Modelo matemático de un yacimiento de aceite

Luis Alberto Vázquez Maison

Mayo 2009

Yacimiento de hidrocarburos

• Un yacimiento de aceite consiste de una región geológica dentro de la cual se encuentran atrapados hidrocarburos (líquidos o gases)

Los yacimientos pueden clasificarse en los siguientes casos:

• Homogéneos : Se considera un solo medio poroso (porosidad simple).

Presentan poca variación en permeabilidad y porosidad, son relativamente sencillos de simular.

• Fracturados : Existen al menos dos medios porosos (multiporosidad).

Presentan variaciones importantes en permeabilidad y porosidad del medio, la complejidad de su simulación depende entre otras cosas del numero de porosidades y permeabilidades consideradas

Yacimiento de hidrocarburos

Ley de conservación de masa

(Fluido en movimiento unidimensional)

in out ext am m m m

Cantidad de masa que entra en el espacio de medición

Cantidad de masa que sale del espacio de medición

Cantidad de masa que entra en el espacio de medición por medios externos

Cantidad de masa acumulada en el espacio de medición

inm

outm

extm

am

Ley de conservación de masa

(Fluido en movimiento unidimensional)

Flujo de masa a través de una unidad de área (Ax) durante un periodo de tiempo t

Masa contenida en una unidad de Volumen (V) al tiempo t

Masa total obtenida de fuentes externas durante el periodo de tiempo t

xm

vm

mq

1 02 2

x xx x x x m v vx x t tm A m A q t V m m

1 02 2

x xx xx x v vt t m

m m m m q

x t V

Ley de conservación de masa

(Fluido en movimiento unidimensional)

x v mm m q

x t V

Densidad del fluido Porosidad del medio Velocidad del flujo xu

x c xm u vm c Factor de conversión

Ecuación de flujo para un fluido simple

(Fase simple)

1x m

c c

u q

x t V

Factor de conversión

Ley de Darcyx c

ku

x

p Z con

Potencial del fluido

Presión del fluido

ProfundidadViscosidad del fluido

Permeabilidad

c

k

p

Z

Densidad relativa a la presión

Ecuación de flujo para un fluido simple

(Fase simple)

1 mc

c c

qk p Z

x x x t V

Considerando ahora un flujo en tres dimensiones

1

yx zc c c

m

c c

kk kp x p Z p Z

x x x y y y z z z

q

t V

1

y rox ro o oo c o o c

o o

o oz ro o moo c o

o c c

k kk k p px Z

x x x y y y

Sk k p qZ

z z z t V

Ecuación de flujo para fluido compuesto

(Multifase)

xc vc mcm m q

x t V

vc c cm S

c : Se refiere al componente del fluido (Aceite, Agua o Gas)

Para la ecuación de aceite (c=o)

Ecuaciones auxiliares

1o w gS S S

cow o wP p p

cog g oP p p

Son parámetros que dependen de la posición y pueden se calculados en forma independiente a la presión de aceite

,cog cowP P

El modelo de “Aceite Negro”

Aceite

Agua

Gas

,

1rw w w mwc o c ow w

w w c w c b

k S qp p Z

B t B V

11ro mo

c o o w go o c o c b

k qp Z S S

B t B V

Dependen de la presión de aceite

Dependen de las saturaciones

, , ,o g wB B B

, ,rg rw ro

Las variables a calcular

( , , )

dependen de la posición (x,y,z) y el tiempo (t)

wSgSoP

oP

wSgS

Un simulador de yacimientos es un paquete computacional que aproxima la solución del sistema y permite predecir el comportamiento global del yacimiento

,

11

rgro sc o o c o c go g

o o g g

w g sg mg

c g o c b

kk RA p Z A p p Z

B B

S S RS q

t B B V

oSistema de ecuaciones no lineales acopladas

oTres variables a determinar:

Presión (Parabólica)

Saturación de gas (Convección- Difusión )

Saturación de aceite (Hiperbólica)

El modelo de “Aceite Negro”

• El yacimiento se idealiza como un paralelepípedo subdividido por una malla cartesiana

