00 10.00 0.00 0.00 20.00 0.00 0.00 100.00 9.04 0.081492570.00 10.00 10.00 20.00 30.00 10.00 0.00 0.00 20.00 0.00 0.00 100.00 4.53 0.087130880.00 0.00 10.00 20.00 50.00 10.00 0.00 0.00 10.00 0.00 0.00 100.00 4.54 0.094350660.00 0.00 10.00 20.00 45.00 15.00 0.00 0.00 10.00 0.00 0.00 100.00 6.76 0.089341050.00 0.00 5.00 20.00 45.00 20.00 0.00 0.00 10.00 0.00 0.00 100.00 9.03 0.084261450.00 0.00 0.00 20.00 45.00 25.00 10.00 0.00 0.00 0.00 0.00 100.00 11.29 0.07769625

61

ANEXO 4

CÁLCULO DEL RIESGO DEL PORTAFOLIOUtilización de Hoja de Cálculo Excel.

Riesgo del Portafolio 𝜎_𝑃=√([𝑃]^𝑇 [𝑆][𝑃] )

El cálculo del riesgo de un portafolio, es la raíz cuadrada de la sumatoria de los productos de las covarianzas entre los diferentes títulos pertenecientes al portafolio, multiplicada por las ponderaciones de la inversión, de cada uno de los títulos considerados.

Como en esta investigación, se consideraron hasta 11 diferentes títulos, el cálculo de las covarianzas (o relaciones entre los rendimientos de dichos títulos) se hizo en una hoja de trabajo de Excell en un arreglo matricial que se calcula con la fórmula =COVAR(xx:yy;XX:YY), donde la pareja de ubicaciones xx:yy corresponde a los rendimientos históricos de una acción “1”, y las ubicaciones XX:YY corresponden a los rendimientos históricos de otra acción “2”. De esta manera, se calculan las covarianzas entre todos los títulos considerados: Covarianza entre las acciones 1 y 2= σ21 ó =σ12

Quedando la matriz de covarianzas de la siguiente manera:

MATRIZ DE COVARIANZAS (MATRIZ S)

ASUR ALSEA FEMSA ALFA GRUMA PEÑOLES ICH BIMBO GMEXICO TELEVISA1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ASUR 1 0.000268622 4.085909E-05 6.101876E-05 -1.38453E-07 8.109058E-05 -0.0015315 8.997593E-05 3.23956E-06 0.000110397 1.195206E-05ALSEA 2 4.085909E-05 0.000315577 4.876565E-05 1.240431E-05 6.042768E-05 -0.0008172 5.58626E-05 3.13095E-05 0.000101031 -4.22546E-06FEMSA 3 6.101876E-05 4.876565E-05 0.000259756 9.46878E-06 5.991502E-05 -0.0013351 4.933273E-05 1.9439E-05 7.601587E-05 -2.22631E-05ALFA 4 -1.38453E-07 1.240431E-05 9.46878E-06 0.000387641 4.41939E-05 0.0018451 -4.03075E-06 2.55002E-05 1.663445E-05 7.098734E-05GRUMA 5 8.109058E-05 6.042768E-05 5.991502E-05 4.41939E-05 0.00047574 -0.0021192 7.908508E-05 2.22643E-05 0.00013153 -1.78853E-06PEÑOLES 6 -0.001531455 -0.000817238 -0.001335064 0.001845099 -0.002119156 0.20787609 -0.00108587 0.001551094 -0.001202258 0.001107666ICH 7 8.997593E-05 5.58626E-05 4.933273E-05 -4.03075E-06 7.908508E-05 -0.0010859 0.000328847 1.14231E-05 0.000140371 2.101319E-06BIMBO 8 3.23956E-06 3.13095E-05 1.943901E-05 2.550019E-05 2.226432E-05 0.00155109 1.142313E-05 0.000287372 4.664353E-05 4.205893E-06GMEXICO 9 0.000110397 0.000101031 7.601587E-05 1.663445E-05 0.00013153 -0.0012023 0.000140371 4.66435E-05 0.000383038 2.285083E-06TV 10 1.195206E-05 -4.22546E-06 -2.22631E-05 7.098734E-05 -1.78853E-06 0.00110767 2.101319E-06 4.20589E-06 2.285083E-06 0.000251326AMX 11 -2.37081E-05 3.338689E-05 -2.30016E-05 1.378059E-05 8.109058E-05 0.0008722 -2.54154E-05 1.31024E-05 -5.73673E-06 9.134026E-06

62

La matriz de covarianzas (S) se multiplica luego por la matriz de ponderaciones (P) y por la matriz de ponderaciones transversa (solo se cambia el orden de vertical a horizontal)

MATRIZ DE PONDERACIONES TRASPUESTA (P^T) 1X11´PONDERACIONESASUR ALSEA FEMSA ALFA GRUMA PEÑOLES ICH BIMBO GMEXICO TELEVISA AMX

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 100.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Utilizando la fórmula “=MMULT(xx,yy;XXYY)” para multiplicar la matriz transpuesta de 1x11 por la matriz de covarianzas de 11x11 obtenemos una matriz intermedia de 1x11; que al multiplicar finalmente por la matriz de ponderaciones de 11x1, su resultado nos indica la varianza del portafolio en una matriz de 1x1. Al sacar la raíz cuadrada, se obtiene la desviación estándar de la cartera o medida de riesgo del portafolio de inversión:

GMEXICO 9 0.000110397 0.000101031ICHB 10 1.195206E-05 -4.22546E-06AMX 11 -2.37081E-05 3.338689E-05IPC (MERCADO)

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Wi= Porcentaje de la inversión o ponderación, destinada a la compra de acciones de cada título considerado en el portafolio.

MATRIZ DE PONDERACIONES (P)

Wi (%) ASUR W1 0.00ALSEA W2 0.00FEMSA W3 0.00ALFA W4 0.00GRUMA W5 0.00PEÑOLES W6 100.00ICH W7 0.00BIMBO W8 0.00GMEXICO W9 0.00TELEVISA W10 0.00AMX W11 0.00 TOTAL 100%