Discretización de las ecuaciones

Discretización de las ecuaciones de flujo

La ecuación de aceite

Ov v

1

ro o ro oc x o c y o

o o o o

ro o o moc z o

o o c o c b

k p k pZ Z

x B x x y B y y

k p S qZ

z B z z t B V

Genéricamente los términos espaciales son de la forma

,

,

roO c x o

o o

ro oO c x

o o

kp

B

kZ

B

Para la dirección x

11ro mo

c o o w go o c o c b

k qp Z S S

B t B V

Discretización de las ecuaciones de flujo

La ecuación de aceite

Ov v

ro o ro oc x x o c y y o

o o o o

ro o b oc z z o o

o o c o

k p k pZ ZA A

x B x x y B y y

k p V SZA q

z B z z t B

Genéricamente los términos espaciales son de la forma

ro b oc o o osc

o o c o

k V SA p Z q

B t B

,

,

roO c x x o

o o

ro oO c x x

o o

kA p

B

kA Z

B

Para la dirección x

1 1, , , ,1, , , , , , 1, ,2 2

, ,, , 1 , , 1 , ,

, , , ,2 2

:O Oi j k i j ki j k i j k i j k i j k

O x O x i j ki j k i j k i j k

i j k i j kx x x x x x

La parcial en la dirección x puede aproximarse con el siguiente esquema, considerando el nodo (i,j,k) de la malla:

Expresiones análogas pueden determinarse para las direcciones y , z

Discretización de las ecuaciones de flujo

1

1 1

, , , , , ,, ,

1:

nn n nO

t O O Oi j k i j k i j ki j k

ff f f

t t

Para la parcial respecto al tiempo se usa un esquema “Backward”, en el nivel n+1 sobre el nodo (i,j,k)

donde ( , , , ) oO

o

Sf x y z t

B

11 1

, , , ,, ,

nn n

x Wx x y Wy y z Wz z t W wsci j k i j ki j kf q

11 1

, , , ,, ,

nn n

x Gx x y Gy y z Gz z t G gsci j k i j ki j kf q

( )WF

11 1

, , , ,, ,

nn n

x Ox x y Oy y z Oz z t O osci j k i j ki j kf q

La ecuación de aceite en diferencias toma la forma

Las ecuaciones de agua y gas toman expresiones similares

Discretización de las ecuaciones de flujo

( )GF

( )OF

Se tiene un sistema algebraico no lineal

La solución es aproximada por el método de Newton

F 0

, ,

w w w

o g w

o o o

o g w

g g g

o g w i j k

F F F

P S S

F F F

P S S

F F F

P S S

El jacobiano en el método de Newton

Cada bloque se relaciona directamente con otros 6 bloques y en cada uno deben calcularse las 3 variables involucradas

z

6

12

91413

1 2 3

25 26

15

27

37 38 39

49 50 51

Tomando una malla con dimensiones Nx,Ny,Nz y considerando que se deben calcular tres variables por celda, el número de incógnitas es de 3*Nx*Ny*Nz

Nx

Ny

Nz

El jacobiano en el método de Newton

El jacobiano en el método de Newton

Cada diagonal consta de submatrices de 3X3

En cada iteración de Newton se requiere la solución de un sistema lineal

En una simulación pueden aparecer varios cientos de sistemas lineales

Aproximadamente el 60% del costo computacional

n nnz K(A)

1120 13136 (1.0 %) 7 x 10^9

3500 55540 (0.4 %) 6 x 10^9

9604 286688 (0.3 %) 1 x 10^10

0 200 400 600 800 1000

0

200

400

600

800

1000

Características del sistema lineal

Ax=b

No es simétrica ni diagonal dominante

Dimensión de la malla: 120 X 96 X 18

Total de variables: 622080

Método de solución

-10 0 0 0( , ) { , ,..., }i

iK A r span r Ar A r

Subespacio de Krylov

0( , )i ix K A r

GMRES

BiGCStab

Precondicionamiento

Descomposición de dominio

Factorizaciones incompletas con reducción del ancho de banda

Descomposición del sistema lineal

Ideas a considerar